ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL

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INTERVALOS DE CONFIANZA Para construir intervalos de confianza de los parámetros de la regresión, necesitamos suponer también que los errores tienen una distribución de probabilidad normal, lo que nos permitirá establecer que las distribuciones muestrales de βˆ0 y βˆ1 son normales. De hecho, dentro de los supuestos planteados para elaborar el modelo se tenia que para cada valor fijo de X, los errores se suponían ser cantidades aleatorias, independientes y distribuidas normalmente con media cero y varianza común σ2. Consecuentemente, el intervalo de confianza al (1-α) 100% para βˆ0 esta dado por

βˆ0 ± t nα−/k2 ⋅ ee( βˆ0 ) donde t nα−/k2 es el porcentil (1-α/2) de una distribución t con n-k grados de libertad y ee( βˆ0 ) es el error estándar de βˆ0 . De manera semejante, el intervalo de confianza al (1-α)100% para βˆ1 esta dado por

βˆ1 ± t nα−/k2 ⋅ ee( βˆ1 ) La interpretación del intervalo de confianza para βˆ1 , por ejemplo, es la siguiente: si tomáramos muestras repetidas con los mismos tamaños y los mismos valores de X y se construyeran 100 intervalos de confianza, 95 de estos intervalos para el parámetro de la pendiente, βˆ1 , serían iguales al obtenido, o bien, con una probabilidad del 95%, el verdadero valor de βˆ1 es encuentra dentro del intervalo apuntado. Observe que los límites de confianza señalados se construyen para cada uno de los parámetros β 0 y β1 , por separado. Esto no significa que una región de confianza simultánea (común) para los dos parámetros sea rectangular. Realmente, la región de confianza simultánea es elíptica. Esta región se da para el caso general de la regresión múltiple en el apéndice de estas notas, donde la región de confianza simultánea para β 0 y β1 es un caso especial. PREDICCIÓN La ecuación de regresión ajustada se puede utilizar para realizar predicción. Se distinguen dos tipos de predicciones: 1. La predicción del valor de la variable de respuesta, Y, que corresponde a cualquier valor elegido de la variable predictora, X, 2. La estimación de la respuesta media, µ0, cuando X=x0 (esto es, E (Y \ x0 ) = µ ).

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a) Predicción del valor y0 Para el primer caso, el valor predecido de y0 esta dado por yˆ 0 = βˆ0 + βˆ1 x0

(1)

El error estándar de esta predicción es ee( yˆ 0 ) = σˆ 1 +

(x − x)2 1 + n 0 n ∑ ( xi − x ) 2

(2)

i =1

Por lo tanto, los límites de confianza para el valor de la predicción con un coeficiente de confianza (1-α) se da por yˆ 0 ± t nα−/k2 ⋅ ee( yˆ 0 )

(3)

b) Estimación de µ0 Para el segundo caso, la respuesta media es estimada por

µˆ 0 = βˆ0 + βˆ1 x0

(4)

El error estándar de esta estimación es1 ee( µˆ 0 ) = σˆ

(x − x)2 1 + n 0 n ∑ ( xi − x ) 2

(5)

i =1

de cuál se sigue que los límites de confianza para µˆ 0 con un coeficiente de confianza (1-α) están dados por

µˆ 0 ± t nα−/k2 ⋅ ee( µˆ 0 )

(6)

Observe que la estimación puntal de µˆ 0 es idéntica a la respuesta predecida, yˆ 0 . Esto puede ser visto comparando (1) con (4). El error estándar de µˆ 0 es, sin embargo, más pequeño que el error estándar de yˆ 0 , y puede ser considerado comparando (2) con (5). Intuitivamente, esto tiene sentido. Hay mayor incertidumbre (variabilidad) en predecir una observación (la observación siguiente) que en el cálculo de la respuesta media cuando X=x0. Haciendo un 1

Algunos autores como Bowerman et. al. (2007:109) le denominan al término

(x − x)2 1 + n 0 n ∑ ( xi − x ) 2 i =1

valor de distancia, denominación debida a que es una medida de la distancia entre x0 y el promedio de los valores x observados.

