El tri´angulo sim´etrico-lateral Francisco J. Garc´ıa Capit´an Marzo de 2004 Resumen En este documento damos respuesta a las cuestiones planteadas por Martin Acosta en http://www.cabri.net:16080/problemes/. Usamos el programa de c´alculo simb´ olico Mathematica para efectuar los c´alculos y el programa de geometr´ıa din´amica Cabri G´eom`etre para hacer las figuras.

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Definici´ on

Sean ABC un tri´angulo y P un punto del plano. Si Q, R y S son los puntos sim´etricos de P respecto de AB, BC y CA, al tri´angulo QRS se le llama tri´angulo sim´etrico-lateral de P respecto del tri´angulo ABC.

A Q

S P

B

C R

Figura 1: El tri´angulo sim´etrico-lateral

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2.

Las cuestiones

En las p´aginas siguientes resolveremos las siguientes cuestiones sobre el tri´angulo sim´etrico-lateral: 1. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de los puntos cuyo tri´angulo sim´etricolateral es rect´angulo. 2. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de los puntos cuyo sim´etrico-lateral es is´osceles? 3. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de los puntos cuyo sim´etrico-lateral es equil´atero? 4. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de los puntos cuyo sim´etrico-lateral es aplanado? 5. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de los puntos cuyo sim´etrico-lateral tiene ´area igual al tri´angulo de referencia? 6. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de los puntos cuyo sim´etrico-lateral es semejante al tri´angulo de referencia? 7. Caracterizar la transformaci´on que asocia un punto P al baricentro de su tri´angulo sim´etrico-lateral con respecto a un tri´angulo ABC, y encontrar dos procedimientos diferentes de construcci´on de dicha transformaci´on. 8. Caracterizar la transformaci´on que asocia un punto P al circuncentro de su tri´angulo sim´etrico-lateral con respecto a un tri´angulo ABC, y encontrar dos procedimientos diferentes de construcci´on de dicha transformaci´on.

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C´ alculos con Mathematica

Vamos a usar los n´ umeros complejos para dar respuesta a la mayor´ıa de las cuestiones. Empezaremos suponiendo que los puntos A, B y C del tri´angulo est´an todos en la circunferencia unidad, y que sus afijos son u = a + bi, v = c + di y w = e + f i. El punto variable P tendr´a por afijo el complejo p = x + yi. La simetr´ıa respecto de la recta que pasa por u y v, complejos de m´odulo 1, viene dada por la f´ormula σ(z) = u + v − uv¯ z . En efecto, esta f´ormula corresponde a una isometr´ıa y deja fijos los puntos u y v. Comenzamos nuestros c´alculos con las instrucciones: