Estadística Descriptiva

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Sesión No. 8 Nombre: Medidas de centralización

Contextualización

En la sesión anterior has conocido una de las medidas de tendencia central denominada media aritmética, a través de la sesión anterior has aprendido su concepto y apoyado en un ejemplo práctico, has aprendido a calcularla.

Al terminar esta sesión habrás comprendido una más de las medidas de tendencia central, conocida como mediana.

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Introducción al Tema

En la sesión anterior se revisó la media como una medida de tendencia central que describe la concentración de los datos de una muestra respecto a un determinado valor. No obstante, la media es sensible a valores extremos, es decir, si en el conjunto de datos muestrales existen valores numéricos muy bajos o muy altos, éstos distorsionan la interpretación del valor de la media, ofreciendo una descripción poco objetiva de las características que describen a una muestra.

En esta sesión, estudiarás el concepto de otra medida de tendencia central conocida como mediana, la cual se distingue por su estabilidad ante valores muestrales extremos.

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Explicación III.2 Mediana La mediana, denotada por

es el dato muestral que se ubica exactamente a la mitad

del conjunto de observaciones. Para un conjunto de datos no agrupados, la mediana se calcula de la siguiente manera: •

Para un número impar de observaciones muestrales, se toma el valor del dato que se encuentra a la mitad del conjunto.

•

Para un número par de observaciones, se toman los dos valores centrales y se procede a calcular su media aritmética.

Considera el siguiente conjunto de observaciones muestrales: A = {1, 9, 10, 45, 63} Como puede observarse, el número de elementos de la muestra es igual a cinco (n = 5). Dado que se trata de un número impar de elementos, se toma aquel posicionado a la mitad, es decir, el valor que tiene el mismo número de elementos menores y mayores que él. En este ejemplo, se tiene que:

Ahora, supongamos que se tiene el conjunto de observaciones muestrales: B = {3, 6, 15, 20, 50, 100} Este conjunto de observaciones muestrales se compone de seis elementos, por lo que n = 6. Como n es un número par, se procede a tomar los dos valores centrales (15 y 20) y se calcula su media aritmética para obtener la mediana del conjunto B:

Debe señalarse que la mediana no es una medida sensible a los valores extremos. Consecuentemente, es una medida alternativa a la media que puede emplearse como valor de referencia del punto de equilibrio de un conjunto de datos muestrales. La fórmula para determinar la mediana para datos agrupados es la siguiente:

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Dónde: Límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana. Para determinar en qué clase se encuentra la mediana, se divide el número n total de datos entre dos. Posteriormente se suma, comenzando desde la primera, la frecuencia de cada intervalo. Cuando la suma es igual o mayor al número n total de datos entre dos, se considera que el último intervalo de dicha suma es el que contiene a la mediana. Tamaño o número total de elementos que componen la muestra. Suma de frecuencias por debajo del intervalo de clase que contiene a la mediana. Frecuencia del intervalo de clase donde se encuentra la mediana. Para obtenerla, se aplica el procedimiento explicado para determinar la clase o intervalo en donde se sitúa la mediana. Longitud del intervalo de clase.

Cada elemento de la fórmula se toma directamente de la tabla de datos agrupados. Considerando el caso práctico sobre el estudio estadístico de la bebida, tomamos de nuestra tabla de datos agrupados la columna referente a las frecuencias de clase fi:

De la tabla se obtienen los siguientes valores para las frecuencias de clase: f1 = 5,

f2 = 10,

f3 = 30,

f4 = 40,

f5 = 15

Se tiene, pues, un total de 100 valores (n = 100). El número total de datos entre dos es:

Se observa que la suma de las frecuencias de las primeras cuatro clases es: 5+10+30+40=85 Dado que 85 > 50, se tiene entonces que la última clase de esta suma es: [20,25)

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y corresponde a la clase que contiene a la mediana. Por tal motivo: L1 = 20 Ya que este valor es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana. Tenemos tres clases por debajo de la clase que contiene a la mediana: [5,10), [10,15) y [15,20) La suma de sus respectivas frecuencias es 5 + 10 + 30 = 45, por lo tanto: (Σf )1 = 45 La frecuencia de la clase en donde se encuentra la mediana es 40, por lo que: fm = 40 Finalmente, la longitud del intervalo de clase es: c=5 Sustituyendo estos valores en la fórmula para calcular la mediana para datos agrupados:

Es importante mencionar que la mediana y la media de datos agrupados guardan una estrecha relación entre sí; de hecho, sus valores suelen ser cercanos:

Ambas son empleadas para la interpretación de los resultados estadísticos y nos permiten construir una conclusión de lo que se nos presenta.

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Conclusión

A lo largo de esta sesión se ha descrito una más de las medidas de tendencia central, esta, denominada mediana se ubica exactamente a la mitad del conjunto de observaciones. Has aprendido los procedimientos para su cálculo tanto en un conjunto de datos no agrupados, como en uno de datos agrupados.

En la siguiente sesión conocerás los temas correspondientes a la moda como una de las medidas de tendencia central.

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Actividad de Aprendizaje

Para fortalecer los conocimientos obtenidos en esta sesión, deberás realizar la siguiente actividad. Introducciones Con la siguiente tabla determina la mediana para datos agrupados:

Intervalos de clase

Frecuencia de clase fi

[5,10)

5

[10,15)

10

[15,20)

30

[20,25)

40

[25,30)

15 100

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Referencias

Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Mendenhall, W. y T. Sincich (1997). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Cuarta edición. México: Prentice Hall.

Spiegel, M. y L. Stephens (2001). Estadística. México: McGraw Hill.

Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM.

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