- 29 ^ ' '.

SECCIÓN

9

AXIOMA DEL PRODUCTO CARTESIANO. 9. 1

P a r ordenado formado por dos objetos.

Sean x, y dos objetos ó e l e m e n t o s . S a b e m o s por el axionna de a g r u pación que p o d e m o s g a r a n t i z a r l a e x i s t e n c i a de un conjunto; Xx, yy = •iz / z = X ó z = yJ. A d e m á s s a b e m o s que e s t e conjunto es igual al conjunto j y , x l es d e c i r , es indiferente el o r d e n en que se t o m e n sus e l e m e n t o s al a g r u p a r l o s . Se t r a t a a h o r a de p r o d u c i r xm nuevo conjunto en el cual i n t e r e s e el o r d e n en que a p a r e c e n sus e l e m e n t o s , y a d e m á s , e s t e conjunto dependa de e s t o s e l e m e n t o s . A e s t e nuevo conjíunto se le l l a m a p a r o r d e n a d o y la definición se h a c e de t a l modo que r e s u l t e quo el p a r o r d e n a d o x, y s e a diferente del p a r or denado y, x. ;..

•

. ^ . - ^ j ' CJ : Í . .n.

Í \ VV .

Definición 1, •" ,. ' . -:^.vy a X A ^ íy , /. Dados dos objetos x, y s e l l a m a p a r o r d e n a d o x, y; denotado p o r (x, y) a l conjunto definido por;

(X, y) = {[x} . (x, y}} al p r i m e r e l e m e n t o x se le designa " p r i m e r a c o o r d e n a d a " y al segundo, y, s e l e l l a m a "segunda c o o r d e n a d a " . Ejemplo;

En el plano c a r t e s i a n o , e l p a r (4, 5) es tm punto diferente del punto r e p r e s e n t a d o por el p a r (5, 4).

Observación;

1)

(X. y) ^ { x , y} -

2)

(x, y) ^

(y, X) 4 = ^ x

k.^%.^'^^ ^ y

^

.

(^

,

Definición 2. ••* Á - ^ ^

Dos p a r e s ordenados son iguales s i y solo s i t i e n e n l a s p r i m e r a s c o m p o n e n t e s iguales y a d e m á s l a s segundas c o o r d e n a d a s t a m b i é n i g u a l e s . E s decir: (a. b) = (c. d) < = ^ a = c A b = d '^ Nota:

E n una c o n s t r u c c i ó n m á s r i g u r o s a de la t e o r i a de conjuntos e s t a p r o p i e d a d se puede d e m o s t r a r .

I

30^

Ejemplo;

9. 2

Se dice que la p a r e j a ( ( x - 1), (y - 2)) e s igual a la pareja. (O, 0) si y solo si X = 1 A y = 2,

Axioma del producto c a r t e s i a n o .

Sean A, B conjuntos. E x i s t e un único conjunto C, cuyos e l e m e n t o s son par e j a s ordenadas t a l e s que; la p r i m e r a componente de cada p a r e j a p e r t e n e ce a A y la segunda coordenada p e r t e n e c e al conjunto B . E s d e c i r ; si z e C quiere decir que z = (a, b) donde a e A A b 6 B . El conjunto C se le l l a m a "producto c a r t e s i a n o de A p o r B " y se le e s c r i b e A x B . Entonces:

A x B = 4 z / z = (x, y) A X .

A A y C BV

o más simplemente; A x B = X (x, y ) / x £ A A y e ilota;

B J

(x, y) 6 A X B <

>x & A A y € B

(x, y) ^ A X B ^

yy ^ A ó y ^ B

Ejemplos:

Sea

A = l o , 1, 2J'

B ={5, 6} AxB

=^(0,5).

(0,6).

(1,5),

( 1 . 6 ) , (2. 5 ) ,

(2.6)}

Nótese que A x B t i e n e m x n e l e m e n t o s , siendo m el n ú i n e r o de e l e m e n t o s de A y n el n ú m e r o de e l e m e n t o s de B . EJERCICIOS.

