An tioq uia

Funciones trigonom´etricas de ´angulos Instituto de Matem´aticas* Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Unviersidad de Anquioquia Medell´ın, 25 de julio de 2011

1.

Introducci´ on

2.

rsid

ad

de

La trigonometr´ıa es el campo de las matem´aticas que tiene como objeto de estudio a los tri´angulos y la relaci´on entre sus lados y los ´angulos que estos forman, as´ı como las funciones que surgen de dichas relaciones (funciones trigonom´etricas). Su origen etimol´ ogico deriva de los vocablos griegos τ ριγωνo (trig¯ onon) que significa tri´ angulo y µετ ρoν (metron) que significa medida. La historia de la trigonometr´ıa y en particular de las funciones triFigura 1 gonom´etricas puede abarcar un per´ıodo de alrededor de 4000 a˜ nos. Esta disciplina, como la vemos actualmente, no fue el resultado de s´olo un grupo de indivuiduos o una cultura, sino que fue un proceso en el que participaron grandes civilizaciones. Culturas como la egipcia y babilonia tuvieron conocimiento previo sobre teoremas que involucraban proporciones que relacionaban las magnitudes de tri´angulos rect´angulos, pero carec´ıan del concepto de medida de un ´angulo. La umeros que se cree, constituye una de tablilla babilonia Plimpton (figura 1) contiene una columna de n´ los primeros registros sobre funciones trigonom´etricas. Los astr´onomos babilonios mantuvieron un registro de mediciones realizadas sobre el movimientos de planetas y estrellas y de eclipses, labores que requer´ıan familiaridad con la medici´on de distancias angulares. Aunque los trabajos de Euclides y Arqu´ımides no incluyen trigonometr´ıa en el sentido estricto de la palabra, contienen problemas geom´etricos que son enunciados por medio de leyes trigonom´etricas. Las primeras tablas trigonom´etricas fueron aparentemente recopiladas por Hiparco de Nicea (180 - 125 a.C.), quien es conocido como el padre de la trigonometr´ıa.

´ Angulos

B

Un

ℓ2

A

O

* Esta

ive

´ Definici´ on 2.1 (Angulo). Un ´ angulo es la figura geom´etrica formada por dos semirectas ℓ1 y ℓ2 que tienen un punto extremo en com´ un O.

ℓ1

ℓ1 : lado inicial del ´angulo ℓ2 : lado terminal del ´angulo O: v´ertice del ´angulo Notaci´on: ∠AOB

obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribuci´ on - No comercial 2.5 Colombia.

1

2 Ejemplo 2.1. . ℓ2

ℓ2

O

O

ℓ2

O

ℓ1

ℓ1

Definici´ on 2.2 (Posici´on est´ andar de un ´angulo). . y

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ℓ1

V´ertice O coincide con el origen

ℓ2

Lado inicial ℓ1 coincide con el eje x θ

´ Angulo positivo: x

ℓ1 x

´ Angulo negativo: y Ejemplo 2.2. . y

y

y

ℓ2 α

γ

ℓ1

ℓ1

x

x

x

de

ℓ1

β ℓ2

Medida de ´ angulos

ad

2.1.

ℓ2

Los ´angulos se pueden medir en grados y radianes.

Ejemplo 2.3. . y

rsid

Definici´ on 2.3 (Grados sexagesimales). Un grado (1◦ ) es la medida de un ´angulo cuyo lado terminal se obtiene al rotar el lado inicial 1/360 de circunferencia en sentido contrario a las manecillas del reloj. Un grado se divide en sesenta minutos (1◦ = 60′ ) y un minuto en sesenta segundos (1′ = 60′′ ).

y

y

180◦

y

Un

x

ive

360◦

y 90◦

x

y

45◦ x

x

y

y 150◦

60◦

240◦

30◦

x

x

x

x

3

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De acuerdo a su medida, los ´ angulos se pueden clasificar como Terminolog´ıa

Definici´on

Ejemplo

´ Angulo agudo

0◦ < θ < 90◦

θ = 65◦

´ Angulo obtuso

90◦ < θ < 180◦

θ = 145◦

´ Angulos complementarios α y β

α + β = 90◦

α = 25◦ y β = 65◦

´ Angulos suplementarios α y β

α + β = 180◦

α = 25◦ y β = 65◦

Definici´ on 2.4 (Radianes). Un ´ angulo central es un ´angulo cuyo v´ertice est´ a en el centro de una circunferencia. Un radi´ an es la medida de un ´angulo central subtendido por un arco de longitud igual a la del radio de la cirunferencia donde se encuentra inscrito. ℓ1 : lado inicial del ´angulo

B r

ℓ2 : lado terminal del ´angulo

α O

A

r

O: v´ertice del ´angulo

de

Notaci´on: ∠AOB

Ejemplo 2.4. . r

r A

r

O

α = 1 radi´ an

A

r

β = 2 radianes

r

r

γ

B

r

δ r

A

r

O

A B

O

r

r r

γ = 3 radianes

rsid

O

r

β

α

r

r

r

ad

B

B

δ = 6 radianes

⌢

⌢

Observaci´ on 1. Para el caso en que A = B, la longitud de AB es 2πr y r est´ a 2π veces en el arco AB: r

360◦ = 2π radianes

r

r r

A=B

r r r

180◦ = π radianes

⇒ 180◦ = π radianes ⇒ 1◦ =

π radianes 180

ive

π radianes = 180◦ ⇒ 1 radian =

y π 2

Un

Ejemplo 2.5. .

x

y

y

π 4

y π 3

π 6

x

180◦ π

x

x

4 Ejemplo 2.6. . 30◦ = 30◦

◦

45 = 45

◦

π 180◦

!

