Elementos de geometría útiles para la localización espacial
¿Por qué los necesitamos un sistema de coordenadas? • Ubicar espacialmente lo que se mide u observa • Posicionar objetos • Navegar • Replantear – Volver a un punto – Recorrer otra vez un camino (o desandarlo)
Posibles consecuencias del uso inconsistente de un sistema de referencias
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Sistema de referencia ideal • Conjunto de definiciones • Teórico • No es accesible
Sistema de coordenadas
Coordenadas cartesianas
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En tres dimensiones
Diferencial curvilíneo • En 2-D: Polares • En 3-D – Cilíndricas – Esféricas – Elipsoidales
• Aparece una figura auxiliar a la que se asocia la coordenada.
Coordenadas polares Y
P (x, y) = P ( , ) y
X O
x
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Relaciones elementales
2
x
x
cos
y
sen
2
y
x2
y x
tg
2
y2
arctg
y x
Coordenadas esféricas
Coordenadas esféricas x
r cos cos
y
r cos sen
z
rsen z
arctan x
h
arctan
y x
( x2
y2
2
y2
z2 )
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Aproximando a la Tierra por un esferoide • Asumimos que el esferoide se encuentra girando en sentido dextrógiro • La intersección superior del mismo con el eje de rotación definirá al polo norte y la inferior al polo sur. • Llamaremos Ecuador al plano que pasa por el centro del esferoide y es perpendicular al eje de rotación. • La coordenada tendrá el nombre latitud, la que será medida desde el ecuador hacia el polo norte para los valores positivos y hacia el polo sur para los valores negativos y tendrá el rango 2 , 2 • La coordenada tendrá el nombre longitud, la que será medida desde un meridiano arbitrario -que pasa por el observatorio de Greenwich, cerca de Londres- siguiendo el sentido de rotación de la Tierra. Según el criterio que se adopte, la longitud puede variar de , o de 0,2
Aproximando a la Tierra por un esferoide
El elipsoide
aplastamiento
f
excentricidad
e2
a b b 1 a a a2 b2 2f a2
f2
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Elipsoides Nombre
Año
a
1/f = a/(a-b)
Mejor Aprox.
Clarke
1880
6378249
293.465
USA
Hayford o Internacional
1909
6378388
297
Europa
GRS-80
1980
6378137
298.257222101
Mundial
WGS-84
1984
6378137
298.257223563
Mundial
Coordenadas geográficas geodésicas • La Tierra es aproximada por • una esfera • La superficie de referencia • quedará definida solo por su radio. • Los meridianos serán círculos • máximos -intersección de un plano que pasa por el centro de la esfera y su superficie. • La trayectoria más corta entre dos puntos cualesquiera sobre • la superficie de la esfera será un segmento de arco de un círculo máximo. • La latitud es geocéntrica
La Tierra es aproximada por un elipsoide La superficie de referencia quedará definida por dos parámetros. La trayectoria más corta entre dos puntos cualesquiera sobre la superficie de la esfera será un segmento de arco de un círculo máximo. La latitud no es geocéntrica
• La altura se empieza a medir desde la superficie de la figura y es perpendicular a ella.
Transformación desde y hacia coordenadas geográficas X ( R h) cos cos Y ( R h) cos sen Z
( R h) sen Z
arctan arctan h
X 2 Y2 Y X
(X 2 Y 2
Z2)
R
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Elipsoidales a cartesianas
X
(N
h) cos cos
Y
(N
h) cos sen
Z
( N (1 e2 ) h) sen
Cartesianas a Elipsoidales Z
arctan X
2
Y
2
*
N h N *(1 e2 ) h
0 Y X
arctan
2
0
si X 2 Y 2
0
x 0
sign( y )
x 0
Y X
x 0
arctan
si X 2 Y 2
Cartesianas a Elipsoidales h e N
X2 Y2 cos 2f
N
f2 a
1 e 2 sen 2
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Coordenadas topocéntricas o locales • Ubico al origen del sistema de ejes sobre la superficie. • Mido la altura respecto de un plano tangente a la superficie. • Las coordenadas son:
N E h
Conversión directa
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Conversión inversa
Si damos una lista de coordenadas geográficas o geodésicas… ¿Qué hace falta dar además de las coordenadas?
¿Será el geoide una buena superficie de referencia para asociar a algunas coordenadas?
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Distancias • Sobre el plano. d12
punto1
punto2
( x1
x2 )2
( y1
y2 )2
( z1 z2 ) 2
• Sobre otras superficies. – Siguiendo líneas de latitud o longitud en la esfera. – Sobre la esfera. – Sobre el elipsoide.
Segmento de arco (Lon. constante)
dm m
Rd R
R(
1
2
)
Donde los ángulos deben estar expresados en radianes
Segmento de arco (Lat. constante)
dp r.d p r. si r R.cos p cos .R.(
1
2
)
Donde los ángulos deben estar expresados en radianes
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Distancia en la esfera
Distancia en el elipsoide
Transformaciones entre sistemas
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Traslación Y
Y´
P
y´
y
y
O´
O
x
y´ y
y
X
x
x
x´ x
X´
x´
x´ y´
X
x
Y
y
Rotaciones Y Y´
P y X´ y´ x´ X O=O´
x
x´ cos x sen y
x´
y´
y´
sen x cos
y
cos sen
sen
x
cos
y
Generalizando Y
Y´ Y´´ y´
y
P
y´´ y O
x´ y´
X Y
X´´
x´´ O´
x´
X
x
x
cos sen
X´
sen cos
x y
s
x y
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Transformación general x´ y´
x s(cos x sen y ) y s ( sen x cos y )
x : traslación en X y : traslación en Y s : factor de escala : ángulo de rotación entre mar cos
Transformación de similaridad, Helmert o siete parámetros
X´
X
Y´ Z´
Y Z
1 k
Z Z
Y
1
Y X
X
1
X
X
Y Z
k Y Z
• Hemos hecho la hipótesis de que los ángulos de rotación son muy pequeños • Hemos considerado que las rotaciones. son positivas si son antihorarias. • Alternativamente en vez de la variable k se utiliza la variable s, donde k=1 + s y s se expresa en partes por millón (ppm).
Si tenemos los parámetros para pasar de S1 a S2 ¿Sabemos cómo pasar de S2 a S1?
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¿Qué cosa no tiene en cuenta la transformación de similaridad?
¿Qué cosa no modela una transformación de similaridad?