Facultad de Ciencias Naturales y Exactas Universidad del Valle

Facultad de Ciencias Naturales y Exactas Universidad del Valle DIFERENCIA ENTRE SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA DESDE UNA PERSPECTIVA HISTÓRICA1

Aura Lucía Quintero María Judith Molavoque DIFERENCIA ENTRE SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD Secretaría de Educación Distrital de Bogotá Secretaría de Educación Distrital de Bogotá GEOMÉTRICA DESDE UNA PERSPECTIVA HISTÓRICA 1 Edgar Alberto Guacaneme Universidad Pedagógica Nacional Aura Lucia Quintero María Judith Molavoque Edgar Alberto Guacaneme Recibido: mayo 15, 2012 Aceptado: agosto 3, 2012 Universidad Pedagógica Nacional

Pág. 75-85

Resumen Resumen Analizar la teoría contenida en los Libros V yy VI VI de de Elementos Elementos de de Euclides Analizar la teoría contenida en los Libros V Euclides permite permite advertir advertir que si bien allí se expresan definiciones y proposiciones sobre la semejanza geométrica, la proporque si bien allí se expresan definiciones y proposiciones sobre la semejanza geométrica, la cionalidad geométrica no se reduce a esta. En este En contexto teórico, teórico, la semejanza es una relación proporcionalidad geométrica no se reduce a esta. este contexto la semejanza es una entre figuras en tanto que proporcionalidad geométricageométrica alude a relaciones, segundo relación entrerectilíneas, figuras rectilíneas, en la tanto que la proporcionalidad alude a de relaciones, orden, entre relaciones de magnitudes geométricas homogéneas. No obstante esta caracterización de segundo orden, entre relaciones de magnitudes geométricas homogéneas. No obstante esta que les diferencia, una interesante entre estas. caracterización queexiste les diferencia, existe relación una interesante relación entre estas. Palabras y frases claves:claves: semejanza, proporcionalidad geométrica,geométrica, historia de las matemáticas, Palabras y frases semejanza, proporcionalidad historia de las Euclides. matemáticas, Euclides. Abstract Abstract Analyzethe the theory theory contained in the reveal that while in Analyze the Books BooksVVand andVI VIofofEuclid’s Euclid'sElements Elementstoto reveal that while these areare expressing definitions andand propositions on the similarity, geometric proportionality is not in these expressing definitions propositions on the similarity, geometric proportionality is limited to it.toInit.this context, the similarity is a relation between rectilinear figures, while not limited In theoretical this theoretical context, the similarity is a relation between rectilinear figures, geometric proportionality refers to relations on relations betweenbetween homogeneous geometrical magniwhile geometric proportionality refers to relations on relations homogeneous geometrical magnitudes. this characterization unlike there is an interesting relationship tudes. DespiteDespite this characterization that unlikethat them, therethem, is an interesting relationship between them. between them. Keywords: similarity, geometric proportionality, history of mathematics, Euclid. Keywords: similarity, geometric proportionality, history of mathematics, Euclid.

11 Introducción Introducción En el marco de la Maestría en Docencia de la Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional, desarrollamos un trabajo de grado [1] a través del cual exhibimos el tratamiento que de la proporcionalidad geométrica se hace en algunos libros de texto de la Educación Básica. Tal empresa académica inicialmente nos llevó a preguntarnos qué es la proporcionalidad geométrica, qué es la semejanza geométrica y de qué manera estas se relacionan. La búsqueda de respuestas satisfactorias a estas cuestiones, aparentemente triviales, aunada a una valoración de las teorías matemáticas y de la Historia de las Matemáticas como fuentes de respuesta a preguntas sobre los objetos 1 Una versión preliminar de este documento se presentó como ponencia en el IV Encuentro de matemáticos, nos condujo a estudiar los Libros V y VI de Elementos de Euclides [2], en programas de formación inicial de profesores de Matemáticas & V Seminario de Matemática tanto presentan una teoría de la proporcionalidad geométrica, que si bien data de hace Educativa. Fundamentos de la Matemática Universitaria, evento llevado a cabo en Bogotá, del 20 al 22 de octubre de 2011. 1

Una versión preliminar de este documento se presentó como ponencia en el IV Encuentro de programas formación inicial de profesores de Matemáticas & V Seminario de Matemática 75 Volumen 16,dediciembre 2012 Educativa. Fundamentos de la Matemática Universitaria, evento llevado a cabo en Bogotá, del 20 al 22 de octubre de 2011.

Pedagógica Nacional, desarrollamos un trabajo de grado [1] a través del cual exhibimos el tratamiento que de la proporcionalidad geométrica se hace en algunos libros de texto de la Educación Básica. Tal empresa académica inicialmente nos llevó a preguntarnos A. Quintero, M. Molavoque y E. Guacaneme Revista de Ciencias qué es la proporcionalidad geométrica, qué es la semejanza geométrica y de qué manera estas se relacionan. La búsqueda de respuestas satisfactorias a estas cuestiones, aparentemente triviales, aunada a una valoración de las teorías matemáticas y de la Historia de las Matemáticas como fuentes de respuesta a preguntas sobre los objetos matemáticos, nos condujo a estudiar los Libros V y VI de Elementos de Euclides [2], en tanto presentan una teoría de la proporcionalidad geométrica, que si bien data de hace más más de de una una veintena veintena de de siglos, siglos, ofrece ofrece una una información información importante importante para para la la distinción distinción entre semejanza y proporcionalidad geométrica. más de una veintena de siglos, ofrece una información importante para la distinción entre semejanza y proporcionalidad geométrica. 1más de una veintena de siglos, ofrece una información importante para la distinción Unade versión preliminar de siglos, este documento se presentó como importante ponencia en para el IV la Encuentro de más una veintena de ofrece una información distinción entre semejanza y proporcionalidad geométrica. entre y proporcionalidad geométrica. Ensemejanza lo que que sigue, coninicial el ánimo ánimo de compartir las aproximaciones aproximaciones logradas con otros otros En lo sigue, con el de compartir las logradas con programas de formación de profesores de Matemáticas & V Seminario de Matemática entre semejanza y proporcionalidad geométrica. profesores interesados en estas cuestiones, cuestiones, bajo la esperanza esperanza de que en estas puedan En sigue, el de las con otros Educativa. Fundamentos de en Matemática Universitaria, evento llevado de a logradas cabo Bogotá, del profesores ee interesados estas yy bajo la que estas En lo lo que que sigue, con con ella ánimo ánimo de compartir compartir las aproximaciones aproximaciones logradas conpuedan otros En lo que sigue, con el ánimo de compartir las aproximaciones logradas con otros brindarles mejores niveles de conciencia frente a su conocimiento sobre los objetos profesores e interesados en estas cuestiones, y bajo la esperanza de que estas puedan 20 al 22 de octubre de niveles 2011. en de brindarles mejores conciencia frente a sulaconocimiento los objetos profesores e interesados estas cuestiones, y bajo esperanza de sobre que estas puedan profesores e interesados en de estas cuestiones, y yybajo esperanza de sobre que estas puedan matemáticos, sintetizaremos el trabajo trabajo realizado lossu asuntos centrales de los los resultados brindarles mejores niveles conciencia frente aalos conocimiento los objetos matemáticos, sintetizaremos el realizado asuntos centrales de resultados brindarles mejores niveles de conciencia frente sula conocimiento sobre los objetos brindarles nivelesinicialmente de conciencia frenteyy alos conocimiento sobre objetos alcanzados.mejores Para ello, inicialmente presentaremos algunas generalidades de la la matemáticos, sintetizaremos el realizado centrales de resultados alcanzados. Para ello, presentaremos algunas generalidades de matemáticos, sintetizaremos el trabajo trabajo realizado lossuasuntos asuntos centrales de los loslos resultados matemáticos, sintetizaremos el trabajo realizado y los asuntos centrales de los resultados proporcionalidad en los libros citados, para luego concentrarnos en el estudio del Libro alcanzados. Para ello, inicialmente presentaremos algunas generalidades de la proporcionalidad los libros citados, para luego concentrarnos el estudio del de Libro alcanzados. Paraenello, inicialmente presentaremos algunas engeneralidades la alcanzados. inicialmente presentaremos algunas en VI ee intentar intentarPara establecer así lacitados, diferencia entre la proporcionalidad geométrica proporcionalidad enello, los libros libros citados, para luego la concentrarnos engeneralidades el estudio estudio del de Libro VI establecer así la diferencia entre proporcionalidad geométrica yy la la proporcionalidad en los para luego concentrarnos el del Libro proporcionalidad en los libros citados, para luego concentrarnos en el estudio del Libro semejanza. VI e intentar establecer así la diferencia entre la proporcionalidad geométrica y semejanza. VI e intentar establecer así la diferencia entre la proporcionalidad geométrica y la la VI e intentar establecer así la diferencia entre la proporcionalidad geométrica y la semejanza. semejanza. semejanza. 22 Proporcionalidad Proporcionalidad geométrica geométrica en en elementos elementos 22 Proporcionalidad geométrica en elementos Proporcionalidad geométrica Sin lugar lugar aa duda, duda, los los Libros V V yyenVI VIelementos de Elementos Elementos constituyen constituyen uno uno de de los los hitos hitos de de la la Sin Libros de 2 Proporcionalidad geométrica en elementos historia de la proporcionalidad geométrica; la teoría hipotético-deductiva allí expuesta, Sin lugar a duda, los Libros V y VI de Elementos constituyen uno de los hitos de la historia de la proporcionalidad geométrica; la teoría hipotético-deductiva allí expuesta, Sin lugar a duda, los Libros V y VI de Elementos constituyen uno de los hitos de la duda,yylosorganizó Libros geométrica; Vun de Elementos constituyen unosino de los hitos de la historia de la aproporcionalidad proporcionalidad geométrica; la teoría teoría hipotético-deductiva allí expuesta, no Sin sololugar recapituló organizó uny VI abundante legado matemático, sino que durante no solo recapituló abundante legado matemático, que durante historia de la la hipotético-deductiva allí expuesta, historia de la proporcionalidad geométrica; la teoría hipotético-deductiva allí expuesta, no solo recapituló y organizó un abundante legado matemático, sino que durante muchos siglos fue acicate y guía en la construcción de conocimiento matemático. muchos fue acicate y guía en construcción de conocimiento no solo siglos recapituló y organizó un laabundante legado matemático,matemático. sino que durante no solo recapituló y organizó un abundante legado matemático, sino que durante muchos siglos fue acicate y guía en la construcción de conocimiento matemático. muchos fue acicate y guía en de conocimiento Comosiglos lo reseña reseña Guacaneme [3],la elconstrucción Libro V V presenta presenta una teoría teoría matemático. generalizada de de las las Como lo Guacaneme [3], Libro una generalizada muchos siglos fue acicate y guía en lael construcción de conocimiento matemático. Comoyylo loproporciones, reseña Guacaneme Guacaneme [3], el elque Libro V presenta presenta una teoría teoría generalizada de las las razones proporciones, en tanto tanto que elabora un discurso discurso para las magnitudes magnitudes razones en elabora un para las Como reseña [3], Libro V una generalizada de Como lo reseña Guacaneme [3], el Libro V presenta una teoría generalizada de las razones y proporciones, en tanto que elabora un discurso para las magnitudes geométricas euclidianas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular), o de manera geométricas euclidianas (longitud, volumen, amplitud angular), de manera razones y proporciones, en tantosuperficie, que elabora un discurso para las omagnitudes razones y proporciones, en tanto que un discurso para las oode magnitudes más precisa precisa para las las cantidades cantidades de tales elabora magnitudes, sin aludir aludir una de ellas en geométricas euclidianas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular), deellas manera más para de tales magnitudes, sin aa una en geométricas euclidianas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular), de manera geométricas euclidianas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular), o de manera más precisayy para para las cantidades cantidades de tales tales magnitudes, sin aludir aludirla una de de de ellastales en específico sin incorporar incorporar por ello ello números que representen representen laaa medida medida de tales específico sin por números que más precisa las de magnitudes, sin una ellas en más precisa para las cantidades de tales magnitudes, sin aludir a una de ellas en específico y sin incorporar por ello números que representen la medida de tales cantidades de magnitud. En este libro no se alude a la semejanza geométrica, motivo por cantidades de magnitud. En este se alude aque la semejanza geométrica, por específico y sin incorporar porlibro ellononúmeros representen la medidamotivo de tales específico y sin incorporar porlibro ello representen la medidamotivo de tales cantidades de magnitud. Enreferencia este libro no se alude aaque la semejanza semejanza geométrica, motivo por el cual cual no no haremos haremos mayorEn referencia sunúmeros contenido. el mayor aano su contenido. cantidades de magnitud. este se alude la geométrica, por cantidades de magnitud. En este libro no se alude a la semejanza geométrica, motivo por el cual cual no no haremos haremos mayor mayor referencia referencia aa su su contenido. contenido. el El Libro Libro VI, por por su parte, parte, expresa en su conjunto conjunto una una teoría teoría para para figuras figuras yy sus sus El VI, su expresa su el cual no haremos mayor referencia a su en contenido. cantidades deVI, magnitudes geométricas específicas. Es precisamente precisamente en el marco marco deyy esta esta El Libro Librode VI, por su su parte, parte, expresaespecíficas. en su su conjunto conjunto una teoría teoría en para figurasde sus cantidades magnitudes geométricas Es el El por expresa en una para figuras sus El Libro VI, por su parte, expresa en su conjunto una teoría para figuras y sus cantidades de magnitudes geométricas específicas. Es precisamente en el marco de esta en donde se encuentra la referencia a la semejanza entre figuras rectilíneas; de manera en donde se encuentra la referencia a la semejanza entre figuras rectilíneas; de manera cantidades de magnitudes geométricas específicas. Es precisamente en el marco de esta cantidades deencuentra magnitudes geométricas precisamente en el marco de esta en dondeyy se se encuentra la puede referencia laespecíficas. semejanza entre figuras rectilíneas; de manera manera general preliminar sela puede señalar que en este esteEs libro aparecen proposiciones que general preliminar se señalar que en libro aparecen proposiciones que en donde referencia aa la semejanza entre figuras rectilíneas; de en donde se encuentra la referencia a la semejanza entre figuras rectilíneas; de manera general y preliminar se puede señalar que en este libro aparecen proposiciones que establecen proporciones entre razones de cantidades de magnitud geométrica específica establecen proporciones cantidades magnitud geométrica específica general y preliminar se entre puederazones señalardeque en este de libro aparecen proposiciones que general y preliminar se entre puede señalarde en este de libro aparecen proposiciones que proporciones entre razones deque cantidades de magnitud geométrica específica y proposiciones proposiciones referidas la razones semejanza, establecida través de geométrica la primera primera definición yestablecen referidas aa la semejanza, establecida aa magnitud través de la definición establecen proporciones cantidades específica establecen proporciones entre razones de cantidades de magnitud geométrica específica y proposiciones referidas a la semejanza, establecida a través de la primera definición del Libro VI, algunas de las cuales hoy en día identificamos como criterios de Libro VI, algunas cuales hoy en día identificamos de ydelproposiciones referidasdea lalassemejanza, establecida a través de la como primeracriterios definición ydel proposiciones referidas a la semejanza, establecida a través de la primera definición semejanzas entre triángulos. Veamos con más detalle el contenido del libro en cuestión, del Libro VI, algunas de las cuales hoy en día identificamos como criterios de semejanzas entrealgunas triángulos. conhoy másen detalle contenido delcomo libro criterios en cuestión, Libro VI, de Veamos las cuales día el identificamos de del Libro VI, algunas de las cuales hoy en día identificamos como criterios de semejanzas entre triángulos. Veamos con más detalle el contenido contenido del del geométrica libro en en cuestión, cuestión, no sin sin antes antesentre resaltar el hecho hechoVeamos de que quecon tanto para la proporcionalidad proporcionalidad geométrica como no resaltar el de tanto para la como semejanzas triángulos. más detalle el libro semejanzas entre triángulos. Veamos con más detalle el contenido del libro en cuestión, no sin antes resaltar el hecho de que tanto para la proporcionalidad geométrica como para la semejanza existe un tratamiento cuantitativo no numérico y que por tanto en parasinlaantes semejanza un tratamiento no numérico ygeométrica que por tanto en no resaltarexiste el hecho de que tantocuantitativo para la proporcionalidad como no sin antes resaltar el hecho de que tanto para la proporcionalidad geométrica como para la semejanza existe un tratamiento cuantitativo no numérico y que por tanto en esto no radica la diferencia fundamental. esto no la diferencia para la radica semejanza existe fundamental. un tratamiento cuantitativo no numérico y que por tanto en para la semejanza existe un tratamiento cuantitativo no numérico y que por tanto en esto no radica la diferencia fundamental. esto no radica la diferencia fundamental. esto no radica la diferencia fundamental. Proporcionalidad geométrica semejanza en en el el Libro Libro VI VI de de elementos elementos 33 Proporcionalidad geométrica yy semejanza 33 Proporcionalidad geométrica y semejanza en el Libro VI de elementos Proporcionalidad geométricadey Euclides semejanza en el Librocinco VI dedefiniciones, elementos treinta y En el Libro Libro VI VI de de Elementos Elementos encontramos En el encontramos 3 Proporcionalidad geométricadey Euclides semejanza en el Librocinco VI dedefiniciones, elementos treinta y tresEn proposiciones dos porismas.de Para analizar su contenido contenido develar los significados significados En el Libro Libro VI VI yyde dedos Elementos dePara Euclides encontramos cinco definiciones, treinta yy tres proposiciones porismas. analizar su yy develar los el Elementos Euclides encontramos cinco definiciones, treinta En el Libro VI de Elementos de Euclides encontramos cinco definiciones, treinta tres proposiciones y dos porismas. Para analizar su contenido y develar los significados de laproposiciones proporcionalidad geométrica la semejanza, semejanza, siguiendo las directrices del análisis análisisy de proporcionalidad yy la directrices del tresla y dosgeométrica porismas. Para analizar su siguiendo contenido las y develar los significados tres y dosgeométrica porismas. Para analizar su siguiendo contenido y develar losanalítico significados de la laproposiciones proporcionalidad geométrica la semejanza, semejanza, siguiendo las directrices del análisis análisis del Libro V realizado realizado por Guacaneme Guacaneme [3], como esquema las del Libro V por [3], usamos usamos como esquema analítico las de proporcionalidad yy la las directrices del de la proporcionalidad geométrica y la semejanza, siguiendo las directrices del análisis del Libro V realizado por Guacaneme [3], usamos como esquema analítico las categorías de la Teoría de los Significados Sistémicos (TSS), a saber: Situaciones categorías Teoría por de los Significados (TSS),esquema a saber:analítico Situaciones del Libro de V la realizado Guacaneme [3],Sistémicos usamos como las del Libro de V realizado por Guacaneme [3],Sistémicos usamos como esquema las categorías la Teoría de Significados (TSS), aa saber: Situaciones problemas oo tareas matemáticas, lenguaje matemático, conceptos oo analítico definiciones, problemas tareas matemáticas, lenguaje matemático, conceptos definiciones, categorías de la Teoría de los los Significados Sistémicos (TSS), saber: Situaciones categorías de la Teoría de los Significados a saber: Situaciones problemas oo procedimientos tareas matemáticas, lenguaje matemático, conceptos oo definiciones, propiedades, yy argumentos. propiedades, procedimientos argumentos. problemas tareas matemáticas, lenguaje Sistémicos matemático,(TSS), conceptos definiciones, problemas o tareas matemáticas, lenguaje matemático, conceptos o definiciones, propiedades, procedimientos y argumentos. propiedades, procedimientos y argumentos. propiedades, procedimientos y argumentos. 76

