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Estadística

Objetivos En esta quincena aprenderás a: •

Distinguir los conceptos población y muestra.

de

•

Diferenciar los tres tipos de variables estadísticas.

•

Hacer recuentos y gráficos.

•

Calcular e interpretar las medidas estadísticas de centralización más importantes.

•

Calcular las principales medidas de dispersión.

•

Entender la importancia de la elección de la muestra para que sea representativa.

1.Estadística descriptiva ………………… pág. 184 Población y muestra Variables estadísticas Gráficos variables cualitativas Gráficos variables cuantitativas discretas Gráficos variables cuantitativas continuas 2.Medidas de centralización ………….… pág. 187 Media, moda y mediana Evolución de la media Evolución de la mediana Media y mediana comparadas Medidas de posición 3.Medidas de dispersión …………….…… pág. 190 Desviación típica y recorrido Cálculo de las medidas de dispersión La media y la desviación típica 4.Representatividad de las muestras..pág. 192 Muestreo estratificado Muestreo aleatorio. Sesgo Ejercicios para practicar Para saber más Resumen Autoevaluación Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS B „

181

182

„ MATEMÁTICAS B

Estadística Antes de empezar

Recuerda El curso pasado ya estudiaste estadística, y en numerosas ocasiones has hecho estadística aunque no te hayas dado cuentas de ello. Veamos algunos ejemplos.

Nota media A lo largo de un curso escolar tendrás muchas ocasiones donde calcular este valor. Si una nota depende de dos exámenes y en uno tienes un 4, intentarás sacar al menos un 6 en la otra. Al final del instituto, las medias del bachillerato y de la prueba selectividad. Comparaciones con la media local o nacional. Las medias de corte para determinadas carreras

Fútbol El jugador que más goles ha marcado, el portero que menos ha encajado. La clasificación de la liga. La mejor mitad de liga. Los puestos de competiciones europeas, los de descenso, nº de veces internacional, nº de fases finales, minutos jugados, tiros a puerta, faltas.

MATEMÁTICAS B „

183

Estadística 1. Estadística descriptiva Población y muestra. Población es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico.

Bach. 3º y 4º

La muestra es un subconjunto de la población, seleccionada de modo que ponga de manifiesto las características de la misma, de ahí que la propiedad más importante de las muestras es su representatividad.

1º y 2º

El proceso seguido en la extracción de la muestra se llama muestreo Si cada cuadrito representa a cada uno de los alumnos de un instituto ficticio y se les pregunta sobre su color favorito, el total de los cuadros es la población, 625 alumnos, y los 26 encuestados constituyen la muestra.

Variables estadísticas La característica a estudiar en una población es la variable estadística. Las variables estadísticas pueden ser esencialmente de dos tipos cualitativas y cuantitativas. Las variables cualitativas son las que no aparecen en forma numérica sino como una categoría o atributo. Las variables cuantitativas son las que pueden expresarse numéricamente, y a su vez pueden ser:

9 Cuantitativas 9

discretas, si sólo pueden tomar un número finito de valores. Cuantitativas continuas cuando pueden tomar cualquier valor de un intervalo.

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184

• El color de los ojos, el queso

preferido, el continente donde vives, son variables estadísticas cualitativas.

• El nº de ordenadores en casa, o de televisores y el nº de habitantes por vivienda, por ejemplo, son variables estadísticas cuantitativas discretas.

• El

peso, la altura, la velocidad, la densidad, la presión, son variables estadísticas cuantitativas continuas.

Estadística Gráficos en variables cualitativas. Los datos: xi 0 0 0 0 0

fi 7 3 1 6 5

El diagrama de sectores es el mas indicado para este tipo de información. El porcentaje de datos de cada valor en una muestra se corresponde con el mismo porcentaje de sector de un círculo. Así por ejemplo, si los datos son A, A, A, A, A, B, B, B, C y C. Las frecuencias son (A,5), (B,3) y (C,2), los porcentajes serán (A,50%), (B,30%) y (C,20%) los que corresponde a un gráfico de sectores con (A, 180º), (B,108º) y (C, 72º).