π = 6

60◦ = 60◦

π 180◦

!

π = 4

5π 5π = 6 6

π 180◦ 180◦ π

!

!

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π = 3

= 150

◦

4π 4π = 3 3

180◦ π

!

= 240◦

3π 3π = 2 2

180◦ π

!

= 270◦

Proposici´ on 2.1 (Longitud de arco). Si θ es la medida en radianes de un ´ angulo central subtendido por un arco de longitud s de una circunverencia de radio r, entonces

θ r

3.

1. θ =

s r

2. A =

1 2 r θ 2

s

Funciones trigonom´ etricas de ´ angulos agudos

sen θ =

hip op

ady hip

ad

θ

op hip

de

Definici´ on 3.1 (Razones trigonom´etricas). Dado un tri´angulo rect´angulo que tenga a θ como uno de sus ´angulos agudos, se definen las funciones trigonom´etricas seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), secante (sec), cosecante (csc) y cotangente (cot) del ´angulo θ por medio de las razones:

cos θ =

ady

tan θ =

op ady

sec θ =

hip ady

csc θ =

hip op

cot θ =

ady op

rsid

Ejemplo 3.1. Los valores de todas las funciones trigonom´etricas para θ = 45◦ est´ an dados por √ 1 2 sen 45 = √ = 2 2

√ 2 √ csc 45 = = 2 1

√ 1 2 cos 45 = √ = 2 2

√ 2 sec 45 = =1 1

◦

45◦

h

45◦ 1

ive

1

◦

tan 45◦ =

1 =1 1

◦

◦

cot 45◦ =

1 =1 1

60 1

Un

Ejemplo 3.2. Los valores de todas las funciones trigonom´etricas para θ = 30◦ y θ = 60◦ est´ an dados por √ 1 3 ◦ sen 30◦ = sen 60 = 2 2 √ 30◦ 3 1 2 2 ◦ h cos 30 = cos 60◦ = 2 2 ◦ 2

1 tan 30◦ = √ 3

tan 60◦ =

√ 3

5

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Proposici´ on 3.1 (Identidades fundamentales). Para cualquier ´ angulo agudo θ se cumple: Identidades rec´ıprocas: • sec θ =

1 cosθ

• csc θ =

1 sen θ

• tan θ =

Identidades pitag´ oricas:

• 1 + tan2 θ = sec2 θ

• sen2 θ + cos2 θ = 1

4.

sen θ cosθ

• 1 + cot2 θ = csc2 θ

Funciones trigonom´ etricas de n´ umeros reales

de

Definici´ on 4.1. Sea t ∈ R y P (x, y) un punto arbitrario sobre el lado terminal de un ´angulo central de t radianes, ubicado a una distancia r > 0 del origen: p r = x2 + y 2 . Tenemos las siguientes definiciones:

y

P (x, y)

x O

A(1, 0)

y r

csc t =

r , y 6= 0 y

cos t =

x r

sec t =

r , x 6= 0 x

cot t =

x , y 6= 0 y

ad

t

r

sen t =

y , x 6= 0 x

rsid

tan t =

Observaci´ on 2. .

Las funciones s´ olo dependen del n´ umero real t y no del punto P (x, y) del lado terminal. t > 0: OA gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj. t < 0: OA gira en el sentido de las manecias del reloj.

ive

cos 30 es el coseno de un ´ angulo de 30 radianes y no de 30◦ : cos 30 6= cos 30◦ =

√ 3 2 .

Si P (x, y) se ubica sobre la circunferencia unitaria, r = 1 y

P (x, y)

• sen θ =

y =y r

• csc θ =

r 1 = y y

• cos θ =

x =x r

• sec θ =

1 r = x x

• tan θ =

y x

• cot θ =

x y

y

t

Un

1

x O

A(1, 0)

6

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Ejercicio 4.1. Encuentre sen t, cos t y tan t si P (−4, −3) es el punto en la circunferencia unitaria que corresponde a un n´ umero real t > 0. Soluci´ on. . P (x, y) = P (−4, −3) ⇒ r =

p (−4)2 + (−3)2 = 5

y

sen θ =

y 3 =− r 5

csc θ =

r 5 =− y 3

cos θ =

x 4 =− r 5

sec θ =

r 5 =− x 4

tan θ =

3 y = x 4

cot θ =

x 4 = y 3

2

-4

-3

-2

1

t

-1 -1

1

2

3

4

x

-2 P (−4, −3)

-3

Ejercicio 4.2. Encuentre los valores de todas las funciones trigonom´etricas para t = π/4. Soluci´ on. .

y=x P (x, y)

1 π 4 -1

1

2

x

ad

-2

-1

tan t =

y =1 x

rsid

-2

4.1.

