IV CIEMAC

F. Badilla

1

ENSEÑANZA CREATIVA DE LA GEOMETRÍA USANDO ORIGAMI Francisco J. Badilla Núñez1 En realidad, pocos educadores imaginan que la transformación vendrá de las telecomunicaciones. Aún no somos capaces de prever este inmenso salto que se está preparando ante nuestros ojos entrecerrados y ante nuestras mentes adormecidas. Pero si seguimos haciendo "más de lo mismo", enseñando de la misma manera a las nuevas generaciones, fracasaremos. La sociedad, lo estamos viendo, tomará medidas drásticas para que eso no suceda: en primer lugar excluirá de su seno a los docentes e instituciones educativas que no se hayan renovado, en segundo lugar inventará sistemas educativos independientes de los programas formales como sucede ya con algunas iniciativas de educación "doméstica" (home schooling) y de educación "a medida" (charter schools). Y, lo que es más importante, premiará a quienes acepten el desafío de la globalización del conocimiento. IMPORTANCIA DE LA GEOMETRÍA EN EL CURRICULUM La necesidad de la enseñanza de la geometría en el ámbito escolar responde, en primer lugar, al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio. La geometría está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de nuestras actuales sociedades (producción industrial, diseño, arquitectura, topografía, etc...).La forma geométrica es también un componente esencial del arte, de las artes plásticas, y representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la naturaleza. ACERCAMIENTO EXPERIMENTAL, INTUITIVO A LA GEOMETRÍA 1

Instituto Nacional de Aprendizaje (INA), Costa Rica

El arte de enseñar y la ciencia de aprender

2

La enseñanza de la Geometría ha tenido tradicionalmente un fuerte carácter deductivo. En educación secundaria, la Geometría se ha venido apoyando en el lenguaje del álgebra, en el álgebra vectorial. En primaria, aún sin ese carácter algebraico, formal, se ha fomentado excesivamente el aprendizaje memorístico de conceptos, teoremas y fórmulas; la simple apoyatura de unos conceptos en otros previos; y la temprana eliminación de la intuición como instrumento de acceso al conocimiento geométrico, tratando de acelerar la adquisición de tales conceptos, teoremas y fórmulas, como si en ellas estuviera condensado el verdadero saber geométrico. Las investigaciones sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico parecen indicar, no obstante, que éste sigue una evolución muy lenta desde unas formas intuitivas iniciales de pensamiento, hasta las formas deductivas finales, y que éstas corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que estamos considerando aquí. De manera que nosotros entendemos que en Educación Primaria hay que escapar de las interpretaciones deductivistas e ir a una geometría de carácter experimental, intuitiva. El espacio del niño está lleno de elementos geométricos, con significado concreto para él: puertas, ventanas, mesas, pelotas, etc. En su entorno cotidiano, en su barrio, en su casa, en su colegio, en sus espacios de juego, aprende a organizar mentalmente el espacio que le rodea, a orientarse en el espacio. Ese es el contexto que nos parece especialmente útil para desarrollar las enseñanzas geométricas, de una forma que resulte significativa para los alumnos. El estudio de su entorno próximo y familiar, por la motivación e interés que puede despertar y por ser fuente inagotable de objetos susceptibles de observación y manipulación. A partir de situaciones que resulten familiares para los alumnos(recorridos habituales, formas de objetos conocidos...) y mediante actividades manipulativas, lúdicas (plegado, recorte, modelado, etc), el profesor puede fomentar el desarrollo de los conceptos geométricos contemplados en el currículo de esta etapa educativa. HISTORIA DEL ORIGAMI ( PAPIROFLEXIA)

La condición previa para el nacimiento de la origami o papiroflexia es lógicamente la existencia de papel. Los chinos habían inventado en el siglo II de nuestra era un procedimiento para la fabricación de papel a partir de todo tipo de fibras vegetales. Japón

IV CIEMAC

F. Badilla

3

era en aquella época un país totalmente subdesarrollado desde el punto de vista político y cultural. Los japoneses admiraban a los chinos y se esforzaron en aprender de ellos todo lo posible. En el siglo VII conocieron también el secreto de la fabricación del papel y gracias a su proverbial amor a aquel material, consiguieron pronto rendimientos importantes en este campo.