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promedio implica que la respuesta media reduce la variabilidad y la incertidumbre asociadas a la estimación. Esto es, nótese que el intervalo de predicción media es mayor que el intervalo de confianza para la estimación individual debido a que se presenta una mayor incertidumbre acerca del término de error. Para distinguir entre los límites señalados en (3) y (6), los límites dentro (3) se refieren en ocasiones como los límites de predicción o de pronóstico, mientras que los límites dados por (6) se llaman los límites de confianza. ____________________________________________________________________________________________ Ejemplo: datos sobre ventas vs publicidad ____________________________________________________________________________________________ Si se consideran los resultados obtenidos para el caso del modelo entre las ventas y la publicidad, se puede observar que el intervalo al 95% de confianza para βˆ1 esta dado por 3.25 ± (2.228) (0.8979142) = (1.2494472, 5.2505528) Source | SS df MS -------------+-----------------------------Model | 507 1 507 Residual | 387 10 38.7 -------------+-----------------------------Total | 894 11 81.2727273

Number of obs F( 1, 10) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE

= = = = = =

12 13.10 0.0047 0.5671 0.5238 6.2209

-----------------------------------------------------------------------------ventas | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------publicidad | 3.25 .8979142 3.62 0.005 1.249322 5.250678 _cons | 33.75 8.27836 4.08 0.002 15.30466 52.19534 ------------------------------------------------------------------------------

La interpretación de este intervalo de confianza es la siguiente: con un 95% de probabilidad, por cada peso que aumentan los gastos en publicidad, el incremento en las ventas se encuentra entre 1.25 y 5.25 pesos. El cálculo del intervalo de confianza para βˆ0 en este ejemplo se deja como ejercicio para el lector. Si continuamos con el ejemplo de las ventas en función de los gastos de publicidad, se puede buscar predecir el valor individual (o particular) de las ventas cuando los gastos de publicidad asciendan a 5 (valor no observado dentro de la muestra). De esta manera, se tiene yˆ 0 = 33.75 + 3.25(5) = 50 con error estándar de

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ee( yˆ 0 ) = σˆ 1 +

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(x − x)2 1 1 (5 − 9) 2 16 + n 0 = 6.2209 1 + + = 6.2209 1.0833 + = 7.404352019 n 12 48 48 2 ∑ ( xi − x ) i =1

Note que si se calculan los diferentes intervalos de confianza para todos los valores observados en la muestra y se presentan gráficamente, se llega a una gráfica como la que se muestra a continuación. graph twoway (lfitci ventas publicidad) (scatter ventas publicidad, mlabel(t) ), yline(63) xline(9) title("Ventas vs Publicidad") ytitle("Ventas") legend(ring(0) order(2 "Ajuste lineal" 1 "IC del 95% "))

80

Ventas vs Publicidad 6

2

70

11 1 9

Ventas 60

12

7

5

4

8

40

50

10 3

6

Ajuste lineal

IC del 95%

8

10

12

publicidad

Por otra parte, si el departamento de producción puede desear estimar el valor esperado de las ventas (media) cuando los gastos de publicidad asciendan a 5, se utilizaría (4) y (5), respectivamente. Denotando por µ0 a las ventas promedio previstas para cuando los gastos de publicidad son 5, es decir, X=5, se tiene: yˆ 0 = 33.75 + 3.25(5) = 50 con un error estándar de ee( µˆ 0 ) = σˆ

(x − x)2 1 1 (5 − 9) 2 16 + n 0 = 6.2209 + = 6.2209 0.0833 + = 4.015573683 n 12 48 48 2 ∑ ( xi − x ) i =1

