Modelo de Ebers-Moll para transistores de unión bipolar El transistor es un dispositivo no lineal que puede ser modelado utilizando las características no lineales de los diodos. El modelo de Ebers-Moll es un modelo de señal grande que comúnmente se utiliza para modelar los BJT. Una versión del modelo se basa en suponer un diodo con polarización directa y un diodo con polarización inversa. Esta configuración aparece en la figura D.1 para un transistor npn. Este modelo, conocido como versión de inyección del modelo de Ebers-Moll, es válido para las regiones activa, de saturación y de corte. Bajo condiciones de funcionamiento normal dentro de la región activa, una unión del BJT tiene polarización directa, y la otra, inversa.

FIGURA D.1 Versión de inyección del modelo de Ebers-Moll para un transistor npn

αF IF

αR I R

+B+

(a) Versión de inyección del modelo

(b) Versión de inyección aproximada del modelo

Los diodos emisor-base y colector-base pueden ser descritos utilizando la característica del diodo Shockley de la ecuación (2.1):

 VBE   − 1 I F = I ES  exp VT  

(D.1)

 VBC  − 1 I R = I CS  exp VT  

(D.2)

Donde VT = kT/q = 25.8 mV a 25°C IES = Corriente de saturación inversa base-emisor del diodo ICS = Corriente de saturación inversa base-colector del diodo

Tanto IES como ICS dependen de la temperatura. Si VBE > 0, el diodo DF tiene polarización directa y su corriente IF genera una corriente correspondiente αFIF. Si VBC ‹ 0, el diodo DR tiene polarización inversa. A fin de designar, respectivamente, las condiciones directa e inversa, se utilizarán los subíndices F y R. Aplicando en las terminales del colector y el emisor la LKC, la corriente del emisor IE es

I E = −I F + α R I R    VBC VBE     = − I ES  exp − 1 + α R I CS  exp − 1 VT VT     y la corriente de colector Ic es: es

IC = α F I F − I R

(D.3)

  VBC  VBE  = α F I ES  exp − 1 − I CS  exp − 1 VT VT    

(D.4)

Si VBE = 0, αRICS = Is representa la corriente de fuga de saturación inversa del diodo DR. De manera similar, si VBC = 0, αFIES = Is representa la corriente de fuga de saturación inversa del diodo DF. Si se supone que los diodos son ideales, las corrientes de fuga de saturación directa e inversa estarán relacionadas mediante

α R I SC = α F I ES = I S donde Is se conoce como corriente de saturación del transistor. La corriente de colector a base, con el emisor a circuito abierto se puede obtener suponiendo que Ic = ICBO Y IE = 0.

Ya que es normal que la unión colector-base esté polarizada a la inversa, VBC 0) y │VBE│ » VT, exp (VBE/VT) « 1. Las ecuaciones (D.3) y (D.4) dan

I EBO = I ES

  VBC + α R I CS  exp − 1 VT  

0 = −α F I ES

  VBC  + I CS  exp − 1 VT  

Al despejar IEBO de estas dos ecuaciones, se obtiene

I EBO = I ES − α Rα F I ES = (1 − α Rα F )I ES

(D.7)

De acuerdo con las ecuaciones (D.5), (D.6) y (D.7),

α F I EBO = I ES (1 − α Rα F )α F = α R I CS (1 − α Rα F ) = α R I CBO

(D.8)

En vista de que el diodo DF está con polarización directa y DR lo está a la inversa. VEB < VBC. Por tanto, IEBO es menor que ICBO, y αF es mayor que αR. En la región activa, el diodo DR está polarizado a la inversa, e IR ≈ 0. Esto es, IE = -IF e IC = αFIF = -αFIE. Por tanto, la figura D.1 (a) se puede aproximar con la figura .1(b). El modelo del circuito de la figura D.1 (a) relaciona las fuentes dependientes con las corrientes del diodo. En el análisis de circuito resulta conveniente expresar la fuente de corriente en una forma que resulte controlada por las corrientes en las terminales. Eliminando exp (VBE/VT) - 1 de las ecuaciones (D.3) y después utilizando la ecuación (D.6) se obtiene

  V I C = −α F I E − (1 − α F α R )I CS  exp BC − 1 VT     VBC  = −α F I E − I CBO  exp − 1 VT  

(D.9)

De manera similar, eliminando exp (VBC/VT) -1 de las ecuaciones (D.3) y (D.4) y luego utilizando la ecuación (D.7),

