Cap´ıtulo 3 Variable Aleatoria 3.1.

Introducci´ on

En muchos estudios no estamos interesados en saber cual evento ocurri´o, sino en el n´ umero de veces que ha ocurrido un evento. Por ejemplo, al lazar dos monedas, podr´ıamos estar interesados en el n´ umero de caras que ocurrieron. Al nacer 5 cinco ni˜ nos, quesieramos saber cuantos son varones. Al seleccionar 20 art´ıculos de un proceso productivo podr´ıamos estar interesado en el n´ umero de defectuosos. Todos estos ejemplos tienen la caracter´ıstica de que a cada uno de los elementos del espacio muestral se le asigna un numero real, que indica el n´ umero de veces que esta presente la caracter´ıstica de interes. Dicha asignaci´on se realiza a trav´es de una funci´on la cu´al llamamos variable aleatoria. Definici´ on 3.1 Una variable aleatoria es una funci´on X que asigna un n´ umero real a cada elemento del espacio muestral.

Por lo tanto, Una variable aleatoria puede definirse como, 81

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

82

X : Ω → IR es decir una funci´on cuyo dominio es el espacio muestral y rango el conjunto de los n´ umero reales. Ejemplo 3.2 Consideremos el experimento en el cual se lanza una moneda. El espacio muestral para este experimento est´ a dado por Ω = {C, S}. Sea X = {N´ umero de caras}, esta funci´on asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: Si el resultado obtenido al lanzar la moneda es cara, w = C, entonces, X(w) = 1. Si el resultado obtenido al lanzar la moneda es sello, w = S, entonces, X(w) = 0. Por lo tanto, la variable aletaoria X toma los valores {0, 1} Ejemplo 3.3 Consideremos el experimento en el cual se lanza dos monedas. El espacio muestral para este experimento est´ a dado por Ω = {CC, CS, SC, SS}. Sea X = {N´ umero de caras}, esta funci´on asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = CC, entonces, X(w) = 2. Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = CS, entonces, X(w) = 1. Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = SC, entonces, X(w) = 1. Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = SS, entonces, X(w) = 0.

´ DE LAS VARIABLES ALEATORIAS 3.2. CLASIFICACION

83

Por lo tanto, la variable aletaoria X toma los valores {0, 1, 2}

3.2.

Clasificaci´ on de las Variables Aleatorias

Las variables aleatorias se pueden clasificar de acuerdo a su rango en discretas y continuas. Definici´ on 3.4 (Variable Aleatoria Discreta) Una variable aleatoria X se dice que es discreta si el n´ umero posible de valores de X, es decir su rango, es finito o infinito numerable. La definici´on anterior establece que X es discreta, si sus valores posibles se pueden umerable. anotar como x1 , x2 , ..., xn en el caso finito o x1 , x2 , ... en el caso infinito n´ Definici´ on 3.5 (Variable Aleatoria Continua) Una variable aleatoria X se dice que es continua si el n´ umero posible de valores de X, es decir su rango, infinito no numerable. La definici´on anterior establece que X es continua, si puede tomar cualquier valor en un intervalo (a, b), pudiendo ser = −∞ y b = +∞. En este tema solo estudiaremos el caso en que la variable aleatoria es discreta, para el tratamiento del caso continuo es necesario tener algunos conocimientos matem´aticos que hasta el momento no se han dado.

3.3.

Distribuci´ on de Probabilidad

Vamos a estudiar por separado cuando la variable aleatoria es discreta al caso continuo.

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

84

3.3.1.

Distribuci´ on de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta

Hemos visto que una variable aleatoria es una funci´on definida sobre el espacio muestral de un experimento aleatorio Ω. Por ejemplo si X es una variable aleatria definida sobre Ω, que toma los valores X = {x1 , x2 , ..., xn }, entonces X = x1 esta asociado a un subconjunto de Ω, al cual hemos llamado evento, por lo tanto,X = x1 es tambi´en un evento y en consecuencia tiene asociada una probabilidad, la cual est´a dada por:

P (X = x1 ) = P (A) = P ({w : X(w) = x1 }) Al conjunto formado por los valores de una variable aleatoria con sus respectivas probabilidades es lo que se conoce como distribuci´on de probabilidad. Como la probabilidad es una funci´on, entonces P (X = xi ) se conoce como la funci´on de masa de probabilidad. Definici´ on 3.6 Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x1 , x2 , ..., xn entonces la funci´on de masa de probabilidad de x, denotada por pi , se define como: pi = P (X = xi ) ; i = {1, 2, ..., n}

(3.1)

Ejemplo 3.7 Consideremos el experimento en el cual se lanzan dos monedas. Sea X = {N´ umero de caras},entonces P (X = 0) = P ({SS}) =

