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" CONSEJO NACIONAL DE EDUCACION

Presidente:

I'rof. ALFREDO NATALlO FERNANDEZ Vicepresidenle: ProL ESTHER ABELLEYRA DE FRANCHl Vocal: Prof. ESTER TESLER DE CORTl Vocal: Ora. ROSA GLEZER VOCúI: Prof. HERIBERTO AURELlO BARGIELA ~'()cal' Dr. HUGO TORIJA Secretario General: I'rof. ANGEL GOMEZ Prosccl'ctal'ía' I'rof. MARTHA MOLlNUEVO S"/,I'I'I' Gral, Pedag' Prof. CRISTINA ELVIRA FRITZSCHE

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El Consejo Nacional de Educación se complace en hacer negar a sus docentes el presente trabajo. En esta se¡,'unda parte de la publicación de Geometría, se completan los conocimientos básicos de la matcria que todo docente debe poseer en su formación profesional para desempe­ ñarse en el nivel primario. Aunque ya se manifestó en la primera parte, se reitera en ésta que el mismo está dirigido, por su nivel, a los maestros y no a los alumnos. También hallarán los maestros en este trabajo una variada ejercitación que les permitirá una evaluación luego de la lectura de cada capítulo. encontrando en las últimas hojas las respues­ tas a los ejercicios propuestos.

9

L _. SUPERFICIE

l . - FIGURAS EQUICOMPUESTAS:

B

A l/ / /

;

,

2

2

l'

;"\4 , \ ;

3

.... "v ......

4" '

,

\

3

La figura A puede separarse en los tri ángul os 1, 2, 3, 4 . Con la uni ón de estos triángul os pu ede to nnarse un rec tángulo B. A Y B son figu ras equicompuestas porqu e resultan de la uni ón del mismo número de polígo nos respecti­ va mente co ngru entes, sin puntos interiores comunes.

2. - REl ,ACION DE EQUIVALENCIA : SUPERFICIE R =. " es equicompu esta co n" .. es un a relac ión que clasirica los elementos de un conjunto F de riguras:

F

LO.

•a

o

ro

~

In

p

-------"

¡¡¡s

.L:J7

\V~ &$

w

11

10

3.2. - Si

En F se produce una partición. Cada subco njunto de la partición es un a clase de equivalencia que define una supe rficie. Las figuras qu e pertenecen a una misma clase so n equivalentes en cuanto a su superficie.

A

B

A

En una clase de equivalencia, si se co noce el va lo r

de la superficie de una figura, se conoce t am bién é l

de la superficie de to dos los dcmiÍ s po lígo nos de la

Para comparar la superficie de A con la superficie de B, se pu ede calcar I3 y superponer sobre A. En este caso la figura A queda sepa­ rada e n dos partes: la cubierta por B y la qu e no está cubierta por B. Resulta B congruente co n una parl e propia de A .

misma. 3. _ COMPARACION INTUITIV A DE SUPERFICIE DE • F IGURAS:

Dadas las figuras A Y 13 :

3. 1.~·Si A=I3

A

~

Se pueden desco mp oner en e l mism o núm e­ ro de po lígonos respec ti vamente "on~ruentes. Son figuras equ ivalentes.

Se indica: A B

luego: Sup o A = Sup oI3

=

La s fi guras congruentes tienen la mism a superficie.

B pueden presentarse entre o lros, los slgU len tes casos:

a)

Las figu ras equicompuest as, llamadas t amb ién equivalentes, tienen la m isma superficie.

~

f

I

Se dice: Supo de A> Sup_ de B o bien: Sup ode B < Sup ode A

b) A

A

I

l

_~.!3 -~

A·=--=-,

Si se superponen las figuras A y B, ningu na de ellas contiene totalmente a la otra. Se co rta la parte sobrante de la figura B y se adapta a la figura A .

12 13

A

f-----7," ­ - I --~ :::--"

Do s paralelogramos sOn equivalentes si sus bases y altura s SOn respectivamente con­ gruentes.