___________________________________________________________________________________________

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Con los errores estándar señalados en las expresiones (3) y (6), se pueden construir los intervalos de confianza elegidos apropiadamente. Adicionalmente, como puede observarse de (2), el error estándar de la predicción individual incrementa la predicción en la medida que se consideran valores más lejanos al valor de la media muestral, el cual representa el centro de las observaciones. Por lo tanto, debe tenerse cuidado al predecir el valor Y (las ventas en este caso) para aquellos valores de X (gastos en publicidad) muy alejados a los observados en la muestra. Existen dos tipos de riesgos en tales predicciones. Primero, hay una substancial incertidumbre debido a que el error estándar es más grande. Otro elemento, quizás más importante es que la relación lineal que se ha estimado no puede sostenerse fuera de la gama de datos observados. Por lo tanto, debe tenerse mucho cuidado al emplear la línea de regresión ajustada para una predicción muy distante de las observaciones utilizadas en el ajuste del modelo. En nuestro ejemplo, no utilizaríamos la ecuación ajustada para predecir las ventas cuando los gastos en publicidad asciendan a 100. Este valor esta demasiado alejado de la gama existente de datos observados de la variable gastos de publicidad. En otras palabras, entre más alejado del valor medio es x0, mayores son los intervalos de confianza y de predicción, y por lo tanto más factible es incurrir en una imprecisión.

Ventas vs Publicidad 80 6

2 11

70

1 12

60 7

5

Ventas

9

4

8 10 3

50

Ajuste lineal 6

IC del 95%

8

10

40 12

publicidad

______________________________________________________________________________________________ Cálculo de los intervalos de confianza en Stata para el ejemplo de Ventas vs Publicidad ______________________________________________________________________________________________ Vamos a considerar la construcción de los intervalos de confianza tanto para la predicción del valor y0 como para la estimación de µ0 en Stata. De esta manera, una vez que se ajustado el modelo mediante

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regress ventas publicidad el paso siguiente será obtener el valor de las ventas estimadas para cada valor de los gastos en publicidad observados en la muestra, esto es, yˆ i , lo cual en Stata se logra utilizando el comando predict ventashat, xb El Cuadro 1 presenta las diferentes opciones que pueden emplearse con el comando predict así como los resultados que estás opciones ofrece Cuadro 1. Comandos en Stata para la predicción2 Comando

lo qué hace

predict varname1, xb

Calcula el valor yˆ i = βˆ 0 + βˆ1 x y lo almacena en una nueva variable llamada varname1.

predict varname2, r

Calcula el residual

eˆi = yi − yˆ i para cada

observación, y lo guarda en una nueva variable llamada varname2.

predict varname3, stdp

Calcula el error estándar de la predicción media para cada observación, y la guarda en una nueva variable llamada varname3 (expresión (5)).

S yˆ

predicit varname4, stdf

Calcula el error estándar del pronóstico particular

S y- yˆ

para cada observación, y lo guarda en una nueva variable llamada varname4 (expresión (2)). Nota: varname es un nombre seleccionado por el usuario.

Puede suceder que nos encontremos preocupemos porque nuestra predicción sea inexacta al querer formar un intervalo de confianza razón por la que quizás sea más conveniente pronosticar las ventas promedio. Sabemos que la fórmula para construir intervalos de confianza parte de:

ˆ i ± Zα/2 (S yˆ ) Y donde S yˆ es el error estándar de la predicción media (dada por la expresión (5)). Se puede entonces considerar que Stata calcule el error estándar de la predicción media a través de la sintaxis: predict syhat, stdp 2

Los nombres de las variables pueden ser cualquier pero las opciones xb, r, stdp y stdf necesitan ser indicadas tal y como se encuentran en el Cuado 1.

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La opción “, stdp” le indica a Stata que se desea encontrar el error estándar de la predicción media ; con tal fin, para el ejemplo de ventas vs gastos en publicidad se crea una nueva variable llamada syhat para este valor (observe nuevamente que este nombre puede ser cualquiera). El intervalo de confianza al 95% estaría dado por los límites inferior (LI) y superior (LS) de la forma siguiente: gen liestventas = ventashat – 1.96 * syhat gen lsestventas = ventashat + 1.96 * syhat Es posible entonces visualizar los rangos de intervalo de confianza si graficamos considerando las siguientes instrucciones3:

40

50

60

70

80

order publicidad label variable ventashat “ventas estimadas” label variable liestventas “LI del pronostico medio” label variable lsestventas “LS del pronostico medio” label variable publicidad “gastos en publicidad” graph twoway (scatter ventas publicidad) (line ventashat publicidad) (line liestventas publicidad) (line lsestventas publicidad)

