MATRICES Matrices de números reales. Definimos matriz real de elementos pertenecientes a R y de dimensión n filas por m columnas, aquel conjunto de números reales escritos de la forma siguiente:

 a 11 a12  a 22 a A   21    a  n1 a n 2 matriz nxm

 a1m    a2m       a nm 

En forma simplificada A = ( aij )nxm y se le denomina

Ejemplos:

A2 x 2

1 0    3 1

A3x 3

 1 5 0      3 2 4   1 0  1  

A3x1

 0      1  3 / 2  

A1x3  1  2

0

Matriz rectangular.- Es aquella en la que no coinciden el numero de filas con el de columnas. Se escribe Anxm donde n  m. Matriz fila es la que tiene por dimensiones 1xm Matriz columna es la que tiene por dimensiones nx1 Matriz cuadrada.- es aquella en el que el numero de filas y de columnas coinciden. Se escribe Anxn y diremos que son de orden n. En una matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a los elementos que van desde el vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y serán todos los aij / i=j En una matriz cuadrada llamaremos diagonal secundaria a los elementos que van desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo y serán todos los aij / i+j = n+1 donde n es el numero de filas o columnas. Matriz nula.- Es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0. Puede ser cuadrada o no. Se representa por Onxm y es tal que aij = 0  i,j

1

Matriz diagonal.- Es toda matriz cuadrada en la que todos sus elementos son nulos excepto los de la diagonal principal que pueden ser ceros o no.

 a 0 0    0 b 0 0 0 c  

 3 0 0   0  2 0 0 0 6  

0 0 0   0 3 0 0 0 4  

Matriz escalar.- es toda matriz cuadrada y diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales.

k 0 0   A  0 k 0  k  0 0 0 k    Matriz unidad.- Es toda matriz cuadrada, diagonal y escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. aij = 0 si i  j Se representa por I y sus aij son tales que aij = 1 si i = j

1 0 0   I   0 1 0 0 0 1   Matriz triangular.- Es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por debajo o por encima de la diagonal principal. 3 4 5  2 0 0      0 6 1  es triangular inferior.  3  1 0  es triangular superior. 0 0 4  4 0 3    

Operaciones con matrices. Suma de matrices Dadas dos matrices A y B de igual orden nxm, llamaremos matriz suma a otra matriz de igual dimensión nxm y cuyos elementos se obtengan sumando los elementos homólogos de A y de B. cij = aij + bij

3   2  4 3  2 1 3  6 5 2   2 3  1  4 2           2 4 2    1 2  4    2  1 4  2 2  4    1 6  2  5 6  3  2  4 3   5  2 6  4  3  3  7 2 0          2

Producto de una matriz por un número. Dada una matriz A de dimensiones nxm y un numero real  , el producto será otra matriz .A , de igual orden nxm y cuyos elementos se obtengan multiplicando todos los elementos de A por el numero 

 1 2 3   5 10 15      5   2 0 1   10 0 5   1  1 2   5  5 10      Producto de matrices. Dos matrices A y B son multiplicables solo si el número de columnas de la matriz multiplicando es igual al número de filas de la matriz multiplicadora. Anxm.Bmxp La matriz resultante tendrá igual número de filas que la matriz multiplicando y el mismo numero de columnas que la matriz multiplicadora. Cnxp Para calcular el elemento cij se multiplicara cada término de la fila i de A por cada término correspondiente de la columna j de la matriz B y luego se sumaran todos los productos obtenidos. Ejemplos:

 1 2   a   a  2b          ;  3 4   b   3a  4b  a b c    a  2d  3g b  2e  3h c  2 f  3i   1 2 3      d e f      4 5 6   g h i   4a  5d  6 g 4b  5e  6h 4c  5 f  6i     4 7   1 2 3   4  1  7  4 4  2  7  5 4  3  7  6   32 43 54              3 8   4 5 6   3  1  8  4 3  2  8  5 3  3  8  6   35 46 57  1  3 4 1     3  1  4  2  1  3   14      2         2 7 6   3   2  1  7  2  6  3   34     1 0 2   2 3 7   4 1 0   2  1  3  4  7  2 2  0  3  1  7  7 2  2  3  0  7  1  28 52 11 2 7 1  

3

Ejemplo:

 3 1 2 2    Sean y A    4 2  1 B   3  3 1 2 2     3 1 2  3 1    A 2  A  A    4 2  1    4 2  3 2 1  3 2   

1  5  Hallar A2 y A.B  4  2   11 7 9      1    23  1  12  1   11 7 9 

 3 1 2   2  1   13  6        A  B    4 2  1   3 5     4 18   3 1 2   2  4   13  6        En general no es conmutativa A.B  B.A bien por que no exista alguno de los dos productos, bien porque sus resultados den matrices de diferentes ordenes o bien porque aun siendo del mismo orden sus resultados sean distintos.

1 3     2 3  1 0 2  B    C   0  2  Sean las matrices A    1 0  2 1 0 2 0   

 1 0  D    2 3

1 3    2 3     0  2  no es multiplicable mientras que A.C  C.A ya que  1 0  2 0    1 3   5 3    2 3       2 0  si lo es.  0  2     2 0   1 0  4 6     1  1 0 2     0 B.C  C.B ya que   2 1 0  2  1 3   7  3 2    1 0 2       4 2 0   0  2     2 0   2 1 0  2 0 4    

3    5 3  mientras que  2    2 8    0  es de diferente orden.

 2 3   1 0  4 9        A.D  D.A ya que   1 0  2 3   1 0

mientras que

4

  1 0   2 3    2  3         Los dos productos son realizables, sus resultados 6   2 3  1 0  7 tienen igual dimensión, pero son diferentes. En los casos especiales en que A.B = B.A se dice que las matrices son permutables.

Matriz transpuesta. Dada una matriz A de dimensiones nxm, llamaremos matriz transpuesta de A y la designaremos por At o por A', a otra matriz de dimensiones mxn y que se obtiene cambiando filas por columnas y columnas por filas, sin alterar su orden.

3  1   1  2 0    At    2 4  Si A    3 4  1  0  1   Matriz inversa. Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, a otra matriz X, si existe, tal que A.X = X.A = I donde A,X e I tendrán el mismo orden. A dicha matriz se le designa por A-1 A la matriz A se le llamara inversible y a la matriz A-1 matriz inversa. También podemos asegurar que el producto es conmutativo y que las matrices A , X e I deben ser cuadradas y del mismo orden . Si la matriz A no es cuadrada, no será invertible y por tanto no poseerá matriz inversa.

Ecuaciones matriciales. Una ecuación matricial es una ecuación en la que la incógnita es una matriz y no un numero. X·B + X·C = X· (B+C) A·X + C·X = (A+C) · X * A·X – B = X  A·X – X = B  (A – I) ·X = B  (A – I)-1· (A – I) ·X = = (A – I)-1·B

 X = (A – I)-1 · B

* A·X = A + B  A-1·A·X = A-1 · (A + B)  X = A-1 ·(A + B)

*

A·X = B  A-1·(A.X) = A-1·B  (A-1·A)·X = A-1·B  I·X = A-1·B  X = A-1·B 5

DETERMINANTES. Determinante de 2º orden.

 a11 a12   al número Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 2º orden A    a 21 a 22  real a11.a22 - a12.a21 que se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Se representa por A Determinante de 3º orden.

 a11 a12 a13    Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 3º orden A   a 21 a 22 a 23  al a   31 a32 a33  numero real (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) - (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33) Una manera practica de recordar estos sumandos es la regla de Sarrus Ejemplo

2 3 5 A 4 7 3  2  7  1  4   8  5  3  3   2  5  7   2  3   8  2  3  4  1 =  2 8 1 = ( 14 - 160 - 18 ) - ( -70 - 48 + 12 ) = -164 - ( -106 ) = - 58 Ejemplo

2 3 4 B   1 5 6  2  5  9  4   1  8  3  6   7   4  5   7   2  6  8  3   1  9  7 8 9 = 90 - 32 - 126 + 140 - 96 + 27 = 3

6

Menor complementario. Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamaremos menor complementario del elemento aij, al determinante de orden n-1, que se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j en el A. Se simboliza por ij.

