Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria PROPUESTA HIDALGO

2

o

grado

Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa, del cual surge la Propuesta Nacional. Autores de EMAT-Hidalgo Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz [email protected] [email protected] Este material ha sido implementado en las escuelas secundarias del Estado de Hidalgo, en sus tres modalidades: Generales, Técnicas y Telesecundarias con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo por los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo. Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria Propuesta Hidalgo 2o. grado Revisión: Ramón Guerrero Leyva Formación y diseño: Ana Garza © EMAT Hidalgo 2008 © Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011 Campanario 26 San Pedro Mártir, Tlalpan México, D.F. 14650 e-mail [email protected] www.angeleseditores.com Primera edición: agosto de 2011 Segunda edición: agosto de 2012 ISBN 978-607-9151-08-9

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2608 Impreso en México

Alfaro Vera Gonzalo Ángeles Ruíz Alfonso Arroyo Rendón Martha Patricia Arteaga Romero Damián Azuara Sánchez Arturo Badillo Ordoñez Filiberto Bautista Montaño Maximino Bibiano Santiago Edgar Calva Badillo Jacobo Castañeda Ahumada Héctor Hugo Colín Pretel Alfonso Cruz Bustos Marina de la Cruz Reyes Rodrigo Delgado Granados Nicasio Díaz Badillo Ma. del Carmen Espinoza Soto Juan Carlos Flores Barrera Joel Franco Moedano Aniceto Alejo García Callejas Maricela Ma. del Carmen García Mayorga Víctor González Funes Cecilia Iliana Hernández Ángeles Juan Hernández Hernández Honorio Hernández Hernández José Luis Hernández Hidalgo Magdiel Hernández Reyes Ernesto Herrera Tapia Andrey Islas Arciniega Silvia Juárez Rojas Iván Ramsés

López Castellanos Verónica López Lugo Silvia López Miranda Rigoberto Lozano Mendoza Rubén Maqueda Lora Oscar Daniel Mayorga Hernández Raúl = Mendoza Paredes Maximino Mendoza Ruíz Francisco Meza Arellanos Ma. del Refugio Mora Martín Teresa Moreno Alcántara Alfonso Moreno Martínez Ericka Sofía Mota Aguilar Gloria Naranjo Calderón Josué Arturo Noble Monterrubio Guillermo Nolasco Orta Edgar Arturo Paredes Larios Hugo Alberto Pedraza Sánchez Jaen Maximiliano Pérez Pacheco Set Isaí Pérez Salas Jesús Enrique Recéndiz Medina Juan Carlos Robles Feregrino María Teresa Rodríguez Escudero María Teresa Trejo Reyes Jesús Ugarte Morán Sergio Vargas Rivera Rafael Vázquez Hernández Juan Andrés Veloz Vega María Esther

Contenido Introducción ............................................................................................. 5 Cómo está organizado este libro .............................................................. 7 Programación del Segundo Grado, EMAT-Hidalgo . .................................. 9

Septiembre ¿Para qué sirven los números con signo? . ............................................. 13 Sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo . . 14 Trazo de una paralela ............................................................................. 16 Suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero ..... 18

Octubre Variación proporcional ........................................................................... 20 Analizando el crecimiento del perímetro y el área . ............................... 21 Programar una expresión ....................................................................... 22 Jugando con dados de seis caras ............................................................ 23

Noviembre Reducción de términos semejantes y valor numérico . .......................... 25 Ecuaciones equivalentes ........................................................................ 27 Construcción de un paralelepípedo . ...................................................... 28 Cálculo de áreas y volúmenes de prismas y pirámides .......................... 29

Diciembre y Enero ¿Sabes qué es una razón? ...................................................................... 31 Otro tipo de razones . ............................................................................. 33 El problema del cumpleaños .................................................................. 35 Patrones numéricos y geométricos ........................................................ 36 Acotación de la solución de una ecuación de 1er. grado . ...................... 37 Números perdidos .................................................................................. 38 Variación lineal ....................................................................................... 39

EMAT-Hidalgo

Febrero Dado cualquier polígono, obtener la suma de sus ángulos internos . .... 41 Recubrimiento del plano con polígonos regulares ................................. 42 Recubrimiento del plano con combinaciones de polígonos regulares ... 46 Analizando gráficas de rectas ................................................................. 48

Marzo y Abril Los muy grandes y los muy pequeños .................................................... 49 Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera ......... 50 Construyendo dados .............................................................................. 52 Construyendo una moneda y un dado ................................................... 55 Apuestas ................................................................................................. 56 Edades y estaturas en tu grupo .............................................................. 59

Mayo Métodos de solución de un sistema de ecuaciones ............................... 60 Sistemas de dos ecuaciones ................................................................... 61 Razón y proporción . ............................................................................... 64 Traslación, rotación y reflexión . ............................................................. 71

Junio Dividiendo un cuadrado en dos partes congruentes .............................. 72 Construcción de mosaicos ...................................................................... 73 Simulación con el modelo de urna ......................................................... 74 Carrera de tortugas................................................................................. 76 Bibliografía.............................................................................................. 79 Directorio................................................................................................ 80

Introducción Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros. En el ámbito educativo las HC constituyen una importantísima ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor. En definitiva pudiéramos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían caracterizar: 1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes. 2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo. 3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral. 4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso. 5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.

5 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido con el de otras asignaturas contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes, particularmente el de las ciencias. Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten ciencias en sus zonas correspondientes. Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y compilado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria. Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros alumnos. Profr. Joel Guerrero Juárez Secretario de Educación Pública SEPH

6

Cómo está organizado este libro  PRESENTACIÓN El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría, álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria). En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico. La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo. En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas; lenguaje de programación LOGO para la programación con representación geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información. En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades programadas semanalmente en el texto.

7 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las actividades se hace como en el siguiente ejemplo:

Semana 1

Bloque UNO Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.

Herramienta Hoja de cálculo

OCTUBRE Actividad Variación proporcional

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a: • Explorar • Formular y validar hipótesis • Expresar y debatir ideas • Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de actividades en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados. Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

8

Pág. 20

Programación Segundo Grado EMAT-HIDALGO

Semana

Bloque UNO

1

2

Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.

3 4

Semana 1 2 3 4

Semana 1

2 3

4

Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

Bloque UNO Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.

Bloque DOS Evalúen, con calculadora o sin ella, expresiones numéricas con paréntesis y expresiones algebraicas dados los valores de las literales. Resuelvan problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante expresiones algebraicas. Anticipen diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Resuelvan problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establezcan relaciones de variación entre dichos términos.

Herramienta

SEPTIEMBRE Actividad

Pág.

Calculadora

¿Para qué sirven los números con signo?

13

Calculadora

Sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo

14

Geometría dinámica

Trazo de una paralela

16

Geometría dinámica

Suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero

18

Herramienta

OCTUBRE Actividad

Hoja de cálculo

Variación proporcional 3

Geometría dinámica

Analizando el crecimiento del perímetro y el área Programar una expresión (II) Jugando con dados de seis caras

Calculadora Hoja de cálculo

Herramienta

NOVIEMBRE Actividad

Pág. 20 21 22 23

Pág.

Calculadora

Reducción de términos semejantes y valor numérico

25

Calculadora

Ecuaciones equivalentes

27

Geometría dinámica

Construcción de un paralelepípedo

28

Hoja de cálculo

Cálculo de áreas y volúmenes de prismas y pirámides

29

9 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Semana

1

2

Bloque DOS Resuelvan problemas que implican comparar o igualar dos o más razones.

Resuelvan problemas que implican calcular e interpretar las medidas de tendencia central.

DICIEMBRE y ENERO Herramienta Actividad

Pág.

¿Sabes qué es una razón?

31

Otro tipo de razones

33

Hoja de cálculo

El problema del cumpleaños

35

Hoja de cálculo

Patrones numéricos y geométricos

36

Hoja de cálculo

Acotación de la solución de una ecuación de 1er. grado

37

Calculadora

Números perdidos

38

Hoja de cálculo

Variación lineal 3

39

Hoja de cálculo

Bloque TRES 3

4

5

6

Semana 1 2

3

4

10

Elaboren sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d; donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Expresen mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntos de cantidades.

Bloque TRES Establezcan y justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier polígono.

Argumenten las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para cubrir un plano. Identifiquen los efectos de los parámetros m y b de la función: y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

Herramienta Geometría dinámica

FEBRERO Actividad Dado cualquier polígono, obtener la suma de sus ángulos internos

Pág. 41

Geometría dinámica

Recubrimiento del plano con polígonos regulares

42

Geometría dinámica

Recubrimiento del plano con combinaciones de polígonos regulares

46

Geometría dinámica

Analizando gráficas de rectas

48

Programación Segundo Grado EMAT-HIDALGO

Semana 1

2

3

4 5 6

Bloque CUATRO Resuelvan problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. Resuelvan problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. Interpreten y relacionen la información proporcionada por dos o más gráficas de línea que representan diferentes características de un fenómeno o situación. Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos independientes. Relacionen adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta.

Herramienta

Los muy grandes y los muy pequeños

49

Geometría dinámica

Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera

50

Hoja de cálculo

Construyendo dados

52

Hoja de cálculo Hoja de cálculo Hoja de cálculo

Geometría dinámica

Traslación, rotación y reflexión

1

Resuelvan problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Hoja de cálculo

Semana

Bloque CINCO

1

Identifiquen y ejecuten simetrías axiales y centrales y caractericen sus efectos sobre las figuras.

2 3 4

Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes.

