1º

ESO

MATEMÁTICAS

En la elaboración de este libro se han tenido en cuenta las normas ortográficas establecidas por la RAE en diciembre de 2010.

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Números 1 Naturales utiliza

Números romanos

Sistema de numeración decimal operaciones

son

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• I=1 • V=5 • X=10 • L=50 • C=100 • D=500 • M=1000

• • • • • • • •

DM=10.000.000 UM=1.000.000 Cm=100.000 Dm=10.000 Um=1.000 C=100 D=10 U=1

• Suma • Resta • Multiplicación • División

propiedades • Conmutativa de la suma y del producto • Asociativa de la suma y del producto • Distributiva del producto respecto de la suma

Paréntesis

Jerarquía de operaciones

• Fundamental de la división entera

La forma de contar que usamos en la actualidad se basa en el sistema de numeración decimal. Observa cuántos dedos tienes en las manos; los números naturales son la ampliación de contar con nuestros 10 dedos.

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¿Qué necesitas saber? Recuerda

• Leer y escribir números naturales de seis o más cifras. • Sistema de numeración decimal. • Comprobación de resultados mediante estrategias • •

numéricas. Propiedades de las operaciones y relaciones entre ellas utilizando números naturales. Utilización de operaciones de suma, resta, multiplicación y división con números naturales, en situaciones cotidianas y en contexto de resolución de problemas.

Resuelve Sumas y restas ¿Cómo se leen los siguientes números? a) 645.982 b) 1.234.300 c) 89.456.213 Solución: a) Seiscientos cuarenta y cinco mil novecientos ochenta y dos. b) Un millón doscientos treinta y cuatro mil trescientos. c) Ochenta y nueve millones cuatrocientos cincuenta y seis mil doscientos trece. Opera: a) 23 + 34 +5 c) 8 · 4 · 6 e) 5 · 2 – 4 b) 13 – 4 + 6 d) 5 · 4 + 5 f) 6 : 3 + 4 Solución: a) 62; b) 15; c) 192; d) 25; e) 6; f) 6

Resolución de problemas Luis gastó 13 € en un libro y 20 € en un CD de música. Si tenía 50 €, cuánto le queda todavía. Solución: Luis gastó 33 €, por tanto le quedan 17 €.

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1

Números naturales

El conjunto de los números naturales se representa por la letra N y se corres­ ponde con el siguiente conjunto de números:

Representación indoagábiga Decimal

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 20, ..., 1.000, ...} Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar números naturales, no es propiamente un número natural.

0 1

Tenemos que saber que los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no siempre se han escrito de esta manera, de hecho, la representación que conocemos en la actualidad proviene de la escritura árabe.

2

Números romanos

5

Además del sistema decimal, el sistema de numeración para expresar nú­ meros naturales que nos resulta más conocido es el de los números roma­ nos. Este sistema utiliza letras para representar números cuya equivalencia con el sistema decimal es la siguiente: I=1

V=5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1.000

Las reglas prácticas para usar los números romanos son las siguientes: • Los valores de las letras I, X y C se suman. • Las letras I, X y C pueden repetirse hasta tres veces seguidas. • La letra M se puede poner tantas veces como haga falta.

3 4

6 7 8 9

Indoarábigo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nuestro sistema de nu­ meración procede del sis­ tema de numeración de­ sarrollado en la India, que introdujeron los árabes en Europa, de ahí su nombre: sistema indoarábigo.

• Las letras V, L y D solo se pueden poner una vez. • Si una letra está a la derecha de otra de mayor valor se suman sus valores. • Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor se restan sus valores. ejemplos

• III = 1 + 1 + 1 = 3 • VI = 5 + 1 = 6 • MV = 1.000 + 5 = 1.005 • DCXII = 500 + 100 + 10 + 2 = 612 • CMLII = 1.000 – 100 + 50 + 2 = 952

ACTIVIDADES

• MCMLIV = 1.000 + 1.000 – 100 + 50 + 5 – 1 = 1.954

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1. Escribe en el sistema de numeración romano las siguientes cantidades: a) 43

b) 214

c) 132

d) 987

e) 1.343

f) 2.364

2. Escribe en el sistema decimal el valor de los siguientes números romanos: a) CII

b) LIV

c) CCCXXI

d) MMDXLII

e) MCCLIV

f) CXLIV

UNIDAD 1

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2

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración romano tiene muchos problemas. Quizá el más importante es que no se puede operar con sencillez. Por ejem­ plo, si quisiéramos sumar los números MCCIV y CDLII, tendríamos que hacer primero la correspondencia con el sistema decimal, luego hacer la suma y finalmente transformar el resultado a números romanos. Comprueba si el resultado es MDCLVI.

recuerda El sistema de numeración deci­ mal utiliza 10 dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Para resolver este problema se utiliza el sistema de numeración de­ cimal. Este sistema es posicional, lo que quiere decir que cada dígito tiene un valor en función de la posición que ocupe. La tabla de posiciones es la siguiente: tabla de posiciones

...

unidades de millón

centenas de millar

decenas de millar

unidades de millar

centenas

decenas

unidades

...

