SIGMA 33

EL RINCÓN OLÍMPICO Pedro Alegría (*) En esta ocasión ofrecemos las soluciones de los problemas publicados en el número 31 de la revista (correspondiente a noviembre de 2007) los cuales fueron propuestos en el concurso “Problemas con premio” de la sexta edición de la “Zientzia astea” celebrado entre los días 7 y 10 de noviembre de 2007 en Bilbao. Después proponemos una nueva lista de problemas de dificultad variable.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS ANTERIORES 13) U  n padre, al morir, dejó establecido que el hijo mayor recibiría 10.000 € más la quinta parte del resto. El siguiente recibiría 20.000 € más la quinta parte del nuevo resto. Del mismo modo, cada hijo iría recibiendo 10.000 € más que el anterior y la quinta parte del resto. Al final, todos recibieron igual cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno? Llamemos x al total de la herencia. Si el hijo mayor recibe x1, entonces

Del mismo modo, si x2 es la cantidad recibida por el siguiente hijo,

Como todos los hijos reciben la misma cantidad, riores, llegamos a de donde

. Igualando las dos ecuaciones ante-

. Por tanto, habrá cuatro hijos y cada uno recibe 40.000 €.

14) U  n nadador tarda 5 minutos en nadar entre dos islas de un río, ayudado por la corriente. Al regresar, nadando contra corriente, tarda 15 minutos. ¿Cuánto tardaría si no hubiese corriente en el río? Si llamamos d a la distancia entre las dos islas, v a la velocidad del nadador y c a la velocidad de la corriente, los datos del problema nos llevan a de donde 10 v = 20 c, es decir c = v/2. Al sustituir este valor, resulta

, con lo que t = d/v = 15/2.

Así pues, si no hubiera corriente, el nadador tardaría 7 minutos y medio.

(*) Dpto. Matemáticas. Universidad del País Vasco.

Diciembre 2008 • 2008ko Abendua

181

Pedro Alegría

15) E n medio de una laguna circular de 3 m. de diámetro crece un junquillo que sobresale 30 cm. del agua. Cuando se inclina hasta que le cubre el agua alcanza justamente la orilla de la laguna. ¿Qué profundidad tiene el agua? Si llamamos x cm a la profundidad del agua (la cual equivale a la porción del junquillo que queda por debajo del agua cuando éste está recto), al inclinarse hasta alcanzar la orilla se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide x + 0,3 cm y los catetos miden x y 1,5 cm. Por el teorema de Pitágoras,

, de donde x = 3,75 cm.

16) U  na persona sube una montaña a una velocidad de dos kilómetros por hora y la baja a una velocidad de 6 kilómetros por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio del trayecto completo? Si llamamos x a la longitud de la montaña, y a los tiempos que tarda en subir y bajar, res. pectivamente, podemos escribir x = 2·t1 = 6·t2, de donde La velocidad promedio del trayecto de subida y bajada será igual a kilómetros por hora. Es un error habitual calcular la velocidad promedio sumando los valores de la velocidad de subida y de bajada y dividiendo el resultado por dos. Sin embargo, cuando las velocidades son distintas, el tiempo que se tarda en cada trayecto también es distinto y no es correcta esta operación. 17) S e considera un número de cuatro cifras distintas A, B, C, D. Entre las 24 posibles permutaciones de dicho número se encuentran: 4 números primos, 7 productos de dos primos impares, 1 cuadrado de un primo, 8 números divisibles por dos pero no por cuatro, dos números divisibles por 4 pero no por 8, un número divisible por 8 pero no por 16 y un número divisible por 16. ¿Cuáles son las cifras A, B, C, D? Los posibles cuadrados de un número primo que tienen cuatro cifras son 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Entre ellos, eliminamos los números 41, 47, 67, 83 y 97 porque su cuadrado contiene cifras repetidas. Al haber ocho múltiplos de dos, al menos dos de las cifras deben ser pares. Esto elimina los números primos 37, 61, 73 y 89. Como existen 7 productos de dos primos impares, la solución no puede tener más de dos cifras pares. Esto elimina los números primos 53 y 79. Sólo quedan los casos 432 = 1849 , 592 = 3481 y 712 = 5041. En el primer caso, las dos permutaciones 1984 y 9184 son múltiplos de 16; en el tercer caso, las permutaciones 1504 y 5104 son múltiplos de 16. La única solución posible es el número cuyas cifras son 1, 3, 4 y 8. Se comprueba fácilmente que cumple todas las condiciones del enunciado.