Total 22

frecuencia grados del sec tor = nº total de datos 360

Tienen este diagrama de sectores

Gráficos en variables discretas. Diagrama de barras. Bastará que observes un ejemplo. A los datos, 1 3 0 0 0

2 3 4 3 4

4 3 0 4

4 0 1 1

3 0 0 3

les corresponde el gráfico de la derecha.

Gráficos en variables continuas. Histograma. Los datos se representan por rectángulos cuya base es la amplitud del intervalo representado y con la altura que nos indica la frecuencia absoluta, si todos los intervalos son de la misma amplitud. Si no es el caso, las alturas se calculan de manera que las áreas sean proporcionales a las frecuencias absolutas. A la izquierda tienes un ejemplo hecho. Polígono de frecuencias. Uniremos los centros de la parte superior de todos los rectángulos para obtenerlo. También se suele dibujar el histograma de las frecuencias acumuladas, en cada dato se acumula la frecuencia de los datos anteriores. [150, [160, [170, [180, [190,

160]Æ4 170]Æ10 180]Æ3 190]Æ6 200]Æ7

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Estadística EJERCICIOS resueltos 1.

Clasifica las los siguientes ejemplos de variables estadísticas: Longitud de un camión, Carga máxima, nº de ruedas, nº de ejes, tipo de camión, marcas de neumáticos, tipo de tapicería, nº de puertas, altura máxima. Cualitativas: Tipo de camión, marcas de neumáticos, tipo tapicería C. discretas: Nº de ruedas, nº de ejes, nº de puertas C. continuas: Longitud de un camión, Carga máxima y altura máxima.

2.

Calcula los grados que corresponden a cada valor en un gráfico de sectores hecho a partir de los datos: R, R , V , V , V , V , V , A, A y A Hacemos el recuento R Æ 2, V Æ 5 y AÆ3 2 Grados R 5 Grados V , = = 10 360 10 360

y

Y calculamos

3 Grados A y obtenemos = 10 360

Gráficos en variables continuas. Grados R = 72, Grados V = 180 y Grados =108los superior deAtodos rectángulos par obtenerlo. También se suele el histograma deun lasdiagrama frecuencias 3. Agrupa los dibujar datos siguientes y haz de barras adecuado. Datos = { 0 1 acumuladas, en cada dato se acumula la frecuencia de 0234122122343213} los datos anteriores. Marca Frecuencia

4.

0

2

1

4

2

6

3

4

4

2

Clasifica los datos en intervalos y dibuja un histograma adecuado.

[150, [160, [170, [180, [190,

186

„ MATEMÁTICAS B

160] 170] 180] 190] 200]

155Æ 165Æ 175Æ 185Æ 195Æ

7 6 4 9 4

Estadística 2. Medidas de centralización Media, mediana y moda. Un conjunto N de observaciones, N números, puede que por si solo no nos diga nada. En cambio, si además nos dicen que están situados alrededor de uno o varios valores centrales ya tenemos una referencia que sintetiza la información. Media. La suma de los N números dividida entre N. Por ejemplo, para 3, 4 y 5, (3+4+5)/3 = 12/3 = 4; para 1, 1, 4, 8, 8 y 8, (1·2+4+8·3)/6=5.

Moda. Si una observación se repite más que cualquier otra, será considerada la moda de esos datos. Por ejemplo, si tenemos las observaciones 6,7,8,6,7,6,8,6,9 y agrupamos los datos 6Æ4, 7Æ2, 8Æ2 y 9Æ1 vemos claramente que el valor 6 aparece mas que ningún otro. En este caso la moda es 6. En el caso de variable continua, consideraremos por moda a la marca del intervalo de mayor frecuencia, cuando esto ocurra. También puede ocurrir que haya dos modas o que no haya ninguna que destaque. Mediana. El número tal que la mitad de las observaciones son mayores que él y la otra mitad menores. En general, para pocos datos lo mejor es proceder según el ejemplo de la izquierda, según sea una cantidad para o impar. Por ejemplo, si tenemos las observaciones 6,7,8,6,7,6,8,6,9 y agrupamos los datos vemos claramente que el valor 6 aparece mas que ningún otro. En este caso la moda es 6. xiÆfr 6Æ4 7Æ2 8Æ2 9Æ1 Si ordenamos los datos, y dado que el nº de datos es impar justo el 7 queda en el centro. 666677881 Si los datos fueran 6,7,8,6,7,6,8,6,5 una vez ordenados, y como hay una cantidad par de datos, dos de ellos ocuparían el centro: 5666677881 y la mediana será (6+7)/2 = 6.5

Para cantidades mayores, habrá que agrupar los datos primero en una tabla. Y determinar segmentos de longitud proporcional a su frecuencia, disponerlos de forma lineal y marcar el centro como muestra el siguiente ejemplo.