1 4

P (X = 1) = P ({CS} ∪ {SC}) = P ({CS}) + P ({SC}) = P (X = 2) = P ({CC}) =

1 4

1 4

+

1 4

=

1 2

´ DE PROBABILIDAD 3.3. DISTRIBUCION

85

Por lo tanto la funci´on de masa de probabilidad puede escribirse como, ⎧ ⎪ 1 ⎪ , si x = 0 ´o x = 2; ⎪ ⎪ ⎨ 4 1 P (X = x) , si x = 1. 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0, otro caso. Otra forma de expresar este resultado es la manera tabular, x

0

1

2

P (X = x)

1 4

1 2

1 4

Ejemplo 3.8 En un proceso productivo los art´ıculos pueden clasificarse como defectuosos o no defectuosos. Se sabe por estudios anteriores que la producci´ on de art´ıculos defectuosos es del 10 %. Si se extraen 3 art´ıculos al azar, vamos a determinar la distribuci´ on de probabilidad del n´ umero de art´ıculos defectuosos. Para ello definamos la siguiente variable aleatoria

X = {N´ umero de art´ıculos defectuosos} entonces X = {0, 1, 2, 3} con las siguientes probabilidades P (X = 0) = P ({Dc Dc Dc }) = 0,9 ∗ 0,9 ∗ 0,9 = 0,729 P (X = 1) = P ({DDc Dc } ∪ {Dc DDc } ∪ {Dc Dc D}) = P ({DDc Dc }) + P ({Dc DDc }) + P ({Dc Dc D}) = 3 ∗ 0,92 ∗ 0,1 = 0,243 P (X = 2) = P ({DDDc } ∪ {DDc D} ∪ {Dc DD}) = P ({DDDc }) + P ({DDc D}) + P ({Dc DD}) = 3 ∗ 0,9 ∗ 0,12 = 0,027 P (X = 3) = P ({DDD}) = 0,1 ∗ 0,1 ∗ 0,1 = 0,001

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

86

Por lo tanto la funci´on de masa de probabilidad puede escribirse como, ⎧ ⎪ ⎪ 0,729, si x = 0 ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,243, si x = 1; ⎪ ⎪ ⎨ P (X = x) 0,027, si x = 2; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,001, si x = 3; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0, otro caso. De manera tabular quedar´ıa,

x P (X = x)

0

1

2

3

0.729 0.243 0.027 0.001

Otra funci´on que caracteriza la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es la Funci´on de Distribuci´on (FD).

Definici´ on 3.9 (Funci´ on de Distribuci´ on) Sea X una variable aleatoria, la Funci´ on de Distribuci´on de X se define como

F (x) = P (X ≤ x) Como estamos considerando el caso en que X es discreta, la funci´on de distribuci´on viene dada por:

F (x) = P (X ≤ x) =



P (X = x)

x

Ejemplo 3.3.1 La funci´on de distribuci´on para el ejemplo del lanzamiento de las dos

´ DE PROBABILIDAD 3.3. DISTRIBUCION monedas es

⎧ ⎪ ⎪ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1, 4 F (x) = ⎪ 3 ⎪ , ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1,

87

x < 0; 0 ≤ x < 1; 1 ≤ x < 2; x ≥ 2.

Ejemplo 3.3.2 La funci´on de distribuci´on para el ejemplo de los art´ıculos defectuosos es

⎧ ⎪ ⎪ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,729, ⎪ ⎪ ⎨ F (x) = 0,972, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,999, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1,

x < 0; 0 ≤ x < 1; 1 ≤ x < 2; 2 ≤ x < 3; x ≥ 3.

Teorema 3.10 (Propiedades de la Funci´ on de Distribuci´ on) La funci´on de distribuci´ on tiene las siguientes propiedades: 1. F (−∞) = 0 y F (+∞) = 1 2. La funci´on es mon´otona no decreciente. 3. La funci´on es continua a la derecha.

3.3.2.

Problemas

1. Se lanzan tres monedas y se registran los resultados obtenidos. a) Encuentre la distribuci´on de probabilidad del n´ umero de sellos. b) Grafique la funci´on de masa de probabilidad. c) Encuentre y grafique la Funci´on de distribuci´on.

