NOMBRE DEL TRABAJO:"EL CONCEPTO DE HOMOTOPÍA Y SUS APLICACIONES AL DISEÑO" AUTOR:Leonard Echagüe INSTITUCION: Cátedra Spinadel de Matemática- F.A.D.U.- U.B.A.DIRECCIÓN: Casilla de Correo 2038 - Correo Central - 1000 - Argentinae-mail: [email protected] 1) Definición general de Homotopía: Dos funciones contínuas entre dos espacios topológicos X e Y se dicen homotópicas si existe una familia de funciones a un parámetro continuo t que varía entre 0 y 1 , de modo tal que para 0 y para 1 las funciónes correspondientes sean respectivamente las dadas. Aclarando , llamaremos f0(X) a la imagen de X por la primera función , f1(X) a la imagen de X por la segunda función y ft(X) a la imagen de X por una función correspondiente a valores intermedios de t.

La ilustración de esto último puede observarse en la Figura 1 , en la que la familia de funciones es escrita F(x,t) , y que para t=0 coincide con f0 y para t=1 coincide con f1. En F(x,t) las x se refieren a puntos del espacio de partida X , en el caso de la figura un intervalo cerrado de la recta. En la Figura 1 también se ilustran 3 posibilidades que pueden darse : que coincidan los los valores de las funciones f0 y f1 en los dos extremos del intervalo, que lo hagan en un solo extremo o en ninguno.

2)Algunas consideraciones sobre homotopía y diseño: El concepto de homotopía se relaciona con 3 temas de geometría intuitiva y diseño:

*)Con el concepto de geometría barrida o de espacio subtendido. **)Con la idea de efecto de animación. ***)Con el proceso de morphing elemental de bitmaps.

El primer caso *) se refiere a la generación de superficies por movimiento de curvas Son sus ejemplos las superficies de revolución, las superficies de traslación , las superficies regladas , las superficies cilíndricas o tabuladas , las superficies tubulares ,etc.). En **) el efecto psicológico de animación involucra la consideración de un movimiento continuo ideal que parte de una posición dada de ciertos objetos hacia otra. Se habla de ideal , ya que esto en realidad no se realiza de modo contínuo sino discreto cuadro a

cuadro , situación que ya no respeta la requerida continuidad de la variación del parámetro t . ***) Si entre dos imágenes tipo bitmap ,se interpolan los colores pixel a pixel ,según escalas continuas de color adecuadas , obtenemos imágenes intermedias de pasaje ,obteniéndose un morphing o transfiguración entre las imágenes inicial y final.

3) Elementos de interés para el diseño:

*) Cilindro de homotopía: Es el espacio geométrico subtendido al variar el parámetro. Metafóricamente sería la "estela" que deja la imagen de X al "moverse"según varía t . **) Homotopía lineal: Es cuando los puntos de las posiciones intermedias en la variación del parámetro se ubican en una recta que une las posiciones final e inicial.

En los 3 siguientes ejemplos se utilizarán estos elementos . En cada caso las figuras espaciales (superficies) serán cilindros de homotopía y la homotopía generadora de los mismos , será lineal.

4)Ilustraciones prácticas del concepto de homotopía en 3D:

a)Conos: En los conos el cilindro de homotopía se extiende entre una figura plana abierta o cerrada y un punto del espacio fuera del plano de la figura mencionada. Según la nomenclatura definida al principio f0 sería la curva plana , f1 sería el punto y ft las curvas correspondientes a los diferentes cortes transversales del cono. Las rectas generatrices del cono son las rectas de interpolación entre los puntos de la figura de base y el punto del vértice.Este es un caso de homotopía lineal. Las ilustraciones corresponden a un cono elíptico y fueron realizadas con MapleV2 , Autocad y 3DS . La Figura 2 esta dibujada con MapleV2 y los comandos son los que se indican: plot3d([4*cos(t)*(1-s),2*sin(t)*(1-s),s],t=0..2*Pi,s=0..1);

La Figura 3 esta dibujada con Autocad y se realizó usando el comando Ruled Surface ,con el ardid de señalar en vez de un punto un círculo de diámetro ínfimo.

La Figura 4 está dibujada con el 3DS , usando 2D-Shaper/3D-Lofter con shape elíptica y deform de tipo scale , cuyo gráfico de comando está indicado en la Figura 5.

b)Paraboloides:Aquí el cilindro de homotopía se extiende entre dos rectas alabeadas. Se lo trata como una homotopía lineal entre puntos correspondientes de las parametrizaciones de las rectas de base. La Figura 6 está dibujada con MapleV2 y los comandos son los que se indican:

plot3d([t*s,t*(1-s),s],t=-1..1,s=0..1,grid=[10,10]);

La Figura 7 está dibujada por Autocad y luego de exportarla vía DXF al 3DS ,se le asignaron materiales y luces para obtener la Figura 8. c)Tubos o superficies tubulares: Estan construidas al estilo de cilindros circulares de radio variable con eje en la curva sostén. En este caso la curva sostén es un segmento de recta.Es una homotopía no lineal desde el círculo (X) al espacio usual (R3). La Figura 9 está dibujada con MapleV2 y los comandos son los que se indican:

with(plots): t1:=tubeplot([0,0,t],t=0..3,radius=6-t,grid=[10,20]): t2:=tubeplot([0,0,t],t=3..6,radius=t,grid=[10,20]): t3:=tubeplot([0,0,t],t=6..9,radius=12-t,grid=[10,20]): display([t1,t2,t3]);

La Figura 10 esta realizada por el 3DS y enviada para su visualización en malla de alambre , vía DXF , al Autocad. La figura 11 es la renderizada del producto del deform scale del 2DShaper /3DLofter,cuyo gráfico de comando se observa en la Figura 12.

Figura1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Figura 12