Story Transcript
UNITAT
3
Equacions de primer grau
Continguts Concepte Equacions i identitats Resolució d’equacions de primer grau Resolució de problemes amb equacions
Objectius Distingir els dos tipus d’igualtats algebraiques. Trobar el grau d’una equació. Trobar equacions equivalents a una equació donada. Resoldre equacions de primer grau amb una incògnita. Resoldre problemes mitjançant equacions de primer grau amb una incògnita.
Les equacions són expressions algebraiques que impliquen una igualtat entre dos membres que només es compleix per a uns valors determinats de la incògnita. Resoldre, doncs, una equació significa trobar aquests valors. En aquesta unitat estudiarem les equacions de primer grau amb un incògnita, és a dir, aquelles equacions en què, un cop reduïdes, només apareix un terme literal que no està elevat a cap exponent. Veurem que el nombre màxim de solucions d’una equació coincideix amb el seu grau, i coneixerem els mètodes per resoldre les de primer grau. Les equacions ens permeten resoldre tota mena de problemes de manera ràpida i eficaç. Així, doncs, al final de la unitat aplicarem el que hem après per resoldre’n un ampli ventall.
GES_MATES_2.indb 39
05/04/13 10:04
1 Concepte Gràcies al Papir de Berlín i a diverses taules d’escriptura cuneïforme en què es troba la solució a les dimensions d’un rectangle a partir de l’àrea i el perímetre, sabem que els babilonis, uns 2.000 anys aC, ja resolien equacions de segon i de tercer grau. De fet, la majoria dels pobles antics resolien equacions de fins a cinc incògnites, tot i que no en sabem el mètode. La gran diferència amb les nostres equacions és que la notació actual és molt més simple. A partir dels coneixements matemàtics dels indis, dels antics grecs i dels xinesos, els àrabs van ser capaços de resoldre equacions de tercer grau amb mètodes geomètrics.
» Scipione del Ferro (1465 – 1526) va trobar la solució d’una equació de tercer grau cap al 1515, però no en va difondre el mètode. Només el va revelar a un seu deixeble amb la promesa que aquest no el publiqués. Tot i això, alguns matemàtics italians en van tenir coneixement, i, finalment, Gerolamo Cardano el va publicar el 1545.
Al segle xix, els matemàtics Niels Henrik Abel i Évariste Galois van arribar a la conclusió que no hi havia cap mètode general per resoldre equacions de grau superior a 4. Tanmateix, els estudis desenvolupats al segle xx van fer trontollar aquesta idea, ja que es van trobar mètodes per resoldre aquest tipus d’equacions fent servir funcions hipergeomètriques i el·líptiques.
2 Equacions i identitats Quan trobem dues expressions algebraiques relacionades amb el signe = parlem d’igualtats algebraiques. Les expressions algebraiques que hi ha a cada banda del signe igual reben el nom de membres, i cada membre pot estar format per un o més termes. termes 2x5 + 3x2 + 2x = 7x + 2x - 3
RECORDA
Al llarg de la història, les equacions han estat –i encara ho són– una excel· lent eina per resoldre pro· blemes.
membres Hi ha dos tipus d’igualtats algebraiques: les equacions i les identitats.
Equacions na equació és una igualtat algebraica que es compleix per a un únic valor de la U incògnita, és a dir que té una solució única. Exemple
La igualtat 3 x + 2 = 11 es compleix per a x = 3: 3 ⋅ 3 + 2 = 11 9 + 2 = 11 11 = 11 Però no es compleix, per exemple, per a x = 12: 3 ⋅ 12 + 2 ≠ 11 36 + 2 ≠ 11 38 ≠ 11 Es pot comprovar que tampoc es compleix per a cap valor diferent de 3. Per tant, es tracta d’una equació.
40
GES_MATES_2.indb 40
05/04/13 10:04
Equacions de primer grau
3
Grau d’una equació En les equacions, com en els polinomis, el grau coincideix amb l’exponent més alt a què està elevada la incògnita. Una equació és de primer grau quan la incògnita té exponent 1. Si el grau més alt de les expressions algebraiques és 2, aleshores tenim una equació de segon grau, i així successivament. Exemples
x2 − 4 x + 3 = 7
És una equació de segon grau.
x 4 + x 3 − 2 x 2 = x 3 − 5 És una equació de quart grau.
