ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA E INTERVALOS DE CONFIANZA Juan José Hernández Ocaña

• LA estadística inferencial nos permite estimar los parámetros de la población

a partir del análisis de datos de una muestra. • Si asumimos que no conocemos el verdadero valor de los parámetros de la

población estaríamos considerando que no podemos describir un fenómeno en particular mediante un modelo probabilístico. • No obstante, podemos obtener información acerca de los parámetros de una

población de acuerdo a un modelo de probabilidad mediante la observación repetida de la variable de respuesta a través de una muestra aleatoria simple de tamaño n de la población

Muestra aleatoria simple • Condiciones para obtener una muestra aleatoria simple • La muestra como tal se obtendrá al azar, lo que implica que cada muestra poseerá la

misma probabilidad de ser escogida de las restantes • Cada elemento de la muestra tendrá siempre la misma probabilidad de haber sido

escogida que los restantes • Ello significa que si se elige una muestra formada por n elementos (X1, X2..Xn) a partir de una población representada por la variante X, la distribución de cada Xi será la misma de X y las variables X independientes entre sí.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS

ESTIMACIÓN

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Cuando queremos saber los parámetros de una población a partir de los datos de una muestra aleatoria podemos emplear dos métodos

• Estimación • Entenderemos por estimación de un parámetro al cálculo del

valor de éste a través de una muestra • 1.- Llamaremos estimación puntual cuando empleamos

directamente los valores de un solo estadístico sobre una muestra dada ( estimaciones puntuales) • 2.- Estimación por intervalo de confianza .- Se calcula un

intervalo de confianza en él que razonablemente se encuentra el valor estimado con un nivel de confianza prefijado en términos de probabilidad.

1.-Estimación puntual • Un estimador puntual es un estadístico aplicado a la determinación de los

caracteres poblacionales que se pretende inferir • Es un valor individual que se usa para estimar el valor de un parámetro de

población • Entre los estimadores puntuales más comunes tenemos : • La proporción muestral del número de éxitos( binomial) • La media muestral para la distribución de Poisson y distribución Normal.

Estimadores sin sesgo

Estimadores con sesgo

Aquellos cuyos resultados que consideran a todas las muestras posibles coinciden con los parámetros poblacionales Media

Proporción

Varianza

Desviación estándar (siempre y cuando el tamaño de la muestra sea grande el sesgo es pequeño )

Mediana

Rango

• Por ejemplo si ahora mismo

deseáramos conocer el promedio de calificaciones de todos los alumnos de Ingeniería de esta Universidad • Una estimación puntual sería obtener una muestra y calcular su media • Tendríamos un margen de error

dependiendo del tamaño de la muestra y de las propias propiedades de la distribución de los datos de la población

•

La estimación tiene el objetivo de obtener estadísticas que nos permitan conocer las características más relevantes de una población, utilizando la información de una muestra

• La principal desventaja es que su

resultado varía de una muestra a otra

• Variación en la medición? • • Error en la medición? • ¿ Qué hacer?

• ¿ Cómo estimarlo?

Propiedades requeridas de los estimadores puntuales • 1.- Insesgadez • Si el valor esperado del estadístico de muestra es igual al parámetro poblacional

que se estima , se dice que es un estimador insesgado del parámetro poblacional. • 2.- Eficiencia • Se dice que un estimador puntual con menor desviación estándar tiene una mayor

eficiencia relativa que otro • 3.- Consistencia • Un estimador es consistente si sus valores tienden a acercarse al parámetro de la

población conforme se incrementa el tamaño de la muestra

Margen de error • Cuando reunimos un conjunto de datos muestrales , podemos calcular la media

muestral y por lo general esa media muestral es diferente a la media poblacional • La diferencia entre la media muestral y la media poblacional es un error

(E) que

podemos calcular en términos de probabilidad •

En otras palabras podríamos calcular el valor de un parámetro considerando un margen de error y ese error dependería de las características de la muestra empleada

Error muestral • Error de muestreo se llama al valor absoluto de la diferencia entre un

estimador puntual insesgado y el parámetro de la población. Por ejemplo en el caso de una media muestral que estima una media poblacional • Aunque no es posible determinar el valor del error muestral porque no se conoce

exactamente la media poblacional, si podemos hacer estimaciones sobre su valor empleando la media muestral • Es importante anotar que cuando empleamos la media muestral como estimador se debe

emplear la desviación estándar de la media muestral

¿ Y cómo lo haríamos empleando un estimador puntual?