En el Libro VI de Elementos de Euclides encontramos cinco definiciones, treinta y tres proposiciones y dos porismas. Para analizar su contenido y develar los significados de la proporcionalidad geométrica y la semejanza, siguiendo las directrices del análisis Diferencia entre semejanza y proporcionalidad geométrica del Libro V realizado por Guacaneme [3], usamos como esquema analítico las categorías de la Teoría de los Significados Sistémicos (TSS), a saber: Situaciones problemas o tareas matemáticas, lenguaje matemático, conceptos o definiciones, propiedades, procedimientos y argumentos. 3.1 Situaciones problemas o tareas matemáticas 3.1 Situaciones problemas o tareas matemáticas proposiciones y porismas Libro VI, se pueden dividir en dos grupos: 3.1 Las Situaciones problemas o tareasdel matemáticas Las proposiciones ypor porismas del(proposiciones Libro VI, se 1,pueden veintitrés proposiciones demostrar 2, 3, 4,dividir 5, 6, 7,en8,dos 14, grupos: 15, 16, 3.1 Situaciones problemas o tareas matemáticas veintitrés proposiciones demostrar 2, 3,problemas 4,dividir 5, 6, 7,en 8,dos 14, 15, 16,o Las proposiciones ypor porismas del(proposiciones Libro VI, sey 1,pueden grupos: 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 31, 32, 33) diez por resolver 3.1 19, Situaciones problemas o tareas matemáticas 17, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 31, 32, 33) y diez problemas por resolver veintitrés proposiciones por demostrar (proposiciones 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16,o Las proposiciones y porismas del Libro VI, se pueden dividir en dos grupos: construcciones (proposiciones : 9, 10, 11, 12, 13, 18, 25, 28, 29, 30); su identificación construcciones (proposiciones : 9, 10, 11, 12, 13, 18, 25, 28, 29, 30); su identificación 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 31, 32, 33) y diez problemas por resolver Las proposiciones porismas della(proposiciones Libro VI, alsefinal veintitrés proposiciones demostrar 1,pueden 2,de3, la4,dividir 5, 6, 7,en8,dos 14, 15,sigla 16,o en la obra euclidiana seypor favorece por inclusión proposición de grupos: la en la obra euclidiana se favorece por la inclusión al final de la proposición de la sigla construcciones : 9, 10, 11, 12, 25, 29, supor identificación veintitrés proposiciones (proposiciones 1,diez 2,28, 3,problemas 4, 5,30); 6, 7, 8, 14, 15, 16,o 17, 19, y20, 21,(proposiciones 22, 23,por 24,demostrar 26, 27,las 31,cuales 32,13, 33) resolver Q.E.D. Q.E.F, respectivamente, se18,ypueden interpretar como “queda Q.E.D. y Q.E.F, respectivamente, las cuales se pueden interpretar como “queda en la obra euclidiana se favorece por la inclusión al final de la proposición de la sigla 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 31, 32, 33) y diez problemas por resolver o construcciones (proposiciones : 9, 10, 11, 12, 13, 18, 25, 28, 29, 30); su identificación entonces demostrado” o “queda entonces hecho”, respectivamente relacionadas con las entonces demostrado” o “queda entonces hecho”, respectivamente relacionadas con las Q.E.D. y Q.E.F, respectivamente, las cuales se pueden interpretar como “queda construcciones (proposiciones : 9, 10, 11, 12, 13, 18, 25, 28, 29, 30); su identificación en la obra euclidiana se favorece por la inclusión al final de la proposición de la sigla expresiones hóper édei deîxaí y hóper édei poiésaí, reportadas por Puertas [2]. expresiones hóper édei y hóper édei poiésaí, porproposición Puertas [2].de la entonces “queda entonces hecho”, relacionadas con las en la obra euclidiana seodeîxaí favorece porlas la inclusión alreportadas final de interpretar la sigla Q.E.D. ydemostrado” Q.E.F, respectivamente, cuales serespectivamente pueden como “queda La tarea fundamental de las proposiciones por demostrar es, naturalmente, la expresiones hóper édei y hóper édeicuales poiésaí, reportadas por Puertas [2]. con Q.E.D. ydemostrado” Q.E.F, respectivamente, las serespectivamente pueden interpretar como “queda entonces odeîxaí “queda entonces hecho”, relacionadas las La tarea fundamental de las proposiciones por demostrar es, naturalmente, la elaboración de pruebas que exhiban la deducción de los enunciados de cada proposición entonces demostrado” o “queda entonces hecho”, respectivamente relacionadas con las expresiones hóper édei deîxaí y hóper édei poiésaí, reportadas por Puertas [2]. elaboración pruebas que exhiban la deducción depor los demostrar enunciadoses, de cada proposición La tarea fundamental de las proposiciones naturalmente, la aexpresiones partir de lasde anteriores proposiciones. hóper édei deîxaí y hóper édei poiésaí, reportadas por Puertas [2]. a partir de lasde anteriores proposiciones. elaboración pruebas que exhiban la deducción depor los demostrar enunciadoses, de cada proposición La tarea fundamental de las proposiciones naturalmente, la Los problemas por que resolver aluden a cuestiones como: la construcción de figuras a partir de las anteriores proposiciones. La tarea de las proposiciones demostrar es, naturalmente, la elaboración defundamental pruebas exhiban la deducción depor los enunciados de cada proposición Los problemas por resolver aluden a cuestiones como: la construcción deque figuras rectilíneas semejantes (proposiciones 18 y 25), ladeconstrucción de segmentos sean de pruebas que exhiban la deducción los enunciados de cada proposición aelaboración partir de las anteriores proposiciones. rectilíneas semejantes 25), la construcción de segmentos que sean Los tercera problemas por(proposiciones resolver aluden18(proposiciones aycuestiones como: la construcción figuras o cuarta proporcional 11, 12, 13), quitar de una parte amedia, partir de las anteriores proposiciones. media, tercera o cuarta proporcional (proposiciones 11, 12, 13), quitar una parte rectilíneas semejantes ycuestiones 25), la construcción de seana Los problemas por(proposiciones resolver aluden18a9), la construcción deque figuras específica de un segmento (proposición dividir uncomo: segmento de segmentos manera semejante específica de un segmento (proposición 9), dividir un segmento de manera semejante media, tercera o cuarta proporcional (proposiciones 11, 12, 13), quitar una parte Los problemas por resolver aluden a cuestiones como: la construcción de figuras rectilíneas semejantes (proposiciones 18 y 25), la construcción de segmentos que sean otro segmento dividido o en extrema y media razón (proposiciones 10 y 30) o aplicar aa otro segmento dividido o en extrema y18media razón 10 y los 30)semejante ouna aplicar específica de un (proposición 9), dividir un segmento de manera rectilíneas semejantes (proposiciones y 25), la de segmentos que seana media, tercera osegmento cuarta proporcional (proposiciones 11, Al12,observar 13), quitar parte un segmento un paralelogramo (proposiciones 28construcción y(proposiciones 29). enunciados un segmento un paralelogramo (proposiciones 28 y 29). Al observar los enunciados otro segmento dividido extrema y media razónun (proposiciones 10 y 30) ouna aplicar media, tercera osegmento cuartao en proporcional (proposiciones 11,puede 12, de 13), quitar parte específica (proposición 9),deldividir segmento manera semejante (prótasis) de un los problemas por resolver Libro VI se advertir que solo tresa (prótasis) de los problemas por resolver del Libro VI se puede advertir que solo tresa un segmento un paralelogramo (proposiciones 28 y 29). Al observar los enunciados específica un segmento (proposición 9), dividir un segmento de manera semejante otro segmento dividido o en extrema y media razón (proposiciones 10 y 30) o aplicar incorporan el término “semejante”; dos de ellas lo usan para referirse a “figura 2 resolver 3dos incorporan el término “semejante”; de ellas lo usan para referirse a “figura (prótasis) de los problemas por del Libro VI se puede advertir que solo tresa otro segmento dividido o en extrema y media razón (proposiciones 10 y 30) o aplicar un segmento un paralelogramo (proposiciones 28 y 29). Al observar los enunciados semejante” (proposiciones 182 y 253) y dos para referirse a “manera semejante” 4 y 25 ) y dos para referirse a “manera semejante” semejante” (proposiciones 18 incorporan el término “semejante”; dos de ellas lo usan para referirse a “figura un segmento un (proposiciones 28 yVI Aluna observar enunciados (prótasis) de los problemas por la resolver del Libro se puede advertirlosque solo tres y 18); si bien primera expresión sí29). tiene definición explícita en (proposiciones 10paralelogramo 4 2 3 y 18); si bien expresión síreferirse tiene una explícita en (proposiciones 10 y primera 25 ) ydel dos para adefinición “manera semejante” semejante” (proposiciones 18 (prótasis) deel problemas por la resolver Libro VI se puede advertir que tres incorporan término “semejante”; dos de ellas lo usan para referirse asolo “figura el marco de lalos teoría (definición 1), la segunda no. En el intento (fallido) de identificar 4 2 1), la3segunda no. En el intento (fallido) de identificar el marco de la teoría (definición y 18); si bien la primera expresión sí tiene una definición explícita en (proposiciones 10 incorporan el término “semejante”; dos de ellas lo usan para referirse a “figura y 25 ) y dos para referirse a “manera semejante” semejante” (proposiciones 18 la definición implícita de la segunda, nos llama la atención que esta se aplica en dos 2 3nos llama la atención que esta se aplica en dos 4 la definición implícita de la segunda, el marco de la teoría (definición 1), la segunda no. En el intento (fallido) de identificar y primera ) y expresión dosde”) paray sísólo referirse “maneraencontramos semejante” semejante” (proposiciones 18 de” si bien la tiene unaeladefinición explícita en (proposiciones 10 y 18); enunciados diferentes (“situada y25“dividida para segundo enunciados (“situada de” yla“dividida yatención para elallá segundo encontramos la definición desilabien segunda, nos llama la En que estadeselosaplica en dos la expresión sísólo tiene una definición explícita en (proposiciones 104lay 18); el marco dediferentes laimplícita teoría (definición 1),primera segunda no. el intento (fallido) de identificar una conexión con proporcionalidad entre los de”) segmentos. Más enunciados, una conexión con la proporcionalidad entre los segmentos. Más allá de los enunciados, enunciados diferentes (“situada de” y “dividida de”) y sólo para el segundo encontramos el marco de la teoría (definición 1), la segunda no. En el intento (fallido) de identificar la definición implícita de la segunda, nos llama la atención que esta se aplica en dos sí se advierte que la mayoría de los problemas del Libro VI se refieren a la sí seconexión advierte que la(“situada los deldepara Libro VI la una con la proporcionalidad entre los de”) segmentos. Más dese enunciados, la definición implícita demayoría la ysegunda, nos llama la yatención que esta selosrefieren aplica enados enunciados diferentes de”dedos y “dividida sólo elallá segundo encontramos proporcionalidad geométrica sólo a laproblemas construcción figuras semejantes. proporcionalidad geométrica y sólo dos a la construcción de figuras semejantes. sí se advierte que la mayoría de los problemas del Libro VI se refieren a la enunciados diferentes (“situada de” y “dividida y sólo para segundo una conexión con la proporcionalidad entre los de”) segmentos. Máselallá de losencontramos enunciados, proporcionalidad geométrica y sólodedoslos a laproblemas construcción figuras semejantes. una la proporcionalidad entre los segmentos. Más allá deselosrefieren enunciados, sí seconexión adviertecon que la mayoría deldeLibro VI a la 3.2 Lenguaje matemático sí se advierte que la mayoría de los problemas del Libro VI se refieren a la proporcionalidad geométrica y sólo dos a la construcción de figuras semejantes. 3.2 Lenguaje matemático proporcionalidad geométrica a la construcción de figuras semejantes. examinar lo relativoy asólo estados categoría, estudiamos los términos y palabras, la 3.2 Para Lenguaje matemático Para examinar lo relativo a esta categoría,enestudiamos los términos y palabras, la notación y los diagramas o dibujos empleados el discurso del Libro VI. 3.2 Lenguaje matemático notación y los diagramas o dibujos empleados en el discurso del Libro VI. Para examinar lo relativo a esta categoría, estudiamos los términos y palabras, la 3.2 Lenguaje matemático notación y losodiagramas o dibujos empleados el discurso los del Libro VI. y palabras, la Términos palabras Para examinar lo relativo a esta categoría,enestudiamos términos Términos o palabras Para examinar lo relativo a esta categoría, estudiamos los términos y palabras, la En el ydiscurso del Libro VI encontramos de palabras, saber: las que se notación los diagramas o dibujos empleados tres en eltipos discurso del Libroa VI. En el discurso del Libro VI encontramos tres tipos de palabras, a saber: las que se Términos o palabras notación o dibujos empleados en el discurso del Libro VI. refieren ay los los diagramas objetos geométricos (v.g., triángulo, paralelogramo, figura rectilínea, refieren adiscurso loso recta objetos geométricos (v.g.,lastriángulo, paralelogramo, rectilínea, En elrecta, delfinita, Libro VI encontramos tres de palabras, a figura saber: las que se Términos palabras ángulo, lado, altura), que tipos se refieren a las relaciones entre la ángulo, recta lado, altura), querelaciones se refieren a las estas, relaciones entre la refieren adiscurso losomagnitud objetos geométricos (v.g.,las triángulo, paralelogramo, rectilínea, Términos palabras En elrecta, delfinita, Libro VI encontramos tres tipos de palabras, a figura saber: las que se cantidad de de los objetos o las entre (v.g., razón, 2 Proposición 18: A partir de recta dada, construir ylas situada de cantidad delos magnitud deuna los objetos o triángulo, las relaciones entre estas, (v.g., razón, ángulo, recta lado, altura), las queuna sefigura refieren a lassemejante relaciones entre la En elrecta, delfinita, Libro VI encontramos tres tipos de rectilínea palabras, a figura saber: que se refieren adiscurso objetos geométricos (v.g., paralelogramo, rectilínea, manera semejante a una figura rectilínea dada. cantidad de magnitud de los objetos o las relaciones entre estas, (v.g., razón, refieren a los recta objetos geométricos (v.g.,lastriángulo, paralelogramo, figura rectilínea, ángulo, recta, finita, lado, altura), que se refieren a las relaciones entre la 3 Proposición 25: Construir una misma (figura) semejante a una figuraentre rectilínea dada,(v.g., e igual a otra recta, recta finita, lado, altura), las que se refieren a las relaciones entre la cantidad de magnitud de los objetos o las relaciones estas, razón, 2ángulo, Proposición 18: A partir de una recta dada, construir una figura rectilínea semejante y situada 2cantidad (figura) dada. de magnitud de los objetos o las relaciones entre estas, (v.g., razón, 18: A apartir de unarectilínea recta dada, construir una figura rectilínea semejante y situada deProposición manera semejante una figura dada. sympérasma que utiliza