=-= r

Se repite la situ ación d el ca so a nterio r:

__b

l

m

p

c

~" ~ ¡ -~ -,~ , / "" , ' // / " "'" ¡'/

Supo A > Supo B Supo B < Supo A

'

/

-

/

q CJ

Q

CJ

abcd '" a lpd '" 3mqd '" .

,' /

";/

" , '/

a

' -

.f

d

4. - CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA LA EQUI­ VALENCIA ENTRE: 4.1. - Dos paralelogramos: Dados d os paralelogramos de bases y alturas respectivamen te congru entes :

/ - -;-H-/ ,

J

B~B'

[

- -¡H~ 1

/-I "' H'

B

B'

lh B

al superponer uno sobre otro se ob serva que:

ir v

4. 2 . - Un triángulo y un pa ralelogramo: Dados un triángulo y un p apalelogramo d e alturas congru en tes y tal qu e la base del para­ le logram o sea co ngru ente con la mitad' d e la base elel triángulo:

• • l '" 2

p aralelogram o (B, /-1 ) Y p ara lel ogram o (B', H ') sOn figuras equicompu estas. Po r lo ta nt o : para le!. (B , /-1) '" parale!. ( B', H')

H LJ/H'

- so H' 1B' "" 2B

1

I

B'

se pu ede Su p erp oner al triángulo un parale lo­ gramo equ ivalente al d ad o, de b ase y altura re spec tivam e nte congru entes a B' y H'.

,1 I

/

Se observa:

/ 2

•

• 1""2

triáng. (B, H) Y parale!. (B', H') son figuras equicompuestas. Por lo tanto: triáng. (B. H ) '" parale!. (B', H')

14

15

4.4. - Un triángulo y un trapecio: Dados un triángu lo y un trapecio de alturas congruentes y tal que la base del triángu lo sea igual a la suma de las bases del trapecio :

Un triángulo y un p apalelogramo de altu­ ras congru entes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad d e la base del triángulo.

4.3. - Dos triángulos :

Dados dos triángulos de bases y alturas respec­ tivamente congruentes: p

d

H = H' B=

c;

~

B'

n

lJ

I¡) L__ l~ B"

se puede dividir cada una de 13s figuras en dos triángulos de la sigu ien te manera: B'

1deporbases ser triángu los y al turas ?..:.. 2' rrespec ti va mente - - ) congruentes.

~,

\"

j '" j,

I~,>

\ \ L

l'

B'

B"

Se construye:

n=H ' = ll' + B"

B

~~.

n.

B'

""

B"

t

Tal que:

Por lo tanto :

triáng. (B, H) ~ trapecio (B', B", H')

H2!H'e: H B = 13' ~ 2 B" H

r o

acd ==

B"

s

1

rstu ;:,

"'71 Illllp == rstu ) A

=>

'"

Un triángulo y un trapecio d e alturas congruen tes SOn equivalen tes si la ba se del triángulo es igual a la suma de las bases d el trapecio.

'"

acd '" mnp

m d ~

Si dos triángulos tienen bases y al turas respectivamente congruen tes, son equivalen­ tes.

p --, "- , "

'

b

c

,,

\

br

\ \

'~~ r

o.

= bc + ad l>

A

abcd '" bmi ""' bdr

11

16

5. -­ MEDIDA DE LA SUPERFICIE: AREA: Como en el caso de la medida de la longitud , el primer paso es la elección de una unid ad. Con suficientes figuras congruentes con la unidad elegida, colocad as de manera que encajen sin super­ ponerse, se pued e cubrir cualquier figura ya sea ex ac­ tamen te o no. Ejemplos:

F

F

A

B

O

O

Med . Supo FA = 24

Med. Supo Fo

=6

e

F

~ Med . Supo Fe Se puede usar una cuadrí cula para calcul ar la me­ dida de la superficie de una figura superponié ndola a ell a. El número que resulte de con tar las regipnes unitarias es la m edida de la superficie estim ada o área. p or defecto: 22

= 12

La superficie es la misma ; no depend e de la unid ad. La m edida de la superficie es un número que varia de acuerd o con la unid ad elegida y qu e se ll ama área.

por exceso : 30

5. l. - Area del rectángulo:

Si con varios cuadrad os unidad, conveniente­ mente dispues tos, se forma un rectángulo , el número de cu adrados utiliz ados es la m edida de la superficie del rec tángulo o área del mis­ mo. PO.Lejemplo, con 12 cuadrados congruentes con : ~ formamos diferentes rectángulos:

A Cuan to más pequ eña es la unid ad elegida , más aproxim ada es la med ida estimada. La mi sma figura puede ser m edida con distintas unidad es:

L;IIIIII 1

L

I

Tm B

~

L'

I

f.--

L.--j

-+

u: unid

de superficil

I ~

I

1-1 -+ u :

u nid o de longitud

'"

;;

"

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g. O-~ c(tl

o.

O: ~@;~ ~ _ . () o

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o.:::lt.>(ti

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~

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~ t Il

~

o

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o

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X

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9. z

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11

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.,

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o'" C> '"

• 5.2. - Areas de otras ¡¡guras

hO

1: med o lado

b : med . base

h : m edo altura

d: medo diagonal

r : med o radio

CU ADR ADO

T R\ANGULO

b

A

AreadelCJ = b X h AII~ade l O =I X I Area del o

);j

A Ii)'J~

b=\ h =\

Ó

=!

2

i.

= P

/;1

2

1 :!. 2 . CJ A equivalente c::::J B

c::::J

Ar ea

71

2

1 i!'; l '

1 equiva lente.! DA 2

Area

B

Area

c::J

Area

A rea ¡;;:::j

o

b Xh

:=:

PO LI GO NO REGU LAR

!&:

C IRCULO h = med oap .

B

h"~,,i1 ~ \ polígono A = rectá ng. B "2 peIlm.

Arca po ligono = Area rectáng.

Alea po lígo no = b X h

\ . Arca poilgo no = - peran . X me d o a p.

.

.

2

ROMBO

hRE2

2 .. 2

12

= '2 Area t:::J

Area ro mbo = ~ b X h

Area r ombo ~

I ~r:axC;

...

..

LI \ l

+ - -- ----j

= ~ d X d'

h

Area t rapcClO =

Area tIa pecio

Area trapeeio =

CJ\S~

A. = 1.)Olll?- ?rcunf.~· r

h

X r'

ROMBOID E

~

i" i. 12" 2'

2

1

A rea r omboide = 'f Area

2

-

t:::J

Area ro mboide = ~ b X h

X h

~ (b + b') X

A

11"

1 romboid e ... - c:::J A

A

1. Area O

=~b

AreadcA=Areade B

Arca del círculo =

2. \

b b I Trapecia I .:, '2 O

D

~A ="'f'f\

Area de

..--- ._ T :.;R.;.:"-",P,E _C IO

b . \ . r ombo equlV . a - rec tang .

Area rOmbo

~

h

Area ro mboid e

=!- d X d '

21

5.3. - Area de las figuras circulares CORONA CIRCULAR Area = 1Tr 2 [-

Area

1Tr'2

=." (r 2 -

J

r'2)

.....---...

r

CIRCULO

SEGMENTO CIRCULAR

TRAPECIO CIRCULAR

I d

b .Area = "r 2

¡

J

71r 2 0:

Area = 360 -

1TT

'2

• :::ZECTOR CIRCULAR

(0

Area 1 = Area sect. aob - Area aob

'

,Area 11 = Area seet. aob , d + Area aob

~;~oQ

= bi h

Area'

=

Area JI

= 1I'r~ 0' +~

360

Area = "a (r2 _ r'2 ) 360

~

I

360 - - - rrr 2

2

a

II

1Tr 2 .a

36 0 2

rrr a Area = """360

I

.

360.

n

22

6 . - TEOREMA DE PITAGORAS 6 . 1. - Ra íz cuadrada:

,----------------. Area del cu adrado =

C

I I I I I I

Q2

b)

Si se dibujan en A cuatro tr iángu los congru entes, de acu erdo a la siguiente figura :

pueden ser' u bicados de mane­ ra tal que co n B, se cubra totalmente el cuadrado C.