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

88

2. De una caja que contiene 4 pelotas negras y 2 verdes, se seleccionan 3 de ellas en sucesi´on sin reemplazo. a) Encuentre la distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de pelotas verdes. b) Grafique la funci´on de masa de probabilidad. c) Encuentre y grafique la Funci´on de distribuci´on. 3. Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el numero de televisores defectuosos que se compran. a) Encuentre la distribuci´on de probabilidad de X. b) Grafique la funci´on de masa de probabilidad. c) Encuentre y grafique la Funci´on de distribuci´on. 4. Se colocan tres bolas, numeradas 1,2 y 3, en una caja. Si se seleccionan 2 bolas al azar sin reemplazo. ¿Cu´al es la funci´on de masa de probabilidad de la suma de los n´ umero de las bolas seleccionadas? 5. Realizar el ejercicio anterior pero suponiendo que la selecci´on se hacer con reemplazo. 6. Sea X la variable aleatoria que muestra el n´ umero de varones en las familias de cuatro hijos. ¿Cu´al es la distribuci´on de probabilidad de X si los nacimientos de varones y de hembras son igualmente probables?. 7. Se lanzan dos dados. Sea X la suma de las caras que resultan. De una expresi´on general para la funci´on de masa de probabilidad.

3.4. VALOR ESPERADO

3.4.

89

Valor Esperado

3.4.1.

Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta

Adem´as de conocer la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es importante conocer algunas medidas descriptivas num´ericas, par´ametros, relacionadas con la variable aleatoria, las cu´ales dan informaci´on importante sobre la variable en estudio. Definici´ on 3.11 (Valor Esperado) Sea X una variable aleatoria discreta con funci´ on de probabilidad p(x). El valor esperado de X, denotado por E(X), se define como

E(x) =



xp(x) =

x



xP (X = x)

(3.2)

x

Ejemplo 3.4.1 Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas se tiene que  1 1 1 xP (X = x) = 0P (X = 0) + 1P (X = 1) + 2P (X = 2) = 0 + 1 + 2 = 1 E(X) = 4 2 4 x Este resultado indica que se espera que ocurra una cara al lanzar las dos monedas. Ejemplo 3.4.2 Para el ejemplo de los art´ıculos defectuosos se tiene que el valor esperado es:

E(X) =



xP (X = x)

x

= 0P (X = 0) + 1P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3) = 0(0,729) + 1(0,243) + 2(0,027) + 3(0,001) = 0,3

Lo cual indica que se espera no hayan defectuosos en la extracci´on de los tres art´ıculos. El valor esperado no es m´as que la media del conjunto de valores que toma la variable aleatoria.

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

90

3.4.2.

Valor Esperado de una Funci´ on de una Variable Aleatoria Discreta

Teorema 3.12 Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de masa de probabilidad p(x) y sea g(X) una funci´on de X. El valor esperado de g(X), denotado por E(g(X)), est´a dado por:

E(g(X)) =



g(x)p(x) =

x



g(x)P (X = x)

(3.3)

x

Ejemplo 3.4.3 Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas se tiene que E(X 2 ) =



x2 P (X = x) = 02 P (X = 0) + 12 P (X = 1) + 22 P (X = 2)

x

1 1 3 1 = 0 +1 +4 = 4 2 4 2  3 3 x P (X = x) = 03 P (X = 0) + 13 P (X = 1) + 23 P (X = 2) E(X ) = x

1 1 1 5 = 0 +1 +8 = 4 2 4 2 Ejemplo 3.4.4 Para el ejemplo de los art´ıculos defectuosos se tiene que el valor esperado es: E(X 2 ) =



x2 P (X = x)

x

= 02 P (X = 0) + 12 P (X = 1) + 22 P (X = 2) + 32 P (X = 3) = 0(0,729) + 1(0,243) + 4(0,027) + 9(0,001) = 0,36

Teorema 3.4.1 (Propiedades del Valor Esperado) Sean X una variable aleatoria, g1 y g2 dos funciones de X, a y b dos constantes, entonces

3.4. VALOR ESPERADO

91

1. E(a) = a

2. E(aX + b) = aE(X) + b

3. E[g1 (X) ± g2 (X)] = E[g1 (X)] ± E[g2 (X)]

Un resultado muy importante que se obtiene a partir del Teorema 3.12, es la posibilidad de poder calcular la medida de dispersi´on mas importante de un conjunto de datos, como lo es la varianza.

Definici´ on 3.13 Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de masa de probabilidad p(x), la varianza de X, denotada por V ar(x), se define como V ar(x) = E[(X − E(x))2 ]

(3.4)

Teorema 3.4.2 V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 Demostraci´ on

V ar(X) = E[(X − E(x))2 ] = E[X 2 − 2XE(X) + E(X)2 ] = E(X 2 ) − 2E[XE(X)] + E[E(X)2 ] = E(X 2 ) − 2E(X)E(X) + E(X)2 = E(X 2 ) − 2E(X)2 + E(X)2 = E(X 2 ) − E(X)2

Ejemplo 3.4.5 Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas, la varianza est´a da-

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

92 da por,

V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 =

3 1 − 12 = 2 2

Ejemplo 3.4.6 Para el ejemplo de los art´ıculos defectuosos se tiene que la varianza es: V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 0,36 − 0,32 = 0,27 Teorema 3.4.3 (Propiedades de la Varianza) Sean X una variable aleatoria, g1 y g2 dos funciones de X, y a una constante, entonces 1. V ar(a) = 0 2. V ar(X + a) = V ar(X) 3. V ar(aX) = a2 V ar(X)

3.4.3.