6

8

10

12

publicidad ventas liestventas

Linear prediction lsestventas

3

Las instrucciones completas para el ejemplo de Ventas vs Publicidad son las siguientes regress ventas publicidad predict ventashat, xb predict syhat, stdp gen liestventas = ventashat - 1.96 * syhat gen lsestventas = ventashat + 1.96 * syhat sort ventashat graph twoway (scatter ventas publicidad) (line ventashat publicidad) (line liestventas publicidad) (line lsestventas publicidad) graph twoway (lfitci ventas publicidad) (scatter ventas publicidad)

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Observe que esta gráfica es la misma que se obtiene mediante la instrucción graph twoway publicidad)

(lfitci ventas publicidad) (scatter ventas

40

50

60

70

80

como se muestra a continuación:

6

8

10

12

publicidad 95% CI ventas

Fitted values

Podemos también obtener los límites inferior y superior del intervalo de confianza al 95% para las ventas de cualquier valor especifíco de los gastos en publicidad. Para hacer esto escribimos en la ventana de comandos: summ liestventas lsestventas if publicidad==10 La salida que se obtienes es la siguiente: Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max -------------+-------------------------------------------------------liestventas | 2 62.31472 0 62.31472 62.31472 lsestventas | 2 70.18528 0 70.18528 70.18528

Finalmente, si deseamos obtener una gama de “resultados probables” para los valores individualmente observados, es decir, construir un intervalo para el pronóstico, la fórmula para ello es:

ˆ i ± Zα/2 (S y- yˆ ) Y donde S y- yˆ está el “error estándar del pronóstico” (expresión (2)). Tenemos una fórmula para esto, pero Stata puede también generarla por nosotros: predict syminusyhat1, stdf

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Ahora se puede construir un intervalo de confianza al 95% para las ventas individuales observadas: gen lifventas= ventashat - 1.96 * syminusyhat1 gen lufventas = ventashat + 1.96 * syminusyhat1 Generemos entonces una gráfica que muestre las bandas para todos los valores de los gastos de publicidad:

40

50

60

70

80

90

order publicidad graph twoway (scatter ventas publicidad) (line ventashat publicidad) (line lifventas publicidad) (line lufventas publicidad)

6

8

10

12

publicidad ventas lifventas

Linear prediction lufventas

Se pueden entonces etiquetar las variables para obtener un gráfico más adecuado. label variable ventashat “ventas estimadas” label variable lifventas “banda inferior del pronostico” label variable lufventas “banda superior del pronostico” label variable publicidad “gastos en publicidad” graph twoway (scatter ventas publicidad, ytitle("ventas")) (line ventashat publicidad) (line lifventas) (line lufventas)

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9

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50

60

ventas 70

80

90

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6

8

10

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gastos en publicidad ventas banda inferior del pronostico

ventas esperadas banda superior del pronostico

La comparación de los dos tipos de intervalos (predicción media y predicción individual) se muestra a continuación Order publicidad label variable lifventas "LI pred. indiv." label variable lufventas "LS pred. indiv." label variable liestventas "LI pred. media" label variable lsestventas "LS pred. media" graph twoway (scatter ventas publicidad, mlabel(t) ytitle(ventas)) (line ventashat publicidad) (line lifventas publicidad) (line lufventas publicidad) (line liestventas publicidad) (line lsestventas publicidad)

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6

2

ven ta s 60 70

11 1

9

12 7 10 3

4

40

50

5

8

6

8

10

12

publicidad ventas LI pred. indiv. LI pred. media

ventas estimadas LS pred. indiv. LS pred. media

Bibliografía y referencias Bowerman, Bruce, Richard T. O´Connell y Anne B. Kholer (2007). Pronósticos, series de tiempo y regresión, 4ª. ed., CENGAGE Learning, México. Chatterjee , Samprit y Ali S. Hadi (2006). Regression Analysis by Example, 4ª. ed., John Wiley & Sons, New Jersey. Gujarati, Damodar y Dawn C. Porter (2010). Econometría, 5ª. ed., McGraw-Hill, México. Kutner, Michael H., Christopher J. Nachtsheim, John Meter y William Li (2005). Applied Linear Statistical Models, 5ª. ed., McGraw-Hill, Estados Unidos.