Intervalo de confianza

• Es un intervalo de valores que se usan para estimar el valor real

de una parámetro de la población • Es un rango de números, llamado intervalo, construido alrededor de

la estimación puntual

2.-Intervalos de confianza • Los intervalos de confianza nos permiten realizar una estimación

de los valores de la población empleando datos muestrales • Consisten emplear un rango de valores asociado a un nivel de confianza con lo que podemos determinar valores en términos de probabilidad • El ancho del intervalo depende de tres factores • Nivel de confianza que se determine • tamaño de la muestra • desviación estándar de los datos

Intervalo de confianza

α) es el nivel de confianza Nos indica en términos de probabilidad que porcentaje de la población se encuentra en un intervalo especifico. (1-

Es tima el valor de la media de la población a partir de la media muestral con cierto margen de error ( denotado por alfa).

• El nivel de confianza es la probabilidad de encontrar el

parámetro de la población en un intervalo de confianza determinado, siempre y cuando el proceso de estimación se repita un gran número de veces



Si consideramos un 95% de nivel de confianza, podemos afirmar que tenemos un 95% de confianza de que en dicho intervalo se encuentra el parámetro. Esto es, que si seleccionamos diferentes muestras de tamaño n y construimos los intervalos correspondientes , en el 95% de ellos encontraremos el parámetro poblacional

Estadístico empleado •

•

La media muestral es el mejor estimado puntual de la media de la población • La distribución de medias muestrales tiende a tener menor variación que las distribuciones de otros estadísticos muestrales ( como moda y mediana) • En la mayoría de los casos la media muestral es un estimador sin sesgo, esto es, no tienden sistemáticamente a sobreestimar ni a subestimar el valor de la media poblacional

Desviación estándar de la media muestral • Nos expresa cuando varía la

media muestral entre una muestra y otra y es conocida como error estándar de la media • por lo tanto cuando aumenta el

tamaño de la muestra, el error estándar de la media se reduce en una factor igual a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra

σx =

Desviación estándar de la media muestral • Podemos emplear dos ecuaciones para calcular la desviación estándar de la

media muestral

σx =

Población finita

Población infinita O que sea finita y el tamaño de la muestra sea menor al 5% de la población

• Para estimar la media poblacional µ tenemos algunas

condiciones: • La muestra es aleatoria simple

• Se conoce el valor de la desviación estándar de la población • Los datos se distribuyen normalmente

MARGEN DE ERROR •

Tamaño de la muestra

Ejercicios

E1 • Una encuesta de satisfacción del servicio al cliente encontró en

una muestra de 100 clientes un promedio de 82 puntos. Considere que se les pidió que calificaran el servicio con una puntuación desde 0 a 100 puntos . Si muestras anteriores nos indican que la desviación estándar de la población es de 20 puntos. • Estime el intervalo de confianza para un 95% de confianza.

• 𝑛 = 100

𝜎 = 20 • 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 95% por lo que z = 1.96 •

E2 • Un fabricante de papel tiene un proceso de producción que

opera continuamente a lo largo de un turno completo. Se espera que el papel tenga una media de longitud de 11 pulgadas y una desviación estándar de 0.02. A intervalos periódicos, se selecciona una muestra para determinar si la media de longitud de papel es igual a 11 pulgadas o saber si algo ha salido mal en el proceso de producción. Usted selecciona una muestra de 100 hojas y encuentra que la media de longitud es de 10.99 pulgadas. Construya un estimación del intervalo de confianza del 95% para la media poblacional. ¿Cuáles son sus conclusiones?

E3 • En una población de 64 estudiantes se determina el nivel de atención de los mismos en las clases de

matemáticas. Los resultados muestran una media de 101. Los datos históricos muestran una desviación estándar de la población de 2.5 • .Hallar los intervalos de confianza para el valor medio del nivel de atención. • Use un coeficiente de confianza del 90% y del 95% • Cuál es el margen de error en ambos casos?

E4 • Se tomaron las temperaturas corporales de 106 alumnos y los datos mostraron una media de 98.20

grados F. Supóngase que se conoce la desviación estándar de la población y que es de 0.62. Para un nivel de confianza de 95% y para un nivel de confianza del 99% • Cuál es el margen de error • Cuál es el intervalo de confianza donde se puede ubicar a la media poblacional? • 0.1180 para el 95% y 0.1548 para 99% • (98.08, 98.32) para 95% y ( 98,04 , 98.35)

Y sí quisiéramos tener un margen de error menor?

• Recordemos que conforme aumentamos el tamaño de muestra disminuye el error

• S i consideramos el ejercicio anterior • Cuál debe ser el tamaño de la muestra para tener un margen de error de solo 0.05

considerando 95% y 99% de nivel de confianza • Para 95% n debe ser 590 • Para 99% n debe ser 1016

E5 • Una investigación sobre el CI de los 49 docentes de Administración de la

universidad revela que presentan un valor medio de 100 y una desviación estándar de 15. • Determine el intervalo de confianza con un alfa de 5% • ¿ Cuál deberá ser el tamaño de la muestra si queremos tener la confianza del 95% de que la media muestral estará dentro de 2 puntos de CI de la media poblacional?