Les equacions de primer grau tenen una única solució; les equacions de segon grau poden tenir fins a dues solucions, i les equacions de grau n, fins a n solu cions.
Identitats
L’equació x 2 − 2 x − 3 = 0 és de segon grau i té dues solucions (x = 3 i x = -1). x = 3 és solució de l’equació, ja que es compleix la igualtat. 32 − 2 ⋅ 3 − 3 = 0 9−6−3 = 0 0=0 x = -1 és solució de l’equació ja que es compleix la igualtat. 2
(−1)
− 2 ⋅ (−1) − 3 = 0
1+ 2 − 3 = 0 0=0
na identitat és una igualtat que es compleix independentment del valor que U pugui prendre la incògnita, és a dir que té infinites solucions. Exemple
La igualtat 2( x + 4) = 2 x + 8 es compleix per a x = 3: 2 ⋅ (3 + 4 ) = 2 ⋅ 3 + 8 2⋅7 = 6 + 8 14 = 14 També es compleix per a x = 12: 2 ⋅(12 + 4) = 2 ⋅ 12 + 8 2 ⋅ 16 = 24 + 8 32 = 32 I podem comprovar que es compleix per a qualsevol valor que prengui x. Per tant, és una identitat.
Una manera de saber si una igualtat és una identitat és reduir els termes semblants que hi ha a cada membre. Si els dos membres que en resulten són idèntics, es tracta d’una identitat. La igualtat 3 · (2x - 4) = 6 · (x - 1) - 6 és una identitat, ja que en reduir-ne els termes semblants s’obtenen dos membres idèntics: 6x - 12 = 6x - 6 - 6 6x - 12 = 6x - 12
EXERCICIS
1. Digues quines d’aquestes igualtats són equacions i quines identitats: a) x + 4 = 2
b) x ⋅( x − 5) = x 2 − 5 x
c) 2 − 4 x − x 3 = x 2 d) 4 x − 2 + x + x 2 = 2 ⋅( x − 1) + x 2 + 3 x
2. Escriu una igualtat d’expressions algebraiques que representi una equació i una altra igualtat que sigui una identitat. 3. Com sabem que una equació és de segon grau? Quantes solucions esperem trobar per a una equació de segon grau? 4. Per a quines d’aquestes equacions la solució és x = -1? a) x + 3 = 2
c) 2 x + 3 = x 2 − 2 x − 2
b) x 2 + 2 x + 3 = 0
d) x 3 − x 2 + x + 3 = 0
41
GES_MATES_2.indb 41
05/04/13 10:05
3 Resolució d’equacions de primer grau
Equacions equivalents Com que una equació és una igualtat, podem imaginar-la com una balança equilibrada. En el plat esquerre hi situem el membre de l’esquerra de l’equació, i en el plat dret, el membre de la dreta. Una balança equilibrada continua essent-ho si afegim o traiem el mateix pes en cada plat i també si el multipliquem o dividim pel mateix nombre. Anàlogament, si sumem, restem, multipliquem o di vidim els dos membres d’una equació per la mateixa quantitat, obtenim una equació equivalent. Exemple
RECORDA
Si sumem, restem, multi pliquem o dividim els dos membres d’una equació per un mateix nombre, obtenim una equació equivalent a la primera.
Busquem equacions equivalents a x + 4 = 2x + 3 fent servir la imatge mental d’una balança equilibrada:
x
1 x+4
1
1
x
1 =
x
1
1
1
2x + 3
Si restem 3 a cada membre de l’equació, n’obtenim una d’equivalent:
x
x
1 x+1
x
=
2x
Si ara restem x a cada membre de la igualtat, obtenim una equació equivalent a les anteriors:
x
1 1
=
x
Per tant, x = 1 és una equació també equivalent a la primera, i, de fet, n’és la solució.
Amb l’exemple anterior hem vist el mètode general per resoldre equacions de primer grau, que consisteix a aïllar la incògnita. Es tracta d’anar buscant equa cions equivalents fins a deixar la incògnita en un membre de l’equació i, en l’altre, un terme independent, amb la qual cosa la resolució de l’equació és evident. x
x 1
1 3x + 2
x
1
=
1
1 1 1 1 1 1 8
Si ens fixem en la il·lustració del marge, per aïllar la incògnita en el membre esquerre de l’equació, el primer que hem fet ha estat eliminar el terme +2. Ho hem fet sumant-ne l’oposat, que és -2, als dos membres de l’equació, ja que la suma d’un nombre i el seu oposat és l’element neutre, és a dir, zero. 3x + 2 - 2 = 8 - 2
42
GES_MATES_2.indb 42
05/04/13 10:05
3
Equacions de primer grau
Un cop simplificada la nova expressió algebraica, veiem que el terme que desapareix del primer membre apareix al segon fent l’operació inversa. 3x = 8 - 2 Un cop tenim els termes literals en un membre i els termes independents en l’altre, reduïm les expressions algebraiques fins a obtenir un monomi i un terme independent.