0

1

2

3

4

En este otro gráfico vemos indicada la mediana en un diagrama de Frecuencias relativas acumuladas:

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187

Estadística Datos 5y5

Media. Evolución de esta al añadir y/o cambiar un dato. 1 Para los datos 5 y 5 la media es 5. Si añadimos un 5 se mantiene en 5. Si añadimos un 8 la media pasa a ser 6. (Figura derecha). 2 Si tenemos 9 datos con media 5, necesitamos añadir un 6 para que la media pase a ser 5,1. Si tenemos 19 datos con media 5, necesitamos un dato de valor 7 para que la media suba a 5,1. (Figura derecha). 3 Para un conjunto de datos con media 5, si añadimos otro con media 5, por ejemplo 6 y 4, el nuevo conjunto conserva la media.

Datos 5, 5 y 5

Datos 5, 5 y 8

Datos 13555 5678

Datos 13555 56678

Datos 357

Datos 3 5 10

Mediana. Evolución de esta al añadir y/o cambiar un dato. 1 La mediana, para los datos 2, 3 y 4 es Me=3. Si cambiamos el 4 por 5 o por 6 o por cualquier otro valor mayor sigue siendo Me = 3. 2 En cambio, si añadimos otro dato y tenemos 2, 3, 4 y 4, por ejemplo, la Me = 3,5. Y si ahora añadimos un quinto valor, un 4 o un 5 o un 6 o cualquier otro mayor que 4, la mediana en 2,3, 4, 4 y ?? pasa a ser 4. Da igual el valor ?? es 5, 10 o 25.

Media y mediana comparadas Para los datos 4 y 6 la media y la mediana coinciden en 5. Añadir un 8 o un 11 da lo mismo para la mediana, que pasa a ser en ambos casos 6. Sin embargo la media con un 8 pasa a ser 6 y con un 11 pasa a ser 7. Los valores 8 y 11 se consideran observaciones atípicas, están distanciados del resto de valores, tiran de la media y no afectan a la mediana. Si los datos estuvieran repartidos simétricamente respecto a un valor, ese valor seria a la vez la media y la mediana. En cambio, si los valores a un lado de la mediana están más alejados de ella que los del otro lado, la media se desplaza hacia esos valores alejados que tiran de ella. Hay una asimetría.

Para ver la mediana se traza una vertical desde el eje horizontal en N/2

Por ejemplo, si tenemos las observaciones 1. 20, 24 y 28. Me = 24 2. Y para 20, 24, 28 y 30 Me = (24+28)/2 = 26 3. Para 20, 24, 28 y 100 Me = (24+28)/2 = 26 En cambio la media no se comporta de la misma forma para los mismos datos

Datos simétricos Mediana igual a la Media

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„ MATEMÁTICAS B

Datos atípicos Mediana distinta de la Media

1

X = 24

2

X = 25,5

3

X = 43

Estadística Medidas de posición: cuartiles y percentiles

También podemos hacer un diagrama de frecuencias acumuladas y dividir en partes iguales como muestra el gráfico.

Dado un conjunto de datos numéricos además de la mediana podemos considerar otras medidas de posición • Si nos fijamos en el primer valor que supera al 25% o al •

75%, estamos hablando del primer y tercer cuartil, Q1 y Q3. Para otros valores como el 10%, o el 80% hablamos de percentiles, P10 y P80 .

Ejemplo. Para la variable de valores 0, 1, 2, 3, 4, y frecuencias 0Æ9, 1Æ5, 2Æ3, 3Æ6, 4Æ3, dibujamos barras de longitud proporcional a las frecuencias y dividimos el total en partes iguales: en dos partes para la mediana, cuatro para los cuartiles y 10 para los percentiles principales.

0

1

2

3

4

EJERCICIOS resueltos 5.

Calcula la media en cada caso: a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6 c) 100, 120, 180, 200

6.

Calcula la media en cada caso: a

7.

Marca

Fr

Marca

Fr

10

2

100

2

20

4

200

4

30

3

300

3

40

2

400

2

10·2 + 20·4 + 30·3 + 40·2 =24,54 11 100·2 + 200·4 + 300·3 + 400·2 = 245,45 b) X = 11

a) X =

c) 1,2,3,4,2 d) 3,2,3,2,2,2

Soluciones: a) Me=6, Mo=6 c) Me=2 Mo=2 b) Me=1,5 Mo=1 d) Me=2 Mo=2

Calcula la moda y la mediana en cada caso: a

9.

b

Determina la moda y la mediana a) 5,6,6 b) 1,1,2,3

8.

Soluciones: a) (4+6+8)/3 = 6 b) (4+6+8+6)= 24/4 = 6 c) (100+120+180+200)/4 = 150

Marca 10 20 30 40

Fr 2 4 3 2

b

Marca 100 200 300 400

Fr 2 3 4 1

Soluciones: a) Me=20 Mo=4 b) b) Me=250 Mo=300

Calcula la mediana, cuartiles primer y 3º, y el percentil 30 60 y 90 de los datos. 41332 31334 00044 30303 21004 301

Hacemos el recuento: 0Æ8, 1Æ4, 2Æ2, 3Æ9 y 4Æ5 y barras de longitud proporcional a la frecuencia para cada valor. Además partimos la longitud total de la barra en 2, 4 y 10 trozos para obtener la mediana, cuartiles y percentiles, tal y como muestra la imagen.

0

1

2

3

4

Vemos que la mediana está entre el azul y el amarillo, (3+2)/2 = 2.5, Q1 entre rojo y verde, Q1=0, Q3=3, p30=1, P60=3 y P90=4

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Estadística 3. Medidas de dispersión. Varianza, Desviación típica y rango La estatura de los tributarios presenta poca dispersión

“La estadística es una ciencia según la cual, si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, nos hemos comido como promedio medio pollo cada uno”.

El grosor de los troncos tiene bastante dispersión

La estadística indicará que todos comen lo mismo cuando las medidas de dispersión sean todas nulas. Rango. El intervalo definido por el menor y el mayor dato. También se llama rango a la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

σ =1 Rango = [2, 8] amplitud = 6

Varianza. La media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos con la media.

∑ fi·(Xi − X)

2

σ2 = σ =0,5 Rango = [4, 6] amplitud = 2

n

∑ fi·(Xi)

2

que equivale a σ2 =

n

− (X)2

Desviación típica. La raíz cuadrada positiva de la varianza.

∑ fi·(Xi − X)

2

σ=

n

∑ fi·Xi

2

o

σ=

n

− X2

Medir la dispersión En ambos gráficos la media, mediana y moda valen 5

En la práctica se suele usar la fórmula reducida para el cálculo de la desviación típica.

∑ fi·Xi

2

σ=

Así, para Marca 4 5 6 Se tiene que la y σ=

n

Ese es el objetivo de estas medidas. Por ejemplo, los datos A= {20, 20}, B={15, 20, 20, 25} tienen la misma media, moda y mediana. En todos los casos igual a 20. Sin embargo, puedes comprobar que en ninguna de las tres medidas de dispersión definidas arriba coinciden.

− X2

Fr 3 3 2 media X = 4, 85

3·42 + 3·52 + 2·62 − 4, 852 8

Media y desviación típica. Para muestras unimodales (una sola moda) y casi simétricas, alrededor de la media podemos considerar un intervalo que contenga la mayoría de los datos. Por ejemplo, para una muestra con media 100 y desviación típica 10, la mayor parte de los datos estarán entre 90 y 110, aproximadamente el 68% ; entre 80 y 120 estará el 95% aproximadamente. Y casi todos entre 70 y 130. Hay una forma de distribución de datos llamada normal que cumple con lo anterior, y de una manera u otra, de todas las poblaciones grandes se pueden extraer datos que se ajustan a ella. En cursos superiores verás la importancia de estas distribuciones. Muestra unimodal y simétrica

190

„ MATEMÁTICAS B

Estadística EJERCICIOS resueltos 10.

