ESTATICA DE PARTICULAS Y CUERPOS RIGIDOS BERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad de Antioquia Instituto de Física 2016

Índice general

6. Estática de partículas y cuerpos rígidos 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Equilibrio de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Estática de una partícula en dos y tres dimensiones . . . . . 6.2.2. Equilibrio de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Equilibrio de un cuerpo rígido sometido sólo a dos fuerzas . 6.2.4. Equilibrio de un cuerpo rígido sometido sólo a tres fuerzas . 6.3. Estructuras en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Análisis de una armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Armadura simple o estáticamente determinada . . . . . . . 6.4. Fuerzas en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía

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1 1 1 2 4 5 5 9 10 12 16 20 25

3

Cap´ıtulo

6

Estática de partículas y cuerpos rígidos Competencias. En esta unidad se busca que el estudiante:

partícula o bajo el modelo cuerpo rígido, se encuentra en equilibrio, particularmente en equilibrio estático. Se estudian diferentes estructuAnalice las condiciones bajo las cuales, una ras y los métodos que permiten obtener inforpartícula o un cuerpo rígido, se encuentra mación sobre las fuerzas que se ejercen las difeen equilibrio estático, tanto en dos como en rentes partes de ella. tres dimensiones. Analice las condiciones que se satisfacen 6.1. Introducción cuando un cuerpo rígido está en equilibrio, sometido a la acción sólo de dos fuerzas ó Hasta ahora se ha analizado la dinámica de los sólo de tres fuerzas. cuerpos que se pueden tratar, bien bajo el modelo de partícula o bien bajo el modelo cuerpo Aplique las condiciones de equilibrio a rígido. Para ello se ha tenido en cuenta el hecho cuerpos rígidos formados por varios cuerque las fuerzas tienden a imprimir tanto efectos pos rígidos. de traslación como de rotación sobre los cuerDistinga entre fuerza externa y fuerza in- pos. En esta unidad, se analiza con cierto detalle, terna. casos en los cuales un cuerpo se encuentra en Distinga entre armadura, armazón y má- estado de reposo. quina. Igualmente, se consideran casos en los cuales un cuerpo interactúa con otros cuerpos, geDefina y analice el concepto de armadura nerando fuerzas que mantienen el cuerpo o essimple. tructura en reposo, esto es, las fuerzas que acUtilice el método de los nodos y el método túan no tienden a imprimir ningún efecto sobre de las secciones, en el análisis de una arma- el cuerpo rígido, es decir, sobre el cuerpo actúa un sistema fuerza par nulo. dura. Obtenga, analítica y gráficamente, la forma como varía la fuerza cortante y el momento de flexión en el interior de una viga.

6.2. Equilibrio de un cuerpo

En la unidad 4 se encontró que siempre es poCONCEPTOS BASICOS sible reemplazar un sistema de fuerzas, actuanEn esta unidad, se analizan las condiciones bajo do sobre un cuerpo rígido, por un sistema fuerlas cuales un cuerpo, tratado bajo el modelo de za par aplicado en un punto arbitrario y que

2

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

es completamente equivalente en lo referente a traslación y rotación. En el caso particular que la fuerza y el par sean cero, el sistema de fuerzas externas forma un sistema equivalente fuerza par nulo, es decir, no tienden a imprimir ningún efecto de traslación ni de rotación sobre el cuerpo rígido. Cuando esto ocurre, se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio , bien sea estático o dinámico. Lo dicho anteriormente, se puede expresar en forma matemática como se describe en lo que sigue. Que la fuerza del sistema fuerza par, no tienda a imprimir efectos de traslación, significa que la fuerza neta sobre el cuerpo sea nula, esto es F =

∑ Fi i

= 0,

(6.1)

o en componentes rectangulares, la ecuación (6.1) lleva a las expresiones

∑ Fx ∑ Fy ∑ Fz

= 0, = 0,

(6.2)

= 0.

Que el par del sistema fuerza par, no tienda a imprimir efectos de rotación, quiere decir que el momento neto sobre el cuerpo sea nulo, es decir M =

∑ Mi i

= 0.

En el caso de fuerzas coplanares , las ecuaciones de equilibrio (6.5) no son las únicas tres condiciones a utilizar. También es posible utilizar dos ecuaciones de momentos, evaluados respecto a dos puntos y una de las dos primeras expresiones de la ecuación (6.5). Igualmente, se pueden emplear tres ecuaciones de momentos evaluados respecto a tres puntos no colineales. La única condición a tener presente, es la utilización de sólo tres condiciones de equilibrio en el caso coplanar, ya que si se utilizan cuatro condiciones de equilibrio, por ejemplo, una de ellas es combinación lineal de las otras tres. Las condiciones de equilibrio anteriormente consideradas son de validez general, y particularmente las referentes a la suma de momentos de las fuerzas se satisfacen respecto a cualquier punto, siempre y cuando el cuerpo rígido esté en equilibrio. Para el caso de una partícula en equilibrio , estático o dinámico, la fuerza neta es nula y se satisfacen las ecuaciones (6.1) o (6.2) para el caso de fuerzas en tres dimensiones y las dos primeras expresiones de las ecuaciones (6.5) en el caso de dos dimensiones. Cuando el cuerpo rígido se encuentra en un estado de equilibrio , estático o dinámico, la fuerza neta es nula y el momento neto es nulo, o sea, sobre el cuerpo rígido actúa un sistema fuerza par nulo .

(6.3) 6.2.1.

Estática de una partícula en dos y tres dimensiones

Igualmente, al descomponer la ecuación (6.3) en componentes rectangulares, se obtienen las ex- Para un cuerpo considerado bajo el modelo de partícula , como se expresó anteriormente, la presiones fuerza neta o resultante de las fuerzas que ac∑ Mx = 0, túan sobre ella debido a la interacción con otros (6.4) M = 0, cuerpos, es nula si esta se encuentra en reposo. ∑ y De este modo es aplicable la ecuación (6.1), te∑ Mz = 0. niendo presente si se trata de una situación en En el caso particular que las fuerzas actúen so- dos o tres dimensiones. bre un plano, por ejemplo en el plano xy, se dispone de las expresiones Ejemplo 6.1 Un bloque de masa m se sostiene

∑ Fx ∑ Fy ∑ Mz

= 0, = 0, = 0.

mediante una cuerda que pasa por una polea ideal móvil, como se ilustra en la figura 6.1. a) Haga el (6.5) diagrama de cuerpo libre para el bloque y para la polea. b) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado del bloque y de la polea. c) Halle la tensión en

3

6.2. EQUILIBRIO DE UN CUERPO

las cuerdas. d) Evalúe para d = 450 mm, h = 15 cm y m = 15 kg.

Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores, donde se tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas, se llega a los resultados

√

d

d

T1 = T2 =

h

d2 + h2 mg, 2h

(6)

T3 = mg.

(7)

d) Finalmente, al reemplazar los valores dados en las ecuaciones (6) y (7), se obtiene

m

T1 = T2 = 232.43 N,

Figura 6.1: Bloque suspendido de una cuerda.

T3 = 147 N

. a) Diagramas de cuerpo libre. En este caso se tienen dos partículas en equilibrio estático, sometidas Ejemplo 6.2 La figura 6.3 muestra dos fuerzas a fuerzas en una y dos dimensiones, como se ilus- que actúan en el origen de coordenadas. a) Obtentra en la figura 6.2. b) Ecuaciones que garantizan el ga las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas. b) Encuentre el ángulo que cada fuerza forma con cada uno de los ejes coordenados. c) Si estas d d fuerzas actúan sobre una partícula, determine si esta se encuentra en equilibrio.

Solución

q

T1

T2

h

q

z

T 3’

450 N

T3

700 N

m mg

50

o

25

o

Figura 6.2: Diagrama de cuerpo libre del bloque y la polea móvil. estado de equilibrio estático para ambos cuerpos. Para el bloque

65

O 35

T3 − mg = 0,

(1)

Para la polea ideal, esto es de masa despreciable

x

Figura 6.3: Fuerzas sobre una partícula. a) Teniendo en cuenta la información dada y la descomposición de fuerzas mostrada en la figura 6.4, se tiene que la fuerza F1 de magnitud 700 N expresada en componentes rectangulares, está dada por z

+

→ ∑ Fh = 0,

450 N

T1 cos θ − T2 cos θ = 0, T1 sen θ + T2 sen θ − mg = 0.

Fz 50o Fx

(3)

Donde en las ecuaciones (2) y (3) y de acuerdo con la figura, se tiene

cos θ = √

h

+ d2

d h2

+ d2

700 N

(2)

↑ + ∑ Fv = 0,

h2

y

o

Solución

↑ + ∑ Fv = 0,

sen θ = √

o

65

O 35

o

Fh 25o

o

Fy

y

x

,

(4)

Figura 6.4: Componentes rectangulares de las fuerzas.

.

(5)

F1 = (−226.62i + 485.99j + 449.95k)N.

(1)

4

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS z

De igual forma la fuerza F2 de magnitud 450 N, está dada por

700 mm

250 mm

350 mm

F2 = (155.78i + 109.08j + 407.84k)N.

(2)

300 mm O

700 mm

b) El coseno del ángulo que forma una fuerza con un eje de coordenadas, se obtiene al dividir la componente sobre dicho eje por la magnitud de la fuerza. De este modo los ángulos que forma la fuerza F1 con cada eje están dados por

x

TAB

TAC TAD

y

650 mm

Mg

Figura 6.6: Diagrama de cuerpo libre del cilindro.

