ESPACIOS MÉTRICOS por Jorge F. Yazlle Curso de Extensión Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de Salta Junio de 2011 El desarrollo de la teoría de funciones y sucesiones que se vio en los cursos de Análisis Matemático I y II sirve bien cuando el objeto de estudio es una función a valores reales, definida en un subconjunto de R (o, un poquito más en general, cuando la función va de Rm en Rn ). Sabemos bien lo que significa un proceso de límite de una función de ésas, o la convergencia de sucesiones o series numéricas. Sin embargo, es frecuente, en el desarrollo de ciencias que tienen que ver con la Matemática, toparse con conjuntos no numéricos (piénsese, por ejemplo, en el conjunto de todas las imágenes que pueden aparecer en la pantalla de una computadora, o en el conjunto de todas las funciones reales continuas del intervalo [0, 1]) y estudiar sucesiones y funciones cuyos dominio y/o codominio son esos “conjuntos raros”. Un caso emblemático es el de los fractales, en donde, en la pantalla de una PC, va apareciendo una seguidilla de imágenes que “converge” a una cierta figura. Pero, ¿qué quiere decir “converge”? ¿Habrá una teoría general de convergencia de sucesiones de elementos que no son números? ¿Habrá alguna teoría de límite, o de integración, para funciones no numéricas? Resulta que la teoría de límite de funciones y sucesiones puede ser extendida a conjuntos más extravagantes que el de los números reales, a condición de dotar a esos conjuntos de una estructura que capture conceptos parecidos a los que se usan en el conjunto de los números reales para estudiar los procesos de límite, y de generalizar de algún modo los resultados que se conocen sobre los reales. Más concretamente, la definición de límites, por ejemplo, depende crucialmente de la función módulo, que da una idea ni más ni menos que de la distancia a la que se encuentran dos números reales sobre la recta real. ¿Y qué propiedades tiene esa manera de medir distancias? Después de mucho discutirlo, los matemáticos se dieron cuenta de que todas las propiedades de la misma podían deducirse a partir de unos cuantos axiomas: la distancia entre dos puntos es un número no negativo (|x − y| ≥ 0), la distancia desde un punto a sí mismo es 0 (|x − x| = 0), la distancia desde un punto a otro punto distinto es estrictamente positiva(x 6= y ⇒ |x − y| > 0), la distancia es la misma de ida que de vuelta (|x − y| = |y − x|), y el viaje puede hacerse más largo si pasamos por un tercer punto (|x − y| ≤ |x − z| + |z − y|). Resulta entonces que si a un conjunto cualquiera le definimos una manera de medir distancias (entre puntos del conjunto) que satisfaga esos axiomas, podremos hablar de límites de sucesiones y de funciones, de continuidad, etc., e investigar sus propiedades. Ése es el propósito de este curso.

1.

Preliminares

Primero estableceremos una serie de notaciones referidas a la teoría general de conjuntos y de funciones, y de supremos e ínfimos, que serán muy útiles en el desarrollo del curso.

1.1.

Conjuntos

Suponemos ya conocido el concepto de conjunto, y las notaciones y definiciones básicas de este campo (pertenencia, inclusión, igualdad, unión, intersección, complemento, etc.).

1

Sean U un conjunto (universal) e I un conjunto (de índices) cualesquiera. Supongamos que para cada i ∈ I se tiene definido un subconjunto Ai ⊂ U. Denotamos por {Ai }i∈I a la colección de todos estos conjuntos. La unión de todos los Ai es el conjunto [ Ai = {x ∈ U : ∃i ∈ I : x ∈ Ai } i∈I

La intersección de todos los Ai es el conjunto \ Ai = {x ∈ U : ∀i ∈ I : x ∈ Ai } i∈I

Se cumplen las leyes distributivas y las leyes de De Morgan para uniones e intersecciones: T T S S 1. B ∪ i∈I Ai = i∈I (B ∪ Ai ) B ∩ i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai )
c T
c S S T c 2. A = A A = i∈I Aci i i i∈I i∈I i i∈I

1.2.

Funciones

Suponemos ya conocido el concepto de función, y las notaciones y definiciones básicas de este campo (inyectividad, sobreyectividad, composición, inversa, etc.). Si f es una función de X en Y , A ⊂ X y B ⊂ Y , denotamos por f (A) al conjunto de todos los elementos de Y que son imagen por f de algún elemento de A, y por f −1 (B) al conjunto de todos los elementos de X cuya imagen por f pertenece a B. Formalmente: f (A) = {y ∈ Y : ∃x ∈ A : y = f (x)}

f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}

Sea f una función de X en Y , A y E subconjuntos de X, B y F subconjuntos de Y , I un conjunto arbitrario de índices, {Ai }i∈I una familia de subconjuntos de X, {Bi }i∈I una familia de subconjuntos de Y . Se satisfacen las siguientes propiedades: 1. A ⊂ E ⇒ f (A) ⊂ f (E) 2. B ⊂ F ⇒ f −1 (B) ⊂ f −1 (F ) 3. Si f es inyectiva, f (Ac ) ⊂ f (A)c . Si f es sobreyectiva, f (Ac ) ⊃ f (A)c . Luego, para f biyectiva, es f (Ac ) = f (A)c . 4. f −1 (B)c = f −1 (B c ) 5. f (f −1 (B)) ⊂ B (si f es sobreyectiva, vale la igualdad). 6. A ⊂ f −1 (f (A)) (si f es inyectiva, vale la igualdad).
S S 7. f A = i∈I f (Ai ) i i∈I
T T 8. f i∈I Ai ⊂ i∈I f (Ai ) (si f es inyectiva, vale la igualdad).
S S 9. f −1 i∈I Bi = i∈I f −1 (Bi )
T T 10. f −1 i∈I Bi = i∈I f −1 (Bi )

Si f : X → Y y S ⊂ X, se define la restricción de f a S como la función g : S → Y tal que g(x) = f (x) para todo x ∈ S. Una notación habitual para la función restringida es f |S , aunque haciendo abuso de notación, también suele usarse el mismo nombre f . 2

1.3.

Supremos e ínfimos

Sea A ⊂ R. Se dice que t ∈ R es una cota superior de A si ∀x ∈ A, x ≤ t. Si A tiene una cota superior, se dice que A es acotado superiormente, y se define el supremo de A, denotado sup A, como la menor de las cotas superiores de A (se puede demostrar, aunque no fácilmente, que tal definición es buena). Si A no tiene cota superior, decimos que el supremo de A es ∞. Se verifica que para cualquier A ⊂ R: 1. El supremo de A es único. 2. sup A ≤ k ⇐⇒ ∀x ∈ A, x ≤ k. 3. Si k ∈ R y existe x ∈ A tal que x ≥ k, entonces sup A ≥ k. 4. Si A ⊂ B ⊂ R, entonces sup A ≤ sup B. 5. Si B ⊂ R y hacemos C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, entonces sup C ≤ sup A + sup B. De manera similar, se definen las cotas inferiores, y el ínfimo de A (´ınf A) como la mayor de las cotas inferiores (si el conjunto es acotado inferiormente, o −∞ si no). Siempre ocurre que ´ınf A ≤ sup A. Para el ínfimo, se tienen propiedades análogas a las enunciadas para el supremo.

2.

Espacios métricos: definiciones y propiedades básicas

Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un conjunto de elementos que llamaremos puntos y d es una función de X × X en R que cumple los siguientes axiomas, para todos a, b, c pertenecientes a X: 1. d(a, b) ≥ 0 2. d(a, b) = 0 ⇐⇒ a = b 3. d(a, b) = d(b, a) (axioma de simetría). 4. d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) (desigualdad triangular). La función d se llama distancia o métrica para X. Un ejemplo clásico de espacio métrico es el del conjunto de los números reales y la distancia usual dada por el módulo: d(a, b) = |a − b|. Más generalmente, para n ≥ 1, Rn con la distancia euclídea p d((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2

es un espacio métrico, denominado espacio euclídeo n-dimensional. La teoría de los espacios métricos surge con la intención de generalizar los espacios euclídeos, permitiendo extender ideas a otros tipos de conjuntos.

Ejemplo 1. Se denota con C[0,1] al conjunto de todas las funciones cuyo dominio es el intervalo [0, 1], cuyo codominio es R, y que además son continuas en todo el dominio. Para f, g ∈ C[0,1] , definamos d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} Por ejemplo, sean f , g y h las funciones definidas por f (x) = x

g(x) =

x 1 + 4 4

3

h(x) = x2

Queda de ejercicio verificar que d(f, g) = 1/2, d(g, h) = 1/2 y d(f, h) = 1/4. Mostraremos que d definida anteriormente es una métrica para C[0,1] . Lo primero a hacer es ver que es una función bien definida. Sean f y g dos elementos de C[0,1] , y hagamos A = {|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]}. A es un conjunto acotado superiormente, porque f y g son continuas en [0, 1], y por tanto acotadas. Luego, sup A es un número real, por lo que d es una función bien definida de C[0,1] × C[0,1] en R. Ahora debemos ver el cumplimiento de los cuatro axiomas. Sean f, g, h ∈ C[0,1] .

Ya que |f (x) − g(x)| ≥ 0 cualquiera sea x ∈ [0, 1], tenemos que, por propiedad de supremos, sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} ≥ 0, es decir, d(f, g) ≥ 0. Supongamos que d(f, g) = 0. Tomemos cualquier t ∈ [0, 1]. Tenemos que 0 ≤ |f (t) − g(t)| ≤ sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} = d(f, g) = 0, y entonces |f (t) − g(t)| = 0. Luego, f (t) = g(t) para todo t ∈ [0, 1], por lo que f = g.

Recíprocamente, si f = g, tenemos que ∀x ∈ [0, 1], f (x) = g(x), y, en consecuencia, {|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} = {0}, por lo que d(f, g) = sup{0} = 0. Se cumple entonces el segundo axioma.

d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} = sup {|g(x) − f (x)| : x ∈ [0, 1]} = d(g, f ). En consecuencia, se cumple el axioma de simetría. Dado que para cualquier x ∈ [0, 1] se cumple que |f (x) − g(x)| = |f (x) − h(x) + h(x) − g(x)| ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| , tenemos que d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} ≤ sup {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} Hagamos entonces C ′ = {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]}

A = {|f (x) − h(x)| : x ∈ [0, 1]}

B = {|h(x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.

Tenemos que C ′ ⊂ C, y entonces sup C ′ ≤ sup C ≤ sup A + sup B. Concluimos que d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), y, en consecuencia, se cumple la propiedad triangular.

Como hemos verificado que d es una función bien definida de C[0,1] × C[0,1] en R que satisface los axiomas correspondientes, podemos afirmar que d es una métrica para C[0,1] .  Pasamos ahora a una definición crucial en la teoría de espacios métricos.

