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TEMA: TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA 1. DIAGRAMA EN ARBOL En la carta de un restaurante el cliente puede elegir su menú, escogiendo un primer plato, un segundo plato y un postre. Si la carta tiene 7 primeros, 8 segundos platos y 6 postres, ¿Cuántos menús diferentes puede elegir el cliente? Para cada uno de los 7 primeros platos tenemos 8 segundos, e independientemente del primero y segundo, tenemos 6 postres. Si representamos esto por un diagrama de árbol: Nº de menús diferentes 1er Plato

2º Plato

Postre

S1

T1 T2 ... T6

S2 P1 ... S8 P2 ... P7 7 · 8 · 6 = 336

El nº de posibilidades sería: 7 · 8 · 6 = 336. Principio general de recuento. Si un primer experimento puede hacerse de m formas diferentes y un segundo experimento puede hacerse de n formas diferentes, entonces los dos experimentos juntos pueden hacerse de m · n formas diferentes.

Ejemplo: Una chica tiene en su armario 6 camisetas, 4 pantalones y 3 zapatillas. ¿De cuántas formas podrá vestirse? (Como es lógico, ir vestida es llevar una camiseta, un pantalón y unas zapatillas?

©Fernando Izquierdo

Haciendo un diagrama en árbol análogo al anterior, la solución sería: 6 · 4 · 3 = 72

4º E.S.O.

1

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2. PERMUTACUIONES ORDINARIAS 2.1

Definición

Se llama Factorial de un número n y lo expresamos por n!, al número

n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ L ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 . Si n=1 entonces n! = 1! = 1 y Si n=0 entonces n! = 0! = 1. Ejemplos: 3! = 3·2·1 = 6 5! = 5·4·3·2·1 = 120 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320

2.2

Definición

Se llama Permutación de n elementos a los distintos grupos de n elementos que se pueden formar, es decir, a las diferentes ordenaciones en que se pueden colocar todos esos n elementos. El número de permutaciones de n elementos se representa Pn y es igual a n! Pn = n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ L ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

2.3

Ejemplo (Diagrama de árbol)

En una carrera participan 5 naciones, España, Bélgica, Francia, Alemania e Italia. ¿De cuantas maneras distintas pueden llegar a la meta?

Nº de clasificaciones diferentes 1er Puesto

2º Puesto

3º Puesto

4º Puesto

5º Puesto

A

I

F B

I A I

F E A I

©Fernando Izquierdo

B F A I 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

4º E.S.O.

2

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2.4

Ejemplos

¿De cuantas formas distintas pueden sentarse 8 personas en una fila de butacas? Solución: P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 formas distintas ¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar con las cifras 1,3,5,7,9? Solución: P5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120 números

3. VARIACIONES ORDINARIAS 3.1

Definición

Llamamos Variaciones de m elementos tomados de n en n (n ≤ m) a los distintos grupos de n elementos diferentes que se pueden formar de manera que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación. (El orden SÍ influye). El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se representa por Vm,n y es igual a: Vm,n = m·(m-1)·(m-2)·...·(m-n+1) (tiene n factores)

3.2

Ejemplo (Diagrama de árbol)

En una carrera participan 8 corredores, ¿De cuántas maneras pueden repartirse las 3 medallas (oro, plata y bronce)? Suponemos que no puede ocurrir que lleguen dos corredores al mismo tiempo Tres primeras posiciones 1er Posición

2º Posición

3ª Posición

C2

C3 C4 ... C8

C3 C1 ... C8 C2 ... C8

©Fernando Izquierdo

8 · 7 · 6 = 336

4º E.S.O.

3

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3.3

Ejemplos V5,2 = 5·4 = 20

(2 factores)

V5,3 = 5·4·3 = 60

(3 factores)

V7,5 = 7·6·5·4·3 = 2520

(5 factores)

Si m=n entonces Vm,n = Vm,m = m·(m-1)·(m-2)·...·(m-m+1) = m·(m-1)·(m-2)·...·1 = m! Es decir las variaciones de m elementos tomados de m en m son las permutaciones de m.

3.4

Ejemplo

¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 sin que se repita ninguna cifra? Solución: m=9 n=4 luego V9,4 = 9·8·7·6 = 3024 números diferentes Otra forma: (diagrama de árbol resumido) ___ ___ ___ ___ 9

8

7

9·8·7·6 = 3024

6

4. COMBINACIONES ORDINARIAS 4.1

Definición

Llamamos Combinaciones de m elementos tomados de n en n (n ≤ m) a los distintos grupos de n elementos diferentes que se pueden formar de manera que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. (El orden NO influye) El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se representa por Cm,n y es igual a: Cm,n =

4.2

C 7,5 =

©Fernando Izquierdo

Pn

Ejemplos C5,3 =

4º E.S.O.

