CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

220

5.5.

El producto escalar: longitudes, ´ angulos y perpendicularidad

Hemos introducido ecuaciones de rectas y planos a trav´es de la representaci´on de puntos y vectores en un sistema de coordenadas ortogonal en el espacio. En esta secci´on aparecer´an en escena dos conceptos b´asicas de la geometr´ıa: las distancias y los ´angulos. En nuestra presentaci´on tendr´a un lugar destacado la noci´on de producto escalar de dos vectores, un n´ umero asociado a cada pareja de vectores que puede calcularse con mucha facilidad a partir de sus expresiones en coordenadas. Veremos tambi´en c´omo el producto escalar permite calcular longitudes de vectores, distancias entre puntos y ´angulos entre vectores. En particular, nos permitir´a reconocer relaciones de perpendicularidad. A los efectos de hacer evidente la geometr´ıa de la situaci´on haremos primero una discusi´on de todos estos conceptos en el plano R2 . En la secci´on 5.5.2 discutiremos la extensi´on al espacio de dimensi´on tres R3 . Aunque no exploraremos la geometr´ıa de espacios de m´as de tres dimensiones, vale la pena mencionar que todo es muy f´acilmente generalizable a un espacio de dimensi´on cuatro, cinco o m´as.

5.5.1.

Longitudes, ´ angulos, producto escalar: discusi´ on preliminar en el plano

~ = (u1 , u2 ) Cuando dibujamos el vector U en el plano coordenado, los n´ umeros u1 y u2 identifican las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados. El vector queda representado por un segmento que es la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos miden u1 y u2 , tal como se muestra en la figura 5.114 ~ | la longiIndicaremos con la notaci´on |U ~ tud del vector U , a la que llamaremos tam~. bi´en el m´odulo de U

u2

U

u1

Figura 5.114

Aplicando el viejo y querido Teorema de Pit´agoras, concluimos que ~ |2 = u21 + u22 . |U

(5.20)

~ | de un vector se puede calcular a partir de sus coordenadas Por lo tanto, el m´odulo |U como q ~ |U | = u21 + u22 . (5.21) Ejercicio 257 Cuando u1 o u2 son menores o iguales que 0 la interpretaci´on de estos n´ umeros como longitudes de los catetos de un tri´angulo dejan de tener sentido, pero la f´ormula ~ sigue siendo v´alida. ¿Por qu´e? (5.20) para la longitud de U

´ 5.5. EL PRODUCTO ESCALAR: LONGITUDES, ANGULOS Y PERPENDICULARIDAD221 Ejemplo 96 El vector (5, 12) tiene un m´odulo igual a √ |(5, 12)| = 52 + 122 = 13. Ejercicio 258 1. Calcular el m´odulo de (10, 24) y de (−15, −36). 2. Encontrar otro vector de coordenadas enteras y m´odulo entero, que no sea un m´ ultiplo entero de (5, 12). ♣ A partir de la longitud de vectores en R2 podemos calcular la distancia entre dos puntos p y Q cualesquiera del espacio como la longitud del vector diferencia Q − P . Si P = (xP , yP ),

Q = (xQ , yQ ),

tendremos entonces d (P, Q) = |Q − P | =

q (xQ − xP )2 + (yQ − yP )2 ,

(5.22)

donde d(P, Q) representa la distancia de P a Q.

Ejemplo 97 En la figura representamos el cuadrado de lado 1 que tiene v´ertices A = (1, 0),

B = (2, 0),

C = (2, 1) D = (1, 1).

La diagonal AC tiene longitud igual a la distancia que separa los puntos A y C, √ √ d(A, C) = |(2, 1) − (1, 0)| = |(1, 1)| = 12 + 12 = 2. El c´alculo de la longitud de la otra diagonal es similar. d(B, D) = |(2, 0) − (1, 1)| = |(1, −1)| =

p

12 + (−1)2 =

√

2.

Naturalmente, umero √ las dos diagonales del cuadrado tienen la misma longitud, el c´elebre n´ irracional 2. ♣ Ejemplo 98 Dado un punto C = (a, b) en el plano y un n´ umero r > 0, la circunferencia C que tiene centro C y radio r es el conjunto formado por los puntos (x, y) del plano que est´an a distancia r de C. Es decir, los puntos para los que se satisface p d ((x, y), (a, b)) = |(x − a, y − b)k = (x − a)2 + (y − b)2 = r.

Como hab´ıamos escogido r > 0 y las distancias nunca pueden ser negativas, la ecuaci´on es equivalente a (x − a)2 + (y − b)2 = r2 , (5.23) que se obtiene elevando al cuadrado ambos miembros de la u ´ltima igualdad. Concluimos as´ı que la ecuaci´on (5.23) caracteriza a todos los puntos que est´an sobre la circunferencia de centro (a, b) y radio r.

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

222

Ejercicio 259 Si en la ecuaci´on (??) se toma r = 0 en vez de r > 0, ¿qu´e puntos la satisfacen? ♣ Ejercicio 260 Dados los puntos A = (0, 0) y B = (1, 0), ubicar en el plano un punto C de modo que el tri´angulo ABC sea equil´atero. Ejercicio 261 Hemos definido la distancia entre P e Q como la longitud del vector Q − P . La distancia entre Q y P es entonces la longitud de Q − P . ¿Qu´e relaci´on guardan entre s´ı estas dos distancias? Demostrar esta relaci´on a partir de la f´ormula (5.22) para la distancia entre dos puntos P e Q. ~ y V~ . Nuestro pr´oximo objetivo es introducir el producto escalar entre dos vectores U Comenzamos por dar la definici´on y a continuaci´on discutimos el por qu´e de la definici´on y su sentido geom´etrico. Definici´ on 8 Dados dos vectores ~ = (u1 , u2 ), ~~V = (v1 , v2 ), U ~ · V~ por la expresi´on en R2 , definimos su producto escalar U ~ · V~ = u1 v1 + u2 v2 . U

(5.24)

Para mostrar el sentido geom´etrico de esta definici´on consideraremos en el plano (x, y) los puntos ~ , Q = O + V~ , P =O+U donde O = (0, 0) es el origen de coordenadas del plano. En la figura 5.115 representamos los ~ y V~ y al vector diferencia puntos P y Q, los vectores U ~ ) = V~ − U ~ = (v1 − u1 , v2 − u2 ). Q − P = (O + V~ ) − (O + U . El tri´angulo OP Q tiene lados longitudes ~ |, a = d(P, O) = |U

b = d(Q, O) = |V~ |,

~ |. c = |V~ − U

~ |. Para evitar la ra´ız cuadrada Desarrollaremos los c´alculos en la expresi´on (5.22) de |V~ − U trabajaremos con su cuadrado: ~ |2 = (v1 − u1 )2 + (v2 − u2 )2 . |V~ − U