Ejercicios

1. Encuentre el valor esperado y la varianza en los problemas 1 al 7. 2. En una apuesta una persona puede obtener una ganacia de 100 BsF o sufrir una p´erdida de 50 BsF. La probabilidad de obtener la ganancia es de 0.6. ¿Cu´al es la ganancia (o p´erdida) esperada en esa apuesta?. 3. La probabilidad de que un hombre de 30 a˜ nos sobreviva un a˜ no m´as es 0.99. Una compa˜ n´ıa de seguros ofrece a ese hombre venderle una p´oliza de seguro de vida

3.4. VALOR ESPERADO

93

de un a˜ no en 10.000 BsF. a un prima de 110 BsF. ¿Cu´al es la ganacia esperada de la compa˜ nia?. 4. La probabilidad de que una casa se incendie en el lapso de un a˜ no es de 0.005. Una aseguradora ofrece una p´oliza contra incendio que cubre 20.000 BsF. con vigencia de un a˜ no; se paga una prima anual por 150 BsF. ¿Cu´anto espera ganar la aseguradora?. 5. Se selecciona una muestra aleatoria de tres personas sin reemplazo de un grupo de cuatro hombres y tres mujeres, para realizas los preparativos de un congreso. ¿Cu´al es el n´ umero esperado de mujeres en la muestra? 6. Para la siguiente distribuci´on de probabilidad x

-20 -10

P(X=x)

3 10

2 10

30 5 10

Hallar: a) E(X), b)E(X 2 ), E(X 3 ) y V ar(X) 7. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribuci´on de probabilidad x

10025

10050

10075

P (X = x)

0.2

0.3

0.5

Hallar: a) E(X), b)E(X 2 ), E(X 3 ) y V ar(X) 8. Una variable aleatoria X asume el valor 1 con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad 1 − p, Demuestre que E(X) = p y que V ar(X) = p(1 − p) 9. Si la varianza de una variable aleatoria es 0.8. ¿Cu´al es la varianza de: a) Y = 5X, b)Y = 2X + 4 y c) Y =

X 2

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

94

3.5. 3.5.1.

Distribuci´ on de Probabilidad Multivariable Introducci´ on

Es posible definir diversas variables aleatorias en el mismo espacio muestral. Por ejemplo, considere el experimento en el cual se estudian las caracter´ısticas de una persona, podr´ıamos definir las siguientes variables aleatorias: estatura, peso, edad, grado de instrucci´on entre otras. En la discusi´on que sigue introduciremos la noci´on de funci´on de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias, la funci´on de probabilidad marginal y la funci´on de probabilidad condicional, tambi´en se har´a una introducci´on al estudio del valor esperado en el caso de varias variables aleatorias.

3.5.2.

Distribuci´ on de Probabilidad Conjunta

En las secciones anteriores vimos que para conocer el comportamiento de una variable aleatoria era importante determinar la probabilidad de que la variable asumiera un valor particular, es decir, conocer su distribuci´on de probabilidad. Ahora, para estudiar la relaci´on entre dos variables, nos interesa saber la probabilidad de que las dos variables en conjunto asuman valores particulares, es decir, la distribuci´on de probabilidad conjunta de las dos variables que se consideran. Al igual que para el caso de una variable aleatoria la distribuci´on de probabilidad conjunta esta caracterizada por una funci´on de probabilidad, conocida en este caso como funci´on de probabilidad conjunta, la cual se define a continuaci´on. Definici´ on 3.14 (Funci´ on de Masa de Probabilidad Conjunta) Sean X y Y dos variables aleatorias discretas, la funci´on de probabilidad conjunta, denotada por p(x, y),

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION

95

se define como p(x, y) = P (X = x, Y = y)

(3.5)

Ejemplo 3.5.1 Supongamos el experimento en el que se lanzan tres monedas. Sean X = {N´ umero de caras} y Y = {N´ umero de cambios}. El espacio muestral de este experimento con los respectivos valores de X y Y se muestran a continuaci´ on: Punto Muestral X