θ x = 108.89o , θy = 46.03o , θz = 50o .

En su lugar, los ángulos que la fuerza F2 forma con el diagrama de cuerpo libre para el cilindro, que será cada eje son tratado bajo el modelo de partícula, ya que las fuerzas que actúan sobre él tienden a generar solo efeco o o θ x = 69.75 , θy = 75.97 , θz = 25 . tos de traslación. Considerando la información dada en el enunciado y el diagrama espacial, se encuenc) Para saber si la partícula a la que se aplican las tra que las componentes rectangulares de cada una fuerzas se encuentra en equilibrio, se debe hallar la de las fuerzas mostradas en el diagrama de cuerpo fuerza neta total o resultante que actúa sobre ella. libre, son Utilizando el método de la geometría vectorial para sumar vectores, y las ecuaciones (1) y (2), se encuenT AB = TAB (−0.4i + 0.33j + 0.86k), (1) tra que la fuerza neta en componentes rectangulares está dada por T AC = (−189.22i − 378.43j + 351.4k) N, (2) Fneta = (−70.84i + 595.07j + 857.79k)N. De acuerdo con este resultado se concluye que la partícula no se encuentra en equilibrio ya que la fuerza resultante que actúa sobre ella es diferente de cero. Por lo tanto, la partícula está sometida a una fuerza cuya magnitud y dirección están dadas por Fneta θx θy θz

= = = =

T AD = TAD (0.73i + 0.68k),

(3)

W = −9.8 mk.

(4)

Teniendo en cuenta que las condiciones de equilibrio para el caso de una partícula están dadas por las ecuaciones (6.2), y las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se obtiene el sistema de ecuaciones simultáneas

−0.4TAB − 189.22 + 0.73TAD = 0,

(5)

0.33TAB − 378.43 = 0,

(6)

0.86TAB + 351.4 + 0.68TAD − 9.8 m = 0.

(7)

1046.39 N, 93.88o , 53.34o , 34.94o .

Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas,

Ejemplo 6.3 Un cilindro se sostiene mediante tres dadas por las expresiones (5), (6) y (7), se llega final-

cuerdas, como se ilustra en la figura 6.5. Halle la mente a magnitud de la tensión en las cuerdas AB y AD, y la masa del cilindro, sabiendo que la magnitud de la tensión en la cuerda AC es 550 N. z

350 mm 700 mm

C

700 mm 250 mm B 300 mm O 650 mm

6.2.2.

TAB = 1146.76 N, TAD = 887.57 N, m = 198.1 kg.

Equilibrio de un cuerpo rígido

y

Cuando un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio estático ó dinámico , el sistema fuerza par D x A neto, debido a las fuerzas externas que actúan sobre él, es nulo. Lo anterior significa que si se tiene un sistema de fuerzas en tres dimensiones, Figura 6.5: Cilindro suspendido de tres cuerdas. son válidas las expresiones (6.1) ó (6.2) y (6.3) ó (6.4). Para el caso de fuerzas en dos dimensioSolución Como se ilustra en la figura 6.6, primero se considera nes, son de validez las expresiones (6.5).

5

6.2. EQUILIBRIO DE UN CUERPO

6.2.3.

F1

F1

Equilibrio de un cuerpo rígido sometido sólo a dos fuerzas

A F2

B

F1 A

A

F3

F3 F2

B

D C

F2

B

D

F3

C C Si un cuerpo rígido está en equilibrio, sometido (a) (c) (b) únicamente a la acción de dos fuerzas, el momento total de las dos fuerzas respecto a cualFigura 6.8: Cuerpo rígido sometido sólo a tres fuerquier punto es nulo. Así, al considerar los punzas. tos de aplicación de las fuerzas F1 y F2 en la figura 6.7(a), se tiene evaluados respecto al mismo punto. Como en la figura 6.8(b) las líneas de acción de F1 y F2 se ∑ MA = 0, cortan en el punto D, entonces ∑ MD = 0, por condición que se satisface siempre y cuando lo que la línea de acción de F3 también debe pala línea de acción de la fuerza F2 pase por el sar por D para garantizar el equilibrio, como se punto A como se ilustra en la figura 6.7(b). muestra en la figura 6.8(c). Si las líneas de acIgualmente, respecto al punto B también se de- ción de las tres fuerzas no se cortan, deben ser paralelas. F F F Así, las tres fuerzas deben ser tales que sus líneas B B B B F F A de acción sean concurrentes, o se corten en algún A A F punto, para garantizar que el cuerpo rígido se en(a) (c) (b) cuentre equilibrio. De lo contrario, son paralelas las líneas de acción de las tres fuerzas. Figura 6.7: Cuerpo rígido en equilibrio, sometido sólo a dos fuerzas. Ejemplo 6.4 La varilla AB, de longitud L y masa 2

2

1

2

1

1

be cumplir la condición

∑ MB = 0, por lo que en este caso, la línea de acción de F1 debe pasar por el punto B como lo muestra la figura 6.7(c). Por otro lado, como se presenta equilibrio de traslación, esto es

M, permanece en la posición mostrada en la figura 6.9. Si la pared es lisa y la superficie horizontal es rugosa, determine a) Las reacciones en los extremos de la varilla. b) La fuerza de fricción estática, si el movimiento de la varilla es inminente y el coeficiente de fricción en el extremo A es µ. c) Los valores de las cantidades obtenidas en los numerales anteriores, para M = 3 kg, θ = 25o y µ = 0.25.

B

∑ F = 0, se debe cumplir que F1 = −F2 . En síntesis, si un cuerpo rígido sometido a la acción de dos fuerzas se haya en equilibrio, las dos fuerzas deben tener igual magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.

6.2.4.

q A Figura 6.9: Varilla apoyada en el piso y la pared.

Solución Equilibrio de un cuerpo rígido so- Teniendo en cuenta los dos apoyos en los extremos de la varilla, el diagrama de cuerpo libre es como metido sólo a tres fuerzas

Igual que en el caso anterior, si el cuerpo rígido está en equilibrio sometido solamente a la acción de tres fuerzas, figura 6.8(a), se cumple la condición ∑ M = 0, donde los momentos son

se ilustra en la figura 6.10. En el extremo B sólo actúa la normal B que la pared lisa ejerce sobre la varilla, mientras que en el extremo A actúan, la fuerza Ax debida a la fricción estática entre la varilla y la superficie horizontal y la normal Ay ejercida por el piso. Por otro lado, el peso de la varilla actúa en su

6

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

B

Ax A

q

Ejercicio 6.1 Resuelva el ejemplo 6.4 teniendo en cuenta que sobre la varilla actúan tres fuerzas.

B

Ejercicio 6.2 Analice la situación que se presenta, cuando en el ejemplo 6.4 se supone que el piso es liso y la pared es rugosa.

Mg

Ay

Ejemplo 6.5 La varilla AB de longitud L y masa M, conectada a una articulación en el extremo A, esFigura 6.10: Diagrama de cuerpo libre de la varilla. tá unida a un bloque de masa m, mediante una cuerda que pasa por una polea ideal fija, como en la figura 6.11. La superficie horizontal es lisa. Determine centro de masa, coincidente con el centro geométrico a) La masa mínima del bloque, que permite levantar la varilla del piso. b) Las componentes rectangulares si es homogénea como se supone en este caso. de la reacción en A y la tensión en la cuerda. c) La Ecuaciones de movimiento. Como la varilla permanece en la posición mostra- masa mínima m, la reacción en A y la tensión en la da, quiere decir que está en equilibrio estático, esto cuerda, para M = 2kg y θ = 40o . es, se deben cumplir simultáneamente las siguientes condiciones L + → ∑ Fx = 0, A C A x − B = 0, (1) + ↑ ∑ Fy = 0, Ay − Mg = 0,

m

(2)

q

y tomando el sentido antihorario como positivo

B

∑ MA = 0 − 21 MgLcosθ

+ BLsenθ = 0.

Figura 6.11: Varilla apoyada i articulada. (3)

Solución

a) Mediante las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra De acuerdo con el diagrama espacial, el triángulo que las reacciones en los extremos de la varilla están ABC es isósceles. De ahí que el ángulo que forma dadas por la cuerda con la horizontal es B = 21 Mgcotθ ← √ β = 90 − 12 θ. (1) A = 12 Mgcscθ 1 + 3sen2 θ ∠ tan−1 (2tanθ ). (5) b) En general, entre la fuerza de fricción estática y la El diagrama de cuerpo libre, para el bloque y para la varilla, teniendo en cuenta el apoyo y las conenormal de la superficie se cumple la relación xiones del sistema, es el mostrado en la figura 6.12. Fs ≤ µN. (6) Utilizando la información contenida en los diagraAhora, como el movimiento es inminente, la ecuación (6) adquiere la forma Fs = µN.

L

(7)

Ah Av

T

Por las ecuaciones (1), (2) y (7), con A x = Fs y Ay = N, la fuerza de fricción estática es A x = µMg.

A

C

m mg

T` B

(8)

q B

c) Reemplazando valores en las ecuaciones (4), (5) y Figura 6.12: Diagrama de cuerpo libre del bloque y (8), se obtiene B A Fs

= 31.52 N ← . = 43.11 N ∠ 43o . = 7.35 N → .

la varilla. mas de cuerpo libre, las ecuaciones de equilibrio estático, están dadas como sigue.

7

6.2. EQUILIBRIO DE UN CUERPO

Para el bloque R

+ ↑ ∑ Fv = 0,

m A

M

R/2

T − mg = 0. Para la varilla

Figura 6.13: Disco a punto de subir un escalón.

