Inequacions de primer grau: −Una incògnita: Definició: És una desigualtat algebraica. Es forma de dues expressions algebraiques separades pels als casos >,<, ≤, ≥. Les solucions s'expressen com a intervals. Per resoldre una inequació hem de fer operacions fins que deixem l'operació algebraica en un membre i en l'altre membre un zero. Es resol com si fos una equació. Exemples: • De l'expressió 3x < 5 es pot deduir que x < (5/3). Només cal dividir els dos membres entre 3 (que és positiu). • L'inequació 3x − (6−x) > 4 (x −5) s'eliminen parèntesis i denominadors: 5 15x − 5 (6 − x) > 4(x − 5) 15x − 30 + 5x > 4x − 20 es transposen termes: 15x + 5x − 4x > −20 + 30 16x > 10 aïllem la incògnita: x > 10/16 x > 5/8 l'interval : (5/8, + ∠). Exercicis proposats: • Resol la següent inequació: • Resol la següent inequació:

−Dues incògnites: Definició:    Si a, b i c son nombres reals, qualsevol d'aquestes expressions l'anomenem inequació amb dues incògnites. ax + by < c    ax + b > c   ax + by > c    ax + by ≥ c

   On x i y són les variables o incògnites, i a, b i c són constants. Una equació de la forma ax + by = c representa una recta en el pla (equació general de la recta en el pla), aixÃ-, doncs, cadascuna de les inequacions anteriors representa un dels dos semiplans en què la recta divideix el pla (amb la mateixa recta inclosa si la desigualtat no és estricta).

1

Exemples: Representen grà ficament les solucions de dues inequacions.

   En el primer cas, la recta forma part de la solució.

2

En el segon cas la recta no forma part de la solució

(és el contrari que la primera) Exercicis proposats: • A=punt(1,0); B=punt(2,2); C=punt(−3,4) • A=punt(0,1) ; B=punt(5,5) ; C= punt(4,−3) Sistemes d'inequacions de primer grau: −Una incògnita: Definició: Un sistema d'inequacions consisteix en un col·lectiu d'inequacions del que desitgem extreure un resultat và lid i comú. Per aconseguir−ne una solució, resolem independentment les inequacions i a posteriori seleccionem els resultats comuns. Exemple: • x − 3 ≤ 1 2x + 4 > 2 x − 3 ≤ 1 2x > −2 x ≤ 4 x > −1 • 6x + 12 > 6 3x − 9 ≤ 3 6x > −6 3x ≤ 12 x > −1 x ≤ 4

3

Exercicis proposats: • 5x − 7 < 8 x + 8 > 16 • 6x + 9 > 5 9x − 1 < 4 −Dues incògnites: Definició: La solució d'un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites és el conjunt de les solucions comunes a totes les inequacions que el constitueixen. En el cas de sistemes amb dues incògnites, resulta molt útil la representació grà fica. 3x + 2y ≥ 3 2x + 3y ≥ 6 x − y ≤ 1 Exemple:  • Considerem el següent sistema d'inequacions lineals: Per obtenir els punts, les coordenades dels quals són solució del sistema, representarem grà ficament cadascuna de les solucions de les inequacions per separat. AixÃ-, la intersecció dels tres plans ens donarà la solució buscada. El semiplà solució de cadascuna de les inequacions per separat s'acostuma a indicar amb una fletxa, al costat de la recta corresponent.

4

• Només disposen de 10 quilos de plà stic. Això vol dir que si fabriquen x Baby Moquets Dia, gastaran 100x grams de plà stic. Igualment, si fabriquen y Baby Moquets Nit, gastaran 200y grams de plà stic. Com que en total no poden utilitzar més de 10 quilos, s'ha de complir: 100x + 200y ≤ 10.000 Arribem a les següents inequacions:1,25x + y ≤ 100 y ≤ 40 Cal comentar també, que x i y han de ser sempre positives o zero (no es pot fabricar un nombre negatiu de nines). x ≥ 0 y ≥ 0 .Aquestes cinc inequacions estan solucionades en el grà fic següent:

Exercicis proposats: 6x + 4x ≥ 6 4x+6y ≥ 12 2x − 2y ≤ 2 2x + x ≤ 3 3x + 3y ≥ 4 4x − 6y ≤ 4

5