(5.25)

Simplemente desarrollando los cuadrados y ordenando convenientemente los t´erminos, podemos transformar (5.25) en ~ |2 = u21 + u22 + v12 + v22 − 2(u1 v1 + u2 v2 ). |V~ − U

(5.26)

~ , el tercero y el cuarto el Los dos primeros sumandos suman el cuadrado del m´odulo de U cuadrado del m´odulo de V~ . En el u ´ltimo sumando del miembro de la derecha aparece el ~ ~ producto escalar U · V Por lo tanto ~ |2 = |U ~ |2 + |V~ |2 − 2U ~ · V~ . |V~ − U

(5.27)

´ 5.5. EL PRODUCTO ESCALAR: LONGITUDES, ANGULOS Y PERPENDICULARIDAD223 En este punto, vamos a recordar el Teorema del Coseno. Una generalizaci´on del Teorema de Pit´agoras que establece la igualdad c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ ~ y V~ . Escribiendo lo para el el tri´angulo OP Q, donde θ es el ´angulo entre los vectores U mismo, pero con la notaci´on de m´odulos de vectores, el Teorema del Coseno viene a decirnos que u2

y

P b

U c V −U

a v2

Q b

V

θ b O

u1

x v1

Figura 5.115

~ |2 = |U ~ |2 + |V~ |2 − 2|U ~ ||V~ | cos θ. |V~ − U

(5.28)

De la comparaci´on de (5.27) con (5.28) surge que ~ · V~ = |U ~ ||V~ | cos θ. U

(5.29)

La sencilla expresi´on algebraica (5.24) resulta tener un significado geom´etrico muy importante. Ejemplo 99 El factor cos θ puede tomar valores entre −1 y 1. Es igual a 1 cuando el coseno del ´angulo θ vale cero. Esta situaci´on corresponde a dos vectores colineales que tienen el mismo sentido. Ver la figura 5.116 Mientra 0 < θ < π/2 el coseno es positivo. Eso corresponde a situaciones como las que se ~ tiene el mismo sentido esquematiza en la figura 5.117 en las que la proyecci´on de V~ sobre U ~ (un comentario an´alogo puede hacerse respecto a la proyecci´on de U ~ sobre V~ ). Es que U ~ y V~ son ortogonales, como se muestra en la figura 5.118: notable el caso en que los vectores U ~ ~ entonces θ = π/2 y U · V = 0, de modo que el producto escalar caracteriza la ortogonalidad entre vectores.

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

224

V θ=0

V

U θ

b

U

Figura 5.117

Figura 5.116

Cuando π/2 < θ < π el coseno del ´angulo es negativo. La relaci´on que hay entre los vectores es la que aparece en la figura 5.119 V

θ

V

θ

U

Figura 5.118

U

Figura 5.119

Por u ´ltimo, el caso θ = π es el de dos vectores colineales con sentido opuesto: un vector es m´ ultiplo del otro con una constante negativa.

V

θ=π

U

b

Figura 5.120

~ y V~ son ortogonales el producto escalar es nulo, los vectores son Observaci´ on 48 Cuan U ortogonales, el tri´angulo OP Q es rect´angulo, el Teorema del Coseno se reduce al Teorema de Pit´agoras y tenemos la igualdad |V − U |2 = |U |2 + |V |2 que puede verse como una expresi´on del Teorema de Pit´agoras en t´erminos del m´odulo de vectores. Ejercicio 262 Mostrar que cuando U y V son ortogonales, tambi´en se cumple |U + U |2 = |U |2 + |V |2 .

(5.30)

La expresi´on (5.30) para la suma de dos vectores ortogonales tambi´en puede verse como una versi´on del Teorema de Pit´agoras. Identificar cu´al es el tri´angulo sobre el que hay que razonar en este caso. ♠♣ ~ puede expreserse a partir del producto escalar Observaci´ on 49 El m´odulo de un vector U como p ~ ·U ~. ~| = U |U

´ 5.5. EL PRODUCTO ESCALAR: LONGITUDES, ANGULOS Y PERPENDICULARIDAD225 Vemos entonces que nociones geom´etricas b´asicas como la longitud de los vectores y la distancia entre puntos pueden calcularse a partir del producto escalar. En realidad, toda la geometr´ıa del plano y euclidiano puede derivarse del producto escalar y su sencilla f´ormula. ♠ Ejemplo 100 Consideremos en el plano los vectores (1, 0) y (1, 1). Su producto escalar es (1, 0) · (1, 1) = 1 × 1 + 0 × 1 = 1. Sus m´odulos son |(1, 0)| =

√

1 = 1,

|(1, 1)| =

√

1+1=

√

2.

De acuerdo con la f´ormula (5.29) el ´angulo θ entre estos dos vectores debe satisfacer 1=1×

√

y 1

2 cos θ,

por lo tanto, 1 cos θ = √ . 2

θ

El ´angulo θ en el intervalo [−π, π] que satisface esta igualdad es θ = π/4. Este valor refleja el hecho de que los vectores (1, 0) y (1, 1) son, respectivamente, un cateto y la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo is´osceles, ver la figura 5.121. ♣

x 1

Figura 5.121

Ejemplo 101 El producto escalar entre los vectores (1, 1) y (−1, 1) es 1 × (−1) + 1 × 1 = −1 + 1 = 0. El valor del coseno del ´angulo θ entre estos vectores tiene que ser nulo, por lo que θ=

1

π 2

y los dos vectores resultan ser perpendiculares. ♣

θ −1

1

Los ejemplos 99 y 101 muestran que la perpendicularidad puede caracterizarse por el ~ · V~ de dos vectores nulos U ~ y V~ es nulo, entonces producto escalar. Si el producto escalar U el valor que corresponde al ´angulo entre los dos vectores es θ = π/2 y son vectores perpendiculares. Cuando alguno de ellos es nulo, el producto escalar es necesariamente cero. En este caso no podemos definir un ´angulo, pero no hay inconveniente en declarar al vector nulo

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

226

como un vector perpendicular u ortogonal a todos los vectores del espacio. El vector nulo adquiere as´ı la curiosa caracter´ıstica de ser a la vez ortogonal y colineal con cualquier otro vector, pero esto no debe causarnos ninguna dificultad: el cero en el campo num´erico y el vector nulo en el conjunto de los vectores son entes muy particulares. En la pr´oximo secci´on, veremos c´omo el producto escalar se generaliza del conjunto R2 de los vectores en el plano al conjunto R3 de los vectores en el espacio. Aunque la geometr´ıa del espacio tridimensional pueda parecernos mucho m´as compleja, la sencilla f´ormula (8) que define el producto escalar puede generalizarse casi sin esfuerzo a vectores con tres componentes, simplemente agregando un sumando m´as.