Definición 2. Sean (X, d) un espacio métrico, x0 un elemento cualquiera de X y r cualquier real positivo. El entorno de centro x0 y radio r es el conjunto Br (x0 ) = {x ∈ X : d(x0 , x) < r}. El entorno reducido de centro x0 y radio r es Br∗ (x0 ) = {z ∈ X : 0 < d(x0 − x) < r}

O sea que Br (x0 ) está constituido por todos los puntos de X que están a distancia estrictamente menor que r de x0 (esto incluye, por supuesto, al propio x0 ; es decir, todo entorno incluye a su centro). El entorno reducido consiste en todos los puntos del entorno, excepto el centro. Las siguientes definiciones se refieren a puntos x y subconjuntos E de un espacio métrico (X, d). 4

1. x es punto de acumulación de E si todo entorno reducido de x contiene al menos un punto de E, es decir, si ∀r > 0, Br∗ (x) ∩ E 6= ∅ (lo que equivale a decir que cualquier entorno de x contiene un punto de E − {x}). Designamos por E ′ al conjunto de todos los puntos de acumulación de E. Observar que un punto de acumulación de E puede o no pertenecer a E. 2. E es cerrado si todos sus puntos de acumulación pertenecen a E, es decir, si E ′ ⊂ E. 3. La clausura de E es E = E ∪ E ′ , es decir, la unión del conjunto y sus puntos de acumulación. 4. Si x ∈ E pero x no es punto de acumulación de E, x se llama punto aislado de E. 5. x es un punto interior de E si existe r ∈ R+ tal que Br (x) ⊂ E. 6. E es abierto si todos sus puntos son puntos interiores de E. 7. La frontera de E es ∂E = {x ∈ X : ∀r > 0, Br (x) ∩ E 6= ∅ 6= Br (x) ∩ E c }. 8. E es acotado si existen x ∈ X y r ∈ R+ tales que E ⊂ Br (x). 9. E es denso en X si E = X. 10. El diámetro de E es diam(E) = sup{d(x, y) : x, y ∈ E}. Desarrollaremos ahora algunas de las propiedades más elementales de los espacios métricos. Proposición 3. Todo entorno es un conjunto abierto. Demostración. Sea Br (x) un entorno de x en el espacio (X, d). Para y ∈ Br (x), tomemos r′ = r − d(x, y). Será r′ > 0 pues d(x, y) < r. Veamos que Br′ (y) ⊂ Br (x): si z ∈ Br′ (y), d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + r′ = r, de donde z ∈ Br (x). Luego todo punto de Br (x) es un punto interior de Br (x), por lo que Br (x) es abierto.  Proposición 4. Sea E un subconjunto del espacio métrico X. Un punto x de X pertenece a E si, y sólo si, cualquier entorno de x contiene al menos un punto de E. Demostración. Supongamos que x ∈ E. Si x ∈ E, cualquier entorno de x contiene al propio x, que es un punto de E. Si x ∈ / E, x es punto de acumulación de E, por lo que cualquier entorno de x contiene un punto de E − {x}, o sea un punto de E. Recíprocamente, supongamos que cualquier entorno de x contiene un punto de E. Si x ∈ E, x ∈ E. Si x ∈ / E, tenemos que E = E − {x}, por lo que cualquier entorno de x posee un punto de E − {x}; luego x es punto de acumulación de E, y x ∈ E.  Proposición 5. Si x es punto de acumulación de E, todo entorno de x posee infinitos puntos de E. Demostración. Demostraremos por contrarreciprocidad. Sea x ∈ X tal que existe r > 0 tal que Br (x) contiene una cantidad finita de puntos de E. Si Br∗ (x) ∩ E = ∅, x no cumple la definición de punto de acumulación de E. Si Br∗ (x) ∩ E 6= ∅, sea r′ = m´ın {d(x, y) : y ∈ Br∗ (x) ∩ E}. r′ es el más chico de un conjunto finito de números positivos, por lo que r′ > 0. Tendremos que Br∗′ (x) no contiene puntos de E, por lo que x tampoco es punto de acumulación de E.  Corolario 6. Un subconjunto finito de un espacio métrico no posee puntos de acumulación. Teorema 7. Un subconjunto de un espacio métrico es abierto si, y sólo si, su complemento es cerrado. 5

Demostración. Supongamos que E es un subconjunto abierto de (X, d). Sea x ∈ E. Existe r > 0 tal que Br (x) ⊂ E, luego Br (x) ∩ E c = ∅, por lo que x no es punto de acumulación de E c . Tenemos entonces que si x ∈ E, x no es punto de acumulación de E c , que equivale a decir que si x es punto de acumulación de E c , x pertenece a E c , mostrando que E c es cerrado. Recíprocamente, supongamos que E c es cerrado. Sea x ∈ E, es decir, x ∈ / E c . x no es punto de acumulación de E c , por lo que existe un entorno Br (x) que no contiene puntos de E c − {x}. Pero ya que x ∈ E, resulta E c − {x} = E c , por lo que Br (x) ∩ E c = ∅, es decir, Br (x) ⊂ E. Luego x es punto interior a E, y E es abierto.  Corolario 8. Un subconjunto de un espacio métrico es cerrado si, y sólo si, su complemento es abierto. Demostración. E es cerrado ⇐⇒ (E c )c es cerrado ⇐⇒ E c es abierto.



Teorema 9. Para cualquier espacio métrico, las siguientes afirmaciones son válidas: 1. La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 2. La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3. La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 4. La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Demostración. Sea {Ai }i∈I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos deS(X, d). Si x ∈ S i∈I Ai , existe S k ∈ I tal que x ∈ Ak , luego hay un entorno Br (x) ⊂ Ak ⊂ i∈I Ai , lo que muestra que i∈I Ai es abierto. Esto prueba la primera afirmación. T Sea {Ai }ni=1 una familia finita de subconjuntos abiertos, y x ∈ ni=1 Ai . Para cada i ∈ {1, . . . , n}, existe un ri > 0Ttal que Bri (x) ⊂ Ai . Sea r = m´ın{ri : i = 1, . . . , n}. Será r > 0. Verifiquemos que Br (x) ⊂ ni=1 Ai : si d(x, z) < r será d(x, z) < ri para todo i T ∈ {1, . . . , n} por la elección de r, por lo que z ∈ Ai para todo i ∈ {1, . . . , n}, de donde z ∈ ni=1 Ai . Por Tn lo tanto i=1 Ai es abierto. Esto muestra la segunda afirmación. Un ejemplo que muestra que 1 1 , i+1 ) para i ∈ N, en la afirmación no es válida para intersecciones arbitrarias es Ai = (− i+1 T∞ el espacio de los reales con la métrica usual. Aquí se tiene que i=0 Ai = {0}, que no es un subconjunto abierto de R. Sea {Ci }i∈I una familia cerrados de (X, d). Por las leyes de De
c T cualquiera S de subconjuntos c Morgan, se tiene que = i∈I Ci , siendo este último un conjunto abierto según se i∈I Ci
T demostró en el primer ítem, ya que cada Cic es un conjunto abierto. Luego C es un i∈I i conjunto cerrado, pues su complemento es abierto. Esto demuestra la tercera afirmación. Sn c n Finalmente, sea {C } una familia finita de subconjuntos cerrados. Será ( i i=1 i=1 Ci ) = Tn Cic , siendo este último un conjunto abierto según el inciso segundo de este teorema, por lo i=1S  que ni=1 Ci es cerrado.

Teorema 10. Un subconjunto de un espacio métrico es abierto si, y sólo si, es una unión de entornos.

Demostración. Supongamos que E es un subconjunto abierto de un espacio métrico (X, d). Entonces podemosS asociar a cada punto z de E un número positivo rz tal que S S Brz (z) ⊂ E. Veamos Sque E = z∈E Brz (z): si x ∈ E, x ∈ Brx (x) ⊂ z∈E Brz (z), luego E ⊂ z∈E Brz (z). Y si x ∈ z∈E Brz (z), S hay un z de E tal que x ∈ Brz (z); pero por hipótesis Brz (z) ⊂ E, de donde x ∈ E; con esto, z∈E Brz (z) ⊂ E. La vuelta se deduce de la Proposición 3 y del Teorema 9.  El siguiente teorema nos dice que la clausura de un conjunto E es “el más pequeño” de los conjuntos cerrados que contienen a E. 6

Teorema 11. Sea E un subconjunto de un espacio métrico (X, d). 1. E es un subconjunto cerrado. 2. E = E si, y sólo si, E es cerrado. 3. Si E ⊂ F y F es cerrado, entonces E ⊂ F . 4. diam(E) = diam(E). Demostración. c

1. Mostraremos que el complemento de E es abierto. Sea x ∈ E , luego x ∈ / E, por lo que existe r > 0 : Br (x) ∩ E = ∅. (prop. 4). Como Br (x) es abierto (prop. 3), para cada z ∈ Br (x) existe r′ > 0 tal que Br′ (z) ⊂ Br (x), y entonces Br′ (z) ∩ E = ∅, por lo que c c z ∈ / E. Entonces Br (x) ⊂ E . Ya que x era arbitrario, se sigue que E es un conjunto abierto. 2. La ida es inmediata por el inciso anterior. Para la vuelta, siendo E cerrado, se tiene que E ′ ⊂ E, por lo que E = E ∪ E ′ = E. 3. Primero observemos que si E ⊂ F , debe ser E ′ ⊂ F ′ : Tomemos x ∈ E ′ , y consideremos r > 0. Por prop. 4, Br∗ (x) ∩ E 6= ∅, de donde, siendo E ⊂ F , es Br∗ (x) ∩ F 6= ∅. Luego, nuevamente por prop. 4, x ∈ F ′ . Con esto podemos ver que E = E ∪ E ′ ⊂ F ∪ F ′ = F , es decir, E ⊂ F . 4. Puesto que E ⊂ E, es directo que diam(E) ≤ diam(E). Sea ε > 0, y tomemos x e y arbitrarios en E. Sean x′ , y ′ ∈ E tales que d(x, x′ ) < ε/2 y d(y, y ′ ) < ε/2 (prop. 4). Luego, d(x, y) ≤ d(x, x′ ) + d(x′ , y ′ ) + d(y ′ , y) < ε + d(x′ , y ′ ) ≤ ε + diam(E). Es decir, d(x, y) < ε + diam(E). Como x e y son arbitrarios, se sigue que diam(E) ≤ ε + diam(E), y, puesto que ε es arbitrario, se deduce que diam(E) ≤ diam(E).  Proposición 12. Sea E un subconjunto del espacio de los reales con la métrica euclídea, y supongamos que E posee cota superior. Entonces el supremo de E pertenece a la clausura de E. Luego, si E es cerrado, el supremo de E pertenece a E. Demostración. Sea s = sup E. Para todo r > 0, Br (s) = (s − r, s + r) contiene un punto de E (pues sino s − r sería una cota superior para E, pero menor que el supremo, y eso sería una contradicción). Luego, s ∈ E (prop. 4). La última afirmación en el enunciado del teorema es consecuencia inmediata del Teorema 11.  Consideraciones análogas valen para el ínfimo de un conjunto. Proposición 13. Sea X Tn un espacio métrico, y {V1 , . . . , Vn } una familia finita de abiertos densos en X. Entonces k=1 Vk es un subconjunto abierto denso en X. T Demostración. En virtud del Teorema 9, sólo resta probar que nk=1 Vk es densa. Lo probaremos para el caso n = 2, y luego una simple inducción permitirá verificar el resultado general. Para probar que V1 ∩ V2 es denso, sea x ∈ X y ε > 0 arbitrario. Por ser V1 denso, existe y ∈ V1 : d(x, y) < ε/2. Como V1 es abierto, existe r′ > 0 tal que Br′ (y) ⊂ V1 . Sea r = m´ın{r′ , ε/2}. Observar que Br (y) ⊂ Br′ (y) ⊂ V1 . Como V2 es denso, existe z ∈ V2 tal que d(z, y) < r. Entonces z ∈ V1 ∩ V2 , y d(z, x) ≤ d(x, y) + d(y, z) < ε. Luego, x pertenece a V1 ∩ V2 (prop. 4). Por ello, V1 ∩ V2 es denso en X. 

7

2.1.

Subespacios

Sea (X, d) un espacio métrico y S un subconjunto de X. Designemos por dS a la restricción de d al subconjunto S × S; es decir, para x, y ∈ S, dS (x, y) = d(x, y). El par (S, dS ) es también un espacio métrico, y se llama subespacio de (X, d). Observemos que el entorno de radio r alrededor de un x ∈ S en el espacio métrico S es {y ∈ S : dS (x, y) < r}, mientras que el entorno de radio r alrededor de x en el espacio métrico X es {y ∈ X : d(x, y) < r}. El entorno del punto x depende, entonces, del espacio métrico que estemos considerando. Así, cuando hablemos de entorno alrededor de x y haya posibilidad de confusión, emplearemos un supraíndice para indicar a qué espacio nos referimos: BrS (x) indicará entorno alrededor de x, de radio r, en el espacio métrico S, mientras que BrX (x) S X denotará entorno de radio r alrededor de x en el espacio X. Observar que  Br (x) = S ∩ Br (x). 1 Supongamos X = R con la métrica usual, S = [0, 1] y E = 2 , 1 . En el espacio métrico (X, d), E no es abierto, ya que 1 ∈ E no es punto interior de E. Pero visto como subconjunto de (S, dS ), E resulta un conjunto abierto, pues B S1 (1) es el conjunto de todos los reales x con 4

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< x ≤ 1, que es un subconjunto de E. En otras palabras, E no es abierto en el espacio X, pero sí en el subespacio S. Por esto, al hablar de conjuntos abiertos o cerrados (cuando se trabaja con espacios y subespacios) hace falta especificar con respecto a cuál de los espacios métricos estamos haciendo referencia. Usaremos frases del estilo “E es abierto relativo en S” o “E es abierto relativo en X” para indicar si nos estamos refiriendo a E como subconjunto abierto del espacio métrico (S, dS ) o del espacio métrico (X, d), respectivamente. Afortunadamente, hay una sencilla caracterización de los subconjuntos abiertos de un subespacio. Teorema 14. Sea S subespacio de un espacio métrico (X, d), y E ⊂ S. E es abierto relativo en S si, y sólo si, E = S ∩ G para algún G abierto en X. S S Demostración. Para la ida: Sabemos que E = x∈E BrSx (x) (teor. 10). Sea GS= x∈E BrX
x (x), el X cual x∈E Brx (x) ∩ S =
SabiertoS de X (prop. 3 y teor. 9). Además, G ∩ S = S es unX subconjunto x∈E Brx (x) ∩ S = x∈E Brx (x) = E. Para la vuelta, supongamos que E = S ∩ G con G abierto en X. Sea x ∈ E. Existe r > 0 : BrX (x) ⊂ G. Entonces BrX (x) ∩ S ⊂ G ∩ S, es decir, BrS (x) ⊂ E, luego E es abierto en S.  Corolario 15. Si E ⊂ S ⊂ X, E es cerrado relativo en S si, y sólo si, E = S ∩ F para algún F cerrado en X. Demostración. E es cerrado relativo en S si, y sólo si, S − E es abierto relativo en S, lo que equivale a que S − E = S ∩ G para algún G abierto relativo en X, lo que equivale a que E = Gc ∩ S, siendo Gc el complemento de G en X, que es un conjunto cerrado relativo en X.