x
x
x
1
3x = 6 3x
En el membre de l’esquerra tenim un monomi amb coeficient 3. Per eliminar-lo, dividim els dos membres per 3, que és el mateix que multiplicar els dos mem1 bres per l’invers de 3, és a dir, . 3
1 1 1 1 1
=
6
3x 6 = 3 3
Un cop simplificada la nova expressió algebraica, veiem que el terme que desapareix del primer membre apareix en el segon fent l’operació inversa: 6 x= =2 3
x
1
x
=
1 2
Així, doncs, per resoldre una equació de primer grau cal seguir aquests passos: 1. Passem tots els termes literals a un membre i tots els termes independents a l’altre membre. Quan els termes canvien de membre, també ho fan de signe. 2. Fem les operacions corresponents fins a tenir un únic terme literal en un membre i un únic terme independent en l’altre. 3. Si el terme literal és una incògnita multiplicada per un nombre, passem el coeficient a l’altre membre dividint (si la divisió no és exacta, el resultat s’expressa en forma de fracció irreductible). Si el terme literal és una incògnita dividida per un nombre, passem el nombre a l’altre membre multiplicant. Exemples
Resolem, ara, algunes equacions de primer grau seguint els passos anteriors: 3x = x + 2
4 x − 6 = 2x
5x − 4 = 2x + 8
1.
3x − x = 2
4 x − 2x = 6
5x − 2x = 8 + 4
2.
2x = 2
2x = 6
3 x = 12
3.
2 x= =1 2
x=
6 =3 2
x=
12 =4 3
Si en reduir a un únic terme el monomi que conté la part literal aquest monomi és negatiu, per evitar errors amb els signes, podem canviar el signe dels dos membres de l’equació. La igualtat continua essent la mateixa i el resultat no varia. -ax = b → ax = -b
RECORDA
Els termes d’una equa· ció poden passar d’un membre a l’altre fent-hi l’operació inversa. Així, si sumen passen a l’altre membre restant; si res· ten, sumant; si multipli· quen, dividint, i si dividei· xen, multiplicant.
43
GES_MATES_2.indb 43
05/04/13 10:05
Equacions amb parèntesis Si en una equació hi ha parèntesis, els hem de treure fent les operacions oportunes (generalment hi apliquem la propietat distributiva del producte respecte de la suma). Tot seguit passem els termes literals a un membre de l’equació i els termes independents a l’altre membre. A continuació, simplifiquem cada membre de l’equació reduint-lo a un sol monomi. Per acabar, si el coeficient del terme literal multiplica, passa a l’altre membre dividint el terme numèric, i si divideix passa multiplicant. Exemple
2(3 x − 2) = x + 3( x − 1)
Si el resultat d’una equació no és un nombre enter, es deixa en forma de fracció simplificada.