'

'

1)

A X 0 = 0

2)

A ^ 0

3)

A = B^==$^AxB = B x A

4)

A X (B X C) 7^ (A X B) X C,

A B

^ , . ..,

. ^

0 s A ^

.,

(£..-;•

B •—^A x B 7¿ B X A . ^ . - . . . . . ^ „.. si A ^

^ >v B ^ fí

A

C ,9^= |í

^ ^^ •

" E s d e c i r , el p r o d u c t o c a r t e s i a n o no e s a s o c i a t i v o . 5)

(A U B) X C = (A X C) U (B X C)

! !

• y y.':y

I

i

6)

(A n

7)

(A - B) X C = (A X C) - ( B X C)

8)

Si A C E

_.

- 3i -

B) X C = (A X C) O (B X C)

A B C E se t i e n e e n t o n c e s que;

CEXEAXB

= ( CEAXCES)U

( C E A X B ) U ( A X CEB)

A m a n e r a de ejemplo se d e m o s t r a r á l a p r o p i e d a d enunciada en el e j e r c i cio 6. D e m o s t r a r e m o s que: (A O B) X C = (A X C) O (B X C) dm:

i)

V e a m o s que (A O B) x C O

(A x C) f l (B x C)

(x, y) e (A n B) X C

Sea

"p X e A f l B A y S c d > x S A A x € B : » (x e A A

A y € C

y £ C) A (x c B A y e C)

=^ (x, y) S A X C A ( x , y) S B X C =^ (X, y) G (A X C) O (B X C)

ii)

V e a m o s que

(A x C) Q (x, y) G A X C A (x, y) e => (x € A A

B x C

y e C) -A (x C B A y € C)

i ^ (x e A A X e B) A y e c i ^ x e A t l B

9 -'.; >

^

(x, y) €

A y € C

(A O B) X C,

V a m o s a h o r a a " i l u s t r a r " p o r m e d i o de e j e m p l o s unos p r o d u c t o s c a r t e sianos s o b r e los que v o l v e r e m o s en a d e l a n t e con m á s d e t a l l e s :

32a)

Sea el conjunto de los n ú m e r o s n a t u r a l e s . el conjunto [|4xu> Según hemos v i s t o , IW x Q\) = -[(x, y ) / x e t í O

Consideremos ahora A yClMy

P o d e m o s r e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e dicho conjunto c o m o s e ve e n s e guida:

5 Como e r a de e s p e r a r s e , e s t a m o s en la imposibilidad de r e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e la totalidad del conjunto (N x iM- . E n todo c a s o l o s e l e m e n t o s de (H x | | ^ e s t á n r e p r e s e n t a d o s aquf por " p u n t o s " . Nótese a d e m á s que a cada ele m e n t ó d e l conjunto IN x [jy podem o s a s i g n a r l e un "punto" en nuestra gráfica.

4 3 Z 1

Nota;

NxlN

E l conjunto puede r e p r e s e n t a r s e por extensión, aunque de nnanera inconnpleta, asf; /A ~"i ••i'.' sti *^—;«_i. (O, 0) ,

(O, 1) ,

(O, 2)

(O, n)

(1, 0 ) ,

(1, 1 ) ,

( 1 , 2),, , . . , - . , , .

(1, n)

(2, 0 ) ,

(2, 1 ) ,

(2.2)

(2, n) . . . .

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(n, Q) , •

(n, %) , •

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(n, 2) , » •

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b) .

(n, n) . .

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A¿ y

•

/c -füir:

Consideremos ahora el conjunto ^ ^ x " ^ ; siendo ^y como de cos tumbre el conjunto de los números enteros. _ '"¡'..TS 'í Tal como vimos: " ^ x " ^ = J (x, y) / x á " 2 A y € ^ J

•.. -cíi

33

-i.

T r a t e m o s a h o r a de r e p r e s e n t a r , aunque solo s e a en p a r t e , el con junto ~2. x ~ 2 -

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• I De nuevo, como en el p r i m e r c a s o , los " p u n t o s " de la figura r e p r e sentan el conjunto ^ ^ x ^ . P o d e m o s t a m b i é n o b s e r v a r que dado un e l e m e n t o c u a l q u i e r a del conjunto ^ L x ""JZ.. e s posible " d i b u j a r " un punto en el plano que lo r e p r e s e n t e . íí c)

T o m e m o s a h o r a el conjunto de los n ú m e r o s r e a l e s que d e n o t a r e m o s por (f^ (no se a s u s t e e l l e c t o r con é s t o , pues c o m o ya a d v e r t i m o s , e s t a s p r o p i e d a d e s s e r á n d i s c u t i d a s m á s adelante con todo r i g o r ) . E l conjunto: R x R =J(x. y)/xGll representarse gráficamente.