2.2.

Conjuntos compactos

Sea (X, d) un espacio métrico, E ⊂ X, I un conjunto arbitrario de índices y {Ai }Si∈I una familia de subconjuntos de X. Decimos que {Ai }i∈I es un cubrimiento para E si E ⊂ i∈I Ai . Si todos los Ai son conjuntos abiertos, decimos que {Ai }i∈I es un cubrimiento por abiertos para E. Un subcubrimiento de {Ai }i∈I para E es una subfamilia de los {Ai } que también es cubrimiento para E. Un cubrimiento es finito si posee una cantidad finita de miembros. Un subconjunto de un espacio métrico es compacto si cualquier cubrimiento por abiertos para él posee un subcubrimiento finito. Teorema 16. Un subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y acotado.

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Demostración. Sea K un subconjunto compacto de un espacio métrico X. Mostraremos que K c es un subconjunto abierto de X. SeaSp ∈ K c . Para cada q ∈ K, sea rq = d(p, q)/2, y tomemos Wq = Brq (q). Observar que K ⊂S q∈K Wq , por lo que {Wq : q ∈ K} es un cubrimiento por abiertos para K. Luego K ⊂ nj=1 Wqj para alguna subfamilia finita {Wq1 , . . . , Wqn }. Sea r = m´ın{rq1 , . . . , rqn } > 0. Para cada j ∈ {1, . . . , n}, Br (p) ∩ Wqj = ∅ (en caso contrario, habría un x tal que d(p, x) < r y d(x, qj ) < rqj , deSdonde 2rqj = d(p, qj ) ≤ d(p, x) + d(x, qj ) < r + rqj ≤ 2rqj , contradicción). De allí que Br (p) ∩ nj=1 Wqj = ∅, y entonces Br (p) ∩ K = ∅, de donde Br (p) ⊂ K c . Luego p es un punto interior de K c , el cual resulta, en consecuencia, ser un conjunto abierto. Por eso, K es cerrado. Para ver que K es acotado, notemos que la familia de todos los entornos de radio 1 alrededor de los puntos de K es un cubrimiento S por abiertos para el compacto K, así que hay una subfamilia finita {B1 (xj )}nj=1 tal que nj=1 B1 (xj ) ⊃ K. Definamos r = m´ax{d(xi , xj ) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n}. Sea x ∈ K. x pertenece a B1 (xm ) para algún m ∈ {1, . . . , n}, de modo que d(x1 , x) ≤ d(x1 , xm ) + d(xm , x) < r + 1, y entonces x ∈ Br+1 (x1 ). Como x era cualquier punto de K, vemos que K ⊂ Br+1 (x1 ), por lo que K es acotado.  Teorema 17. Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es un conjunto compacto. Demostración. Sea K un subconjunto compacto de X, y F un subconjunto deSK que es cerrado relativo en X. Sea Ω = {Ai }i∈I una familia de abiertos en X tal que F ⊂ i∈I Ai . Hagamos c Ω2 = Ω ∪ S{F }; Ωc2 resulta ser una familia de abiertos (pues F es cerrado) que cubre a todo c X: F ∪ Ai ⊃ F ∪ F = X. En particular, esta nueva familia es un cubrimiento por abiertos para el compacto K, luego hay una subfamilia finita Ω3 de Ω2 que cubre a K, y por lo tanto a F . Tomemos Ω4 = Ω3 − {F c }. Puede verse que Ω4 es una subfamilia finita de Ω que cubre a F (pues Ω3 lo hacía, y ningún punto de F está en F c ). Luego F es compacto.  Corolario 18. Si F es cerrado y K compacto, F ∩ K es compacto.

Demostración. Siendo K compacto, es cerrado, por lo que F ∩ K es también cerrado, y, siendo subconjunto del compacto K, es compacto.  Corolario 19. Sea X un espacio métrico compacto, y E un subconjunto de X. E es compacto si, y sólo si, es cerrado. Teorema 20. Si {Ki }i∈I es una colección de subconjuntos compactos T con la propiedad de que la intersección de cualquier subfamilia finita es no vacía, entonces i∈I Ki es no vacía. T Demostración. Supongamos que i∈I Ki = ∅. Sea m cualquier elemento c S de I. Sería entonces T T T = i∈I−{m} Kic . Cada Kic i∈I Ki = Km ∩ i∈I−{m} Ki = ∅, y entonces Km ⊂ i∈I−{m} Ki es abierto (teor. 16), por lo que {Kic : i ∈ I − {m}} es un cubrimiento por abiertos para Km , y, siendo éste compacto, hay una subfamilia finita {Kic1 , . . . , Kicn } que cubre a Km . Es decir, T c Sn n Km ⊂ j=1 Kicj = K , o sea Km ∩Ki1 ∩. . .∩Kin = ∅, es decir, hay una subfamilia finita i j j=1 de {Ki }i∈I cuya intersección es vacía. Entonces, por contrarreciprocidad, se tiene el resultado. Corolario 21. Si {Kn }n∈N T es una colección de subconjuntos compactos no vacíos tal que T ∀n ∈ N, Kn ⊃ Kn+1 , entonces n∈N Kn 6= ∅. Además, si l´ımn→∞ diam(Kn ) = 0, entonces n∈N Kn consta de un solo punto. T Demostración. Hagamos K = n∈N Kn . Sea {Kn1 , . . . , KnN } una subfamilia finita de {Kn }. T Tomemos m = m´ax{n1 , . . . , nN }. Será N j=1 Knj = Km 6= ∅. Es decir, cualquier subfamilia finita tiene intersección no vacía. Luego, K es no vacío (teor. 20). Para probar la última afirmación, supongamos que K contuviese más de un punto. Sería diam(K) > 0. Pero para cada n ∈ N, Kn ⊃ K, de modo que diam(Kn ) ≥ diam(K). Esto contradiría la hipótesis de que l´ımn→∞ diam(Kn ) = 0.  9

Teorema 22. Si E es un subconjunto infinito de un conjunto compacto K, entonces E tiene un punto de acumulación en K. Demostración. Supongamos que ningún punto de K fuese punto de acumulación de E. Entonces, para cada q ∈ K habría rq > 0 tal que Brq (q) ∩ E contiene a lo sumo un punto de E (q, en el caso en que q ∈ E). La familia {Brq : q ∈ K} es cubrimiento por abiertos para K, pero ninguna subfamilia finita puede cubrir a E (pues E es infinito y cada miembro de la familia tiene a lo sumo un punto de E), por lo que ninguna subfamilia finita puede cubrir a K. Contradicción con la compacidad de K.  Teorema 23. Sea K ⊂ S ⊂ X. K es compacto relativo en X si, y sólo si, K es compacto relativo en S. Demostración. Supongamos K compacto relativo en X. Sea {Ai }i∈I un cubrimiento para K donde todos los Ai son abiertosSen el espacio S métrico S. Para cada S i ∈ I, Ai = S ∩ Vi para S algún Vi abierto en X. Luego K ⊂ i∈I Ai = i∈I (Vi ∩ S) = S ∩ i∈I Vi . Entonces K ⊂S i∈I Vi , y, siendo K compacto en X, existe una subfamilia finita {Vi1 , . . . , Vin } tal que K ⊂ nj=1 Vij .
S S S Luego K ⊂ S ∩ nj=1 Vij = nj=1 Vij ∩ S = nj=1 Aij . Entonces K es compacto relativo en S. Recíprocamente, supongamos K compacto relativo en S, y sea {Vi }i∈I un cubrimiento S para K por abiertos de X. Para cada i ∈ I, sea S Ai = S ∩ SVi . Cada Ai será S abierto en S. K ⊂ i∈I Vi , por lo que, siendo K ⊂ S, será K ⊂ S ∩ i∈I Vi = i∈I (Vi ∩ S) = Si∈I Ai . PorSser K compacto
n n V ∩ S = A = relativo en S, hay una subfamilia finita {A , . . . , A } tal que K ⊂ i i i i n 1 j j j=1 j=1 S S S ∩ nj=1 Vij , de donde K ⊂ nj=1 Vij , siendo entonces {Vi1 , . . . , Vin } un subcubrimiento finito para K.  En Rn con la métrica euclídea, los conjuntos compactos se caracterizan por ser exactamente los subconjuntos cerrados y acotados de Rn (Teorema de Heine–Borel). En particular, en R con la métrica usual, un intervalo cerrado [a, b] con a, b ∈ R es un conjunto compacto.

2.3.

Conjuntos conexos

Un conjunto A de un espacio métrico (X, d) se dice disconexo si existen dos conjuntos A1 y A2 que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: 1. A1 y A2 son ambos abiertos en X. 2. A1 ∩ A2 = ∅ 3. A ⊂ A1 ∪ A2 4. A ∩ A1 6= ∅ 6= A ∩ A2 Es decir, A es disconexo cuando tiene partes contenidas en dos abiertos disjuntos que cubren a A. Si A no es disconexo, se dice que es conexo. Un conjunto se dice totalmente disconexo si los únicos subconjuntos no vacíos de él que son conexos constan de un único punto. Ejemplo 24. En el espacio de los reales con la métrica euclidea, todo intervalo es conexo. Veámoslo para el caso de un intervalo [a, b] con a, b ∈ R y a < b (para los otros tipos de intervalos, la demostración es análoga). En efecto, sea I = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. Sean A1 y A2 dos abiertos disjuntos tales que que I ∩ A1 6= ∅ 6= I ∩ A2 . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que a ∈ A1 . Como A1 es abierto, existe ε > 0 tal que Bε (a) ⊂ A1 , por lo que A1 contiene no sólo a a, sino a todo un subsegmento de I empezando en a. Hagamos S = I ∩ A2 y tomemos m = ´ınf S. Por lo antedicho y por ser A1 y A2 disjuntos, debe ser m > a 10

(con lo que m − a > 0), y también m ≤ b (ya que estamos suponiendo que existe x ∈ I ∩ A2 , y entonces m ≤ x ≤ b). Es decir, m ∈ I. Si fuese m ∈ A1 , existiría R > 0 tal que BR (m) ⊂ A1 , y, por propiedad del ínfimo, existe t ∈ S tal que m ≤ t < m + R. Como m no podría estar en S, sería m < t < m + R. Pero entonces sería t ∈ A1 (pues |t − m| < R, es decir, t ∈ BR (m) ⊂ A1 ) y t ∈ A2 (pues t ∈ S), contradiciendo que A1 y A2 son disjuntos. Entonces no puede ser m ∈ A1 . Si fuese m ∈ A2 , por ser éste abierto, existiría r > 0 tal que Br (m) ⊂ A2 , de donde, por ser m − a > 0, habría un x ∈ A2 tal que x ∈ I y x < m. Sería entonces x ∈ A2 ∩ I = S pero x < ´ınf S, contradiciendo la definición de ínfimo. Entonces no puede ser m ∈ A2 . Luego, m ∈ I − (A1 ∪ A2 ), es decir, I 6⊂ A1 ∪ A2 . Esto prueba que no pueden existir A1 y A2 que muestren que I es disconexo.  Veremos seguidamente otras caracterizaciones de los conjuntos conexos. Lema 25. Sean A y C subconjuntos disjuntos, con A abierto. Entonces A ∩ C = ∅.

