An tioq uia

Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales ´ ticas Departamento de Matema ´ ticas Grupo de Semilleros de Matema ´ (Sematica)

Funciones Trigonom´ etricas inversas

´ticas Matema Operativas Taller 14 2011 − 1

Objetivo general

rsid

ad

de

La trigonometr´ıa es el campo de las matem´aticas que tiene como objeto de estudio a los tri´angulos y la relaci´on entre sus lados y los ´angulos que estos forman, as´ı como las funciones que surgen de dichas relaciones (funciones trigonom´etricas). Su origen etimol´ ogico deriva de los vocablos griegos τ ριγωνo (trig¯ onon) que significa tri´ angulo y µετ ρoν (metron) que significa medida. La historia de la trigonometr´ıa y en particular de las funciones trigonom´etricas puede abarcar un per´ıodo de alrededor de 4000 a˜ nos. Esta disciplina, como la vemos actualmente, no fue el resultado de s´olo un grupo de indivuiduos o una cultura, sino que fue un proceso en el que participaron grandes civilizaciones. Culturas como la egipcia y babilonia tuvieron conocimiento previo sobre teoremas que involucraban proporciones que relacionaban las magnitudes de tri´angulos rect´angulos, pero carec´ıan del concepto de medida de un ´angulo. La tablilla babilonia Plimpton (figura ??) contiene una columna de n´ umeros que se cree, constituye una de los primeros registros sobre funciones trigonom´etricas. Los astr´onomos babilonios mantuvieron un registro de mediciones realizadas sobre el movimientos de planetas y estrellas y de eclipses, labores que requer´ıan familiaridad con la medici´on de distancias angulares. Aunque los trabajos de Euclides y Arqu´ımides no incluyen trigonometr´ıa en el sentido estricto de la palabra, contienen problemas geom´etricos que son enunciados por medio de leyes trigonom´etricas. Las primeras tablas trigonom´etricas fueron aparentemente recopiladas por Hiparco de Nicea (180 - 125 a.C.), quien es conocido como el padre de la trigonometr´ıa.

Estudiar las funciones trigonom´etricas inversas.

Objetivos espec´ıficos

ive

1. Calcular el valor exacto de expresiones que incluyen las funciones inversas de seno, coseno y tangente. 2. Identificar los dominios y codominios de las funciones inversas de seno, coseno y tangente as´ı como sus propiedades.

Un

3. Determinar el corrimiento de fase de una funci´ on senoidal.

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2

1.

Introducci´ on

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Recordemos que la funci´ on inversa de una funci´ on biun´ıvoca f : X → Y de f , denotada por f −1 , −1 es la funci´ on f : Y → X definida por: f −1 (y) = x

⇐⇒

y = f (x)

(1)

Observaci´ on 1. Para una funci´ on biun´ıvoca f : X → Y se cumple que: 1. f −1 : Y → X.

4. f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ X

2. Dominio de f −1 = rango de f .

5. f (f −1 (y)) = y para todo y ∈ Y

3. Rango de f −1 = dominio de f .

f −1 (b) = a

⇐⇒

de

y

Por la definici´on (1) de funci´ on inversa

b

b = f (a),

rsid

2.

Funciones trigonom´ eticas inversas

2.1.

Funci´ on seno inverso

ive

La funci´ on seno no es biun´ıvoca

1 2

− π2

Un

−2π − 3π −π 2 7π −6

π 6

π 2

·

5π 6

π

3π 2

2π

    π  1 5π 7π = sen = sen = sen − 6 6 6 2

Restringimos el dominio de la funci´ on seno al intervalo [−π/2, π/2]:

=

x

f −1 (b, a)

a

Observemos que los puntos (a, b) y (b, a) son sim´etricos respecto a la recta y = x y por tanto las gr´aficas de f y f −1 son sim´etricas a dicha recta.

y

(a, b)

a

ad

y por tanto el punto de coordenadas (a, b) pertenece a la gr´ afica de f si, y s´olo si el punto (b, a) pertenece a la gr´ afica de f −1 . As´ı, la gr´afica de −1 f es la misma que la de f excepto que los roles de los ejes x e y se cambian.

f

x b

3

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1 −2π − 3π 2

−π

− π2

π

π 2

3π 2

−1

2π

Definici´ on 2.1 (Funci´ on seno inverso). La funci´ on seno inverso, denotada por sen−1 , se define como y = sen−1 (x) ⇐⇒ x = sen(y) para −1 ≤ x ≤ 1

y

−

π π ≤y≤ 2 2

Observaci´ on 2. .

  1. El dominio de sen−1 es [−1, 1] y su imagen es − π2 , π2

2. Notaci´on: y = sen−1 (x) ⇐⇒ y = arcosen x

h π πi − , 2 2

de

sen−1 : [−1, 1] −→

3. Para verificar que y = sen−1 x es necesario probar que

Actividad 2.1. Halle el valor de 1 2




2. sen−1 − 12

y

−

 √  3. arcosen − 23

rsid

1. sen−1

π π ≤y≤ 2 2

ad

sen y = x




5. sen−1 0

4. sen−1 1

6. sen−1 (3.141592653 . . .)

ive

Recordemos que (a, b) est´ a en la gr´ afica de sen−1 si, y s´olo si, (b, a) est´ a en la gr´afica de sen π 2

Un

− π2 −1

1

π 2

− π2

Proposici´ on 2.2 (Propiedades de sen−1 ). .
1. sen sen−1 (x) = x ,

−1 ≤ x ≤ 1

2. sen−1 (sen(x)) = x ,

− π2 ≤ x ≤

π 2

4

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Actividad 2.3. Halle el valor exacto de 1. sen(sen−1 23 )

2.2.