Pero de repente, los japoneses se cerraron a todas las

influencias extrañas y se dedicaron a trabajar con su propio sello todos los conocimientos adquiridos. Esta época de sentido nacional fue el Período Heian (794-1183) y en él se rompieron todos los contactos oficiales con China. Las primeras figuras plegadas de papel se remontan a esta época. No hay sin embargo indicios de que la inspiración en este campo viniese de China. Los usos iniciales que se le dieron al papel fueron la redacción de cartas y poesías, las cuales estaban dobladas con forma extraordinariamente significativa y delicada. Los primeros indicios de figuras clásicas origami proceden sin embargo del siglo XVIII, del Período Edo (1614-1868). Después de largos disturbios internos y luchas por el poder, fue esta una época de paz y de orden. Por un lado, la casta de guerreros dominante creó normas y leyes para la vida política, social y colectiva dentro del espíritu del Confucionismo. Por otro lado, el Budismo Zen, como religión popular, tenía fuertes repercusiones sobre la vida espiritual y cultural. En este período, donde la Burguesía ejerció una gran influencia sobre el arte y la literatura, la artesanía vivió un momento de florecimiento. En el Origami Clásico se recortaba, pegaba y pintaba. Para el Origami las tijeras son tabú, la pintura se debe evitar y la utilización del pegamento es impensable. La forma pura, lograda solamente mediante el plegado, debe responder de sí misma. No existe otro elemento de configuración que el material en su estructura, dibujo o color. Así los maestros japoneses crearon las nuevas normas para el origami moderno.

FUNDAMENTO DE LA PAPIROFLEXIA COMO METODOLOGÍA

La papiroflexia u origami modular es de gran interés por contribuir a adquirir ciertas actitudes y habilidades de forma amena, aparte de aprender geometría. La necesidad de plegar muchas piezas "más o menos iguales" para construir un poliedro potencia el trabajo en equipo, el reparto de tareas, el hacer un buen trabajo para poder unir las piezas

El arte de enseñar y la ciencia de aprender

4

(pliegues bien hechos y no de cualquier manera, acuerdos en la forma de doblar las piezas cuando hay dos posibilidades), visión espacial y la satisfacción de terminar el trabajo y obtener el sólido. Por estas y otras razones la papiroflexia constituye una atractiva forma de acercarse a las matemáticas por su riqueza cultural y su gran valor pedagógico. El origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o, en su caso, en figuras decorativas. En el origami modular existen diferentes tipos de módulos que varían entre sí tanto por el procedimiento de construcción y la forma del trozo de papel inicial, como por el tipo de poliedro que se quiere obtener y por la parte de éste que cada módulo va a constituir principalmente: un vértice, una cara o una arista.

EXPLICACIÓN CIENTÍFICA DE LA PAPIROFLEXIA El origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o en otras figuras decorativas. Estos módulos poseen solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre sí. Esta técnica también ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo tridimensional, poder hacer medidas en él, ... , aunque tiene la desventaja de que a veces es tedioso hacer muchos módulos o el ensamble resulta un poco laborioso; sin embargo, para una persona perseverante, curiosa y paciente esta desventaja se puede convertir en un reto, mientras que para una persona que se impaciente le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes como la paciencia. Además, los módulos pueden hacerse entre todos montándose después el correspondiente poliedro. Los poliedros más famosos son, sin duda, los llamados sólidos platónicos. Se dice que un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares idénticos y si en cada vértice concurre el mismo número de aristas. Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.

Varios matemáticos y filósofos, impresionados por la belleza y

elegancia lógica de la geometria, han pretendido utilizar las ideas geométricas para explicar el Universo en que vivimos. Uno de los primeros fue Platón, el cual estaba tan prendado de los cinco sólidos regulares que los empleó como la base de una teoria de la materia. En su libro Timeo, escrito hacia el 350 a. C., Platón llevó adelante la sugerencia