2 34 Proposición 10: recta dada(figura) no dividida deuna manera semejante asemejante unadada, rectayedada de manera semejante unauna figura rectilínea dada. 18: Dividir A apartir deuna una recta dada, construir rectilínea situada Proposición 25: Construir misma semejante a figura una figura rectilínea igualyaa 3 dividida. Proposición 25: Construir una misma (figura) semejante a una figura rectilínea dada, e igual a 2 2otra de manera una figura dada. (figura)semejante dada. Proposición 18: A apartir de unarectilínea recta dada, construir una figura rectilínea semejante y situada 3 4 otra (figura) dada. 2 Proposición 25: misma (figura) semejante a figura una figura rectilínea igualyaa 10: Construir Dividir recta dada no dividida deuna manera semejante asemejante unadada, rectayedada 18: A deuna una recta dada, construir rectilínea situada de manera semejante apartir una una figura rectilínea dada. 4 Proposición 3 Proposición 10: Dividir una recta dada no dividida de manera semejante a una recta dada ya 3dividida. otra (figura) dada. Proposición 25: Construir una misma (figura) de manera semejante a una figura rectilínea dada. semejante a una figura rectilínea dada, e igual77a 4dividida. Volumen 16, diciembre 2012 3otra Proposición 10: Construir Dividir una dada no dividida de manera semejante a unadada, recta edada (figura) dada. Proposición 25: unarecta misma (figura) semejante a una figura rectilínea igualyaa 4 4dividida. Proposición 10: Dividir una recta dada no dividida de manera semejante a una recta dada ya otra (figura) dada. 4dividida. Proposición 10: Dividir una recta dada no dividida de manera semejante a una recta dada ya

3.2 Lenguaje matemático 3.2 Lenguaje matemático Paradeexaminar relativo a esta categoría, términos y Guacaneme palabras, la A. estudiamos Quintero, M. los Molavoque y E. Revista Ciencias lo Para examinar lo relativo a esta categoría, estudiamos los términos y notación y los diagramas o dibujos empleados en el discurso del Libro VI. palabras, la notación y los diagramas o dibujos empleados en el discurso del Libro VI. Términos o palabras Términos o palabras En el discurso del Libro VI encontramos tres tipos de palabras, a saber: las que se En el discurso del VI encontramos tresentre tiposparalelogramo, de opalabras, a figura saber: las que se proporción), y que Libro se refieren a la relación dos más objetos (v.g., altura, refieren a los las objetos geométricos (v.g., triángulo, rectilínea, refieren a los objetos geométricos (v.g., triángulo, paralelogramo, figura rectilínea, perpendicular, paralela, semejanza). Nótese que bajo esta óptica, la semejanza ángulo, recta, recta finita, lado, altura), las que se refieren a las relaciones entresela ángulo, recta, recta finita, altura), alas querelaciones se elrefieren aclasifican las estas, relaciones entre la clasifica endeunmagnitud tipo de palabra en que se los términos cantidad de lado, los diferente objetos o aquel las entre (v.g., razón, cantidady “proporción”, de magnitud asociados de los objetos o lascon relaciones entre estas, (v.g., razón, “razón” directamente la proporcionalidad geométrica. La proporción), las que que se refieren refieren la relación relación entre dos oo en más objetos (v.g., altura, semejanza se yyasocia entonces a una relación entre objetos, tanto que (v.g., la razón se proporción), las se aa la entre dos más objetos altura, proporción), y las que se refieren a la relación entre dos o más objetos (v.g., altura, que se refieren a la relación entre dos o más objetos (v.g., altura, perpendicular, paralela, semejanza). Nótese que bajo esta óptica, la semejanza se asocia a una relación entre propiedades de los objetos. perpendicular, paralela, semejanza). Nótese que bajo esta óptica, la semejanza se 2 proporción), y las que se refieren a la relación entre dos o más objetos (v.g., altura, Proposición 18: A partir de una recta dada, construir una figura rectilínea semejante y situada perpendicular, paralela, semejanza). Nótese que bajo esta óptica, la semejanza se paralela, semejanza). Nótese que bajo esta óptica, la semejanza se 2 clasifica en un un tipo de se palabra diferente aquelentre en elfigura queo rectilínea se clasifican los términos proporción), y18:las refieren a dada, la relación dos más objetos (v.g., clasifica en tipo de palabra diferente aaconstruir aquel en el que se clasifican los términos Proposición A aque partir de unarectilínea recta una semejante y altura, situada de manera semejante una figura dada. perpendicular, paralela, semejanza). Nótese que bajo estaose óptica, la geométrica. semejanza se clasifica en un tipo de palabra diferente a aquel en el que clasifican los términos tipo de palabra diferente a aquel en el que se clasifican los términos proporción), y las que se refieren a la relación entre dos más objetos (v.g., altura, Notación “razón” y “proporción”, asociados directamente con la proporcionalidad La perpendicular, paralela, semejanza). Nótese que bajo esta óptica, la semejanza sea 3 “razón” y “proporción”, asociados directamente con la proporcionalidad geométrica. La de manera semejante a una figura rectilínea dada. Proposición 25: Construir una misma (figura) semejante a una figura rectilínea dada, e igual clasifica en un tipo de palabra diferente a aquel en el que se clasifican los términos 3perpendicular, “razón” y “proporción”, asociados directamente con la proporcionalidad geométrica. La “proporción”, asociados directamente con la proporcionalidad geométrica. La paralela, semejanza). Nótese que bajo esta óptica, la semejanza se La notación que utiliza Euclides incluye el empleo de las primeras letras mayúsculas semejanza se asocia entonces a una relación entre objetos, en tanto que la razón sea clasifica en un tipo de palabra diferente a aquel en el que se clasifican los términos Proposición 25: Construir una misma semejante a una figura rectilínea e igual semejanza se asocia entonces a una(figura) relación entre objetos, en tanto quedada, la razón se otra (figura) dada. “razón” yuna “proporción”, asociados directamente conenla proporcionalidad geométrica. La semejanza se asocia entonces a una relación entre objetos, en tanto que la razón se asocia entonces a una relación entre objetos, en tanto que la razón se ( ) clasifica en un tipo de palabra diferente a aquel el que se clasifican los términos del alfabeto griego que usadas de manera 4 asocia a relación entre propiedades de los objetos. otra (figura) dada. “razón” y “proporción”, asociados directamente con proporcionalidad geométrica. asocia a una relación entre propiedades de dividida los objetos. Proposición 10: Dividir una recta dada no de la manera semejante a que una recta dadaLa 4asocia a una semejanza serelación asocia entonces a una relación entre objetos, en tanto la razón seya entre propiedades de los entre propiedades desuperficies. losobjetos. objetos. “razón” y “proporción”, asociados directamente con proporcionalidad geométrica. La individual denotan puntos, segmentos ono Sin embargo, utiliza seguidas dos Proposición 10: Dividir una recta dada dividida de la manera semejante a que una recta dada ya semejanza serelación asocia entonces a una relación entre objetos, en tanto la razón se dividida. asocia a una relación entre propiedades de los objetos. dividida. Notación semejanza serelación asocia entonces a unasegmentos, relación entre objetos, en tanto que la razónlos se de estas letras tanto entre para propiedades denotar donde las letras parecen indicar Notación asocia a una de los objetos. Notación La notación que utiliza utiliza Euclides incluye elaobjetos. empleo de las las primeras primeras letras mayúsculas asocia anotación una entre propiedades de los extremos delrelación segmento, como para incluye referirse paralelogramos, a través de mayúsculas una de sus La que Euclides el empleo de letras La notación que incluye el empleo de letras que utiliza utiliza Euclides incluye elpara empleo delas primeras letras mayúsculas del Notación alfabeto griego que usadas usadas de manera manera diagonales. Adicionalmente, utiliza tres letras aludir alas un triángulo. Pormayúsculas ejemplo, la Notación (( Euclides ))primeras del alfabeto griego que de La notación que puntos, utiliza Euclides incluye el empleoSin de las primeras letrasseguidas mayúsculas ( ) ( ) griego que usadas de manera del alfabeto griego que usadas de manera Notación individual denotan segmentos o superficies. embargo, utiliza dos ékthesis de la proposición 12 es “Sean las tres rectas dadas”, en la prueba de La notación quepuntos, utiliza Euclides incluye el empleoSin de embargo, las primeras letrasseguidas mayúsculas individual denotan segmentos o superficies. utiliza dosla ( Euclides ) primeras del alfabeto griego que usadas de manera puntos, segmentos o superficies. Sin embargo, utiliza seguidas dos individual denotan puntos, segmentos o superficies. Sin embargo, utiliza seguidas dos La notación que utiliza incluye el empleo de las letras mayúsculas de estas estas letras tanto para para denotar segmentos, donde las letras parecen indicar los (incluye )letras del alfabeto griego que usadas de Proposición 9 Euclides el texto “Sea la rectalas dada” y alparecen inicio de la manera prueba de letras tanto denotar segmentos, donde indicar los individual denotan puntos, segmentos o superficies. Sin embargo, utiliza seguidas dos tanto para denotar segmentos, donde las letras parecen indicar los de estas letras tanto para denotar segmentos, donde las letras parecen indicar los ( ) del griego usadas de extremos del segmento, como para el referirse paralelogramos, través deseguidas una de, sus sus individual denotan segmentos o superficies. Sin embargo, utilizade dos de laalfabeto Proposición 1,puntos, se como encuentra texto “Sean , que y manera extremos del segmento, para referirse aa paralelogramos, aa triángulos través una de de estas letras tanto para denotar segmentos, donde parecen indicar los segmento, como paratres referirse paralelogramos, través deseguidas una desus sus extremos segmento, como para referirse aapara paralelogramos, aa través de una de individual denotan puntos, oletras superficies. Sinlas utiliza dos diagonales. Adicionalmente, utiliza tres letras para aludir a un unletras triángulo. Por ejemplo, la de estas del letras tanto para denotar segmentos, donde las letras parecen indicar los paralelogramos que tienen lasegmentos misma altura”. diagonales. Adicionalmente, utiliza aludir aembargo, triángulo. Por ejemplo, la extremos del segmento, como para referirse a paralelogramos, a través de una de sus Adicionalmente, utiliza tres letras para aludir a un triángulo. Por ejemplo, la diagonales. Adicionalmente, utiliza tres letras para aludir a un triángulo. Por ejemplo, la de estas letras tanto para denotar segmentos, donde las letras parecen indicar los ékthesis de la proposición 12 es “Sean las tres rectas dadas”, en la prueba de la extremosdedel referirse a las paralelogramos, a través de prueba una dede susla ékthesis la segmento, proposicióncomo 12 espara “Sean tres rectas dadas”, en la diagonales. Adicionalmente, utiliza tres letras apara aludir a undadas”, triángulo. Por ejemplo, la En el de Libro VI, más allá de las expresiones “estres a”,rectas “guarda la través misma razón” ode “es proposición 12 es “Sean las tres rectas dadas”, en la prueba de la ékthesis la proposición 12 es “Sean las en la prueba la extremos del segmento, como para referirse paralelogramos, a de una de sus ProposiciónAdicionalmente, Euclides incluye incluye el texto texto “Sea parala laaludir rectaadada” dada” al inicio inicio de la prueba prueba diagonales. utiliza tres letras un triángulo. Porde ejemplo, la Proposición 99no Euclides el “Sea recta yy al la semejante identificamos o notación para referirse ainicio lasPor ékthesis dea”, la proposición 12utiliza esdesignación “Sean laslalaaludir tres rectas dadas”, en laproporciones prueba delala Euclides incluye el texto “Sea recta dada” y al de la prueba Proposición 9 Euclides incluye el texto “Sea recta dada” y al inicio de la prueba diagonales. Adicionalmente, tres letras para a un triángulo. ejemplo, de la Proposición 1, se encuentra el texto “Sean , triángulos y , ékthesis de la proposición 12 es “Sean las tres rectas dadas”, en la prueba de 1, seincluye encuentra el texto “Sean ,notación triángulos y laque , alla ode a la la Proposición semejanza entre figuras falta de,dada” impide Proposición 9 proposición Euclides elrectilíneas; texto “Sea esta la recta ytriángulos al no inicio de prueba 1, se encuentra el texto “Sean , triángulos y , de la de la Proposición 1, se encuentra el texto “Sean y , ékthesis de la 12 es “Sean las tres rectas dadas”, en la prueba paralelogramos que tienen la misma altura”. Proposición 9 Euclides incluye el texto “Sea la recta dada” y al inicio de la prueba paralelogramos que tienen lasemisma altura”. estudiar las 9proposiciones pueda indicar cuállade estos es utilizado de la Proposición 1, seincluye encuentra el texto “Sean , objetos triángulos y la prueba ,para que tienen la misma altura”. paralelogramos que tienen la misma altura”. Proposición Euclides el texto “Sea recta dada” y al inicio de de la Proposición 1, se encuentra el texto “Sean , triángulos y , EnProposición elyLibro Libro VI,1, más allá dehechos las expresiones expresiones “es a”, a”, “guarda “guarda latriángulos misma razón” razón” “es justificar demostrar los pasos en cada“Sean proposición. paralelogramos que tienen la misma altura”. En el VI, más de las “es la misma de la se allá encuentra el texto , y oo, “es paralelogramos que tienen la misma altura”. VI, más allá de las expresiones “es a”, “guarda la misma razón” o “es En el Libro VI, más allá de las expresiones “es a”, “guarda la misma razón” o “es semejante a”, a”, no noque identificamos designación notación para para referirse referirse aa las las proporciones proporciones semejante identificamos designación paralelogramos tienen la misma altura”. oo notación Enla elsemejanza Libro más allá dedesignación las expresiones “esfalta a”,para “guarda la misma razón” o “es identificamos notación referirse ano lasimpide proporciones a”, no identificamos ooesta notación referirse ano las proporciones oVI, dibujos o aaDiagramas entre figuras rectilíneas; esta de notación impide que al En Libro VI, más allá dedesignación las expresiones “es a”,para “guarda la misma razón”que o “es osemejante la el semejanza entre figuras rectilíneas; falta de notación al semejante a”,proposiciones noVI, identificamos designación oel notación para referirse ano las proporciones entre figuras rectilíneas; esta falta de notación impide que al o a la semejanza entre figuras rectilíneas; esta falta de notación no impide que al En el Libro más allá de las expresiones “es a”, “guarda la misma razón” o “es Los diagramas o dibujos que componen Libro VI, aparecen en cada una de las estudiar las se pueda indicar cuál de estos objetos es utilizado para semejante a”, no identificamos designación o notación para referirse a las proporciones estudiar las proposiciones se pueda indicar cuál de estos objetos es utilizado para osemejante a la semejanza entre figuras rectilíneas; falta de notación no impide que al proposiciones se pueda pueda indicar cuál de estos estos objetos eslasutilizado utilizado para estudiar las proposiciones se cuál de objetos para proposiciones, independientemente de indicar si son propiedades o problemas. En su gran no identificamos designación oesta notación para referirse aes proporciones demostrar los pasos pasos hechos enestas cada proposición. ojustificar a la semejanza entre figuras rectilíneas; esta falta de notación no impide que al justificar yya”, demostrar los hechos en cada proposición. estudiar las proposiciones se pueda indicar cuál de estos objetos es utilizado para demostrar los pasos hechos en cada cadaesta y demostrar los pasos en proposición. mayoría los dibujos representan triángulos yproposición. paralelogramos; sinno enpara la ojustificar a la semejanza entre figuras rectilíneas; falta de notación impide al estudiar las proposiciones se hechos pueda indicar cuál de estos objetos esembargo utilizadoque justificar y demostrar los pasos en cada cuál proposición. Diagramas dibujos construcción de proposiciones 13 (construcción de y 33 aparece estudiar las proposiciones se hechos pueda indicar demedia estos proporcional) objetos es utilizado para Diagramas oolas dibujos justificar y demostrar los pasos hechos en cada proposición. 5 dibujos Diagramas o dibujos Los diagramas diagramas dibujos que componen elproposición. Libro VI, VI, aparecen aparecen en cada cada una de las las . Auna modo de un dibujo contiene un semicírculo o un círculo justificar yque demostrar losrepresentaciones pasosque hechos en de cada Los oo dibujos componen el Libro en de Diagramas oindependientemente dibujos dibujos que componen componen Libro VI, aparecen aparecen encada cada una degran las Los diagramas oo dibujos que elelson Libro VI, en una de las proposiciones, de si si1estas estas son propiedades o problemas. problemas. En su su gran ejemplo presentamos en la Ilustración algunos dibujos que oemplea Euclides en las Diagramas o dibujos proposiciones, independientemente de propiedades En Los diagramas o dibujos que componen Libro VI, aparecen en cada una las independientemente de estasel son propiedades problemas. En sude gran proposiciones, independientemente de sisi estas propiedades ooproblemas. En su gran Diagramas o dibujos mayoría los dibujos dibujos representan triángulos paralelogramos; sin embargo en la proposiciones 13, 21, y 29, que respectivamente. Los diagramas o 23 dibujos componen elson VI, aparecen en embargo cada una de las mayoría los representan triángulos yyLibro paralelogramos; sin en la proposiciones, independientemente de si estas son propiedades o problemas. En su gran dibujos representan triángulos y paralelogramos; sin embargo en la mayoría los dibujos representan triángulos y paralelogramos; sin embargo en la Los diagramas o dibujos que componen el Libro VI, aparecen en cada una de las construcción de deindependientemente las proposiciones proposiciones 13 13de(construcción (construcción de media media proporcional) proporcional) 33 aparece aparece proposiciones, si estas son propiedades o problemas. En su gran construcción las de yy 33 mayoría dibujos representan y semicírculo paralelogramos; sin embargo la 55y.y33 proposiciones 13triángulos (construcción demedia mediaproporcional) 33modo aparece construcción de las proposiciones 13 (construcción de aparece proposiciones, independientemente de si estas son propiedades ounproblemas. En suen gran A modo de un dibujo dibujolos que contiene representaciones de un un o un círculo mayoría los dibujos representan triángulos ysemicírculo paralelogramos; sin embargo en la . A de un que contiene representaciones de oproporcional) círculo 5 5 construcción las proposiciones 13triángulos (construcción de mediaque aparece .5 .yyAA33 modo modo de contiene representaciones de unysemicírculo semicírculo o un un círculo un dibujopresentamos quede contiene representaciones un oproporcional) círculo mayoría los dibujos representan paralelogramos; sin embargo la ejemplo presentamos en la Ilustración Ilustración algunos dibujos emplea Euclides en de las construcción de las proposiciones 13 (construcción de media proporcional) 33 aparece ejemplo en la 11de algunos dibujos que emplea Euclides en las modo de un dibujopresentamos quede13, contiene un semicírculo o emplea un círculo 5. yA ejemplo en Ilustración 11 de algunos dibujos que Euclides en enrepresentaciones la29, Ilustración algunos dibujos que emplea Euclides enlas las construcción las21, proposiciones 13 (construcción de media proporcional) aparece proposiciones 21, 23 29, respectivamente. . A33modo de un dibujopresentamos que13, contiene representaciones de un semicírculo o un círculo proposiciones 23 yyla respectivamente. 5 ejemplo presentamos en la Ilustración 1 algunos dibujos que emplea Euclides en las proposiciones 13, 21, 23 y 29, respectivamente. 21, 23 y 29, respectivamente. . A modo de un dibujo que contiene representaciones de un semicírculo o un círculo ejemplo presentamos en la Ilustración 1 algunos dibujos que emplea Euclides en las proposiciones 13, 21, 23 respectivamente. ejemplo presentamos en yyla29, Ilustración 1 algunos dibujos que emplea Euclides en las proposiciones 13, 21, 23 29, respectivamente. proposiciones 13, 21, 23 y 29, respectivamente.