Vm,n

V5,3 P3 V5,3 P3

=

5 ⋅ 4 ⋅ 3 5 ⋅ 4 ⋅ 3/ = = 10 3! 3/ ⋅ 2 ⋅ 1

=

7 ⋅ 6 ⋅ 5/ ⋅ 4/ ⋅ 3/ = 21 5/ ⋅ 4/ ⋅ 3/ ⋅ 2 ⋅ 1

4

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4.3

Ejemplo

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por 3 alumnos ¿Cuántos comités diferentes se pueden elegir? Solución: m=35 n=3 Como el comité formado por Juan, Ana y Luis es el mismo que el formado por Ana, Luis, Juan; es decir NO influye el orden, se trata de C35,3=

4.4

V35,3 P3

=

35 ⋅ 34 ⋅ 33 = 6545 Comités distintos 3 ⋅ 2 ⋅1

Observación:

Podemos definir también el número de combinaciones de me elementos tomados de n en n como: C m,n =

m! n! ⋅ (m − n )!

Cm,n =

Es fácil de demostrar:

m! m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) ⋅ L ⋅ (m − n + 1) ⋅ (m − n)! Vm ,n = = . n! ⋅ (m − n ) ! n ! ⋅ (m − n ) ! Pn

5. VARIACIONES CON REPETICIÓN 5.1

Definición

Llamamos Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos de n elementos repetidos o no que se pueden formar de manera que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación. (El orden SÍ influye). El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se representa por VRm,n y es igual a: VRm,n = mn

5.2

Ejemplos VR5,2 = 52 = 25

©Fernando Izquierdo

VR7,5 = 76 = 117649

4º E.S.O.

5

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5.3

Ejemplo (Diagrama de árbol)

Se lanzan dos dados de distintos colores. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Tres primeras posiciones Dado Verde

Dado Rojo

Resultado

(1,1) 1 (1,2) 2 1 ... 6 (1,6) 2 3 4 5 6 6 · 6 = 62 = 36

5.4

Ejemplo

¿Cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar? Solución: m = 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) n=3 El número 123 y el 312 son distintos aunque tengan las mismas cifras, significa que el orden de colocación si influye, como además se puede repetir las cifras (por ejemplo el nº 313) la solución (de momento) es: VR10,3 = 103 = 1000 Hay que tener en cuenta que estamos incluyendo números como el 013 o el 095, que en realidad son de dos cifras, 13 y 95 respectivamente. Así pues hay que eliminarlos. Estos exactamente serían: 001, 002, ..., 098, 099. (100 números). Si nos fijamos sería igual al número de dos cifras que se pueden formar, es decir: VR10,2 = 102 = 100

©Fernando Izquierdo

Así pues la solución final sería: VR10,3 – VR10,2 = 1000 – 100 = 900

4º E.S.O.

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6. NÚMEROS COMBINATORIOS 6.1

Definición

⎛ m⎞ El número Cm,n se llama también número combinatorio. Se representa por ⎜⎜ ⎟⎟ y se lee ⎝n⎠

“m sobre n”. Tenemos por tanto:

C m ,n =

6.2

6.3

Vm ,n Pn

=

⎛ m⎞ m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) ⋅L ⋅ (m − n + 1) ⋅ (m − n)! m! = = ⎜⎜ ⎟⎟ n! ⋅ (m − n )! n! ⋅ (m − n )! ⎝ n ⎠

Propiedades •

⎛ m⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝0⎠

⎛ m⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝ m⎠

•

⎛ m⎞ ⎛ m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ m − n⎠

•

⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞ ⎛ m + 1⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ n − 1⎠ ⎝ m ⎠ ⎝ n ⎠

y

Triangulo de Pascal

El siguiente triángulo se llama triángulo de Pascal. Está construido de modo que cada número es la suma de los dos que tiene encima, salvo los extremos, que son unos.

1 1 1 1 1 1

4

1 3

m=2 1

6 10

15

m=1

2 3

5 6

1

4 10

20

m=3 1

5 15

m=4 1

6

m=5 1

................................................................

m=6 Etc...

©Fernando Izquierdo

Puedes comprobar que este triángulo se puede escribir también con números combinatorios como sigue:

4º E.S.O.

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⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛ 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛ 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛ 4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛ 5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠

⎛ 5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1⎠

⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠

⎛ 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠

⎛ 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1⎠

⎛ 4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1⎠

m=1

⎛ 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠

m=2

⎛ 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠

⎛ 4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠

⎛ 5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠

⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠

m=3

m=4

⎛ 5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5⎠

⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5⎠

⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 6⎠

m=5

m=6

................................................................