5.5.2.

El producto escalar en R3 y su geometr´ıa

Nuestra primera definici´on simplemente generaliza la definici´on para vectores de R2 . Definici´ on 9 Dados dos vectores ~ = (u1 , u2 , u3 ) U

V~ = (v1 , v2 , v3 )

~ · V~ por la expresi´on en R3 , definimos su producto escalar U ~ · V~ = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . U

(5.31)

Ejemplo 102 El producto escalar entre ~ = (5, 9, 2), U

V~ = (1, −1, 2),

es 5 × 1 + 9 × (−1) + 2 × 2 = 5 − 9 + 4 = 0.

~ y V~ son ortogonales. Como veremos a m´as adelante, en el ejemplo 106, los vectores U ~ = El producto escalar de un vector U (u1 , u2 , u3 ) por s´ı mismo es ~ ·U ~ = u2 + u2 + u2 . U 3 2 1

u3

(5.32)

Este n´ umero es mayor o igual que cero, y so~ es el vector nulo (0, 0, 0). lo es cero cuando U Aplicando dos veces el Teorema de Pit´agoras a dos tri´angulos diferentes ubicados en dos planos diferentes, no es demasiado complejo ~ ·U ~ es el cuadrado de la longitud del ver que U ~ vector U . Ver la figura 5.122, que muestra el ~ como la diagonal OP de un paralevector U lep´ıpedo de lados u1 , u2 y u3 en el espacio. Una primera aplicaci´on del Teorema de Pit´agoras al tri´angulo O′ P ′′ P ′ implica que la diagonal OP ′ de la base tiene una longitud l

P U O

u2 l

u1 P′

P ′′ Figura 5.122

♣

´ 5.5. EL PRODUCTO ESCALAR: LONGITUDES, ANGULOS Y PERPENDICULARIDAD227 que satisface l2 = u21 + u22 . Una segunda aplicaci´on al tri´angulo OP ′ P implica |OP |2 = l2 + u23 = u21 + u22 + u23 ~ | la longitud del vector U ~ , de modo que podemos escribir Indicaremos con |U q p ~ ·U ~. ~ |U | = u21 + u22 + u23 = U

(5.33)

Ejemplo 103 Consideremos el vector

~ = (4, −1, 8). U ~ ·U ~ es El producto U ~ |2 = 42 + (−1)2 + 82 = 16 + 1 + 64 = 81, |U de modo que ~ | = 9. |U ~ que tienen m´odulo 1 Ejercicio 263 Hallar todos los vectores colineales con U

♣

Igual que para el caso del producto escalar en el plano, es v´alida la igualdad ~ · V~ = |U ~ ||V~ | cos θ. U

(5.34)

La raz´on es que el mismo an´alisis geom´etrico basado en el Teorema del Coseno que hicimos ~ y V~ . para el caso plano, puede hacer en un plano que contenga las direcciones de U ~ ~ Si U y V son vectores no nulos, podemos calcular el ´angulo entre ellos como el u ´nico valor de θ que hace que ~ · V~ U cos θ = . (5.35) ~ ||V~ | |U

~ · V~ = 0 diremos que los vectores son ortogonales. Observemos que en el caso de Si U vectores no nulos el ´angulo entre ellos π/2, y esta noci´on de ortogonalidad coincide con la habitual de perpendicularidad. √ Ejemplo 104 Consideremos X = ( 3, 1, 0) y determinemos los valores que la expresi´on 5.35 arroja para el ´angulo con los tres vectores coordenados e1 = (1, 0, 0),

e2 = (0, 1, 0),

e3 = (0, 0, 1).

Comencemos por observar que |X| =

√

3 + 1 + 0 = 2.

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

228

Los vectores ei , i = 1, 2, 3, tienen m´odulo 1, por lo que el producto de los m´odulos es igual a 2 en todos los casos. Los productos escalares dan √ X · e1 = 3, X · e2 = 1, X · e3 = 0. Los ´angulos θi entre X y ei deben satisfacer entonces √ cos θ1 = 3/2, cos θ2 = 1/2,

cos θ3 = 0,

de lo que deducimos θ1 = π/6,

θ2 = π/3,

θ3 = π/2.

Estos valores confirman que la definici´on de ´angulo que hemos dado es razonable.

♣

Ejemplo 105 Los vectores e1 = (1, 0, 0),

e2 = (0, 1, 0),

e3 = (0, 0, 1),

son vectores de m´odulo uno. Son, respectivamente, vectores directores de los ejes coordenados Ox, Oy y Oz, que apuntan en el sentido positivo de los ejes. Es f´acil verificar que e1 · e2 = e2 · e3 = e3 · e1 = 0. Esta propiedad muestra que la noci´on de ortogonalidad asociada con el producto escalar es consistente con nuestra visi´on geom´etrica de las ternas de n´ umeros de R3 como las coordenadas de vectores, referidas a un sistema de ejes perpendiculares. ♣ Ejemplo 106 Los vectores (5, 0, 2) y (1, −1, 2), del ejemplo 102, p´agina 226, son ortogonales. ♣ Ejercicio 264 Hallar el valor del ´angulo entre las siguientes parejas de vectores en el espacio: 1. (1, 1, 0) y (1, 0, 0); 2. (1, 0, 0) y (−1, 2, 3); 3. (1, 1, −2) y (1, 1, 1). ~ = (u1 , u2 , u3 ) el vector V~ = (u2 , −u1 , 0) Ejercicio 265 Mostrar que para cualquier vector U ~ . Interpretar geom´etricamente este nuevo vector. es perpendicular a U Ejercicio 266 Calcular el ´angulo que forma un vector no nulo X consigo mismo y con −X. ~ = (1, 2, −1). Ejercicio 267 Hallar todos los vectores que son ortogonales a U Ejercicio 268 1. Mostrar que los vectores V~ = (2, −1, 0),

~ = (1, 0, 1), W

~ del ejercicio 267. son vectores no colineales y ortogonales al vector U

´ 5.5. EL PRODUCTO ESCALAR: LONGITUDES, ANGULOS Y PERPENDICULARIDAD229 2. Mostrar que punto Q = (x, y, z) pertenece al plano de ecuaciones   x = 2 + 2µ + ν, y = 3 − µ,  z = −1 + nu, ~. si y solo si el vector (x − 2, y − 3, z + 1) es ortogonal a U