Edades y estaturas en tu grupo

Hoja de cálculo LOGO

Herramienta

4

Construyendo una moneda y un dado Apuestas

MAYO Actividad Métodos de solución de un sistema de ecuaciones Sistemas de dos ecuaciones Razón y proporción (1-6)

Bloque CINCO

Determinen el tipo de transformación (traslación, rotación o simetría) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada.

Pág.

Calculadora

Semana

2 3

MARZO y ABRIL Actividad

Herramienta Geometría dinámica Geometría dinámica Hoja de cálculo LOGO

JUNIO Actividad Dividiendo un cuadrado en dos partes congruentes Construcción de mosaicos Simulación con el modelo de urna (1) Carrera de tortugas

55 56 59

Pág. 60 61 64 71

Pág. 72 73 74 76

11 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Iconos Al inicio de cada actividad aparece, a la derecha del tema, un elemento que muestra el nombre de archivo a utilizar después del icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Los iconos usados y su significado son los siguientes.

NombreDeArchivo

Significa que para esta actividad se requiere el uso de la hoja de cálculo.

Quiere decir que para esta actividad se necesita la calculadora.

Significa que en esta actividad se requiere el uso de un software de geometría dinámica.

Quiere decir que para la realización de esta actividad es indispensable el uso del lenguaje LOGO.

12

Bloque Uno

¿Para qué sirven los números con signo?

NumSignoSirven

1. Escribe una suma de números con signo que corresponda a cada una de las siguientes situaciones. a) En una ciudad la temperatura a las 10 de la noche era de 16°C. A partir de esa hora la temperatura disminuyó 1.5°C cada 10 minutos. ¿Cuál era la temperatura a las 5:00 AM del día siguiente? b) Un equipo de futbol americano perdió 2 yardas en la primera oportunidad, en la segunda oportunidad ganó 7 yardas, en la tercera logró cero yardas, y en la última perdió 9 yardas. ¿Cuál fue el resultado de sus intentos en las cuatro oportunidades? c) Colón descubrió América en 1492. Roma fue fundada 2 275 años antes. ¿En qué año tuvo lugar la fundación de Roma? d) Completa el siguiente cuadrado escribiendo en cada espacio uno de los siguientes números: -7, -9, -11, -2, -4, -6, 3, 1, -1. La condición que debe cumplir tu cuadrado es que cualesquiera tres números colocados en línea recta deben sumar lo mismo, es decir, que sea un “cuadrado mágico”.

-4

13 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Suma, resta, multiplicación y/o división de números con signo Reglas importantes para resolver operaciones aritméticas: 1. Primero resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. 2. Evaluar las expresiones con exponente. 3. Hacer las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. 4. Hacer las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

+x: ( )

Operaciones con números con signo Si a es un número cualquiera, su inverso aditivo se denota por –a. De manera que a + (–a) = 0. De acuerdo con esto, si a es positivo, entonces –a es negativo y si a es negativo, entonces –a es positivo. Nótese que –(–a) = a y –(–(–a)) = –a; por ejemplo: –(–8) = 8 y –(–(–3)) = –3. Para sumar dos números: colocarse en el punto de la recta númerica que corresponda al primer sumando y a partir de ahí, desplazarse el número de unidades indicados por el segundo sumando: hacia la derecha si éste es positivo y hacia la izquierda si es negativo. Para restar dos números, a – b, introducir un signo “+” enseguida del primer número: a + (–b) y realizar la suma; por ejemplo: –7–(–5) = –7 + (–(–5)) = –7 + 5 = –2. Al multiplicar o dividir dos números, el resultado es positivo si ambos tienen el mismo signo y el resultado es negativo cuando los números tienen signos diferentes.

1. Utiliza la calculadora para resolver las siguientes operaciones (-3) a) (+4) • (15) = k) = (-3) b) (-10) • (+8) = 30 c) (+5) • (-7) = = l) -6 d) (-5) • (-8) = (+35) e) (+2) • (-4) • (-8) = = m) -7 f) 2 • (-7) • (-4) = (-8) g) (-5) • (+2) • (-4) = = n) (-4) h) (-2) • (+3) • (-6) = (-36) / (-6) (+28) = o) = i) (+2) +4 (-21) = j) -3

OperNumSigno

p)

(+40) / (-10) = (-2)

14 Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

2. Efectúa las siguientes operaciones. Recuerda el orden de operaciones (paréntesis y corchetes - multiplicación y división - suma y resta). a)

(+18) - (-8) = (-3)

i)

80 = [25 - (+3) + (-2)] [(-5) - (-15)] = [(+6) - (-8)]

b) 14 -

24 6 + = 3 2

j)

c) 80 -

(50 - 20) = 5

k)

27 16 8 + = 9 4 2

l) 3 • [4 - 2 • (5 - 1)] - 18 =

(4 - 8) (9 - 12) = d) 2 3

m) (+2) • (-7) -8 • (-4) - (-5) • (-2) = n) 30 - (-2) • (-10) + (-5) • (+8) =

150 = e) (7 - 12)

o) 18 + 2 • (5 - 9) - 3 • (10 - 7) = p) (+2) • (-3) + (-5) • (-3) - (-2) • (+7) =

20 - 12 = f) (-2)

q) (-3) • [(+7) + (-2)] = r) (+5) • [(-3) + (-7)] =

(35 - 15) = g) (5 -8)

s) (-2) • [8 - (+4) - (-10)] = t) [(-6) - (-3)] • [(+5) - (-2)] =

(6 - 2 - 10) = h) (5 - 11)

u) (-5) • [3 + (-2)] + (-5) = v) (2 + 3 - 6) • (3 - 5 + 4) =

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (Recuerda que “:” es división)

1) 2

( 15 ) + {3 - 25 - 12 [-3 (- 23 ) -1 + 15 ] +4 (- 52 )} =

Respuesta: -

38 5

(- 34 ) - {2 - [ 34 -1 + 25 (-10 + 154 )-1]} =

Respuesta: -

11 4

2) 1 -

(

1 4 3 4 4 5 2 -1: : + (-2) + : (-1) 9 11 2 9 3 18 3

3) 4) 5)

8 3

[

1 1 5 2 + + 2 9 2 3

) 32 =

(- 34 -1 + 3) - 16 ] =

( ) 101 - 43 : (-2) - (- 1516 ) : (- 32 ) - (- 125 )(- 72 ) =

125 8 4 5

Respuesta: -2 Respuesta:

10 9

Respuesta: -

77 12

15 Propuesta Hidalgo  2o Grado

TrazoParalela

Trazo de una paralela  Trazos geométricos y figuras básicas

m

P

Arriba aparece una recta m y un punto P. ¿Cómo podría trazarse una recta paralela a m que pase por P? Hazlo a continuación.

16 Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Propósito: Proponer una construcción para trazar la paralela a una recta por un punto exterior a ella.

m

A B M Q P

El dibujo de arriba muestra una construcción que da respuesta a la pregunta anterior. Verifica que la recta que pasa por los puntos P, Q, es paralela a la recta m. La construcción sigue los mismos pasos que se requieren para formar un paralelogramo, cuyos vértices son ABPQ, dos puntos cualesquiera sobre la recta m y el punto P.

Reproduce el dibujo anterior y describe a continuación los pasos que seguiste.

Mueve la recta m para comprobar si tu construcción es consistente.

17 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero

SumAngInter

En esta actividad se hará uso de Geometría dinámica para comprobar lo que se describe en forma teórica. También puedes aprovechar esta herramienta para generalizar.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO

ÁNGULOS INTERNOS: α, β, γ

φ C γ b

α

A δ

La suma de los ángulos internos es : La suma de los ángulos externos es :

a

c

β ε

ÁNGULOS EXTERNOS: δ, ε, φ Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes a él.

B

δ=γ+β



ε=α+γ



φ=α+β

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Clasificación según sus lados (a, b, c) Equilátero: Todos los lados iguales Isósceles: Dos lados iguales Escaleno: Todos los lados desiguales

a=b=c Ejemplo: a = b a≠b,a≠c,b≠c

Clasificación según sus ángulos interiores: α, β, γ Acutángulo: Tres ángulos agudos α, β, γ < 90° Rectángulo: Un ángulo recto Ejemplo: α = 90° Obtusángulo: Un ángulo obtuso Ejemplo: α > 90°

18 Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

 Cuadrilátero es un tipo de polígono (o figura plana cerrada) que tiene cuatro lados. Clasificación de cuadriláteros: Paralelogramos D

Trapecios

c δ

Vértices: A, B, C, D

C

γ

Lados: a, b, c, d Ángulos: α, β, γ, δ

b

d e

f

α

Trapezoides

Diagonales: e, f β

A

B

a

α + β + γ + δ = 360o

CLASIFICACIÓN PARALELOGRAMOS: TIPOS FIGURA: Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d) Cuadrado a b

Rectángulo a d

Rombo a

b

d

c

b

c

Romboide a d

b

d

c

c

CLASIFICACIÓN TRAPECIOS: TIPOS FIGURA: Un par de lados paralelos (a y d) Trapecio escaleno: a b

c

d Distintas medidas en los lados no paralelos (b ≠ c)

Trapecio isósceles: a

Trapecio rectangular: a

b

b

c

d Igual medida en los lados no paralelos (b = c)

c

d Un lado no paralelo perpendicular a la base

CLASIFICACIÓN TRAPEZOIDES: TIPOS Sin lados paralelos Trapezoide asimétrico: a b

d

c Cuatro lados desiguales

Trapezoide asimétrico: a a

b b

Cuatro lados desiguales

19 Propuesta Hidalgo  2o Grado

VarPropor

Variación proporcional  Aritmética

Si una embarcación puede navegar 360 millas con 16 galones de combustible diesel, ¿qué distancia recorrerá con 300 galones? Construye una hoja de cálculo como la siguiente para relacionar los galones con las millas recorridas. Para responder la pregunta, conviene preguntarnos cuántas millas puede navegar la embarcación con un solo galón. Escribe una fórmula en B3 para relacionar las cantidades de A2 y B2. A1 A

B

1

GALONES

MILLAS

2

16

360

3

1

?