UM

Cm

Dm

Um

C

D

U

10.000

1.000

100

10

1

...

1.000.000 100.000

Teniendo en cuenta el valor de sus diferentes cifras, cada número natural tiene una descomposición polinómica que se realiza como indicamos en los siguientes ejemplos: ejemplos

• 1.324 = 1 · 1.000 + 3 · 100 + 2 · 10 + 4 = 1.000 + 300 + 20 + 4 1 unidad de millar + 3 centenas + 2 decenas + 4 unidades • 20.567 = 2 · 10.000 + 5 · 100 + 6 · 10 + 7 = 20.000 + 500 + 60 + 7 2 decenas de millar + 5 centenas + 6 decenas + 7 unidades

Antes de resolver un ejercicio lee atentamente el enunciado para saber exactamente lo que se pide.

• 2.423 = 2 · 1.000 + 4 · 100 + 2 · 10 + 3 = 2.000 + 400 + 20 + 3 2 unidades de millar + 4 centenas + 2 decenas + 3 unidades En el último ejemplo tenemos dos cifras 2; en la primera posición por la izquierda vale 2.000, mientras que en la posición tercera por la iz­ quierda tiene un valor de 20. Vemos que el mismo dígito tiene un valor distinto dependiendo de la posición que ocupa.

3. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:

ACTIVIDADES

a) 1.342

b) 453

c) 10.456

e) 700.563

e) 71.240

f) 90.305

4. Escribe el número que se corresponde con cada una de las siguientes descomposiciones polinómicas: a) 6 · 1.000 + 6 · 10 + 5

c) 8 · 10.000 + 3 · 1.000 + 2 · 100 + 1 · 10 + 2

b) 5 · 1.000 + 4 · 10

d) 2 · 1.000.000 + 3 · 100.000 + 5 · 10 + 2

5. Para cada uno de los números del ejercicio 3, indica a qué cifra corresponde cada dígito.

Números naturales

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3

Operaciones con números naturales. Propiedades

3.1. Suma Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al sumar los dos cestos tendré en total 37 manzanas. 14 + 23 = 37 Se utiliza la suma de números naturales cuando queremos añadir dos o más cantidades. Propiedad conmutativa de la suma Si cambio el orden de los sumandos la suma no varía. a+b=b+a

3.2. Resta Si en el cesto en que tenía 23 manzanas hay 12 con gusano, ¿cuántas manzanas sanas me quedan? 23 – 12 = 11 manzanas sanas Se utiliza la resta de números naturales cuando a una cantidad le queremos sustraer otra cantidad.

3.3. Operaciones con sumas y restas Si en la misma operación tenemos sumas y restas, las operaciones se hacen de izquierda a derecha. ejemplos

• 4+5–3+2–4=9–3+2–4=6+2–4=8–4=4 •7–2+3–2–5+8=5+3–2–5+8=8–2–5+8=6–5+8= =1+8=9 • 6–3+4–3–4=3+4–3–4=7–3–4=4–4=0 • 7 + 8 – 6 – 3 + 2 = 15 – 6 – 3 + 2 = 9 – 3 + 2 = 6 + 2 = 8 6. Realiza las siguientes sumas: a) 5 + 4 + 1 + 11

c) 6 + 3 + 4 + 1

e) 7 + 2 + 3 + 1 + 2

b) 8 + 5 + 6 + 1 + 2 + 9

d) 7 + 2 + 11 + 23

f) 10 + 1 + 100 + 31

ACTIVIDADES

7. Realiza las siguientes restas:

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a) 7 – 2

b) 34 – 23

c) 89 – 23

d) 54 – 12

e) 8 – 2

f) 21 – 8

8. ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la resta de números enteros? ¿Por qué? 9. Realiza las siguientes operaciones: a) 4 + 3 – 5

c) 9 – 2 + 4 – 5

e) 3 – 1 + 2 + 4 – 3

b) 6 – 1 – 2 + 4

d) 7 + 3 – 1 – 2

f) 2 + 3 – 2 + 8 – 7

UNIDAD 1

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3.4. Multiplicación En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, ¿cuántos libros tengo? Tenemos dos alternativas: • Sumar el contenido de todas las cajas: 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75 libros • Utilizar la multiplicación. La suma anterior es equivalente a multiplicar los libros que caben en cada caja por el número total de cajas: 15 · 5 = 75

Propiedad fundamental de la división entera

Propiedad conmutativa de la multiplicación Si cambio el orden de los factores el resultado no varía. a·b=b·a

D r

3.5. División

D=d·c+r

Queremos empaquetar 30 libros en cajas de 6 libros cada una.

r