E6 • Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de

líquido despachada se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 0.15litros. S i se toma una muestra de 35 refrescos y los resultados mostraron una media de 2.25 litros, ¿ cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de todos los refrescos que se sirven en esa máquina? • Usted quiere asegurar la precisión de los resultados así que decide que el error permitido sea de 0.025, ¿ de qué tamaño tendría de ser la muestra para cumplir con dicho propósito?

E7 • Una empresa que produce televisores ha detectado que el ciclo de vida

media de una muestra de 100 televisores es de 48 meses con una desviación estándar de 2.4 meses. Teniendo un nivel de confianza del 95% ¿ cuál será el intervalo de confianza del promedio de vida de la población de los televisores? • Si quisiera asegurar que el error no exceda a 0.25 unidades , ¿qué tamaño de la muestra debería emplear?

E8 • Si el gerente de una tienda de artículos para pintura desea estimar la

cantidad media de pintura dentro de una lata de un galón con un error de solo +- 0.004 con un 95% de confianza y se sabe que la desviación estándar es de 0.02 galones • ¿ qué tamaño de la muestra necesita?

• Si el gerente de control de calidad desea estimar el promedio de duración de

focos con un error de +- 20 horas con un nivel de confianza de 95% y también supone una desviación estándar de 100 horas. ¿ qué tamaño de la muestra necesita?

E9 • Una compañía que renta automóviles quiere saber que cantidad de millas

recorren en promedio en los fines de semana con el fin de establecer un programa de mantenimiento adecuado. De una población de 23 000 autos, se toma una muestra de 200 autos y se verifica su recorrido. Los datos de la muestra presenta un media de 54.5 millas y una desviación estándar de 14.o millas • Calcule el intervalo de confianza del 95% para establecer la media de las millas que recorren los autos en los fines de semana. •

e10 • Una compañía que vende productos alimenticios para mejorar la engorda de

ganado vacuno introdujo un nuevo compuesto para mejorar dicho proceso. El gerente quiere estimar el peso promedio diario que ganan los animales al emplear dicho compuesto. Para ello empleo una muestra de 200 animales y los resultado presentaron una media de 1.2 libras por día con una desviación estándar de 0.50libras. • Obtenga el intervalo de confianza del 95% para estimar el peso promedio verdadero del aumento de peso • Obtenga el intervalo de confianza del 90% para estimar el peso promedio verdadero del aumento del peso • ¿Puede explicar las diferencias entre los dos resultados anteriores?

E11 • El gerente de producción de una fabrica necesita determinar si una máquina

está produciendo cierto tipo especifico de tela , cuyas especificaciones señalan que debe tener una resistencia a la ruptura de 70 libras y una desviación estándar de 3.5 libras. Un muestra de 49 pedazos de tela revela una resistencia de 69.1libras en promedio • ¿existe evidencia de que la máquina no está cumpliendo con las especificaciones del

fabricante? • Emplee un intervalo de confianza del 95%

E12 • Se sabe que el tiempo de secado de cierto tipo de pintura en condiciones de

prueba especificas, tiene una distribución normal con un valor medio de 75 min y desviación estándar de 9 min. Los químicos han propuesto u nuevo aditivo diseñado para disminuir el tiempo promedio de secado. Debido al gasto relacionado con el aditivo, la evidencia debe hacer pensar con certeza en una mejoría en el tiempo de secado promedio antes de adoptar tal conclusión. Sí una muestra de 35 ensayos dan como resultado un valor promedio de secado de 70.8, recomendaría el uso del aditivo?

INTERVALOS DE CONFIANZA CUANDO NO SE CONOCE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN Y TENEMOS MUESTRAS PEQUEÑAS

Intervalos de confianza

• Para estimar µ si no se

conoce σ y el tamaño de la muestra es mayor a 30 y se asume que no se conoce la distribución de la población

t1 • La asociación de productores de azúcar desea calcular el consumo medio de

azúcar por año. Una muestra de 16 personas revelo que su consumo promedio fue de 60 libras, con una desviación estándar de los datos de la muestra de 20 libras. • ¿ Construya un intervalo de confianza de 90% par la media de la población ? • ¿ es razonable concluir que la media poblacional es de 63 libras?