+

→ ∑ Fh = 0, Ah − Tcosβ = 0,

(3)

+ ↑ ∑ Fv = 0, B + Tsenβ − Mg + Av = 0,

(4)

y tomando el sentido antihorario como positivo

∑ MA = 0, 1 2 MgLcosθ

B

(2)

− BLcosθ − TLsenβ = 0.

(5)

Ejercicio 6.3 En la figura 6.13, el disco de masa M y radio R, está unido a un bloque de masa m, mediante una cuerda que pasa por una polea ideal fija. Determine a) La masa mínima m, a partir de la cual el disco subiría el escalón de altura 12 R. b) Las componentes rectangulares de la reacción en A y la tensión en la cuerda. c) La masa mínima m, la reacción en la esquina A y la tensión en la cuerda, para M = 1.5 kg y R = 20 cm.

a) Para determinar la masa mínima m, se considera el instante en el cual la varilla va a despegar del piso, Ejercicio 6.4 Como se ilustra en la figura 6.14, una esto es, en el momento que la normal B se hace cero. esfera de masa m, descansa sobre dos superficies que Así, mediante las ecuaciones (1), (2) y (5), se llega a forman entre sí un ángulo θ. a) ¿Qué condición dela expresión ben cumplir las líneas de acción de las fuerzas que m = 21 Mcosθsec 12 θ. (6) actúan sobre la esfera? Justifique su respuesta. b) ¿La condición anterior depende del valor del ángulo θ? b) Con ayuda de las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (6), ¿Por qué? se encuentra que las componentes rectangulares de la reacción en A, están dadas por Ah = 12 Mgcosθtan 12 θ,

(7)

Av = 12 Mg(2 − cosθ ).

(8)

Reemplazando la ecuación (6) en la ecuación (2), la tensión en la cuerda es T = 12 Mgcosθsec 12 θ.

q

Figura 6.14: Esfera entre planos inclinados.

(9)

Ejemplo 6.6 La barra de la figura 6.15, de masa 20 kg y longitud 5 m, se mantiene en la posición indicada mediante una articulación de rótula en el exm = 0.82 kg. tremo A, la cuerda BC, y la cuerda BD. La barra se encuentra en el plano yz. Encuentre a) la tensión en Reemplazando valores en las ecuaciones (7) y (8), es cada cuerda, y b) la reacción en el extremo A. posible encontrar que la reacción en A es c) Por la ecuación (6), la masa mínima tiene el valor

z

A = 12.4 N ∠ 77.27o .

1.5 m C 3.5 m

2.5 m

Finalmente, por la ecuación (9), la tensión en la cuerda está dada por

B

D 3m 2m

T = 7.99 N ∠ 70 , o

A y

donde la dirección corresponde al ángulo β mostrado en el diagrama de cuerpo libre.

x

Figura 6.15: Barra en el espacio tridimensional.

8

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

Solución

b) Reemplazando las ecuaciones (7) y (8) en las ecuaDe acuerdo con el diagrama espacial y la informa- ciones (1), (2) y (3), se encuentra que las componención dada en el enunciado, el diagrama de cuerpo tes de reacción en el extremo A, tienen los valores libre para la barra es como se muestra en la figura 6.16. Teniendo en cuenta el diagrama de cuerpo A x ≈ 0, (9) z

1.5 m C 3.5 m

TBC 2.5 m

B

TBD

D 2m

Ax A Az

196 N

Ay = 133.22 N,

(10)

Az = 197.91 N.

(11)

Las ecuaciones (9), (10) y (11) indican que la reacción en A es paralela al plano yz, ya que la componente de reacción en x es nula. De este modo, la magnitud de la reacción en el extremo A de la barra, es

3m

Ay y

x

A = 238.57 N.

Figura 6.16: Diagrama de cuerpo libre de la barra.

(12)

Finalmente, mediante las ecuaciones (10) y (12), es libre para la barra, se encuentra que las fuerzas en posible demostrar que el ángulo que forma la reaccomponentes rectangulares están dadas por ción en A con el eje y, tiene el valor TBC = TBC (−0.35i − 0.93j + 0.12k),

θy = 56.05o .

TBD = TBD (0.52i − 0.83j − 0.21k),

Ejercicio 6.5 El dispositivo de la figura 6.17, conocido como grúa, permite levantar ó sostener cuerpos de gran masa M. La grúa está conectada en el extreA = A x i + Ay j + Az k. mo B mediante una articulación, y el brazo BC de Como la barra se encuentra en equilibrio estático, so- longitud L = 3 m tiene una masa m = 100 kg y habre ella actúa un sistema fuerza par nulo. ce un ángulo de 45o con la horizontal. El cable CA De este modo, las ecuaciones que garantizan el forma un ángulo de 30o con la horizontal y puede equilibrio traslacional, adquieren la forma soportar una tensión máxima de 10 kN. Encuentre la masa máxima que se puede levantar, bajo las condi∑ Fx = 0, ciones indicadas. −0.35 TBC + 0.52 TBD + A x = 0, (1) C W = −(196 N)k,

∑ Fy = 0, −0.93 TBC − 0.83 TBD + Ay = 0,

L/12

∑ Fz = 0, 0.12 TBC − 0.21 TBD − 196 + Az = 0,

M

(2) 30 A

45

o

o

B

(3).

Figura 6.17: Grúa estática.

∑ MO = 0, 3.27TBC + 1.65TBD − 392 = 0,

(4)

−1.05TBC + 1.56TBD = 0,

(5)

Ejercicio 6.6 La plataforma rectangular de la figura 6.18 es uniforme, tiene una masa de 200 kg, mide 1.4TBC − 2.08TBD = 0. (6) 2.56 m de longitud y 1.2 m de ancho. En A y B la plaComo se dispone de seis ecuaciones y hay cinco in- taforma está conectada mediante bisagras y sostenida por un cable fijo a las esquinas C y D que pasa por cógnitas, el problema tiene solución numérica. a) Utilizando las ecuaciones (5) y (4), se encuentra un gancho sin fricción E. Suponiendo que la bisagra que la magnitud de la tensión en cada cuerda, está en A no experimenta ninguna fuerza axial, determidada por ne a) la tensión en el cable, b) las reacciones en A y TBC = 89.49 N, (7) B. TBD = 60.23 N. (8)

9

6.3. ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO

C

z

0.72 m

1.84 m L

E 1.8 m

0.24 mB A

L L/2

0.24 m D

y B

A

x

1.2 m

C

Figura 6.19: Escalera de tijera.

Figura 6.18: Tablón en plano horizontal.

Solución

Como la escalera se encuentra en equilibrio estático, cada uno de los cuerpos rígidos que la componen, también se encuentra en reposo. Por ello, es posible En la primera parte de esta unidad se analiza- y necesario, tener en cuenta la escalera como un toron situaciones en las cuales intervenía un só- do y cada una de las partes que la conforman. Por lo cuerpo, sobre el cual actúan fuerzas ejercidas tal razón, primero se hace el diagrama de cuerpo libre para la escalera completa y para cada una de las por otros cuerpos, es decir, sobre él se ejercen escalerillas.

6.3. Estructuras en equilibrio

únicamente fuerzas externas. En lo que sigue, se C analizan cuerpos rígidos formados a su vez por varios cuerpos rígidos, unidos entre sí por diferentes tipos de conexiones y conocidos como L L L/2 estructuras. Particularmente, se consideran esMg Mg tructuras en equilibrio. En el análisis de estrucA B turas es necesario tener muy clara la diferencia N N entre una fuerza externa, la cual es ejercida por otro cuerpo ajeno a la estructura, y fuerza inter- Figura 6.20: Diagrama de cuerpo libre de la escalera na, que es ejercida por una parte de la estructura completa. sobre otra. Dentro de las estructuras se consideran aquellas conocidas como armaduras y de las C C’ cuales se analizan dos métodos que permiten C C’ determinar las fuerzas en cada uno de los comT’ T ponentes de la armadura, denominados método L T T’ L de los nodos y método de las secciones. FinalMg Mg mente se estudian fuerzas en vigas estáticas. Una escalera de tijera es un buen ejemplo de N N una estructura. Esta situación se analiza en el ejemplo 6.7 Figura 6.21: Diagrama de cuerpo libre de cada escalerilla. Ejemplo 6.7 La escalera de tijera mostrada en la A

1

A

figura 6.19, fue construida mediante dos escalerillas cada una de masa M y longitud L. Las escalerillas están conectadas mediante una bisagra en el extremo C y se mantienen unidas por medio de un miembro horizontal de longitud L/2, sujeto a los puntos medios de las dos escalerillas. a) Halle la reacción sobre la escalera en los puntos de apoyo A y B. b) Encuentre la fuerzas de reacción en los extremos del miembro horizontal. De acuerdo con el resultado obtenido, ¿el miembro horizontal está sometido a tensión o compresión? c) Determine las componentes de reacción en el extremo C, debido a la acción de una escalerilla sobre la otra.

B

x

x

y

y

1

2

2

B

En el diagrama de cuerpo libre de la figura 6.20, se observa que en la escalera completa únicamente aparecen los pesos de cada escalerilla y las reacciones en los apoyos A y B, por ser las fuerzas externas que actúan sobre ella. No aparecen las fuerzas de reacción en el extremo C ni las fuerzas generadas por el miembro horizontal, ya que son fuerzas internas para la escalera completa, mas no para cada una de las escalerillas, como se muestra en la figura 6.21. Ahora se plantean las ecuaciones de equilibrio estático, necesarias para obtener el valor de las cantidades pedidas en el enunciado.