Demostración. Sea x ∈ A. Existe r > 0 tal que Br (x) ⊂ A. Como A∩C = ∅, será Br (x)∩C = ∅, de modo que x ∈ / C (prop. 4). Luego, A ∩ C = ∅.

Teorema 26. Un conjunto A es disconexo si, y sólo si, existen conjuntos no vacíos C y D tales que A = C ∪ D y C ∩ D = ∅ = C ∩ D.

Demostración. Para la ida, sean A1 y A2 abiertos disjuntos tales que A ⊂ A1 ∪ A2 y A ∩ A1 6= ∅ 6= A ∩ A2 . Hagamos C = A ∩ A1 y D = A ∩ A2 (notar que A1 ∩ D = ∅). Tenemos que A = C ∪ D, pues, siendo A ⊂ A1 ∪ A2 , es A = A ∩ (A1 ∪ A2 ) = (A ∩ A1 ) ∪ (A ∩ A2 ). Además, C ∩ D ⊂ A1 ∩ D = ∅ (lema 25), y análogamente C ∩ D = ∅. Veamos la vuelta. Como C ∩D = ∅, para Scada x ∈ C existe Rx > 0 tal que B2Rx (x)∩D = ∅, c = x∈C BRx (x). Similarmente, para cada z ∈ D, existe es decir, B2Rx (x) ⊂ D (prop 4). Sea A1 S rz > 0 tal que Brz (z) ⊂ C c ; sea A2 = z∈D Brz (z). Observar que para cada x ∈ C y z ∈ D, BRx (x) ∩ Brz (z) = ∅ (de lo contrario, habría w tal que d(x, w) + d(w, z) < Rx + rz , así que d(x, z) < 2 m´ax(Rx , rz ), con lo que o bien x ∈ B2rz (z) ⊂ C c o bien z ∈ B2Rx (x) ⊂ Dc , imposibles ambas pues x ∈ C y z ∈ D). Como consecuencia, A1 ∩ A2 debe ser vacío. Se tiene entonces que: 1. A1 y A2 son abiertos (teor. 10). 2. A ⊂ A1 ∪ A2 , pues A1 ⊃ C y A2 ⊃ D, teniéndose que A1 ∪ A2 ⊃ C ∪ D = A. 3. A ∩ A1 6= ∅, pues como C es no vacío, existe z ∈ C ⊂ A, de donde z ∈ A1 y z ∈ A. Análogamente, A ∩ A2 6= ∅. 4. A1 ∩ A2 = ∅

Luego, A es disconexo. Teorema 27. Un espacio métrico X es conexo si, y sólo si, los únicos subconjuntos de X que son simultáneamente abiertos y cerrados son el propio X y el conjunto vacío. Demostración. Supongamos que X es conexo. Sea E un subconjunto propio no vacío de X. Si E fuese abierto y cerrado simultáneamente, tomemos A = E, B = E c . Será A 6= ∅ 6= B, A = E y B = E c ya que tanto E como E c son cerrados. A ∩ B = ∅ = A ∩ B, por lo que A y B son separados, contradiciendo la conexidad de X. Supongamos ahora que X no es conexo. Entonces X = A ∪ B con A, B no vacíos separados. c Tenemos entonces que A = B c . Notar también que, siendo A ∩ B = ∅, será A = B , de donde resulta que A es abierto. Análogamente, B es abierto, y siendo A = B c , resulta A cerrado. Entonces, A es un subconjunto propio no vacío que es simultáneamente abierto y cerrado.  11

3.

Sucesiones en espacios métricos

Una sucesión en un conjunto X es una función de los naturales en X. Designamos por xn al n–ésimo término de la sucesión (es decir, a la imagen de n a través de la función) y por {xn }n∈N (o, más brevemente, {xn }) a la sucesión completa. El campo de variabilidad de la sucesión {xn } es {y ∈ X : ∃n ∈ N : xn = y}, es decir, el conjunto de valores que toma la sucesión. Una sucesión se dice acotada si su campo de variabilidad es un conjunto acotado. Decimos que una sucesión {xn } en un espacio métrico (X, d) es convergente en X si existe un punto p ∈ X con la propiedad de que ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, d(p, xn ) < ε. En ese caso, decimos que la sucesión converge hacia p, o que p es el límite de {xn }, y escribimos l´ımn→∞ xn = p. Observemos que decir que l´ımn→∞ xn = p es equivalente a decir que l´ımn→∞ d(xn , p) = 0. Teorema 28. Sea {xn } una sucesión en un espacio métrico (X, d), y p ∈ X. 1. {xn } converge hacia p si, y sólo si, cualquier entorno de p contiene a todos los términos de la sucesión, salvo una cantidad finita de ellos. 2. Si {xn } converge, su límite es único. 3. Si {xn } converge, es acotada. Demostración. 1. Supongamos que l´ımn→∞ xn = p. Sea r > 0. Existe N tal que para todo n ≥ N, d(xn , p) < r, por lo que para todo n ≥ N, xn ∈ Br (p), es decir, Br (p) contiene todos los términos de la sucesión salvo, posiblemente, x0 , . . . , xN −1 . Recíprocamente, supongamos que cada entorno de p contiene todos los términos de la sucesión, salvo un número finito. Sea ε > 0, y sea N tal que ∀n ≥ N, xn ∈ Bε (p). Entonces, para todo n ≥ N, d(p, xn ) < ε, por lo que l´ımn→∞ xn = p. 2. Supongamos que l´ımn→∞ xn = p y l´ımn→∞ xn = p′ . Si p 6= p′ , sea ε = d(p, p′ )/2. Será ε > 0. Sea N1 tal que ∀n ≥ N1 , d(xn , p) < ε y N2 tal que ∀n ≥ N2 , d(xn , p′ ) < ε. Tomemos N = m´ax{N1 , N2 }. Sería entonces d(p, p′ ) ≤ d(p, xN ) + d(xN , p′ ) < 2ε = d(p, p′ ), que es una contradicción. 3. Sea {xn } convergente hacia p. Existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N, d(xn , p) < 1. Sea M = m´ax {d(x0 , p), . . . , d(xN −1 , p), 1}. Entonces, para todo n ∈ N, d(xn , p) ≤ M , por lo que la sucesión {xn } es acotada.  Proposición 29. Sean E ⊂ X y x ∈ X. x es un punto de acumulación de E si, y sólo si, existe una sucesión en E − {x} que converge hacia x. Demostración. Supongamos que x es punto de acumulación de E. Para cada n ∈ N, elijamos yn ∈ E − {x} tal que d(x, yn ) < 1/(n + 1). Observemos que {yn }n∈N es una sucesión en E − {x}, y que d(x, yn ) tiende a 0 cuando n tiende a ∞, por lo que l´ımn→∞ yn = x. Esto demuestra la ida. Para la vuelta, sea {yn }n∈N una sucesión en E − {x} tal que l´ımn→∞ yn = x. Dado ε > 0, existe n ∈ N tal que d(x, yn ) < ε; puesto que yn ∈ E − {x}, se tiene que Bε (x) contiene un punto de E − {x}. Luego, x es punto de acumulación de E.  El concepto de sucesión de Cauchy aprendido para sucesiones de números reales se extiende a espacios métricos cualesquiera, de una manera natural. Sea {xn } una sucesión en el espacio X. Decimos que {xn } es una sucesión de Cauchy si ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀m, n ≥ N, d(xm , xn ) < ε. 12

Conocido es que, en el espacio métrico de los reales con la métrica euclídea, decir “sucesión convergente” equivale a decir “sucesión de Cauchy”. Esta equivalencia no es válida para espacios métricos en general. Por ejemplo, en el espacio métrico (0, 1) con la métrica euclídea, la sucesión {1/(n + 1)} no es convergente, y sin embargo es de Cauchy. Esto motiva la siguiente definición: Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy converge se llama espacio métrico completo. Los reales con la métrica euclídea forman un espacio completo, cosa que no ocurre con los racionales. Proposición 30. Si una sucesión en un espacio métrico converge, entonces es de Cauchy. Demostración. Supongamos que l´ımn→∞ xn = p. Sea ε > 0. Existe N ∈ N : ∀n ≥ N, d(xn , p) < ε/2. Luego, si m y n son mayores o iguales que N , tenemos que d(xn , xm ) ≤ d(xn , p)+d(p, xm ) < ε, por lo que {xn } es sucesión de Cauchy.  Si {xn } es una sucesión en el espacio métrico X y designamos por EN al conjunto {y ∈ X : ∃n ≥ N : y = xn }, resulta directo que {xn } es una sucesión de Cauchy si, y sólo si, l´ımN →∞ diam(EN ) = 0.

3.1.

Subsucesiones

Sea {xn }n∈N una sucesión en el espacio métrico X. Consideremos una sucesión {nk }k∈N estrictamente creciente de números naturales, es decir, nk < nk+1 para todo k. Con estas dos sucesiones, podemos definir una nueva sucesión {yk }k∈N en X haciendo yk = xnk . La sucesión {yk }k∈N se llama subsucesión de {xn }n∈N y se denota mediante {xnk }k∈N . Si {xnk } converge a p ∈ X, es decir, si l´ımk→∞ xnk = p, entonces p se llama punto de acumulación de {xn }. Observar que para todo k ∈ N, nk ≥ k. Observación 31. Un hecho que usaremos frecuentemente en las demostraciones que siguen es que un subconjunto de números naturales es infinito si, y sólo si, es no acotado. Teorema 32. Una sucesión {xn } converge hacia p si, y sólo si, cualquiera de sus subsucesiones converge hacia p. Demostración. Supongamos que {xn } converge a p, y sea {xnk } una subsucesión. Hay un N tal que ∀n ≥ N, d(xn , p) < ε. Luego, si k ≥ N , será nk ≥ nN ≥ N , por lo que d(xnk , p) < ε. La vuelta es trivial, ya que {xn } es subsucesión de sí misma.  Proposición 33. Sea {xn } una sucesión en el espacio métrico (X, d), y sea p un punto de X. p es punto de acumulación de {xn } si, y sólo si, cualquier entorno de p posee infinitos términos de {xn }. Demostración. Supongamos que p es un punto de acumulación de {xn }. Hay una subsucesión {xnk }k∈N de {xn }n∈N tal que l´ımk→∞ xnk = p. Sea ε > 0. Existe N ∈ N tal que ∀k ≥ N, xnk ∈ Bε (p). Como cada término de la subsucesión es un término de {xn }, se tiene que Bε (p) contiene una cantidad infinita de términos de {xn }. Recíprocamente, supongamos que todo entorno de p posee una cantidad infinita de términos de {xn }. Elijamos n0 tal que d(p, xn0 ) < 1. Ahora elijamos n1 > n0 tal que d(xn1 , p) < 1/2. Tal elección es posible, pues si hacemos I = {n ∈ N : xn ∈ B1/2 (p)}, por la hipótesis I es infinito, y entonces es no acotado (observ. 31), de donde debe existir un n1 mayor que n0 en I. Continuando de esta manera, para cada k > 1 debe existir un nk > nk−1 tal que d(p, xnk ) < 1/(k + 1). Se tiene que {xnk } es subsucesión de {xn } y que l´ımk→∞ xnk = p, lo que demuestra la suficiencia de la condición.  13

