´ m. 0, Pa ´ gs. 1–20 (provisional) La Gaceta de la RSME, Vol. 00 (0000), Nu

1

Estimaciones de promedios en An´ alisis∗ por

Santiago Boza y Javier Soria

Resumen. Existen en An´ alisis una serie de resultados cl´ asicos en los que el c´ alculo de promedios juega un papel relevante, como los m´etodos generalizados de convergencia, el teorema Fundamental del C´ alculo o el tratamiento digital de im´ agenes. Para entender mejor estas ideas, desarrollaremos brevemente algunas de las t´ecnicas m´ as u ´tiles que permiten obtener buenas estimaciones de dichos promedios. En particular, mencionaremos las desigualdades de Hardy, propiedades de la convoluci´ on, operadores maximales, aproximaciones de la identidad, lemas de cubrimiento, reordenamientos decrecientes, etc. Al final del art´ıculo presentaremos tambi´en algunos problemas interesantes, todav´ıa sin resolver.

1. 1.1.

´n Introduccio Ejemplos de promedios

Uno de los resultados m´ as conocidos de An´alisis Matem´atico en los que aparece la necesidad de estimar un promedio, y que nos encontramos en los primeros a˜ nos de nuestros estudios universitarios, es el criterio de la convergencia en media de una sucesi´ on (que tambi´en se suele conocer como convergencia Ces` aro), que afirma que si {an }n∈N ⊂ R es una sucesi´ on que converge a l ∈ R, y si definimos la sucesi´on de las medias aritm´eticas como: σn =

a1 + · · · + an , n

entonces l´ımn→∞ σn = l. Sabemos que, en general, la convergencia Ces`aro es m´as d´ebil que la convergencia usual. Por ejemplo, si ( −1/n, si n es impar n an = (−1) , entonces σn = −−−−−→ 0. n→∞ 0, si n es par Esta idea de extender la noci´ on de convergencia tiene aplicaciones muy gratas en ambitos muy diversos (¡ojal´ ´ a todas las sucesiones fueran convergentes!). Por ejemplo, ∗ En la realizaci´ on de este trabajo, ambos autores han estado parcialmente financiados por el proyecto MTM2010-14946.

2

´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

usando el teorema de Hahn-Banach [7] es posible probar la existencia de un operador lineal y continuo LIM : `∞ (N) −→ R,

de manera que

l´ım inf an ≤ LIM({an }n ) ≤ l´ım sup an . n→∞

n→∞

En particular, si l´ımn→∞ an = l, entonces LIM({an }n∈N ) = l y, por lo tanto, toda sucesi´ on acotada es convergente, en sentido generalizado, sin que la convergencia usual quede alterada. El problema es que esta generalizaci´on abstracta del l´ımite no es constructiva (ni u ´nica), por lo que a efectos pr´acticos concretos no es de gran utilidad. Sin embargo, en t´erminos de la convergencia Ces`aro, s´ı que podemos obtener resultados expl´ıcitos. Quiz´ a el m´ as conocido sea el teorema de Fej´er aplicado a las sumas parciales de la serie de Fourier de una funci´on f ∈ L1 (T): si definimos X Sn f (x) = fˆ(k)eikx , |k|≤n

donde

Z π 1 f (x)e−ikx dx, fˆ(k) = 2π −π son los coeficientes de Fourier de la funci´ on f , y calculamos sus medias de Ces`aro: n

σn f (x) =

1 X Sj f (x), n + 1 j=0

entonces σn f (x)−−→f (x), a.e. x ∈ T. n→∞

(1)