10

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

Teniendo en cuenta la forma como se construyen las diferentes estructuras, es posible distinguir entre tres tipos de ellas, como se describe (1) en lo que sigue.

Ecuaciones de equilibrio para la escalera completa

∑ MA = 0, L L NB L − Mg (1 + cos 60) − Mg cos 60 = 0. 2 2 ∑ MB = 0, L L Mg (1 + cos 60) + Mg cos 60 − NA L = 0. 2 2 + ↑ ∑ Fy = 0,

Armadura (2)

NA + NB − Mg − Mg = 0.

(3) Ecuaciones de equilibrio para la escalerilla izquierda ∑ MC = 0, Mg

L L cos 60 − T1 sen 60 − NA L cos 60 = 0, 2 2

(4)

+

→ ∑ Fx = 0, Cx − T1 = 0,

(5)

+ ↑ ∑ Fy = 0,

NA − Mg + Cy = 0.

Es una estructura fija y estable, formada por elementos rectos unidos en sus extremos por medio de pasadores. Se construyen para soportar cargas y de tal forma que en cada extremo actúa una fuerza cuya línea de acción es paralela al elemento mismo, es decir, es una fuerza longitudinal. Las dos fuerzas en los extremos deben cumplir la condición de ser opuestas y de igual magnitud, para garantizar el equilibrio estático. Armaduras para puentes, armaduras para torres de energía y armaduras para techos, son ejemplos de este tipo de estructuras.

(6)

a) Mediante las ecuaciones (1) y (2), se encuentra que Armazón las reacciones en los apoyos A y B de la escalera, están dados por Igual que una armadura, es una estructura fiNA = NB = Mg. (7) ja y estable, formada por elementos rectos. Se

construyen para soportar cargas y a diferencia de una armadura, en los extremos pueden actuar dos ó más fuerzas cuyas líneas de acción no tienen que ser paralelas al elemento. De este modo, la única diferencia con la armadura, se presenta debido a que hay elementos de fuerza múltiple. La escalera de tijera, es un ejemplo de (8) armazón.

b) Fuerza de reacción que actúa en los extremos del miembro horizontal. De acuerdo con la tercera ley de Newton , se debe tener en cuenta que si T1 es la fuerza que el miembro ejerce sobre la escalerilla, T1′ es la fuerza que la escalerilla ejerce sobre el miembro horizontal. De acuerdo con lo anterior y empleando las ecuaciones (4) y (7), se obtiene T1 = T1′ = −0.58Mg.

El signo menos significa que en los diagramas de cuerpo libre las fuerzas T1 y T1′ tienen sentidos opuestos a los considerados inicialmente. Por lo tanto, la fuerza T1′ actúa hacia la izquierda sobre el miembro horizontal y como este se encuentra estático, la fuerza T2′ actúa hacia la derecha, indicando con esto que el miembro horizontal está sometido a tensión, ya que las fuerzas que actúan sobre él tienden incrementar su longitud. c) Las reacciones Cx y Cy , debido a la conexión que existe entre las dos escalerillas, se obtienen con ayuda de las ecuaciones (5), (6), (7) y (8), encontrando que Cx = −0.58Mg, Cy = 0.

Máquina A diferencia de las estructuras anteriores, una máquina tiene partes móviles, se construye para transmitir y cambiar fuerzas, y tiene por lo menos un elemento de fuerza múltiple. Un alicate, una llave de contención o una retroexcavadora, son ejemplos de máquinas.

6.3.1.

Análisis de una armadura

Como fue definida antes, una armadura está

El signo menos en la componente Cx , indica que el constituida por varios elementos rectos de dos sentido de la fuerza correspondiente es opuesto al fuerzas y es una estructura estable, utilizada mostrado en el diagrama de cuerpo libre. tanto en puentes como en edificios.

11

6.3. ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO

Los diferentes elementos que conforman una armadura, se conectan en sus extremos o nodos Armadura Fink (nudos) por medio de pasadores lisos. Cuando todos los elementos de una armadura se encuentran en el mismo plano, se habla de una armadura plana, a diferencia de una armadura en Armadura Howe el espacio, en la cual los elementos se encuentran en diferentes planos. Las armaduras se construyen del modo indicado, buscando que las fuerzas o cargas sobre Armadura Pratt los diferentes elementos se concentren en los nodos, esto es, en los extremos de los elementos. Aunque generalmente se desprecia el peso de los elementos de una armadura frente a Fink compuesta las cargas que esta soporta, cuando este no sea despreciable, su peso se supone que actúa sobre Figura 6.23: Armadura utilizadas en techos. los nodos, la mitad en cada nodo. Se debe tener claro que el peso es una fuerza externa que actúa sobre la armadura completa, mientras que puentes, cada una con el nombre asignado. Con las fuerzas sobre cada elemento, corresponden a fuerzas internas en la armadura completa. Como las fuerzas sobre un miembro de una Armadura Howe armadura, actúan en los extremos y son longitudinales, estos pueden estar sometidos a tensión o compresión. Es decir, si las fuerzas tratan de estirar o incrementar la longitud del elemenArmadura Pratt to, se dice que está sometido a tensión; de otro modo, si las fuerzas tienden a comprimir o reducir la longitud del miembro, se dice que está sometido a compresión. Las dos situaciones se Armadura Warren muestran en le figura 6.22 Tensión

Warren modificada Figura 6.24: Armadura empleadas en puentes. Compresión

el fin simplificar el análisis de una armadura real, se hacen las siguientes aproximaciones, las Figura 6.22: Miembro sometido a tensión o compre- cuales permiten considerarla como una armadura ideal. sión. En las figuras 6.23, se muestran diversas armaduras con los nombres asociados a cada una de ellas y que son empleadas en estructuras para techos. Igualmente, en las figuras 6.24 se tienen armaduras que se utilizan en estructuras para

1. Los miembros o elementos de la armadura se consideran rectos y delgados, esto es, se desprecia su espesor. 2. Los nudos o nodos donde se unen los diferentes elementos de la armadura se representados mediante puntos.

12

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

3. Los nudos, que en realidad son pasadores, Armadura inestable o no rígida: Es una armaduse asume que son lisos, es decir que no pre- ra que se deforma como consecuencia de las carsentan fricción. gas aplicadas y de las reacciones en sus conexiones y apoyos. Una armadura inestable está 4. Cuando los pesos de los elementos son constituida de tal forma que sus elementos puecomparables con las cargas aplicadas a la den formar polígonos de más de tres lados. Por armadura, se aplican en los extremos del ello, la armadura inestable más sencilla corresmiembro, de lo contrario se toman como ponde a una armadura rectangular. despreciables. 5. En lo que respecta a las cargas aplicadas a 6.3.2. Armadura simple o estáticamente una armadura, se consideran como cargas determinada concentradas en lo nudos. Una armadura es simple, cuando en ella se pue6. Los miembros y caras de una armadura den determinar todas las incógnitas, aplicando las condiciones que garantizan su equilibrio. plana se toman en el mismo plano. Para una armadura simple, construida con m De acuerdo con lo anterior, la fuerza que se elementos, apoyada o conectada de tal forma ejerce sobre un elemento, debido a la acción que actúan r reacciones y con un total de j noejercida por el pasador liso, está dirigida a lo dos, se satisface la expresión largo del miembro. Como se ilustra en la figura 6.25. (6.6) m + r = 2j.

F

A F

B A

F’ FAP

Nodo o nudo F’AP F’PA FPA

B

F’

Figura 6.25: Fuerzas en elementos y nodos. En la figura 6.25 se ha tenido en cuenta la tercera ley de Newton, es decir, la fuerza que un pasador ejerce sobre el extremo de un elemento, es de igual magnitud y sentido opuesto a la fuerza que el elemento ejerce sobre el pasador. Teniendo en cuenta la deformación o no de una armadura, estas se dividen en armaduras estables y armaduras inestables. Armadura estable o rígida: Es una armadura que no cambia su configuración debido a las cargas aplicadas y a las reacciones en sus conexiones o apoyos. Una armadura estable está conformada de tal manera que sus elementos forman triángulos. Por ello, la armadura estable, más estable que existe, es triangular. Una armadura que se construye tomando como base un triángulo, se denomina armadura simple.

Lo anterior es posible comprobarlo con cada de las armaduras simples mostradas en las figuras 6.23 y 6.24. El término de la izquierda, m + r, en la ecuación (6.6), corresponde al número total de incógnitas a determinar en una armadura y el término de la derecha, 2j, es el número de ecuaciones linealmente independientes, que permiten resolver completamente una armadura. En el caso de no poder determinar todas las incógnitas mediante condiciones de equilibrio, se dice que la armadura es estáticamente indeterminada. Cuando esta situación se presenta es necesario hacer una análisis de las deformaciones que se presentan en los miembros de la armadura. Lo anterior indica que el número de incógnitas es mayor que el número máximo de ecuaciones de equilibrio linealmente independientes, es decir, (m + r > 2j). Para hallar las fuerzas que actúan sobre los miembros o elementos de una armadura, se dispone del método de los nodos que permite conocer las fuerzas en todos los elementos de la armadura y el método de las sesiones mediante el cual es posible encontrar las fuerzas que actúan en algunos miembros de la armadura.