182

SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.

El rincón olímpico

18) Se encuentran dos amigos en la calle. Mantienen el siguiente diálogo: -“¿Cuántos hijos tienes?“ -“Son menos de cinco y el producto de sus edades es igual al doble de su suma.” -“Bien, pero necesito más información.” -“Mi esposa dio a luz el año pasado.” -“Todavía no es suficiente.” -“Cierto, la edad de mi hijo mayor es igual al número de este portal.” -“Bien, eso ayuda pero no basta.” -“Los dos medianos …” -“¡Basta! Ya sé cuántos hijos tienes y cuáles son sus edades.” ¿Qué edades tienen? En primer lugar, la primera información es insuficiente porque, al menos, hay dos posibilidades: dos hijos de edades 3 y 6 años (o dos gemelos de 4 años), o bien 3 hijos de edades 1, 3 y 8 años. Si la esposa dio a luz el año pasado, uno de los hijos tiene un año. Aún así, la información es insuficiente porque podemos encontrar al menos dos casos: tres hijos de edades 1, 3 y 8 años, o bien cuatro hijos de edades 1, 2, 2 y 5 años. Nuevamente, debe haber al menos dos soluciones en las cuales el mayor tenga el mismo valor. Resulta que el número del portal es el cinco porque existen las dos soluciones 1, 4, 5 y 1, 2, 2, 5. Por último, al hablar de los dos medianos, se desecha la solución 1, 4, 5 y queda como única alternativa que se trata de cuatro hijos de edades 1, 2, 2 y 5 años. 19) E n una partida de dominó, los cuatro jugadores, A, B, C, D han colocado dos fichas cada uno. Las dos fichas colocadas por A suman 23, las colocadas por B suman 20, las colocadas por C suman 18 y las colocadas por D suman 16. La siguiente ficha que coloca A es el 6-2. ¿Cuáles han sido las ocho primeras fichas colocadas y en qué orden? Es inmediato deducir que las fichas de A son (6,6) y (6,5); las de B son (6,4) y (5,5); las de C son (6,3) y (5,4); y las de D son (5,3) y (4,4). Se ve fácilmente que, si A empieza colocando la ficha (6,6), las jugadas sucesivas no permiten colocar todas las fichas indicadas. Así pues, las primeras cuatro fichas colocadas son (6,5) – (5,5) - (5,4) – (4,4). A continuación, A coloca (6,6), B coloca (4,6) (tapando el cuatro), C la ficha (6,3) y D la ficha (3,5). 20) La colección infinita de números 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, ... se ha formado de la siguiente manera: se coloca el primer impar (1), luego se colocan los siguientes dos pares (2,4), después los tres impares siguientes al último par colocado (5,7,9), luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó y así sucesivamente. ¿Cuál es el número par más cercano a 2007 que aparece en la colección?

Diciembre 2008 • 2008ko Abendua

183

Pedro Alegría

Al construir la sucesión se observa que cada secuencia de impares termina en el cuadrado de un número impar y que la secuencia de pares termina en el cuadrado de un número par. Como el número 2.007 está comprendido entre 442 = 1936 y 452 = 2.025, los pares de la colección más próximos son 1.936 y 2.026. De ellos el más cercano es 2.026. 21) H  e comprado un billete de lotería con cuatro cifras. Si coloco la primera cifra en último lugar, el número obtenido es una unidad mayor que los ¾ del número original. ¿Cuál es el número del billete? Si llamamos N al número del billete, podemos escribir N = 1000 a + 100 b + 10 c + d. De acuerdo al enunciado, ¾ N + 1 = 1000 b + 100 c + 10 d + a, de donde 3 N + 4 = 4000 b + 400 c + 40 d + 4 a. Sustituyendo el valor de N en esta última ecuación, resulta 2996 a + 4 = 3700 b + 370 c + 37 d = 37 (100 b + 10 c + d). Así pues, 2996 a + 4 debe ser múltiplo de 37. El único valor posible es a = 4. Entonces 324 = 100 b + 10 c + d. El número del billete ha de ser 4.324. 22) S obre una mesa circular hay colocadas varias cartas de una baraja, todas del mismo palo. Se observa que la suma de los valores de tres cartas consecutivas es igual, o se diferencia en uno, a la suma de otras tres cartas cualesquiera pero consecutivas. Si la carta más alta es un 10, la carta más baja es un 2 y el 6 está entre ellas, ¿cuál es la disposición de todas las cartas? Una posibilidad trivial es que haya tres cartas, precisamente las indicadas, 2 – 6 – 10. Si hay más de tres cartas, cada cuatro cartas consecutivas a, b, c, d deben verificar Por tanto, en una unidad.