IV CIEMAC

F. Badilla

5

de que los "cuatro" elementos que se pensaba que componian mundo -el agua, el aire, el agua y la tierra- eran todos ellos agregados sólidos diminutos. Pensaba además que, puesto que el mundo solamente podía estar formado a partir de cuerpos perfectos, tales elementos debían tener la forma de los sólidos regulares. Según Platon, el fuego debe ser un tetraedro al ser el más ligero y punzante de los elementos, la tierra ha de consistir en cubos al ser el más estable de todos, el agua debe ser un icosaedro, el sólido regular que tiene más posibilidades de rodar facilmente, por ser el más móvil y fluido y en cuanto al aire, Platón observó que "el aire es al agua lo que el agua es a la tierra", y concluyó, aunque algo misteriosamente, que el aire debe ser un octaedro. Y finalmente, para no dejar al único sólido regular que queda fuera del cuadro, propuso que el dodecaedro representara la forma del Universo en su totalidad. Por arbitraria y fantástica que pueda parecer la teoría de la materia de Platón a los ojos modernos, la idea de que los sólidos regulares desempeñaban un papel fundamental en la estructura del Universo fue tomada en serio en los siglos XVI y XVII cuando Johannes Kepler emprendió su investigación del orden matemático del mundo circundante. En la época de Kepler se conocían seis planetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Jupiter y Saturno. Influido por la teoría de Copérnico, de acuerdo con la cual los planetas se mueven alrededor del Sol, Kepler trató de encontrar relaciones numéricas que explicasen por que existían precisamente seis planetas, y por que se hallaban a sus distancias particulares del Sol. Razonó que el número de planetas era seis porque la distancia entre cada par adyacente debía estar relacionada con un determinado sólido regular, que son justamente cinco. Después de algunas pruebas, halló una disposición de sólidos regulares y de esferas tal que cada uno de los seis planetas tenía una órbita sobre una de seis esferas. La esfera externa, sobre la cual se mueve Saturno, contiene un cubo inscrito, y en dicho cubo se inscribe a su vez la esfera de la órbita de Jupiter. En ésta se halla inscrito un tetraedro, y Marte se mueve en la esfera inscrita en esta figura. El dodecaedro inscrito en la esfera de la órbita de Marte tiene a la órbita de la Tierra como su esfera inscrita, en la cual el icosaedro inscrito tiene inscrita a su vez la esfera de la órbita de Venus. Finalmente, el octaedro inscrito en la esfera de la órbita de Venus tiene una esfera inscrita, en la cual descansa la órbita de Mercurio. Aunque Kepler quedó satisfecho con lo que había obtenido este modelo tenía varias incongruencias.

El arte de enseñar y la ciencia de aprender

6

EJERCICIO 1 LA TIRA DE GEOMETRÍA EN LA TIRA DE PAPEL. Con un buen trozo de esos rollos de papel que se emplean en las máquinas registradoras de cobrar dinero. O si no, corta una tira de papel larga, como de 4cm de ancho, pegando tiras cortadas de una hoja de papel. Para empezar, piensa un poco. ¿Cómo te harías un cuadrado con tu tira solamente plegando?

Pliega por A y así resulta un pliegue perpendicular. Queda del modo siguiente

Al desplegar resulta marcado el pliegue perpendicular

Pliega ahora así

Observa que el ángulo es de 45º

IV CIEMAC

F. Badilla

7

Ahora ya está claro. Pliegas así

Y al desplegar tienes esto

Pliegas por los puntos B y C y te resulta el cuadrado. Ahora piensa otra vez. ¿Cómo hacerte con un triángulo equilátero? Seguro que se te ocurre, pues ya sabes cómo dividir un ángulo en tres partes iguales plegando el papel. Tanteando un poco puedes formar primero un cucurucho y luego dos pliegues con los que la tira te va a quedar así

Observa que en la tira plegada hay dos pliegues que determinan (por coincidir tres ángulos

iguales

alrededor

del

vértice).

Al

desplegar

queda

la

cosa

así

y por la igualdad de ángulos determinados por paralelas, resulta que los ángulos señalados por los pliegues en la parte baja de la tira son también de 60º. Así obtienes un triángulo equilátero.

El arte de enseñar y la ciencia de aprender

8

Ya tienes el cuadrado, el triángulo equilátero... ¿más polígonos regulares? El hexágono es fácil, una vez que tienes el triángulo equilátero. Tienes la tira así

Doblas por la mitad y te resulta así

Ahora pliegas unas cuantas veces por los pliegues que han quedado señalados de antes y verás cómo al desplegar te resulta el hexágono con los radios y el centro señalados de esta forma

Vamos a seguir con nuestra colección de polígonos regulares. A por el pentágono. Este es un poco más rebuscado. ¿Se podrá hacer con la tira? ¿Qué más podemos hacer con la tira? Piensa, piensa... Después de mucho pensar, es posible que no se te ocurra nada más que hacerte una corbata con la tira y... ¡mira por dónde! ésa es la pista para el pentágono regular. Haz un nudo con la tira, sólo plegando, sin arrugarla, primero así

IV CIEMAC

y

luego

F. Badilla

plegando

9

con

cuidado

hasta

que

quede

EJERCICIO: N° 2

1

3

2

4

del

siguiente

modo

El arte de enseñar y la ciencia de aprender

10

5

6

7

8

9

10

IV CIEMAC

F. Badilla

11

11

13

12

14

El arte de enseñar y la ciencia de aprender

12

15

Para este ejercicio se deberá contar con seis piezas debidamente dobladas para formar la figura geométrica.