Y

CCC

3

1

CCS

2

2

CSC

2

3

SCC

2

2

CSS

1

2

SCS

1

3

SSC

1

2

SSS

0

1

Puesto que todos los puntos muestrales son igualmente probables, cada uno tiene una probabilidad de 18 . Por lo tanto la funci´on de probabilidad conjunta se muestra en la siguiente tabla cruzada. @

x @ 0 @ @ y @

1

2

3

1

1 8

0

0

1 8

2

0

2 8

2 8

0

3

0

1 8

1 8

0

Los resultados que se muestran en la tabla anterior se obtienen de la siguiente manera: el evento(X=0,Y=1) ocurre solo una vez y como la probabilidad de cada punto muestral

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

96

es 18 , entonces P (X = 0, Y = 1) = 18 , el evento(X=0,Y=2) no ocurre, entonces P (X = 0, Y = 2) = 0, el evento(X=1,Y=2) ocurre dos veces y como la probabilidad de cada punto muestral es 18 , entonces P (X = 1, Y = 2) = 28 , y as´ı sucesivamente. Ejemplo 3.5.2 En cierto supermercado hay tres cajas registradoras. Dos clientes llegan a ellas en diferentes momentos, cuando no hay otros clientes. Cada cliente elige independientemente una caja al azar. Sea X = {El n´ umero de clientes que eligen la caja 1} y Y = {El n´ umero de clientes que eligen la caja 2}. Vamos a calcular la funci´on de masa de probabilidad conjunta de X y Y . Supongamos que el par {i, j} denota el evento en que el primer cliente elige la caja i y el segundo elige la caja j, donde i, j = 1, 2, 3. El espacio muestral se muestra a continuaci´ on Punto Muestral X

Y

{1, 1}

2

0

{1, 2}

1

1

{1, 3}

1

0

{2, 1}

1

1

{2, 2}

0

2

{2, 3}

0

1

{3, 1}

1

0

{3, 2}

0

1

{3, 3}

0

0

Puesto que todos los puntos muestrales son igualmente probables, cada uno tiene una probabilidad de 19 . Por lo tanto la funci´on de probabilidad conjunta se muestra en la siguiente tabla cruzada.

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION

97

@

x @ 0 @ @ y @

1

2

0

1 9

2 9

1 9

1

2 9

2 9

0

2

1 9

0

0

Los resultados que se muestran en la tabla anterior se obtienen de la siguiente manera: el punto muestral {1, 1} es el u ´nico punto muestral correspondiente a (X = 2, Y = 0), y en consecuencia, P (X = 2, Y = 0) = 19 . Asimismo, P (X = 1, Y = 1) = P ({1,2}o{2,1}) = 29 . Y as´ı sucesivamente para los dem´as. Al igual que para el caso de una variable, otra manera de caracterizar la distribuci´on de probabilidad conjunta es usando la Funci´on de Distribuci´on Conjunta, la cual se define a continuaci´on: Definici´ on 3.15 Sean X y Y dos variables aleatorias discretas, la funci´on de distribuci´on conjunta de X y Y , denotada por F (x, y), se define como:

F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =



p(t1 , t2 )

(3.6)

t1 ≤x t2 ≤y

Ejemplo 3.5.3 Considere las variables aleatorias X y Y del ejemplo *** . Vamos a calcular F (−1, 2), F (1,5, 2) y F (5, 7). De acuerdo con los resultados de la tabla ***, tenemos que F (−1, 2) = P (X ≤ −1, Y ≤ 2) = 0 F (1,5, 2) = P (X ≤ 1,5, Y ≤ 2) = p(0, 0)+p(0, 1)+p(0, 2)+p(1, 0)+p(1, 1)+p(1, 2) = 8 9

F (5, 7) = P (X ≤ 5, Y ≤ 7) = 1

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

98

3.5.3.

Distribuci´ on de Probabilidad Marginal y Condicional

Definici´ on 3.16 Sean X y Y variables aleatorias discretas con funci´on de masa de probabilidad conjunta p(x, y). Entonces las funciones de masa de probabilidad marginal de X y Y respectivamente, est´an determinadas por

p(x) =



p(x, y)

(3.7)

p(x, y)

(3.8)

y

p(y) =

 x

Ejemplo 3.5.4 Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas. Las funciones de masa de probabilidad marginal est´ an dadas por: Las marginales de X son:  p(x) = 3y=1 p(x, y) = p(x, 1) + p(x, 2) + p(x, 3) Para x = 0, P (0) = p(0, 1) + p(0, 2) + p(0, 3) =

1 8

+0+0=

1 8

Para x = 1, P (1) = p(1, 1) + p(1, 2) + p(1, 3) = 0 + 28 +

1 8

=

3 8

Para x = 2, P (2) = p(2, 1) + p(2, 2) + p(2, 3) = 0 + 28 +

1 8

=

3 8

+0+0=

1 8

Para x = 3, P (3) = p(3, 1) + p(3, 2) + p(3, 3) =

1 8

Las marginales de Y son:  p(yx) = 3x=0 p(x, y) = p(0, y) + p(1, y) + p(2, y) + p(3, y) =