A YeRj

puede t a m b i é n

La r e p r e s e n t a c i ó n gráfica de ÍR, x iR puede v e r s e en la figura como s i fuera "todo el p l a n o " y é s t e e s el sentido que t i e n e .

34 -

iBxd^

MU ,.V.U;:t.-,;••

IB

Efectivamente, el conjunto UVXUN "agota" los puntos del plano, en el sentido que, si quisiéramos representarlo como en los ejemplos anterior e s , tendríamos que semeternos a no dejar pantos sin "pintar". '

Podemos asf apreciar que, como en los ejemplos anterior e s , a cada punto del conjunto TR x i< le podemos "asignar" vm punto del plano. Además, como R^ x IR "agota" los puntos del plano, podemos también pensar que a cada "punto" del plano podemos a s i g nar un elemento del conjunto K x |S ^;

•- . Esta 4ltima idea es de particular importancia en lo que al objeto de este cur/ ' so se refiere y como ya dijimos volverenaoa con nnenos premura aobre e s te aspecto. t

..

9. 3 Se ha estudiado como se constituyen relaciones a partir de "objetos" que se designan por l e t r a s , ligando éstas por medio de signos relaciónales. Hemos dicho entonces que una relación es un enunciado bien escrito en la matemáti• ca, y que dada una relación , cuando estamos interesados en la figuración del objeto x, escribimos Rfx) . En forma análoga, pódennos escribir R^x, y I cuando estamos interesados en la figuración de los objetos x y y. „

Ejemplos: ,1)

X + y = 10 A x ^ M A y € ft^

-_ 2)

x2 + y2 = 25^ xeíH A ycíR/

^3)

(x, y) A X 6 A A y e B

4)

"x paralelo a y" (x // y) ;

x J» y

• i^i.:

}'TÍÍ->

'.'ty.í j y •-

-.=ÍTW

IM X iSi

Toda relación determina de manera única al conjunto de aquellas parejas ordenadas en las cuales la p r i m e r a coordenada nnantiene la relación R con la seguada. Es decir, si conocen-.os la relación, conocemos el conjunto; y si conocemos el conjunto, sabemos cual es la relación. Por lo anterior, al conjunto -í (x, y) £ E x E / R \ X , y ^ J se le denota por R. En base a lo dicho algunos autores también definen relación asf: Definición. Sea E un conjunto. Un subconjunto de E x E es una relación R. Entonces, cada elemento de R es una pareja ordenada. Esto significa que si z £ R, entonces existen x y y en E tales que z = (x, y). Ahora bien, si R es tina relación entonces (x, y ) £ R. Esto se expresa asf: x R y que se lee; "x está en relación R con y". Nota;

(1)

Z e R .c=nar>z = (x, y)

(2)

(x. y) € R « = » X R y

Ejemplo:

Dados:

I R . XG¡R. C {X. yJ

Entonces:

, yclR

-

: x^ + y2 = 25

C = •[ (x, y j s R x ^ / x ^ + y^ = 25 1

También:

x C y 4 = = ^ ( x , y) £ C . . » . ; ''.J.C

(x. y ) £ C « = » x 2 + y2 = 25 . ,, , ^

í'''-- Z • .

•. I

Es decir; Si el punto (x, y) de IK x iK pertenece a la circunferencia de radio 5 se cumple la relación x^ + y^ = 25 y si el par (x, y)e IR,x]R. cumple la relación x^ + y'^ = 25,, (x, y) pertenece a la circunferencia de radio 5. Dada una condición, expresada rpediante una relación R C J R x J ¡ ^ , un punto satisface la relación si y solo si el punto pertenece al lugar geométrico asociado a la condición dada. -a

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