5

Debemos advertir que el trazo curvo que aparece en las figuras de las proporciones 27, 28 y 29 no alude de manera propia a un círculo ni a parte de él. 5578 Debemos advertir advertir que que el el trazo trazo curvo curvo que que aparece aparece en en las las figuras figuras de de las las proporciones proporciones 27, 27, 28 28 yy 29 29 Debemos 5 Debemos advertir que curvo aparece en las advertir que el el atrazo trazo curvo que que aparece en las figuras figurasde delas lasproporciones proporciones27, 27,28 28yy29 29 no alude de manera propia a un círculo ni a parte de él. no alude de manera propia un círculo ni a parte de él. 5 que el aatrazo curvo ni que aparece en 5 Debemos no alude de advertir manera un de manera propia propia un círculo círculo ni aa parte parte deél. él. las figuras de las proporciones 27, 28 y 29

Debemos advertir que el trazo curvo que aparece en las figuras de las proporciones 27, 28 y 29 no 5 alude de manera propia a un círculo ni a parte de él.

Diferencia entre semejanza y proporcionalidad geométrica

B

A

A

(a)

M

E

(b)

L

(b)

Z

D E

A

N Ilustración 1.

Ilustración 1.

(c)

M

V

(a)

L

B

Y

P

F B

X

H

V

A

Q

L

B

K

L

D

K

Q

Z

(c)

O

H

X

(d)

Dibujos empleados (d) por Euclides en el Libro VI

Dibujos empleados por Euclides en el Libro VI

Como podemos ver en los dibujos, además de las figuras, Euclides incorpora las letras griegas en mayúscula; allí se observa claramente las diferentes expresiones semánticas de una sola letra, reseñadas antes en el apartado titulado “Notación”. Por otra parte, si bien en el Libro V las magnitudes geométricas en general se representan a través de trazos rectos, en el Libro VI las representaciones son “propias”, es decir, que los gráficos no son generalizaciones; si en una proposición se hace referencia a triángulos, rectas o paralelogramos, en los gráficos correspondientes habrá triángulos rectas o paralelogramos. Igualmente, debemos señalar que si en el Libro VI se señala que las figuras son semejantes, el dibujo expresa tal semejanza, como se observa en la Ilustración 1(b). Adicionalmente, debemos señalar que aunque en la mayoría de las proposiciones que refieren figuras semejantes incluyen dibujos homotéticos ubicados “en la misma posición”, hay al menos una en donde las figuras semejantes no satisfacen esta condición, como en el caso de los tres triángulos semejantes de la proposición 8 (ver la Ilustración 2(a)). A

B

(a)D

A

L

(a)

Volumen 16, diciembre 2012

B

A

L

B

(b)

(b) D

AA

D

L

Ilustración 2. Tres triángulos semejantes Ilustración 2. Tres triángulos semejantes

79

Revista de Ciencias

A. Quintero, M. Molavoque y E. Guacaneme

Como se observa en la Ilustración 2(b), donde se han discriminado los triángulos de la Ilustración 2(a), con una rotación el segundo triángulo se “verá” semejante al tercero, pero para el primer triángulo la rotación no es suficiente, pues habría que aplicarle una reflexión. 3.3 Conceptos o definiciones Si bien en el Libro VI Euclides utiliza varios conceptos (v.g., equiángulo, semejante, altura, subtiende, extrema y media razón, inversamente relacionado, semejanza), en este define los siguientes objetos (resaltados por nosotros en las definiciones tomadas de [2]): Definición 1. Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos iguales uno a uno y proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales. Esta primera definición encontrada en el Libro VI nos aproxima a la idea de semejanza que utiliza el autor. Aquí nos interesa enfatizar en que Euclides establece la semejanza únicamente como una característica de dos o más figuras rectilíneas (polígonos), pero no establece semejanza entre figuras no rectilíneas; la proporcionalidad geométrica se da entre al menos tres objetos geométricos (o más precisamente, entre al menos tres cantidades de magnitudes homogéneas). Definición 3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el (segmento) mayor es al menor. Consideramos que esta definición contempla una alusión a la proporcionalidad geométrica, pero no una a la semejanza; ello por cuanto, como lo señalamos antes, la semejanza se da entre figuras rectilíneas (polígonos) y no entre segmentos. Definición 4. En toda figura, la altura es la perpendicular trazada desde el vértice hasta la base. A través de esta, se caracteriza un segmento que puede no hacer parte integral de la figura rectilínea en cuestión, sino que puede construirse como un apéndice de la figura. Esta definición no alude ni a la proporcionalidad geométrica, ni a la semejanza. Si bien el Libro VI presenta dos definiciones más, coincidimos con la posición de Puertas [2], según la cual la definición 2 6 y la 57 han sido interpoladas por autores posteriores a Euclides. Particularmente, hemos interpretado que la definición 5 no debe ser de origen euclidiano pues no solo contempla razones entre razones (es decir no entre magnitudes, como es usual en Euclides), sino que además incluye una operación entre razones (que no hace parte del discurso euclidiano, ni siquiera al hablar sobre razones compuestas).

6

Definición 2: (Dos) figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras Definición (Dos) figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay hay razones 2: consecuentes y antecedentes. 7 razones consecuentes y antecedentes. Definición 5: Se dice que una razón está compuesta de razones cuando los tamaños de las 7razones multiplicadas por sí mismas producen alguna razón. Definición 5: Se dice que una razón está compuesta de razones cuando los tamaños de las razones 6

multiplicadas por sí mismas producen alguna razón. 80

Diferencia entre semejanza y proporcionalidad geométrica 3.4 Propiedades En este apartado ilustramos el análisis hecho a las proposiciones, en las cuales miramos con detenimiento el planteamiento de semejanza y proporcionalidad geométrica. Iniciemos con la primera proposición8 del Libro VI. En esta primera proposición, bajo la condición de que triángulos y paralelogramos tengan la misma altura, se relacionan elementos como: la cantidad de superficie de los triángulos, la cantidad de superficie de los paralelogramos y la cantidad de longitud de las bases. En esta, Euclides establece la razón entre la cantidad de superficie de los triángulos (

),

la razón entre cantidad de superficie de los paralelogramos ( ) y la razón entre

cantidad de longitud de las bases ( ); además, cuando señala que son entre sí como sus bases, establece tres proporciones: (

); una de ellas con cuatro magnitudes

homogéneas (i.e., cantidad de superficie) ( ) y las dos restantes con parejas de magnitudes de diferente naturaleza (i.e., cantidad de superficie y cantidad de longitud) ). Como se observa, en esta proposición hay alusión a razones y ( proporciones, pero no a la semejanza entre figuras rectilíneas, lo cual nos conduce a afirmar que en esta proposición Euclides trabaja proporcionalidad geométrica entre magnitudes, pero no semejanza. Las proposiciones 4, 5, 6 y 7 ofrecen un panorama similar al de la proposición 1, pero con un elemento de discusión adicional. Escojamos, por ejemplo, la proposición 49. Si bien en esta proposición se deduce la proporcionalidad entre las cantidades de las longitudes de los triángulos equiángulos, y esta puede ser hoy interpretada como un criterio de semejanza entre triángulos (conocido como ángulo-ángulo-ángulo), Euclides no menciona la semejanza entre estos. No obstante tal falta de alusión, hay en el Libro VI al menos tres proposiciones (8, 18 y 20) que sí refieren explícitamente la semejanza entre figuras rectilíneas, en cuyas demostraciones la proposición 4 juega un papel esencial; sin embargo, las otras proposiciones (5, 6 y 7) no se vinculan a proposiciones que versen sobre la semejanza. Atendiendo a lo anterior, afirmamos que estas proposiciones (4, 5, 6 y 7) se refieren a la proporcionalidad geométrica, pero no a la semejanza. En el Libro VI encontramos algunas proposiciones que sí abordan el estudio de la semejanza de manera específica y explícita (proposiciones 8, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 29 y 31); esta última10 constituye una generalización del Teorema de Pitágoras (Libro I, Proposición 47) para figuras semejantes construidas sobre los lados del triángulo rectángulo. De éstas, ameritan especial atención las proposiciones 21 y 22. La

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Proposición1:1:Los Lostriángulos triángulosyylos losparalelogramos paralelogramosque quetienen tienen la la misma misma altura altura son son entre entre sí sí como como Proposición sus bases. sus bases. 9 Proposición 4: En los triángulos equiángulos, los lados que comprenden los ángulos iguales son 9 Proposición 4:yEn triángulos equiángulos, los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales loslos lados que subtienden los ángulos iguales son correspondientes. 10 proporcionales y los lados que subtienden los ángulos iguales son correspondientes. Proposición 31: En los triángulos rectángulos, la figura (construida) a partir del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a 10 Proposición 31: En los triángulos rectángulos, la figura (construida) a partir del lado que subtienpartir de los lados que comprenden el ángulo recto. de el ángulo recto es igual a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de los lados que comprenden el ángulo recto. 8

