ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

ECUACIONES DIFERENCIALES

ASIGNATURA:

DEPARTAMENTO:

MATEMÁTICAS

PLANES DE ESTUDIO: CÓDIGO:

Mnemónico ECDI

Numérico

1. OBJETIVO GENERALES  Estudiar la teoría, las técnicas de solución y las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.  Involucrar a los estudiantes en experiencias continuas de planteamiento y resolución de problemas, incluyendo aspectos de los tres enfoques: cualitativo, numérico y analítico.  Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático, en el que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas estudiadas en el curso.  Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas de los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de problemas que deben ser sustentados en el aula.  Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y también de manera individual.  Posibilitar que el estudiante use eficientemente las herramientas tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas.

2. JUSTIFICACIÓN Las ecuaciones diferenciales surgen en diversas áreas del conocimiento, que incluyen no sólo las ciencias físicas, sino también campos diversos tales como la economía, medicina, psicología e investigación de operaciones. En el estudio de las ciencias e ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender los fenómenos físicos. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función desconocida, que puede resultar importante hallar. Por ésta razón, se hace necesario estudiar la teoría y los

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métodos básicos de las ecuaciones diferenciales. En este curso sólo se consideran las ordinarias.

3. REQUISITOS ACADÉMICOS:

4. CRÉDITOS ACADÉMICOS: INTENSIDAD SEMANAL

CAL3 ó CALV 3

Teórica Práctica Independiente Total de horas/semana

3.0 1.5 4.5 9. 0

5. BIBLIOGRAFÍA Texto principal: López, C., Álvarez, C. y Pachón N. (2008). Ecuaciones diferenciales ordinarias, un primer curso. Segunda edición. Editorial de la Escuela Colombiana de Ingeniería. ISBN: 978958806081-1. Otras referencias: 1. Carlos F, Francisco V. y José V. (2003). Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Sistemas dinámicos. España: Thomson Editores. 2. Diprima. (2002). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera. Cuarta edición. México: Editorial Limusa. 3. Edwards C. y Penney D. (1993). Ecuaciones Diferenciales y problemas con condiciones en la frontera. Prentice Hall. 4. Nagle, Saff y Snider. (2001). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Tercera edición. México: Addison Wesley. 5. Zill. (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición. International Thomson Editores.

6. CONTENIDO PROGRAMÁTICO RESUMIDO En este curso se estudian: números complejos, ecuaciones diferenciales de primer orden, modelos matemáticos que involucran ecuaciones de primer orden, ecuaciones diferenciales de orden superior, modelos matemáticos que involucran ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales, plano de fases y solución en series de potencias para ecuaciones de primer orden.

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7. CONTENIDO PROGRAMÁTICO DETALLADO 1. Repaso de números complejos Objetivo: Revisar las nociones básicas de los números complejos, su forma trigonométrica y encontrar raíces n–ésimas de números complejos. 1.1. Operaciones básicas con números complejos: suma, multiplicación y división. 1.2. Módulo o magnitud de un número complejo. 1.3. Forma polar de un número complejo. 1.4. Multiplicación y división de números complejos en forma polar. 1.5. Teorema de DeMoivre. 1.6. Raíces n-ésimas de números complejos. 2. Introducción a las ecuaciones diferenciales Objetivo: Definir las nociones básicas de las ecuaciones diferenciales y mostrar ejemplos de aplicación. 2.1. Nociones básicas 2.2. Presentación de diversos ejemplos de planteamiento de ecuaciones diferenciales. 3. Ecuaciones diferenciales de primer orden Objetivos:  Identificar y resolver con técnicas analíticas los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.  Aplicar la técnica de línea de fase para ecuaciones diferenciales de primer orden autónomas e inferir características globales de las soluciones de estas ecuaciones.  Utilizar un programa de computadora o calculadora para obtener el campo de direcciones para una ecuación, aproximar soluciones en él y establecer características de dichas soluciones.  Aplicar el método de Euler para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden, identificar y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes.  Modelar y resolver problemas de aplicación clásicos en los que aparecen ecuaciones diferenciales de primer orden. 3.1. Soluciones y problemas con valores iniciales. 3.2. Campos de direcciones. 3.3. La línea de fase. 3.4. El método de aproximación de Euler. Método de Euler mejorado. 3.5. Ecuaciones diferenciales de variables separables. Ecuaciones diferenciales transformables en separables. 3.6. Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. 3.7. Ecuaciones diferenciales lineales. 3.8. Ecuaciones diferenciales que se resuelven por sustitución (homogéneas, transformables en homogéneas, de Bernoulli, de Ricatti, de Clairaut). 3.9. Modelación matemática que involucra ecuaciones de primer orden.

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4. Ecuaciones diferenciales de orden superior Objetivos:  Identificar y resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden dos y superior, con coeficientes constantes.  Identificar ecuaciones diferenciales de orden dos que pueden ser reducidas a orden uno y resolverlas.  Identificar y resolver ecuaciones de Cauchy-Euler.  Modelar y resolver problemas de aplicación clásicos que involucren ecuaciones diferenciales lineales de orden dos. 4.1. Ecuaciones lineales: homogéneas y no homogéneas. 4.2. Reducción de orden. 4.3. Métodos de solución de ecuaciones lineales con coeficientes constantes (coeficientes indeterminados, anulador, variación de parámetros). 4.4. Ecuación de Cauchy-Euler. Dos métodos de solución. 4.5. Ecuaciones diferenciales no lineales reducibles a orden uno. 4.6. Modelación matemática que involucra ecuaciones de segundo orden. 5. La Transformada de Laplace Objetivo: Calcular transformadas directas e inversas de Laplace, aplicando los diferentes teoremas y definiciones de esta teoría. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13.