2. sen−1 (sen 5π 4 )

3. sen−1 (tan 3π 4 )

Funci´ on coseno inverso

La funci´ on coseno no es biun´ıvoca

1 2

−2π − 3π 2

−π

− π2 − π3

π

π π 3 2

3π 7π 2 3

2π

  π  π 1 7π = cos = cos = cos − 3 3 3 2 Restringimos el dominio de la funci´ on coseno al intervalo [0, π]:

−2π − 3π 2

−π

− π2

π 2

−1

de

1 π

3π 2

2π

ad

Definici´ on 2.2 (Funci´ on coseno inverso). La funci´ on coseno inversa, denotada por sen−1 , se define como y = cos−1 (x) ⇐⇒ x = cos(y) para

Observaci´ on 3. .

y

rsid

−1 ≤ x ≤ 1

0≤y≤π

1. El dominio de cos−1 es [−1, 1] y su imagen es [0, π] cos−1 : [0, π] −→ [0, π]

ive

2. Notaci´on: y = cos−1 (x) ⇐⇒ y = arco x

3. Para verificar que y = cos−1 x es necesario probar que cos y = x

y

0≤y≤π

1. cos−1

1 2




2. cos−1 − 21

Un

Actividad 2.4. Halle el valor de




 √  3. arco − 23

4. cos−1 1

5. cos−1 0 6. cos−1 e

Recordemos que (a, b) est´ a en la gr´ afica de la funci´ on coseno inverso si, y s´olo si, (b, a) est´ a en la gr´afica de coseno:

5

π

π 2

−1

1

π

π 2

Proposici´ on 2.5 (Propiedades de cos−1 ). .
1. cos cos−1 (x) = x ,

−1 ≤ x ≤ 1

2. cos−1 (cos(x)) = x ,

Actividad 2.6. Halle el valor exacto de

2.3.

1 2




2. cos−1 (cos 3.1415)

Funci´ on tangente inversa

La funci´ on tangente no es biun´ıvoca

0≤x≤π

3. sen cos−1 − 32

de

1. cos cos−1

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−π − π2 − 3π 4

π 4

π 2

π

5π 3π 4 2

2π

rsid

−2π − 3π 2

ad

1

    π  5π 3π = tan = tan =1 tan − 4 4 3

ive

Restringimos el dominio de la funci´ on tangente al intervalo (−π/2, π/2):

−π

− π2

Un

−2π − 3π 2

π 2

π

3π 2

2π

Definici´ on 2.3 (Funci´ on tangente inversa). La funci´ on tangente inversa, denotada por tan−1 , se define como y = tan−1 (x) ⇐⇒ x = tan(y) para

−

π π 0

2. Una onda de amplitud |a| se obtiene en el intervalo "

c 2π c − − , b b b

#

4.

Ejercicios

ive

Actividad 3.4. Determina el per´ıodo, amplitud y corrimiento de fase de y = 2 sen(2x + π) y traza su gr´ afica.

Un

[Ejercicios (1)-(9)] Resuelva las ecuaciones trigonom´etricas dadas en los intervalos dados.  √  1. cos−1 − 22 √
2. tan − 3   3. arc sen − √12 −1

4. arc cos π2

5. cos sen−1 − 12  √  6. sen−1 − 22





 √  7. tan−1 − 33

 √  8. cos−1 − 23 9. sen 2 cos−1

1 2





8

[Ejercicios (10)-(14)] Encuentra el valor exacto de cada expresi´on.
10. cos sen−1 35 − cos−1 21
5 − cos−1 54 11. sen cos−1 13
  12. tan sen−1 − 12 − tan−1 43
  13. sen 2 cos−1 − 35
14. cos 2 tan−1 43

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18. cot sen−1 x

[Ejercicios (19)-(22)] Encuentre la amplitud, el periodo, el corrimiento de fase y traza la gr´afica de la ecuaci´ on. 19. y = 2 sen(2x − π)
20. y = cos x + π2

21. y = 5 sen

1 5x

−

π 4

22. y = −3 cos 2x +




π 3




[Ejercicios (15)-(18)] Exprese algebraicamente en [Ejercicios (23)-(24)] Resuelva las ecuaciones trit´erminos de x (x > 0). gonom´etricas en los dominios indicados.
−1 15. cos sen x 5π 23. sen−1 x + 2 cos−1 x =
6 16. tan sen−1 x π
24. tan−1 2x + 2 tan−1 x = 17. sec sen−1 x 4

de

Referencias

[1] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores de Departamento de Matem´ ati´ cas de la Universidad de Antioquia para el curso Algebra y trigonometr´ıa (CNM-108): http://ciencias.udea.edu.co/algebraytrigo/ [2] W. L. Hosch, The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Rosen Education Service, primera edici´ on, 2010.

ad

´ [3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica, und´ecima edici´ on, editorial Thomson, 2006.

Un

ive

rsid

´ [4] M. Sullivan., Algebra y Trigonometr´ıa, s´eptima edici´ on, editorial Pearson, 2006.