2 8

Para y = 2, P (2) = p(0, 2) + p(1, 2) + p(2, 2) + p(3, 2) = 0 + 28 + 28 + 0 =

4 8

Para y = 2, P (3) = p(0, 3) + p(1, 3) + p(2, 3) + p(3, 3) = 0 + 18 + 18 + 0 =

2 8

Para y = 1, P (1) = p(0, 1) + p(1, 1) + p(2, 1) + p(3, 1) =

1 8

+0+0+

1 8

Estas probabilidades se obtienen directamente a partir de la tabla cruzada donde se muestran las probabilidades conjuntas, la marginal de X se obtiene al sumar las filas de cada columna y la marginal de Y se obtiene al sumar las columnas de cada fila,

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION

99

como se aprecia en la siguiente tabla. @ x @ 0 @ @ y @

1

2

3

p(y)

1

1 8

0

0

1 8

2 8

2

0

2 8

2 8

0

4 8

3

0

1 8

1 8

0

2 8

p(x)

1 8

3 8

3 8

1 8

1

Definici´ on 3.17 (Funci´ on de masa de probabilidad Condicional) Sean X y Y variables aleatorias discretas con funci´on de masa de probabilidad conjunta p(x, y) y funciones de masa de probabilidad marginal p1 (x) y p2 (y). Entonces las funciones de masa de probabilidad condicional de X, dado Y , es

p(x/y) = P (X = x/Y = y) =

P (X = x, Y = y) p(x, y) = P (Y = y) p2 (y)

(3.9)

Ejemplo 3.5.5 Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas, y vamos a calcular la distribuci´on condicional de X dado que Y = 1. Para ello, vamos a concentrarnos en la fila correspondiente a Y = 1. Entonces 1 8 2 8

P (X = 0/Y = 1) =

p(0,1) p2 (1)

=

P (X = 1/Y = 1) =

p(0,1) p2 (1)

=

0

=0

P (X = 2/Y = 1) =

p(0,1) p2 (1)

=

0

=0

P (X = 3/Y = 1) =

p(0,1) p2 (1)

=

3.5.4.

2 8 2 8 1 8 2 8

=

=

1 2

1 2

Variables Aleatorias Independientes

En el tema de probabilidades vimos que dos eventos A y B son independientes si y s´olo si

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

100

P (A ∩ B) = P (A)P (B) Veamos ahora cuando 2 variables aleatorias son independientes. Definici´ on 3.18 Sean F1 (x) y F2 (y) funciones de distribuci´on de X y Y , respectivamente, y F (x, y) la funci´on de distribuci´on conjunta de X y Y . Entonces, se dice que X y Y son independientes si y s´olo si

F (x, y) = F1 (x)F2 (y) para todo par de n´ umeros reales (x,y). Por lo general, conviene establecer la presencia o ausencia de independencia por medio del resultado del siguiente teorema. Teorema 3.19 Sean X y Y variables aleatorias discretas con funci´on de masa de probabilidad conjunta p(x, y) y funciones de masa de probabilidad marginal p1 (x) y p2 (y). Entonces X, y Y , son independientes si y s´olo si p(x, y) = p1 (x)p2 (y)

(3.10)

para todo par de n´ umeros reales (x,y).

3.5.5.

Valor esperado de una funci´ on de 2 variables aleatorias discretas

Es la generalizaci´on de la definici´on **** para el caso de varias variables. Veamosla a continuaci´on

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION

101

Definici´ on 3.20 Sean X y Y dos variables aleatorias con funci´on de masa de probabilidad conjunta p(x, y) y sea g(X, Y ) una funci´on de esas dos variables. Entonces, el valor esperado de g(X, Y ), est´a dado por

E[g(X, Y )] =

 x

g(x, y)p(x, y)

(3.11)

y

Ejemplo 3.5.6 Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas. La distribuci´ on conjunta para este caso estaba dada por:

@ x @ 0 @ @ y @

1

2

3

p(y)

1

1 8

0

0

1 8

2 8

2

0

2 8

2 8

0

4 8

3

0

1 8

1 8

0

2 8

p(x)

1 8

3 8

3 8

1 8

1

Por lo tanto, si g(X, Y ) = XY

E(XY ) =

3 3  

xyp(x, y)

x=0 y=1

2 1 1 = (0)(1) + (0)(2)0 + (0)(3)0 + (1)(1)0 + (1)(2) + (1)(3) 8 8 8 2 1 1 = (2)(1)0 + (2)(2) + (2)(3) + (3)(1) + (3)(2)0 + (3)(3)0 8 8 8 4 3 6 3 = 0+0+0+0+ + +0+1+ + +0+0=3 8 8 8 8 Teorema 3.21 Si g(X, Y ) = X ± Y entonces E[g(X, Y )] = E[X ± Y ] = E[X] ± E[Y ]