t2 • El propietario de una papelería desea estimar la media del valor al mayoreo

de las tarjetas de felicitación. Para ello toma una muestra aleatoria de 20 proveedores y obtiene un valor medio de 1.67 con una desviación de 0.32 de los datos • Suponiendo una distribución normal, construya un intervalo de confianza del 95% para la

media de todas los precios al mayoreo de las tarjetas

t3 • Los siguientes datos representan la tarifa para los cheques sin fondos para

una muestra de 23 bancos con clientes que depositan directamente y mantienen un saldo de 1000 pesos • Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de los cheques sin

fondos 260 280 200 200 210 220 250 250 180 250 150 200

180 200 250 250 220 300 300 300 150 200 290

ciudad

hotel

Auto

Ciudad

Hotel

auto

1

2050

470

11

2050

500

2

1790

410

12

1280

320

3

1850

490

13

1650

340

4

2100

380

14

1800

460

5

1280

320

15

1980

410

6

1450

480

16

1580

400

7

1770

490

17

1320

390

8

1170

410

18

2830

670

9

2210

560

19

2690

690

10

1590

410

20

2040

400

• T4 .-Los

siguientes datos representan el costo diario de hotel y renta de un automóvil en 20 ciudades del país. • .Construye un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional del precio del hotel y un intervalo de confianza para el precio de la renta de un automóvil.

t5 • Una compañía farmacéutica está probando una nueva droga para aliviar el

dolor, pero existe preocupación en saber si este producto aumenta el ritmo cardíaco. Los 14 personas evaluadas tuvieron en promedio un valor de 55 antes de tomar el medicamento. Los datos se presentan en la siguiente tabla y considere que se distribuyen normalmente • Construya un intervalo de confianza de 90% • ¿ Cuáles serían sus conclusiones’

50 70 60 70 90 72 50 80 85 55 66 70 80 40

Estimación del intervalo de confianza para una proporción • p proporción de la muestra • po proporción de la población • n tamaño de la muestra

• no conocemos la proporción

de la población Estimamos su valor empleando la Proporción de la muestra

Tamaño de la muestra

p1 • El propietario de una empresa desea determinar la proporción de clientes que

utilizan tarjeta de crédito para pagar sus cuentas. Para ello entrevisto a 100 clientes durante la semana y encontró que 80 de ellos emplean la tarjeta de crédito. • Calcule la proporción de la población que usa tarjeta de crédito • construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional

p2 • De acuerdo a CWLP , un encuesta realizada con 500 mujeres que

abandonaron sus estudios de licenciatura por razones familiares, indico que el 66% de ellas deseaban regresar a terminar sus estudios. • Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional de mujeres que desean retomar sus estudios de licenciatura

p3 • Una empresa telefónica desea estimar la proporción de hogares que

contrataría una línea telefónica adicional . Se selecciono a una muestra de 500 hogares. Los resultados indican que 135 de los hogares contrataría una línea adicional. • Construya una estimación del intervalo de confianza del 99% de la proporción poblacional de hogares que contratarían una línea adicional. • La compañía realizará inversiones si encuentran que al menos un 30% de los usuarios contratarían una línea adicional. ¿Cuáles son sus conclusiones?

p4 • Un estudio efectuado por la Reserva Federal reportó que el 52% de 4440

familias entrevistadas en 2011 poseían acciones. • Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional de familias que

tenían acciones en 2011 • Para realizar un estudio de seguimiento que estime la proporción poblacional de familias que actualmente tienen acciones con un error máximo de 0.01 y un intervalo de confianza de 95%, ¿ a cuántas familias deberá entrevistar?

p5 • Se llevo a cabo una encuesta para calcular la proporción de amas de casa

que dicen tener problemas de depresión. De las 1400 amas de casa de la muestra, 420 contestaron que si tienen problemas asociados a la depresión. • 1.- Construya un intervalo de confianza de 99% para la proporción poblacional

p6 • Una compañía de diseño compra tazas de plástico para imprimir en ellas

logotipos para sus clientes. Para asegurar la calidad de la mercancía empleada seleccionó una muestra aleatoria de 300 tazas en cada lote. Halló que 14 estaban defectuosas en el lote A y 33 de 400 tasas en el lote B • ¿ cuál es la proporción de la población en ambos casos? • construya un intervalo de confianza del 95% para el lote A y un intervalo de confianza para

e lote B • El lote será rechazado si se encuentra un porcentaje mayor al 4% ¿Aprobaría los dos lotes ?

p7 • Un exportador mando a un comprador a China para comprar vajillas de vidrio.

Él está interesado en estimar la proporción de vajillas que tienen algún defecto. Una muestra aleatoria de 130 productos dio como resultado 13 con defecto. Basados en esta información, cuál es el intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional

Se conoce la desviación estándar de la población

No se conoce la desviación estándar de la población

Intervalo de confianza para una proporción

INTERVALO DE CONFIANZA DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS

Bibliografía • Peréz César: Estadística Printice Hall Pearson. 2003 España • Anderson, Sweeney: Estadística. Math Learning México 2004 octava

edición. • Levine: Estadística Descriptiva Pearson primera edición México 2012.