2 1 Dada A  2 1

 24

 32

1 3 4 5 2 1 3 4 0 7 0 3

1 5 1  13   2 3 0  9  14  3  30  38 1 7 3

2 1 3   2 3  4  42  4  9  56  1 1 7 0

2 3 4   1 2 1  12  3  8  9  26 1 0 3

Adjunto de un elemento. Llamamos adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada A, al valor del menor complementa-rio correspondiente, afectado del signo + o - según que la suma de los subíndices i + j sea par o impar Se representa por Aij = (-1)i+j.ij En la matriz A4x4 anterior, calculemos A31 y A43

A31   1

31

A43   1

43

1 3 4  5 2 1  6  21  56  45  4 7 0 3

2 1 4   1 5 1   12  2  40  6  20 2 3 0

7

Calculo de la Matriz inversa. La condición necesaria y suficiente para que exista matriz inversa es que dicha matriz sea regular o lo que es lo mismo que su determinante sea distinto de cero. Para calcular la inversa de una matriz A, calcularemos la matriz transpuesta de la matriz adjunta de A y lo dividiremos por el valor del determinante de dicha matriz A.

A

1

A  

d t

A

La matriz Ad se calcula, hallando todos los adjuntos de todos los elementos de la matriz A Si A  0 no existiría matriz inversa pues todos sus términos tendrían que venir divididos por 0 y me quedaría una matriz de elementos infinitos, con lo que no existiría. También se puede calcular primero la matriz transpuesta de A y luego la matriz adjunta de la At, para luego dividir por el valor del determinante. Ejemplos:

2 1  Hallar la A-1 de la matriz A    3 4 A  83  5  0

A11 = 4 A12 = - 3 A21 = - 1

A 1 

A22 = 2

 4  3  A d   1 2 

A 

d t

 4  1     3 2 

1  4  1  4 / 5  1 / 5     5   3 2    3 / 5 2 / 5 

Hallar la inversa de la matriz

A 2

A21 

A11 

1 5 1 0 1

0 0 0 0 1

A31 

0 0 0 1 5

A22 

 2 0 0    3 1 5   2 0 1  

A12 

3 5  13 2 1

2 0 2 2 1

A32 

A23 

A13 

3 1 2 2 0

2 0 0 2 0

2 0 2 0  10 A33  2 3 5 3 1

8

1  13 2 Ad  0 2 0 0  10 2

A 

d t

 1 0 0       13 2  10   2 0 2   

0 0   1/ 2   A 1    13 / 2 1  5   1 0 1  

La matriz inversa facilita la resolución de ecuaciones matriciales de la forma: A·X = B ==> A-1·(A·X) = A-1·B ==> (A-1·A)·X = A-1·B I·X = A-1·B ==> X = A-1·B

3 1  6 1 13   ; B    Ejemplo: Resolver la ecuación A·X = B siendo A   5 2 10 1 23  Como hemos visto X = A-1.B Calculemos A-1

A  65 1 0

 2  5  A d   1 3 

 2  1  A 1    5 3 

 2  1  6 1 13   2 1 3         X     5 3  10 1 23   0  2 4 

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RANGO DE UNA MATRIZ. Calculo practico del rango de una matriz. Método de Gauss. Dada una matriz, lo primero es eliminar las líneas que sean proporcionales a otras paralelas o que sean combinación lineal de varias líneas paralelas, que se puedan observar en primera instancia. A continuación hay que conseguir ceros en todos los elementos de la primera columna excepto el a11, dejando fija la 1ª fila. Para ello se buscaran las combinaciones lineales necesarias entre todas las filas a partir de la segunda y la primera fila. Fijamos la 2ª fila y hacemos ceros en todos los elementos de la 2ª columna excepto el b22. Para ello se buscaran las combinaciones lineales necesarias entre todas las filas a partir de la tercera y la segunda fila. Así seguiremos con las restantes columnas hasta conseguir que todos los elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros. Propiedades del rango de una matriz. a) Si en la matriz A, se intercambian entre si dos líneas paralelas, se obtiene otra matriz B, de igual rango que la de A. b) Si una línea de la matriz A, esta formada por ceros, el rango de A es igual al rango de la matriz B que se obtiene suprimiendo dicha línea de ceros. c) Si en la matriz A, se suprime una línea que sea combinación lineal de otras varias paralelas, se obtiene una nueva matriz B, de igual rango que la matriz A. Llamamos rango por filas de una matriz A, al numero máximo de filas linealmente independientes. Llamamos rango por columnas de una matriz A, al numero máximo de columnas linealmente independientes.

podemos eliminar dicha columna c2 por ser combinación lineal de c1.

principal en la 1ª columna con las siguientes combinaciones lineales. f2 + 2f1 ; f3 - f1 ; f4 + 2f1 manteniendo fija la 1ª fila.

10

Suprimimos la 3ª fila por ser igual que la 2ª fila.

Hacemos ceros por debajo de la diagonal principal en la 2ª columna con la siguiente combinación lineal. f3 - f2 manteniendo fijas la 1ª y la 2ª fila. Una vez conseguidos que por debajo de la diagonal principal sean todos los elementos nulos, contaremos el numero de filas linealmente independientes que nos quedan, en nuestro caso 3 filas. Puede que en algún caso sea necesario cambiar entre si dos filas para que el elemento de la diagonal principal no sea nulo. Ejemplo:

Hacemos ceros por debajo de la diagonal

principal en la 2ª columna con la siguiente combinación lineal. f3 - f2 manteniendo fijas la 1ª y la 2ª fila. diagonal principal en la 1ª columna con las siguientes combinaciones lineales. f2 - 2f1 ; f3 - 7f1 ; f4 - f1 manteniendo fija la 1ª fila.

Hacemos ceros por debajo de la

diagonal principal en la 2ª columna con las siguientes combinaciónes lineales. f3 - 2f2 y 5f4 + 2f2 manteniendo fijas la 1ª y la 2ª fila.

Ya hemos conseguido todos los ceros por debajo de la diagonal principal y han quedado 3 filas l.i, por lo que rg A = 3 . 11

2.1 DIAGRAMA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Dado un sistema de ecuaciones lineales (m ecuaciones y n incógnitas), podemos transformarlo en otro llamado triangular. Sistema triangular es aquel en el que todos los coeficientes por debajo de a11, a22, .... ann, son siempre ceros. También se le denomina sistema en forma escalonada. Se puede comprobar que si el sistema a resolver tiene forma triangular, la resolución es casi inmediata.

De la ultima ecuación De la segunda ecuación

==> y-1=1;

z=1

y = 1 + 1 ==> y = 2

De la 1ª ecuación x + 2·2 + 1 = 8 ; x = 8 - 4 - 1 ==> x = 3 Es pues conveniente ir transformando un sistema de ecuaciones en otro equivalente y con forma triangular Sea el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, el cual podremos escribirlo en un diagrama de doble entrada de filas y columnas, teniendo en cuenta solo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. x1 x2

xn

1ª ecuación 2ª ecuación

a11 a12 ...... a1n b1 a21 a22 ...... a2n b2 .................... ..... m ecuación am1 am2 ...... amn bm a) Siempre podremos intercambiar entre sí dos o más filas por corresponder a los coeficientes de mis ecuaciones. b) Podremos intercambiar entre si las columnas, por poseer las ecuaciones la propiedad conmutativa de la suma. No intercambiar la columna de los términos independientes. c) Podremos multiplicar o dividir, por un mismo número distinto de cero, todos los elementos de una fila, ya que es como si simplificáramos o multiplicáramos por un numero toda la ecuación.

12

Por ejemplo: x

y

z

x

y

z

z

y

x

z

y

x

2.2 RESOLUCION DE UN SISTEMA POR EL METODO DE GAUSS. Es una variante del método de reducción. Consiste en: a) Eliminar la 1ª incógnita, entre la 1ª ecuación y cada una de las m-1 ecuaciones restantes, sustituyendo cada una de las m-1 ecuaciones por cada resultado de la eliminación. b) Suprimir la 2ª incógnita, entre la 2ª ecuación y cada una de las m-2 ecuaciones restantes, sustituyendo cada una de las m-2 ecuaciones, por la ecuación que resulte de la eliminación correspondiente. c) Se prosigue hasta conseguir que aparezca una ecuación en la que exista solo una incógnita con coeficiente distinto de cero. d) Se llama pivote, a los coeficientes de las incógnitas, o variables libres, que se van a eliminar, bien en la 1ª ecuación, bien en la 2ª, etc. e) Si existe alguna ecuación con coeficiente 1, en alguna de las incógnitas, se tomara dicha ecuación y dicha incógnita, como primera, tanto en la fila como en la columna, y para ello aplicaremos las tres propiedades antes enunciadas.