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proposición 2111 reviste un interés en la medida en que define una condición de transitividad para semejanza geométrica. La proposición 22 12, es interesante en tanto que en ella hay una interesante convergencia entre la semejanza de figuras y la proporcionalidad geométrica. La primera parte de su prueba inicia planteando la proporción geométrica entre la ). Luego se construyen figuras semejantes y cantidad de longitud de las rectas ( situadas de manera semejante a partir de las rectas proporcionales antes mencionadas ( ) y se deduce la proporcionalidad entre la cantidad de superficie de ). Como se puede observar, la semejanza geométrica las figuras semejantes ( es una condición mediadora para establecer proporcionalidad entre las cantidades de superficie a partir de la proporcionalidad entre las cantidades de longitud, o viceversa. A partir de lo anterior, podemos afirmar que las proposiciones del Libro VI se pueden agrupar atendiendo a si su objeto central de estudio es la proporcionalidad geométrica o la semejanza, sin que ello implique desconocer algunos nexos interesantes entre estos (como lo ilustrado para la proposición 22). 3.5 Procedimientos Los procedimientos en el Libro VI de Euclides se encuentran fundamentalmente en las proposiciones que son problemas y que se discutieron al final del apartado “Situaciones problemas o tareas matemáticas” de este documento. 3.6 Argumentos El Libro VI de los Elementos emplea un discurso deductivo en la prueba de las proposiciones. Para el caso de las proposiciones por demostrar, reconocemos una estructura de seis etapas, a saber: enunciado (prótasis), exposición (ékthesis), determinación o delimitación (diorismós), preparación o construcción (kataskeué), demostración (apódeixis) y conclusión (sympérasma). La primera hace alusión al enunciado de la proposición, que en la versión de Puertas [2] se encuentra resaltado en letra cursiva. La ékthesis corresponde al inicio de la demostración y aparece en el segundo párrafo de la proposición donde encontramos generalmente los términos “Sean”, “Sea” o “Pues sea”, aunque en algunas proposiciones (como en la proposición 2 y 26) se utilizan otras expresiones (“Trácese” y “Pues quítese”, respectivamente). El tercer párrafo corresponde al diorismós, que usualmente inicia con el término “Digo”. A continuación se encuentra la kataskeué o construcción, esta se ubica en el cuarto párrafo y explica las construcciones necesarias para a continuación realizar la apódeixis o demostración. Luego de la demostración se ubica la sympérasma, que aparece como párrafo final (salvo el caso donde haya porisma), donde encontramos términos como 11

Proposición 21: Las figuras semejantes a una misma figura rectilínea son también semejantes Proposición 21: Las figuras semejantes a una misma figura rectilínea son también semejantes entre sí. 12 entre sí. Proposición 22: Si cuatro rectas son proporcionales, las figuras rectilíneas semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si las figuras 12 Proposición 22: Si cuatro rectas son proporcionales, las figuras rectilíneas semejantes y construisemejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, las propias das de serán manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si las figuras semejantes rectas también proporcionales. y construidas de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, las propias rectas serán también proporcionales. 11

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Diferencia entre semejanza y proporcionalidad geométrica “Por consiguiente”. consiguiente”. Esta estructura es independiente de las proposiciones refieran consiguiente”. Esta estructura es independiente de las proposiciones refieran “Por consiguiente”.Esta Estaestructura estructuraes esindependiente independientede desisisi silas las proposiciones proposiciones sesese se refieran refieran a a aa “Por consiguiente”. Esta estructura es independiente delosicual las no proposiciones se refieran a la proporcionalidad geométrica o a la semejanza, por nos ofrece un elemento proporcionalidad geométrica semejanza, por cual no nos ofrece un elemento la proporcionalidad proporcionalidadgeométrica geométricaoooaaalalalasemejanza, semejanza,por porlololocual cualno no nos nos ofrece ofrece un un elemento elemento la proporcionalidad geométrica o a la semejanza, por lo cual no nos ofrece un elemento de discriminación. discriminación. discriminación. de discriminación. de discriminación. Mientras que para el caso de las proposiciones por construir, encontramos que que para el caso de las proposiciones por encontramos que Mientras Mientras que que para para el el caso casode delas las proposicionespor porconstruir, construir, encontramos encontramos que que elelel ela “Por consiguiente”. Esta esproposiciones independiente de siconstruir, las proposiciones se refieran Mientras que aparece para el estructura caso de las proposiciones por construir, encontramos quecon el prótasis también en la versión de Puertas [2] en letra cursiva pero empieza también aparece en la versión de Puertas [2] en letra cursiva pero empieza con prótasis prótasis también también aparece aparece en en la la versión versión de de Puertas Puertas [2] [2] en en letra letra cursiva cursiva pero pero empieza empieza con con la proporcionalidad geométrica o a la semejanza, por lo cual no nos ofrece un elemento prótasis también“Quitar”, aparece “Dividir”, en la versión de Puertas [2] ende”, letra cursiva pero empieza con las expresiones “Dadas”, “A partir “Construir” y “Aplicar”. La expresiones “Quitar”, “Dividir”, “Dadas”, “A partir de”, “Construir” las expresiones expresiones “Quitar”, “Quitar”,“Dividir”, “Dividir”,“Dadas”, “Dadas”,“A “Apartir partirde”, de”,“Construir” “Construir” yy“Aplicar”. y“Aplicar”. “Aplicar”. LaLa La de discriminación. las expresiones “Quitar”, “Dividir”, “Dadas”, “A partir de”, “Construir” y “Aplicar”. La ékthesis, que corresponde al inicio de construcción, aparece en segundo párrafo corresponde al inicio de construcción, aparece en segundo párrafo ékthesis, ékthesis, que que corresponde correspondeal alinicio iniciode delalala laconstrucción, construcción,aparece aparece en en elelel el segundo segundo párrafo párrafo dedede de lalala la ékthesis, que corresponde al inicio de la construcción, aparece en el segundo párrafo de proposición también se encuentran generalmente los términos “Sean”, “Sea” o “Pues Mientrasyyyque para se el encuentran caso de lasgeneralmente proposiciones por construir, encontramos que ella también se encuentran generalmente los términos “Sean”, “Sea” proposición proposición también también se encuentran generalmente los los términos términos “Sean”, “Sean”, “Sea” “Sea” oo“Pues o“Pues “Pues proposición y también se encuentran losinicia “Sean”, “Sea” o pues”. “Pues sea”. El tercer párrafo que corresponde al diorismós, con del término “Así prótasis también aparece la versióngeneralmente de Puertas [2] entérminos letra cursiva pero empieza con párrafo que corresponde diorismós, inicia con del término “Así pues”. sea”. El El tercer tercer párrafo párrafo que queen corresponde corresponde alal aldiorismós, diorismós, inicia inicia con con del del término término “Así “Así pues”. pues”. sea”. El tercer párrafo que corresponde al diorismós, inicia con del término “Así pues”. En el siguiente párrafo se encuentra la kataskeué o construcción, de manera similar las expresiones “Quitar”, “Dividir”, “Dadas”, “A partir de”, “Construir” y “Aplicar”. siguiente párrafo se encuentra kataskeué construcción, manera similar alaaalala En el siguiente siguiente párrafo párrafo se seencuentra encuentralalalakataskeué kataskeuéoooconstrucción, construcción,dede demanera manera similar similar aLa la En el siguiente párrafo se encuentra la kataskeué o construcción, de manera similar construcción de las proposiciones por demostrar, continuación y también de manera ékthesis, que de corresponde al iniciopor dedemostrar, la construcción, aparece enyel segundo párrafo de alala de las proposiciones por demostrar, continuación ytambién manera construcción construcción de las lasproposiciones proposiciones por demostrar, yyy yaaaacontinuación continuación ytambién también dede de manera manera construcción las proposiciones por generalmente demostrar, y alos continuación y también de o“Puesto manera similar se encuentra la apódeixis donde usualmente utilizan términos como proposición ydetambién se encuentran términos “Sean”, “Sea” “Pues encuentra la apódeixis donde usualmente sese utilizan términos como “Puesto similar similar se se encuentra encuentra la la apódeixis apódeixis donde donde usualmente usualmentese seutilizan utilizantérminos términos como como “Puesto “Puesto similar se encuentra la apódeixis donde usualmente se utilizan términos como “Puesto sea”. El tercer párrafo que corresponde al diorismós, inicia con del término “Así pues”. que” yyy “Entonces”. “Entonces”. Y Y también también en enelelel elúltimo últimopárrafo párrafosesese seencuentra encuentralalala la sympérasma que “Entonces”. Y también en último párrafo encuentra sympérasma que que” “Entonces”. Y también en último párrafo encuentra sympérasma sympérasma que que que” “Entonces”. Y“Por también en ellaúltimo párrafo se encuentra de la sympérasma quea la En el ysiguiente párrafo se consiguiente” encuentra kataskeué o construcción, manera similar utiliza términos como y “Por tanto”. términos como “Por consiguiente” “Por tanto”. utiliza utiliza términos términoscomo como“Por “Porconsiguiente” consiguiente”yyy“Por “Portanto”. tanto”. utiliza términos “Por consiguiente” y “Por tanto”. construcción de como las proposiciones por demostrar, y a continuación y también de manera Por otra otra parte, parte, hemos hemoselaborado elaboradoun unmapa mapadeductivo deductivode delas lasproposiciones proposiciones del Libro parte, hemos elaborado un mapa deductivo de las proposiciones del Libro Por Por otra parte, hemos elaborado un mapa deductivo de las proposiciones del del Libro Libro similar se encuentra laenapódeixis donde usualmente selas utilizan términos como Por otra parte, hemos elaborado un mapa deductivo deconexiones las proposiciones del“Puesto Libro VI (ver Ilustración 3) donde las flechas representan lógico-deductivas Ilustración 3) en donde las flechas representan las conexiones lógico-deductivas VI (ver (ver Ilustración Ilustración3) 3)en endonde dondelas lasflechas flechasrepresentan representanlas lasconexiones conexiones lógico-deductivas lógico-deductivas VI (ver 3) en también donde lasen flechas representan las conexiones3lalógico-deductivas que” y Ilustración “Entonces”. Y el último párrafo se encuentra sympérasma que entre las diferentesproposiciones; proposiciones; así, por ejemplo, enlalala la Ilustración se puede leer diferentes proposiciones; así, por ejemplo, en Ilustración puede leer que entre las las diferentes diferentes proposiciones; así, así, por por ejemplo, ejemplo, en en Ilustración Ilustración 33se 3sese puede puede leer leer que que entre las diferentes proposiciones; así, por ejemplo, en la Ilustración 3 se puede leer que utiliza términos como “Por consiguiente” y “Por tanto”. la proposición proposición 26 26 (P26) (P26) es es utilizada utilizada en en las las respectivas respectivasdemostraciones demostracionesdedede delas las proposición 26 (P26) es utilizada en las respectivas demostraciones las la proposición 26 (P26) es utilizada en las respectivas demostraciones las la proposición 26 (P26) es utilizada en las respectivas demostraciones de las proposiciones 27 yyyyhemos 28,en entanto tantoque queen en la demostración de laproposición proposición 26 interviene Por otra parte, elaborado unlalala mapa deductivo de las proposiciones del Libro 27 28, en tanto que en demostración de proposición 26 interviene proposiciones proposiciones 27 27 28, 28, en tanto que en demostración demostración de de lalala proposición 26 26 interviene interviene proposiciones 27 y 28, en tanto que en la demostración de la proposición 26 interviene únicamente la proposición proposición 24. las flechas representan las conexiones lógico-deductivas VI (ver Ilustración 3) en donde proposición 24. únicamente únicamente la la proposición 24. 24. únicamente la proposición 24. entre las diferentes proposiciones; así, por ejemplo, en la Ilustración 3 se puede leer que la proposición 26 (P26) es utilizada en las respectivas demostraciones de las proposiciones 27 y 28, en tanto que en la demostración de la proposición 26 interviene únicamente la proposición 24.

Ilustración 3. Ilustración 3. Ilustración Ilustración3. 3. Ilustración 3.