4

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior? Ahora contesta la pregunta original. Inserta el número 300 en la celda A4 y escribe una fórmula en B4 que calcule la cantidad de millas correspondiente. ¿Qué distancia recorrerá entonces con 300 galones? Usa tu hoja de cálculo para responder las siguientes preguntas: ¿Qué distancia recorrería la embarcación con 200 galones? ¿Qué distancia recorrería la embarcación con 80 galones? ¿Cuántos galones necesitará para recorrer 1 000 millas? Construye ahora una hoja de cálculo para resolver las siguientes situaciones: Si un frasco de café de 400 gramos cuesta $12.50, ¿cuánto debería costar uno de 250 gramos? Si se determinó que el precio de un frasco de café es de $10, ¿cuántos gramos contiene?

20 Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Analizando el crecimiento del perímetro y el área

AnaPeriArea

La intención de esta hoja de trabajo es ver geométricamente el concepto de variabilidad, mediante dos construcciones en el ambiente de Geometría dinámica.

 Construye y manipula: observa y contesta 1) Se cuenta con un cordón de 20 cm, construir un rectángulo de dimensiones variables y calcular su área.

¿Cómo es el comportamiento del perímetro? ¿Cuál es el comportamiento del área? ¿Cuál es el área mayor y cuáles las dimensiones del rectángulo?

2) Si se sabe que el área de un rectángulo es de 25 cm2, construir todos los posibles rectángulos de dimensiones variables y calcular su perímetro.

a b

¿Cómo es el comportamiento del perímetro? ¿Cuál es el comportamiento del área? ¿Cuál es el perímetro menor y cuáles las dimensiones del rectángulo?

21 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Programar una expresión

ProgramaExpre

En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente: NÚMERO DE ENTRADA

1

3

5

7

9

NÚMERO DE SALIDA

2

10

26

50

82

¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo en mi programa el número 4? ¿Y si escribo el número 6?

¿Si escribo el número 17?

¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que la mía? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla. NÚMERO DE ENTRADA NÚMERO DE SALIDA

59.83 551

117.18

136.1

653.38

¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a 551 y 653.38?

¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 653.38 es el correcto?

22 Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

200.79

Jugando con dados de seis caras

Leygralnum

 Probabilidad Tira 10 veces un dado y escribe tus resultados en la segunda columna de la siguiente tabla (los primeros cuatro tiros están ya incluidos como ejemplo). Como puedes observar, en la tercera columna se registra la cantidad de veces en la que aparece un número, por ejemplo el 4, que ha aparecido dos veces (como en la primera tirada no salió 4, el conteo es de 0; en cambio, en la segunda tirada sí apareció este número y se registró 1; en la tercera tirada tampoco salió 4, así que el conteo siguió siendo de 1). Usando tus resultados, completa la columna correspondiente. NÚMERO DE TIRADA

RESULTADO

CONTEO

PORCENTAJE

1

5

0

0%

2

4

1

50%

3

1

1

33.33%

4

4

2

50%

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Para calcular el porcentaje de cuatros que vayas obteniendo, divide el “Conteo” entre el “Número de tirada” y multiplícalo por 100. Termina de completar la tabla y discute con tus compañeros y maestro qué se debe esperar con este porcentaje después de muchas tiradas. Abre el archivo Leygralnum. Esta hoja está organizada de la misma forma que la anterior, en que se experimentó con el lanzamiento de un dado.

23 Propuesta Hidalgo  2o Grado

¿Por qué tus resultados no coinciden con los de la hoja anterior?

Revisa que los valores de las columnas “Conteo” y “Porcentaje” estén calculados correctamente. Observa el valor del porcentaje para 100 tiros. ¿Cuál es? Si extendieras las cuatro columnas de la hoja hasta los 10 000 tiros (fila 10006) podrías leer los siguientes valores: NÚMERO DE TIROS

PORCENTAJE

2 000 4 000 6 000 8 000 10 000

Considera la fracción; escribe su forma decimal y su forma como porcentaje (multiplicando la forma decimal por 100). Compara este valor con tus valores de la tabla anterior y con los de tus compañeros. Explica por qué son casi iguales.

24 Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Bloque Dos

Reducción de términos semejantes y valor numérico

ReducTermSem/VN

Haciendo uso de la calculadora y de su manipulación simbólica, analizaremos el tema de reducción de términos semejantes.

Calcula el perímetro de las siguientes figuras. Al realizar los cálculos sólo con los conocimientos de geometría encuentras que los perímetros son: b a

x

a b

P=

x

=

x

x a

P=

a

a P=

Ahora verifica cada respuesta empleando la calculadora y encontrarás que los perímetros son: ,

y

¿Qué es lo que hace la calculadora? ¿Son iguales o no los dos miembros de la igualdad?

25 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Calcula el perímetro de las figuras geométricas empleando la calculadora y después obtén el valor numérico: Perímetro P=

x

Si x = 3.5 cm 3x P= x+1

x-3

x x-2 x+2

x-1

Perímetro P= Si x = 8.3 km P=

Perímetro

4x 4x

P= Si x = 5x

3x x

3 m 4

P=

Perímetro P= 2x+3

Si x=

 cm

P=

¿Qué operación realiza la calculadora para obtener el valor numérico del perímetro de las figuras?

26 Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

EcuaEqui

Ecuaciones equivalentes

1. A las ecuaciones que tienen la misma solución se les llama ecuaciones equivalentes. Por ejemplo, las ecuaciones 7y – 5 = 51 y 5m + 3 = 43 son equivalentes porque ambas tienen la misma solución. ¿Cuál es? 2. De las siguientes ecuaciones encuentra las que son equivalentes. Justifica tus respuestas. a) 4 (x + 12) + 7 = 87

b) 7b – 3 = 32

c) 12 + 4a = 14

d) 15 + 6y = 18

e) 2m + 11 = 15

f) 5b – 1 = 44

g) 8 – 5p = 3

h) 23 – 12r = 17

i) 21 + 8k = 25

j) 3y + 1 = 0

k) 20 – 2m = 2

l) 42 + 4n = 62

3. Unos alumnos resolvieron las ecuaciones que se muestran a continuación. Revisa sus respuestas, si encuentras algunas incorrectas, corrígelas y escríbelas.

a) 3a + 5 = 41,

d) 20 =

5 , k

a = 12 b) 4p - 2 = 20,

p = 7 c) 16 - r = 0,

k = 4 e) 2n + 5 = 5,

n=0

3y + 1 , 4

g) (b + 3)2 - 4 = 8,

b=3

h) 7 =

j) (2b + 3)5 - 1 = 34,

b=3

k) (2 + 3x)4 = 20,

r = 16

f)

2a + 1 = 3, 5

a=7

y = 9 i)

4a - 1 = 9, 3

a = 27

x=1

2x - 1 = 5, 4-x

x=3

l)

27 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Construcción de un paralelepípedo

VolMax_Caja

C

Mueva C para hacer girar el cubo.

Como actividad de exploración, desde el ambiente de Geometría dinámica, carga el archivo Rotcubo

z

y O

x

Y como actividad práctica: 7.38 cm

8.18 cm

Mover P Con una lámina rectangular, se hace una caja sin tapa cortando un cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, como se muestra en la figura.

P

2.58 cm 2.23 cm 3.02 cm

Isométrico

1) En el ambiente de Geometría dinámica, abre el archivo VolMax_Caja, y mueve el punto P. 2) ¿De las medidas, cuáles son constantes y cuáles variables? 3) Con la herramienta Vista de Hoja de Cálculo, multiplica las medidas proporcionadas en la figura recortada, para obtener el volumen de la caja. 4) Vuelve a mover el punto P y determina el volumen máximo V= 5) Mueve el punto C hasta el punto medio del segmento AB. 6) Vuelve a mover el punto P y determina el volumen máximo V=

28 Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Cálculo de áreas y volúmenes de prismas y pirámides Prismas. Recordarás que los prismas están constituidos por dos caras planas paralelas, una llamada base y la otra, tapa. Además, sus caras laterales son rectángulos si el prisma es recto, esto es, si las caras laterales están en planos perpendiculares a la base. Abre el archivo VolPrismPiramide y en la hoja de Prismas modifica los valores de tus deslizadores para contestar lo se pide:

VolPrismPiramide

De los recipientes que se encuentran en casa, como envases de productos varios, en nuestro entorno están los prismas y pirámides, cuya característica común es que todas sus caras son planas.

E4 A

B

1

C

D

E

F

G

H

Volúmen de Prismas

2

Introduce los siguientes datos

3

LADOS DE LA BASE

LONGITUD DEL LADO

ALTURA

4

5

5

6

5 6 7 8

Ángulo a

9

54

Apotema

10

Área 236.0239

11

Apotema

12

3.4409548

a

13 14

Área de la base

Volumen

15

43.011935

258.0716

16 17

Prismas Pirámides Hoja 3

a) Prisma pentagonal cuya longitud de lado es 6 cm y altura de

Área =

Volumen =

1 m. 4

b) Prisma triangular cuya altura es de 40 cm y área de 80 cm2

Longitud de lado =



Volumen =

c) Prisma cuadrangular cuya longitud de lado es 7 cm y su volumen es de 946 mililitros

Altura =



Área =

29 Propuesta Hidalgo  2o Grado

 Ahora en la hoja de Pirámides modifica los deslizadores para contestar lo que se

pide abajo

Pirámides. Recordarás que las pirámides tienen una base y una cúspide o punta –que está fuera del plano de la base- donde remata el cuerpo. La base es un polígono y las caras laterales son triángulos. Una pirámide se llama regular si las aristas que unen la cúspide con cada uno de los vértices del polígono de la base son iguales. Abre la hoja de Pirámides. F14 A

B

1

C

D

E

F

G

Volumen de Pirámides

2

Introduce los siguientes datos

3

LADOS DE LA BASE

LONGITUD DEL LADO

ALTURA

4

8

5

6

5 6 7 8

Ángulo a

9

54

Apotema

10

Área 181.34511

11

Apotema

12

3.440954801

a

13

Volumen

14

Área de la base

15

43.01193501

86.02387

16 17

Prismas Pirámides Hoja 3

a) Pirámide hexagonal cuya longitud de lado es de 6.5 cm y altura de 15 cm.