- x – 3·2 = - 9 ; - x = - 9 + 6 ; - x = - 3 ===> x = 3 z + 3 + 2·2 = 8 ; z = 8 - 3 - 4

===> z = 1 13

2.3 METODO DE GAUSS APLICADO A ALGUNOS TIPOS DE SISTEMAS. Vamos a aplicar el método de Gauss a sistemas de ecuaciones no homogéneos (con termino independiente distinto de 0), en los cuales aparezcan las tres clases de sistemas: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. a) Si se obtiene alguna ecuación de la forma 0 = c, siendo c 0 el sistema es incompatible ==> no admite soluciones reales. b) Si se obtiene la ecuación 0 = 0 , el sistema será compatible indeterminado ==> existirán infinitas soluciones, las cuales vendrán dadas a partir de uno o varios parámetros. c) Si al final de la forma triangular, sigue quedando el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, el sistema sera compatible determinado ==> existirá solución única.

0 = 0, nos quedaran 2 ecuaciones con 3 incognitas ==> sistema compatible indeterminado ==> existen infinitas soluciones para los diferentes valores del parametro t. 14

6x + 11y = 20 ;

En el caso de que el sistema sea homogeneo (terminos independientes todos ceros), el sistema admite siempre la solucion llamada trivial x1 = x2 = ...... = xn = 0 El sistema homogeneo puede ser que: a) Admita solo la solucion trivial ( 0, 0, ... 0) siempre que el numero de ecuaciones coincida con el de incognitas. b) Admita ademas infinitas soluciones (compatible) siempre que el numero de ecuaciones sea menor que el numero de incognitas.

15

Existen por ultimo una serie de problemas de sistemas de ecuaciones en los que aparecen algunos coeficientes indeterminados y en los cuales hay que discutir el sistema según los distintos valores del parámetro dado. En todos ellos el método de Gauss, consigue un sistema de ecuaciones triangular equivalente al inicial y donde se podrán discutir las diferentes soluciones segun los valores del parámetro.

Si k - 5

0 ==> k

5 el sistema es compatible y determinado.

(k - 5)· x = 0 ==> x = 0 3y + 7· 0 = 5 ==> 3y = 5 ==> - z + 2· (5/3) + 3· 0 = 1 ==> - z = 1 - 10/3 ==> - z = - 7/3 ==> z = 7/3 Si k - 5 = 0 ==> k = 5 , por ser todos los elementos de la última fila ceros, el sistema será compatible indeterminado. Haciendo x = t nos queda que 3y = 5 - 7t ==>

– –

16

Al ser un sistema homogéneo, y discutiendo el sistema triangular aparecerán dos casos: a) Si k - 1 = 0 ==> k = 1 , las ecuaciones 2ª y 3ª se transforman en 0 = 0, con lo que se pueden suprimir, quedando por tanto un sistema equivalente con una sola ecuación. x+y+z=0 Dicho sistema será compatible pero indeterminado ya que el numero de ecuaciones es menor que el de incógnitas. Esto quiere decir que existirán infinitas soluciones, las cuales dependerán de 2 parámetros. Si despejamos x = - y - z

y llamamos y = , z =

podemos deducir que

b) Si k - 1 0 ==> k 1 , el sistema seguirá siendo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, por lo que el sistema será compatible y determinado. Esto implica que posee solución única y al ser un sistema homogéneo dicha solución será la trivial, es decir x=0 ; y=0 ; z=0

17

MATRICES. Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo: 0 3 0   4  2 1   1 3 5   , B   2 0 1  , C    A    2 4  6  5 1  3    0  3 2  

(PAU).

1 1 1  0 0 1     Considera las matrices A   2 1 2  y B   0 1 1 , Calcula la 0 0 1  1 1 1    

matriz X que verifica que X·A + B = I.

(PAU).

1 2  1   Dada la matriz A   2 0  1 , calcula, si existen las siguientes  6 1 0    matrices: a) Una matriz X tal que X  A  1 0  1 . b) Una matriz Y 1 0 1  tal que A  Y   (PAU). 0 1 0  

3 1

 , determina otra matriz B, tal que: Dada la matriz A   1 2 A+B=A·B (PAU).

8 5 4    Dada la matriz A   0 7 1   0 0  2  

, Halla A-1 .

1 2

t -1 2  calcula la expresión: (A · A ) · A Dada la matriz A   3 4

18

a) Calcular A + A2 ,

Dada la matriz b) Resuelve el sistema

1 1 2   Dada la matriz A   2 x 1  calcula para que valor de x, posee 1 4 x  

inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1.

(PAU).

 2 1 4   Dada la matriz inversible A   3 2 5  hallar: 0 1 1  

a) At·A , b) A·At ,

c) A·A-1 , d) A-1·A , e) At·A-1 , f) A-1·At . 1 0   1 1  Dadas las matrices: A   0 2  , B   0 2   4 8  

Calcula: a) A·B ;

b) 2A · 3B ; c) B3

Dadas las matrices

1 3 0  2 1 0     A   0 2 0  ; B   0 4 1  Calcular a) A + B ;  4 0 5  6 0 3    

b) A·B ; c) A – B ; d) A + 3B ; e) B2 ; f) A3 – B

Dadas las matrices a) Resuelve la ecuación X · A + X = 2B b) Calcula la matriz inversa de A.

19

–

, d) calcular A50.

Calcular a) a y b para que se verifique que A · B = C b) Si a = b = 3 , calcular An por inducción. c) Calcular P = B2 – 2C + B · I

Dadas las matrices: a) A.B ; b)

calcular

; c) Resolver el sistema

 2 1

 3  1

 2

1

 , B    y C    Dadas las matrices: A   0 3 2 1 3  1       comprueba las siguientes igualdades: a) A  B  C    A  B  C ; b) A  B  C   A  B  A  C ; c)  A  B  C  A  C  B  C ; d)  A  B 2 ; e) A2  B 2  2 AB

1 2 0 1 1 2      Dadas las matrices: A   0 1 2  , B   1 1  1 0 2 3 0 1 3     

Determinar a) la

matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que A  B  X

20

Dadas las matrices

Resolver a) la

ecuación A · X – B2 = A · B ; b) El sistema

– –

Determina la matriz X que satisface la ecuación: 3X + I = A· B – A2 ,  1 1 2 1 0 2      siendo: A   2 0 3  y B   2 1 1   3 1 2  3 2  1    

e I la matriz unidad de

orden 3.

(PAU).

Encontrar las matrices X tales que A·X = X·A siendo

,

b) Calcular la matriz inversa de A.  7

4 

 y comprueba sí Hallar la inversa de la matriz A     9  3 (A-1)2 = (A2)-1 .

 0 1 0 1 0 0     Hallar la matriz inversa de I – A siendo: A   0 0 1  ; I   0 1 0   0 0 0 0 0 1    

Hallar las inversas de las matrices:

a)

 1 0 1   A   3 1 0  0 5 1  

; b)

 1 1 1    B   1  1 11 1 1 1   

Hallar x, y, z para que se verifique 4 8   2 A  3B    7 11 Resolver el siguiente sistema matricial 10 1   5 A  2 B    8 18 

(PAU).

21

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales: 7 3 X  2Y   16  6 X  3Y    2

3  4  12   27 

(PAU).

Resuelve los sistemas matriciales: 1

0

 a) 2 X  Y    1 1 1 3   X  Y   5  4

 2

4

 b) X  Y     4 2  2 8  3Y  X    12 2 

 1 0  1   Resuelve la ecuación X · A + X = 2B , siendo: A   0 1 0  y   1 1  1   2 1 1   B  0 1 1  (PAU). 1 1  2  

1

2

 Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo: A    0  1

;

 1 2 3  B    0  1 1

Resolver la ecuación matricial A.X + 2B = 3C siendo

b) Dada la matriz

22

Resuelve la ecuación matricial X · A + X = 2B, siendo . b) Calcula la matriz inversa de A. Resolver la ecuación matricial A·B·X – C·X = 2C siendo

1

0

 y Resuelve la ecuación matricial 2A = A·X + B, siendo: A    1 1    1 2  B    3 1  

(PAU).

Resuelve la ecuación matricial, P·X + 3I = Q, donde I es la matriz  1 0   2 3  ; Q    2  1 2

identidad de orden 2 y P y Q son las matrices: P   2

(PAU). Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B 1 1   tal que B  A  0 0 siendo A   0 1   0 0  

(PAU).