6 x − 4 = x + 3x − 3 6 x − x − 3 x = −3 + 4 2x = 1 1 x= 2
De vegades, en resoldre el que aparentment sembla una equació, desapareixen les incògnites i queden dos nombres, un en cada membre (generalment s’arriba a una expressió del tipus 0 = 0). En aquests casos no és que l’equació no tingui solució, sinó que en té infinites. És, doncs, una identitat. Exemple
4 ⋅(2 x − 1) = 2 ⋅(3 x + 1) + 2 x − 6 8 x − 4 = 6 x + 2 + 2x − 6 8x −4 = 8x −4 8 x − 8 x = −4 + 4 0=0
EXERCICIS
1. Troba el valor de la incògnita en les expressions següents: a) 10 + x = 15
b) 7 − x = 4
c) 4 x = 28
d) 2 x − 1 = 3
c) 3 x − 4 = 17
d) x + 9 = 2
2. Resol les equacions següents: a) 6 x + 9 = 21
b) 4 − x = 2 x
3. Resol aquestes equacions de primer grau: a) 3 x + 4 = 2 x + 7 b) x − 9 = 4 x − 21
c) 5 ⋅( x − 1) = 15
d) 3 ⋅(2 x + 4) = 2 ⋅(5 x + 3) − 2
4. Troba el valor de la incògnita en les expressions següents: a) 5 x − 8 = 3 x − (8 − 2 x )
c) x − 2 + 4 x + 5 − 3 x = 4 − x + 12 − 8 x + 3 + 2 x − 3
b) 3 + 5 = 2 x + 6 + x
d)
2x = 12 3
44
GES_MATES_2.indb 44
05/04/13 10:05
Equacions de primer grau Equacions amb denominador Per resoldre una equació de primer grau amb una incògnita en què els termes literals formen part d’una fracció, hem de tenir en compte tot el que ja s’ha explicat i recordar les operacions amb fraccions i les seves propietats. Si les frac cions tenen denominadors diferents, el primer que hem de fer és buscar fraccions equivalents amb denominador comú als dos membres de l’equació. Després, en podem suprimir els denominadors. Vegem-ne alguns exemples: Tenim les equacions següents: 2x x 2x +4 = 1 + =3 5 2 5 1. Reduïm els termes semblants, si cal:
x + 1 x −2 − =3 3 2
2x x 2x = −3 + =3 5 2 5 2. Expressem les fraccions amb denominador comú:
x + 1 x −2 − =3 3 2
5 x 2 ⋅ 2 x 3 ⋅ 10 2 x 5 ⋅(−3) = + = 5 5 10 10 10 3. Eliminem els denominadors: 2 x = 5 ⋅(−3)
5 x + 2 ⋅ 2 x = 3 ⋅ 10
2 ⋅( x + 1) 6
−
3 ⋅( x − 2) 6
=
6 ⋅3 6
2 ⋅( x + 1) − 3 ⋅( x − 2) = 6 ⋅ 3
4. Fem les multiplicacions pertinents: 2 x = −15
5 x + 10 x = 30
2 x + 2 − 3 x + 6 = 18
5. Resolem l’equació pels mètodes que hem explicat: 2 x = −15 15 x =− 2
5 x + 10 x = 30
2 x + 2 − 3 x + 6 = 18
15 x = 30 30 x= 15 x=2
2 x − 3 x = 18 − 6 − 2 − x = 10 x = −10
3
Pensa en un nombre. Multiplica’l per tres. Al resultat que obtinguis suma-li 3. Ara divideix el resultat que obtens pel nombre següent al nombre que havies pensat inicialment. Has obtingut el 3? Per fer trucs de màgia com aquest, els mentalistes fan servir equacions i identitats. Es fan un seguit d’operacions sobre un nombre x que condueixen sempre al mateix resultat, amb independència del nombre que s’hagi triat. Ho veurem més clarament si expressem els enunciats verbals en llenguatge algebraic: Pensa un nombre: x Multiplica’l per tres: 3x Suma 3 al resultat obtingut: 3x + 3 Divideix el resultat pel nombre següent al nombre que havies pensat inicial3x + 3 ment: x +1 Si treiem factor comú x + 1 en el numerador i el denominador, obtenim 3: 3 x + 3 3( x + 1) = =3 x +1 x +1
EXERCICIS
1. Resol les equacions següents: 3x a) = 12 7
b)
−x = −6 4
c)
5x = x+3 2
d)
3 − 2x = x+1 4
2x + 5 x = 6 3
c)
x + 4 x −3 = 3 4
d)
2 − 3 x −x − 15 = 4 5
3x x + 1= 4 6
c)
6 x 2 x 16 − = 5 3 15
d)
2x 5x x x − + = 3 4 12 6
c)
x + 2 2x − 3 x x − 1 2 − x −2 − − = + = 2 d) 3 9 27 2 3 6
2. Quin és el valor de la incògnita, en cada cas? x x −2 a) = 4 3
b)
3. Resol les equacions següents: x x x a) + − = 1 4 5 2
b)
4. Resol aquestes equacions fent atenció als signes:
a)
x + 1 x −2 + = 1 2 4
b)
3x − 2 x + 1 − = −3 5 2
45
GES_MATES_2.indb 45
05/04/13 10:05
4 Resolució de problemes amb equacions RECORDA
Convé llegir el problema amb atenció i traduir-lo a llenguatge algebraic. Ge· neralment, cada frase de l’enunciat aporta infor· mació sobre un terme o un membre de l’equació, i la incògnita sol coincidir amb el que ens demanen.