~= 25 '5'1 = 25

Area deC :

Medida del lado:

lA

5

Decimos qu e 5 es la raíz cuad rada de 25 , porque 52 = 25 (téngase en cuenta que se trabaja con números na turales) Notación :

..j2S= 5

6.3. - a)

52 = 25 La medida del lado del cuadrado es la raíz cuadrad a de su área. porque

B

B

Las figuras: A U B (formada por los cuadrados que tie­ nen por lados los catetos del triángulo rectángulo) y: C (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)

Medid a del lado del O = .járea 6.2. - Dado un triáng ulo rectángulo, se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados.

e A

B

Los cuadrado s A, B j y C tienen por lad os respectivamen te a cada uno de los ca tetos y la hipotenusa del triángu­ lo.

son equicompuestas y, por lo tanto, equivalen tes por su su perficie. El cuadrado construido sobre la hipote­ nusa es equivalente a la unión de los cua­ drados construid os sobre cada uno de los catetos. 6.4. - Dados los triángulos rectángulos 1 y II tales que :

- Medida de los catetos de 1: J . y 4 respectiva­ mente, t - medid a de los catetos de 1I : S' y 12 respecti­ vamente) construimos :

25

24

EJERCICIOS DE APLICACION

1. - Recortar los triángulos y formar figuras equicomptiestas con el rectángu lo :

2. - Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual área:

Resulta : Area A ~

~

25 =

16

+

169 =

9

~

~

~

~

2

Area C

Area B

Area A

AreaC

Area B

+

144

25 2

4 3. - a) Hallar el área de cada una de las figuras· resultantes de las siguientes operaciones:

En todo triángulo rectángulo , el cuadra­ do de la m edida de la hipotenusa es igual a la suma de los cu ad rados de las medidas de los catetos. a2 = b2 +c 2

10) l U 1I

2 0 ) 1 n 11

30 ) l - 11

enusa e los tetos

a: m( by c res.p

b) Comparar el área de l U Il con el área de 1 + área de 11.

4. - Hallar el área de la figura sombreada : Esta comprobación permite conocer la m e­ dida de un lado de un triángulo rectángu lo, conociendo la medida de lo s otros dos:

a) Con respecto a la unidad : b) Con respecto a la unidad :

al

=

b2 = el

bl

+c

l

al _ c 2

= al - b 2

2

a=Jc + b b

=Ja

2

c =)a 2 ­

-

c

2 2

b2

e) Con respecto a la unidad :

O

D

"\J

27

26

5. - Calcular la medid a de 2 en los siguientes casos: \~

'\.

6. - D eterminar el área d e la s siguientes figura s sombreada s: e)

b)

d=6

a)

2

7. - a) Un rectángulo es equivalente a un cu adrado de 9 m de lado. Si el ancho es d e 3 m ; cuá l es e l largo? b ) Un triá ngulo es equivalente a un cuadrado de 81 m 2 . Si la b ase del triá ngulo es congruente con el lado del cua: drado ¿cuál es la longitud de su altura? 8: - a) Un triángulo y un rectángulo SOn equivale ntes y tie nen la misma altura .¿Cóm o es la base del triángulo COn res­ oecto a la d el rectángulo? b) Un tra pecio y un rec tárígulo so n equivale nt es y tie ne n misma altura. ¿Qué condici ón cumple n las bases d el tra­ pecio? c) La altura de un rectángulo tiene la misma longitud qu e un a d e las diagonales de un rombo. La longitud de la

base es la mitad d e la longi tud de la otra diago nal.

¿Cómo so n la s superficies de estas ¡-¡guras?

d) Un rectángulo y un paralelogram o· tiene n la misma base y la longitud d e la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectá ngul o. ¿Qué relación guarda el área del rectángulo con respecto a la de l p aralelogramo?

2 !l. - SEMEJANZA 7

e)

1. - SEGM ENTOS PROPORCIONA LES 1.1. - Segmentos corres pondientes: Dada s varias rectas paralelas cortadas por do s transversa les, se llaman segmentos correspondien tes a lo s comprendidos entre las mismas paralelas.