1 1 0   1     Sea la ecuación A·X = B con : A   3 0 2  y B   2  5 1 1 3    

Hallar A-1 y X.  1 1

10  Calcular A Sea la matriz A   a partir de la An  0 1 (PAU MODELO 2008-09)

23

1 a

n  : a) Para cada numero natural n, hallar A . Sea la matriz A   0 1 22 b) Calcular A – 12A2 + 2A. (PAU).

0 0 1   Sea la matriz A   1 0 0  a) Comprueba que A-1 = At ; b) Utili 0 1 0  

zando el apartado anterior, calcula (At · A)1998 .

(PAU).

 2 2  2   Sea la matriz A   2 2  2  Se pide: a) Comprobar que A3 - 2A2 = 0.  2 2  2  

b) Hallar An.

(PAU MODELO 2004-05). 1 0

 y sea n un numero natural . Encontrar el Sea la matriz A   3 1 valor de An para cada n y hallar A350 – A250 . (PAU).

 1 1

8  9

 , B    . Hallar una matriz X tal Sean las matrices: A    0 1 6  7 que X  A  X 1  B .

Sean las matrices:

Hallar la matriz X

que verifique A.B – 2X = A + 3B , b) Calcular  2 3

1

3 

 , B    Hallar la matriz X Sean las matrices A y B: A    1 0  2  2 que verifica la igualdad: 2X – A·B = A2 . (PAU).

Sean las matrices a) Hallar la matriz X que verifique X·A – B = 2I ; b) A86 ; c) Calcular A-1 24

2  1 2 0 1 1      Se consideran las matrices A    1  1 1  y B   5 1  3  1  2 2  0 0 2     

calcula (A + B)2 , A2 + 2AB + B2 y A2 + B2 , ¿Por qué no coinciden sus resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una suma de matrices?.

Se consideran las matrices a) Calcúlense los valores de a para los cuales no existe la matriz inversa A-1. b) Para a = - 1, calcúlese la matriz inversa A-1. c) Para a = 0, calcúlense todas las soluciones del sistema lineal A·X = O (PAU Septiembre especifica 2009-10).

Una matriz X es idempotente si y solo si X2 = X. ¿Cuáles de las siguientes matrices son idempotentes?  2  2  4  1 10  10  1 1 1       A  1 3 4  ; B  10 2  10  ; C   0 1 0   1  2  3 10  10 3   1 2 3      

(PAU).

25

PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Dos hermanos, tienen entre ambos 29 años y uno de ellos le dice al otro: Dentro de 8 años, mi edad será el doble que la tuya. ¿Cuantos años tienen cada uno en la actualidad?. El testamento de un padre con 3 hijos contiene las siguientes disposiciones: La parte de mi hijo mayor será la mitad de la parte de los otros dos, mas 3000 €; la parte del más joven será la media de los otros dos, menos 3000 €. Si hay que repartir 9000 €, ¿a cuánto toca cada hijo?.

El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla, observa que está muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total. Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total. ¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de agua?.

En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado: Acero Acero Aceros Laminas rollos especiales Chatarra 8 6 6 Carbón 6 6 4 Aleaciones 2 1 3 a) Si se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de aceros en rollos y 3 unidades de aceros especiales, obtén una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán necesarias. b) Si se dispone de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9 aleaciones, cuantas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?.

26

En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestaciones ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuántas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema. (PAU). Juan le dice a Pedro: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. La suma del triple de la edad que tu tienes con la que yo tendré cuando tu tengas la edad que yo tengo es de 280. ¿Cuáles son las edades actuales de Juan y Pedro?.

La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.

La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las decenas más el doble de la cifra de las unidades. Si se in-vierte el orden de las cifras, el nuevo número ha disminuido en 297 unidades. Calcular el número.

Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl y Pedro, suman 15,45 €. Si a lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raúl y Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Además, ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl y el de Marta es igual al gasto de Marta. Averigua cuál es la cantidad que gasta cada uno. (PAU).

27

Por 9 entradas de Butaca de Patio (BP), 6 de Anfiteatro I (AI) y 9 de Anfiteatro II (AII) una persona ha pagado 480 euros. A otra persona le han cobrado 140 euros por 4 de AI y 6 de AII , y una tercera persona paga 160 euros por 3 de BP, 2 de AI y 3 de AII. a) Determina, solo con estos datos, el precio de las Butacas de Patio. b) ¿Puede hallarse el precio de las entradas de Anfiteatro I y II?. c) Si el precio de las entradas de anfiteatro I es el doble que el de las de Anfiteatro II, ¿pueden saberse los respectivos precios?. Hállalos. (PAU).

Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuantos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del 40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.

Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos A,B y C. El A tiene 10 cal por cada 100 gr de alimento, el B tiene 30 cal por cada 100 gr y el C 40 cal por cada 100 gr. A) Si la dieta consta de 4000 gr de alimentos por día, dicha dieta está restringida a 840 cal exactas y la cantidad de alimento A ingerido debe de ser doble en peso que la cantidad de alimento de C. Hallar las cantidades que debe de ingerir de cada uno de los alimentos.

Se desea mezclar vino de 0,55 céntimos el litro con otro de 0,40 céntimos el litro, de modo que la mezcla resulte a 0,45 céntimos el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben de mezclarse para obtener 300 litros de mezcla.

Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del número es 16, encuentra dicho numero. (PAU).

Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.

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Si la suma de las dos cifras de un número es 11 y al invertir el orden de las cifras, el nuevo número aumenta en 27 unidades. Calcular el número.

Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 % de alcohol. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de tinto?. (Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino tinto, z a la graduación de la mezcla)

Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia de antigüedad entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. (PAU). Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el método de Gauss. (PAU). Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg respectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el sistema.

Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A a la B tarda 2 horas y 29

30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan entre sí 192 km?. (PAU).

Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y obtuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la segúnda. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss.

Un número de tres cifras verifica que: a) La suma de sus cifras es 24. b) La diferencia entre las cifras de las centenas y las decenas es 1. c) Si se intercambian las cifras de las unidades y las centenas, el número disminuye en 198 unidades. Encuentra dicho número. (PAU). Un pastelero desea vender cajas que contengan al menos 12 unidades, con dulces de dos clases y a un precio menor de 5 . Si el precio de coste de cada una de las clases de dulces es de 50 y 25 céntimos la unidad: a) encuentra de forma gráfica el conjunto de soluciones. b) Si la caja no puede estar vacía ni contener una sola clase de dulce, halla todas las posibles combinaciones de las cajas que satisfacen las condiciones impuestas por el pastelero. (PAU).

Un viñatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7 euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino que solo cuesta 3 euros el litro?. (PAU). Una madre y sus dos hijos tienen en total 60 años. El hijo mayor tiene 3 veces la edad del menor y la madre tiene el doble de edad que la suma de las edades de sus hijos. Plantear el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y resolverlo por Gauss.

Una marca comercial utiliza tres ingredientes A, B y C en la elaboración de tres pizzas P1, P2 y P3. P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; P2 con 2 unidades d A, 1 de B y 1 de C, y P3, con 2 unidades 30

de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 12 € para P1, 10,25 € para P2 y 12,25 € para P3. Sabiendo que el margen comercial (beneficio) es de 4 € en cada una de ellas, ¿qué le cuesta a dicha marca comercial cada unidad de A, B y C?. Justifica la respuesta. (PAU).

Una multinacional de seguros, tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad?. Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500 barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de 19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuánto cuesta el barril de crudo de cada país?.

SISTEMAS DE ECUACIONES Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus términos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas 31

que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indeterminado; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejemplo cuando la respuesta sea afirmativa. (PAU). x  2 y  2z  t  4 x y  z t  5 Clasifica y resuelve el siguiente sistema: x y zt  6 6 x  3 y  3z  2t  32

(PAU).

1 1 3    Considera la matriz  2 3 4  siendo m un parámetro real. Se pi3 4 m  

de: a) Calcula el rango de A según los valores del parámetro m,  x   0     b) Considera el sistema de ecuaciones lineales A   y    0  Discute si  z   0    

existe solución según los valores del parámetro m. En caso afirmativo resuelve el sistema. c) Para m = 7, considera el sistema de ecuaciones lineales

 x   2     A   y    0  discute si existe solución.  z   3    

x yz 6 Dado el sistema: x  2 y  2 z  5 2 x  y  z  11

(PAU).

a) Obtén su matriz de coeficien-

tes. b) Calcula su inversa. c) Sin resolverlo, razona si tendrá una única solución. (PAU). 1 1 1  2      y   Dado el sistema de ecuaciones lineales : x   2    0 1       3   1 1 0  z   2      

a) Exprésalo en la forma matricial AX = B y calcula la A-1. b) Resuélvelo. (PAU). Discute el sistema en función de los distintos valores de n, y resuélve-

x  2y  1 lo cuando sea posible. 3x  y  1 4x  y  n

(PAU).