13

6.3. ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO

Como se explica a continuación, independiente del método a emplear, cuando se hace el análisis de una armadura, por inspección se deben encontrar los miembros o elementos de fuerza cero o nula, ya que esto puede simplificar en buena medida los procedimientos involucrados. En la armadura estática de la figura 6.26, se tienen varios elementos de fuerzas cero. Lo que se debe tener en cuenta para este análisis, es el hecho que las fuerzas en los extremos de cada elemento son paralelas al elemento. Observando el nodo B, se tiene que sobre él sólo actuaría una fuerza horizontal ejercida por el elemento BC que es anulada por la carga Q y una fuerza vertical generada por el elemento AB, que no puede ser anulada ya que la fuerza neta sobre el nodo es cero, o sea que este es un elemento de fuerza cero. Al analizar el nodo D, la carga horizontal P sería anulada por la fuerza horizontal que el elemento AD ejerce sobre él; pero la fuerza vertical ejercida por el elemento CD sobre el nodo D, no hay quien la anule, por ello CD es un elemento de fuerza cero. Al considerar el nodo C, la fuerza horizontal del patín sobre este nodo es anulada por el elemento BC, por lo cual no es posible que en este nodo se anule la componente vertical de la fuerza que ejercería el elemento AC, por lo que este es otro elemento de fuerza cero. B

C

Q

P

A D

Figura 6.26: Elementos de fuerza nula.

Método de los nodos El método de los nudos o nodos, está basado en el equilibrio de una partícula, ya que el punto de unión de varios elementos de la armadura se encuentra estático, cuando la armadura está en reposo. Lo anterior indica que por cada nodo se dis-

pone de dos ecuaciones de equilibrio linealmente independientes. Por lo tanto, si en la armadura hay un total de j nodos, para resolverla completamente, es necesario resolver 2j ecuaciones linealmente independientes. En el método de los nodos o nudos para resolver completamente una armadura, se deben seguir los pasos que a continuación se describen. 1. Primero se debe tener mucha claridad sobre el diagrama espacial de la armadura a analizar, identificando por inspección si existen miembros de fuerza cero. 2. El paso siguiente tiene que ver con la realización del diagrama de cuerpo libre de la armadura completa, que permite hallar las reacciones generadas por las conexiones y apoyos. 3. Luego se eligen los nodos más adecuados y se hace el diagrama de cuerpo libre para cada uno de ellos. 4. En este paso se plantean las ecuaciones de equilibrio estático para la armadura completa y para cada nodo. 5. Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido, hasta encontrar tanto las fuerzas externas como internas, determinando si cada uno de los miembros de la armadura se encuentra en tensión o compresión. Ejemplo 6.8 Mediante un rodillo, la armadura para techo de la figura 6.27, está apoyada en A a una superficie horizontal y conectada a una articulación en D. En el nodo C se aplica una carga de 100 N. a) Encuentre las fuerzas de reacción debidas a agentes externos. b) Halle las fuerzas en todos los miembros de la armadura. c) Determine, para cada elemento de la armadura, si está sometido a tensión o compresión.

Solución

De acuerdo con los pasos a seguir, primero se deben hacer los diagramas de cuerpo libre de la armadura completa y de cada uno de los nodos, como se muestra en la figura 6.28. En este caso no se tienen elementos de fuerza cero. Teniendo en cuenta los diagramas de cuerpo libre de la figura 6.28, las ecuaciones que garantizan el estado de reposo de la armadura completa, tienen la

14

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

B 30

A

Nodo C

C

o

30

o

+

→ ∑ Fx = 0, TCD − TAC = 0.

D

+ ↑ ∑ Fy = 0,

100 N

TBC − 100 = 0.

Figura 6.27: Armadura de techo.

Nodo D

Armadura completa

C

30o

30o

Dv

b)Fuerzas en los miembros de la armadura. Mediante las ecuaciones (4), (5), (6), (7) y (8), permiten saber que los valores de las fuerzas en cada miembro son

B 30

C

o

30o

TAB = TBC = TBD = 100 N,

D Dh

100 N

TAC = TCD = 86.60 N.

Dv

Figura 6.28: Diagramas de cuerpo libre. forma

∑ MA = 0, Dv L − 100

L = 0. 2

(1)

∑ MD = 0, 100

L − AL = 0. 2

Método de las secciones

→ ∑ Fx = 0, Dh = 0.

(3)

Donde AC = CD = L/2. De forma similar y utilizando los diagramas de cuerpo libre para cada uno de los nodos, las ecuaciones que garantizan el equilibrio estático para cada nodo, están dadas por Nodo A + → ∑ Fx = 0, TAC − TAB cos 30 = 0.

c) Para saber si cada elemento está sometido a tensión o compresión, es necesario tener en cuenta la tercera ley de Newton, ya que en los diagramas de cuerpo libre se consideran las fuerzas que los elementos ejercen sobre los nodos y nos interesan las fuerzas que los nodos ejercen sobre los elementos. Teniendo en cuenta lo anterior, los miembros AB y BD están sometidos a compresión, mientras que los elementos AC, BC y CD están sometidos a tensión.

(2)

+

(4)

+ ↑ ∑ Fy = 0, A − TAB sen 30 = 0.

(8)

Dv = 50 N, Dh = 0 y A = 50 N.

Para cada nodo

A A

+

a) Fuerzas de reacción en la conexión y en el apoyo. Por las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra que las componentes de reacción en A y en D, están dadas por

D Dh

100 N

(7)

→ ∑ Fx = 0, Dh + TBD cos 30 − TCD = 0.

B A A

(6)

(5)

A diferencia del método de los nudos, el método de las secciones está basado en el equilibrio de un cuerpo rígido de una porción de la armadura, ya que si armadura completa está en equilibrio, parte de ella también lo está. En este caso, se dispone entonces de seis ecuaciones simultáneas linealmente independientes. Tres de ellas asociadas a la armadura completa y de las cuales es posible conocer las reacciones en los apoyos y conexiones y las otras tres que surgen al imponer las condiciones de equilibrio a la porción de la armadura, y mediante las cuales es posible conocer las fuerzas longitudinales

15

6.3. ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO

4m C

que actúan como máximo en tres elementos de la armadura. Si no es necesario conocer las fuerzas que actúan sobre todos los miembros de una armadura, sino sobre algunos de ellos, el método más adecuado es el de las secciones, y los pasos a seguir son

4m D 4m

A 4

B 3 5 kN

E

Figura 6.29: Armadura simple.

1. Inicialmente hay que tener mucha claridad sobre el diagrama espacial de la armadura a analizar, identificando por inspección si existen miembros de fuerza cero.

4m C

4m D

Dx Dy 4 m

2. Luego se obtiene el diagrama de cuerpo libre de la armadura completa, mediante el cual es posible hallar las reacciones generadas por las conexiones y apoyos.

A 4

B 3 5 kN

E E

3. A continuación se elige la porción de la ar- Figura 6.30: Diagramas de cuerpo libre de la armamadura que incluya los miembros de inte- dura completa. rés y se hace el diagrama de cuerpo libre correspondiente. En la porción se debe in3 4 5 4 + 5 8 − E4 = 0. (1) cluir como mínimo un elemento completo. 5 5 ∑ ME = 0,

4. De acuerdo con los dos diagramas de cuerpo libre, se plantean las ecuaciones de equilibrio estático para la armadura completa y para la porción de interés.

4 5 8 − Dx 4 = 0. 5

(2)

+ ↑ ∑ Fy = 0, 5. Por último, se resuelve el sistema de seis 4 ecuaciones simultáneas, encontrando tanto Dy − 5 = 0. (3) 5 las fuerzas externas como internas, determinando si en cada uno de los miembros Para la sección izquierda de la armadura, se tienen de interés se encuentra en tensión o com- las siguientes ecuaciones de equilibrio. presión. ∑ MD = 0, Ejemplo 6.9 La armadura de la figura 6.29 está 3 4 5 4 + 5 8 − TBE 4 = 0. 5 5

conectada a una pared mediante una articulación y apoyada en ella mediante un rodillo. a) Halle las componentes de reacción en los puntos D y E. b) Determine las fuerzas en los miembros CD, BD y BE. c) Teniendo en cuenta los resultados del numeral anterior, diga si los miembros CD, BD y BE se encuentran sometidos a tensión o compresión.

(4)

∑ MB = 0,

4m C

Solución

4m D

De acuerdo con la conexión y el apoyo de la armaTCD dura, el diagrama de cuerpo libre para la armadura 4m completa, tiene la forma mostrada en la figura 6.30. T BD Tomando la porción izquierda de la armadura A (ABC), el diagrama de cuerpo libre correspondienB 4 TBE te es el mostrado en la figura 6.31. 3 5 kN Las ecuaciones de equilibrio para la armadura completa, están dadas por Figura 6.31: Diagrama de cuerpo libre de la sección

∑ MD = 0,

izquierda.

16

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

4 5 4 − TCD 4 = 0. 5

(5) Una viga se define como una elemento delga-

+ ↑ ∑ Fy = 0, √ 2 4 TBD − 5 = 0. (6) 2 5 a) Componentes de reacción en D y E. Empleando las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra que E = 11 kN, Dx = 8 kN y Dy = 4 kN. b) Las fuerzas longitudinales sobre los miembros CD, BD y BE se obtienen mediante las ecuaciones (4), (5) y (6), llegando a TCD = 4 kN, TBD = 5.66 kN y TBE = 11 kN. c) De acuerdo con los resultados del numeral anterior, los sentidos considerados para las fuerzas sobre los tres elementos en la porción de la armadura, son los correctos. Por lo tanto, al utilizar la tercera ley de Newton se llega a concluir: los elementos BD y CD están sometidos a tensión y el elemento BE a compresión.