 VBE  I E = −α R I C − (1 − α Rα F )I ES  exp − 1 VT  

  VBE = −α R I C − I EBO  exp − 1 VT  

(D.10)

El modelo del circuito que corresponde a las ecuaciones (D.9) y (D. 10) aparece en la figura D.2(a). Las fuentes de corriente están controladas por la corriente del colector IC y por la corriente del emisor IE. Este modelo, conocido como la versión de transporte del modelo de Ebers-Moll, normalmente se utiliza en simulaciones por computadora con PSpice/SPICE. De hecho, los modelos lineales de la figura 5.6 son las versiones aproximadas del modelo de Ebers-Moll de la figura D.2(a).

  VBE  I F = I EBO  exp  VT 

   − 1   

 V I R = I CBO  exp BC  VT  αF IE

αR IC

   − 1    αF IE

αR IC  V I F = I EBO  exp BE  VT 

+B+

   − 1   

+B+

Suponiendo que VBC ‹ 0 e IR ≈ 0, IC = -αFIE, y la figura D.2(a) se puede aproximar utilizando la figura D.2(b). Si se sustituye IC = -αFIE, la ecuación (D.10) se transforma en:

 VBE  − 1 I E = −α Rα F I E − I EBO  exp VT   que relaciona a IE con αR, αF y VBE mediante

V − I EBO (exp BE VT  IE = 1 + α Rα F

  − 1) 

(D.11)

IES e ICS también se conocen como corrientes de saturación en cortocircuito, en tanto que ICBO e IEBO se conocen como corrientes de saturación a circuito abierto. Obsérvese que las versiones de transporte y de inyección del modelo de EbersMoll son intercambiables. Una vez que se conocen los parámetros de una versión es posible determinar los parámetros de la otra.

EJEMPLO D.1 Cálculo de las corrientes para el modelo de Ebers-Moll de un transistor npn. Un transistor npn está polarizado de forma que VBE = 0.3V y VCE = 6V. Si

αF = 0.99, αR = 0.90 e ICBO = 5nA, calcular todas las corrientes para la versión de inyección del modelo de Ebers-Moll de la figura D. 1 (a). Suponer un voltaje térmico VT = 25.8 mV. VT = 25.8 mV = 0.0258 V. Puesto que VBE es positivo, la unión base-emisor está polarizada directamente. El voltaje en la unión colector-base es VCB = VCE + VEB = VCE - VBE = 6 - 0.3 = 5.7 V o VBC = -5.7V Como VCB es positivo, la unión colector-base está polarizada inversamente, y el transistor funciona en la región activa. De acuerdo con la ecuación (D.8),

IEBO = αRICEO/ αF = 0.9 x 5 nA/0.99 = 4.545 nA De la ecuación (D.6), ICS = ICBO/(1 – αR αF) = 5 nA/(1 - 0.9 x 0.99) = 45.87 nA Con la ecuación (D.7), IES = IEBO/(1 – αR αF) = 4.545 nA/(1 - 0.9 X 0.99) = 41.697 nA De acuerdo con la ecuación (D.1), la corriente de polarización directa del diodo es

0 .3   I F = 41.697 x10 −9 x exp − 1 ≈ 4.678mA 0.0258   De la ecuación (D.2), la corriente de polarización inversa del diodo es

− 5.7   I R = 45.87 x10 −9 x exp − 1 ≈ −45.87 nA 0.0258  

Y αRIR≈ - 0.9 x 45.87 nA = -41.28 nA

αFIF ≈ - 0.99 x 4.678 mA = 4.63 mA IE = -IF + αRIR = -4.678 X 10-3 - 41.28 x 10-6 ≈ -4.719 mA IC = αFIF - IR = 4.63 x 10-3 + 45.87 x 10-9 ≈ 4.63 mA IB = -(IE + IC) = -(-4.719 x 10-3 + 4.63 x 10-3) = 89 µA

EJEMPLO D.2

Cálculo de las corrientes para el modelo de Ebers-Moll de un transistor pnp. Los parámetros del modelo de transistor pnp de la figura 5.2(b) son: αR= 0.9, αF = 0.99, IES≈ ICS = 45 nA, VEB = 0.4 V y VCB = 0.3 V. Calcular (a) las corrientes para la versión de inyección modelo de Ebers--Moll de la figura D.1(a) y (b) βF = βForzada. Suponer un voltaje térmico VT = 25.8 mV. SOLUCION Para VEB = 0.4 V y VCB = 0.3 V, las uniones colector-base y emisor-base están con polarización directa. Por tanto, el transistor está operando en la región de saturación.