32

Discute los sistemas y resuelve donde proceda:

x  y  2z  1 x y 6 a) 2 x  y  4 z  7 b) 2 x  y  5 4x  y  9 4 x  3 y  11

(PAU).

Discute y resuelve el siguiente sistema según los distintos valores del parámetro a:

2y  z  a 3 x  2 z  11 yz 6 2x  y  4z  a

(PAU).

Estudia según los valores del parámetro , es sistema de ecuaciones

x  y  1 lineales: y  z  1 x  2 y  z  1

Resuélvelo en el caso de que sea compatible

indeterminado.

(PAU).

Halla el valor del parámetro k para que las tres rectas del plano, definidas por las siguientes ecuaciones, sean concurrentes en un punto. y  2x  4 2 y  3x  k  0 x y 0

(PAU).

Obten los valores x, y , z que verifican la siguiente ecuación matricial:  1   1 1 1      y   x   2    2 1      0    1  0 1  z   0       

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x yz 6 Resuelve el sistema: 2 x  3 y  z  9 3x  2 y  5 z  1

(PAU).

x  2y  z  1 x yz 0 2 x  3 y  1

(PAU).

33

Resuelve por el método de Gauss: a)

x  y  z  16 2 x  3 y  3z  12 x  y  2 z  4 x  3 y  2 z  11 b) x  4 y  5 z  11 c) 2 x  y  3z  4 d) 2 x  y  3z  17 x  z  11 y  z  13 3x  2 y  z  7 2x  y  6z  3 3x  5 y  z  4

2x  3y  z  0 x yz 0 e) x  2 y  z  6 f) x  y  2 z  0 4 x  7 y  z  12 x  3y  4z  0

x  2y  z  0 g) 3x  4 y  z  0 2 x  y  8z  0

x yz 0 h) 2 x  3 y  2 z  0 x yz 0

3x  2 y  4 z  8 Resuelve, por el método de Gauss, este sistema: x  y  2 z  1 7 x  8 y  8 z  22

(PAU).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

. a) Discútase el

sistema para los diferentes valores del parámetro a. b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para a = 0. (PAU Septiembre común 2009-10)

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

a) Discútase el sistema para los dife-

rentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3 (PAU modelo 2009-10).

Sea el siguiente sistema de ecuaciones, en función del parámetro m:

3x  2m  3 y  1  3mx  y  1

a) Exprésalo en forma matricial, siendo los elemen-

tos de una de las matrices que intervienen las variables x e y. b) Dis-

34

cútelo según los valores del parámetro m. c) Determina su solución para m = 5 (PAU). x  2 y  2z  0 Sea el sistema de ecuaciones lineales: y  z  1 x yz 2

a) Escríbelo en

forma matricial. b) Justifica sin resolverlo que no tiene solución única.

PROGRAMACIÓN LINEAL

35

Dibuja la región definida por las siguientes desigualdades y determina en ella el punto en el que la función f(x,y) = 6x + y toma el valor má5 x  y  47 9 y  2x  0 ximo: x  2 y  22 x0

(PAU).

Doscientas personas quieren organizar una excursión con una empresa que dispone de 4 autobuses de 40 plazas cada uno y 5 autobuses de 50 plazas cada uno. El alquiler de un autobús grande es de 180 €, y el alquiler de uno pequeño es de 120 € . ¿Qué combinación de autobuses minimiza el costo de la excursión si la empresa dispone de 5 conductores?. (PAU).

Los alumnos y alumnas de primero de Bachillerato, con el objetivo de recaudar fondos para el viaje fin de curso, deciden vender paquetes de dulces navideños. Disponen de 10 kg de polvorenes y 8 kg de mantecados. Acuerdan hacer dos tipos de paquetes: uno, a un precio de 3 €, formado por 100 gr de polvorones y 150 gr de mantecados, y otro, a un precio de 4 €, y que contiene 200 gr de polvorenes y 100 gr de mantecados. ¿Cuántos paquetes de cada tipo les interesa vender?. (PAU).

Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un máximo de 24 toneladas de dos productos A y B, dándome una comisión de 150 € por tonelada vendida de A y 100 € por tonelada vendida de B. Averigua cuantas toneladas debo vender de A y de B para maximizar la ganancia. (PAU).

Se considera la región del primer cuadrante determinada por las ine-

x y8 cuaciones: x  y  4 a) Dibuja la región y determina sus vértices, x  2y  6

b) Dada la función objetivo f(x,y) = 3x + 2y , halla donde alcanza dicha función su valor mínimo y calcúlalo. (PAU).

36

Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de inecuaciones:

x y5 x  3y  9 x0 y0

. Representa la región factible que determina el

sistema de inecuaciones y halla la solución mínima y máxima para que cada una de las siguientes funciones: a) f(x,y) = 2x + 3y; b) f(x,y) = y - x (PAU). Se necesita una dieta que proporcione a un animal 3000 calorías y 80 unidades de proteínas diarias. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A cuesta 20 céntimos/kg, y contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. Y el alimento B cuesta 10 céntimos/kg, y contiene 50 calorías y 8 unidades de proteínas. Determina la combinación de alimento más económica que satisfaga las necesidades de la dieta. (PAU).

Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades del mercado, es necesario que haya mayor o igual numero de mecánicos que de electricistas, y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total, hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 € por electricista y de 200 € por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben de elegirse para obtener el máximo beneficio?. (PAU).

Un grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para invertir en dos tipos de fondos de inversión, A y B. El fondo de inversión tipo A tiene una rentabilidad del 4% anual y una limitación legal de 5 millones de euros de inversión máxima. El fondo de inversión del tipo B tiene una rentabilidad del 3% anual, deben de invertirse al menos 2 millones de euros y no hay límite superior de inversión. El grupo inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en el fondo del tipo A. ¿Qué cantidad debe invertir el grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual?. Calcúlese dicho beneficio máximo. (PAU Septiembre especifico 2009-10)

37

Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27,5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, P y P´. Para elaborar una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, y para hacer una docena de tipo P´ necesita 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena del tipo P es 20 € y por una docena de tipo P´ es 30 €. Halla él numero de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (PAU). Un pintor necesita pintura par pintar como mínimo una superficie de 480 m2. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m2 por kg. y un precio de 1 € por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 € por kg y un rendimiento de 8 m2 por kg. Ningún proveedor le puede proporcionar más de 75 kg de pintura y el presupuesto máximo del pintor es de 120 €. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo. (PAU Septiembre común 2009-10).

Una empresa constructora dispone de un total de 93000 m2 de terreno urbanizable. Decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares: unas, en parcelas de 400 m2, que albergaran a familias de una media de 5 miembros, y cuyo precio de venta será de 400000 €; y otras, en parcelas de 300 m2, en donde vivirán familias de una media de 4 miembros, y costaran 320000 €. Las autoridades del municipio le imponen dos condiciones: (1) él número de casas no puede superar las 275; (2) el número de habitantes esperado no puede ser superior a 1200 personas. ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para maximizar los ingresos por ventas?. (PAU).

Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio. El beneficio que obtiene la empresa por cada 100 m de cable de tipo A fabricados es igual a 1500 €, y por cada 100 metros de cable de tipo B es igual a 1000 €. Calcúlense los metros de cable de cada tipo que han de fabricarse para maximizar el beneficio y determínese dicho beneficio máximo. (PAU modelo 2009-10). 38

Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Sé obtiene un beneficio de 4 € por cada broche sencillo y de 6 € por cada broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta, y tampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál es él numero de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener el máximo beneficio?. Calcula la producción necesaria para conseguir el máximo beneficio si se obtiene 6 € para cada broche sencillo y 4,50 € para cada broche de fiesta.

Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las prendas de calidad A se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de fibra sintética, y las de calidad B con 2 unidades de lana y 1 de fibra sintética. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendas son de 15 € para las de calidad A y 10 € para las de calidad B. Sabiendo que solo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sintética, se pide: a) Determina cuantas prendas de cada tipo deben de elaborarse para obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a 1000 prendas. b) ¿A cuanto ascenderá dicho beneficio?. (PAU). Una granja de aves cría pollos y patos con un coste por cada uno de 1 € y de 2 € respectivamente, y los vende a 1,80 € el pollo y a 2,30 € el pato. Sabiendo que la capacidad máxima de la granja es de 2000 animales y que solo se dispone de 3000 € para invertir en pollos y patos, se pide: a) Determina él numero de pollos y patos que se pueden criar para obtener un beneficio máximo. b) ¿Cuál será dicho beneficio máximo?. (PAU).