Área =

Volumen =

b) Pirámide cuadrangular cuya altura es de 35 cm y área de 450 cm2

Longitud de lado =



Volumen =

c) Pirámide triangular cuya longitud de lado es 10 cm y su volumen es de

Altura =



Área =

30 Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

1 litro 2

H

¿Sabes qué es una razón?

RazonesRelaciones

 Aritmética Una razón es una relación entre dos cantidades. Por ejemplo: 6 de cada 10 humanos viven en el continente asiático. 3 partes de la superficie terrestre están cubiertas por agua. 5 Como se ve, la relación se establece entre una parte y el todo. Esta actividad te ayudará a entender para qué sirven las razones. Para esto, piensa en la situación siguiente. Un jugador de basquetbol entrena desde la línea de tiro, durante la semana anterior a la temporada de juegos. Los resultados que obtuvo están registrados en la siguiente tabla: DÍA

TIROS

CANASTAS

1

50

20

2

100

52

3

150

90

4

200

110

5

250

175

6

200

152

7

250

170

CANASTAS / TIROS

Observa que en cada día se da la razón de canastas con respecto al total de tiros (20 de 50, 52 de 100, 90 de 150…). Para poder comparar estas razones conviene expresarlas como fracciones de la siguiente manera: canastas razón como fracción = total de tiros Construye una hoja de cálculo con la información de la tabla. En la cuarta columna calcula la razón como fracción, para que puedas observar el progreso del jugador durante su entrenamiento.

31 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Los porcentajes son una manera muy común de expresar razones. Los ejemplos del principio pueden expresarse como sigue: 60% de la población humana vive en el continente asiático. 60% de la superficie terrestre está cubierta por agua. Agrega una quinta columna a tu hoja y calcula el porcentaje de canastas (esto es, multiplica la cuarta columna por 100). ¿Cuál fue el mejor día del jugador en su entrenamiento? ¿Qué porcentaje de tiros encestó ese día? La tabla siguiente muestra las cantidades de tiros y canastas de dos jugadores, considerando los primeros 5 juegos de la temporada regular. Usa tu hoja de cálculo para completar la tabla de abajo y de acuerdo con los resultados decide quién jugó mejor. PRIMER JUGADOR JUEGO

TIROS

CANASTAS

1

24

2

FRACCIÓN

SEGUNDO JUGADOR TIROS

CANASTAS

8

18

7

13

6

16

6

3

21

8

15

6

4

30

9

9

5

5

17

7

6

3

¿Quién fue el mejor? ¿Por qué? Discute tu respuesta con otros compañeros. ¿Qué significa, en beisbol, que un jugador tenga 320 de porcentaje de bateo?

32 Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

FRACCIÓN

Calorias/gr

Otro tipo de razones  Aritmética

Las razones no sólo relacionan una parte con el todo. También se usan para establecer relaciones entre dos cantidades distintas. Por ejemplo, cuando decimos que 100 g de cacahuates cuestan 6 pesos estamos expresando una razón de este último tipo. Otro ejemplo de razón entre dos cantidades distintas es el consumo de gasolina de un coche; por ejemplo, con 40 litros de combustible se llena el tanque de un auto y puede recorrer 480 kilómetros. Estas razones, al igual que las que relacionan una parte con el todo, pueden ser expresadas con un solo número: Los cacahuates cuestan 60 pesos por kilo. El rendimiento del auto es de 12 kilómetros por litro. Una expresión como 80 kilómetros por hora es también una razón de este tipo. Da otro ejemplo de razones de este tipo.

Analiza la tabla siguiente usando razones. Introduce dicha información en el archivo Calorias/gr. ALIMENTOS

GRAMOS

CARBOHIDRATOS

PROTEÍNAS

LÍPIDOS

Jugo de naranja

200

9

0

0

Huevo

50

3

11

10

Leche de vaca

240

12

8

8

Pan blanco

35

64

9

1

Arroz

100

80

7

1

Carne de res

90

0

19

18

Pescado

50

0

12

2

Frijoles

120

61

22

2

Tortillas

25

15

2

1

Chocolate

100

60

2

25

33 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Como puedes ver, la cantidad de gramos de cada alimento es diferente y por lo tanto no pueden hacerse comparaciones entre ellos. Es necesario obtener las razones de estas cantidades por gramo. Para esto añade tres columnas a tu hoja de cálculo: una que calcule los carbohidratos por gramo, otra las proteínas por gramo y la tercera los lípidos por gramo de cada alimento. ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de carbohidratos por gramo? ¿Qué cantidad tiene? ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de proteínas por gramo? ¿Qué cantidad tiene? ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de lípidos por gramo? ¿Qué cantidad tiene? Para calcular ahora la cantidad de calorías que cada alimento proporciona por gramo, agrega otra columna a tu hoja con la cantidad de calorías por gramo que cada alimento contiene; usa la fórmula siguiente: (caloría/g) = 4 • (carbohidratos/g) + 4 • (proteínas/g) + 9 • (lípidos/g) ¿Qué alimento de la lista contiene más calorías por gramo? ¿Qué cantidad tiene? Finalmente, crea otra columna con la cantidad de calorías que tendrían 100 g de cada alimento. En las siguientes líneas ordena los alimentos de mayor a menor según su cantidad de calorías en 100 g. ALIMENTO

CAL/100 g

ALIMENTO

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

34 Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

CAL/100 g

El problema del cumpleaños

ProblemCumple

 Probabilidad Hay un problema muy famoso cuyo resultado sorprende a todos. ¿Cuál es la probabilidad de que en un salón de clase de 40 niños se encuentren dos cuya fecha de cumpleaños coincida? ¿Crees que la probabilidad sea pequeña o grande? Para encontrar la respuesta analiza primero una situación similar. ¿Cuál será la posibilidad de que en un grupo de seis niños coincida el mes del cumpleaños de dos de ellos? Se podría inferir que si hay 6 niños y 12 meses, la probabilidad debería ser de un medio. ¿Será cierto? Usa una hoja de cálculo para simular esta situación, toma en cuenta que es parecida a la de un dado. Primero es necesario que en la celda A4 aparezca uno de 12 números, representando los meses en forma aleatoria (=aleatorio.entre(1,12)). Para esto, copia la fórmula de la celda cinco lugares más: Comprueba que en las celdas A4 y F4 aparecen ahora los números del 1 al 12 al oprimir la tecla F9. Como tenemos un grupo de seis niños, debemos tener seis de estos números al azar. A continuación realiza este experimento. Aprieta 100 veces la tecla F9. Para cada una, registra en la tabla de abajo cuando no coincidan ninguno de los seis meses o cuando sí haya coincidencia. LOS SEIS MESES

CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA)

TOTALES

No coinciden Coinciden dos o más ¿Qué es más probable? En teoría, en casi el 80% de los casos se encontrará coincidencia entre algunos de los meses. ¿Es esto más o menos lo que tú encontraste? En el problema original del día de cumpleaños, se puede calcular que en aproximadamente 90% de los salones con 40 niños se encontrarán dos niños con la misma fecha de cumpleaños. Si no lo crees es muy fácil de comprobarlo. Visita algunos salones de aproximadamente 40 niños y comprueba que en 9 de cada 10 casos la afirmación anterior se confirma (si estás en una escuela con salones más chicos, la probabilidad de encontrar coincidencia en salones de alrededor de 25 niños es de aproximadamente 60%).

35

Propuesta Hidalgo  2o Grado

Bloque Tres

Patrones numéricos y geométricos

PatronesNumGeo

En una hoja de Geometría Dinámica con una hoja de cálculo y dadas las siguientes actividades, determina la expresión correspondiente para crear sucesiones numéricas, cambiando los valores de los deslizadores. a) Todo polígono regular puede triangularse mediante diagonales que no se intersectan, por ejemplo:

... ¿Cuántos triángulos tiene inscritos un polígono regular de 36 lados? Tomando en cuenta que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180o, determina la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular y escribe una regla.

b) Tomando en cuenta que una diagonal es la unión de dos vértices no consecutivos, por ejemplo:

¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de 27 lados? c) Observa el siguiente arreglo geométrico, tomando en cuenta que cada figura es un nivel:

... ¿Cuántos cuadritos tiene la figura del nivel 100?

36 Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Acotación de la solución de una ecuación de primer grado

AcotEcua1erGrado

En una hoja de cálculo, elabora tabulaciones tomando en cuenta las condiciones que indican cada uno de los problemas y de esa manera obtén la solución. 1) Números. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 60. n, n + 1, n + 2 =

2) Dimensiones. Encuentra las dimensiones de un rectángulo que tiene 66 cm de perímetro y su base mide 3 cm más que el doble de la altura.

3) Precio de boletos. Un concierto musical produjo $45,520.00 por la venta de 800 entradas. Si el precio de las entradas era de 35 y 65 pesos, ¿cuántos boletos de cada precio se vendieron?