Per resoldre un problema fent servir equacions de primer grau amb una incògnita, cal seguir aquests passos: 1. Llegir el problema amb atenció. 2. Identificar-hi les dades conegudes i les desconegudes, i què es pregunta. 3. Decidir a quina de les quantitats desconegudes s’associa la incògnita (generalment s’usa la lletra x per representar aquesta quantitat). 4. Traduir l’enunciat a llenguatge algebraic. 5. Resoldre l’equació. 6. Escriure explícitament la solució de l’equació i assegurar-se que s’ha respost a la pregunta. Exemple
M’he trobat una moneda de 2 € pel carrer. Quants diners portava si ara tinc 11 €? Anomenem x la dada desconeguda, és a dir, els diners que portava: diners que portava = x Traduïm l’enunciat a llenguatge algebraic: x + 2 = 11 Resolem l’equació:
Resposta: Portava 9 €.
x + 2 = 11 x = 11− 2 x=9
Exemple
La Maria ha estalviat el doble que en Josep. Quant han estalviat cadascun d’ells si entre tots dos ara tenen 450 €? De vegades, en l’enunciat d’un problema apareixen diverses dades desconegudes que tenen alguna relació entre elles. En aquests casos, representem amb x una de les dades desconegudes i expressem les altres en funció de la primera. Per fer-ho, cal tenir clara la relació entre les dades. A l’hora de donar la solució del problema no n’hi ha prou amb trobar el valor de x (que coincidirà amb el valor d’una dada desconeguda), cal també indicar explícitament el valor de l’altra dada.
Desconeixem dues dades: els estalvis de la Maria i els estalvis d’en Josep. Totes dues dades estan relacionades, perquè els estalvis de la Maria depenen dels estalvis d’en Josep, ja que ella ha estalviat el doble. Així, doncs: estalvis d’en Josep = x estalvis de la Maria = 2x Traduïm l’enunciat a llenguatge algebraic: 2 x + x = 450 Resolem l’equació: 2 x + x = 450 3 x = 450 450 x= = 150 3 Escrivim la solució del problema de manera clara i explícita: estalvis d’en Josep: x = 150 estalvis de la Maria: 2x = 300 Resposta: En Josep ha estalviat 150 € i la Maria, 300 €.
46
GES_MATES_2.indb 46
05/04/13 10:05
Equacions de primer grau
3
Exemple
Es reparteixen els beneficis d’una empresa entre els dos socis, de manera que al primer li pertoca la meitat dels guanys menys 100 € i al segon li correspon la tercera part dels guanys més 500 €. Quant rep cada soci? En aquest problema hi ha tres dades desconegudes: els beneficis totals els beneficis del 1r soci els beneficis del 2n soci Anomenem x els beneficis totals, i tenim: beneficis totals = x x − 100 2 x beneficis 2n soci = + 500 3 x x Traduïm l’enunciat a llenguatge algebraic: − 100 + + 500 = x 2 3 Resolem l’equació: beneficis 1r soci =
x x − 100 + + 500 = x 2 3 3 x 600 2 x 3.000 6 x − + + = / / / / / 6 6 6 6 6
Un cop resolta l’equació plantejada, en alguns problemes el valor de la incògnita no es correspon amb la resposta, ja que la incògnita representa un total i el problema demana una part d’aquest total.
3 x + 2 x − 6 x = 600 − 3.000 − x = −2.400 x = 2.400 Escrivim la solució del problema de manera clara i explícita: beneficis totals: x = 2.400 x 2.400 beneficis 1r soci: − 100 = − 100 = 1.200 − 100 = 1.100 2 2 x 2.400 beneficis 2n soci: + 500 = + 500 = 800 + 500 = 1.300 3 3 Resposta: Al primer soci li corresponen 1.100 € i al segon soci, 1.300 €.
EXERCICIS
1. El triple d’un nombre més 8 és 29. Quin és aquest nombre? 2. Si a la cinquena part d’un nombre li sumem 12 obte· nim el mateix que si d’aquest nombre en restem tam· bé 12. De quin nombre es tracta?
5. Faig tres col·leccions: una de punts de llibre, una altra de monedes i una de sobrets de sucre. Tinc 35 sobrets de sucre més que monedes i 80 punts de llibre més que sobrets de sucre. Si en total tinc 1.314 ele· ments, quantes n’hi ha de cada col·lecció?