Teorema 34. El conjunto de puntos de acumulación de una sucesión es un conjunto cerrado. Demostración. Sea {xn } una sucesión en el espacio X. Denotemos por E al campo de variabilidad de {xn } y por E ∗ al conjunto de puntos de acumulación de {xn }. Sea q un punto de acumulación de E ∗ . Veamos que q ∈ E ∗ . Sea z0 ∈ E ∗ − {q} tal que d(z0 , q) < 1/2. Sea xn0 ∈ E tal que d(z0 , xn0 ) < 1/2. Tenemos entonces que d(q, xn0 ) ≤ d(q, z0 ) + d(z0 , xn0 ) < 1. Elijamos ahora z1 ∈ E ∗ − {q} tal que d(z1 , q) < 1/4, y n1 tal que n1 > n0 y d(z1 , xn1 ) < 1/4. Tal elección es posible, pues, siendo z1 un punto de acumulación de {xn }, hay una subsucesión infinita de {xn } que converge a z1 . Se tiene que d(q, xn1 ) ≤ d(q, z1 ) + d(z1 , xn1 ) < 1/2. Continuando de esta manera, para cada k ∈ N, sea zk ∈ E − {q} tal que d(q, zk ) < 1/(2k + 2) y sea nk > nk−1 tal que d(zk , xnk ) < 1/(2k + 2). Se tendrá entonces que {xnk } converge a q, pues d(q, xnk ) ≤ d(q, zk ) + d(zk , xnk ) < 1/(k + 1), por lo que q ∈ E ∗ .  Teorema 35. Si {xn } es una sucesión en el espacio métrico compacto X, entonces {xn } tiene un punto de acumulación en X. Demostración. Sea E el campo de variabilidad de {xn }. Si E es finito, debe haber un punto p ∈ E y una sucesión infinita {nk } de naturales tales que n0 < n1 < . . . y xnk = p para todo k ∈ N. Entonces {xnk } es subsucesión de {xn } y converge hacia p ∈ E ⊂ X, por lo que p es un punto de acumulación de {xn }. Si E es infinito, tiene un punto de acumulación p en X (teor. 22). Sea n0 tal que d(p, xn0 ) < 1. Elijamos n1 tal que n1 > n0 y d(p, xn1 ) < 1/2 (tal elección es posible pues hay una cantidad infinita de m tales que d(p, xm ) < 1/2). Continuando de esta manera, para cada k ∈ N elijamos nk tal que nk > nk−1 y d(p, xnk ) < 1/(k + 1). Entonces {xnk }k∈N es una subsucesión de {xn } que converge a p, de donde p es punto de acumulación de {xn }.  Teorema 36. Los espacios métricos compactos son completos. Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico compacto, y {xn } una sucesión de Cauchy en X. {xn } tiene un punto de acumulación p en X (teor. 35). Sea {xnk } una sucesión tal que l´ımk→∞ xnk = p. Veamos que l´ımn→∞ xn = p: para ε > 0, sea N1 ∈ N tal que ∀m, n ≥ N1 , d(xm , xn ) < ε/2, y N2 ∈ N tal que ∀k ≥ N2 , d(p, xnk ) < ε/2. Sea N = m´ax{N1 , N2 }. Notar que, siendo nN ≥ N , será nN ≥ N1 ; además, N ≥ N2 . Para m ≥ N (y por tanto m ≥ N1 ), se tiene d(p, xm ) ≤ d(p, xnN ) + d(xnN , xm ) < ε.  Teorema 37. Sea X un espacio T métrico compacto, y {Vn }n∈N una familia de subconjuntos abiertos densos en X. Luego, n∈N Vn es densa en X. T Demostración. Sean x ∈ X y ε > 0 arbitrarios. Debemos mostrar que hay un y ∈ n∈N Vn tal que d(x, y) < ε (prop. 4). Hagamos x0 = x y δ0 = ε/2. Por la Proposición 13, para cada n ≥ 1, existe xn ∈ X y δn > 0 tal que ! n−1 \ Bδn (xn ) ⊂ Vk ∩ Bδn−1 (xn−1 ) k=0

Por ser X compacto, la sucesión {xn } tiene un punto de acumulación y ∈ X (teor. 35). Se cumple Bδ0 (x0 ) ⊃ Bδ1 (x1 ) ⊃ Bδ2 (x2 ) ⊃ · · · T por lo que y ∈ Bδn (xn ) ⊂ Vn para todo n. Luego, y ∈ n∈N Vn . Ya que y ∈ Bδ0 (x0 ) ⊂ Bε (x), se sigue que d(x, y) < ε. 

14

3.2.

Límites superior e inferior

Un caso particular es el del espacio métrico de los reales con la métrica usual. Decimos que una sucesión de números reales {xn } converge a ∞ si ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, xn ≥ M . Análogamente, l´ımn→∞ xn = −∞ si ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, xn ≤ M . Sea {xn } una sucesión de números reales, y E el conjunto de sus puntos de acumulación. Se define el límite superior de {xn } como l´ım sup xn = sup E, y el límite inferior de {xn } como l´ım inf xn = ´ınf E. A la luz de la Proposición 12 y del Teorema 34, se verifica que l´ım sup xn pertenece a E, así como l´ım inf xn . Proposición 38. l´ım sup xn = ∞ si, y sólo si, {xn } no está acotada superiormente.

Demostración. Si l´ım sup xn = ∞, hay una subsucesión {xnk } que converge a ∞. Sea M ∈ R. Existe un k ∈ N tal que xnk > M . Como xnk es un término de {xn }, ésta es no acotada. Recíprocamente, sea {xn } no acotada superiormente. Luego hay un n0 tal que xn0 > 0. Notar que la sucesión {xn0 +1 , xn0 +2 , . . .} es no acotada. Por ello, existe n1 > n0 tal que xn1 > 1. Similarmente, para cada k > 1, hay un nk > nk−1 tal que xnk > k (pues la sucesión {xnk−1 +1 , xnk−1 +2 , . . .} es no acotada. Entonces la subsucesión {xnk } así formada converge a ∞, por lo que l´ım sup xn = ∞.  Proposición 39. Si t > l´ım sup xn , existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N , xn < t.

Demostración. Sea s = l´ım sup xn . Si s = ∞, no hay nada que probar. Si s ∈ R, {xn } es acotada superiormente. Sea M ∈ R tal que ∀n ∈ N, xn < M . Supongamos que el enunciado fuese falso, es decir, supongamos que ∀N ∈ N, ∃n ≥ N : xn ≥ t. Sea n0 tal que xn0 ≥ t. Sea n1 ≥ n0 + 1 tal que xn1 ≥ t. Continuando de este modo, encontramos una subsucesión {xnk } íntegramente contenida en el compacto [x, M ]. Esa subsucesión tiene un punto de acumulación en [x, M ] (teor. 35) que también es punto de acumulación de {xn }, pero mayor que l´ım sup xn . Contradicción.  Consideraciones análogas valen para l´ım inf xn .

4. 4.1.

Funciones entre espacios métricos Límite de una función

Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos, E ⊂ X, f una función de E en Y , p un punto de acumulación de E y q ∈ Y . Decimos que el límite de f cuando x tiende a p es q si ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ E, 0 < dX (x, p) < δ ⇒ dY (f (x), q) < ε. En ese caso, escribimos l´ımx→p f (x) = q. Notar que no es necesario que p ∈ E para poder hablar de límite cuando x tiende a p. Además, aún estando definida la función en p, podría ocurrir que f (p) 6= q. Teorema 40. Sean X, Y, E, p, q, f como en la definición anterior. Se tiene que l´ımx→p f (x) = q si, y sólo si, l´ımn→∞ f (xn ) = q para toda sucesión {xn } en E − {p} que converja a p.

Demostración. Supongamos que l´ımx→p f (x) = q. Sea {xn } una sucesión en E − {p} tal que l´ımn→∞ xn = p. Sea ε > 0. Existe δ > 0 : 0 < dX (x, p) < δ ⇒ dY (f (x), q) < ε. Correspondiente a ese δ > 0, existe N ∈ N : ∀n ≥ N, dX (xn , p) < δ. Luego, si n ≥ N , se tiene que dY (f (xn ), q) < ε, por lo que l´ımn→∞ f (xn ) = q. Esto demuestra la necesidad de la condición. Supongamos ahora que l´ımx→p f (x) 6= q. Entonces existe ε > 0 : ∀δ > 0, ∃x ∈ X tal que dX (x, p) < δ pero dY (f (x), q) ≥ ε. En particular, para cada n ∈ N, existe xn tal que dX (xn , p) < 1/(n + 1) pero dY (f (xn ), q) ≥ ε. Ya que l´ımn→∞ dX (xn , p) = 0, tenemos que {xn } converge a p. Sin embargo, l´ımn→∞ f (xn ) 6= q. Esto demuestra la suficiencia de la condición.  15

Corolario 41. Si una función tiene límite cuando x tiende a p, el límite es único. Demostración. La conclusión se sigue de los Teoremas 28 (inciso 2) y 40.  Supongamos que (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) y (X3 , d3 ) son tres espacios métricos, que f es una función de D1 ⊂ X1 en X2 y que g es una función de D2 ⊂ X2 en X3 , con f (D1 ) ⊂ D2 . La función compuesta g ◦ f : D1 → X3 está bien definida. Supongamos que p es punto de acumulación de D1 y que l´ımx→p f (x) = L1 . Supongamos también que L1 es punto de acumulación de D2 , y que l´ımx→L1 g(x) = L2 . Resulta entonces natural preguntarse por la existencia del límite de la composición cuando x tiende a p. Lo primero que la intuición nos hace pensar es que l´ımx→p g(f (x)) existe y vale también L2 . Sin embargo... Ejemplo 42. Sea X1 = X2 = X3 = R con la métrica euclídea. Sean f y g las funciones de R en R dadas por  1 si x = 0 f (x) = 0 g(x) = 0 si x 6= 0

Observemos que l´ımx→0 f (x) = 0 = l´ımx→0 g(x), pero g ◦ f es la función constante igual a 1, por lo que l´ımx→1 g(f (x)) = 1. 

Reconociendo la equivocación en nuestra intuición, podríamos pensar entonces que el límite de la composición debe existir cuando x tiende a p, aún sin ser igual a L2 . Sin embargo... Ejemplo 43. Sea X1 = X2 = X3 = R con la métrica euclídea. Sean f y g las funciones de R en R dadas por   0 si x ∈ Q 1 si x = 0 f (x) = g(x) = x si x ∈ /Q 0 si x 6= 0 Observemos que f (x) = 0 si, y sólo si, x ∈ Q. Tenemos que l´ımx→0 f (x) = 0 = l´ımx→0 g(x), pero   1 si f (x) = 0 1 si x ∈ Q g(f (x)) = = 0 si f (x) 6= 0 0 si x ∈ /Q

de modo que no existe límite de la composición cuando x tiende a 0.



Veremos luego que, bajo ciertas condiciones sobre la función g, el límite efectivamente existe.

4.2.

Continuidad

Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos, E ⊂ X, f una función de E a Y y p ∈ E. Decimos que la función f es continua en p si ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ E, dX (x, p) < δ ⇒ dY (f (x), f (p)) < ε. Si f es continua en todo punto de E, decimos que f es continua en E. Nótese que, para
p ∈Y E, f es continua en p si, y sólo si, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal X que f E ∩ Bδ (p) ⊂ Bε (f (p)). Observar que, para que f sea continua en p, f debe estar definida en p. Si p es un punto aislado de E, f es continua en p. Si p es un punto de acumulación de E, se tiene que f es continua en p si, y sólo si, l´ımx→p f (x) = f (p). En consecuencia, si f es continua en p y {xn } es una sucesión que converge a p, se tiene que l´ımn→∞ f (xn ) = f (p) (teor. 40), lo cual suele recordarse diciendo que los procesos de tomar límite de sucesión y evaluar f son intercambiables: l´ımn→∞ f (xn ) = f (l´ımn→∞ xn ). Proposición 44. Sean (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) y (X3 , d3 ) tres espacios métricos. Supongamos que f es una función de D1 ⊂ X1 en X2 y que g es una función de D2 ⊂ X2 en X3 , con f (D1 ) ⊂ D2 . Supongamos también que p es punto de acumulación de D1 , que l´ımx→p f (x) existe, y que g es continua en él. Entonces, l´ımx→p g(f (x)) = g( l´ımx→p f (x)). 16