3. Interpretar geom´etricamente los resultados de las partes anteriores. ~ = (1, 2, −1) y a V~ = Ejercicio 269 Hallar todos los vectores que son ortogonales a U (2, 1, 0) Ejercicio 270 Hallar la normal com´ un a las   x = 1 + 2λ, y = 1 + λ,  z = −5,

rectas de ecuaciones reducidas   x = 1 + λ, y = 3 + 2λ,  z = 2 − λ,

Calcular la distancia entre las dos rectas. Sugerencia: en el ejercicio252 se construy´o una recta que ten´ıa una direcci´on dada y cortaba dos rectas conocidas. La siguiente proposici´on recoge y sistematiza algunas propiedades b´asicas del producto escalar que se desprenden directamente de su definici´on, y que usaremos libremente en lo sucesivo. ~ , V~ y W vectores de R3 , y α un n´ Proposici´ on 10 Sean U umero real cualquiera. Entonces el producto escalar satisface las propiedades ~ ·U ~ ≥0yU ~ ·U ~ = 0 si y s´olo si U ~ es el ´ n: U No negatividad y no degeneracio vector nulo; Linealidad respecto a la primera variable: ~ + V~ ) · W = U ~ · W + V~ · W ; • (U ~ ) · V~ = α(U ~ · V~ ); • (αU ~ · V~ = V~ · U ~. Simetr´ıa: U Ejercicio 271 1. Demostrar la proposici´on 10 . ~ · V~ tambi´en depende linealmente del 2. Demostrar tambi´en que el producto escalar U vector V~ . 3. Mostrar que el producto escalar del vector nulo O con cualquier otro vector del espacio es igual a 0 y que es el u ´nico vector del espacio que tiene esta propiedad.

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

230 Ejercicio 272

1. Consideremos los vectores u = (2, −1, −1)/3, v = (1, −2, 1). Hallar |u|, |v| y el ´angulo entre u e v. 2. Sean u y v dos vectores de R3 . Hallar |v| sabiendo que el ´angulo entre u y v es igual a π/4, |u| = 3 y que u − v es perpendicular a u. 3. Hallar |v| y |u + v| sabiendo que el a´ngulo entre u y v es π/4, que |u| = 3 y que el ´angulo entre u + v y u es igual a π/6. 4. ¿Es cierto que si v es un vector no nulo entonces la igualdad u·v = w ·v implica u = w? ¿Qu´e puede decirse de u − w? Ejercicio 273 1. Hallar el ´angulo que forman dos diagonales en el cubo. 2. Se consideran cuatro puntos coplanares A, B, C y D. Hallar la condici´on necesaria y suficiente sobre las longitudes de los lados del cuadril´atero ABCD para que las diagonales del cuadril´atero ABCD sean perpendiculares. 3. Sea ABCD un tetraedro. −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ a) Probar que AD · CB + BD · AC + CD · BA = 0 −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ b) Si adem´as AB ⊥ CD y AD ⊥ CB, probar que AC ⊥ BD.

5.5.3.

Ejercicios adicionales

Ejercicio 274 Productos notables. Sean X e Y vectores de R2 o R3 . Demostrar que se satisfacen las igualdades 1. |X + Y |2 = |X|2 + |Y |2 + 2X · Y ; 2. (X + Y ) · (X − Y ) = |X|2 − |Y |2 . Ejercicio 275 Regla del paralelogramo Sean X e Y dos vectores cualesquiera. Probar que
1 |X + Y |2 + |X − Y |2 = |X|2 + |Y |2 . 2

Interpretar geom´etricamente este resultado. Ejercicio 276

1. Sean X e Y dos vectores cualesquiera. Probar que X · Y est´a determinado conociendo |X|, |Y | y |X + Y |. Mostrar que tambi´en queda determinado conociendo |X|, |Y | y |X − Y |.

´ 5.5. EL PRODUCTO ESCALAR: LONGITUDES, ANGULOS Y PERPENDICULARIDAD231 2. Si |X| = 3, |Y | = 4 y |X + Y | = 5, hallar X · Y y el ´angulo entre los vectores X e Y . Repetir para |X| = 3, |Y | = 4 y |X − Y | = 5. 3. Para el caso en que |X| = |Y | = |X − Y | = 1, hallar X · Y y el ´angulo entre los vectores X e Y. ~ y V~ vectores en R3 , y α un n´ Proposici´ on 11 Sean U umero real cualquiera. Entonces el m´odulo | · | satisface las propiedades ~ | ≥ 0 y |U ~ | = 0 si y s´olo si U ~ es el vector ´ n: |U 1. No negatividad y no degeneracio nulo del espacio. 2. Homogeneidad: αX = |α||X|. 3. Desigualdad triangular: |X + Y | ≤ |X| + |Y |. Ejercicio 277 Demostrar la proposici´on anterior. Si se desea demostrar la propiedad triangular usando las propiedades del producto escalar, puede ser u ´til considerar |X + Y |2 y que la igualdad (5.34) implica ~ · V~ | ≤ |U ~ ||V~ |. |U

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

232

5.6.

Perpendicularidad y ecuaciones de planos

Por cada punto de un plano α pasa una u ´nica recta perpendicular a α. Todas las perpendiculares a α son paralelas entre s´ı. De este modo, cada plano define una direcci´on ortogonal ~ no nulo en esa direcci´on. a ´el en el espacio, que puede caracterizarse por cualquier vector N ~ es un vector normal al plano α. A su vez, fijamos un punto cualquieDiremos que el vector N ~. ra P0 en α, un segundo punto pertenecer´a a α si y solo si el vector P − P0 es ortogonal a N En esta secci´on veremos que la ecuaci´on reducida de un plano puede interpretarse como la expresi´on por medio del producto escalar de est´a condici´on de ortogonalidad entre vectores. Esta interpretaci´on nos permitir´a calcular con facilidad la proyecci´on sobre un plano dado de cualquier punto del espacio.

5.6.1.

El producto escalar y la ecuaci´ on del plano

Vamos a comenzar por analizar las ideas principales de esta secci´on en un ejemplo. Ejemplo 107 En el ejemplo 91, p´agina 212 de la secci´on 5.3 consideramos el plano α de ecuaci´on reducida 2x + 3y − z + 4 = 0. (5.36) Es f´acil ver que P0 = (2, −1, 5) es un punto de α. En efecto, sustituyendo sus coordenadas en (5.36) encontramos 2 × 2 + 3 × (−1) − 1 × 5 + 4 = 0. (5.37) Cuando restamos de la ecuaci´on (5.36) que caracteriza a cualquier punto del plano la ecuaci´on (5.37) que corresponde a un punto en particular, obtenemos 2(x − 2) + 3(y + 1)) − (z − 5) + 4 = 0.