3. Si compro dues unitats d’un producte que està d’oferta, la segona unitat surt a meitat de preu. Quant val la primera unitat si he pagat 9 € en total? 4. La suma de tres nombres consecutius es 36. Quins són aquests nombres?
47
GES_MATES_2.indb 47
05/04/13 10:05
Equacions de primer grau Exercicis i problemes exercicis
transformacions que calgui:
1
Quina diferència hi ha entre una identitat i una equació?
2 Indica
9 Troba, en cada cas, el valor de la incògnita fent les
si són vertaderes o falses les afirmacions
següents: a Una igualtat és el mateix que una identitat i que una equació. b Una equació pot tenir més d’una solució. c En una identitat, la solució sempre és zero. d Per saber si una igualtat d’expressions algebraiques és una identitat o una equació, hem de reduir-ne els membres i veure si són idèntiques o no.
a 3 x − 4 = x b 10 + 2 x = 15 − 3 x c 3 + 7 x − 8 − 2 x = 3 x + 9 d x − 11 + 5 x = 8 x − 1
10 Treu, en cada cas, els parèntesis de l’equació aplicant-hi la propietat distributiva, i, després, troba’n la solució: a 3 ⋅(2 x − 3) = 5 − x b 4 ⋅(3 − x ) = 3 ⋅(2 x − 6) c 5 ⋅(2 x + 4) − 3 ⋅(2 x − 1) = 1
3 Com podem saber que una equació es de tercer grau? Quantes solucions esperem trobar per a una equació de tercer grau?
11
4 Una equació de segon grau pot tenir una única solu-
a
d −3 ⋅(4 x + 5) = 27 − 6 ⋅( x + 3)
ció?
5 Podem conèixer el nombre de solucions d’una equació només sabent-ne el grau?
6 Digues
quines d’aquestes igualtats són identitats i quines són equacions: a 3 x + 5 x = 10 x − 2 x b x + 3 = 9 x 15 x = 5x c 3 d 2 ⋅( x − 3) = 2 x − 6 e x − 4 = 7
7 Indica, sense fer cap càlcul, el valor de la incògnita en cada cas: a x + 5 = 12 b x − 3 = 8 c 3 x = 27 x d = 3 5
8 Resol les equacions següents: a 4 x − 5 = 11 b 4 − x = 6 c 9 x − 3 x = 18 d 3 x + 2 x = 2
Troba el valor de x en cada cas: 3x = 12 5
b x − 2 =
4x + 1 7
x + 5 2x + 3 = 2 3 x+1 d x − =3 2 c
12 Resol les equacions següents: x 2x 3x a + − = 5 2 3 4 x 7 3x b + = 5 10 20 c
3x − 5 5x − 7 = 4+ 6 2
d
x − 1 2x + 4 3x + 1 − = 6 3 2
13 Resol aquestes equacions: 2 a ⋅(6 x − 9) = 2 3 b 5 +
x =8 3
x x−1 x+2 c − = 1− 2 3 5 4+ x d =3 x
48
GES_MATES_2.indb 48
05/04/13 10:05
14 Expressa
en llenguatge algebraic les situa cions
següents: a El cub d’un nombre és 8. b E l nombre de potes de les gallines d’un corral sumen 36. c Dos nombres consecutius sumen 179. d Si restem 12 d’un nombre, obtenim 38.
15 Tradueix
aquestes frases a llenguatge algebraic emprant dues incògnites: a La suma de dos nombres és 13. b E l triple d’un nombre és el quadrat d’un altre nombre menys 5. c L a meitat d’un nombre més la tercera part d’un altre nombre és 4. d La suma del quadrat d’un nombre i 30.
PROBLEMEs
25 Si sumem 15 a un nombre obtenim el mateix resultat que si del doble d’aquest nombre en restem 4. Quin és aquest nombre?
26 Entre dues persones tenen 480 €, i una té 250 € més que l’altra. Quants diners té cadascú? 27 Es reparteix un premi entre els tres finalistes d’un certamen literari. Al primer li toca la tercera part dels diners, al segon la quarta part i al tercer la cinquena part més 260 €. Quina és la dotació del premi? Quants diners rep cadascú?
28 Les edats de dos germans sumen 38 anys. Quants anys té cadascú si es porten 6 anys?
29 Calcula els angles iguals d’un triangle isòsceles si l’angle desigual mesura 70°.
16 Troba el nombre al qual, en sumar-li 68, obtenim
70º
109.