=⇒ x = +

√ y 2 sen t = = r 2 √ x 2 cos t = = r 2

y 2

1 2

de

P (x, y) = P (x, x) =⇒ x2 + x2 = 12 =⇒ 2x2 = 1 =⇒ x2 =

csc t =

r √ = 2 y

sec t =

r √ = 2 x

cot t =

x =1 y

Dominio y rango de las funciones trigonom´ etricas

y

P (x, y) r

1. Dominio

Un

a) Dominio de seno = R

c) Dominio de tangente = R − 2. Rango

y r

cos t =

x r

tan t =

y , x 6= 0 x

A(1, 0)

ive

x O

t

sen t =

(

b) Dominio de coseno = R

) π + πn : n ∈ Z 2

√ 2 2 .

7

a) |x| ≤ 1 y |y| ≤ 1 implica

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Rango de seno y coseno = [−1, 1]

b) |x| ≤ 1 y |y| ≤ 1 ⇒ |y|/|x| ≤ 1 y |y|/|x| ≥ 1:

Rango de tangente = R

4.2.

Propiedades de las funciones trigonom´ etricas

Proposici´ on 4.1 (Funciones pares-impares). Para cualquier n´ umero real t se tiene:

sen(−t) = −y = − sen t

(0, 1) P (x, y)

y

cos(−t) = −x = − cos t

t −t x

(1, 0)

de

O

(−1, 0)

Q(x, −y)

−y

tan(−t) =

(0, −1)

−y y = − = − tan t , x 6= 0 x x

(0, 1) y t+π t

(−1, 0)

x O

Ejemplo 4.1. .

(1, 0)

Q(−x, −y)

ive

−y (0, −1)

−x

sen(t + 2π) = y = sen t

rsid

P (x, y)

ad

Proposici´ on 4.2 (Periodicidad de las funciones trigonom´etricas). .

Un

1. sen 390◦ = sen(360◦ + 30◦ ) = sen 30◦ =

1 2

cos(t + 2π) = x = cos t

tan (t + π) =

−y y = = tan t , x 6= 0 −x x

√  13π π π 3 2. cos = cos = = cos 2π + 6 6 6 2

Definici´ on 4.2. Sea θ un ´ anugulo en posici´on est´ andar cuyo lado terminal NO yace sobre cualquiera de los ejes coordenados. El ´ anugulo de referencia de θ es el ´angulo agudo θR que forma el lado terminal de θ con el eje x. Ejemplo 4.2. .

8 y

y

y

ℓ2 θ

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θ

θ

ℓ1

ℓ1

ℓ1

x

x

x

ℓ2

(a) θR = π − θ

ℓ2

(b) θR = θ − π

Figura 2

(c) θR = 2π − θ

Los valores de las funciones trigonom´etricas de un ´angulo cualquiera θ est´ an determinados por el ´angulo de referencia θR : Proposici´ on 4.3. Dado un ´ angulo θ cuyo ´ angulo de referencia es θR se tiene que: 1. sen θ = ± sen θR

3. tan θ = ± tan θR

2. cos θ = ± cos θR

4. csc θ = ± csc θR

5. sec θ = ± sec θR

6. tan θ = ± tan θR

de

donde el signo + o − depende del cuadrante en el que se encuentre θ. Ejercicio 4.3. Encuentre los valores exactos de 1. sen 225◦

2. cos

9π 4

ad

Soluci´ on. .

3. tan 390◦

1. θ = 225◦ est´ a en el tercer cuadrante, θR = 225◦ − 180◦ = 45◦ y sen 225◦ = − sen 45◦ =

√ 2 . 2

rsid

√ 3 13π π π 13π π 2. θ = = 2π + est´ a en el primer cuadrante, θR = y cos = + cos = . 4 6 6 4 6 2

3. θ = 390◦ est´ a en el primer cuadrante, θR = 390◦ − 360◦ = 30◦ y tan 390◦ = + tan 30◦ =

Gr´ aficas de las funciones trigonom´ etricas Gr´afica de la funci´ on seno 0 0

√π/4 2/2

π/2 1

ive

x sen x

Un

5.

−2π

− 3π 2

Gr´afica de la funci´ on coseno

−π

3π/4 √ 2/2

π 0

5π/4 √ − 2/2

3π/2 −1

7π/4 √ − 2/2

y 1

√ 2/2

−π 2√ − 2/2

−1

π 2

π

3π 2

2π

x

2π 0

1 . 2

9

x cos x

0 1

√π/4 2/2

π/2 0

3π/4 √ − 2/2

π -1

y 1

√ 2/2

−2π

− 3π 2

−π

−π 2√ − 2/2

π 2

−1

Referencias

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5π/4 √ − 2/2

π

3π/2 0

3π 2

2π

7π/4 √ 2/2

2π 1

x

[1] W. L. Hosch, The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Rosen Education Service, primera edici´ on, 2010.

Un

ive

rsid

ad

de

´ [2] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica, und´ecima edici´ on, editorial Thomson, 2006.