(5.38)

Observemos que (x − 2, y + 1, z − 5) es el vector P~0 P desde el punto P0 = (2, −1, 5) a un punto gen´erico P = (x, y, z) en el plano. Podemos interpretar entonces el miembro de la izquierda como el producto escalar de P~0 P con el vector (2, 3, −1) y escribir (5.38) en la forma (2, 3, −1) · (x − 2, y + 1, z − 5) = 0. El vector (2, 3, −1) es ortogonal a cualquier vector paralelo al plano. Diremos entonces que ~ = (2, 3, −1) N es un vector normal al plano. Ejercicio 278 Encontrar otro vector normal al plano α. Encontrar todos los vectores normales al plano α que tienen m´odulo 1.

5.6. PERPENDICULARIDAD Y ECUACIONES DE PLANOS

233

Cuando en el ejemplo 91 estudiamos el plano α encontramos que admite las ecuaciones param´etricas   x = λ, y = µ, (5.39)  z = 4 + 2λ + 3µ, lo que implica que los vectores

~ = (1, 0, 2), U

V~ = (0, 1, 3),

~: son vectores directores del plano. Un c´alculo directo muestra que ambos son ortogonales a N (2, 3, −1) · (1, 0, 2) = 0,

(2, 3, −1) · (0, 1, 3) = 0.

Observaci´ on 50 La condici´on de ortogonalidad entre los vectores directores y los vectores normales a un plano provee una buena estrategia de verificaci´on cuando se pasa de ecuaciones param´etricas o reducidas y viceversa: los vectores directores de la forma param´etrica deben ser ortogonales al vector normal que se lee en los coeficientes de la ecuaci´on reducida. Si adem´as el punto base de la ecuaci´on param´etrica verifica la ecuaci´on reducida, entonces la ecuaci´on reducida y las ecuaciones param´etricas representan al mismo plano. Ejercicio 279 Las ecuaciones param´eticas (5.39) tiene al punto P1 = (0, 0, 4) como punto base del plano α. Verificar que el vector diferencia P1 − P0 = (0, 0, 4) − (2, −1, 5) es ortogonal al vector normal al plano. Escribir P1 − P0 como combinaci´on lineal de los ~ y V~ . ¿Qu´e relaci´on guardan los coeficientes de la combinaci´on lineal vectores directores U con los valores µ y ν de los par´ametros que permiten obtener de las ecuaciones (5.39) las coordenadas de P0 ? ♠♣ El razonamiento que presentamos en el ejemplo 107 es completamente general. Toda ecuaci´on de la forma ax + by + cz + d = 0, (5.40) con alguno de los coeficientes a, b o c no nulo, representa un plano α en R3 y cualquier plano en R3 puede representarse por medio de una ecuaci´on de este tipo. Las coordenadas de cualquier punto particular P0 = (x0 , y0 , z0 ) en α satisfacen ax0 + by0 + cz0 + d = 0. Restando (5.41) de (5.40) encontramos que cualquier punto P = (x, y, z) en α debe satisfacer a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = (a, b, c) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0.

(5.41)

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

234 Encontramos as´ı que el vector

~ = (a, b, c) N

de los coeficientes de la ecuaci´on, es ortogonal a cualquier vector que se obtenga como la diferencia de dos puntos en el plano α. En particular, este vector es ortogonal a cualquier pareja de vectores directores del plano. Es corriente llamar N al vector (a, b, c), y decir que es un vector normal al plano α. Todav´ıa podemos escribir en forma m´as concisa la ecuaci´on del plano, como N · (P − P0 ) = 0, (5.42)

donde P (x, y, z) es un punto gen´erico del plano y P0 (x0 , y0 , z0 ) un punto particular que hemos escogido como base. ♣ Ejemplo 108 El plano α de los ejemplos 89 y 90, en las p´aginas 210 y 211 respectivamente, tiene como ecuaci´on reducida x + z = 1. Por tanto un vector normal a α es

~ = (1, 0, 1). N

El punto P0 = (1, 0, 0) pertenece al plano. La ecuaci´on del plano puede escribirse entonces como (1, 0, 1) · (x − 1, y, z) = 0. Dos vectores directores de α plano son U = (1, −2, −1),

V = (−1, 3, 1).

Verifiquemos que se cumple que N es ortogonal a U y a V. Para eso calculamos U · N = (1, −2, −1) · (1, 0, 1) = 1 · 1 − 2 · 0 − 1 · 1 = 0, V · N = (−1, 3, 1) · (1, 0, 1) = −1 · 1 + 3 · 0 + 1 · 1 = 0. ~ yU ~ Encontramos que, efectivamente, se cumplen las condiciones de ortogonalidad entre N ~ y V~ . y entre N ♣ Ejercicio 280 La ecuaci´on reducida de un plano no es u ´nica. Dada una ecuaci´on del plano, al multiplicarla por cualquier constante no nula se convierte en otra ecuaci´on qu´e representa el mismo plano. ¿C´omo afecta esta operaci´on al vector normal formado por los coeficientes de la ecuaci´on? Ejercicio 281 Volver a los ejercicios 241, 242 y 243, en la p´agina 213. Para cada uno de los planos que se construyeron en esos ejercicios encontrar un vector normal y una pareja de vectores directores. Verificar que el vector normal es perpendicular a los vectores directores. Haber identificado un vector normal al plano permite caracterizar la perpendicularidad entre rectas y planos: una recta y un plano son perpendiculares si cualquier vector normal al plano y cualquier vector director de la recta son colineales.

5.6. PERPENDICULARIDAD Y ECUACIONES DE PLANOS

235

Ejercicio 282 Hallar ecuaciones param´etricas y reducidas de la recta r que es perpendicular al plano de ecuaci´on x − 2y + z = 0 y pasa por el punto (3, −2, 5). Determinar la intersecci´on de r con el plano.

Ejercicio 283 Hallar la ecuaci´on del plano α que pasa por el punto P = (−1, 5, 6) y es perpendicular a la recta r de ecuaciones param´etricas   x = 1 − λ, y = 2 + λ,  z = 4 + 3λ, Determinar ecuaciones param´etricas y reducidas de la recta s que es la perpendicular a r por P .

5.6.2.

Proyecci´ on de un punto sobre un plano

Dado un conjunto C de puntos y un punto Q que no pertenece a ´el, es en muchos casos natural preguntarse cu´al o cu´ales de los puntos de C es el m´as cercano a Q. Cuando C es un plano hay un u ´nico punto m´as cercano, que es la proyecci´on de Q sobre el plano. En esta secci´on vamos a estudiar c´omo construir esta proyecci´on y c´omo calcular la distancia de Q al plano. Ejemplo 109 Vamos a buscar el punto Q′ del plano α de ecuaci´on 2x + 3y − z + 4 = 0 m´as pr´oximo al punto Q = (−3, −7, 5), que no pertenece a α. La idea que usaremos para encontrar Q′ es trazar la recta perpendicular a α por Q y cortarla con el plano. Como punto base para esta recta usaremos el propio Q. La direcci´on est´a dada por el vector normal al plano, ~ = (2, 3, −1), N que tomaremos como vector director de la recta. Un juego de ecuaciones param´etricas es entonces   x = −3 + 2λ, y = −7 + 3λ,  z = 5 − λ. El punto Q′ debe satisfacer la ecuaci´on del plano, de modo que

2(−3 + 2λ) + 3(−7 + 3λ) − (5 − λ) + 4 = 0. Haciendo los c´alculos y ordenando la expresi´on encontramos la ecuaci´on −28 + 14λ = 0, de donde despejamos λ = 2 para construir Q′ = (−3, −7, 5) + 2(2, 3, −1) = (1, −1, 3).