Etc...

Cuando m no es muy grande es mas cómodo usar el triangulo de Pascal para el calculo ⎛ m⎞ del número combinatorio ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝n⎠

7. POTENCIA DE UN BINOMIO. BIONOMIO DE NEWTON Si calculamos las potencias sucesivas del binomio (a + b), se obtiene:

(a + b )1 = a + b (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 (a + b )4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b )5 = a 5 + 5a 4b + 10a 3b 2 + 104a 2b 3 + 5ab 4 + b 5 Queremos buscar un método para cualquier potencia, es decir, que nos permita calcular

(a + b )n .

Si nos fijamos, el nº de términos de

(a + b )n

es n+1. Los coeficientes son los

elementos de la fila n-ésima del triangulo de Pascal, es decir: ⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠

⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠

⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ... ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ n⎠

En el desarrollo de (a + b ) los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a ©Fernando Izquierdo

n

cero, y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es siempre igual a n. 4º E.S.O.

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Así pues, la expresión de (a + b ) es: n

(a + b )n = ⎛⎜⎜

n ⎞ n ⎛ n ⎞ n−1 ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎟⎟ a + ⎜⎜ ⎟⎟ a b + ⎜⎜ ⎟⎟ a n−2 b 2 + K + ⎜⎜ ⎟⎟ b n ⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠

Esta expresión se conoce con el nombre de Binomio de Newton. Análogamente:

(a − b )n = ⎛⎜⎜

n ⎞ n ⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎟⎟ a − ⎜⎜ ⎟⎟ a b + ⎜⎜ ⎟⎟ a n−2 b 2 − K + (− 1)n ⎜⎜ ⎟⎟ b n ⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠

En este caso los signos se van alternando. Como regla: los términos positivos son aquellos que tienen las potencias de b de exponente par, y negativos aquellos que tengan potencias de b de exponente impar.

7.1

Ejemplo

Desarrollar (2 + 3a )

4

Solución 4⎞ 4 ⎛ 4⎞ 3 ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎟⎟2 + ⎜⎜ ⎟⎟2 (3 x) + ⎜⎜ ⎟⎟2 2 (3 x) 2 + ⎜⎜ ⎟⎟2(3x) 3 + ⎜⎜ ⎟⎟(3x) 4 = 81x 4 + 216 x 3 + 216 x 2 + 96 x + 16 ⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3⎠ ⎝ 4⎠

©Fernando Izquierdo

(2 + 3a )4 = ⎛⎜⎜

4º E.S.O.

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8. EJERCICIOS DE COMBINATORIA 1. ¿Cuántos equipos de fútbol pueden formarse con los 30 alumnos de una

clase?. 2. Al tirar un dado dos veces seguidas, ¿cuántos resultados distintos se

pueden obtener? 3. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden construir utilizando solo cifras

impares del sistema decimal?¿Cuántos serán mayores de 500?¿Cuántos serán mayores que 100 y menores que 900? 4. Se sortean dos premios entre 6 personas. ¿De cuantas manera se podrá

hacer de manera que los dos premios no puedan tocar a una misma persona?¿Y si pudiera tocar? 5. En una jornada de fútbol ¿Cuántas quinielas distintas podrían hacerse?

(Suponemos 15 resultados) 6. Cuantas palabras de 6 letras se pueden escribir con las letras del conjunto

{MACUTO} 7. ¿De cuántas maneras pueden colocarse 5 objetos en 3 cajas? 8. Entre 10 chicos de un curso hay que elegir un delegado, un subdelegado y

un encargado. ¿De cuantas maneras distintas se podrá hacer? 9. ¿De cuantas formas pueden ocupar tres personas, tres de las cuatro

butacas numeradas de un cine? 10. Un quinielista juega cada semana una quiniela con cinco triples. ¿Cuántas

columnas supone y cuanto dinero? (suponemos que cada apuesta vale 0.50 €.) 11. ¿Cuántas quinielas habrá que jugar para acertar con seguridad un pleno

al 14? 12. ¿Cuántas quinielas jugará una persona que juega 3 triples y 4 dobles? 13. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras pares (sin

incluir el 0)? ¿Cuántos terminarán en 64?¿Cuántos comienzan por 2?¿Cuántos serán mayores que 500?

©Fernando Izquierdo

14. Mismo problema que el 13 pero incluido el 0 15. En una rifa colegial se han hecho 1000 papeletas del 000 al 999.

¿Cuántos capicúas habrá? 4º E.S.O.