39

MATRICES.

¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo. Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q). Para poder multiplicar M:N , el numero de columnas de M debe ser igual al número de filas de N, es decir n = p. De igual forma, para poder multiplicar N·M, el numero de columnas de N debe ser igual al de filas de M, es decir q = m Por tanto, para poder multiplicar la M·N y la N·M a la vez, deberá verificarse que el orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.

Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.

Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4) Si multiplicamos A·B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de columnas de A, es decir que p = 4 Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila. Si multiplicamos B·A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B·A tenga una sola fila, será necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1 En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3) Si tomamos B = (1 0 0) y multiplicamos B·A nos queda:

40

Obtén razonadamente la matriz An para n > 5 .

A4 = A3 · A = O · A = O A5 = A4 · A = O · A = O Como consecuencia An = O · A = O

41

Dada una matriz P 2x2 , a)¿existe una matriz Q tal que el producto P·Q, o bien el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?. b) Calcular la matriz M = P2 – 3P – 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y a) P2x2 · Qnxm = B1xm Nunca ya que si el resultado tiene una fila, el multiplicando tambien y aquí P tiene 2 filas Qn x m · P2x2 = B1 x m Si, siempre que m = 2 y n = 1 ya que asi, si m = 2, el nº de columnas de la multiplicando coincidira con el nº de filas de la multiplicadora y con el nº de columnas del resultado. Ademas, si n =1 , el nº de filas de la multiplicando coincide con el nº de filas del resultado.

m

a)

b)

+

= + =>

42

.

=>

rag C = rag A < nº incognitas => sistema

compatible indeterminado => y = 3 – 2z x + 2·(3 – 2z) + 3z = 7  x + 6 – 4z + 3z = 7  x = 1 + z

– –

La matriz resultante es

43

Si c = 0 ==> a2 = 1 ==> a = ± 1 y b = ± 1 Si a + b = 0 ==> a = Con todas estas soluciones, las posibles matrices simétricas de segundo orden, serán de la forma:

Estas dos últimas

c  1

44

Si Si Si Si

a = 1 y b = 0  0 = 1 + 0 No vale a = 1 y b = 1  0 = 1 + 1 No vale a = -1 y b = 0  0 = -1 + 0 No vale a = -1 y b = 1  0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1  c = 0

La única matriz valida es

–

– 

–

–

45

Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:

–

–

– –

Se puede comprobar que

–



–



A·B  B·A

46

47

.

–

48

(PAU JUNIO 2007)

–

–

–

–

La solución es x = 3, y = 2 y z = 3.

49

Se consideran las matrices

50

51

Planteamiento y resolución de sistemas. El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximadamente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el sector agrícola el 12%. Si el empleo total del año fue de 11593900. Calcular los empleos del sector. Llamamos x a los empleos del sector servicio. Llamamos y a los empleos del sector industrial. Llamamos z a los empleos del sector agrícola. Llamamos t a los empleos totales

En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado: A. en laminas A. en rollos A. especiales Chatarra 8 6 6 Carbón 6 6 4 Aleaciones 2 1 3 Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9 aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales? =

Por Gauss

=

3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ;

y = 2 unidades de acero en rollos

4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ; x = 2 unidades de acero en laminas 52

En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y 4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la granja ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo vendida es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo: a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema. c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo? x pollos

a 2€/kg

y pavos

a 15€/kg

z perdices

a 4€/kg

y = 2z ;

y = 1000kg de pavos.

x= 100 + y ;

x = 1100kg de pollos

Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido, decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas. Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de pata-tas y decide comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6 euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros. Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite. x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite

z = 2,5 €

=>

x = 6,5 – 2·2,5 = 1,5 €

=> y = 3,5 -1,5 = 2 € 53

Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las edades actuales de ambos. Edad actual del padre: x Hace tres años + 9) / 2

Edad actual del hijo: y

==> x - 3 = 3· (y - 3)

Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x

Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

y = 15 años

x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45

=>

==> x = 42 años

Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relación de primero y segundo es de 6/5. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?. ¿Cuántos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo tenga 35 alumnos como máximo?. x serán los alumnos de 4º ESO y serán los alumnos de 1º z serán los alumnos de 2º

y lo sustituimos en la 1ª ecuación =>

==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos x = 19 · (90 / 18) ==> x = 95 alumno;

z = 5 · (90 / 6)

==> z = 75 alumnos

Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35 alumnos como máximo. De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases. De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases. De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.

54

Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que tenía en ese momento mas uno. Su madre le pregunta que con cuantos amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco. ¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta. x cromos al salir de casa Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2 y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2 Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4 y le queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4 Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8 y le queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8 Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16 y le queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16 Al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 = (x + 2) / 32 y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 = = (x – 62) / 32 Como al final no le quedan cromos  x – 62 = 0  x = 62 cromos

55

Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C. El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene 30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta consta de 400gr. de alimento por cada día, si ducha dieta esta restringida a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que debe ingerir de cada uno de los alimentos. A= X B=Y

C=Z

=>

=>

=>

– –

– –

=> X = 2400gr. de alimento de tipo A

– –

–

Z= 1200gr. de alimento de tipo C 2400 + Y + 1200 = 4000 ;

Y = 400gr. de alimento de tipo B

56

Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos?. x kg de café A a 980 pts/kg y kg de café B a 875 pts/kg z kg de café C a 950 pts/kg

1050 kg de mezcla a 940 pts/kg

–

Resolviendo por Gauss

=> –

 z = 700 kg de café C - 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200  y = 210 kg de café B x + 210 + 700 = 1050  x = 140 kg de café A

57

Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero ascendió a 275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros. Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el mes de Enero ha sido de un 30% de 1ª mas en Enero que en Febrero y la 2ª clase en Enero representa el 60% del total. ¿Cuantos pasajeros de 1ª y de 2ª han utilizado el servicio?. Llamamos x a los pasajeros de 1ª Llamamos y a los pasajeros de 2ª Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero

x2 + y2 = 250500 275700 - y1 = 1,3x2 y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros 275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831 viajeros y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831; x = 195111 viajeros. Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ; y = 331089 viajeros.

58

Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia xde antigüedad entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. x años el A, y años el B, z años el C

=>

=> z = 240 / 20  z = 12 y + 12 = 30  y = 18 x + 18 + 12 = 50  x = 20 20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y 12 años de antigüedad el empleado C.

59

Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unidades. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?. Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD 16 ≤ x + y + z ≤ 22 Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CD Luisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD Como los tres deben de acabar con el mismo numero de CD x–3=y+1 x–3=z+2

x–y=4 x–z=6

x Llamando y    4 z   5 λ=6 λ=7 λ=8 λ=9 λ = 10 λ = 12

x = 6; x = 7; x = 8; x = 9; x = 10; x = 11;

y=x-4 z=x–5

Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6

y = 2; y = 3; y = 4; y = 5; y = 6; y = 7;

z=1 z=2 z=3 z=4 z=5 z=6

x+y+z=9 x + y + z = 12 x + y + z = 15 x + y + z = 18 x + y + z = 21 x + y + z = 24

no vale no vale no vale si vale si vale no vale

Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD Las soluciones son dos Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD

60

Un agricultor tiene repartido sus 10 Ha de terreno en barbecho y cultivos de trigo y cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 Ha más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 Ha menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y de cebada. ¿Cuántas Ha hay dedicadas a cada uno de los cultivos y cuantas están en barbecho? Sea x el nº de Ha de barbecho y el nº de Ha de trigo z el nº de Ha de cebada

61

Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos, viajeros con bono de des-cuento del 20% y estudiantes con bono de descuento del 40%. Si la recaudación del autobús en ese viaje fue de 39,75 euros, calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el numero de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros. (PAU). x es el nº de viajeros sin descuento. y es el nº de viajeros con el 20% de descuento. z es el nº de viajeros con el 40% de descuento. x  y  z  80 x  y  z  80  3x  3 y  z  0 z  3  x  y  75 x  0,8  75 y  0,6  75 z  3975 x  0,8 y  0,6 z  53

1 80  f 2  3 f 1 1 1 80  x  y  z  80 1 1 1     rg  3 3  1 0   rg  0 0  4  240    0,2 y  0,4 z  27  1 0,8 0,6 53  f  f  0  0,2  0,4  27   4 z  240 1   3    z = 60 - 0,2 y – 0,4 · 60 = - 27  - 0,2 y = - 3  y = 3 / 0,2  y = 15 x + 15 + 60 = 80  x = 5 5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.