Y¡¡¡I/I////llfflD/////ff//lffl/§!I/ffll/'

5

M A a B

b

e

e

D

d

N

A/(B/(C/(D

a 'b' _ab y __

~ segmentos

~ y b'c. correspon dien.tes cd y c'd' )

c' d'

29

28

1.2. _ Propiedades de los segmentos correspondien tes en­ tre paralelas: Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más transversales, a segmentos congruentes sobre una de las transversales corresponden segmentos congru en tes en cada una de las otras. A

la

B

b

e

e

D

Id

a·

a

Resulta:

a2 =2d' = d? ""eT""fb

b) La paralela a un lado de un triángulo, trazada por el punto med io de uno de los otros dos la­ dos, corta al tercero en su punto medio . Ejemplo :

A /.I B # C # D

a

b'

•

abc m punto medio de ab mp /f ac Resulta :

Si ab ~ bc "" cd ,

e"

\d '

\d "

c

'"

{ a'b' "" b'c' "" c'd' --,.-" a"b" ~ b"e" ~ e d

-

",/

\

·c

p punto -;;;-edio de

- Aplicaciones : a) División de gmentes: La clá sica congruentes, enun cia da.

ejemplo:

Dividir ab

J

e ) La paralela a las bases de un trapecio trazada

un segmen to en partes con­

por el punto medio de uno de los lados obli­ cuos corta al otro lado en su pun to medio. Ejemplo :

división de un segmento en partes se fundamenta en la propi~d ad

.a /

m

en S ·partes congruentes.

L

Procedimiento: Se traza: ....

d

~ p

"\.

b - f f ....

bC~

v

I

trapecio abcd m punto ~dio de ab

mp /f ad /f bc

R esulta : p punto medio de cd

10: ap, tal que ab 't- ap

20 : en ap, a partir del origen,

S segmentos consecutivos: ac "" cd = de "" el' :. fg a

./

\

' e'

\

'd '

\

te'

\

4: [,

\

b

30. gb

.

40 : cc'

/.1

dd' /f ee' /f

rr /f gb

1.3. - Bases medias: . a) Bases medias de un cuadrilátero: Son cada uno de los segm entos deteiminados por los puntos medios de lo s pares de lados opuestos.

31

En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondien tes y co ngruente Con ellos. Por lo tanto: La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases co­ rrespondientes. 2º) triángulos. Cada base media de un triángulo es para­ lela al lado correspondiente y congruente con su mitad. Por lo tanto: La longitud de cada base media de UII triángulo es igual a la mitad de la longi­ tud del lado correspondiente .

bJ Bases medios de un triángulo: Son cada uno de los segmentos determinados por los puntos medios de un par de lado s. Ejemplo: a a

a

Justificación:

p

c

- -,

c

m

c b

b

mp: ba se media correspon­ diente a be

mr"

-.. . . ,. ....... ' /"

pr: ba se media

mr : base medi a

correspon­ diente a ab

correspon­

a'

al

mn base media corresponde a ab // cd

l

~

_

mn

(

..... b

r

= ar

.cJ

base media arsc

mn= 1 ab 2

diente a ac

1º) paralelogramos: c

mi

.

mn: base media de abc correspondien te a ab r: punto medio de ab

/

b

e) Propiedades de tas bases medios de los:

d

-

s

a

! 7,7 .

s

e d

3º) trapecios: La base mee'

e b

po r definición es:

¡

- Criterios de semejanza de triángulos: I º) Sj d os triángulos tienen dos pares de lados homólogos proporcionales y los ángulos com­ prendidos entre ellos congruentes, .en tonces son semejantes. e

j

b'

•

•

abe""'" a'b'e'

f

si:

a ', ~ a' b " b'

ab = be

ca

e .-" e'

a'b'

c' a'

b'c'

a~

ir

b=b ' e _ eA' ~

~

a J ......

b

d

6

&.~) de df _

a=d e

=>

•

•

abe - def

36

37

De acuerdo con este criterio resulta que: "Dos triángulos rectángulos son semejantes si sus catetos son proporcionales".

Ejemplo: Dado el polígono abcde

a

e

2 0 ) Si dos triángulos tienen d os ángulos respec ti­

vamen te congruen tes, en tonces son semejan­ tes.