(5.43)

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

236

Observaci´ on 51 Como siempre, podemos verificar que Q′ efectivamente pertenezca al plano sustituyendo sus coordenadas en la ecuaci´on 2 × 1 + 3 × (−1) − 3 + 4 = 0. Adem´as, si Q′ es la proyecci´on de Q sobre el plano, el vector Q − Q′ = (−3, −7, 5) − (1, −1, 3) = (−4, −6, 2) debe ser colineal con el vector normal al plano. Como (−4, −6, 2) = (−2) × (2, 3, −1) tambi´en esta condici´on de colinealidad se satisface. En realidad, estas dos condiciones son suficientes para asegurar que Q′ es la proyecci´on de Q sobre α, de modo que podemos estar seguros de que nuestro resultado es correcto. Es conveniente hacer estas dos verificaciones siempre que haya que calcular una proyecci´on de un punto sobre un plano. ♠

El punto Q′ es el punto del plano m´as pr´oximo a Q, de modo que la distancia de d(Q, α) entre el punto Q y el plano α es p √ √ d(Q, α) = d(Q, Q′ ) = |Q − Q′ | = (−4)2 + (−6)2 + 22 = 56 = 2 14.

Ejercicio 284 Tomar un punto P cualquiera del plano α diferente a Q′ y verificar que su distancia a Q es mayor que la distancia de Q′ a Q. Verificar que |Q − P |2 = |Q − Q′ |2 + |Q′ − P |2 . ¿Por qu´e se satisface esa igualdad?

♣

Todo el c´alculo que en el ejemplo 109 presentamos para un caso particular, puede hacerse de manera general, escribiendo la ecuaci´on del plano en la forma vectorial N · (P − P0 ) y usando una expresi´on vectorial P = Q + λN

(5.44)

para la perpendicular por Q al plano. Cuando la expresi´on (5.44) se sustituye en la ecuaci´on del plano obtenemos (Q + λN − P0 ) · N = 0, que puede escribirse en la forma

0 = (Q − P0 + λN ) · N = (Q − P0 ) · N + λN · N = (Q − P0 ) · N + λ|N |2 . Esta ecuaci´on permite despejar λ como λ=− y escribir Q′ = Q −

~ (Q − P0 ) · N ~ |2 |N ~ (Q − P0 ) · N ~. N ~ |2 |N

(5.45)

237

5.6. PERPENDICULARIDAD Y ECUACIONES DE PLANOS Ejemplo 110 Usaremos la f´ormula (5.45) para calcular la proyecci´on O′ del origen O = (0, 0, 0) sobre el plano de ecuaci´on x + y + z = 1. Un punto P0 del plano es P0 = (1, 0, 0). Entonces O − P0 = (−1, 0, 0). Un vector normal es

N

~ = (1, 1, 1). N O

~ |2 = 3. Calculamos Por lo tanto |N (O − P0 ) · N = −1,

1 O = O + (1, 1, 1) = 3



O′

P0

de modo que ′

b

1 1 1 , , 3 3 3



. Figura 5.123

La figura 5.123 muestra esta proyecci´on. Ejercicio 285 Proyectar sobre el mismo plano el punto (2, 1, 1)

♣

Ejercicio 286 El plano α de ecuaci´on 2x + 3y − z + 4 = 0 con el que trabajamos en el ejemplo 109 contiene al punto P0 = (0, 0, 4). Determinar un ~ normal al plano. Para el punto Q = (−3, −7, 5), calcular vector N Q − P0 ,

~, (Q − P0 ) · N

~ |, |N

y usar la f´ormula (5.45) para determinar su proyecci´on Q′ sobre α. ~ y tambi´en aparece |N ~ | en el denominador. Es En la f´ormula (5.45) aparece el vector N importante observar que ~ N ~| |N es siempre un vector de m´odulo 1.

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

238 Ejemplo 111 Si N = (2, 3, −1) entonces

N · N = 2 × 2 + 3 × 3 + (−1) × (−1) = 14. Por lo tanto

  ~ 2 N 3 1 = √ , √ , −√ ~| 14 14 14 |N

es un vector de m´odulo 1, tal como puede verificarse por medio de un c´alculo directo. Llamaremos versor a un vector de m´odulo 1. Indicaremos con ~n a un versor normal a un plano. Consideremos entonces un plano α con un versor normal ~n. Cuando escribimos la f´ormula (5.45) para ~n toma la forma Q′ = Q − ((Q − P0 ) · ~n) ~n.

(5.46)

La distancia del punto al plano es entonces d(Q, α) = |Q′ − Q| = |((Q − P0 ) · ~n) ~n| == |(Q − P0 ) · ~n|

(5.47)

La figura5.124 muestra el sentido geom´etrico de esta f´ormula: (Q − P0 ) · ~n = |Q − P0 | cos θ. El signo ser´a positivo o negativo seg´ un que el versor normal ~n apunte hacia el semiespacio al que pertenece P o hacia el otro.

Q

(Q − P0 ) · ~n

−(Q − P0 ) · ~n ~n P0 Q′

α

Figura 5.124

5.6. PERPENDICULARIDAD Y ECUACIONES DE PLANOS

239

Adem´as, la f´ormula (5.47) es muy f´acil de aplicar a partir de una ecuaci´on reducida ax + by + cz + d = 0 para un plano α. Esta ecuaci´on es una forma de escribir ~ =0 (P − P0 ) · N ~ y punto base P0 en el plano. El vector normal es para alg´ un vector normal N ~ = (a, b, c), N de modo que Por lo tanto,

~| = |N

√ a2 + b 2 + c 2 .

ax + by + cz + d √ =0 a2 + b 2 + c 2 es una ecuaci´on para el plano con un vector normal   b c a ,√ ,√ ~n = √ a2 + b2 + c 2 a2 + b 2 + c 2 a2 + b 2 + c 2 de m´odulo 1. Aplicando (5.47) a esta nueva ecuaci´on, encontramos que si Q = (x, y, z) es un punto cualquiera entonces |ax + by + cz + d| . (5.48) d(Q, α) = √ a2 + b 2 + c 2 Ejemplo 112 Hemos visto en el ejemplo 110 que el origen O se proyecta sobre el punto   1 1 1 , , 3 3 3 del plano α de ecuaci´on x + y + z = 1. De acuerdo con este resultado, la distancia del origen al plano es   1 1 1 = √1 . d(O, α) = , , 3 3 3 3

Aplicando la f´ormula (5.48) al punto y la ecuaci´on del plano encontramos 1 |0 + 0 + 0 − 1| =√ , d(O, α) = √ 2 2 2 1 +1 +1 3 en completo acuerdo con el c´alculo anterior. Ejercicio 287 Hallar la distancia del punto (1, 2, 7) al plano de ecuaci´on reducida 2x + 3y + 6z = 1.