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16. Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones ¿Cuántos billetes diferentes

habrá que imprimir si cada billete lleva impreso la estación de origen y destino? 17. En un concurso literario hay tres premios para los tres mejores trabajos

presentados. Si se presentan 13 personas, ¿de cuantas maneras se podrán repartir los premios? 18. Con 12 remeros ¿Cuántas tripulaciones distintas de 6 remeros se pueden

formar? ¿En cuántas estará el remero Pedro? ¿En cuantas no estará? 19. Para formar una tripulación de un bombardero se necesitan 4 mecánicos y

un capitán. En un pelotón hay 12 hombres de los cuales 9 son mecánicos y 3 capitanes. ¿Cuántas tripulaciones distintas pueden formarse? 20. En un hotel de 60 habitaciones se quiere alquilar para una campaña

teatral 10 habitaciones. ¿De cuantas maneras se podrán distribuir? ¿De cuantas maneras se podrán distribuir si hay 4 ocupadas? 21. En una filmoteca hay 20 películas de las cuales 4 son de dibujos

animados, 6 de terror, 7 cómicas y 3 policiacas. ¿Cuántos programas de 6 películas se pueden hacer, si entra 1 de dibujos, 2 de terror, 2 cómicas y 1 policiaca? 22. Un campamento tiene 50 chicos. La guardia la hacen 7 chicos. ¿Cuántas

listas de guardias se pueden hacer? 23. Hallar cuantos números se pueden formar con los seis primeros números

del sistema decimal (0,1,2,3,4,5) mayores de 1000 y menores de 10000 sin que se repita ninguna cifra 24. En una unidad militar hay 6 capitanes, 10 tenientes, 20 sargentos y 50

cabos. Se organizan marchas de 3 capitanes, 7 tenientes, 15 sargentos y 30 cabos. ¿Cuántas marchas distintas se podrán organizar? 25. En un centro hay 40 alumnos de 1º de ESO, 37 de 2º de ESO, 30 de 3º de

ESO y 25 de 4º de ESO. Se quiere formar una comisión para hablar con la dirección que esté integrada un alumno de cada curso. ¿Cuántas comisiones se pueden formar? ¿Y si las comisiones fueran de dos

©Fernando Izquierdo

alumnos por curso?

4º E.S.O.

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26. En una finca hay varias casetas de guardias cada una de las cuales está

unida a cada una de las restantes por un camino. Calcular el número de casetas sabiendo que hay 28 caminos 27. En una avanzadilla hay 18 soldados ¿Cuántas guardias diferentes de 3

soldados se pueden formar? ¿En cuantas estará el soldado Pedro? 28. En una empresa hay cinco vacantes de las que tres corresponden a

hombres y dos a mujeres. Se han presentado 10 hombres y 8 mujeres: ¿De cuantas formas se pueden cubrir las vacantes? ¿Cuántas posibilidades habrá si las plazas de los hombres tienen todas distintas remuneración? ¿Y cuantas habrá, si las plazas de las mujeres también están desigualmente remuneradas? 29. Con las cifras pares (incluido el 0) ¿Cuántos números inferiores a1000 se

pueden formar? 30. ¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con 5 vocales

y 5 consonantes de manera que no haya ni 2 vocales ni 2 consonantes juntas? 31. Disponemos de 8 monedas, 4 son de duro y 4 de 100. ¿De cuántas

maneras se podrán introducir en una hucha? 32. Jugando al póker con una baraja francesa (52 cartas) ¿Cuántos tríos se

podrán hacer? ¿Cuántas jugadas de Full se podrán hacer? (Ejemplo de Full: As,As,As,Tres,Tres) 33. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las nueve entradas que quedan

en el cine entre las doce personas que aún esperan en la cola? 34. Con los guarismos de los números 47251 y 6839 ¿Cuántos números de 6

cifras podemos formar de manera que cada uno tenga tres cifras distintas del primero y tres cifras distintas del segundo ⎛1500 ⎞ ⎛1500 ⎞ ⎛132 ⎞ ⎛128 ⎞ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ 35. Calcula los siguientes números combinatorios: ⎜⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝1499 ⎠ ⎝132 ⎠ ⎝ 1 ⎠ 1⎞ ⎛ 36. Desarrollar: (2 + x ) , ⎜ 2 x − ⎟ x⎠ ⎝

6

©Fernando Izquierdo

7

15

1⎞ ⎛ 37. Calcula el término de lugar 8 en el desarrollo: ⎜ 2 x − ⎟ x⎠ ⎝ 4º E.S.O.

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38. Halla x si: Vx,4 = Vx,2 39. Halla x si: VRx,4 – 13VRx,3 = –36 40. Halla x si: 12Px + 5Px+1 = Px+2

©Fernando Izquierdo

41. Halla x si: 2C2x,x = 7C2x-2,x-1

4º E.S.O.

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