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

102 Demostraci´ on E[g(X, Y )] = = E[X ± Y ] = =

 x

=



 x

xp(x, y) ±

y

xpx (x) ±

x



(x ± y)p(x, y) =

y

 x

 x

yp(x, y) =

y

[xp(x, y) ± yp(x, y)]

y

    x p(x, y) ± y p(x, y) x

y

y

y

ypy (x, y) = E[X] ± E[Y ]

y

Ejemplo 3.5.7 Para el ejemplo anterior ****. vamos a calcular E(X + Y ). Usando la distribuci´on conjunta, tenemos que

E(X + Y ) =

3  3 

(x + y)p(x, y)

x=0 y=1

2 1 1 = (0 + 1) + (0 + 2)0 + (0 + 3)0 + (1 + 1)0 + (1 + 2) + (1 + 3) 8 8 8 2 1 1 = (2 + 1)0 + (2 + 2) + (2 + 3) + (3 + 1) + (3 + 2)0 + (3 + 3)0 8 8 8 1 6 4 5 4 7 = +0+0+0+ + +0+1+ + +0+0= 8 8 8 8 8 2 Si calculamos la E(X) y E(Y ) por separado, tenemos que

E(X) =

3 

px (x)

x=0

1 3 3 1 12 3 = (0) + (1) + (2) + (3) = = 8 8 8 8 8 2 3  E(Y ) = py (y) y=1

2 4 2 16 = (1) + (2) + (3) = =2 8 8 8 8 Ahora,

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION E(X) + E(Y ) =

3 2

+2 =

7 , 2

103

el cual es el resultado obtenido con la distribuci´on

conjunta Teorema 3.22 Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces E(XY ) = E(X)E(Y ) Demostraci´ on E(XY ) = =

 x

=

 x

(xy)p(x, y) =



y

xp(x)ypy (x, y) =

y

x



xypx (x)py (y)

y

xpx (x)



x

ypy (y)

y

= E(X)E(Y )

3.5.6.

Covarianza de dos variables aleatorias

Intuitivamente, consideraremos la dependencia entre dos variables aleatorias X y Y como un procesos en el que una de las variables, digamos Y , aumenta o disminuye a medida que cambia X. Concentraremos nuestra atenci´on en dos medidas de dependencia: la covarianza entre dos variables aleatorias y su coeficiente de correlaci´on. Definici´ on 3.23 Si X y Y son variables aleatorias con medias μx y μy respectivamente, la covarianza de X y Y est´a dada por:

Cov(X, Y ) = E[(X − μx )(Y − μy )]

(3.12)

La covarianza mide el grado de asociaci´on lineal entre las variables X y Y . Mientras m´as grande sea el valor absoluto de la covarianza de X y Y , mayor ser´a la dependencia lineal entre ellas. Los valores positivos indican que Y aumenta a medida que X aumenta; los valores negativos indican que Y disminuye a medida que X aumenta.Si el valor de

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

104

la covarianza es cero, esto significa que no hay dependencia lineal entre X y Y . Es importante tener en cuenta el hecho de que si la covarianza es cero, puede existir cualquier otro tipo de relaci´on entre las variables distinta a la lineal. La principal desventaja de la covarianza es que ella depende de la escala de medida en que est´en definidas las variables, por lo tanto no es f´acil especificar si una covarianza en particular es grande o peque˜ na. Ante esta desventaja definimos el coeficiente de correlaci´on, que no es otra cosa que la covarianza estandarizada.

Definici´ on 3.24 Si X y Y son variables aleatorias con desviaciones est´andar σx y σy respectivamente, el coeficiente de correlaci´ on de X y Y , denotado por ρ, est´a dado por:

ρ=

Cov(X, Y ) σx σy

(3.13)

Teorema 3.25 (Propiedades del Coeficiente de Correlaci´ on) El coeficiente de correlaci´ on tiene las siguientes propiedades 1. −1 ≤ ρ ≤ 1 2. ρ = +1 indica una correlaci´ on perfecta e implica que a medida que X aumenta Y aumenta. 3. ρ = −1 indica una correlaci´ on perfecta e implica que a medida que X aumenta Y disminuye. 4. ρ = 0 indica que no hay correlaci´ on.

El siguiente teorema especifica una f´ormula conveniente para el c´alculo de la covarianza.