4) Número de habitaciones. En una casa de huéspedes, de tres pisos, hay 63 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son el doble de las del tercero, y las del segundo son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?

37 Propuesta Hidalgo  2o Grado

NumsPerdidos

Números perdidos 1. ¿Puedes encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones? El objetivo consiste en que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. Verifica los resultados usando tu calculadora.

a) 2 • a -

1 =1 3

b) 18 = 5 • a + 3 a=

a= d)

c) 27 = 18 • a + 9 a=

e) 3.4 = c + 1.2

5 1 -b= 7 4

f) d • 4 -

c=

b= g) 356 + 2 • x = 376

d=

h) 457 = 25 + 2 • y

x=

1 7 = 8 8

i) 18 + 3 • y = 45

y=

y=

2. ¿Encontraste un método para resolver las ecuaciones anteriores? Descríbelo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. 3. Auxíliate de la calculadora para encontrar los números que faltan y comprobar que tus respuestas sean correctas. Anota en cada espacio las operaciones que hiciste. a) 2 + 3 m = 2 m + 7 m= c) 120 + 5 p = 10 p + 85 p= e) b3 - 120 = 5 b= g) 5x = 3 125 x=

b) 25 + 3 y = 8 y + 5 y= d) 18 q - 1 = 0 q= f) b3 + 2 x b = 12 b= h) 2x = 64 x=

38 Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

VariacionLineal

Variación lineal  Álgebra Recuerda que la propiedad de las relaciones lineales es la siguiente: Si una variable se incrementa de una manera constante, la otra variable cambiará también en forma constante. En esta actividad aprovecharás esta propiedad para determinar si una relación es lineal o no y dar su ecuación. Observa la siguiente tabla. x

0

2

4

6

8

10

y

4

9

14

19

24

29

Debido a que x se incrementa de 2 en 2 (0, 2, 4…) y el valor de y se incrementa de 5 en 5 (4, 9, 14…) ésta es una relación lineal. Si ahora queremos descubrir la ecuación que satisface la tabla anterior, tenemos que deducir los valores de a y b en la fórmula: y=a*x+b La constante a representa el cambio de la variable y en relación con el cambio que experimenta x (de 1 en 1). En la tabla anterior notamos que al incrementarse x de 2 en 2, y se incrementa de 5 en 5. Esto quiere decir que al incrementarse x de 1 en 1, y aumentará de 2.5 en 2.5. Así, el valor de la constante a para este caso debe ser de 2.5; esto es: a = 2.5 La constante b representa el valor de y cuando x = 0. En la tabla anterior observamos que este valor es de 4. Así, b = 4. Por lo tanto, la ecuación que estábamos buscando es: y = 2.5 * x + 4 Escribe esta fórmula en una hoja de cálculo como se muestra a continuación para verificar que se obtienen los mismos valores de la tabla de arriba.

39 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Trabaja ahora junto con un compañero. Abran una nueva hoja de cálculo. En la celda A1 escriban x, en la celda B1 escriban y, y en la celda A2 escriban cualquier número. Después, uno de ustedes, debe escribir en la celda B2 una fórmula del tipo: = 3 * A2 + 7 ( el 3 y el 7 son sólo ejemplos, ya que puedes poner los números que quieras) para que el otro la descubra variando como quiera el número en la celda A2. Después, quien descubra la fórmula debe escribirla en la forma: y=a*x+b

A1 A

B

1

x

y

2

0

3

1

4

2

= 2.5 * A2 + 4

Copia hacia abajo la fórmula

Intercambien ahora papeles, y al final discutan con el grupo cuál es la mejor estrategia para obtener la fórmula a partir de sus datos numéricos. Con la misma hoja del ejercicio anterior, repitan la actividad, pero ahora escriban en la celda B2 fórmulas lineales o de otro tipo. Primero uno de ustedes debe verificar si la relación es efectivamente lineal, usando la propiedad enunciada al principio de esta actividad, es decir, al cambiar x en forma constante, y también cambiará en forma constante. Si es lineal, ¿cuál es su fórmula?

40 Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Dado cualquier polígono, obtener la suma de sus ángulos internos

SumAngInt/Poli

D

Haciendo uso de Geometría dinámica y de la herramienta de Polígono regular, construye un pentágono y construye un triángulo desde el centro a dos vértices adyacentes. Calcula las medidas del ángulo central y un ángulo interno del polígono.

1080

C 720

B

Realiza lo mismo para los siguientes polígonos y completa la tabla:

POLÍGONO

E

A

ÁNGULO CENTRAL

ÁNGULO INTERNO

SUMA DE CENTRAL E INTERNO

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS

720

1080

1800

5400

Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Decágono Dodecágono Completa la siguiente tabla evaluando las expresiones (puedes apoyarte con Excel). ¿Cuál es la fórmula general para determinar el... Ángulo central? Fórmula:

NÚMERO DE LADOS (n)

3600 n

)

1800 * (n -2)

3 4 5

Ángulo interno?

6

Fórmula:

10

¿Cómo son las fórmulas?

(

n * 1800 -

12

41 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Recubrimiento del plano con polígonos regulares

RecubrePlano

 Ángulos entre paralelas Propósito: Descubrir con qué polígonos regulares se cubre un plano.

Seguramente has observado pisos que están cubiertos por polígonos regulares. Sin embargo, combinando éstos forman otros que no son regulares. ¿A qué se debe esto? En la figura anterior, primero se trazó el cuadrado del centro, y utilizando el comando Refleja objeto en recta se construyeron los que parten de los lados del cuadrado central; con el mismo comando y usando ahora estos últimos cuadrados como base, se trazaron los cuadrados que coinciden con los vértices del cuadrado central. ¿Podrías construir nuevos cuadrados utilizando dicho comando? Si tu respuesta fue afirmativa, hazlo y verifica la figura arrastrando cualquier vértice del cuadrado inicial. Si te ubicas en cualquier vértice del cuadrado central, ¿cuántos cuadrados concurren en dicho vértice? ¿Cuánto mide el ángulo de cada cuadrado en ese vértice? Entonces, ¿cuál es el resultado de la suma de los ángulos de los cuadrados que concurren en el vértice donde te ubicaste? Por tal motivo, llenan completamente la parte del plano alrededor del vértice elegido.

42 Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Veamos lo que ocurriría, si el polígono regular elegido fuera un triángulo equilátero.

En este nuevo dibujo, el triángulo equilátero de enmedio fue el principio de toda la figura. Primero se trazaron todos los triángulos sin rellenar y posteriormente se les asignó en la pantalla un color para distinguirlos. ¿Podrías agregar más triángulos equiláteros a la figura anterior? Si tu respuesta fue afirmativa, hazlo y verifica la figura arrastrando cualquier vértice del triángulo equilátero inicial.

Ahora elige un vértice de un triángulo equilátero que esté rodeado de triángulos equiláteros de diferentes colores. ¿Cuántos triángulos equiláteros concurren allí? ¿Cuánto mide el ángulo interno de cualquier triángulo equilátero? ¿Cuál es el resultado de la suma de los ángulos internos de los triángulos equiláteros que concurren en el vértice elegido? Por ello, alrededor del vértice elegido los triángulos equiláteros llenan completamente al plano sin encimarse.

43 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Hasta ahora, parece que cualquier polígono regular que se elija llenará el plano alrededor de un punto sin encimarse, pero veamos que sucede si elegimos un pentágono regular.

A

En el dibujo, el pentágono regular inicial fue el de abajo, donde un vértice es el punto A; alrededor de A se construyeron 3 pentágonos regulares, utilizando el comando Refleja objeto en recta y como consecuencia, el tercer pentágono regular que construimos se encimó sobre uno de los anteriores. ¿Podrías explicar por qué?

44 Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Si construimos polígonos regulares de seis, siete, ocho, nueve y diez lados, respectivamente, ¿con cuáles se llena completamente el plano alrededor de un vértice sin que los polígonos se encimen? Describe lo ocurrido para cada caso.

45 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Recubrimiento del plano con combinaciones de polígonos regulares

RecPlanCombPoli

 Ángulos entre paralelas Propósito: Cubrir el plano combinando polígonos regulares.

Z

En el dibujo, el espacio que está alrededor del punto Z se llenó completamente con triángulos equiláteros y cuadrados, sin que ninguno de ellos se encimara. Construye la figura anterior y describe cómo la hiciste.

Observa que en este caso se usaron dos tipos de polígonos regulares para llenar el espacio alrededor del punto Z. ¿Consideras que esta es la única manera de acomodarlos? ¿podrías proponer otro acomodo?, ¿cómo?

46 Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Discute tu propuesta con tus compañeros y recuerda que los polígonos regulares que se combinan tienen lados iguales. Verifica cada una de las combinaciones que se propongan. ¿Qué otras combinaciones, distintas a la anterior, son posibles? (de manera que alrededor de un vértice se llene completamente el plano sin que los polígonos regulares se encimen).

Discute tu propuesta con tus compañeros y recuerda que los polígonos regulares que se combinan tienen lados iguales. Verifica cada una de las combinaciones que se propongan.

47 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Analizando gráficas de rectas

AnaRectasPlano

Con el ambiente de Geometría dinámica, abre el archivo AnaRectasPlano y podrás ver el comportamiento de la expresión: y = mx + b y

Escala (y): 1.0 Escala (x): 1.0 0.50 cm 1 cm

(0.0, 2.6) (0.00, 1 1.50)

Mueve aquí

1 Ecuación de la recta y = 0.5 * x + 1.5

(2.12, 0.00)

x

(modifica los coeficientes)

1) Para poder observar el efecto del valor de b, pulsa el parámetro“1.5” dos veces y aparecerán flechas de direccionamiento que te permitirán hacer crecer o disminuir el valor pulsándolas.