Es decir, dos cartas separadas entre sí por otras dos deben diferenciarse

En particular, si hubiera sólo cuatro cartas, cada dos cartas consecutivas deben diferenciarse en una unidad, lo cual no es posible si están el 2, el 6 y el 10. Con cinco cartas, tenemos las siguientes opciones: • Si el 6 está entre el 2 y el 10, dos lugares antes del 10 debe estar el 9 y dos lugares después del 2 debe estar el 3. La disposición sería pues 9 – 2 – 6 – 10 – 3 la cual no es posible porque hay tres posibles sumas, 9+2+6=17, 2+6+10=18, 6+10+3=19. • Si el 10 está entre el 2 y el 6, a continuación del 6 debe estar el 3. Las sumas posibles con estos valores son 18 y 19. Por tanto, dos lugares antes del 6 tendrá que estar el 7 (no puede estar el 5 porque 5+2+10=17). La disposición sería 7 – 2 – 10 – 6 – 3, la cual tampoco es posible porque 3+7+2=12.

184

SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.

El rincón olímpico

• Si el 2 está entre el 6 y el 10, el mismo razonamiento anterior nos conduce a la disposición 3 – 9 – 6 – 2 – 10 la cual tampoco es válida. Con seis cartas, se puede realizar el mismo razonamiento anterior. Así: • Si el 6 está entre el 2 y el 10, tendríamos la secuencia 9 – 2 – 6 – 10 - 3 – x, con x igual a 5 ó 7. Como encontramos tres posibles sumas, esta disposición no es válida. • Si el 2 está entre el 6 y el 10, tendríamos la secuencia 3 – 9 – 6 – 2 – 10 – x, con x igual a 5 ó 7. Cuando x = 5, se obtiene un resultado válido 3 – 9 – 6 – 2 – 10 – 5. • Si el 10 está entre el 2 y el 6, tendríamos la secuencia 2 – 10 – 6 – 3 – 9 – x, de nuevo con x igual a 5 ó 7. En este caso, si x = 7, un resultado válido es 2 – 10 – 6 – 3 – 9 – 7. Un razonamiento similar indica que no es posible encontrar secuencias válidas con más de seis cartas. De modo que las tres soluciones anteriores son las únicas. 23) L as manecillas de un reloj miden 2 y 3 cm. Si se unen sus extremos se forma un triángulo. Halla el área del triángulo en función del tiempo y la hora, entre las 12 y las 12 y media, en la que dicha área es máxima.

Sabemos que el minutero recorre 360º al cabo de una hora. Por tanto, al cabo de t minutos habrá recorrido un ángulo de

Por otra parte, como la aguja horaria recorre 30 grados

en una hora, al cabo de t minutos habrá recorrido un ángulo de t/2. Así pues, el ángulo que forman las dos agujas es 11t/2. Como dos lados del triángulo miden 2 y 3 cm y el ángulo entre ellos es 11t/2, el área del triángulo vale

.

Dicha área será máxima cuando

, es decir

. Deducimos así que, a las

12:16:21 el área es máxima.