Ejercicio 6.7 Resuelva la situación planteada en el

do y prismático, que puede ser recto o curvo, y se construye de tal forma que soporta cargas a lo largo de su longitud, que tienden a generar deflexiones transversales. Las vigas son de utilidad en estructuras tales como puentes, edificios y aviones. Las vigas pueden soportar fuerzas concentradas, fuerzas distribuidas y pares a lo largo de su longitud. Hasta este momento, a los cuerpos se les ha aplicado fuerzas que actúan en un punto, es decir, fuerzas concentradas. A una viga también se le pueden aplicar fuerzas que están distribuidas sobre varios puntos de ella, o sea, fuerzas distribuidas. En la figura 6.32 se muestra una viga sobre la cual actúan, simultáneamente, dos fuerzas concentradas de 10 N y 25 N; dos pares de 50 N · m y 120 N · m; y una fuerza uniformemente distribuida de 15 N · m−1

10 N

50 N m

-1

15 N m

25 N 120 N m

ejemplo 6.9, tomando la porción derecha de la armaFigura 6.32: Viga sometida a dos fuerzas concentradura.

das, una fuerza distribuida y dos pares. Ejercicio 6.8 Determine las fuerzas en los miembros AB, BC y AC de la armadura considerada en el Cuando actúa una fuerza distribuida sobre ejemplo 6.9. una viga, es posible reemplazarla por una fuer-

6.4. Fuerzas en vigas En las secciones anteriores se han analizado situaciones de partículas y cuerpos rígidos en equilibrio, particularmente armaduras simples. En los métodos estudiados ha sido posible determinar las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido, debido al tipo de conexiones y apoyos que le permiten estar es reposo. En el caso de una armadura simple, se analizaron dos métodos que hacen posible determinar las fuerzas que mantienen unidos los elemento de ella. En la primera parte de esta sección, se estudian las fuerzas en vigas, esto es, se consideran las fuerzas que mantienen unido un elemento determinado de una estructura.

za concentrada equivalente, aplicándola en el punto adecuado. A la viga de la figura 6.33 se le aplica una fuerza distribuida de 35 N · m−1 , que actúa sobre una longitud de 2 m. -1

35 N m 2m

Figura 6.33: Viga sometida a una fuerza distribuida. En este caso, la fuerza concentrada equivalente tiene una magnitud de 35 N · m−1 × 2 m = 70 N y su punto de aplicación se encuentra a 1 m del extremo derecho, como se ilustra en la figura 6.34. Si la fuerza no está uniformemente distribuida sobre la viga, el punto de aplicación de la

17

6.4. FUERZAS EN VIGAS

fuerza concentrada equivalente, se debe calcu- ner nuevas condiciones que permitan el análisis lar utilizando los métodos empleados en el aná- completo de la viga. lisis de centroides y centros de gravedad, que Primero se considera un elemento recto de no corresponde a los temas de este curso. Las dos fuerzas, sometido a tensión en sus extremos, como se muestra en la figura 6.35.

70 N

C

-F A 1m

-FA

CF

BF

-F C B F

Figura 6.34: Fuerza concentrada equivalente.

Figura 6.35: Elemento sometido a tensión.

vigas pueden estar apoyadas o conectadas por medio de articulaciones, pasadores o rodillos. Igual que en el caso de una armadura, una viga está estáticamente determinada cuando el número máximo de incógnitas, debido a las reacciones en los apoyos o conexiones, es tres.

En la figura 6.35 se asume que el miembro AB se encuentra estático, sometido a tensión por las fuerzas F y −F. Si se lleva a cabo un corte hipotético de dicho miembro en C, se tienen las porciones AC y CB que también deben estar en equilibrio estático. Por ello, si CB ejerce la fuerza F sobre AC, por la tercera ley de Newton se tiene que AC ejerce la fuerza −F sobre CB. Lo anterior indica que estas fuerzas internas son las que permiten mantener unidas las dos partes del miembro, existen siempre que el elemento esté sometido a tensión y se conoce como fuerza axial . Ahora, se analiza un miembro recto de dos fuerzas pero sometido a compresión, como se ilustra en la figura 6.36.

Pregunta 6.1 Una viga está conectada: (a) A dos articulaciones, (b) a dos patines y una articulación y (c) tres patines. Para cada caso, ¿la viga es estáticamente determinada ó estáticamente indeterminada? Explique. Se tiene una viga en voladizo cuando solo está conectada o empotrada en uno de sus extremos, es decir, cuando se le impide cualquier tipo de movimiento a dicho extremo. También se habla de una viga con voladizo, cuando no está conectada o apoyada en uno o los dos extremos. Una viga simple es aquella que esta apoyada por medio de un rodillo en uno de sus extremos y conectada a una articulación en el otro, es decir, cuando es estáticamente determinada, ya que el número de reacciones debido a los apoyos o conexiones es igual al número de incógnitas. En lo que sigue y como lo permite la física, se consideran vigas estáticamente determinadas, esto es, cuando las condiciones de equilibrio son suficientes para determinar las reacciones desconocidas, en otras palabras, cuando el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Cuando aparecen más incógnitas que ecuaciones, es necesario recurrir a los métodos de resistencia de materiales, con el fin impo-

-F A -FA

C

BF

C F -F C

BF

Figura 6.36: Miembro sometido a compresión. En la figura 6.36 se asume que el miembro AB se encuentra en reposo, sometido a compresión mediante las fuerzas F y −F. Si se lleva a cabo el corte hipotético de dicho miembro en C, se tienen las porciones AC y CB que también deben estar en equilibrio estático. Por ello, si CB ejerce la fuerza F sobre AC, por la tercera ley de Newton se tiene que AC ejerce la fuerza −F sobre CB. Lo anterior indica que estas fuerzas internas son las que permiten mantener unidas las dos partes del miembro, existen mientras el

18

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

miembro esté sometido a compresión y es una fuerza axial . Como la sección C es arbitraria, se tiene que la magnitud F de la fuerza interna es la misma en cualquier sección del elemento y se habla de la fuerza en el miembro AB. Ahora se considera un miembro estático, sobre el cual actúan simultáneamente varias fuerzas, tal como en el elemento AB mostrado en la figura 6.37. En este caso, las fuerzas exterQ2 Qh A

Qh1 A QV2

Qv Q2

C

B

P

P2 C Fh -Fh C -M M -Fv Fv

B

P1

P2

Figura 6.37: Miembro de varias fuerzas. nas que actúan sobre la viga tienden a imprimir efectos tanto de traslación como de rotación sobre ella. Al hacer un corte hipotético en la sección C, las dos partes de la viga continúan en reposo, por lo que actúa una fuerza axial de magnitud Fh y una fuerza cortante Fv , para garantizar que la fuerza neta sea nula sobre cada parte del elemento. Adicionalmente, se tiene un momento de flexión con magnitud M, el cual garantiza que el momento total sea nulo sobre cada porción del miembro. Cuando se desea conocer en un elemento de una estructura, la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento de flexión, se deben seguir los siguientes pasos

4. Luego se hace el diagrama de cuerpo libre el cual incluye la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento de flexión en el corte. 5. Apoyándose en los diagramas de cuerpo libre, se plantean las ecuaciones de equilibrio para la estructura completa y para el elemento donde se realizó el corte. 6. Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones, para obtener la información solicitada. En lo que sigue se aplican cargas transversales, esto es, perpendiculares a las viga, lo cual genera una simplificación puesto que no será necesario analizar efectos axiales sobre la viga. De este modo, el análisis se reduce a analizar los efectos cortantes y los efectos de flexión a lo largo de la viga.Este caso se presenta con frecuencia cuando se utilizan vigas en diferentes situaciones reales. Es costumbre utilizar la convención que a continuación se describe, para el análisis de vigas. En el caso más general, se considera una viga simple conectada tanto a una articulación, como a un patín y sometida a cargas transversales y pares a lo largo de su longitud. Luego de hacer C

(a)

(b) (c) M

V´ (d)

V

M´

1. Primero se debe tener claridad sobre el diaFigura 6.38: Fuerza cortante y momento de flexión. grama espacial de la estructura. un corte C en la viga de la figura 6.38(a), puede ocurrir que las fuerzas externas, reacciones y cargas, tiendan a desplazar la porción izquierda de la viga verticalmente hacia arriba, respecto a la porción derecha, como se ilustra en la figura 6.38(b). Esto hace que la fuerza cortante 3. Como paso siguiente, se hace un corte que la porción derecha ejerce sobre la porción transversal en el elemento que contenga la izquierda, esté dirigida verticalmente hacia abajo. Ahora, por la tercera ley de Newton y sobre sección de interés. 2. A continuación se hace el diagrama de cuerpo libre de la estructura completa, mediante el cual será posible determinar las reacciones generadas por las conexiones y apoyos.