Demostración. Llamemos L1 = l´ımx→p f (x). Por la continuidad de g en L1 , tenemos que l´ımη→L1 g(η) = g(L1 ). Sea ε > 0. Existe r > 0 tal que si d2 (η, L1 ) < r, entonces d3 (g(η), g(L1 )) < ε. Correspondiente a ese r > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < d1 (x, p) < δ y x ∈ D1 , entonces d2  (f (x), L1 ) < r. En consecuencia, para todo x ∈ D1 tal que 0 < d1 (x, p) < δ, se tiene que d3 g(f (x)), g(L1 ) < ε. Esto muestra que l´ımx→p g(f (x)) = g(L1 ), según queríamos probar.  Teorema 45. Sean f : X → Y continua en p ∈ X y g : Y → Z continua en f (p). Entonces g ◦ f es continua en p. Demostración. Si p es punto aislado de X o f (p) es punto aislado de Y , la continuidad de g ◦ f en p es inmediata. Si p es punto de acumulación de D1 , por prop. 44, tenemos que l´ımx→p g(f (x)) = g( l´ımx→p f (x)) = g(f (p)). Luego, g ◦ f es continua en p.  Proposición 46. Sea f : X → Y continua en p, y sea S ⊂ X tal que p ∈ S. Entonces, f |S es continua en p. Demostración. Sea ε > 0. Hay un δ > 0 tal que si x ∈ BδX (p), f (x) ∈ BεY (f (p)). Veamos que para todo x ∈ BδS (p), f |S (x) ∈ BεY ( f |S (p)): si x ∈ BδS (p), x ∈ BδX (p) y x ∈ S; luego f (x) ∈ BεY (f (p)); ya que p y x están en S, es f |S (x) = f (x) y f |S (p) = f (p); entonces f |S (x) ∈ BεY ( f |S (p)). Por lo tanto, f |S es continua en p.  Teorema 47. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y , y x0 un punto en X. f es continua en x0 si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea abierto en Y y que contenga a f (x0 ), x0 es un punto interior de f −1 (V ). Demostración. Supongamos f continua en x0 . Sea V un subconjunto abierto de Y tal que f (x0 ) ∈ V . Existe ε > 0 tal que BεY (f (x0 )) ⊂ V . Por continuidad de f en x0 , existe δ > 0 tal
que f BδX (x0 ) ⊂ BεY (f (x0 )) ⊂ V . Es decir, BδX (x0 ) ⊂ f −1 (V ), con lo cual resulta que x0 es un punto interior de f −1 (V ). Supongamos ahora que x0 es un punto interior de f −1 (V ) siempre que V es un subconjunto abierto de Y que contenga a f (x0 ). Sea ε > 0. Tomando V = BεY (f (x0 )), que es abierto y contiene a f (x0 ), por nuestra hipótesis tenemos que x0 es punto
interior de f −1 (V ), es decir,

existe δ > 0 tal que BδX (x0 ) ⊂ f −1 (V ). Por lo tanto, f BδX (x0 ) ⊂ f f −1 BεY (f (x0 )) ⊂ BεY (f (x0 )). Entonces f es continua en x0 .  Corolario 48. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y . f es continua en X si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea abierto en Y , f −1 (V ) es un subconjunto abierto de X. Demostración. Para la ida, sea V abierto en Y , y tomemos x ∈ f −1 (V ). Como f (x) ∈ V y f es continua, x es punto interior de f −1 (V ) (teor. 47), y ya que x es arbitrario se sigue que f −1 (V ) es abierto en X. Para la vuelta, sea x ∈ X, y sea V un abierto en Y que contenga a f (x). Por hipótesis, f −1 (V ) es abierto en X y contiene a x; por lo tanto, x es punto interior de f −1 (V ), de donde f es continua en x (teor. 47). Como x es arbitrario, f es continua en todo su dominio. Corolario 49. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y . f es continua en X si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea cerrado en Y , f −1 (V ) es un subconjunto cerrado de X. Demostración. Para la ida, sea V un cerrado en Y . Entonces V c es abierto en Y , por lo que, c c siendo f continua, es f −1 (V c ) abierto en X. Pero f −1 (V c ) = [f −1 (V )] . Luego, [f −1 (V )] es abierto en X, y entonces f −1 (V ) es cerrado en X. 17

Para la vuelta, sea U abierto en Y . Entonces, U c es cerrado en Y , por lo que, de acuerdo a c la hipótesis, es f −1 (U c ) cerrado en X, es decir, [f −1 (U )] es cerrado en X, de donde f −1 (U ) es abierto en X. Habiendo demostrado que la preimagen de cualquier abierto de Y es un abierto en X, tenemos que f es continua (teor. 48).  Teorema 50. Sea f una función continua de X en Y , y K un subconjunto compacto de X. f (K) es un subconjunto compacto de Y . Demostración. Sea {Vi }i∈I unScubrimiento por abiertos paraSf (K). La familia {fS−1 (Vi )}
i∈I es cubrimiento para K, pues i∈I Vi ⊃ f (K) y por lo tanto i∈I f −1 (Vi ) = f −1 V ⊃ i i∈I f −1 (f (K)) ⊃ K. Además, cada f −1 (Vi ) es abierto en X (teor. 48). Luego, {f −1 (V )} posee un Si i∈I subcubrimiento finito para K, digamos {f −1 (Vi1 ), . . . , f −1 (Vin )}. Es decir, K ⊂ nj=1 f −1 (Vij ) =   S S S n ⊂ nj=1 Vij , por lo que {Vi1 , . . . , Vin } es V f −1 nj=1 Vij . De allí, f (K) ⊂ f f −1 i j j=1 subcubrimiento finito para f (K).  La función continua f (x) = x con dominio el intervalo (0, 1) no alcanza en ese conjunto un extremo (por ejemplo, no hay ningún a en (0, 1) tal que para todo x ∈ (0, 1) sea f (x) ≤ f (a)). El siguiente corolario muestra que esta situación no puede darse si el dominio de definición de f es un compacto; concretamente, expresa el hecho de que si una función continua a valores reales tiene como dominio de definición un conjunto compacto, entonces la función alcanza un máximo y un mínimo en puntos del conjunto compacto, y en consecuencia una función a valores reales continua definida sobre un compacto es una función acotada. Este resultado se usará frecuentemente en los capítulos que siguen. Corolario 51. Sea f una función continua del espacio métrico (X, d) en (R, euclídea), y K un subconjunto compacto de X. Entonces, existen xm , xM ∈ K tales que para todo x ∈ K, f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ). Demostración. Sea S = sup f (K). Se tiene que para todo x ∈ K, f (x) ≤ S. f (K) es compacto (teor. 50), y entonces cerrado, en R. De allí que S ∈ f (K) (prop. 12), es decir, existe xM ∈ K tal que f (xM ) = S. Luego, para todo x ∈ K, es f (x) ≤ f (xM ). Lo referente a xm es análogo. Teorema 52. Sea f una función continua biyectiva del espacio métrico compacto X al espacio métrico Y . Entonces, la función inversa de f es una función continua de Y en X. Demostración. Sea g la función inversa de f . Tomemos un conjunto abierto V en X. V c es cerrado en el compacto X, luego, V c es compacto (teor. 17), de donde f (V c ) es un subconjunto compacto (teor. 50), y por lo tanto cerrado, de Y . Pero por ser f biyectiva, se tiene que f (V c ) = f (V )c , por lo que f (V ) es abierto en Y . Además, g −1 (V ) = {y ∈ Y : g(y) ∈ V } = {y ∈ Y : f −1 (y) ∈ V } = {y ∈ Y : y ∈ f (V )} = f (V ). Entonces, g −1 (V ) es abierto en Y , y g −1 es continua en Y (teor. 48).  Teorema 53. Sea f una función continua del espacio métrico X en el espacio métrico Y , y E un subconjunto conexo de X. f (E) es un subconjunto conexo de Y . Demostración. Supongamos que f (E) = A ∪ B con A y B subconjuntos no vacíos separados en Y . Hagamos G = E ∩ f −1 (A), y H = E ∩ f −1 (B). Luego E = G ∪ H y G 6= ∅ 6= H. Como A ⊂ A, resulta G ⊂ f −1 (A), siendo este último conjunto cerrado pues A es cerrado y f es continua. Luego G ⊂ f −1 (A) (teor. 11), por lo que f (G) ⊂ A. Como f (H) = B y A ∩ B = ∅, será G ∩ H = ∅. Por un razonamiento análogo, G ∩ H = ∅. Entonces G y H son separados, lo que contradice la conexidad de E. 

18

4.3.

Equivalencia métrica y homeomorfismo

Sobre un conjunto X cualquiera puede haber definidas varias métricas. Por ejemplo, en el caso de R2 , una métrica puede ser la euclídea de y otra la de Manhattan dM , definidas respectivamente así, para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ): p de (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 dM (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | En este ejemplo, ambas métricas dan aproximadamente la misma idea de distancia: dos puntos “cercanos” (o “lejanos”) según una de ellas también estarán “cerca” (o “lejos”) según la otra. Pero no siempre ocurrirá así. Esto lleva a la siguiente definición: Dos métricas d1 y d2 para un espacio métrico X se dicen equivalentes si existen dos constantes reales c1 y c2 con 0 < c1 < c2 tales que, para todos x, y ∈ X con x 6= y se tiene que c1 ≤

d1 (x, y) ≤ c2 d2 (x, y)

En el caso de R2 con las métricas euclídea y de Manhattan, podemos tomar c1 = 1/2 y c2 = 1 para verificar que ambas son equivalentes. Un ejemplo de métricas no equivalentes es X = R2 − {(0, 0)}, d1 la métrica euclídea, y d2 (x, y) = | |x| − |y| | + |θ|, siendo θ el menor de los ángulos determinados por los vectores x e y. Dos espacios métricos (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) se dicen equivalentes si existe una función h : X1 → X2 biyectiva tal que la métrica dˆ1 para X1 definida por dˆ1 (x, y) = d2 (h(x), h(y)) es equivalente a la métrica d1 . Dos espacios métricos (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) se dicen homeomorfos si existe una función h : X1 → X2 continua y biyectiva cuya inversa es también una función continua. El concepto de espacios métricos homeomorfos es más débil que el de equivalentes: dos espacios equivalentes son homeomorfos. La recíproca no es cierta: tomando X1 = N y X2 = 1 : n ∈ N , ambos con la métrica euclídea, vemos que ambos son homeomorfos (h(x) = 1/x) n pero no equivalentes. Hay muchas propiedades que se conservan por equivalencia métrica. Por ejemplo, si dos espacios son equivalentes y uno de ellos es completo, el otro también lo es.

5.

Sistemas de Funciones Iteradas

Ahora veremos un excelente ejemplo de cómo el contexto de los espacios métricos permite explicar un fenómeno de aparición bastante reciente: la generación de imágenes fractales por medio de sistemas de funciones iteradas. Primero veremos el mecanismo al para generar tales imágenes, que es muy sencillo de entender, y puede ser resumido en los siguientes pasos: 1. Escoger una cantidad n de transformaciones contractivas del plano complejo (por ejemplo, transformaciones lineales de la forma az + b con |a| < 1), digamos w1 , w2 , . . . , wn . El conjunto cuyos elementos son estas transformaciones se llama un sistema de funciones iteradas, abreviado SFI. 2. Elegir cualquier conjunto compacto para la métrica euclídea (es decir, cerrado y acotado) no vacío de números complejos, digamos B ⊂ C. Tal B recibe el nombre de conjunto inicial, y podría ser, por ejemplo, B = {0}. 3. A partir del SFI y del conjunto inicial, generar una sucesión B0 , B1 , B2 , . . . de subconjuntos del plano del siguiente modo: B0 = B Bk = w1 (Bk−1 ) ∪ w2 (Bk−1 ) ∪ · · · wn (Bk−1 ) (para k > 0) 19

Resulta que conforme k se hace cada vez más grande, Bk se hace tanto más parecido a un determinado conjunto que tiene, en general, la característica fractal de la autosimilaridad. Ese conjunto límite se denomina atractor del sistema de funciones iteradas, y tiene la sorprendente característica de que no depende del conjunto inicial del cual arranca el proceso iterativo. Por ejemplo, para un SFI de tres transformaciones dadas por w1 (z) =

z 2

w2 (z) =

z+1 2

w3 (z) =

z+i 2

y conjunto inicial B0 = {i}, algunos elementos de la sucesión {Bk }k∈N se muestran en la figura siguiente.

B0

B4

B6

B8

En relación al atractor de un sistema de funciones iteradas, además de la autosimilaridad, son destacables tres propiedades: existencia, unicidad e independencia del conjunto inicial; esbozaremos aquí las ideas principales que llevan a su demostración. Aclaramos ante todo que en este mecanismo, el espacio de los complejos con la métrica euclídea puede ser reemplazado por cualquier espacio métrico completo sin alterar la esencia del fenómeno. Sólo a los fines de una mejor comprensión intuitiva es que trabajamos con los complejos. Definición 54. Sea (X, d) un espacio métrico, y f una función de X en X. Se dice que f es una transformación contractiva en X (o una contracción en X) si existe un número real s ∈ [0, 1) tal que ∀x1 , x2 ∈ X, d (f (x1 ), f (x2 )) ≤ s · d(x1 , x2 )

Un tal s se llama un factor de contractividad para f .

Definición 55. Sea f una función de X en X, y k un natural. Un punto x0 ∈ X se dice punto fijo para f si f (x0 ) = x0 . La k-ésima iteración de f , denotada f [k] , se define recursivamente como: f [0] es la función identidad. f [k+1] = f ◦ f [k] para cualquier k ≥ 0.  Para x0 ∈ X, la órbita de x0 bajo f es la sucesión f [n] (x0 ) n∈N .