Diciembre 2008 • 2008ko Abendua

185

Pedro Alegría

24) E n la final de un torneo de ajedrez participan un ruso y un americano. El torneo se acaba cuando uno de ellos gana dos partidas. La probabilidad de que el ruso gane una partida es 3/10, la de que gane el americano es 2/10 y la probabilidad de quedar en tablas es ½. ¿Cuál es la probabilidad de que el americano gane el torneo? Como las partidas que quedan en tablas no cuentan para el resultado del torneo, se pueden desechar. Así pues, de cada cinco partidas, el ruso gana 3 y el americano gana 2. Podemos asignar los valores p = 3/5 y q = 2/5 a las probabilidades que tiene el ruso y el americano de ganar una partida, respectivamente. El americano ganará el torneo en alguno de los siguientes casos: gana-gana; gana-pierde-gana; pierde-gana-gana. La probabilidad de ganar el torneo será pues: q·q + q·p·q + p·q·q = 2/5·2/5 + 2/5·3/5·2/5 + 3/5·2/5·2/5 = 44/125.

ENUNCIADOS DE LOS NUEVOS PROBLEMAS Más fáciles 25) T  enemos dos toneles iguales, el primero lleno de alcohol y el segundo lleno de agua. Se pasa una cucharita de alcohol del primer tonel al segundo y se mezcla bien, y después se pasa una cucharita de líquido de la mezcla del segundo tonel al primero. ¿Hay ahora más agua en el tonel de alcohol que alcohol en el tonel de agua o al revés? 26) E n cierto poblado africano viven 800 mujeres. El tres por ciento de ellas llevan un pendiente. Del otro 97 por ciento restante, la mitad llevan dos pendientes y la otra mitad no lleva ninguno. ¿Cuántos pendientes llevan en total todas las mujeres? 27) El año 1971 una persona afirmó: - Yo tenía n años en el año n2. ¿Cuál fue el año de nacimiento de dicha persona? 28) C  on dos relojes de arena, uno de siete minutos y otro de 11 minutos de duración, ¿cuál es la forma más rápida de calcular los 15 minutos necesarios para cocer un huevo?

Intermedios 29) T  res personas, Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en un reunión. La dama comenta: - Es curioso que nuestros apellidos sean Blanco, Rubio y Castaño y que nos hayamos reunido tres personas con ese color de pelo. - Sí, –dijo la persona de pelo rubio– pero nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido. - Es verdad –dijo quien se apellidaba Blanco–. Si la dama no tiene el pelo castaño, ¿de qué color es el pelo de Rubio? 30) U  tilizando una escalera mecánica para bajar a la estación del Metro y andando con paso regular, observo que necesito 50 escalones para bajar. Si luego vuelvo a subirla corriendo, a una velocidad 5 veces mi paso normal anterior, compruebo que necesito

186

SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.

El rincón olímpico

125 escalones para llegar arriba. ¿Cuántos escalones visibles tiene la escalera mecánica cuando se encuentra parada? 31) D  os tenistas, llamémosles Ramón y Roberto, jugaron nueve partidos de tenis, alternando en cada partido el primero que saca. Ramón ganó 6 y Roberto 3. Cinco de los partidos los ganó el jugador que no empezó sacando. ¿Quién empezó sacando el primer partido? 32) S obre una mesa están colocadas tres cartas en fila. Sabemos que a la derecha de un rey hay una o dos sotas. A la izquierda de una sota hay una o dos sotas. A la izquierda de una carta de oros hay una o dos cartas de espadas. A la derecha de una carta de espadas hay una o dos cartas de espadas. ¿Cuáles son las tres cartas?

Menos fáciles 33) ¿ Existe alguna potencia de 2, que al escribirla en el sistema decimal tenga todos sus dígitos distintos de cero y sea posible reordenar los mismos para formar con ellos otra potencia de 2 distinta? Justificar la respuesta. 34) L os dos lados iguales de un triángulo isósceles miden una unidad. ¿Cuál será la longitud del tercer lado para que el área del triángulo sea máxima? 35) ¿ Es posible construir un cubo de dimensiones 6 x 6 x 6 utilizando 27 ladrillos iguales de dimensiones 1 x 2 x 4? 36) E l matrimonio formado por Juan y Alicia asistió a una fiesta en la que se encontraron a otros cuatro matrimonios. Durante las presentaciones se estrecharon varias manos, en las que nadie estrechó la mano de su pareja ni estrechó más de una vez la mano a una misma persona. Al final de las presentaciones Juan preguntó a todos los asistentes, incluyendo a su esposa, el número de manos que había estrechado. Sorprendentemente, todos dieron una respuesta diferente. ¿Cuántas manos estrechó Alicia?

Diciembre 2008 • 2008ko Abendua

187