Calcula la media y la desviación típica en a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

a) X =

250 + 200 = 225 2

σ=

(250 − 225)2 + (200 − 225)2 = 2

252 + 252 = 25 2

b) X =

175 + 275 = 225 2

σ=

(175 − 225)2 + (275 − 225)2 = 2

50 2 + 50 2 = 50 2

250 + 250 (250 − 250)2 + (250 − 250)2 = 250 σ= = 2 2 Calcula la media y la desviación típica en: a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21

c) X = 11.

a) X =

σ=

7 + 5 + 3 + 2 + 4 + 5 26 = = 4, 33 6 6

7 2 + 5 2 + 32 + 2 2 + 4 2 + 5 2 − 4,332 = 6

b) X =

02 + 02 = 25 2

128 − 18,75 = 1,59 6

20 + 25 + 20 + 22 + 21 108 = = 21, 6 5 5

20 2 + 252 + 20 2 + 22 2 + 212 2350 − 21,6 2 = − 466,56 = 1,85 5 5 (Nota.- Observa la fórmula utilizada para la desviación) σ=

12.

Organiza los datos siguientes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200. Amplia la tabla con dos columnas, una para el producto de las marcas con las frecuencias y otra para el producto de las frecuencias con los cuadrados de las diferencias con la media. Calcula la media y la desviación típica.

Con los datos de la tabla es mas fácil, y se tiene:

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Estadística 4. Representatividad Representatividad. Muestreo estratificado. REPRESENTATIVIDAD. Una muestra es representativa de la población cuando en ella podemos encontrar las mismas proporciones de las características de estudio que en el conjunto de la población. El proceso de elegir una muestra, a qué individuos elegimos como representantes de la población, es el punto importante y de ello va a depender que el estudio sea útil o no (representativo o no). Elegir bien la muestra no es sinónimo representatividad, pero elegirla mal casi si sinónimo de no representatividad.

de es

Por ejemplo, si queremos estudiar el poder adquisitivo de una población, y solo elegimos a individuos de una determinada zona, o principalmente de una determinada zona, la muestra con toda seguridad no será representativa. La muestra se ha de elegir tomando muestras de individuos proporcionales a la población de cada zona. Si hay tres zonas con 12.000, 18.000 y 20.000 habitantes, la muestra deberá tener un 24% de la primera zona, 36% de la segunda y 40% de la última. Este tipo de muestreo, escogiendo un reparto proporcional a los estratos, se llama estratificado.

Ejemplo

En la imagen tienes 625 cuadros que representan a los alumnos de un instituto ficticio

A la derecha vemos la muestra estratificada que se ha elegido y el resultado de la encuesta. Los últimos diagramas de sectores comparan la realidad con los resultados de la encuesta.

192

„ MATEMÁTICAS B

Estadística Sesgo. Muestreo aleatorio Sesgo. Se dice que la muestra está sesgada cuando hay diferencia entre los datos de la muestra y los datos de toda la población.

Ejemplo: Llamadas telefónicas voluntarias. Estas encuestas tienen varias fuentes de sesgo. Hay familias que no tienen teléfono, el coste de la llamada no todo el mundo está dispuesto a asumirlo. Pero sobre todo, el factor de respuesta voluntaria, los encuestados se auto-seleccionan. Suelen contestar aquellos con una fuerte opinión negativa sobre el tema. El enojo les anima a participar. Muestreo aleatorio total. A diferencia del estratificado, que guarda las proporciones, esta forma de elegir la muestra considera a toda la población y elige individuos aleatoriamente. Se considera una buena forma de proceder.

En el siguiente ejemplo se ha escogido con ordenador una muestra aleatoria total entre los 625 alumnos de un instituto, este muestreo puede salir estratificado o no, en el ejemplo no salió muy bien estratificado.

EJERCICIOS resueltos 13.

