10.1

Parábolas

10.2

Elipses

10.3

Hipérbolas

10.4

Cónicas desplazadas

10.5

Rotación de ejes

10.6

Ecuaciones polares de cónicas

10.7

Curvas planas y ecuaciones paramétricas

Esquema del capítulo Las secciones cónicas son las curvas que se obtienen cuando se hace un corte recto en un cono, como se muestra en la figura. Por ejemplo, si se corta un cono horizontalmente, la sección transversal es un círculo. Por lo tanto, un círculo es una sección cónica. Otras formas de corte de un cono producen parábolas, elipses e hipérbolas.

Círculo

Elipse

Parábola

Hipérbola

PhotoDisc/Getty Images

El objetivo en este capítulo es hallar ecuaciones cuyas gráficas son las secciones cónicas. Ya se sabe de la sección 1.8 que la gráfica de la ecuación x2 y2 5 r2 es un círculo. Se encontrarán ecuaciones para cada una de las otras secciones cónicas al analizar sus propiedades geométricas.

La trayectoria de una pelota de baloncesto es una parábola.

La órbita de un planeta es una elipse.

La forma de una torre de enfriamiento es una hipérbola.

Las secciones cónicas son importantes porque sus formas están ocultas en la estructura de muchas cosas. Por ejemplo, la trayectoria de un planeta que se mueve alrededor del Sol es una elipse. La trayectoria de un proyectil (como un cohete, una pelota de baloncesto o el agua que brota de una fuente) es una parábola, lo cual hace 743

744

CAPÍTULO 10 Geometría analítica

que el estudio de las parábolas sea indispensable en la ciencia de los cohetes. Las secciones cónicas también ocurren en muchos lugares inesperados. Por ejemplo, la gráfica del rendimiento de una cosecha como una función de la cantidad de lluvia es una parábola (véase la página 321). Se examinarán algunos usos de las cónicas en medicina, ingeniería, navegación y astronomía. En la sección 10.7 se estudian ecuaciones paramétricas, las cuales se pueden usar para describir la curva que un cuerpo en movimiento traza con el tiempo. En Énfasis en el modelado, página 816, se deducen ecuaciones paramétricas para la trayectoria de un proyectil.

10.1

Parábolas En la sección 2.5 se vio que la gráfica de la ecuación y 5 ax2 bx c es una curva en forma de U llamada parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si el signo de a es positivo o negativo. En esta sección se estudian las parábolas desde un punto de vista geométrico en vez de algebraico. Se empieza con la definición geométrica de una parábola y se muestra cómo esto conduce a la fórmula algebraica con la que ya se está familiarizado.

eje

parábola

Definición geométrica de una parábola Una parábola es el conjunto de puntos en el plano equidistante de un punto fijo F (llamado foco) y una línea fija l (llamada directriz).

foco F

V l vértice Figura 1

directriz

Esta definición se ilustra en al figura 1. El vértice V de la parábola se localiza a la mitad entre el foco y la directriz, y el eje de simetría es la línea que corre por el foco perpendicular a la directriz. En esta sección se restringe la atención a parábolas que están situadas con el vértice en el origen y que tienen un eje de simetría vertical u horizontal. (Las parábolas en posiciones más generales serán consideradas en las secciones 10.4 y 10.5.) Si el foco de tal parábola es el punto F10, p2, entonces el eje de simetría debe ser vertical y la directriz tiene la ecuación y 5 !p. En la figura 2 se ilustra el caso p " 0.

y P(x, y) y

F(0, p) p 0 y=_p Figura 2

p

x

SECCIÓN 10.1 Parábolas

745

Si P1x, y2 es cualquier punto sobre la parábola, entonces la distancia de P al foco F (con la fórmula de la distancia) es 2x 2 # 1 y " p2 2

La distancia desde P a la directriz es 0 y " 1"p2 0 5 0 y # p 0 Por la definición de una parábola, estas dos distancias deben ser iguales: 2x 2 # 1 y " p2 2 5 0 y # p 0

x 2 # 1 y " p2 2 5 0 y # p 0 2 5 1 y # p2 2 2

2

2

2

x # y " 2py # p 5 y # 2py # p

Eleve al cuadrado ambos lados

2

Desarrolle

x 2 " 2py 5 2py

Simplifique

2

x 5 4py Si p 0, entonces la parábola abre hacia arriba, pero si p ! 0, abre hacia abajo. Cuando x se reemplaza por "x, la ecuación permanece sin cambio, de modo que la gráfica es simétrica respecto al eje y.

Ecuaciones y gráficas de parábolas En el cuadro siguiente se resume lo que se ha probado acerca de la ecuación y características de una parábola con un eje vertical.

Parábola con eje vertical La gráfica de la ecuación x2 5 4py es una parábola con las siguientes propiedades. VÉRTICE

V10, 02

FOCO

F10, p2

DIRECTRIZ

y 5 "p

La parábola abre hacia arriba si p y

0 o hacia abajo si p ! 0. y

F(0, p)

0

y=_p x

x

0

y=_p F(0, p)

≈=4py con p>0

≈=4py con p