U

\

b

b e<

ii,

primer vértice

abo primer lado

e

¿"'d)

al

a

b

ac: primera diagonal

•

ef => abc - d~f d

b) Para obtener un polígono semejan te al abcde se procede así: - Se determina un punto cualquiera del pruner Jada ab o

Resulta así que: "Dos triángulos rectángul os con un ángulo

agudo congruente, son semejantes".

a

e

32) Si dos triángulos tienen sus lados homólogos proporcionales, entonces son semejantes. f '7 @=ru:= 9L

de

ef

fd

=>

•

e

•

abe - def

bd D e

c

d

a

Resulta:

o

ampqr ­ 2.2, - Obtención de un poHgono semejante a otro dado: a) Dado un pol ígono, se pueden ordenar sus vér­

tices a partir de uno cu alquiera de ellos, Deter­ rn inado el prim er vértice, quedan ordenados sus :ados y las diagonales qu e conCUlTen a dicho vér tice.

- Se traza: la) mp # be 2°) pq # cd 3°) qrl1de

b

Ü abcde

Justificación .' Si :

. .

-mp # bc => map -

bac •

pq 11 cd => paF - qd

qr # Ce => qar -dae

•

1,,,Ji, ,m,"' - "Ji,.,b,"

38

39

3. - ESCALAS

EJERCICIOS DE APLl€ACION

La semeja nza de polígonos se aplica en la construc­ ció n de planos y mapa s, ya que estos son figuras semejantes a los o bjetos reales. La razón de semejanza se llama escala. Por ejemplo: si en una habitnción el largo (1) es 4 ~: y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm, la escala correspondiente se obtiene así:

9. - In dicar los pares de conjuntos cu yos elementos pu eden ser medida s de lados d e triángulo s semejantes :

A={

2, 3,4 .} Il ={9, 12, 20}

4

"

"

100

x

--­

6 = 60° ,

c) abc: ab = 8 cm ; be

= 7 cm ; cd

= 4 cm

a'b'c': a'b' = 4 cm; b'c ' = 7 cm ; c'd' = 6 cm

12. - ¿Son semejantes estos triángul os?

x=2,5. 100 =250 abe: á = 40° ; Íi = 60°

Para calcu lar la distancia rea l entre dos ciud ades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederá así:

=-1-

= 12 cm

---

a' b'c ': triángulo rec tángulo; b ' = 60°

En algunos mapas la escala se representa gráfica,

mente.

Ejemplo:

lfW$& I I km SO 100 200 O

SO

---

A

Recíprocamente, en la misma escala, un segmento de 2,5 cm representará otro real de 250 cm o 2 ,50 m , porque:

_1

-­

b) abe: triángul o rectángulo ;

~=_I

x

--

--

a'b'c': a' b' = 3 cm ; b'c' = 2 cm ; c'd ' = 4 cm

Expresados ambos e n la misma unid ad, resulta :

100

4

a) abc : ab = 9 cm ; bc = 6 cm; cd

1

_1_ = 2,5

4

10. - Si abe", a' b'c', ¿es abc - a'b'c'? ¿por qué? " - a'b'c': " 11 . - Señalar en cuáles de estos casos resulta abc

.L

400

6

C ={. 8,1 6, 12 } D={3 , 4 ,6, ¡

x = 4 . SO x = 200

La distancia entre A y B es de 200 km.

a'h'c':

e' = 800 ; b' = 600

13. - Dado el conjunto F de figuras

o Aplicar la relació n: ... "es semejante a" ...

a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenado s.

b) Escribir los subconjuntos de la partición.

41

17. - Datos: 14 . _ Representar un segm ento de 25 cm según la escala 110 N° de habitan tes

Año 15. - En un mapa la dista ncia de la ciudad M hasta la ciudad S es de 2 0 cm. ¿Cuál es la distancia real si la escala corres­

pondiente es 1/ 1. 000 .000?

16 . - A, B Y C representan elevaciones terrestres; D y E, profundid ades mari nas. ¿Cuántos m etros correspo nd en a cada una segú n la esca la 1/1 OO.OOO ?