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION

105

Teorema 3.26 Si X y Y son variables aleatorias con desviaciones est´andar σx y σy respectivamente, entonces

Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )

Demostraci´ on Cov(X, Y ) = E[(X − μx )(Y − μy )] = E(XY − Xμy − Y μx + μx μy ) = E(XY ) − E(Xμy ) − E(Y μx ) + E(μx μy ) = E(XY ) − μy E(X) − μx E(Y ) + μx μy = E(XY ) − E(Y )E(X) − E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E(XY ) − E(Y )E(X)

Teorema 3.27 Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces

Cov(X, Y ) = 0

Demostraci´ on Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(Y )E(X) = E(X)E(Y ) − E(X)E(Y ) = 0

Este teorema establece que si X y Y son independientes, entonces la covarianza es cero. El rec´ıproco no es cierto, es decir, si la covarianza es cero no implica que X y Y sean independientes. Veamos un ejemplo,

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

106

3.5.7.

Ejercicios

1. De un costal de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 uvas, se selecciona una muestra aleatoria de 4 frutas. Si X es el n´ umero de naranjas y Y es el n´ umero de manzanas en la muestra, encuentre La distribuci´on de probabilidad conjunta de X y Y

2. Dos contratos de obras de construcci´on se otrogan aleatoriamente a una o m´as de las compa˜ n´ıas A,B o C. Sea X1 la cantidad de contratos concedidos a la n´ıa B. Encuentre compa˜ n´ıa A y X2 la cantidad de contratos concedidos a la compa˜ la distibuci´on de probabilidad conjunta de X1 y X2 .

3. En una empresa hay nueve ejecutivos, de los cuales cuatro est´an casados, tres son solteros y dos son divorciados. Tres de ellos ser´an seleccionados al azar para un umero de ejecutivos casados y X2 el de ejecutivos solteros ascenso. Si X1 es el n´ entre los tres elegidos para el ascenso, encuentre la distribuci´on de probabilidad conjunta de X1 y X2 .

4. En seguida se muestra la distribuci´on de probabilidad conjunta relacionada con los datos obtenidos en un estudio sobre los accidentes de automovil en los que viajaba un ni˜ no (de menos de 5 a˜ nos), de los cuales por lo menos uno resulto fatal. El estudio se concentr´o en determinar si el ni˜ no sobrevivi´o y en el tipo de cintur´on de seguridad que llevaba puesto, si acaso lo utilizaban. Defina ⎧ ⎪ ⎨ 0, si el ni˜ no sobrevive; X1 = ⎪ ⎩ 1, si el ni˜ no no sobrevive.

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION

107

⎧ ⎪ ⎪ 0, si no ten´ıa puesto cintur´on de seguridad; ⎪ ⎪ ⎨ X2 = 1, si utilizaba cintur´on de seguridad; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2, si utilizaba cintur´on de seguridad de asiento para beb´e. nos y, como los asienObserve que X1 representa la cantidad de muertes de ni˜ umero de tos para beb´e por lo com´ un tienen dos cinturones, X2 representa el n´ cinturones de seguridad utilizados en el momento del accidente. @ @

y1

@ y2 @ @

0

1

0

0.38 0.17

1

0.14 0.02

2

0.24 0.05

Calcule e interprete F (1, 2) 5. Para los ejercicios * al * hallas las distribuciones marginales. 6. para el ejercicio de lo ni˜ nos a) Calcule la distribuci´on de probabilidad condicional de X2 dado que X1 = 0 b) ¿Cu´al es la probabilidad de que un ni˜ no sobreviva si viajaba en un asiento para beb´e. 7. Para los ejercicios * al * estudie la independencia de las variables aleatorias. 8. Para el problema de las frutas,calcule a) El n´ umero esperado de naranjas

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

108

b) El numero esperado de manzanas c) Usando el criterio del valor esperado, ¿son X y Y independientes? d ) ¿Cu´al es el grado de asociaci´on lineal entre las variables?. 9. Para el problema de los ni˜ nos, calcule a) E(X1 ) y E(X2 ) b) E(X1 − X2 ) c) Cov(X1 , X2 ) 10. Para el problema de los ejecutivos, calcule a) E(X1 ) y E(X2 ) b) E(X1 − 3X2 ) c) Cov(X1 , X2 ) 11. Suponga que X e Y tienen la siguiente distribuci´on de probabilidad conjunta: @ @

x

@ y @ @

2

4

1

0.10 0.15

3

0.20 0.30

5

0.10 0.15

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que x = 2 y y = 3? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que x = 4 dado que y = 5? c) Encuentre E[x] y E[y]

´ DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 3.5. DISTRIBUCION d ) ¿Son X y Y independientes? e) ¿Cu´al es el grado de asociaci´on lineal entre las variables?.

109

110

CAP´ITULO 3. VARIABLE ALEATORIA