62

Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número que resulta disminuye en 9. Hallar el número. El numero es xyzyx 

Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades

–

3z = 9 ; z = 3

-2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2

2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1

El número es 12321

Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y R, en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de tres tipos A, B y Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44 de tipo B y 58 de tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU). x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R

 z=3 19y + 3·3 = 85  19y = 76  y = 4 5x + 2·4 + 4·3 = 45  5x = 25  x = 5

3 viajes realizo el camión R 4 viajes realizo el camión Q 5 viajes realizo el camión P

63

Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla. Si la compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás

(PAU). x sillas

y mecedoras

z sofás

==> y + 600 = 700  y = 100 ;

x + 100 + 200 = 400  x = 100

Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es Qo = - 50 + 30p y su función de demanda viene dada por Qd = 100 - 20p. ¿Cuales son el precio y la cantidad en el punto de equilibrio Qo = Qd?. Si Qo = Qd ;

- 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.

30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3 Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio En el equilibrio Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados

64

Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad? (PAU). x ejecutivos en Madrid

y ejecutivos en Barcelona

z ejecutivos en Valencia

– x = 16 ejecutivos en Madrid. 16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona. –

–

; z = 5 ejecutivos en Valencia.

65

Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes hace un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 5976€ y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? . X calcetines a 12€ . Y calcetines al 30% de 12€ ; Z calcetines al 40% de 12€ ;

30/100 · 12 = 3´6 ; 40/100 · 12 = 4´8 ;

12 - 3´6 = 8´4 € . 12 – 4´8 = 7´2 € .

==> Por Gauss

==> Z = 120 pares al 40% Y = 300 – 120 = 180 pares al 30% X = 600 – 180 – 120 ==> X = 300 pares sin rebaja.

66

67

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dado el sistema ecuaciones, dependiente del parámetro real a: x  ay  z  1  2 y  az  2  x  y  z 1  

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a  3 , c) resolver el sistema para el valor de a que lo haga compatible indeterminado, por el método de Gauss. (PAU Septiembre 2007)

a) Llamamos C a la matriz de los coeficientes y A a la matriz ampliada

1 a 1 C  0 2 a  2  a2  2  a  a2  a 1 1 1 Si C  a 2  a  0 

a  0 y a  1   Rango (C) = Rango (A) = 3 = nº de incognitas   El sistema es compatible determinado. Solución única.



Si a  0

f

a0 a 1

2

 2 f1



x  z 1 1 0 1 1 1 0 1 1   f 3  f1   rg  0 2 0 2   rg  0 2 0 2  2y  2 1 1 1 1  0 1 0 0 x  y  z 1    

x  z 1 1 0 1 1    rg  0 2 0 2   y  1  Sistema incompatible, no existe  0 0 0  2 0 z  2  

solución. b) Si a  3 , resolvemos el sistema por el método de Gauss:

 1 3 1 1  f 3  f1  1 3 1 1  f 3  f 2  1 3 1 1        rg  0 2 3 2   rg  0 2 3 2  rg  0 2 3 2   1 1 1 1  0 0 3 2 0  2 0 0       68

x  3y  z  1 El sistema es: 2 y  3z  2 3z  2

z = 2/3  2y = 2 -2 = 0  y = 0 x + 2/3 = 1  x = 1/3

c)

Si a  1 , el sistema es:

x  y  z 1 2y  z  2

69

Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = 4. (PAU Junio 2007)

a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:

– –

70

)

71

PROGRAMACIÓN LINEAL. En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo consume, por jersey, 4 madejas de 350 pesetas y 2 madejas de 300 pesetas. El segundo tipo, 3 madejas de 350 pesetas y 3 de 320 pesetas. Los gastos de fabricación son de 650 pesetas para el primer tipo y de 1900 pesetas para el segundo, siendo sus precios respectivos de venta 5000 y 6600 pesetas. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar más de 100 jerseys y que por limitaciones de tecnología, por cada jersey del segundo tipo hay que confeccionar por lo menos tres del primero, se pide obtener cual debe ser el número de jerseys de cada tipo, fabricados a la semana, para obtener el máximo beneficio. La función z es la del beneficio, que luego haremos máximo. El beneficio por la venta de 1 jersey de cada tipo será: precio venta (gastos fabricación + nº madejas . precio + nº madejas . precio) 1er tipo: 5000 - (650 + 4350 + 2300) = 500 - 2650 = 2350 2do tipo: 6600 – (1900 + 3350 +3320) = 6600 - 3910 = 2690 Si se fabrican x jerseys del 1er tipo e y jerseys del 2do tipo Z = 2350 · x + 2690 · y  función objetivo Las restricciones serán: No se pueden fabricar mas de 100 jerseys es decir x + y 100 Por cada jersey del 2do tipo hay que confeccionar al menos 3 del 1er tipo es decir 3y x x 0 Por último como el nº de jerseys no puede ser negativo y 0 El problema por tanto será maximizar la función la función Z = 2350x + 2690y x + y 100 3y x Cumpliendo las restricciones

x+y

100 ; x + y = 100

x y

0 0

x

y 72

0 100 100 0 3y

x ; 3y – x = 0

x y 0 0 300 100

El punto (0,0)  0

100 Es valido

El punto (100,0)  0

100 Es valido

Z = 2350 x + 2690 y ;

A (100,0) ; C(0,0)

3y=x B y + x = 100 y + 3y = 100  4y = 100 y = 25 ; x = 75

B( 75, 25)

La región factible es el triangulo ABC incluidos sus lados. Z(A) = 2350 . 100 + 2690 . 0 = 235000 Z(B) = 2350 . 75 + 2690 . 25 = 176250 + 67250 = 243500 Z(C) = 0 B (75,25) es el punto máximo (optimo) , luego se fabricaran 75 jerseys del primer tipo y 25 jerseys del segundo tipo.

73

En una encuesta realizada por TV, se detecta que un programa A con 20 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad, capta 30000 espectadores, mientras que otro programa B con 10 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad capta 10000 espectadores. En un determinado periodo de tiempo, TV decide dedicar 80 minutos de variedades y los anunciantes 6 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces deberá de aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de espectadores?. Si x es el numero de veces que se emite el programa A. Si y es el numero de veces que se emite el programa B. La funcion objetivo a maximizar sera Z = 30000 · x + 10000 · y En variedades

20 · x + 10 · y  80

x0

En publicidad

1·x+1·y  6

y0

y las restricciones:

20x + 10y  80  2x + y = 8

x+y6

 x+y=6

x 0 4 x 0 6

y 6 0

y 8 0

Tomo (0,0)  0  80 si vale

Tomo (0,0)  0  6 si vale

74

A(6,0)

C(0,8)

x+y=6  -x=-2  x=2 e y=4

B:

B(2,4)

2x + y = 8 Evaluemos la funcion objetivo z = 30000 x + 10000 y Z(A) = 30000 · 6 + 10000 · 0 = 180000 Z(B) = 30000 · 2 + 10000 · 4 = 100000 Z(C) = 30000 · 0 + 10000 · 8 = 80000 Para captar el numero de espectadores maximo que seria de 180000, se necesita que aparezca 6 veces el programa A y ninguna el programa B.