¿Cómo son las rectas entre sí, si variamos b y dejamos constante m?

2) Regresa el valor b a “1.5” y ahora modifica el valor de m (0.5)

¿Qué particularidad tienen las rectas si m es variable y b constante?

3) ¿Qué comportamiento tiene si m es igual a cero? 4) Desplaza las líneas punteadas de color verde moviendo el punto que está sobre el eje X y observa.

¿Cambian las longitudes de los lados verdes continuos?

5) Si divides la longitud vertical entre la horizontal,

¿a qué coeficiente de la ecuación de la recta es igual?

6) Compara también la ordenada del punto que intersecta la recta con el eje Y

¿A qué coeficiente de la ecuación de la recta es igual?

48 Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Bloque Cuatro

Los muy grandes y los muy pequeños

GrandesPequeños

 Una nueva conveniencia del diez Antes de los ejemplos comprueba, con la calculadora, la equivalencia de la siguiente tabla:

Izquierda a derecha

Derecha a izquierda



1000000 = 106

10-1 = 0.1



100000 = 105

10-2 = 0.01



10000 = 104

10-3 = 0.001



1000 = 103

10-4 = 0.0001



100 = 102

10-5 = 0.00001



10 = 101

10-6 = 0.000001



1 = 100

Una de las razones que obligaron a los científicos a usar los exponentes fue la frecuencia con que los encontraron necesarios para trabajar con cifras muy grandes y muy pequeñas. a) La masa del globo terráqueo tiene alrededor de 6,000,000,000,000,000,000,000,000,000 de gramos. (6 * 1027) b) El átomo de hidrógeno tiene alrededor de 0.00000000000000000000000166 gramos. (1.66 * 10-24) Como puede observarse, es muy fácil perderse en los ceros. Tratando de simplificar la tarea, los científicos usan una forma de expresión de los números que es en parte, la ordinaria y, en parte, la exponencial. Con la ayuda de la calculadora completa la siguiente igualdad para que sea equivalente: 3200 = 32 * 10 ^

= 0.32 * 10 ^

= 3 * 10 ^

+ 2 * 10 ^

 Otros números además del diez 1) Curiosidad de potencias

102 + 112 + 122 + 132 + 142 = 365

2) Tere va a repartir dulces a varios niños. Al primero le da un dulce, al segundo le da dos, al tercero le da el doble de dulces que le dio al segundo y así sucesivamente, al siguiente le dará el doble que al anterior. Si Tere tiene 2 008 dulces, ¿cuál es el mínimo número de dulces que le faltan para poderlos repartir de esta manera?

(Corroborar que 20 + 21 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1 – 1)

49 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo

RectasTriangulo

 Trazos geométricos - líneas básicas Propósito: Reafirmar lo que se entiende por bisectriz, altura, mediana y mediatriz para un triángulo cualquiera.

La siguiente figura muestra la bisectriz, la altura y la mediana, trazadas desde el mismo vértice de un triángulo; aparece también la mediatriz en el lado opuesto del vértice mencionado.

n

l r

m Bisectriz (l) Mediatriz (m) Mediana (n) Altura (r)

Reproduce el dibujo.

Anota los pasos que seguiste para realizar el ejercicio anterior.

50 Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Mueve los vértices del triángulo y verifica si las propiedades de cada una de las rectas se conservan.

Si sigues moviendo los vértices, ¿habrá un momento en que concurran las cuatro rectas?

¿En qué triángulo coinciden las cuatro rectas?

51 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Construyendo dados

ConstrucDados

 Probabilidad Abre el archivo ConstrucDados y escribe en la celda B1 la fórmula: = ALEATORIO( ). Esta función escoge al azar un número entre cero y uno. ¿Qué número te dio? Oprime varias veces la tecla F9 y observa que cada vez te da otro número en ese rango. Escribe en la celda B2 la fórmula: = B1 * 6. ¿En qué rango caen los números de esta celda? Escribe ahora en la celda B3 la fórmula: = ENTERO (B2). Esta función quita la parte decimal del número en B2 y deja sólo su parte entera. ¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda? ¿Son los que tiene un dado? Por último, escribe en la celda B4 la fórmula: = B3 + 1 ¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda? ¿Son los que tiene un dado? Ya tienes construido un dado en la celda B4 (destaca la celda con algún color, centra el número y dale un tamaño más grande). Realiza ahora el siguiente experimento. Oprime 120 veces la tecla F9. Para cada una, registra en la tabla de abajo el resultado de la celda B4. VALOR DADO

CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA)

1 2 3 4 5 6

52 Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

TOTALES

Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas. ¿A qué se debe que las cantidades no sean iguales?

¿Crees que cada valor debería haber aparecido exactamente 20 veces?

¿Crees que un dado real se comportaría de la misma manera?

¿Por qué decimos entonces que cada cara de un dado tiene la misma probabilidad de salir y que ésta es de un sexto?

Discute con el grupo estas preguntas. A continuación usa la misma hoja de cálculo y sigue para la columna D los mismos pasos que en la columna B, para que tengas simultáneamente dos dados. Realiza ahora el siguiente experimento. Oprime 120 veces la tecla F9. Para cada una, registra en la tabla de abajo la suma de los resultados de las celdas B4 y D4. SUMA DE LOS DADOS

CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA)

TOTALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

53 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas. ¿Tienen todos los valores la misma probabilidad de aparecer? ¿Qué valor es más probable? ¿Qué valor es menos probable? Compara tus resultados con otros equipos. Considera ahora la siguiente pregunta: ¿en qué proporción cae un doble cuando se tira un par de dados muchas veces? (Recuerda que un doble sucede cuando en los dos dados sale el mismo número)

Para responder oprime 100 veces la tecla F9 y registra en la tabla de abajo si los valores de las celdas B4 y D4 coinciden o no. LOS DOS DADOS

CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA)

No coinciden Coinciden Divide ahora los totales para que obtengas esta proporción. ¿Cuál es? Por cada doble que sale, debe ocurrir que los dados no coincidan cinco veces. Dicho de otra manera, un doble aparece en promedio, una de cada seis veces. ¿Este es el resultado que obtuviste? ¿Por qué fue diferente?

54 Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

TOTALES

Construyendo una moneda y un dado

ConstruMoneDado

 Simulación del azar A partir de la actividad de la semana anterior, construye en una hoja de cálculo la simulación del lanzamiento de un dado y de una moneda. A

B

C

D

E

F

G

1 2 3

S IM U LAC I Ó N D E L A ZA R Construyendo un dado y una moneda

4 5

Dado

Moneda

6

0.5562729

0.46155372

7

3.33763739

0.92310744

8

3

0

Sólo pulsa F9 y registra los resultados en tu hoja de trabajo

9 10 11 12

Sol

4

13

Registra en el siguiente cuadro los resultados diferentes que vayas obteniendo a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila y cinco?

DADO / MONEDA

SOL

ÁGUILA

1

(

,

)

(

,

)

2

(

,

)

(

,

)



3

(

,

)

(

,

)

c) ¿Y la de obtener águila o

4

(

,

)

(

,

)

5

(

,

)

(

,

)

6

(

,

)

(

,

)

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sol o tres?

número IMPAR? d) ¿Y la de obtener sol y número PAR?

55 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Apuestas

Apuestas  Probabilidad

En esta actividad queremos averiguar las posibilidades de ganar en un juego. Supón que compras una tarjeta como la que se muestra en la tabla siguiente (comenzaremos con sólo dos partidos). En la columna del resultado hay que escribir visitante (V), local (L) o empate (E) para indicar cuál equipo ganará o si habrá un empate. Llénala como quieras. ADIVINA ¿CUÁL SERÁ EL GANADOR? ESCRIBE: VISITANTE, LOCAL O EMPATE PARTIDO

VISITANTE

LOCAL

1

Toluca

Morelia

2

Pachuca

Monterrey

RESULTADO

Ahora abre el archivo Apuestas para saber los resultados. ¿Tienes tus dos resultados correctos? Tu profesor debe recolectar de alguna manera todos los Sí o No para analizarlos con el grupo. ¿Qué proporción de Sí se obtuvieron? 1 de cada: Veamos qué se espera. En cada uno de los dos resultados hay tres posibles respuestas: V, L o E. Esto quiere decir que hay en total 3 × 3 = 9 combinaciones posibles. Escribe abajo estas nueve combinaciones (tres ya están dadas): COMBINACIONES POSIBLES PARTIDO

1

2

3

1

V

V

V

2

V

L

E

4

5

6

7

8

9

Así, si adivinamos al azar tenemos 1 de 9 posibilidades de acertar y ganar el juego. Entonces lo que esperamos es que 1 de cada 9 del grupo tenga la respuesta correcta. ¿Es esto lo que salió?