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ANEXOS ztable

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50

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Areas .00 0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2257 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713 0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4965 0.4974 0.4981 0.4987 0.4990 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998

between 0 & Z .01 .02 0.0040 0.0080 0.0438 0.0478 0.0832 0.0871 0.1217 0.1255 0.1591 0.1628 0.1950 0.1985 0.2291 0.2324 0.2611 0.2642 0.2910 0.2939 0.3186 0.3212 0.3438 0.3461 0.3665 0.3686 0.3869 0.3888 0.4049 0.4066 0.4207 0.4222 0.4345 0.4357 0.4463 0.4474 0.4564 0.4573 0.4649 0.4656 0.4719 0.4726 0.4778 0.4783 0.4826 0.4830 0.4864 0.4868 0.4896 0.4898 0.4920 0.4922 0.4940 0.4941 0.4955 0.4956 0.4966 0.4967 0.4975 0.4976 0.4982 0.4982 0.4987 0.4987 0.4991 0.4991 0.4993 0.4994 0.4995 0.4995 0.4997 0.4997 0.4998 0.4998

of the .03 0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238 0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370 0.4484 0.4582 0.4664 0.4732 0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983 0.4988 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998

Standard .04 | 0.0160 | 0.0557 | 0.0948 | 0.1331 | 0.1700 | 0.2054 | 0.2389 | 0.2704 | 0.2995 | 0.3264 | 0.3508 | 0.3729 | 0.3925 | 0.4099 | 0.4251 | 0.4382 | 0.4495 | 0.4591 | 0.4671 | 0.4738 | 0.4793 | 0.4838 | 0.4875 | 0.4904 | 0.4927 | 0.4945 | 0.4959 | 0.4969 | 0.4977 | 0.4984 | 0.4988 | 0.4992 | 0.4994 | 0.4996 | 0.4997 | 0.4998 |

12

Normal .05 0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289 0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744 0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984 0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998

Distribution .06 .07 0.0239 0.0279 0.0636 0.0675 0.1026 0.1064 0.1406 0.1443 0.1772 0.1808 0.2123 0.2157 0.2454 0.2486 0.2764 0.2794 0.3051 0.3078 0.3315 0.3340 0.3554 0.3577 0.3770 0.3790 0.3962 0.3980 0.4131 0.4147 0.4279 0.4292 0.4406 0.4418 0.4515 0.4525 0.4608 0.4616 0.4686 0.4693 0.4750 0.4756 0.4803 0.4808 0.4846 0.4850 0.4881 0.4884 0.4909 0.4911 0.4931 0.4932 0.4948 0.4949 0.4961 0.4962 0.4971 0.4972 0.4979 0.4979 0.4985 0.4985 0.4989 0.4989 0.4992 0.4992 0.4994 0.4995 0.4996 0.4996 0.4997 0.4997 0.4998 0.4998

.08 0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.1844 0.2190 0.2517 0.2823 0.3106 0.3365 0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306 0.4429 0.4535 0.4625 0.4699 0.4761 0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998

.09 0.0359 0.0753 0.1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389 0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767 0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998 0.4998

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ttable

df 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 140 160 180 200

UAM-X

Critical Values of Student's t .10 .05 .025 .01 .005 .20 .10 .050 .02 .010 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 1.301 1.679 2.014 2.412 2.690 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 1.297 1.673 2.004 2.396 2.668 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 1.295 1.669 1.997 2.385 2.654 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648 1.293 1.665 1.992 2.377 2.643 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 1.292 1.663 1.988 2.371 2.635 1.291 1.662 1.987 2.368 2.632 1.291 1.661 1.985 2.366 2.629 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 1.288 1.656 1.977 2.353 2.611 1.287 1.654 1.975 2.350 2.607 1.286 1.653 1.973 2.347 2.603 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601

13

.0005 .0010 636.619 31.599 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850 3.819 3.792 3.768 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646 3.591 3.551 3.520 3.496 3.476 3.460 3.447 3.435 3.425 3.416 3.409 3.402 3.396 3.390 3.373 3.361 3.352 3.345 3.340

1-tail 2-tail

10-P