Una gran empresa tiene trabajadores en cuatro áreas. Operarios, Representantes, administración y dirección. Las condiciones de trabajo son bastantes diferentes en cada área, por lo que el grado de satisfacción no es igual en cada una de ellas. Para averiguarlo, si hay 1000, 500, 300 y 200 trabajadores en las áreas de operarios, representantes, administrativos y directivos, ¿cuántos hay que seleccionar de cada área para una muestra de tamaño? a) 200 b) 100 c) 300 a) De un total de 2000 empleados, los porcentajes para operarios, repartidores, administrativos y directivos son del 50%, 25%, 15% y 10%. Lo cual hace que la muestra tome 100 operarios, 50 repartidores, 30 administrativos y 20 directivos. b) 50, 25, 15 y 10. c) 150, 75, 45 y 30

MATEMÁTICAS B „

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Estadística Algunos de los ejercicios propuestos a continuación están elaborados a partir de esta publicación de INE. Puedes ver artículos similares en http://www.ine.es/prodyser/pubfolletos.htm

MATEMÁTICAS B „

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Estadística Para practicar

las siguientes variables: 1. Agrupa a)Peso, b)densidad, c)nº de plantas de los edificios, d)Tipo de fachada de los edificios, e)nº de ventanas, f)metros de fachada, g)nº de habitantes por edificio, h)tipo de puerta principal. 2. Escribe tres variables cualitativas que tengan que ver con embarcaciones. 3. Escribe tres variables cuantitativas discretas que tengan que ver con aviones. 4. Escribe tres variables cuantitativas continuas que tengan que ver con trenes. 5. Si las frecuencias para R, V, A y T son RÆ3, VÆ2, AÆ4 y TÆ1 ¿Cuántos grados le corresponde a cada letra en un gráfico de sectores?

12. Determina la moda y la mediana a) 50,60,60 b) 12,12,22,32 c) 10,20,30,40,20 d) 35,25,35,25,25,25 13. Calcula la moda y la mediana caso: a) b) Marca Fr Marca 100 5 100 200 4 200 300 6 300 400 3 400

en cada Fr 2 7 9 2

14. ¿Cuál o cuáles de los datos siguientes se puede considerar una observación atípica en cada una de las dos series? a) 4 5 6 5 7 8 4 5 8 7 5 12 6 7 6 5 4 b) 8 9 1 9 8 9 7 9 6 7 8

6. Haz una tabla y un gráfico de sectores de los datos: R R A A R A R V N V R N

15. Calcula la mediana, primer y tercer cuartil y el percentil 90 de 11433422531212242243 1

7. Haz una tabla y un gráfico de barras con los datos: 33454532123454543344

16. Calcula la mediana, primer y tercer cuartil y el percentil 20 de 31114153133455442144

8. Agrupa los intervalos

17. Calcula la media y la desviación típica en cada uno de los siguientes casos: 100 y 100 99 y 101 110 y 90 120 y 80

datos

siguientes

en

9. Haz un histograma de los datos del ejercicio anterior

18. Completa la tabla con los datos:

10. Calcula la media en cada caso: a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6 c) 100, 120, 180, 200 11. Calcula la media en cada caso: a) b) Marca Fr Marca Fr 1 3 1000 3 2 5 2000 5 3 3 3000 3 4 2 4000 2 MATEMÁTICAS B „

195

Estadística 19. Determina la media y la desviación típica, de los datos de la tabla anterior.

(

20. Determina los intervalos X − σ, X + σ

(

)

)

y X − 2σ, X + 2σ y el número de elementos que hay en cada uno. Marca Fr 0 5 1 4 2 7 3 3 4 2

b1. ¿En qué países pasean mujeres que los hombres?

más

las

b2. Calcula el tiempo medio que se dedica en cada país a pasear. b3. ¿Qué país está en el percentil 50? c)

21. Observa los siguientes gráficos y responde a las preguntas de cada uno a)

c1. ¿Crees que el dormir se ha contado como actividad de cuidado personal? c2. A las 15:00 hay un máximo local en la gráfica ¿a qué se debe? c3. A la hora de la comida el 38% de las personas se dedica al cuidado personal. Significa esto que un 62% de las personas no come?

a1. ¿Cuál es la variable estudiada? ¿ y la frecuencia? a2. ¿A qué grupo de actividades dedicamos más tiempo los españoles? a3. Calcula cuánto tiempo dedicamos al hogar y la familia ¿cuántos grados ocupa este sector en el diagrama?

d)

b)

d1. ¿Cuáles son las comunidades en las que se dedica menos tiempo a la vida social y a la diversión d2. ¿Cuánto tiempo dedican a la diversión o a la vida social la mayor parte de las comunidades? d3. ¿Cuál es el tiempo medio que se dedica en España a esta actividad?

