El  Producto  escalar  para  “las     comunicaciones”  (parte  1)   Luca  Mar9no   Apuntes  no  revisados   Cuidado!  

Producto  Escalar    

•  El  “producto  escalar”,  también  conocido  como  “producto   interno”  o  “producto  punto”,  es  una  operación  matemá9ca     definida  sobre  dos  elementos  cuyo  resultado  es  un  número   (un  escalar).  

Producto  Escalar  (def.  genérica)   •  El  producto  escalar  entre  2  genéricos  elementos  x  y  z,  9ene   las  siguientes  propiedades:     1.  Definido  Posi9vo  

< x, x >= 0

< x, x > ≥ 0

El  producto  escalar   dado  2  elementos  nos   proporciona  un   numero,  un  escalar.  

Si  y  solo  si  x=0  

< x,z >= es un valor escalar

2.  Hermi9cidad  (simetría  en  campo  real)  

€

€

< x,z >= (< z, x >) *

3.  Linealidad  

€

< ax + by,z >= a < z, x > +b < y, x >

€

Producto  Escalar  entre  vectores   •  Consideremos  2  vectores  de  dimensión  N    

 x = [a1,a2 ,....aN ]  z = [b1,b2 ,....bN ] •  Un  posible  producto  escalar  en  este  caso  es      

€

N

 < x, z >= ∑ aibi = a1b1 + a2b2 + ....+ aN bN

ai y bi valores reales

i=1 N

N

 < x, z >= ∑ aibi* i=1

  2 < x, x >= x = ∑ ai2 €

valores complejos

i=1

Producto  Escalar  entre  vectores   •  Consideremos  ahora  2  vectores  de  dimensión  2    

 x = [a1,a2 ]  z = [b1,b2 ]

 < x, z >= a1b1 + a2b2

b2 a2

€

€

€ €

€

 x

a1€

 z

b1

Producto  Escalar  entre  vectores   •  Hay  otra  manera  de  expresarlo  

 < x, z >= a1b1 + a2b2 =   < x, z >= x z cos ϑ  x = a12 + a22€  2 2 z = b1 + b2 € €

 x

€

 x = [a1,a2 ]  z = [b1,b2 ]

 z

ϑ

 x cosϑ € €

Por  esto  si  los  vectores  son  ortogonales   (cosϑ = 0)

 < x, z >= 0

€

 z cosϑ

 z

 x

ϑ €

€

 € π x ϑ= 2 €

 z

Producto  Escalar  con  un  vector  unitario   •  Si  un  vector  es  unitario  por  ejemplo    

 z =1   < x, z >= x ⋅ 1⋅ cosϑ =  = x cosϑ

€

€

• 

€

 x

 z

ϑ  x cosϑ €

 En  este  caso  el  producto   escalar   € coincide  con  la  proyección  de    x    sobre    z        donde      z          =        1    .         € €

€

€

€

Producto  Escalar  con  vectores   unitarios  (base  ortonormal)   •  Los  ejes  en   un  sistema   de  referencia   están  definidos  por  vectores      unitarios   v1 = 1 v 2 = 1 < v1, v 2 >= 0

  < x, v1 >= x ⋅ 1⋅ cosϑ1 =  = x cos € € ϑ1 = €a1   < x, v 2 >= x ⋅ 1⋅ cosϑ 2 =  € = x cosϑ 2 = a2

• 

 x

a2  v 1 2

ϑ2

ϑ1 € €

€

 v1 1

a1

€ €   En  este  caso  el  producto  escalar  de    x        con  v      1    y  v      2    coincide  con  las   € a    x      .       coordenadas  del  punto  correspondiente   < x, v1 >= a1 €  < x, v 2 >= a2 € € € €

Base  ortonormal   •  Este  concepto  es  muy  importante,  pues,  lo  vamos  a  evidenciar.   •  Dada  una  base  ortonormal  (vectores  ortogonales  y  unitarios)       < v v1 = 1 v 2 = 1 1, v 2 >= 0

 •  Un  vector  genérico    x      =        (  a    1    ,a      2    )    se  puede  expresar  así:  

€

€

  €  € x = ( < x, v1 >,< x, v 2 >)

 < x, v€1 >= a1  < x, v 2 >= a2

 x

a2  v 1 2

ϑ2

ϑ1

€

€

 v1 1

a1

€ es  un  c€oncepto  muy  importante.   •  Lo  repe9mos  porque   €

€

€

€

Producto  Escalar  entre  vectores  infinitos     •  Se  podría  incluso  pensar  a  unos  vectores  infinitos   N

 x = [a1,a2 ,a3 ,....,ai ,...]  z = [b1,b2 ,b3 ,....,bi ,...]

→+∞

Pensar  a  señales  discretas  infinitas   (un  tren  de  deltas  infinito).  

€

•  Y  claramente  el  producto  escalar  pasará  a  ser  una  serie  (suma   infinita)   ∞

 < x, z >= ∑ aibi = a1b1 + a2b2 + ....+ aibi + .... i=1

•  En  este  caso  se  pone  el  problema  de  convergencia  de  la  serie.  Es   decir,  en  general,  esta  suma  podría  divergir  a  infinito.  La    convergencia  dependerá  si  la  “señales  discretas”    x      y    z        9enen   “energía  finita”.    