56 Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Realiza el siguiente experimento: oprime 90 veces la tecla F9 y observa los resultados. ¿Cuántas veces aparece la combinación V y V en los dos partidos? ¿Cuántas veces debió haber aparecido? Discute con el grupo la diferencia. Pasemos ahora a una situación con cuatro partidos en la tarjeta como la que aparece a continuación. Llénala indicando si crees que ganará el visitante, o el local o si habrá empate: ADIVINA ¿CUÁL SERÁ EL GANADOR? ESCRIBE: VISITANTE, LOCAL O EMPATE PARTIDO

VISITANTE

LOCAL

1

Guadalajara

América

2

Cruz Azul

UNAM

3

Pachuca

Puebla

4

Santos

Atlas

RESULTADO

En el archivo Apuestas, escribe en Cantidad de partidos el número 4 para saber los resultados. ¿Tienes tus cuatro resultados correctos? Tu profesor debe recolectar todos los Sí o No para analizarlos con el grupo. ¿Qué proporción de Sí se obtuvieron? ¿Qué debemos esperar? En cada uno de los cuatro resultados hay tres posibles respuestas: V, L o E. Esto quiere decir que habrá en total 3 × 3 × 3 × 3 combinaciones posibles. ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? Realiza el siguiente experimento: oprime 81 veces la tecla F9 y observa los resultados. Anota cuántas veces aparece la combinación V, V, V y V en los cuatro partidos. ¿Cuántas veces debió haber aparecido? Discute con el grupo la diferencia. Repite el procedimiento para el caso de seis partidos. Llena la tabla con V, L o E:

57 Propuesta Hidalgo  2o Grado

PARTIDO

RESULTADO

1 2 3 4 5 6 En el archivo Apuestas, escribe en Cantidad de partidos el número 6 para saber los resultados. ¿Tienes tus seis resultados correctos? Es casi seguro que no, ¿verdad? ¿Qué debemos esperar? ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? Si hubiera en la tarjeta 10 partidos, ¿qué debemos esperar? ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? Proyecto: En la hoja de cálculo escribe un 3 en la Cantidad de partidos. Como ya sabemos, tendremos 1 de 27 posibilidades de adivinar correctamente. Escoge cualquier combinación. Observa en tu hoja la frecuencia con la que aparece la combinación que elegiste y compárala con las posibilidades mencionadas anteriormente (observa cuántas veces aparece la combinación que elegiste al oprimir 270 o 540 veces la tecla F9).

58 Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Edades y estaturas en tu grupo

EdadEstu

Para poder llevar a cabo la siguiente actividad, abre el archivo EdadEstu, y completa lo que se te solicita, de ti y cinco de tus compañeros.

A

B

C

D

E

F

1 2 3

EDADES Y ESTATURAS EN TU GRUP O Núm.

Nombre

Edad

Estatura (cm)

4 5 6 7 8 9 10

a) Selecciona desde la celda C3 hasta D9 y con el Asistente para gráficos obtén la gráfica de líneas. El eje horizontal (abscisas) representa: El eje vertical (ordenadas) representa: b) Selecciona desde la celda C3 hasta C9 y presionando Control selecciona desde la celda E3 hasta E9, con el Asistente para gráficos obtén la gráfica de líneas. El eje horizontal (abscisas) representa: El eje vertical (ordenadas) representa: c) Selecciona desde la celda C3 hasta E9 y con el Asistente para gráficos obtén las gráficas de dispersión. El eje horizontal (abscisas) representa: El eje vertical (ordenadas) representa: ¿Corresponde esta última gráfica a los datos que tienes en tu tabla? ¿Por qué?

59 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Bloque Cinco

Métodos de solución de un sistema de ecuaciones

MetodoSistEcua

Con el uso del archivo MetodoSistEcua analiza cada método, sólo cambiando los coeficientes de las ecuaciones.

Método de sustitución El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Así, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido. Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x-y=6 3x +2y = 13

}

x=

y=

Método de igualación El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Ésta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido. Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema: 5x + 12y = 6 3x + 2y = 2

}

x=

y=

Método de reducción El método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las iníciales, de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido. Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema: 3x + 2y = 7 4x - 3y =15

}

x=

y=

60 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Sistemas de dos ecuaciones

SistEcua

 Álgebra ¿Qué representa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas? ¿Habrá siempre una solución? ¿Qué representa cada ecuación? En esta actividad resolverás éstas y otras preguntas. Considera por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 2 x – 3 y = –13 Ecuación 2: 3 x + 2 y = 13 Abre el archivo SistEcua y encuentra estas ecuaciones. Notarás que hay también una segunda forma de cada ecuación seguida del símbolo =. Éstas son las ecuaciones que resultan cuando se despeja y. Despeja y de cada una de las ecuaciones anteriores y comprueba que son las mismas ecuaciones dadas en la hoja de cálculo. Ecuación 1: y = Ecuación 2: y = Cada ecuación de este tipo representa una recta, como se muestra a continuación. Calcula el valor de y para cada una de las ecuaciones anteriores, donde x = 1. Llamaremos a estos valores y1, y2, respectivamente: Para x = 1

y1 =



y2 =

Busca en la tabla de la hoja de cálculo los valores dados para x = 1, y verifica que son iguales a los tuyos. Encuentra estos valores en las gráficas que se proporcionan en la hoja. ¿Qué pasa en el punto (1, 5)? Haz lo mismo para: x = 2

y1 =



y2 =

Encuentra estos valores en las gráficas (toma en cuenta que los valores de la tabla están redondeados a un decimal).

61 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Como puedes observar, este programa calcula ambos valores de y para valores de x entre –4 y 4. Estos valores son graficados para cada una de las ecuaciones, con lo que se obtienen las rectas que aparecen en el sistema de coordenadas. Para x = –2, los valores en la tabla son:

y1 =



y2 =

Encuentra en las gráficas los dos puntos que representan estos valores. El punto de intersección de las dos rectas es la solución al sistema de ecuaciones original. Comprueba que estos valores satisfacen ambas ecuaciones: Ecuación 1: 2x – 3y = –13 Ecuación 2: 3x + 2y = 13

2 ( 1 ) – 3 ( 5 ) = –13 3 ( ) + 2 ( ) = 13

El programa no sería útil si sólo se pudiera trabajar con un sistema de ecuaciones. Las ecuaciones de este programa cambian en función de los coeficientes que se encuentran debajo de cada una de ellas. Analiza ahora el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 3x – 2y = –9 Ecuación 2: 3x + 4y = 0 Inserta sus coeficientes en el programa (no olvides los signos). Verifica que las ecuaciones que aparecen en el programa son iguales a las de arriba. ¿Cuál es la solución de este sistema?



x=



y=

Deja la primera ecuación igual y cambia la segunda a: Ecuación 1: 3x – 2y = –9 Ecuación 2: 6x – 4y = –2 ¿Tiene solución este sistema? ¿Por qué?

Cambia el –2 de la segunda ecuación a –18 y observa lo que pasa. ¿Tiene solución este sistema? ¿Por qué?

62 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Observa lo que le ocurre a la gráfica y cambia ahora el –18 por –6, después por –10, después por –14 y otra vez por –18. Reflexiona sobre tus últimas dos respuestas. Considera el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: x – 3y = 20 Ecuación 2: 3x + 4y = 8 No olvides insertar los coeficientes en el programa. A veces el rango de x (entre –4 y 4) no es el más apropiado (fíjate en las celdas L1 y M1). Este programa te permite cambiar el primer valor (–4). El segundo valor (4) se ajusta automáticamente para tener siempre un rango de 8 unidades. Cambia el rango para que puedas observar en la gráfica la solución del sistema anterior. ¿Cuál es?



x=



y=

Construye otra hoja de cálculo en la que haya seis celdas para introducir los coeficientes de las ecuaciones; la hoja debe calcular la solución del sistema usando las fórmulas que se tienen en el método de determinantes.

63 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Razón y proporción

RazonProporcion

 Casas y Pueblos otra vez Construye procedimientos para dibujar letras, personas, familias y árboles. PARA MICASA AV 50 GD 60 AV 70 GD 60 AV 70 GD 60 AV 50 GD 90 AV 121 GD 90 FIN

En el procedimiento MICASA, ¿qué instrucciones corresponden a los lados? Dada MICASA, construye un pueblo con casas iguales de diferentes tamaños. ¿Qué instrucciones cambian en MICASA al hacer una casa más grande? ¿Qué instrucciones no cambian?

64 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

 Figuras a escala Escribe un procedimiento para dibujar una letra. Por ejemplo: PARA ELE AV 100 RE 100 GD 90 AV 50 RE 50 GI 90 FIN Luego edita tu procedimiento para multiplicar cada parte por una escala. PARA ELE : ESCALA AV 100 * : ESCALA RE 100 * : ESCALA GD 90 AV 50 * : ESCALA RE 50 * : ESCALA GI 90 FIN Intenta ELE 0.5

ELE 1.0 ELE 2.7

ELE 1.9

¿Qué sucede con la letra? ¿Qué tan grande la puedes hacer? ¿Qué tan pequeña?

Como reto, realiza el procedimiento para elaborar la letra inicial de tu nombre.

65 Propuesta Hidalgo  2o Grado

 Letras Escribe un solo procedimiento para dibujar las letras E de abajo y otras de cualquier tamaño. 150

PARA LETRA E : ESCALA

100 50 100 75

150 50 50

25 75

225

150

75 100

FIN

225 ¿Cuáles son los comandos que varían y cuáles los que permanecen iguales?

66 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Haz lo mismo para la letra Z.

PARA LETRA Z : ESCALA

27 30 27 9 10 9

45

GD 148 50 45 FIN

¿Qué entrada de la variable :ESCALA se necesita para crear cada una de las letras? CHICA

MEDIANA

GRANDE

Letras E Letras Z

Las respuestas dependen de cómo escribiste tus procedimientos

67 Propuesta Hidalgo  2o Grado

 Personas Con el procedimiento PERSONA crea personas con cabezas más grandes, con piernas más o menos largas o como se te ocurra.

PARA PERSONA : TAM CABEZA : TAM SALTO : TAM CUERPO : TAM FIN

PARA SALTO : TAM RE : TAM GD : 90 AV : TAM / 2 GI 90 FIN

PARA CABEZA : TAM REPITE 4 [GD 90 AV : TAM] FIN

PARA BRAZOS : TAM GI 125 AV : TAM / 2 RE : TAM / 2 GD 250 AV : TAM / 2 RE : TAM / 2 GI 125 FIN

68 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

PARA CUERPO : TAM RE : TAM / 3 BRAZOS : TAM RE : TAM PIERNAS : TAM FIN

PARA PIERNAS : TAM GI 150 AV : TAM * 8 RE : TAM * 8 GD 300 AV : TAM * 8 RE : TAM * 8 GI 150 FIN

 Familias Usando PERSONA y los otros procedimientos que creaste en la actividad anterior, crea familias y hasta una población.