Es decir, f [k] es la composición de f consigo misma k veces (con la convención de que componer una función consigo  misma 0 veces es la identidad). La órbita de x0 bajo f es la sucesión x0 , f (x0 ), f (f (x0 )), f f (f (x0 )) , . . . Dado un espacio métrico y una función en él, resulta natural preguntarse cómo evoluciona el espacio por aplicación reiterada de la función (es decir, cómo se comportan las iteraciones de la función, hacia qué destino convergen las órbitas, etc.). El siguiente resultado, conocido como Teorema del Punto Fijo de las Transformaciones Contractivas, resulta clave para explicar el fenómeno de convergencia hacia el atractor en el caso de los sistemas de funciones iteradas. 20

Teorema 56. Sea f : X → X una contracción del espacio métrico completo (X, d). Entonces, f posee un único punto fijo xf ∈ X, que además satisface que para todo x ∈ X, l´ım f [k] (x) = xf k→∞

Su demostración será guiada a través de ejercicios.

5.1.

El espacio métrico de los fractales

Nuestro objetivo es explicar, matemáticamente, la convergencia de la sucesión B0 , B1 , B2 , . . . hacia el atractor. Para ello, construiremos un espacio métrico en el que los elementos sean figuras del plano complejo, y la distancia mida, de alguna manera, el parecido entre dos figuras. Luego veremos cómo los SFI inducen contracciones en ese espacio, y finalmente, por aplicación del Teorema del Punto Fijo, justificaremos la convergencia del proceso iterativo. El primer paso para definir una distancia en ese espacio métrico comienza con la definición de distancia desde un punto hasta un conjunto, en el plano complejo. Definición 57. Dado z0 ∈ C y B ⊂ C, la distancia desde z0 hasta B es dp (z0 , B) = ´ınf {|z − z0 | : z ∈ B} Por ejemplo, si z0 = 2i y B = {z ∈ C : |z| ≤ 1}, entonces dp (z0 , B) = 1, existiendo en este caso un complejo z ∗ ∈ B tal que dp (z0 , B) = |z ∗ − z0 | (z ∗ = i). Pero si tomáramos z0 = 2i y B = {z ∈ C : |z| < 1}, tendríamos que dp (z0 , B) es también 1, pero ningún z ∗ ∈ B cumple que dp (z0 , B) = |z ∗ − z0 |. Proposición 58. Sea B compacto no vacío y z0 ∈ C. Entonces, existe z ∗ ∈ B tal que dp (z0 , B) = |z ∗ − z0 |. Demostración. Consideremos la función dada por f (z) = |z − z0 |. Tenemos que f (B) = {|z − z0 | : z ∈ B} y que ´ınf f (B) = dp (z0 , B). La función f es continua en C (teorema 45), y, siendo B compacto, f (B) es también compacto (teorema 50), de donde ´ınf f (B) ∈ f (B) (puede deducirse de la proposición 12), lo que implica que existe z ∗ ∈ B tal que f (z ∗ ) = ´ınf f (B), es decir, |z ∗ − z0 | = dp (z0 , B). El resultado anterior nos dice que si B es compacto, la distancia entre z0 y B se alcanza en al menos un punto de B. Por eso, si nos restringimos a conjuntos compactos, el ínfimo invocado en la definición de distancia puede ser reemplazado por mínimo. Observación 59. Para B compacto no vacío y z0 ∈ C, se tiene que dp (z0 , B) = 0 si, y sólo si, z0 ∈ B: para la ida, si z0 ∈ / B, sea z ∗ ∈ B tal que dp (z0 , B) = |z ∗ − z0 | (prop. 58). Dado que ∗ ∗ z 6= z0 , es |z − z0 | > 0, de donde dp (z0 , B) 6= 0. Para la vuelta, si z0 ∈ B, entonces 0 ≤ dp (z0 , B) = ´ınf {|z − z0 | : z ∈ B} ≤ |z0 − z0 | = 0 así que dp (z0 , B) = 0.



Proposición 60. Sean B y C conjuntos compactos no vacíos, y z0 ∈ C. Si B ⊂ C, entonces dp (z0 , B) ≥ dp (z0 , C). Demostración. Sea z ∗ ∈ B tal que dp (z0 , B) = |z ∗ − z0 |. Como B ⊂ C, z ∗ ∈ C y entonces dp (z0 , C) = ´ınf {|z − z0 | : z ∈ C} ≤ |z ∗ − z0 | = dp (z0 , B) como queríamos demostrar. 21

Lema 61. Sea B un subconjunto compacto no vacío de C. Definamos la función f : C → C mediante f (z) = dp (z, B). Entonces, f es continua en C. Demostración. Debemos ver que ∀z0 ∈ C, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀z ∈ C, |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − f (z0 )| < ε Sean z0 y ε dados. Tomemos δ = ε, y supongamos que z cumple que |z − z0 | < δ. Sabemos que para todo w ∈ B, |z0 − w| ≤ |z0 − z| + |z − w|, por lo que m´ın {|z0 − w| : w ∈ B} ≤ |z0 − z| + m´ın {|z − w| : w ∈ B} y entonces dp (z0 , B) ≤ |z0 − z| + dp (z, B), es decir, dp (z0 , B) − dp (z, B) < ε. Análogamente, para todo w ∈ B, |z − w| ≤ |z − z0 | + |z0 − w|, por lo que m´ın {|z − w| : w ∈ B} ≤ |z − z0 | + m´ın {|z0 − w| : w ∈ B} y entonces dp (z, B) ≤ |z − z0 | + dp (z0 , B), es decir, dp (z0 , B) − dp (z, B) > −ε. Juntando las dos desigualdades arriba demostradas, tenemos que −ε < dp (z0 , B) − dp (z, B) < ε de donde |f (z) − f (z0 )| < ε. El segundo paso hacia la definición de distancia entre figuras del plano consiste en definir una cuasidistancia entre dos subconjuntos del plano complejo, de la siguiente manera. Definición 62. Sean A, B subconjuntos del plano complejo. La cuasidistancia entre A y B es dc (A, B) = sup {dp (z0 , B) : z0 ∈ A} Por ejemplo, si A = {z ∈ C : |z| ≤ 1} y B = {z ∈ C : |z| ≤ 2}, entonces dc (A, B) = 0 (pues, de la observación 59, ∀z0 ∈ A, dp (z0 , B) = 0) y dc (B, A) = 1. Como vemos, no se cumple el axioma de simetría ni el primer axioma de distancia, pero luego veremos que se cumple la desigualdad triangular, y de ahí el prefijo cuasi; entonces, dc nos servirá para construir una adecuada forma de medir distancias entre figuras. Veamos primero que si A y B son ambos compactos no vacíos, dc (A, B) se alcanza entre puntos de ambos conjuntos. Proposición 63. Si A y B son subconjuntos compactos no vacíos del plano complejo, entonces existen z1 ∈ A, z2 ∈ B tales que dc (A, B) = |z1 − z2 |. Demostración. Sea f : C → C definida por f (z) = dp (z, B). La función f es continua (lema 61) y se tiene que {dp (z0 , B) : z0 ∈ A} = f (A). Siendo A compacto, se tiene que sup f (A) ∈ f (A) (proposición 12), es decir, existe z1 ∈ A tal que f (z1 ) = sup f (A), lo cual implica que dp (z1 , B) = dc (A, B). Pero además, de la proposición 58, existe z2 ∈ B tal que dp (z1 , B) = |z1 − z2 |. Concluimos entonces que dc (A, B) = |z1 − z2 | en donde z1 ∈ A y z2 ∈ B. Como vemos, la compacidad de conjuntos juega un rol importante en las propiedades de dp y dc . Además, como veremos después, cada conjunto de la sucesión {Bk }k∈N es compacto y no vacío. Nos restringiremos, entonces, a esa clase de conjuntos (los compactos no vacíos) de C para buscar una buena manera de medir distancias entre conjuntos. Definición 64. El espacio de los fractales es el conjunto H definido por H = {B ⊂ C : B es compacto y B 6= ∅} 22

Antes de definir una distancia para H, deduciremos propiedades adicionales de dc . Proposición 65. ∀A, B ∈ H, dc (A, B) ∈ R+ 0. Demostración. Dados A, B ∈ H, por proposición 63, existen z1 ∈ A, z2 ∈ B que verifican que dc (A, B) = |z1 − z2 | ≥ 0. Proposición 66. ∀A ∈ H, dc (A, A) = 0. Demostración. Dado A ∈ H, dc (A, A) = sup {d (z0 , A) : z0 ∈ A} = sup{0} = 0. Proposición 67. ∀A, B, C ∈ H, dc (A, B) ≤ dc (A, C) + dc (C, B). Demostración. De la propiedad triangular de módulos, sabemos que ∀a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, |a − b| ≤ |a − c| + |c − b| Luego, de donde

∀a ∈ A, c ∈ C,´ınf {|a − b| : b ∈ B} ≤ |a − c| + ´ınf {|c − b| : b ∈ B} ∀a ∈ A, c ∈ C, dp (a, B) ≤ |a − c| + dp (c, B)

Ahora sea a ∈ A. Elijamos c∗ ∈ C tal que dp (a, C) = |a − c∗ | (proposición 58). Tenemos que dp (a, B) ≤ |a − c∗ | + dp (c∗ , B) = dp (a, C) + dp (c∗ , B) ≤ dp (a, C) + sup {dp (c, B) : c ∈ C} = dp (a, C) + dc (C, B) Puesto que a es arbitrario en A, se tiene que ∀a ∈ A, dp (a, B) ≤ dp (a, C) + dc (C, B) así que dc (A, B) = sup {dp (a, B) : a ∈ A} ≤ sup {dp (a, C) : a ∈ A} + dc (C, B) = dc (A, C) + dc (C, B) según deseábamos demostrar. Proposición 68. Sean A, B, C ∈ H. Si B ⊂ C, entonces dc (A, B) ≥ dc (A, C). Demostración. Para cualquier z0 ∈ A, tenemos que dp (z0 , B) ≥ dp (z0 , C) (proposición 60). Luego, sup {dp (z0 , B) : z0 ∈ A} ≥ sup {dp (z0 , C) : z0 ∈ A}, lo que demuestra el enunciado. Ahora ya estamos en condiciones de definir una distancia entre elementos de H que capture adecuadamente cuán parecidas son dos figuras de ese conjunto. Definición 69. Para A, B ∈ H, se define la distancia entre A y B mediante h (A, B) = m´ax {dc (A, B) , dc (B, A)} Teorema 70. La función h : H × H → R+ 0 anteriormente definida es efectivamente una distancia para el espacio H. En consecuencia, (H, h) es un espacio métrico. Demostración. 23

1. Dados A, B ∈ H, dc (A, B) y dc (B, A) son números reales no negativos (proposición 65), luego h (A, B) también lo es. 2. De la proposición 66, h (A, A) = m´ax {dc (A, A) , dc (A, A)} = 0. Además, si A 6= B, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que existe a ∈ A − B. Luego, dp (a, B) > 0 (observación 59), así que h (A, B) ≥ dc (A, B) ≥ dp (a, B) > 0. En síntesis, tenemos que h (A, B) = 0 si, y sólo si, A = B. 3. Dados A, B ∈ H, tenemos que h (A, B) = m´ax {dc (A, B) , dc (B, A)} = m´ax {dc (B, A) , dc (A, B)} = h (B, A) de donde vemos que se cumple el axioma de simetría. 4. Dados A, B, C ∈ H, recordando la proposición 67, tenemos que h (A, B) = ≤ ≤ =

m´ax {dc (A, B) , dc (B, A)} m´ax {dc (A, C) + dc (C, B) , dc (B, C) + dc (C, A)} m´ax {dc (A, C) , dc (C, A)} + m´ax {dc (B, C) , dc (C, B)} h (A, C) + h (C, B)

y entonces se cumple la propiedad triangular.

Con no poco trabajo y consideraciones más específicas de los espacios métricos, es factible mostrar el siguiente resultado, que nosotros admitiremos sin demostración. Teorema 71. El espacio métrico (H, h) es completo.

5.2.