17 El doble d’un nombre menys 4 és 9. Quin és aquest nombre?
α
18 La quarta part dels diners que porto a la butxaca són 18 €. Quants diners porto? 19 Les tres quartes parts d’un nombre és 36. De quin nombre es tracta?
20 Les
tres cinquenes parts d’un nombre menys 9
β
30 Quant mesuren els angles d’un triangle escalè si se
ˆ i l’ansap que l’angle Bˆ mesura el doble que l’angle A, gle Cˆ fa el mateix que els altres dos angles junts.
31 Calcula la base d’un triangle la superfície del qual mesura 84 cm2 si la seva altura fa 14 cm.
és 3. Quin és aquest nombre?
21 Si a la tercera part d’un nombre li sumen 15, obtenim el mateix que la diferència entre el seu doble i 5.
22 En una fracció, el denominador és 6 unitats més
A = 84 cm2 14 cm
gran que el numerador. Quina és la fracció si sabem 2 que és equivalent a ? 5
23 Troba tres nombres consecutius que sumats facin 123.
24 Una pista de bàsquet mesura el doble de llargada que d’amplada. Quines mides tenen els seus costats si el perímetre fa 78 m?
b
32 La Laura té 14 anys i la seva mare, 44. Quants anys han de passar perquè l’edat de la mare sigui el triple de l’edat de la filla? 49
GES_MATES_2.indb 49
05/04/13 10:05
Equacions de primer grau Exercicis i problemes 33 L’Elisabet
té dos anys menys que el seu germà Robert. D’aquí a quatre anys les seves edats sumaran 50 anys. Quina edat tenen ara els dos germans?
34 Avui han faltat a classe 4 alumnes, de manera que
5 dels alumnes matriculats. 6 Quants alumnes hi ha matriculats?
només hi han assistit
38 Una petita cafeteria va facturar 100 € més dimarts que dilluns. Dimecres va facturar 200 € menys que dilluns, i dijous 50 € menys que dilluns. En canvi, divendres, que és dia de mercat, va facturar 300 € més que dilluns. Quant ha facturat cada dia de la setmana si en total ha fet 2.400 € de calaix?
35 En
un corral hi ha 4 gallines més que conills. Quants conills i quantes gallines hi ha si en total sumen 28?
36 He planificat una ruta en tres etapes: en la primera
1 etapa hauré de caminar de la ruta; en la segona eta3 4 pa, , i en la tercera faré 12 km. Quants quilòmetres té 9 la ruta?
37 Dos amics tenen el mateix nombre de monedes.
39 Tres amics comparen els seus estalvis. El segon
Un li diu a l’altre: «Si em dónes una moneda de les teves, tindré el doble de les que et queden». Quantes monedes tenen?
ha estalviat el doble que primer, mentre que el tercer ha estalviat 4 € més que el segon. Quants diners tenen cadascun d’ells si en total han estalviat 689 €?
AutoAvaluació
1 La
igualtat algebraica que es compleix per a un únic valor es diu:
a -12
a identitat algebraica b equació c polinomi
b una equació
és:
c cap de les dues
3 Una solució de l’equació x 3 − 5 x 2 − 7 x = 1 és: a -1
b -2
c -3
4 Una solució de l’equació 9 x − 3 = 4 x + 7 és: a 5
b 3
c 2
5 En l’equació 5 x − 8 = 1 + 2 ⋅(3 x − 4), el valor de la incògnita és: a 1
b -1
b -6
7 La solució de l’equació
2 La igualtat 4( x − 6) − 2 x = 2 x − 24 a una identitat
x = x + 4 es compleix quan la incog 3 nita pren el valor:
6 La igualtat
c 5
a 4
b 3
c -3 3x − 2 x + 1 x + 1 − = és: 5 15 3 c 12
8 Restem 15 d’un nombre i obtenim 8. El nombre és: a 7
b 12
c 23
9 Una cinquena part dels diners que porto a la car tera són 13 €. Per tant, porto: a 65 €
b 52 €
c 78 €
10 L’amplada d’un rectangle fa 4 cm menys que la seva llargada, i el perímetre mesura 40 m. Per tant, les mides del rectangle són: a 16 cm i 20 cm b 12 cm i 14 cm
c 8 cm i 12 cm
50
GES_MATES_2.indb 50
05/04/13 10:05