♣

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

240

Ejercicio 288 Hallar la distancia del punto (9, 0, 7) al plano de ecuaciones param´etricas   x = 1 − 4ν, y = 1 − µ + ν,  z = 1 + µ + ν,

El producto escalar es una herramienta potente para realizar diversas construcciones geom´etricas. Nuestro pr´oximo ejemplo ilustra otra posibilidad. Ejemplo 113 Consideraremos el plano α el plano de ecuaci´on x+y+z =1 y la recta r de ecuaciones param´etricas   x = 3 + 3λ, y = 3 + 2λ,  z = 1 + λ.

Nuestro objetivo es caracterizar la proyecci´on de la recta r sobre el plano α. Un punto gen´erico de la recta es P = (3 + 3λ, 3 + 2λ, 1 + λ).

El producto escalar nos ha permitido construir un procedimiento general para proyectar cualquier punto del espacio sobre el plano α, que podemos aplicar al punto P . Para aplicarlo necesitamos un punto Q cualquiera en α. Elegimos Q = (1, 0, 0). ~ , que puede extraerse de la ecuaci´on del plano, como Un vector normal N ~ = (1, 1, 1). N Obviamente

~ |2 = N ~ ·N ~ = 3. |N

Para proyectar P calculamos la diferencia P − Q = (2 + 3λ, 3 + 2λ, 1 + λ) y el producto escalar

~ = 6 + 6λ. (P − Q) · N

La proyecci´on de P sobre α es P ′ = (3 + 3λ, 3 + 2λ, 1 + λ) −

6 + 6λ (1, 1, 1). 3

Haciendo los c´alculos resulta P ′ = (1 + λ, 1, −1 − λ),

5.6. PERPENDICULARIDAD Y ECUACIONES DE PLANOS

241

que tambi´en puede escribirse en la forma P ′ = (1, 1, −1) + λ(1, 0, −1), que hace evidente que la proyecci´on de r es la recta que pasa por (1, 1, −1) y tiene a (1, 0, −1) como vector director. Independientemente de c´omo se haya construido la proyecci´on, es conveniente comprobar que todos los puntos de la recta satisfacen la ecuaci´on del plano. En nuestro caso sustituimos las coordenadas (x, y, z) de P ′ en el miembro de la izquierda de la ecuaci´on del plano: (1 + λ) + 1 + (−1 − λ) = 1, que resulta ser igual al miembro de la derecha. De modo que la recta est´a incluida en el plano. Podemos calcular tambi´en la diferencia P − P ′ = (3 + 3λ, 3 + 2λ, 1 + λ) − (1 + λ, 1, −1 − λ) = 2(1 + λ)(1, 1, 1).

(5.49)

Vemos que esta diferencia es siempre colineal con la normal al plano, lo que es consistente con la idea de que P ′ es la proyecci´on de P sobre el plano. De hecho, una vez que sabemos que cada punto P ′ est´a en el plano α y que la diferencia P − P ′ es normal al plano podemos estar completamente seguros de que hemos calculado bien, porque estas dos condiciones son equivalente a que P ′ sea la proyecci´on de P sobre α. Todav´ıa es posible hacer una observaci´on adicional. La f´ormula (5.49) revela que los puntos P y P ′ coinciden cuando λ = −1. Para este valor de λ tenemos P = P ′ = (0, 1, 0), que es la intersecci´on de la recta r con α. Para otros valores, la diferencia P − P ′ es proporcional a λ + 1 = λ − (−1)

que es el incremento del par´ametro λ a partir del valor en el que estamos en la intersecci´on con el plano. Hay otros procedimientos para hacer esta construcci´on, los dos ejercicios siguientes ilustran dos posibilidades. Ejercicio 289 Mostrar que el plano β de ecuaciones param´etricas   x = 3 + 3µ + ν, y = 3 + 2µ + ν,  z = 1 + µ + ν,

es el plano que contiene a r y es perpendicular a α. Usar este plano para construir la proyecci´on de r sobre α. Ejercicio 290 Calcular la intersecci´on P de r con α. Identificar otro punto Q de r y calcular su proyecci´on sobre Q′ sobre α. Determinar la proyecci´on de r sobre α como la recta que pasa por P y Q′ . ♣

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

242

5.6.3.

Ecuaciones param´ etricas y vectores normales

Las ecuaciones reducidas de los planos aparecieron por primera vez en la secci´on 5.3, como una condici´on que nos permit´ıa resolver el sistema de ecuaciones param´etricas para construir a partir de ellas cada punto (x, y, z) en el plano. En esta secci´on, hemos reinterpretado las ecuaciones param´etricas en t´erminos del vector normal. Mostraremos ahora c´omo calcular directamente un vector normal a partir de un par de vectores directores. La manera de hacerlo ser´a trabajar de manera muy sistem´atica con las ecuaciones param´etricas   x = x0 + µu1 + νv1 , y = y0 + µu2 + νv2 , (5.50)  z = z0 + µu3 + νv3 , de un plano gen´erico α que contiene al punto

P0 = (x0 , y0 , z0 ) y tiene un par de vectores directores ~ = (u1 , u2 , u3 ), U

V~ = (u1 , u2 , u3 ).