Producto  Escalar  entre  matrices   •  Para  evidenciar  que  el  producto  escalar  puede  ser  definido  sobre   elementos  de  diferente  9po,  como  ejemplo  damos  una  la   definición  de  un  producto  escalar  entre  matrices  llamado   “producto  interno  de  Frobenius”.   •   Dada  2  matrices  A,  B  de  dimensiones   n × m

[ ]

A = aij

[ ]

B = bij

i = 1,....,n j = 1.....,m

€

•  El  producto  escalar  de  Frobenius  está  definido  como    

€

n

m

m

n

T T € < A,B >= tr(AB ) = tr(BA ) = ∑ ∑ aij bij = ∑ ∑ aij bij € i=1 j =1

j =1 i=1

€

Producto  Escalar  entre  matrices            Claramente,  este  producto  escalar  respecta  las  propiedades   definidas  en  las  primeras  trasparencias.     •  Ejemplo  

⎡1 6 3 ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣7 1 4 ⎦

⎡8 2 1 ⎤ B = ⎢ ⎥ ⎣0 5 9 ⎦

< A,B >= 1⋅ 8 + 6⋅ 2 + 3⋅ 1+ 7⋅ 0 +1⋅ 5 + 4⋅ 9 = 64 Solo  para  comprobar  la  definición  podemos  calcular  

€

⎡23€ 57 ⎤ T AB = ⎢ ⎥ ⎣62 41⎦ T

tr(AB ) = 23 + 41 = 64

⎡23 62 ⎤ BA = ⎢ ⎥ ⎣57 41⎦ T

T

tr(BA ) = 23 + 41 = 64

Producto  Escalar  entre  funciones   (señales  con9nuas)   •  Ahora  consideraremos  señales  de  energía  finita,  es  decir  

∫

+∞

2

x(t) dt < +∞ −∞

Para  señales  a  valores  complejos  

Que  se  reduce  a   +∞ 2

∫

x(t) dt < +∞

−∞  para  señales  a  valores  reales  

€

•  En  este  caso  el  producto  escalar  está  definido  como  

< x(t),z(t) >=

€

< x(t),z(t) >= €

∫

+∞

x(t)z * (t)dt −∞

∫

+∞

x(t)z(t)dt € −∞

señales a valores complejos

señales a valores reales

Función  de  correlación  como  Producto   Escalar     •  Para  señales  de  energía  finita,  

∫

+∞

2

x(t) dt < +∞ −∞

•  La  correlación  entre  2  señales  está  definida  como  

RXZ (τ ) = € €

∫

+∞ −∞

señales a valores complejos

x(t)z * (t − τ )dt

•  Esto  es  claramente  un  producto  escalar  entre  una  señal  y  la  otra   desplazada,   €

RXZ (τ ) =< x(t),z * (t − τ ) >=

∫

+∞

x(t)z * (t − τ )dt −∞

Función  de  correlación  como  Producto   Escalar     •  La  autocorrelación  queda    

RX (τ ) =< x(t), x * (t − τ ) >=

€

∫

+∞

x(t)x * (t − τ )dt −∞

Convolución  como  producto  escalar     •   Sabemos  que  la  convolución  entre  2  señales  está  definida   como  

CXY (τ ) = x(t) ∗ y(t) =

∫

+∞ −∞

x(t)y * (τ − t)dt

•  Se  puede  ver  como  un  producto  escalar  

€

€

CXY (τ ) =

∫

+∞ −∞

x(t)y * (τ − t)dt =< x(t), y * (τ − t) >

Transformada  de  Fourier  como   Producto  Escalar     •   La  trasformada  de  Fourier  está  definida  (una  de  las  muchas   posible  definiciones)  

F( f ) =

∫

+∞ −∞

x(t)e

− j 2πft

dt

•  Podemos  expresarlo  como  producto  escalar  entre      x(t)                  y  la   exponencial  compleja    e   j 2πft

€

F( f ) =< x(t), (e

€

j 2πft

)

*

>

∫

+∞

x(t)e −∞ €

− j 2πft

dt

Recordar  que   está  el   conjugado!  

•   En  termino  de  senos  y  cosenos  seria    

€

F( f ) =< x(t),cos(2πft) > − j < x(t),sin(2πft) >

Significado  del  Producto  Escalar     •   El  producto  escalar,  en  un  cierto  sen9do,  mide  el  parecido  entre   dos  vectores/funciones/  señales.   •  El  producto  escalar  compara  dos  vectores/funciones/señales.   •  Cuando  2  elementos  son  ortogonales  (producto  escalar  nulo)   podemos  afirmar  que  son  LINEALMENTE  INDEPENDIENTES  (es   decir,  NO  CORRELACIONADOS).   •  La  correlación  (y  la  autocorrelación)  es  un  producto  escalar  entre   versiones  desplazadas  de  las  señales.   •  La  trasformada  de  Fourier  mide  el  parecido  entre  la  señal  y  un   seno  y  un  coseno  (a  frecuencia  establecida),  a  través  de  un   producto  escalar.  

Pequeño  resumen   •   Hemos  visto  diferentes  productos  escalares  entre  2  elementos:   Tipo  elemento  

Producto  escalar  

Vectores  finitos  

Suma  finita  entre   las  coordenadas    

Vectores  infinitos   (señales  discretas)   Matrices  (finitas)   Funciones  (señales   con9nuas)  

Formula   N

∑a b

* i i

i=1

Suma  infinita  entre   las  coordenadas   (serie)   € Doble  suma  entre   las  coordenadas   € Integral  del   producto  de  las   funciones   €

€

+∞

∑a b

* i i

i=1 n

m

∑∑ a b

* ij ij

i=1 i=1

∫

+∞ −∞

x(t)z * (t)dt