Atractores

Más arriba hemos visto que el proceso iterativo de un SFI consiste en generar una sucesión de conjuntos aplicando reiteradamente la unión de transformados w1 (Bk−1 ) ∪ · · · ∪ wn (Bk−1 ). Formalmente, estamos considerando la transformación W : H→H W (B) = w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B) Para ver que efectivamente W (B) ∈ H toda vez que B ∈ H, empecemos recordando que cada wj es una transformación contractiva en C. Lema 72. Si w : C → C es contractiva, entonces es continua en C. Demostración. Sea s un factor de contractividad para w. Tomemos z0 ∈ C, y fijemos ε > 0. Hagamos δ = ε/s. Si |z − z0 | < δ, por ser w contractiva tenemos que |w(z) − w (z0 )| ≤ s |z − z0 | < ε, mostrando que w es continua en z0 . Puesto que z0 se eligió arbitrariamente, w es continua en C. Proposición 73. Si w1 , . . . , wn son transformaciones contractivas de C en C y B ∈ H, entonces w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B) ∈ H. 24

Demostración. Puesto que B es compacto no vacío y que para cada j ∈ {1, . . . , n}, wj es continua (lema 72), cada wj (B) es compacto no vacío (teorema 50), de donde w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B) es no vacío, y compacto pues es unión finita de conjuntos cerrados y acotados (teorema 9). La transformación W definida más arriba no sólo está bien definida en H, sino que, más aún, es contractiva. Lema 74. Sean A, B, C, D ∈ H. Entonces, h (A ∪ B, C ∪ D) ≤ m´ax {h (A, C) , h (B, D)} Demostración. Notemos que dc (A ∪ B, C) = sup {dp (z0 , C) : z0 ∈ A ∪ B} = m´ax {sup {dp (z0 , C) : z0 ∈ A} , sup {dp (z0 , C) : z0 ∈ B}} = m´ax {dc (A, C) , dc (B, C)} Luego, teniendo presente la proposición 68, h (A ∪ B, C ∪ D) = m´ax {dc (A ∪ B, C ∪ D) , dc (C ∪ D, A ∪ B)} = m´ax {m´ax {dc (A, C ∪ D) , dc (B, C ∪ D)} , m´ax {dc (C, A ∪ B) , dc (D, A ∪ B)}} = m´ax {dc (A, C ∪ D) , dc (B, C ∪ D) , dc (C, A ∪ B) , dc (D, A ∪ B)} ≤ m´ax {dc (A, C) , dc (B, D) , dc (C, A) , dc (D, B)} = m´ax {m´ax {dc (A, C) , dc (C, A)} , m´ax {dc (B, D) , dc (D, B)}} = m´ax {h (A, C) , h (B, D)} como queríamos demostrar. Teorema 75. Si w1 , . . . , wn son transformaciones contractivas de C en C, con factores de contractividad s1 , . . . , sn respectivamente, entonces la transformación W : H→H W (B) = w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B) es contractiva en (H, h), siendo m´ax {s1 , . . . , sn } un factor de contractividad para W . Demostración. Por inducción en n ≥ 1. 1. Caso n = 1: Sean B, C ∈ H. Entonces, dc (W (B) , W (C)) = sup {´ınf {|w1 (b) − w1 (c)| : c ∈ C} : b ∈ B} ≤ sup {´ınf {s1 |b − c| : c ∈ C} : b ∈ B} = s1 · dc (B, C) y similarmente dc (W (C) , W (B)) ≤ s1 · dc (C, B), así que h (W (B) , W (C)) ≤ m´ax {s1 · dc (B, C) , s1 · dc (C, B)} = s1 · m´ax {dc (B, C) , dc (C, B)} = s1 h (B, C) 25

2. Paso inductivo: supongamos que hay n + 1 transformaciones contractivas w1 , . . . , wn+1 . Designemos por T a la transformación de H en H dada por T (B) = w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B). Por hipótesis de inducción, T es contractiva con factor s = m´ax {s1 , . . . , sn }. Sean B, C ∈ H. Entonces, teniendo presente el lema 74, h (W (B) , W (C)) = ≤ ≤ ≤ =

h (T (B) ∪ wn+1 (B) , T (C) ∪ wn+1 (C)) m´ax {h (T (B) , T (C)) , h (wn+1 (B) , wn+1 C)} m´ax {s · h (B, C) , sn+1 h (B, C)} m´ax {s, sn+1 } h (B, C) m´ax {s1 , . . . , sn , sn+1 } h (B, C)

completando así la demostración.

Ya estamos en condiciones de demostrar que el proceso iterativo de un SFI converge a un único conjunto, independientemente del conjunto inicial. Teorema 76. Sea {w1 , . . . , wn } un sistema de funciones iteradas. Existe un único conjunto A compacto no vacío, denominado el atractor del sistema, tal que para cualquier conjunto B0 ∈ H, la sucesión {B0 , B1 , B2 , . . .} definida por Bk = w1 (Bk−1 ) ∪ · · · ∪ wn (Bk−1 ) para todo k > 0, converge a A en el espacio métrico (H, h). Demostración. Del teorema 75, sabemos que W es una contracción en el espacio métrico completo (H, h). Entonces, por el Teorema del Punto Fijo de las Transformaciones Contractivas, existe un único A ∈ H tal que W (A) = A, y l´ımk→∞ W [k] (B0 ) = A cualquiera sea B0 ∈ H. Por construcción, la sucesión {B0 , B1 , B2 , . . .} cumple que su k-ésimo término (k > 0) es Bk = W (Bk−1 ), y de allí que Bk = W [k] (B0 ). Luego, l´ımk→∞ Bk = A, cualquiera sea B0 ∈ H. Una consecuencia del resultado anterior es que el atractor A del SFI {w1 , . . . , wn } satisface A = w1 (A) ∪ · · · ∪ wn (A) de donde se ve que si las wj son similitudes, entonces el atractor puede verse compuesto de n copias más pequeñas de sí mismo, es decir, goza de la propiedad de autosemejanza. EJERCICIOS 1. Considerar I = {1, 2, 3}. Sean A1 = {a, b, c, d}, A2 = {e, d, b, f, g} y A3 = {d, S e, h}, considerando que el conjunto universal es U = {a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}. Obtener i∈I Ai , T S T c c i∈I Ai , i∈I Ai y i∈I Ai . S T 2. Para x ∈ R, se define Ax = {x, π} en el universo de los reales. Obtener x∈R Ax , x∈R Ax .

3. Para n ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}, se definen, en el universo de los reales,   1 1 2 1 An = {x ∈ R : −1 ≤ x < n} Bn = x ∈ R : − 0 : Br (x) ⊂ E}. a) Mostrar que E es abierto si, y sólo si, E = E ◦ . b) Mostrar que si A ⊂ E y A es abierto, entonces A ⊂ E ◦ . c) Demostrar que E c = (E ◦ )c .

13.

a) Mostrar que ∂E = E ∩ E c = E − E ◦ .

b) Probar que (∂E)c = E ◦ ∪ (E c )◦ , que E = E ∪ ∂E y que E ◦ = E − ∂E

14. Para cada i ∈ N, considérese definido un conjunto Ai de un espacio métrico X. Probar que, para cualquier n ∈ N, n [

Ai =

i=0

n [

∞ [

Ai

i=0

i=0

Ai ⊃

∞ [

Ai

i=0

Mostrar, mediante un ejemplo, que la última inclusión puede ser estricta. 15. Sea (X, d) un espacio métrico y S ⊂ X. Mostrar que S es denso en X si, y sólo si, para cada x ∈ X y cada r > 0, Br (x) contiene al menos un punto de S. 16. Sea K = {0} ∪ {(n + 1)−1 : n ∈ N}. Mostrar que K es un subconjunto compacto de R con la métrica euclídea, utilizando la definición de compacidad. 17. En el espacio de los reales con la métrica euclídea, mostrar que el intervalo (0, 1) no es compacto, dando un ejemplo de cubrimiento por abiertos que no posea subcubrimiento finito. 18. Demuestre que a) En cualquier espacio métrico: 1) Todo conjunto finito es cerrado. 2) Todo conjunto finito es compacto. b) En un espacio métrico discreto 1) Todo conjunto es abierto y cerrado. 2) Ningún conjunto tiene puntos de acumulación. 3) Ningún conjunto es conexo, a menos que sea unitario. 19.

a) En el espacio R2 con la métrica euclídea, dé un ejemplo de una familia decreciente de conjuntos acotados (no vacíos) cuya intersección sea vacía. b) Ídem para conjuntos cerrados.

20. Sea E = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. 28

a) ¿Es E compacto en el espacio de los reales con la métrica euclídea? b) ¿Es E compacto en el espacio de los reales con la métrica discreta? 21. En el espacio métrico de los racionales con la métrica euclídea, considerar E = {x ∈ Q : 2 < x2 < 3}. Mostrar que E es cerrado y acotado, pero no compacto. ¿Es E abierto en Q? 22. Sea X = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}, con la métrica euclídea, y E el subconjunto de todos los números de X cuya parte decimal tiene infinitos dígitos que son sólo 2 o 3. ¿Es E denso? ¿Es E compacto? 23. Encontrar el conjunto de puntos de acumulación de la sucesión {xn } ⊂ R2 definida como sigue:  −1  (n , (−1)n + n−1 ) si ∃k ∈ N : n = 3k (3(−1)n , 2) si ∃k ∈ N : n = 3k + 1 xn =  ((−5)(−1)n , 3 + 2−n ) si ∃k ∈ N : n = 3k + 2

24. En el espacio métrico del ejercicio 7d , se definen las sucesiones {x(n) }n∈N , {y (n) }n∈N mediante:   1 si n es factor de i 0 si n e i son ambos pares (n) (n) xi = yi = 0 en otro caso 1 en otro caso Calcular l´ımn→∞ x(n) , verificándolo por definición, y demostrar que {y (n) }n∈N no es convergente. Especificar los puntos de acumulación de ambas sucesiones.

25. Demostrar que cualquier sucesión {xn } de números reales satisface l´ım inf xn ≤ l´ım sup xn y que la igualdad vale si, y sólo si, la sucesión converge. 26. Sean {xn } e {yn } dos sucesiones de números reales. Mostrar que l´ım sup(xn + yn ) ≤ l´ım sup xn + l´ım sup yn (siempre que el lado derecho no sea de la forma ∞ − ∞). A través de un ejemplo, mostrar que la desigualdad puede ser estricta. 27. Mostrar que si f es una función continua del espacio métrico compacto X en el espacio métrico Y , y K es un subconjunto compacto de Y , entonces f −1 (K) es un subconjunto compacto de X. 28. Sea (X, d) un espacio métrico, y a un punto de X. Se define la función f del espacio métrico (X, d) en el espacio métrico (R, euclidea) mediante f (x) = d(x, a). Mostrar que f es continua. 29. En el espacio métrico del ejercicio 7d , se define la función σ : X → X de la siguiente forma: σ ({xn }n∈N ) = {xn+1 }n∈N . Por ejemplo, σ(011101110111 . . .) = 11101110111 . . . Mostrar que σ es continua y sobreyectiva, pero no inyectiva. 30. Sean (X, dX ) y (Y, dY ) espacios métricos, f : X → Y , y S ⊂ X. Se dice que f es uniformemente continua en S si ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ S, ∀w ∈ X, dX (x, w) < δ ⇒ dY (f (z), f (w)) < ε Es decir, en la continuidad uniforme, fijado ε, se obtiene δ que sirve para todo x ∈ S. Obviamente, toda función uniformemente continua en S es continua en S, pero la recíproca no es cierta en general. Probar que si S es compacto y f es una función continua en S, entonces f es uniformemente continua en S. 29

31. Sea X = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 31 } con la métrica euclídea. Probar que la función dada por f (x) = x2 + 15 es una contracción en X. ¿Es f una contracción en R? A mano o con ayuda de calculadora científica, obtener los diez primeros términos de la q   1 1 1 órbita de 0, de 5 , de 3 y de 1 − 5 /2.

32. Sea (X, d) un espacio métrico completo, x un punto cualquiera de X, y f una contracción en X, con factor de contracción s. Probar que f es una función continua en x.
Demostrar que para cualquier n ∈ N, es d f [n] (x), f [n+1] (x) ≤ sn d(x, f (x)). Mostrar que para cualquier n ∈ N, es


d (x, f (x)) d x, f [n] (x) ≤ 1−s

(Sugerencia: hacer triangulación con f (x), f [2] (x), . . . , f [n−1] (x) y aplicar el inciso anterior)  Demostrar que f [n] (x) n∈N es una sucesión de Cauchy, y por lo tanto tiene límite que llamaremos xF . Mostrar que xF es un punto fijo de f .

Probar que si y ∈ X satisface que f (y) = y, entonces y = xF . Observar que queda demostrado el Teorema del Punto Fijo de las transformaciones contractivas.

30