19 10

500.000

192 0

750. 000

193 0

1.250.000

1940

1.62 5. 00 0

19 50

2.250.000

196 0

3.0DO.000

B

i

I

- -

y

A

C

3.000.000

nivel del mar

---2.000.000

w

E

I. OOO.QOO

D

x 191 0 1920

1930

1940

1950

1960

al Re prese ntar lo s datos de la tabla de crecim iento dem o­

gráfico.

bl Dibuja r la curv a de crec imiento.

el Indicar la escala utiliza da en el eje y .

42

43

b) Dados d os pla nos a y (3 secantes en R y u n pu n to p que no pe rt e nece a e llo s: 19) Se llama diedro a{3 convexo o Simplemente diedro a{3 a la inler>ccc ión de los semiespa­ cios d eterminados po r a y {3 qu e co n tie ne a p.

18. - Re presentar en un gráfico de barra s, e n el orden dado, el área aprox im ada de cad a una de las sigu ientes provincias: Bu e nos Aires: 300.000 km' 150000 km' Mendoza: Jujuy : 50.000 km ' Santa Cr uz: 200.000 km ' 100.000 km'

Escala:

~ =

•p s/e (a, p)

50.000 km'

ns/e ({3 , p)

~

"

d. OV

1Il . - ANG ULOS DIEDROS y POLIEDROS No tació n :

1. - ANG ULOS DIEDROS 1. 1. - Definiciones: Se exponen a co ntinuación distintos c riterios para d efinir ángulo s diedros. a) Dos planos secan tes de te rmÍll an en el esp ac io

cuatro regiones cada una de las cuales recibe el

nombre de ángulo diedro con vexo o simp le­

m ente diedro .

~

O'ni3~

R

regio nes 1, 11 , III, IV : diedros

1

IV ~

~ '1 <

/\ d. a{3

{ arista ' R caras: s/p 0' ; s/ p {3

o bi en :

~ ~

"'" ansta: . d habC{ ab caras s/ p (ab , c) ; s/p (ab , h)

O'

1/

11 1

2º) Se ll ama diedro f3 cóncavo a la unión de los semiespacios determin ados por a y (:J que co n tie ne n al punto p .

~

45

••

1. 2. - Diedro llano: Un ánf!ulo diedro es llall o si sus caras so n semi­ p,"nos opuestos.

s/ e (Q, p) u s/e ({3, p) = d. ~ cóncavo

.'

• p

i i Y

diedros { d. ~~ue contiene a p l/anos d . a {3 qu e no co ntiene a p . Un diedro llan o es un sem iespaGio

1. 3. - Sección de un diedro: Todo plano que corta a la arista de un diedro determina con las caraS del mi smo un ángu lo plano ll amado sección del died ro.

c) Se lla ma ángulo diedro a la unión de dos sem i­ planos de borde común .

.. tiAac: secclon

/'.

d. abch

=

s/p (bc, a) U s/ p (bG, h)

r

;r.nA = {al De acuerdo con esta definición el died ro está formado so lamente p o r los puntos de las ca ra s. El d. áb?h sep ara a los pun tos del espacio en dos regiones abiertas, una cóncava y o tra con­ vexa.

m éd . ab'Ch: m E región convexa o interior. r é d . a'bch: r E región Có ncava O ex terior. La un ión del d. á~h con cada una de las re­ giones anterio res co ndu ce a la noción de diedro ex presada en b) . d . a-Q¡¡ U región interior = diedro co nvexo. d. a~h U región ex terior = diedro cóncavo.

"

{'Yno< =~ 'Y n {3 = ac

Si 'Y es perp endicul ar a la arista A, sección normal del diedro.

AJ. y= A

d. .." Ct:

ábt es

la

JA1 ~ LA 1 , IC

/'.

bac : seco normal d. aJj

46

47

1.7. - Diedro recto : Si dos diedros adyacentes son co ngruente s, cada un o de ellos es un diedro recto.

Fara obtener la sección normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto.

•• : :: ,~

"

v

~

~

e

U-l

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