Sea Z = ½ x + 3y con las restricciones x + 6y  18 ; 8x + 3y  24 ; x  0 ; y  0 Hallar los valores de x e y para que la Z sea maximo. La region factible es la misma que antes

C(0,8)

B(18,0) A(2,8/3) son los vértices que sustituiremos en Z

Z(A) = ½ ·2 + 3 ·8/3 = 1 + 8 = 9 Hay 2 puntos con la misma Z , en este caso las soZ(B) = ½ · 18 + 3 · 0 = 9 luciones seran todos los puntos de la recta x + 6y = 18 Z(C) = ½ · 0 + 3 · 8 = 24

75

Una empresa farmacéutica fabrica una vitamina en ampollas, que debe contener, al menos, 10 unidades de vitamina p y 24 unidades de vitamina q en cada ampolla. Dichas vitaminas se pueden obtener de dos compuestos A y B. A contiene 1 unidad de vitamina p y 8 unidades de vitamina q por cada gramo y B contiene 6 unidades de la p y 3 de la q, también por cada gramo. Si el producto A cuesta 15 céntimos por gramo y el B cuesta 30 céntimos por gramo, determinar las cantidades de cada producto que se deben de tomar para cada ampolla, a fin de que el coste sea mínimo. Sea x la cantidad tomada de A e y la cantidad tomada de B. La funcion objetivo sera Z = 15 x + 30 y Para la vitamina p 1·x + 6·y  18 al menos Las restricciones seran: Para la vitamina q 8·x + 3·y  24 al menos Ademas x  0 e y  0 como minimo. 1·x + 6·y  18

x + 6y = 18

8·x + 3·y  24

8x + 3y = 24

C(0,8)

y 3 0

Tomo (0,0)  0  18 no vale

x y 0 8 3 0

Tomo (0,0)  0  24 no vale

x 0 18

B(18,0) 76

x + 6y = 18

x + 6y = 18

A: 8x + 3y = 24

- 16x – 6y = - 48

- 15 x = - 30  x = 2 ; 2 + 6y = 18 6y = 16  y = 8 / 3

A ( 2, 8/3) Z(A) = 15·2 + 30· 8/3 = 30 + 80 = 110 centimos Z(B) = 15·18 + 30·0 = 270 centimos Z(C) = 15·0 + 30·8 = 240 centimos El coste minimo sera de 110 centimos y para ello tomaremos 2 gramos de producto A y 8/3 gr de producto B

77

Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kgs de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo. x = metros de cable A · 100 // y = metros de cable B · 100 -Función objetivo

Z = 1500x + 1000y

-Restricciones: 10x + 15y ≤ 195 2x + y ≤ 20 x + y ≤ 14 x≥0 y≥0

(÷5) 2x + 3y ≤ 39 2x + y ≤ 20 x + y ≤ 14 x≥0 y≥0

2x + 3y = 39 2x + y = 20 x + y = 14

x = 0 y = 13 / x = 39/2 y = 0 x = 0 y = 20 / x = 10 y = 0 x = 0 y = 14 / x = 14 y = 0

x=0 20

15 (1) E 10

D REGIÓN C

5

FACTIBLE

A

B y=0 5

(2) 10

(3) 15

20 78

Rectas: (1): 2x + 3y = 39 (2): 2x + y = 20 (3): x + y = 14 Puntos: A (0,0) B (10,0) 2x + y = 20 C=

x=6 ;y=8

C (6,8)

x + y = 14 2x + 3y = 39 D=

y = 11 ; x = 3 D (3,11) x + y = 14

E (0,13) Búsqueda de beneficio máximo Z (A) = 0 € Z (B) = 1500 · 10 + 1000 · 0 = 15000€ Z (C) = 1500 · 6 + 1000 · 8 = 17000€ Z (D) = 1500 · 3 + 1000 · 11 = 15500€ Z (E) = 1500 · 0 + 1000 · 13 = 13000€

MÁXIMO

El beneficio máximo es de 17000€ por cada 100 metros cuando se usan 600 metros de cable de tipo A ( x = 6 · 100) y 800 metros de cable de tipo B ( y = 8 · 100)

79

Una papelería quiere liquidar hasta 78kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg del papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El pecio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos? Papel reciclado hasta 78 kg Papel normal hasta 138 kg A

1 kg papel reciclado 3 kg papel normal

→ cada lote se vende a 0,9 €

B

2 kg papel reciclado 2 kg papel normal

→ cada lote se vende a 1 €

x lotes de A , y lotes de B para maximizar ingresos z = 0,9 x + 1 y x + 2y ≤ 78 3x + 2y ≤ 138 x≥0 y ≥0

x + 2y = 78 x y 0 39 78 0

3x + 2y = 138 x y 0 69 46 0

80

Los vértices son: A (0,0) B (46,0) D (0,39) C

x + 2y = 78 3x + 2y = 138

→ 2y = 78 – 30 = 48 ; y = 24 → 2x = 60 ; x = 30

C (30,24)

z (A) = 0+0 = 0 € z (B) = 0,9 · 46 + 1 · 0 = 41,4 € z(C) = 0,9 · 30 + 1 · 24 = 27 + 24 = 51 24 = 27 + 24 = 51 € z (D) = 0,9 · 0 + 1 · 39 = 39 € Para que los ingresos sean máximos se deben vender 30 lotes A y 24 lotes B. Los ingresos ascienden a 51 €.

81

Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2.000 y 3.000 euros por tonelada, res-pectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo. X Tn de aceite al almacen A Y Tn de aceite al almacen B Z = 2000 · x + 3000 · y 2≤x≤7 2≤y≤7 x+y≥6 x ≤ 2y

x+y=6 x = 2y

x 0 6 x 0 2

y 6 0 y 0 1

A (4, 2)

Z (A) = 14000

B (7, 7/2)

Z (B) = 24500

C (7, 7)

Z (C) = 35000

D (2, 7)

Z (D) = 25000

E (2, 4)

Z (E) = 16000

-

x y

El coste mínimo es en A, es de 14000 € Debe comprar 4 Tn a A y 2 Tn a B.

82

Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas que pueden suministrarle, solo le venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El B envía en cada contenedor 2 cajas de manzanas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km. de distancia y el B se encuentra a 300 Km., calcula cuantos contenedores habrá que comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Si tomamos x contenedores de A e y contenedores de B. La función objetivo a minimizar será la distancia a recorrer:

z =150x + 300y

Restricciones:  Naranjas: 8 cajas · x contenedores + 2 cajas · y contenedores ≥ 16 cajas necesarias.  Plátanos: 1 caja · x contenedores + 1 caja · Y contenedores ≥ 5 cajas necesarias.  Manzanas: 2 cajas · x contenedores + 7 cajas · y contenedores ≥ 20 cajas necesarias. El problema es: Minimizar la función z = 150x + 300y con las restricciones 8x + 2y ≥ 16 x+y≥5 2x + 7y ≥ 20

x≥0 y≥0

8x + 2y ≥ 16;

Represento 4x + y = 8 x y 0 8 2 0

2x + 7y ≥ 20;

Represento 2x + 7y = 20 x y 10 0 3 2

x + y ≥ 5; Represento x + y = 5 x y 0 5 5 0

83

La región factible es el plano abierto con los puntos A, B, C, D, E incluidos sus lados.

B (0,8) E (10,0)

-6y = -24; y = 4

x+y=5

x=5-y

8x + 2y =16

8 (5 - y) + 2y = 16; 40 – 8y + 2y = 16

C= x = 5 – 4; x = 1

C (1,4)

x+y=5

x=5-y

2x + 7y = 20

2 (5 - y) + 7y = 20;

D= x = 5 – 2;

x=3

10 - 2y + 7y = 20;

5y = 10; y = 2

D (3,2)

Evaluemos la función objetivo z = 150x + 300y Z (B) = 150 · 0 + 300 · 8 = 2400 Z (C) = 150 · 1 + 300 · 4 = 1350 Z (D) = 150 · 3 + 300 · 2 = 1050 Z (E) = 150 · 10 + 300 · 0 = 1500

El mínimo se alcanza en D (3,2).

Por tanto, el frutero compra 3 contenedores al mayorista A y 2 contenedores al mayorista B.

84

Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es de 104 m, necesitándose 2 m para instalar una fila de clase preferente y 1,5 para las de clase turista. La aerolínea precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de clase turista sean como mínimo el triple de las de clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 152 € y de 206 € para la clase preferente. ¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista se deben instalar para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho beneficio. Sean x= Número de filas de clase preferente e y = Número de filas de clase turista. Planteamos el sistema de inecuaciones, dibujamos la región factible y calculamos sus vértices:

=>

4x + 3y = 208 => y el punto (0,0) => 0 y = 3x =>

Se dibuja la recta , luego vale la región por debajo de la recta Se dibuja la recta y el punto (10,0) => 0

,

No vale la región por debajo de la recta , luego valdrá por encima

85

Tomando los valores de Queda como región factible el triangulo de vértices A, B y C de la figura en azul Los vértices de la región factible son:

=> A(3, 196/3)

=> B(16, 48)

=> C(3, 9)

La función beneficio es:

f(x,y) = 206 x + 152 y

Estudiamos cómo se comportan los vértices de la región factible: Z(A) = 206·3 + 152·196/3 = 10548,67 € Z(B) = 206·16 + 152·48 = 10592 € Z(C) = 206·3 + 152·9 = 1986 € Para obtener el beneficio máximo se deben instalar: 16 filas de clase preferente y 48 filas de clase turista. El beneficio será de 10.592 €.

86