69 Propuesta Hidalgo  2o Grado

 Árboles Diseña un solo procedimiento que dibuje estos árboles y otros de diferentes tamaños. 60

60

60

60

80

60

80 30

80 90

100

90 90

100 100

60

30 60

90

90 90

120

120

30

120 PARA ARBOL

FIN Utiliza ARBOL para crear un bosque con árboles de diferentes tamaños.

70 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Traslación, Rotación y Reflexión

TrasRotReflex

En esta secuencia didáctica conocerás tres tipos de transformaciones: traslación, rotación, y reflexión, haciendo uso del ambiente de Geometrìa dinámica.

Traslado Vector 0

Una transformación que crea una imagen que es congruente con la figura original se llama isometría.

1. Una traslación desliza la figura a lo largo de una trayectoria recta, moviendo cada punto la misma distancia en la misma dirección. Puedes describir una traslación usando un vector de traslación, que especifica tanto la distancia como la dirección.

Origen Rotada 2. Una rotación gira una figura alrededor de un punto fijo, rotando cada punto el mismo número de grados. Puedes describir una rotación dando el punto central, el número de grados, y la dirección (en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido opuesto). Cuando no se especifica una dirección, se supone que la rotación se da en el sentido opuesto a las manecillas del reloj.

120

120,00 0 Origen

B C

A

A’ F

D

C’ F

Origen

E

B’

’

90,00 Recta de reflexión

D’ E’

Reflejada

3. Una reflexión con respecto a una recta voltea una figura sobre una recta, creando el reflejo exacto de la figura (como un espejo). Puedes describir una reflexión especificando la recta de reflexión.

71 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Dividiendo un cuadrado en dos partes congruentes

DivCuadrado

Se parte de una construcción geométrica muy sencilla y tras recorrer distintos contenidos matemáticos: geométricos, numéricos y algebraicos, se desemboca en la construcción y estudio de mosaicos. Esta actividad se hará con la ayuda del programa Geometría dinámica.

Construcción: Dado un cuadrado, una forma de construir dentro de él un polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento.

Investiga también los siguientes procedimientos:

Tanto los dos de la izquierda como los dos de la derecha corresponden al mismo. Si hay que dividir el cuadrado en dos partes iguales (cosa que ocurría en el ejemplo de la primera construcción), se pueden utilizar varias líneas rectas o curvas.

72 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Construcción de mosaicos

Mosaicos

Con la ayuda del programa de Geometría dinámica, tomamos una línea que pase por el centro del cuadrado, obtenemos un trapecio. Si hacemos que la recta pase por el centro y por un punto del segmento del lado superior, podremos realizar la animación de éste último y ver los sucesivos trapecios de los que tanto el primer rectángulo como los dos triángulos rectángulos son casos particulares. También podemos generalizar el procedimiento, si tomamos los puntos medios de los cuatro lados, obtenemos en su interior un nuevo cuadrado, pero no es obligatorio que sean exactamente esos puntos, como se muestra en las figuras de abajo, en las que llegamos a la cometa, el trapecio isósceles o el paralelogramo, y en todas las figuras dejar elementos móviles que permitan la animación.

Finalmente con el uso de Refleja objeto en recta , construye mosaicos, por ejemplo:

Mueve aquí

73 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Simulación con el modelo de urna

ModeUrna

 Probabilidad Un jugador de baloncesto encesta en promedio 80% de sus tiros libres y falla 20%. Supón que en su entrenamiento tira 20 veces. ¿Cuántos de estos tiros se espera que enceste? Una manera de simular (modelar) esta situación es poner en una bolsa (o urna) 8 pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sacar una pelota de la bolsa representa un tiro del jugador. Extraer una pelota blanca significa que el jugador metió el tiro y una negra que lo falló. Si queremos simular otro tiro, debemos regresar la pelota que sacamos para que no se altere la proporción de pelotas blancas y negras. El archivo con el que vas a trabajar simula este tipo de situaciones en una hoja de cálculo. Abre ModeUrna. Los colores y las cantidades apropiadas a la situación del jugador ya están puestos. La tabla muestra los resultados de extraer una pelota 20 veces (recuerda que cada vez se regresa la pelota extraída; en matemáticas a esto se le llama “con reemplazo”). La tercera columna va registrando cuántas pelotas blancas han salido hasta ese momento y la cuarta columna proporciona el porcentaje de pelotas blancas que han salido. Escribe abajo el “resultado” de las primeras cinco extracciones. Explica qué significa esto en el caso del jugador del baloncesto. ¿La celda C11 indica la cantidad correcta? ¿Cómo crees que se calculó el porcentaje en la celda D11? ¿Cuántas pelotas blancas salieron en total en las 20 extracciones? Como el jugador encesta 80% de los tiros, se espera que acierte 16 de esos 20 tiros. ¿El resultado que obtuviste es mayor o menor a las 16 esperadas?

74 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Simula 10 veces los 20 tiros que realiza el jugar (oprimiendo la tecla F9) y en cada caso escribe el total de bolas blancas que salieron.

Calcula el promedio de los 10 resultados que obtuviste y compáralo con el valor esperado (16). ¿Está cercano el promedio a este valor? ¿Es posible tener una situación en la que el total de blancas sea de 19? Inténtalo. ¿Lo lograste?

¿Es posible tener un caso en el que el total de blancas sea de 13? Inténtalo. ¿Lo lograste?

¿Es posible que se dé una situación en la que el total de blancas sea de 10 solamente? Inténtalo. ¿Lo lograste? La probabilidad de obtener 19, 13 o 10 es aproximadamente de 6%, 5% y 0.2% respectivamente (es decir, 6 en 100, 5 en 100 y 2 en 1000). Simula ahora la siguiente situación con el programa, cambiando los colores y las cantidades. En un hospital, la probabilidad de que nazca una niña (rosa) es de 60% y un niño (azul) es de 40%. Si diariamente nacen en el hospital 20 bebés, ¿cuál de las tres opciones que aparecen a continuación es la más probable? (Vas a tener que hacer muchas simulaciones para obtener la respuesta y contar las veces que aparece cada opción). a) Que nazcan 14 niñas (6 niños): ¿cuántas?

(12.4%)

b) Que nazcan 12 niñas (8 niños): ¿cuántas?

(18.0%)

c) Que nazcan 10 niñas (10 niños): ¿cuántas?

(11.7%)

75 Propuesta Hidalgo  2o Grado

CarrerasLogo

Carrera de tortugas

En el menú Fichero, selecciona el comando “Nuevo”. Luego carga el archivo CarrerasLogo y usa el procedimiento PREPARA y después CARRERA en el que compiten tres tortugas en una carrera. La carrera de tortugas Meta

Origen Tortuga 1

Tortuga 2

Experimenta ejecutando CARRERA varias veces. ¿Qué sucede?

76 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Tortuga 3

Analiza el subprocedimiento REGLAS del programa CORRECARRERA y calcula la probabilidad que tiene de ganar cada tortuga. PARA REGLAS HAZ “TIRADA AZAR 20 SI : TIRADA < 1 [ACTIVA 1 AV 10] SI (O : TIRADA = 1 : TIRADA = 2) [ACTIVA 2 AV 10] SI : TIRADA > 2 [ACTIVA 3 AV 10] FIN

Escribe cuáles son todos los posibles valores de TIRADA, si ésta es definida por AZAR 20.

El comando ACTIVA es el que indica a qué tortuga se le llama. Así, ACTIVA 1 da comandos a la tortuga 1, ACTIVA 2 a la tortuga 2, etcétera. ¿Cuáles son los valores de TIRADA que hacen avanzar a cada tortuga? VALORES QUE LA HACEN AVANZAR

NÚMERO TOTAL DE POSIBLES VALORES

PROBABILIDAD DE AVANZAR

Tortuga 1 Tortuga 2 Tortuga 3

77 Propuesta Hidalgo  2o Grado

Inicialmente, ¿qué tortuga tenía mayor probabilidad de ganar? ¿Por qué la carrera era injusta?

Modifica el subprocedimiento REGLAS del programa CORRECARRERA para que la carrera sea justa. Escribe tu nueva versión. PARA REGLAS HAZ “TIRADA SI SI SI FIN ¿Qué modificaste para hacer la carrera justa? ¿Redefiniste TIRADA? Escribe cuáles son todos los posibles valores de TIRADA, si ésta es definida por AZAR ¿Cuáles son los valores de TIRADA que hacen avanzar a cada tortuga? VALORES QUE LA HACEN AVANZAR

NÚMERO TOTAL DE POSIBLES VALORES

Tortuga 1 Tortuga 2 Tortuga 3

¿Tiene ahora cada una de las tortugas la misma probabilidad de avanzar? ¿Por qué?

78 Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

PROBABILIDAD DE AVANZAR

Bibliografía EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Matemáticas con la hoja de cálculo. México: SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Geometría dinámica. México: SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. De los números al álgebra en secundaria con el uso de la calculadora. México: SEP. EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Programación computacional para matemáticas de secundaria. México: SEP. SEP. (2006). Programas de estudio 2006. Matemáticas. Educación básica. Secundaria. México: SEP. SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP. SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP. SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, México. Ursini, Sonia, Fortino Escareño, Delia Montes, María Trigueros. (2005). Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta alternativa, Trillas, México.

79 Propuesta Hidalgo  2o Grado