Mapa deductivo de las proposiciones del Libro Mapa deductivo de las proposiciones del Libro Mapa Mapadeductivo deductivode de las las proposiciones proposiciones del del Libro Libro VIVIVI VI Mapa deductivo de las proposiciones del Libro VI

Esta representación nos ha permitido una aproximación complejidad lógica Esta Esta representación representación representaciónnos nos nosha ha hapermitido permitido permitidouna una unaaproximación aproximación aproximaciónaaaalalala lacomplejidad complejidad complejidad lógica lógica lógica dedede de Esta representación nos ha permitido una aproximación a la complejidad lógica de cada proposición, proposición, pues suponemos que aquellas que reciben más flechas, son más cada proposición, proposición, pues pues pues suponemos suponemos suponemosque que queaquellas aquellas aquellasque que quereciben reciben recibenmás más másflechas, flechas, flechas,son son son más más más cada proposición, pues suponemos que aquellas que reciben más flechas, son más exigentes que aquellas que reciben menor número de flechas; este es caso las Ilustración Mapa deductivo de proposiciones del Libro VI Ilustración Mapa deductivo de laslas proposiciones del Libro VI exigentes exigentes que que aquellas aquellas aquellas que que que3.3. reciben reciben reciben menor menor menor número número número de de deflechas; flechas; flechas; este este este eses es elelel el caso caso caso dedede de las las las exigentes que 20 aquellas que reciben menor número deaquellas flechas;deeste es el salen caso mayor de las proposiciones y 28. Así mismo, suponemos que las que proposiciones proposiciones 20 20 20 yyy 28. 28. 28. Así Así Así mismo, mismo, mismo,suponemos suponemos suponemosque que queaquellas aquellas aquellasde de delas las lasque que que salen salen salen mayor mayor mayor proposiciones 20 y (i.e., 28. Así mismo, suponemos quemás aquellas las queson salen mayor número de flechas que están involucradas en proposiciones) mayor Esta de representación permitido una aproximación a ladecomplejidad lógica de número número de flechas flechas flechas (i.e., (i.e., (i.e.,nos que que queha están están están involucradas involucradas involucradas en en enmás más másproposiciones) proposiciones) proposiciones) son son son dedede de mayor mayor mayor número de flechas (i.e., que están involucradas en más proposiciones) son de mayor jerarquía para la teoría expuesta en el Libro VI; las proposiciones 2 y 4 tienen esta cada proposición, puesexpuesta suponemos aquellas que reciben más son más jerarquía jerarquía para para la la la teoría teoría teoría expuesta expuesta en en enelelque elLibro Libro Libro VI; VI; VI;las las las proposiciones proposiciones proposiciones 222yflechas, y4y4tienen 4tienen tienen esta esta esta jerarquía teoría que expuesta en menor el Libro VI; lasdeproposiciones tienendeesta exigentes para que la aquellas reciben número flechas; este 2esyel4 caso las proposiciones 20 y 28. Así mismo, suponemos que aquellas de las que salen mayor número de flechas (i.e., que están involucradas en más proposiciones) son de mayor jerarquía para la teoría expuesta en el Libro VI; las proposiciones 2 y 4 tienen esta Volumen 16, diciembre 2012