~ y V~ no son colineales, que es una condici´on geom´etrica Asumiremos que los vectores U necesaria para poder construir un plano a partir de ellos. Un punto P = (x, y, z) pertenece al plano α si y solo si el sistema de ecuaciones   µu1 + νv1 = x − x0 , µu2 + νv2 = y − y0 ,  µu3 + νv3 = z − z0 , admite una soluci´on (µ, ν). Si el sistema tiene soluci´on, la variable ν tiene que satisfacer la ecuaci´on ν(u2 v1 − u1 v2 ) = u2 (x − x0 ) − u1 (y − y0 ), que resulta de multiplicar la primera ecuaci´on por u2 , la segunda por −u1 y sumar. Esta ecuaci´on es m´as simple que cualquiera de las tres ecuaciones originales, porque solo interviene en ella la inc´ognita ν. Hay otras dos ecuaciones posibles de este tipo, que se obtienen eliminando µ entre la segunda y tercera ecuaci´on y entre la tercera y la primera. Para no privilegiar ninguna pareja de ecuaciones sobre las dem´as y mantener la simetr´ı entre ellas, tambi´en sumaremos la segunda multiplicada por u3 a la tercera multiplicada por −u2 , sumaremos la tercera multiplicada por u1 a la primera multiplicada por −u3 y conservaremos las tres ecuaciones resultantes. Obtenemos   ν(u2 v1 − u1 v2 ) = u2 (x − x0 ) − u1 (y − y0 ), ν(u3 v2 − u2 v3 ) = u3 (y − y0 ) − u2 (z − z0 ),  ν(u1 v3 − u3 v1 ) = −u1 (z − z0 ) − u3 (x − x0 ). El siguiente paso para conseguir por este procedimiento una condici´on de compatibilidad del sistema es eliminar ν. Conseguiremos esto multiplicando la primera ecuaci´on por v3 , la segunda por v1 y la primera por v2 . Obtenemos

0 = u2 v3 (x − x0 ) − v3 u1 (y − y0 ) + u3 v1 (y − y0 ) − v1 u2 (z − z0 ) + u1 v2 (z − z0 ) − v2 u3 (x − x0 ).

5.6. PERPENDICULARIDAD Y ECUACIONES DE PLANOS

243

Reordenando esta expresi´on la escribimos como (u2 v3 − v2 u3 )(x − x0 ) + (u3 v1 − v3 u1 )(y − y0 ) + (u1 v2 − v1 u2 )(z − z0 ) = 0.

(5.51)

La forma en que hemos derivado esta ecuaci´on implica que es una condici´on necesaria para ~ y V~ no son colineales, el vector que el punto (x, y, z) est´e en el plano. Como U ~ = (u2 v3 − v2 u3 , u3 v1 − v3 u1 , u1 v2 − v1 u2 ) N (5.52)

formado por los coeficientes de la ecuaci´on (5.51) es distinto del vector nulo (0, 0, 0) (ver la parte 1 del ejercicio 1, en la p´agina 243). Por lo tanto, alguno de los coeficientes de la ecuaci´on (5.51) es diferente de cero, la ecuaci´on (5.51) es efectivamente la ecuaci´on de un plano que no puede ser otro que el plano α con ecuaciones param´etricas (5.50) y el vector ~ en (5.52) es un vector normal al plano. N ~ puede calcularse directamente a partir de las coordenadas de los Observemos que N ~ y V~ . vectores directores U Ejemplo 114 En los ejemplos 89 y 90 de la secci´on 5.3 consideramos el plano α que pasa por el punto P = (0, −1, 1) y tiene a U = (1, −2, −1) y V = (−1, 3, 1) como vectores directores y encontramos que tiene la ecuaci´on reducida x + z = 1. Aplicaremos ahora la ecuaci´on (5.51) a este ejemplo. Comenzamos por calcular los coeficientes u2 v3 − v2 u3 = −2 × 1 − 3 × (−1) = 1, u3 v1 − v3 u1 = −1 × (−1) − 1 × 1 = 0, u1 v2 − v1 u2 = 1 × 3 − (−1) × (−2) = 1. Con ellos formamos la ecuaci´on 1 × (x − 0) + 0 × (y − (−1)) + 1 × (z − 1) = 0,

en la que, luego de algunas sencillas operaciones, reconocemos la ecuaci´on reducida x+z =1 que ya hab´ıamos encontrado para este plano.

♣

Ejercicio 291 Usando el m´etodo de calcular un vector normal a partir de los vectores directores, hallar una ecuaci´on reducidas para el plano α de ecuaciones param´etricas   x = −1 + λ − µ, y = 2 + λ + µ, (5.53)  z = −1 − λ − 2µ. Comparar el resultado con el obtenido al resolver el ejercicio 243, p´agina 213. Ejercicio 292 Dados los vectores ~ = (u1 , u2 , u3 ), U

V~ = (v1 , v2 , v3 ),

definimos W = (u2 v3 − v2 u3 , u3 v1 − v3 u1 , u1 v2 − v1 u2 )

~ y V~ son colineales. 1. Mostrar que el vector (5.52) es el vector nulo (0, 0, 0) si y solo si U ~ y V~ . 2. Mostrar que W siempre es ortogonal a U

CAP´ITULO 5. GEOMETR´IA

244

5.6.4.

Ejercicios adicionales

Ejercicio 293 Sea α el plano de ecuaci´on 2x + 3y − z = 1 y P el punto (0, −4, 1). 1. Hallar la distancia de P a α. 2. Hallar la proyecci´on de P sobre α (es el punto de α m´as cercano a P ). 3. Hallar el punto sim´etrico de P respecto al plano α. Ejercicio 294 Sea α el plano de ecuaciones param´etricas   x = 7 + λ − µ, y = 4 + 2λ,  z= 3λ + µ,

y P el punto (9, 6, 2). Calcular la distancia de P a α y hallar el punto de α que est´a m´as pr´oximo de P . Hallar los valores de λ y µ que en las ecuaciones param´etricas del plano corresponden a ese punto. Ejercicio 295 Sea α el plano de ecuaci´on x−y+z =1 y r la recta de ecuaciones param´etricas   x = 4 + 3λ, y = 1 + 1λ,  z = 1 + λ,

1. Hallar ecuaciones param´etricas y reducidas de la recta r′ que es la proyecci´on de r sobre el plano α.

2. Hallar la proyecci´on sobre α del punto (4, 1, 1) y la intersecci´on de r con α. Verificar que ambos puntos pertenecen a la recta r′ . Ejercicio 296 Sea α el plano de ecuaci´on x + 2y + 3z = 1 y r la recta de ecuaciones param´etricas   x = 3 + λ, y = 4 + 2λ,  z = 6 + 3λ,

Hallar la proyecci´on sobre α de la recta r.

5.6. PERPENDICULARIDAD Y ECUACIONES DE PLANOS

245

Ejercicio 297 Sea α el plano de ecuaci´on x + 2y + 3z = 1 y r la recta de ecuaciones param´etricas   x = 3 − λ, y = 4 − λ,  z = 6 + λ,

Hallar la proyecci´on sobre α de la recta r y determinar la distancia entre el plano α y la recta r. Ejercicio 298 Sea α el plano de ecuaciones param´etricas   x = 2 + 3λ − µ, y = −1 + 2λ,  z= 2λ − µ,

y β el de ecuaci´on reducida

2x − 5y + 2z = 20. 1. Hallar la distancia entre los planos α y β. 2. Hallar ecuaciones param´etricas y reducidas de un plano γ diferente de β que tambi´en sea paralelo a α y est´e a la misma distancia que β.