(a) Para un transistor pnp, todas las polaridades de los voltajes y las direcciones de las corrientes estarán invertidas; por tanto, las ecuaciones (D.3) y (D.4) se transforman en

  VCB  VEB     − 1 − 1 − α R I CS  exp I E = I ES  exp VT VT    

0 .3 0. 4     I E = 45 x10 −9  exp − 1 − 1 − 0.9 x 45 X 10 −9  exp 25.8m  25.8m    = 243.48 mA – 4.54 mA = 238.94mA

    VCB VEB − 1 + I CS  exp − 1 I C = α F I ES  exp VT VT    

0 .4 0 .3    −9  − 1 + 45 X 10  exp − 1 I C = −0.99 x 45 x10  exp 25.8m  25.8m    −9

= -241.04 mA + 5.05 mA = -235.99 mA

= -241.04 mA + 5.05 mA = -235.99 mA

Por consiguiente, IB = -(IE + IC) = -(238.94 - 235.99) = -2.95 mA. (b) Dado que el transistor está funcionando en la región de saturación, el valor de la ganancia en corriente directa se hace menor que la correspondiente a la región activa. La ganancia en corriente directa se conoce como ganancia en corriente forzada βforzada: βforzada = IC/IB = 235.99 mA/2.95 mA = 80

EJEMPLO D.3

Cálculo del voltaje de saturación colector-emisor de un BJT Un transistor npn está funcionando en la región de saturación, y sus parámetros son: 0.9,

αF

αR =

= 0.989 y VT = 25.8 mV. Calcular el voltaje de saturación colector-

emisor VCE(sat). SOLUCIÓN De la ecuación (5.3) βF = αF /(1 - αF) = 0.989/(1 - 0.989) = 89.91 Se sabe que VBC =VBE + VEC = VBE - VCE En la región de saturación, VBE > 0 Y VBC > 0. Esto es, exp (VBE/VT) » 1 y

exp (VBC/VT) » 1

Utilizando las ecuaciones (D.3) y (D.5), se obtiene

I E = − I ES eVBE VT + α F I ES eVBC VT

≈ − I ES eVBE VT + α F I ES e(VBE −VCE ) VT ≈ − I ES e

VBE VT

[1 − α

F

e

−VCE VT

]

Pero IE + IC + IB = 0, así que -IE = (IC+ IB). Esto es,

I C + I B = I ES e

VBE VT

[1 − α

F

e

−VCE VT

]

(D.14)

De manera similar. utilizando las ecuaciones (D.4) y (D.5), se obtiene

    V V I C = α F I ES  exp EB − 1 − I CS  exp CB − 1 VT VT    

= α F I ES e

VBE VT

 1 −VCE e 1 −  αR

VT

  

(D.15)

Al dividir la ecuación (D.14) entre (D.15), se tiene

IC + I B IB = 1+ = IC IC

1 − α F eVCE VT  1 −VCE  e α F 1 −  αR

VT

  

que, después de la simplificación, se transforma en

VCE

  IC    α F 1 + (1 − α R )  IB     = VT ln     I α α + C (α − 1)    R  F I B F  

(D.16)

En la región activa, la corriente de la base IB está relacionada con la comente del colector le mediante IB = IC/βF. Se considera que la región de saturación empieza en el punto en que la ganancia en corriente en condiciones de polarización directa βF es de 90% del valor correspondiente a la región activa. Esto es, βSAT =βForzada = 0.9βF e IC = 0.9IBβF. La ecuación (D.15) da el voltaje de saturación colector-emisor como

VCE ( sat )

 α F [1 + 0.9 β F (1 − α R )]  = VT ln   α R [α F + 0.9 β F (α F − 1)]

Sustituyendo βF = αF/(1 - αF) en el denominador, da

VCE ( sat )

1 + 0.9 β F (1 − α R )  = VT ln   ( ) − 1 0 . 9 α R  

(D.17)

Para VT = 0.0258 V, αR = 0.9 y βF = 89.91, se tiene

VCE ( sat )

1 + 0.9 × 89.91× (1 − 0.9 )  = 0.0258 x ln   = 0.119V 0.9 × (1 − 0.9 )  

+v +

Vi

RL

+v +

Vi

_

RL

Rs

Ic Rc

+ Vi

_

Vcc