5.14. 5.15. 5.16.

Transformada de Laplace y sus propiedades básicas. Transformada de funciones definidas por tramos y de la función gamma. Comportamiento de la transformada de Laplace “en infinito”. La Transformada de Laplace inversa. Transformadas inversas básicas. Primer Teorema de Traslación y su forma inversa. Transformadas inversas completando el cuadrado. La función escalón. Las funciones definidas a trozos. Segundo Teorema de Traslación y su forma inversa. Transformada de una función escalón unitario. Derivadas de transformadas. Transformadas de derivadas. Convolución de funciones. Propiedades básicas de las convoluciones. Transformada de una convolución, de una integral. Transformada inversa de un producto. Transformada de una función periódica. Solución de problemas de valor inicial por medio de transformadas de Laplace. Casos en los que aparecen ecuaciones con coeficientes variables. Ecuación integro-diferencial. La función Delta de Dirac y su transformada de Laplace. Problemas de aplicación que se resuelven con transformada de Laplace.

6. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo:  Modelar y resolver problemas de aplicación clásicos que involucren sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes.  Resolver ecuaciones diferenciales y problemas de aplicación utilizando la transformada de Laplace.

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6.1. Sistemas de ecuaciones lineales (de diversos órdenes). 6.1.1. Solución por reducción de variables 6.1.2. Solución por determinantes 6.1.3. Solución con transformadas de Laplace 6.2. Sistemas lineales de primer orden. 6.3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios reales o complejos. Valores propios repetidos. Valor propio de multiplicidad dos. Valor propio de multiplicidad tres que tiene asociado un subespacio vectorial de dimensión 1. Valor propio de multiplicidad tres que tiene asociado un subespacio vectorial de dimensión 2. 6.4. Sistemas lineales no homogéneos de primer orden. Método de variación de parámetros. 6.5. Matriz exponencial (definición y propiedades básicas). Solución de sistemas lineales de primer orden mediante matrices exponenciales. 6.6. El plano de fases. 6.7. Problemas de aplicación que involucran sistemas dos por dos y tres por tres. 7. Soluciones en series de potencias para ecuaciones de primer orden Objetivo: Utilizar las series de potencias para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. 7.1. Repaso rápido de series de potencias. 7.2. Solución de ecuaciones diferenciales lineales mediante series. 7.3. Ecuaciones con coeficientes analíticos.

8. METODOLOGÍA Un estudiante de la Escuela debe estar en permanente búsqueda del perfeccionamiento en su formación académica, ser un apasionado por el conocimiento, buscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual. El estudiante entonces será el principal responsable de su aprendizaje. De acuerdo con estas características, la metodología de los cursos de matemáticas busca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas a los diferentes temas a tratar y la asignación de problemas que deben ser discutidos en el aula. Se privilegia una metodología que propicie el dominio adecuado de los conceptos matemáticos estudiados y el desarrollo tanto de habilidades de pensamiento como de competencias para la resolución de problemas. Así mismo, debe permitir la incorporación del uso de la tecnología computacional al currículo de matemáticas, para facilitar los procesos de comprensión y representación de los temas matemáticos, y para potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas. Teniendo en cuenta las características del grupo se da inicio al curso desde lo que los estudiantes conocen, con el fin de facilitarles la conexión de los nuevos conocimientos con los previos. Simultáneamente a lo largo del mismo se evalúa permanentemente el desempeño del estudiante con el fin de tomar las decisiones pertinentes para el buen desarrollo del curso.

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Dentro de las actividades didácticas desarrolladas en los cursos se incluyen los talleres y/o laboratorios (cursos de Cálculo diferencial e integral). Los primeros van dirigidos a la práctica y refuerzo de los temas vistos en las sesiones teóricas y se desarrollan completamente en el aula con la guía del profesor. Los segundos apuntan al desarrollo de habilidades en la modelación, resolución de problemas, trabajo en equipo y presentación de informes, una parte del trabajo se realiza en el aula con la guía del profesor y otra de manera independiente.

9. EVALUACIÓN La gestión universitaria en la Escuela está enmarcada por la evaluación continua de sus actividades y es de acuerdo con los Lineamientos Curriculares integral, coherente, flexible e interpretativa. La evaluación del desempeño de los estudiantes es un proceso permanente que valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos en cada asignatura. Se tienen en cuenta tres tipos de evaluación del aprendizaje de los estudiantes: la sumativa de los avances en el aprendizaje, la del proceso para reflexionar sobre la marcha del proceso educativo y el cumplimiento de las responsabilidades asumidas, y la comprensiva para valorar la calidad del trabajo realizado por el estudiante al finalizar el curso. 10. VIGENCIA Y MODIFICACIONES Contenidos vigentes desde:

01/04/2002

Contenidos vigentes hasta:

Nueva actualización

Última fecha de actualización:

20/11/2008

Penúltima fecha de actualización:

28/06/2008

Aprobado:

EDGARD OBONAGA GARNICA

Firma:

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