196

„ MATEMÁTICAS B

Estadística Para saber más La profesión de enfermería. Florence Nightingale (1820-1910), conocida por ser la fundadora de la profesión de enfermería. Durante la guerra de Crimea se percató de que la causa principal de las muertes de heridos en combate era la falta de medidas sanitarias. Al aplicarlas, la tasa de mortalidad pasó de un 42,7% a un 2,2%. Gracias a un uso eficaz de los datos consiguió modificar el sistema de atención sanitaria a su vuelta a Gran Bretaña. Cambió el sistema de registro de datos y fue una de las primeras personas en utilizar los gráficos estadísticos para representar los datos de una forma sencilla de forma que hasta los parlamentarios y generales pudieran entender. Para Florence, los datos no eran algo abstracto, eran una forma de poder salvar vidas humanas.

El padre de la estadística. Sir Ronald A. Fisher (1890-1962) está considerado el padre de la estadística. Los escritos de Fisher ayudaron a organizar la estadística como campo de estudio preciso cuyos métodos se aplican a problemas prácticos de muchas disciplinas. Como casi todos los pioneros en la estadística, sus trabajos nacieron de la necesidad de resolver problemas prácticos.

Algunos campos de aplicación de la estadística Administración pública

A través de las Delegaciones territoriales y provinciales, se recogen datos para analizarlos y someterlos a procesos estadísticos. De esta forma se conocen datos referidos a nacimientos, defunciones, matrimonios, precios, salarios, trabajo, enseñanza, sanidad,... Todos estos datos se suelen publicar por el INE. Economía.

En este campo es imprescindible, sobre todo en macro-magnitudes.

Inferencia estadística

Psicología.

La estadística desarrollada en este tema es lo que se conoce como estadística descriptiva, en ella se recoge información y se hacen cálculos que describen como están repartidos. Pongamos el caso que una muestra elegida al azar nos da una media. ¿La verdadera media está próxima a la de la muestra? Si considero un intervalo alrededor de la media muestral, la verdadera ¿con qué probabilidad estará o no en él? De estas preguntas y otras se encarga la inferencia estadística.

La mayor parte de los trabajos científicos en psicología experimental tienen como principal herramienta de trabajo la estadística. Medicina.

Principales campos de aplicación de la estadística La estadística se aplica en muchos campos como en Industria y empresas. Para el control de calidad en la producción en cadena, para el análisis de mercados, para el estudio de precio de venta al público de los artículos fabricados, en gestión financiera,... En la parte derecha se citan algunas otras de sus aplicaciones.

En cualquier estudio experimental de estas áreas Existe una asignatura específica llamada Bioestadística para cubrir esos estudios experimentales. En Genética y antropometría encontramos dos de los campos de mayor aplicación.

MATEMÁTICAS B „

197

Estadística Recuerda lo más importante Población. ficticio.

Alumnos

de

un

instituto

Media y moda y desviación típica

Muestra. Alumnos encuestados Variables estadísticas: Cualitativa, color preferido; Cuantitativa discreta, nº de hermanos y cuantitativa continua, altura.

Consideremos siguientes:

las

dos

muestras Media = X =

Nº de hermanos: 4 3 2 3 1 2 0 2 0 1 2 3 1 240114114042041 Altura: 182 172 157 194 150 166 163 196 167 199 172 185 172 168 173 160 162 173 161 192 156 164 173 180 193 172 Recuento de datos: Intervalo Marca 0 5 [150,160[ 1 8 [160,170[ 2 6 [170,180[ 3 3 [180,190[ 4 6 [190,200[ 28 Total Gráficos de sectores y barras Nº de hermanos

Xi 155 165 175 185 195

Fi 3 8 7 3 5 26

53 = 1.89 28

Moda=Mo=1 54.67 σ= = 1.39 28 Cuartil, mediana, percentil

0

1

2

3

4

Me=2, Q1=1, Q3=3, P20=1, P60=2, P90=4 Recorrido. De 0 a 4, de amplitud 4 Media y desviación En nuestro ejemplo, 17 de 28 datos no se alejan de la media mas de la desviación típica, son el 60,7%, y el 100% no se alejan de la media mas de dos veces la desviación.

Altura.