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condición yy se refieren aa proporcionalidad geométrica. Sin embargo, aa partir de esta condición se refieren proporcionalidad geométrica. Sin embargo, partir de esta condición y se refieren a proporcionalidad geométrica. Sin embargo, a partir de esta información no hemos identificar una diferencia sustancial cuanto al condición y se refieren alogrado proporcionalidad geométrica. Sin embargo, a en partir de esta información no hemos logrado identificar una diferencia sustancial en cuanto al información no hemos logrado identificar una diferencia sustancial en cuanto al tratamiento argumentativo diferenciado para la proporcionalidad geométrica y la condición y se refieren a proporcionalidad geométrica. Sin embargo, a partir de esta información no hemos logrado identificar una diferencia sustancial en cuanto al tratamiento argumentativo diferenciado para la proporcionalidad geométrica y la tratamiento argumentativo diferenciado para la proporcionalidad geométrica y la condición y se refieren a proporcionalidad geométrica. Sin embargo, a partir de esta semejanza. información no hemos logrado identificar una diferencia sustancial en cuanto al tratamiento argumentativo diferenciado para la proporcionalidad geométrica y la semejanza. semejanza. condición y se refieren a proporcionalidad geométrica. Sin embargo, a partir de esta información no hemos logrado identificar una diferencia sustancial en cuanto al tratamiento diferenciado para la proporcionalidad la semejanza. condición y argumentativo se refieren a proporcionalidad geométrica. Sin embargo,geométrica a partir de yesta información no hemos logrado identificar una diferencia sustancial en cuanto al tratamiento argumentativo diferenciado para la proporcionalidad geométrica y la semejanza. 44información Conclusiones no hemos logrado identificar una diferencia sustancial en cuanto al Conclusiones 4semejanza. Conclusiones tratamiento argumentativo diferenciado para la proporcionalidad geométrica y la 4 Definitivamente Conclusiones tratamiento argumentativo diferenciado para la proporcionalidad geométrica y la el estudio del Libro VI de Elementos nos ha permitido mejorar el semejanza. el estudio del Libro VI nos mejorar el 4 Definitivamente Conclusiones Definitivamente elque, estudio del Libro VI de de Elementos Elementos nos ha ha permitido permitido mejorar el semejanza. nivel de conciencia en tanto profesores de matemáticas, teníamos frente al Definitivamente el estudio del Libro VI de Elementos nos ha permitido mejorar el 4 Conclusiones nivel de conciencia que, en tanto profesores de matemáticas, teníamos frente al nivel de conciencia que, en tanto profesores de matemáticas, teníamos frente al conocimiento matemático relacionado con la proporcionalidad geométrica y la Definitivamente el estudio del Libro VI de Elementos nos ha permitido mejorar el nivel de conciencia que, en tanto profesores de matemáticas, teníamos frente al 4conocimiento Conclusiones matemático relacionado con proporcionalidad geométrica yy la matemático relacionado conde la laElementos proporcionalidad geométrica la 4conocimiento Conclusiones Definitivamente elque, estudio del Libro VI nos ha permitido mejorar el semejanza. Este hecho revela un efecto concreto en el conocimiento del profesor de nivel de conciencia en tanto profesores de matemáticas, teníamos frente al conocimiento matemático relacionado con la proporcionalidad geométrica y la semejanza. Este hecho revela un efecto concreto en el conocimiento del profesor de semejanza. Este hecho revela un efecto concreto en el conocimiento del profesor de Definitivamente elque, estudio del Libro VI de laElementos nos ha permitido mejorar el nivel de conciencia en tanto profesores deproporcionalidad matemáticas, teníamos frente al Matemáticas, generado por el estudio de la Historia Matemáticas. Hoy, tenemos conocimiento matemático relacionado con geométrica y de la semejanza. Este hecho revela un efecto concreto ende ellas conocimiento del profesor Definitivamente el estudio del Libro VI de Elementos nos ha permitido mejorar el Matemáticas, generado por el estudio de la Historia de las Matemáticas. Hoy, tenemos Matemáticas, generado por el estudio de la Historia de las Matemáticas. Hoy, tenemos nivel de conciencia que, en tanto profesores de matemáticas, teníamos frente al conocimiento matemático relacionado con la proporcionalidad geométrica y la más y mejores argumentos para diferenciar la proporcionalidad geométrica de la semejanza. Este hecho revela un efecto concreto en el conocimiento del profesor de Matemáticas, generado por el estudio de la Historia de las Matemáticas. Hoy, tenemos nivel de conciencia que, en tanto profesores de matemáticas, teníamos frente al más yy mejores argumentos para diferenciar proporcionalidad geométrica de la más mejores argumentos para diferenciar la proporcionalidad geométrica de la conocimiento matemático con lala geométrica y de semejanza. Este revela un efecto concreto ende conocimiento del profesor semejanza, pero aahecho la vez, para reconocer sus nexos ee elinteracciones. En esta dirección Matemáticas, generado por elrelacionado estudio de la Historia las Matemáticas. Hoy, tenemos más y mejores argumentos para diferenciar la proporcionalidad proporcionalidad geométrica de la semejanza, pero la vez, para reconocer sus nexos interacciones. En esta dirección conocimiento matemático relacionado con la geométrica y la semejanza, pero a la vez, para reconocer sus nexos e interacciones. En esta dirección semejanza. Este hecho revela un efecto concreto en el conocimiento del profesor de Matemáticas, generado por el estudio de la Historia de las Matemáticas. Hoy, tenemos reconocemos que: más y mejores argumentos para diferenciar la proporcionalidad geométrica de la semejanza, pero ahecho la vez, para un reconocer sus nexosene elinteracciones. Endel esta dirección reconocemos que: semejanza. Este revela efecto concreto conocimiento profesor de reconocemos que: Matemáticas, generado porpara el para estudio de lasus Historia de las Matemáticas. Hoy,dirección tenemos más y mejores diferenciar la proporcionalidad geométrica de la semejanza, pero aargumentos la vez, reconocer nexos e interacciones. En esta reconocemos que: Matemáticas, generado por ela estudio de la entre Historia de las Matemáticas. Hoy, tenemos (i) La semejanza alude una relación dos figuras rectilíneas, en tanto que la más y mejores argumentos para diferenciar la proporcionalidad geométrica de la semejanza, pero a la vez, para reconocer sus nexos e interacciones. En esta dirección (i) La semejanza alude a una relación entre dos figuras rectilíneas, en tanto que reconocemos que:argumentos (i)y mejores La semejanza alude apara una relación entrelados figuras rectilíneas, en tanto que la más diferenciar proporcionalidad geométrica de la proporcionalidad geométrica se refiere a las proporciones que se pueden (i) La semejanza alude a una relación entre dos figuras rectilíneas, en tanto que la semejanza, pero para reconocer nexos interacciones. Enque esta reconocemos que:a la vez, proporcionalidad geométrica se sus refiere las proporciones que sedirección pueden proporcionalidad geométrica se refiere aa deeelas proporciones se pueden semejanza, pero a la vez, para reconocer sus nexos interacciones. En esta dirección establecer entre las cantidades de magnitud objetos geométricos. (i) La semejanza alude a una relación entre dos figuras rectilíneas, en tanto que la proporcionalidad geométrica se refiere a las proporciones que se pueden reconocemos que: entre establecer entrealude las cantidades cantidades de magnitud magnitud defiguras objetosrectilíneas, geométricos. establecer las de de objetos geométricos. reconocemos que: entre (i) La semejanza apara una realizar relación entre dos en tanto que la (ii) Hay procedimientos construcciones de figuras semejantes y otros proporcionalidad geométrica se refiere a las proporciones que se pueden establecer las cantidades de magnitud de objetos geométricos. (ii) Hay procedimientos para realizar construcciones de figuras semejantes y otros (ii) Hay procedimientos para realizar construcciones de figuras semejantes y otros (i) semejanza apara una relación entre dos figuras en tanto la proporcionalidad se magnitud refiere a las proporciones que se ángulos) pueden para construir objetos geométricos (rectas, superficies, establecer entrealude lasgeométrica cantidades de objetos geométricos. (ii) La Hay procedimientos construcciones de rectilíneas, figuras semejantes yque otros (i) La alude a una realizar relación entre dosdefiguras rectilíneas, en tanto que la parasemejanza construir objetos geométricos (rectas, superficies, ángulos) para construir objetos geométricos (rectas, superficies, ángulos) proporcionalidad geométrica se refiere a las proporciones que se pueden establecer entre las cantidades de magnitud de objetos geométricos. proporcionales. (ii) Hay procedimientos para realizar construcciones de figuras semejantes y otros para construir objetos geométricos (rectas, superficies, ángulos) proporcionalidad geométrica se refiere a las proporciones que se pueden proporcionales. proporcionales. establecer entre lasexista cantidades de magnitud de(rectas, objetos geométricos. (ii) Hay procedimientos para una realizar construcciones depara figuras semejantesángulos) yyotros (iii) A pesar de que no notación (simbólica) las proporciones para para construir objetos geométricos superficies, proporcionales. (iii) A pesar pesar de que no exista una notación (simbólica) para las proporciones para establecer entre las cantidades de magnitud de objetos geométricos. (iii) para A de que no exista una notación (simbólica) para las proporciones yyotros para (ii) Hay procedimientos para realizar construcciones de figuras semejantes y construir objetos geométricos (rectas, superficies, ángulos) la semejanza, el discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia proporcionales. (iii) Hay A pesar de queelno exista una notación (simbólica) para las proporciones yotros para (ii) procedimientos para realizar construcciones de figuras semejantes y la semejanza, discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia la semejanza, elno discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia objetos geométricos (rectas, superficies, ángulos) proporcionales. aa unas aa otra. (iii) para A pesarooconstruir de queel exista una notación (simbólica) para las proporciones y para la semejanza, discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia para construir objetos geométricos (rectas, superficies, ángulos) unas otra. a unas o a otra. proporcionales. (iii) A pesar de que no exista una notación (simbólica) para las proporciones y paraa (iv) Tanto la semejanza como la proporcionalidad geométrica son percibidas la semejanza, el discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia a unas o a otra. (iv) proporcionales. Tanto ladesemejanza semejanza como lanotación proporcionalidad geométrica son percibidas percibidas (iv) Tanto la como la proporcionalidad geométrica son (iii) A pesar que no exista una (simbólica) para las proporciones ydesde paraaaa la semejanza, el discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia través de representación propia de los objetos geométricos yyson deducidas unas olade ala otra. (iv) semejanza como lanotación proporcionalidad geométrica percibidas través de la representación propia de los objetos geométricos deducidas desde (iii) aTanto A pesar que no exista una (simbólica) para las proporciones y para través de lasemejanza representación propia de los objetos geométricos yson deducidas desde la semejanza, el discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia alaunas olaala otra. perspectiva hipotética deductiva. (iv) Tanto como la proporcionalidad geométrica percibidas a través de representación propia de los objetos geométricos y deducidas desde la semejanza, el discurso permite identificar cuándo se está haciendo referencia perspectiva hipotética deductiva. la perspectiva hipotética deductiva. aLas unas olaalasemejanza otra. (iv) Tanto como laVIproporcionalidad geométrica son percibidas a (v) proposiciones del Libro se pueden discriminar atendiendo a si asumen través de representación propia de los objetos geométricos y deducidas desde la perspectiva hipotética deductiva. (v) través Las proposiciones delcomo Libro VIproporcionalidad sedepueden pueden discriminar atendiendo a si si asumen asumen aTanto unas olaalasemejanza otra. (v) Las proposiciones del Libro VI se discriminar atendiendo a de representación propia los objetos geométricos y deducidas desde (iv) la geométrica son percibidas proporcionalidad geométrica oosela semejanza como objeto central de perspectiva hipotética deductiva. (v) Las proposiciones del Libro VIproporcionalidad pueden discriminar atendiendo a siestudio. asumenaa la proporcionalidad geométrica la semejanza como objeto central de estudio. (iv) la Tanto la semejanza como la geométrica son percibidas la proporcionalidad geométrica o la semejanza como objeto central de estudio. través de la representación propia depueden los objetos geométricos y deducidas desde perspectiva hipotética deductiva. (v) Las proposiciones del Libro VIosela discriminar atendiendo a siestudio. asumen la proporcionalidad geométrica como objeto central de través de la representación propia desemejanza losejercicio objetos geométricos y textos deducidas desde Esta caracterización se muestra útil para el de análisis de escolares, la perspectiva hipotética deductiva. (v) Las proposiciones del Libro VI se pueden discriminar atendiendo a si asumen Esta caracterización se muestra útil para el ejercicio de análisis de textos escolares, la proporcionalidad geométrica o la semejanza como objeto de central deescolares, estudio. Esta caracterización se muestra útil para el ejercicio de análisis textos la perspectiva hipotética deductiva. en la perspectiva de caracterizar el tratamiento que en estos se hace de la Esta caracterización muestra el ejercicio de análisis de textos escolares, Lasproporcionalidad proposiciones del Libroútil VI discriminar atendiendo a si asumen la geométrica osetratamiento la pueden semejanza como objeto central de estudio. en (v) la perspectiva perspectiva de se caracterizar elpara tratamiento que en estos se hace hace de la la en la de caracterizar el que en estos se de (v) Las proposiciones del Libro VI se pueden discriminar atendiendo a si asumen proporcionalidad geométrica y de la semejanza. Esta caracterización muestra útil el ejercicioque de análisis de textos escolares, en la perspectiva de se caracterizar elpara tratamiento en estos se hace de la la proporcionalidad geométrica o la semejanza como objeto central de estudio. proporcionalidad geométrica y de la semejanza. proporcionalidad geométrica y de la semejanza. la proporcionalidad geométrica o tratamiento la semejanza como objeto central deescolares, estudio. Esta caracterización muestra el ejercicioque de análisis de textos en la perspectiva de se caracterizar elpara en estos se hace de la proporcionalidad geométrica y de laútil semejanza. Por contera, debemos reconocer que el estudio y análisis del Libro VI nos generó un Esta caracterización se muestra útil para el ejercicio de análisis de textos escolares, en la perspectiva de caracterizar el tratamiento que en estos se hace de un la Por contera, debemos reconocer que el estudio y análisis del Libro VI nos generó un proporcionalidad geométrica y de la semejanza. Por contera, debemosse reconocer que el estudio y análisis delestamos Libro VI nos generó Esta caracterización muestra útil para el ejercicio de no análisis deVI textos escolares, gran esfuerzo cognitivo, quizá debido principalmente a que acostumbrados Por contera, debemos reconocer que el estudio y análisis del Libro nos generó un en laesfuerzo perspectiva de quizá caracterizar el tratamiento aa que no enestamos estos acostumbrados se hace de laaaa proporcionalidad geométrica y debido de la semejanza. gran esfuerzo cognitivo, quizá debido principalmente no estamos acostumbrados gran cognitivo, principalmente en la perspectiva de caracterizar el tratamiento que en estos se nos hace deque laa pensar geométricamente sino numéricamente; en otras palabras, reconocemos Por contera, debemos reconocer que el estudio y análisis del Libro VI generó un gran esfuerzo cognitivo, quizá principalmente a que palabras, no estamosreconocemos acostumbrados proporcionalidad geométrica y debido de la semejanza. pensar geométricamente sino numéricamente; en otras que pensar geométricamente sino numéricamente; en otras palabras, reconocemos que proporcionalidad geométrica yun de la que semejanza. Por contera, debemos reconocer el estudio del Libroreconocemos VI nos generó un habitualmente incorporamos pensamiento cuantitativo numérico, incluso para el gran esfuerzo cognitivo, quizá debido principalmente a que palabras, no estamos acostumbrados pensar geométricamente sino numéricamente; eny análisis otras habitualmente incorporamos un pensamiento cuantitativo numérico, incluso paraque elaa habitualmente incorporamos un pensamiento cuantitativo numérico, incluso para el Por contera, debemos reconocer que el estudio y análisis del Libro VI nos generó un gran esfuerzo cognitivo, quizá debido principalmente a que no estamos acostumbrados estudio de la Geometría, y que la propuesta euclidiana para esta implica el empleo de un pensar geométricamente sino numéricamente; en otras palabras, reconocemos que habitualmente incorporamos un pensamiento cuantitativo numérico, incluso para el Por contera, debemosyyreconocer que el estudio y análisis del implica Libro VIel generó estudio de la Geometría, Geometría, que debido la propuesta propuesta euclidiana para esta implica elnos empleo de un una estudio de la que la euclidiana esta empleo de gran esfuerzo cognitivo, quizá principalmente apara que palabras, no estamos acostumbrados pensar geométricamente sino otras reconocemos pensamiento cuantitativo referido aa en las cantidades de magnitud, yy para no su habitualmente incorporamos un pensamiento cuantitativo numérico, incluso ela estudio de la Geometría, yno quenumérico lanuméricamente; propuesta euclidiana para esta implica el empleo deaaque un gran esfuerzo cognitivo, quizá debido principalmente a que no estamos acostumbrados pensamiento cuantitativo no numérico referido las cantidades de magnitud, no su pensamiento cuantitativo no numérico referido a las cantidades de magnitud, y no a su pensar geométricamente sino numéricamente; en otras palabras, reconocemos que habitualmente incorporamos un pensamiento cuantitativo numérico, incluso para el medida. Esta experiencia nos sugiere la hipótesis, verificada en nuestras tesis de estudio la Geometría, yno que lanuméricamente; propuesta para esta implica el empleo un pensamiento cuantitativo numérico referido a en las otras cantidades deenmagnitud, ytesis nodeaque su pensar de geométricamente sino palabras, reconocemos medida. Esta experiencia nos sugiere la euclidiana hipótesis, verificada nuestras de medida. Esta experiencia nos sugiere la hipótesis, verificada en nuestras tesis de habitualmente incorporamos un pensamiento cuantitativo numérico, incluso para el estudio de la Geometría, y que la propuesta euclidiana para esta implica el empleo de un maestría [1, 4, 5], que en las matemáticas escolares la proporcionalidad tiene pensamiento cuantitativo numérico referido a las cantidades deenmagnitud, no su medida. nos la hipótesis, verificada nuestras tesis de habitualmente incorporamos unsugiere pensamiento cuantitativo numérico, inclusoytiene paraa un el maestríadeEsta [1, 4,experiencia 5], que que yno en las matemáticas escolares laesta proporcionalidad tiene un maestría [1, 4, 5], en las matemáticas escolares la proporcionalidad estudio la Geometría, que lasugiere propuesta euclidiana para implica el empleo pensamiento cuantitativo no numérico referido a lasno cantidades deenmagnitud, ytiene nodea un su marcado énfasis en el tratamiento aritmético, pero en el estrictamente geométrico, medida. Esta experiencia nos la hipótesis, verificada nuestras tesis de maestría [1, 4, 5], que en las matemáticas escolares la proporcionalidad un estudio de la Geometría, y que la propuesta euclidiana para esta implica el empleo de marcado énfasis en el tratamiento aritmético, pero no en el estrictamente geométrico, un marcado énfasis en el tratamiento aritmético, pero no enlaelproporcionalidad estrictamente geométrico, pensamiento cuantitativo no numérico referido a lalasracionalidad cantidades de no a las su medida.queEsta lasobre hipótesis, verificada enmagnitud, nuestras tesis de hecho conducir aa nos una reflexión del mismo yy yysobre maestría [1,debe 4,experiencia 5], que en las sugiere matemáticas escolares tiene un marcado énfasis en el tratamiento aritmético, pero no en el estrictamente geométrico, pensamiento cuantitativo no numérico referido a la lasracionalidad cantidades de magnitud, no a las su hecho que debe conducir una reflexión sobre la racionalidad del mismo sobre las hecho que debe conducir a una reflexión sobre del mismo y sobre medida. Esta experiencia nos sugiere lafavor hipótesis, verificada en mismo nuestras tesis las de maestría [1,debe 4, 5], que en las matemáticas escolares lamodalidades proporcionalidad tiene un posibilidades de alterar este statu quo a de otras de pensamiento marcado énfasis en el tratamiento aritmético, pero no en el estrictamente geométrico, hecho que conducir a una reflexión sobre la racionalidad del y sobre medida. Esta experiencia nos sugiere la hipótesis, verificada en nuestras tesis de posibilidades de 5], alterar este statumatemáticas quo aa favor favorpero de otras otras modalidades de pensamiento pensamiento posibilidades de alterar este statu quo de de maestría [1,debe 4, que en las tiene las un marcado en el tratamiento aritmético, no enlamodalidades elproporcionalidad estrictamente geométrico, matemático, como el cuantitativo no numérico. hecho queénfasis a una reflexión sobreescolares la racionalidad del mismo y sobre posibilidades de conducir alterar este statu quo a favor de otras modalidades de pensamiento maestría [1, 4, 5], que en las matemáticas escolares la proporcionalidad tiene un matemático, como el cuantitativo no numérico. matemático, como el cuantitativo no numérico. marcado énfasis en el tratamiento aritmético, pero no en el estrictamente geométrico, hecho que debe conducir a una reflexión sobre la racionalidad del mismo y sobre las posibilidades de en alterar este statunoaritmético, quo a favorpero de otras de pensamiento matemático, como elelcuantitativo numérico. marcado énfasis tratamiento no en modalidades el estrictamente geométrico, hecho que debe conducir a una reflexión sobre la racionalidad del mismo y sobre las posibilidades de alterar este statu quo a favor de otras modalidades de pensamiento matemático, como el cuantitativo no numérico. hecho que debe conducir a una reflexión sobre la racionalidad del mismo y sobre las posibilidades de alterar este statunoquo a favor de otras modalidades de pensamiento matemático, como el cuantitativo numérico. posibilidades de alterar este statu quo a favor de otras modalidades de pensamiento matemático, como el cuantitativo no numérico. matemático, como el cuantitativo no numérico. 84

Diferencia entre semejanza y proporcionalidad geométrica Referencias bibliográficas [1] Quintero, A. L. y Molavoque M. J. (2012). Análisis de las tareas asociadas a la propor­­cionalidad geométrica y la semejanza, presentes en libros de texto de Mate­ máticas, en el Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá. [2] Puertas, M. L. (1994), Euclides. Elementos. Libros V-IX. Biblioteca Clásica Gredos, Madrid: Editorial Gredos S.A. [3] Guacaneme, E. A. (2012), Significados de los conceptos de razón y proporción en el Libro V de Elementos, pensamiento, epistemología y lenguaje matemático, O. L. León, Editor, Fondo de Publicaciones Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”: Bogotá. 99-136. [4] Guacaneme, E. A. (2001), Estudio Didáctico de la proporción y la proporcionalidad: Una aproximación a los aspectos matemáticos formales y a los textos escolares de matemáticas, Instituto de Educación y Pedagogía, Universidad del Valle, 358. [5] Guacaneme, E.A., (2002). Una mirada al tratamiento de la proporcionalidad en los textos escolares de matemáticas. Revista EMA. Investigación e innovación en educación matemática, 7(1) 3-42. Dirección de los autores Aura Lucía Quintero Colegio Centro Integral José María Córdoba, Secretaría de Educación del Distrito, Bogotá - Colombia [email protected] María Judith Molavoque Colegio Centro Integral José María Córdoba, Secretaría de Educación del Distrito, Bogotá - Colombia [email protected] Edgar Alberto Guacaneme Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá - Colombia [email protected].

Volumen 16, diciembre 2012

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