g x (x) =

(x - 0.7) / a

0.7 < x < 0.75

(0.8-x)/ a

0.75 < x < 0.8

0

en otro caso

a. Determine la constante a. b. Establezca la función generadora de momentos. c. Calcule E(X) y V(X) d. P(0,74 < X < 0.85) =? 6. Suponga que la duración de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua con función de densidad gx(k)=

Íl00/k2

k>100

[0

enotrocaso

a. Cuál es la probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo todavía funciona después de 150 horas de servicio? b. ¿Cuál es la probabilidad de que si se instalan tres de esos tubos en un conjunto, exactamente uno tenga que ser substituido después de 150 de horas servicio? c. ¿Cuál es el número máximo de tubos que se pueden poner en un conjunto de modo que haya una probabilidad de 0.5 de que después de 150 horas de servicio funcionen todavía? 7. Una compañía generadora de energía eléctrica enfrenta la opción de construir una planta de reactor hidroeléctrico (RHE) o una planta de energía de combustibles fósiles (CF). La construcción de la planta de RHE constará US$300 por kilovatio; y la planta de CF, US$150 por kilovatio. Debido a la incertidumbre en cuanto a la disponibilidad de combustible y del impacto de reglamentos futuros sobre calidad de aire y agua, se desconoce el periodo de vida útil de operación de cada planta, pero se han estimado las siguientes probabilidades

Vida útil (años)

10

20

30

40

Probabilidad de la planta RHE

.05

.25

.50

.20

Probabilidad de la planta CF

.10

.50

.30

.10

Calcule la vida útil de operación esperada de cada planta, y la razón del costo de construcción respecto a la vida útil. ¿Que le sugieren los resultados obtenidos?

73

8.

Cierta aleación se forma al combinar la mezcla fundida de dos metales. Su resultado contiene cierto porcentaje de plomo (X), el cual se comporta en forma aleatoria con función de densidad g x (x) = K * (1 - x2) 0 < x < 1 a. Para que valor de K, g x (x) es función de densidad. b. Obtenga F x (x). c. Sí el precio de venta del compuesto, V, depende del contenido de plomo y se vende según la función: V=

12 + 5 * X

Sí 1/3 < x < 2/3

2 + X

en otro caso

Calcular el valor esperado de V, y su dispersión. 9. Sí X es una variable aleatoria con función de densidad: g x (x) = x / 2 0 < x < 2 a. Muestre que la función de densidad de Y = X2 es g Y (y) = 1 / 4

0 M'(t = 0) = Xk = E(X)

8.

M"(t) = Xke1 e ^ J - v

9.

V(X) = ?,k + (Àk) 2 -(?ik) 2 =^k = CT2

+

^^(e'-i)

Àket

^

M»(0) =

1

Q

"

POISSON

e

X

xr

1

_ a

—e

-

+ (?lk)2 = E ( x ) 2

NOTACION. X ~ P(À,): La variable aleatoria X tiene distribución Poisson con parámetro X, k=l. NOTA 1. También se pueden utilizar Tablas de Probabilidades en las cuales se encuentran tabulados de la Distribución Poisson.

Eiemplo 10 Un conmutador de teléfonos maneja 300 llamadas en promedio por hora y el tablero puede hacer a lo más 10 conexiones por minuto. Estime la probabilidad de que el tablero esté sobrecargado en un momento dado. Solución Y, : número de llamadas por hora.

Yj ~ P (A,! = 300) k= 1

Y2 : número de llamadas por minuto.

Y 2 ~ P Ck2 = 5)

10

a

k= 1 / 60

- S

Entonces P(Y2>10) = 1 - P(Y2 < 10) = 1 - V — — = 1 - 0,986 = 0.014 To y: NOTA 2. El modelo Poisson se acomoda bien para la distribución de eventos raros que ocurren infrecuentemente en el espacio, unidad de área, volumen, tiempo, u otra dimensión.

1.8 Aproximación de la Binomial a la Poisson Suponga que se desea encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X que indica número de accidentes ocurridos en una semana. El período de una semana se puede dividir en n sub - intervalos, cada uno tan pequeño que podría ocurrir en él a lo más un accidente. Entonces: - La probabilidad de que ocurra un accidente en un sub - intervalo es P - La probabilidad de que no ocurra ningún accidente en un sub - intervalo es 1 - P - La probabilidad de más de un accidente en un sub - intervalo es cero. Haciendo X = np /n\ Lim P x ( l - p ) n - x = Lim ^ n -» oo n -> oo

^

1 )

n —» oo

"

X + 1 )

x!

nx

-X i

>

AYUDA. Recuerde Lim 1 - n->oo l nj

92

( n

n ( n - l ) . . . ( n - x + l ) iif i /^ Í V,

Lim

í

-

- » e_>'

x ;»Ax

¡5^ *)*(. x!

_/Vi A• *1_" C \ x!'

Ejemplo 7 7 El 0.005% de la población de un país muere debido a cierta clase de accidentes cada año. Una compañía de seguros tiene 10.000 asegurados contra este tipo de accidente. Encuentre la probabilidad de que la compañía deba pagar más de 3 pólizas en un año dado. Solución: Sea Y: número de accidentes cada año.

P(Y = y) =

flOOOO) , (0.00005)y (0.9999) n-y

>e"0'5 (0.5)y / y!

Se puede verificar que la variable Y es Binomial con parámetros n=10.000 y P =.00005, entonces se aproxima a la Poisson así: X = n * p = 10.000 *0.00005 = 0.5 P(Y > 3) = 1 - P(Y < 3) = 1 - 0.998 = 0.002

2. MODELOS DE VARIABLE CONTINUA

Así como se observó en el caso discreto, existen para el caso continuo un sin número de modelos probabilísticos de los cuales se estudiaran aquí los mas importantes con nombre propio, tales son las distribuciones: Uniforme, Normal, Gamma, Beta, Exponencial, Weibull, entre otros.

2.1 Distribución Uniforme (Rectangular) Sea un experimento aleatorio y X la variable aleatoria que indica la selección de un punto en el intervalo real [a, b], caracterizada por:

a