Histograma

198

„ MATEMÁTICAS B

Representatividad Una muestra es representativa de la población cuando en ella podemos encontrar las mismas proporciones de las características de estudio que en el conjunto de la población.

Estadística Autoevaluación 1 Xi 1 2 3 4

¿Cuántos grados corresponden en un diagrama de sectores a la marca 2? Fi 4 4 7 5 ¿La frecuencia mayor, en la tabla anterior, corresponde a la marca?

2 3

¿Cuál es la moda ?

Xi 15 25 35 45

Fi 40 45 37 51

4 Xi 100 200 300 400

Fi 4 4 7 5

¿Cuál es la mediana ?

5 Xi 1 2 3 4

¿Cuál es el percentil 30 ? Fi 4 4 7 5

6

¿Cuál es la media de los datos anteriores?

7

¿Cuál es la desviación típica del los datos del nº5?

8 Xi 180 200 220 240

¿Cuál es la media? Fi 40 25 27 50

9

¿Cuál es la desviación típica de los datos anteriores?

10

¿Cuál es el percentil 70?

MATEMÁTICAS B „

199

Estadística Soluciones de los ejercicios para practicar 14. a) 12 1.

Cualitativas: d) h) Cuantitativas discretas c) e) g) C. continuas: a) b) f)

2.

Propulsión, Carga, Tipo de travesía

3.

Nº de pasajeros, nº ruedas, nº ventanas

4.

Velocidad máxima, carga máxima, potencia.

5.

RÆ108º, VÆ72º, AÆ144º y TÆ36º

6.

RÆ5, AÆ3, VÆ2, NÆ2

7.

1Æ1, 2Æ2, 3Æ6, 4Æ 7, 5Æ4)

15. Me= 2, Q1=2, Q3=3, P90=4 16. Me=3, Q1=1, Q3=4 y P20=1 17. La media es 100 en los 4 , y la desviación 0, 1, 10 y 20. 18.

.

8. Intevalo [150,160) 155 [160,170) 165 [170,180) 175 [180,190) 185 [190,200) 195 9.

b) 1

Xi 4 7 4 9 6

)

19. x = 171, 3 fi

σ ≈ 14.02

20. En (0.42, 2.9) hay 11, y en (-0.88, 4.14) todos

----------------Æ

10. a) 6 b) 6 c) 150 11. a) 2.3 b) 2307 12. a)Mo=60, Me=60 b)Mo=12, Me=17 c)Mo=20, Me=20 d)Mo=25 Me=25 13. a) Mo=300, Me=250 b) Mo=300, Me=300

21. a1)variable:actividades. Fr:porcentaje de tiempo diario que se dedica a cada actividad a2)cuidados personales a3) 2h 58m 34s 44,64grados b1) Alemania, Suecia y Finlandia b2) E35,5 I20, F18,5 A14 N13 F12,5 S11 R3,5 en minutos b3) Francia c1) Sí. c2) Comida y Siesta c3) No, el pico ocupa dos horas y algunos comen en media hora d1) País Vasco, Cataluña y Madrid d2) entre 1:30 y 1:40 horas:minutos d3) 1:29

Soluciones AUTOEVALUACIÓN 1. Sol 72º

6. Sol 2.65

2. Sol 3

7. Sol 1.06

3. Sol 51

8. Sol 212.25

4. Sol 300

9. Sol 24.53

5. Sol 2

10. Sol 240

MATEMÁTICAS B „

200

No olvides enviar las actividades al tutor

f

 Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia

ACTIVIDADES DE ESO

4º 11

Matemáticas B

1. Para los datos de cada apartado elige el gráfico mas adecuado a ellos.

1) Trucha, merluza, sardina, emperador, merluza, merluza, sardina, emperador, sardina y merluza.

2) 1 2 1 2 2 2 3 4

a)

b)

1 3

2 4

1 2

2 3

3

1

2

2

3) 28,1 25,2 28,7 25,7 26 26,4 23,7 22,5 27,5 25,4 27,1 25,9 24,2 28,1 26,3 25,5 24,3 21,8 25,5 24

c)

2. Determina la moda en la distribución 1, la mediana en la 2 y la media en la 3.

a)

b)

3. Determina la desviación típica en la distribución 1.

4. Calcula los cuartiles 1º y 3º de la distribución 2.

[email protected] http://cidead.cnice.mec.es

c)