19

6.4. FUERZAS EN VIGAS 20 kN

la porción derecha, la fuerza cortante está dirigiA B 1.5 N m da verticalmente hacia arriba como se muestra A 1.5 m 0.5 m B en la figura 6.38(d). M A Igualmente, puede ocurrir que las fuerzas exA x V 20 kN ternas y los pares, tiendan a flexionar la viga coM mo en la figura 6.38(c). En este caso sobre la viga A V 1.5 m actuaría un par con efectos de rotación en senx tido horario sobre la porción izquierda y otro en sentido antihorario sobre la porción derecha. V(kN) Por esta razón, en el corte C se tendría un mo5 x(m) 0 mento flexionante con efectos de rotación, en -15 sentido antihorario sobre la porción izquierda y M(kN m) un momento flexionante con efectos de rotación 7.5 en sentido horario sobre la porción derecha de x(m) la viga, como se ilustra en la figura 6.38(d). Lo anterior, se tomará como convención para Figura 6.40: Diagramas de cuerpo libre en los cortes. dibujar la fuerza cortante y el momento de flexión en las porciones izquierda y derecha en el corte de una viga. ∑ MA = 0, Es posible demostrar que entre la fuerza corB2 − 20 × 103 (1.5) − 1.5 = 0. (2) tante y el momento de flexión se satisface la ex ∑ MB = 0, presión dM 20 × 103 (0.5) − Ay 2 − 1.5 = 0. (3) V= dx Mediante las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra , que permite comprobar si los resultados obteA x = 0. (7) nidos para cada corte de la viga son los correcB = 15 kN. (8) tos. Ay = 5 kN. (9) Ejemplo 6.10 Sobre la barra de la figura 6.39, que y

1

y

1

2

y

está articulada en el extremo A y apoyada en el extremo B mediante un rodillo, se aplican la carga y el par mostrados. a) Halle las componentes de reacción en cada uno de los extremos de la barra. b) Obtenga las gráficas de la fuerza cortante y del momento de flexión a lo largo de la viga.

(b) Primer corte a la izquierda + ↑ ∑ Fy = 0, Ay − V1 = 0. M1 − V1 x = 0.

A

B

M1 = 7.5 kN · m.

Figura 6.39: Viga sometida a una fuerza y un par.

Segundo corte

+ ↑ ∑ Fy = 0,

Ay − 20 − V2 = 0. En la figura 6.40, primero se hacen los diagramas de cuerpo libre para la barra y para cada porción de la ∑ MA = 0, barra luego del corte. Ecuaciones de equilibrio estáM2 − 20(1.5) − V2 x = 0. tico (a) Barra completa Componentes de reacción en los Mediante la ecuación (10), se encuentra que extremos A y B.

Solución

+

(6)

Utilizando los resultados dados por las ecuaciones (8) y (9), en las ecuaciones (5) y (6), se llega a V1 = 5 kN.

1.5 N m

0.5 m

→ ∑ Fx = 0.

(5)

∑ MA = 0,

20 kN

1.5 m

2

(1)

V2 = −15 kN,

(10)

(11)

20

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

donde el signo menos indica que la fuerza cortante V1 , apunta verticalmente hacia arriba. Adicionalmente, por la ecuación (11), se llega a M2 = 7.5 kN, para x = 1.5 m y M2 = 0 para x = 2 m. Utilizando los resultados dados por las ecuaciones (5) y (10), se obtiene la forma como varía la fuerza cortante a lo largo de toda la viga, como se muestra en la figura 6.40. De igual manera, empleando los resultados obtenidos mediante las ecuaciones (6) y (11), se obtiene la gráfica de la forma como varía el momento de flexión a lo largo de toda la viga, como se ilustra en la figura 6.40.

se debe tratar cada bloque? Explique. (b) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de cada cuerpo. (c) Halle, en función de m3 , la masa de los bloques y la tensión en la cuerda. ¿Qué relación existe entre las masas m1 y m2 ? (d) Encuentre el valor de las cantidades obtenidas en el numeral anterior, si m3 = 135 g, l = 30 cm y h = 10 cm.

l/2

l/2 h m3

6.5. ENUNCIADOS 6.1 La partícula A se encuentra en reposo y la partícula B está en equilibrio. ¿Se puede presentar alguna diferencia en el estado dinámico de las partículas? Explique.

m2

m1 Figura 6.41: Bloques sujetos a la misma cuerda.

6.7 En el enunciado anterior, ¿es posible utilizar dos bloques con masas m1 y m2 , tales que 6.2 Un cuerpo estático, de masa m, tiene apli- la cuerda permanezca horizontal al sostener el cada una fuerza F. ¿Qué condición debe satisfa- bloque de masa m ? Explique. 3 cer esta fuerza, para garantizar el estado diná6.8 El bloque, de masa m, se sostiene medianmico del cuerpo? Explique. te dos resortes de longitud normal d y de cons6.3 A un cuerpo estático, de masa m, se le apli- tantes k1 y k2 , como se ilustra en la figura 6.42. can dos fuerzas. ¿Qué condición deben satisfa- (a) Haga el diagrama de cuerpo libre de intecer estas fuerzas, para garantizar que el estado rés. (b) Plantee las ecuaciones que garantizan el dinámico del cuerpo no cambie? Explique. estado del sistema. (c) Encuentre la relación entre las constantes de los resortes y sus respecti6.4 En el interior de un almacén, hay un aviso vas deformaciones. (d) Halle el valor de la consde masa m que está suspendido mediante dos tante de los resortes, sabiendo que: m = 1.2 kg, cuerdas, una de las cuales está orientada ver- d = 25 cm y h = 12 cm. ticalmente. ¿Cómo debe estar orientada la otra cuerda para garantizar que el aviso permanezd d ca estático? Justifique física y completamente su respuesta. 6.5 ¿En el aviso del enunciado anterior, las dos cuerdas pueden estar orientadas horizontalmente, para garantizar que este permanezca estático? Justifique física y completamente su respuesta.

h

m

6.6 Los bloques de masas m1 y m2 , los cuales Figura 6.42: Cuerpo suspendido mediante dos resorestán unidos mediante la misma cuerda, permi- tes. ten sostener el bloque de masa m3 . La cuerda pasa por dos poleas ideales fijas, como se ilustra 6.9 La lámpara, de masa m, se sostiene meen la figura 6.41. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo diante tres cables como se ilustra en la figura

21

6.5. ENUNCIADOS

z 6.43. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe C tratar la lámpara? Explique. (b) Haga el diagra1m ma de cuerpo libre para el la lámpara. (c) ExO B prese cada una de las fuerzas en sus componeny 1m tes rectangulares. (d) Plantee las ecuaciones que x 1m garantizan el estado de la lámpara. (e) Halle la 8m A 8m magnitud de cada una de las fuerzas que actúan sobre la lámpara y el ángulo que estas forman 2m con cada uno de los ejes coordenados. (f) Evalúe para m = 1.8 kg. Figura 6.44: Auto sujeto a un cable en superficie lisa. z

4 cm 11 cm

B

8 cm

de cuerpo libre para la viga. (c) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado dinámico de la A x viga. (d) Halle la tensión en el cable y la reacción en el extremo A. ¿El último resultado está C de acuerdo con lo esperado? Explique. (e) Encuentre el coeficiente de fricción mínimo que le Figura 6.43: Lámpara suspendida mediante tres reimpide a la viga deslizar sobre la pared. (f) Calsortes. cule el valor de las cantidades obtenidas en el numeral (d), sabiendo que m = 17 kg. 10 cm

D 11 cm

y

6.10 Como se muestra en la figura 6.44, un auD to de masa m, se sostiene sobre una pendiente muy resbalosa, mediante un cable que pasa por un gancho liso sujeto al auto y que está fijo B l en sus extremos B y C. (a) ¿Bajo qué modelo de C cuerpo se debe tratar el auto? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo libre para el auto. (c) l Exprese cada una de las fuerzas en sus compoA nentes rectangulares. (d) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado dinámico del auto. (e) Figura 6.45: Viga apoyada en pared vertical. Encuentre la tensión en el cable y la fuerza que la superficie ejerce sobre el auto, en función de la masa del auto. (f) Halle la masa máxima del auto que puede ser sostenida por el cable, sa- 6.12 Resuelva los numerales del enunciado biendo que este soporta una tensión máxima de anterior, suponiendo que un extremo de la cuer5.6 × 103 N. Determine el valor correspondiente da está sujeto a la viga en B y el otro extremo al de la fuerza que el piso ejerce sobre el auto. mismo punto D de la pared, como se ilustra en la figura 6.46. 6.11 La viga homogénea de masa m, que está apoyada sobre una pared vertical rugosa, se 6.13 Mientras una persona de masa m, camina mantiene en la posición mostrada mediante un sobre una tabla homogénea de masa M y longicable perpendicular a la viga y sujeto en su pun- tud l, esta permanece apoyada al piso en su exto medio, como se muestra en la figura 6.45. El tremo A, estando conectada a una articulación otro extremo del cable está pegado a la pared en su punto medio, como se ilustra en la figura vertical. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se de- 6.47. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe trabe tratar la viga? Explique. (b) Haga el diagrama tar la tabla. (b) Haga el diagrama de cuerpo para

22

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

D k

B

h

l C

C

o

48

l

A

B

d

A

Figura 6.48: Varilla articulada en un extremo. Figura 6.46: Viga apoyada y conectada en sus extremos. la tabla. (c)Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la tabla. (d) Halle, en función de la posición de la persona, la reacción en la articulación y en el apoyo. ¿Qué le ocurre a la magnitud de cada reacción, a medida que la persona se aleja del extremo A? Explique. (e) ¿Hasta qué posición puede caminar la persona sin que cambie el estado de la tabla? Explique. (f) Halle el valor de la reacción en C, para la situación considerada en el numeral anterior si m = 65 kg y M = 25 kg.

longitud l y masa M, y la cual está apoyada en la pared vertical rugosa.(a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar la viga y al bloque? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo libre para la varilla y para el bloque. (c) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la varilla y del bloque. (d) Encuentre la tensión en la cuerda y las componentes de reacción en el apoyo B. (e) Halle magnitud y dirección de la reacción en B y el coeficiente de fricción mínimo que le impide a la viga deslizar sobre la pared vertical, sabiendo que m = 20 kg, M = 15 kg. A o

56

x A

B C

D

C

m

o

39

B

Figura 6.47: Tabla articulada en la mitad. 6.14 Una varilla homogénea de masa m y longitud d, que está conectada a un pasador liso en su extremo B, permanece horizontal debido a la acción de un resorte de constante k, como se ilustra en la figura 6.48. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar la varilla? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo libre para la varilla. (c) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la varilla. (d) Encuentre la deformación del resorte y la reacción en B. (e) Evalúe para m = 5 kg, d = 98 cm, h = 63 cm y k = 250 Nm. 6.15 Mediante la grúa de la figura 6.49, se sostiene el bloque de masa m, que está sujeto a una cuerda fijada a la pared en el punto D. La cuerda pasa por el extremo A de la viga AB, que tiene

Figura 6.49: Bloque sostenido por una grúa.

6.16 La grúa de la figura 6.50, de masa M y longitud l, está conectada a una rótula en su extremo A y sujeta a una cuerda en su extremo B, como se ilustra en la figura. Este dispositivo se utiliza para sostener el bloque de masa m, mediante una cuerda sujeta a una distancia 3l/4, respecto al extremo A. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar al bloque y a la grúa? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo. (c) Exprese cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares. (d) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de cada uno de los cuerpos. (e) Halle la tensión en

23

6.5. ENUNCIADOS

la cuerda, la masa del bloque y las componentes de reacción en A. (f) Calcule los valores de la magnitud de la tensión en la cuerda, la masa del bloque y la reacción en A, sabiendo que M = 15 kg. z

1m

B

D

C

0.8 m

m y

A

1.6 m 2m

la figura 6.52. (a) (i) ¿Qué nombre recibe una estructura de este tipo? ¿Por qué? (ii) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar la estructura y el aviso? Explique. b) Haga el diagrama de cuerpo libre para la estructura completa y para cada uno de sus elementos. (c) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la estructura completa y halle las componentes de reacción en A. (d) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de cada miembro de la estructura y halle las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos. (e) Obtenga los valores de las cantidades encontradas en los numerales anteriores, sabiendo que el peso del aviso es 17 lb.

x

1p 1p Figura 6.50: Grúa en tres dimensiones.

C

D

1.5 p 6.17 La placa triangular equilátera de lado 2.4 m y masa M, que está conectada a dos bisagras A y B, se sostiene mediante el cable CD, como se ilustra en la figura 6.51. Desprecie la fuerza axial sobre la bisagra B. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar la placa? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo libre para la placa. (c) Exprese cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares. (d) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la placa. (e) Halle la tensión en la cuerda y las componentes reacción en cada bisagra. (f) Encuentre la magnitud de la tensión en la cuerda y la reacción en cada bisagra, para M = 9 kg.

B

Aviso

2p A

Figura 6.52: Estructura empotrada.

6.19 La armadura de la figura 6.53, que está articulada en el nodo A y apoyada a un patín en el nodo E, se somete a la carga de 80 N aplicada en el nodo F. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar a la armadura completa, a cada nodo y a cada elemento de la armadura? Explique. (b) y ¿En la armadura se tienen elementos de fuerza cero? Explique. (c) Haga el diagrama de cuerm 1.2 po libre para la armadura completa. (d) Plantee C las ecuaciones que garantizan el estado de la armadura. (e) Encuentre las componentes de reac0.6 m m ción en A y en E. (f) Haga el diagrama de cuerpo 1.2 2m x B libre para cada uno de los nodos de la armadu1.2 m A D ra. (g) Plantee las ecuaciones que garantizan el z estado de cada nodo. (h) Encuentre el valor de la fuerza que se ejerce en los extremos de cada Figura 6.51: Placa triangular sobre plano horizon- miembro. (g) Determine si cada elemento está tal. sometido a tensión o compresión. 6.18 Un aviso de masa m se sostiene median- 6.20 La armadura de la figura 6.54, que está arte la estructura empotrada, como se muestra en ticulada en el nodo A y apoyada a un patín en el

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CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

Figura 6.53: Armadura articulada y apoyada. nodo G, se somete a las cargas de 30 N y 100 N, aplicadas respectivamente en los nodos B y H. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar a la armadura completa, a cada nodo y a cada miembro de la armadura? Explique. (b) ¿En la armadura se tienen miembros de fuerza cero? Explique. (c) Haga el diagrama de cuerpo libre para la armadura completa. (d) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la armadura. (e) Encuentre las componentes de reacción en A y en G. (f) Haga el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los nodos de la armadura. (g) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de cada nodo. (h) Encuentre el valor de la fuerza que se ejerce en los extremos de cada elemento. (g) Determine si cada miembro está sometido a tensión o compresión. B 20 N C

F G 100 N

20 cm 32o A

D

E

20 cm

20 cm

H 20 cm

Figura 6.54: Armadura simple. 6.21 Considere la armadura del enunciado 17. Halle la fuerza en los elementos GF, GD y GC de la armadura y determine si están sometidos a tensión o compresión.

6.23 La viga homogénea de la figura 6.55 de masa 7 kg, que está articulada en el punto B y apoyada a un patín en el extremo D, se somete a las cargas concentradas de 10 lb y 150 lb, aplicadas respectivamente en los puntos A y C. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar la viga? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo libre para la viga. (c) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la viga. (d) Encuentre las componentes de reacción en B y en D. (e) Obtenga los diagramas de fuerza cortante y momento de flexión, a lo largo de la viga. 150 lb

10 lb

B

A

C 6p

2p

D 2p

Figura 6.55: Viga sometida a cargas concentradas. 6.24 La viga homogénea de la figura 6.56 de masa 6 kg, que está articulada en el punto G y apoyada a un patín en el punto C, se somete a las cargas distribuidas mostradas. (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar la viga? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo libre para la viga. (c) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la viga. (d) Encuentre las componentes de reacción en C y en G. (e) Obtenga los diagramas de fuerza cortante y momento de flexión, a lo largo de la viga.

5 N/m A

5 N/m

B C

E

F

D 0.2 m 0.3 m 0.3 m

G

0.2 m 0.3 m

0.3 m

Figura 6.56: Viga sometida a cargas distribuídas.

6.25 La viga homogénea de la figura 6.57 de masa 11 kg, que está articulada en el punto A y 6.22 Considere la armadura del enunciado 18. apoyada a un patín en el punto F, se somete a Halle la fuerza en los miembros CB, CA y CD la cargas concentrada y distribuida mostradas. de la armadura y determine si están sometidos (a) ¿Bajo qué modelo de cuerpo se debe tratar la a tensión o compresión. viga? Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo

25

6.5. ENUNCIADOS

libre para la viga. (c) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado de la viga. (d) Encuentre las componentes de reacción en A y en F. (e) Obtenga los diagramas de fuerza cortante y momento de flexión, a lo largo de la viga. 5N A

B

7 N/m C

D

E

F

0.1 m 0.2 m 0.2 m

0.2 m 0.2 m

Figura 6.57: Viga sometida a carga concentrada y distribuída.

26

CAPÍTULO 6. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Y CUERPOS RÍGIDOS

[11] F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young y R. A. Freedman. "Física Universitaria Volumen 1 (Décimo tercera edición)". Pearson Educación, 2013. [12] P. M. Fishbane, S. Gasiorowica y S. T. Thornton. ÏFísica para Ciencias e Ingeniería". Prentice-Hall Hispanoamericana S. A. 1984.

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Índice alfabético

A, análisis de armaduras, 10–16 de vigas, 16–20 armadura, 10 completa, 11, 14, 15 estable, 12 ideal, 11 inestable, 12 plana, 11 real, 11 rectangular, 12 simple, 12–16 triangular, 12 armadura completa, 15 armaduras para puentes, 11 para techos, 11 armazón, 10 C, condiciones de equilibrio, 2 conexiones y apoyos, 12, 13, 15, 16 cuerpo rígido sólo con tres fuerzas, 5 sólo con dos fuerzas, 5 D, definición de viga, 16 diagrama de cuerpo libre, 13, 15 espacial, 13, 15 E, ecuaciones de equilibrio, 2

linealmente independientes, 12 efecto cortante, 18 de flexión, 18 elemento de fuerza cero, 13, 15 de fuerza múltiple, 10 de fuerza simple, 10 de una armadura, 11 sometido a compresión, 11, 13, 15 sometido a tensión, 10, 11, 13, 15 equilibrio de traslación, 5 de un cuerpo, 1–8 de un cuerpo rígido, 4–8, 14 de una partícula, 13 estático ó dinámico, 2, 4 escalera de tijera, 9 estática de una partícula, 2–4 estado de equilibrio, 2 estructura en equilibrio, 9, 16 estable, 10 F, fuerza axial, 17, 18 concentrada, 12, 16 equivalente, 16 cortante, 18 distribuida, 16 en una viga, 16 externa, 9, 11, 13, 15, 16, 18 interna, 9, 11, 13, 15, 17 28

ÍNDICE ALFABÉTICO

longitudinal, 10, 14, 16 neta nula, 2 transversal, 18 fuerzas coplanares, 2 en vigas, 9 externas, 4 L, línea de acción, 5 M, máquina, 10 método de las secciones, 9, 12, 14–16 de los nodos, 9, 12–14 modelo de partícula, 2 momento de flexión, 18, 19 neto nulo, 2 total, 5 P, partícula en equilibrio, 2 pasador liso, 11 S, sistema equivalente fuerza par, 2 fuerza par, 1 fuerza par nulo, 2, 4 T, tercera ley de Newton, 10, 12, 14, 17, 18 V, viga con voladizo, 17 en voladizo, 17 estáticamente determinada, 17 simple, 17, 18

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