La trascendencia de este resultado viene dado por el hecho de que existe una funci´ on f ∈ L1 (T) para la cual su serie de Fourier diverge en todo punto (teorema de Kolmogorov [26]). La figura 1 muestra el comportamiento de S80 f y σ80 f en un punto de discontinuidad de salto de una funci´on f . Obs´ervese c´omo σn f presenta un comportamiento m´ as regular, menos oscilatorio (las oscilaciones que manifiesta Sn f es lo que se denomina como el fen´ omeno de Gibbs). R x+h 1 Otro ejemplo que ilustra c´ omo un buen control en los promedios 2h f (t) dt x−h de una funci´ on en un intervalo nos permite obtener buenas propiedades de diferenciaci´ on, es el teorema Fundamental del C´ alculo: Rx Teorema 1.1. Si f ∈ C([a, b]) y F (x) = a f (t) dt, x ∈ [a, b], es la integral definida de f , entonces F ∈ C 1 ([a, b]) y F 0 ≡ f . ´ n. Usando las propiedades elementales de la integral, estimamos el Demostracio cociente incremental, con h > 0, de la siguiente manera: Z x+h F (x + h) − F (x − h) 1 = − f (x) f (t) dt − f (x) 2h 2h x−h Z x+h 1 ≤ |f (t) − f (x)| dt −−−→0. h→0 2h x−h

3

La Gaceta ? Art´ıculos

2

1

�1.2

�1.0

�0.8

�0.6

�1

�2

Figura 1: S80 f (trazo fino) y σ80 f (trazo grueso).

As´ı, F 0 (x) = l´ım

h→0

F (x + h) − F (x − h) = f (x). 2h

Un tercer ejemplo donde el empleo de promedios es un m´etodo pr´actico y sencillo para obtener mejoras en la calidad digital de se˜ nales o im´agenes est´a basado en el c´ alculo del valor medio de las intensidades en p´ıxeles de un entorno cercano (en concreto, esto es un caso particular del uso de los llamados filtros espaciales). En la figura 2 se muestra el filtrado de una se˜ nal y en la figura 3 el de una imagen. En ambos casos la mejora obtenida es evidente. Observamos que, en los ejemplos anteriores, al tomar promedios obtenemos una mejora en propiedades de regularidad, hay un mayor grado de suavidad en la sucesi´ on, la funci´ on, la se˜ nal, la imagen, etc. Este hecho se puede formalizar usando la convoluci´ on de dos funciones f y g, definidas en un grupo abeliano localmente compacto G, con una medida invariante por traslaciones µ (la medida de Haar) [13]: (f ∗ g)(x) =

Z G

f (y)g(x − y) dµ(y)

Algunos ejemplos cl´ asicos de (G, µ) son: Caso discreto (Z, Z/N Z × Z/M Z) y la medida de contar. Rn o T, con la medida de Lebesgue.

(R+ , ∗), siendo ∗ el producto usual y dt/t la medida invariante por dilataciones.

4

´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

Se˜ nal original.

Se˜ nal con ruido.

Se˜ nal filtrada. Figura 2: Filtro espacial 1D.

Imagen original.

Imagen con ruido.

Imagen filtrada.

Figura 3: Filtro espacial 2D: promedios por filas y columnas.

La regularidad y propiedades de aproximaci´on de la convoluci´on que hemos mencionado se pueden resumir, en el caso eucl´ıdeo, en los siguientes apartados (recordemos que χA denota la funci´ on caracter´ıstica del conjunto A):   1 x Si g(x) = v1n χB(0,1) (x) y gh (x) = n g , donde vn es el volumen de la bola h h unidad de Rn , entonces Z 1 (f ∗ gh )(x) = f (y) dy. |B(x, h)| B(x,h) As´ı, si f es continua en x, se tiene que l´ımh→0 (f ∗ gh )(x) = f (x), que es, tal como hemos visto, el resultado principal en la demostraci´on del Teorema 1.1.

5

La Gaceta ? Art´ıculos

0

Si f ∈ Lp (Rn ) y g ∈ Lp (Rn ), con 1/p + 1/p0 = 1, entonces (f ∗ g) ∈ C0 (Rn ). En la figura 4 se muestra la gr´ afica (trazo grueso) de la convoluci´on (f ∗g) de las funciones escalonadas f = −χ(−2,−3/2) +2χ(−3/2,1) −χ(1,2) y g = 4χ(−1,−1/2) − 2χ(−1/2,3/2) + χ(3/2,3) . Obs´ervese que (f ∗ g) ∈ C0 (R), mientras que f y g son discontinuas. Si f ∈ C k (Rn ) tiene soporte compacto y g ∈ Lp (Rn ), entonces (f ∗ g) ∈ Lp (Rn ) ∩ C k (Rn ). 1.2.

Operadores maximales

La extensi´ on del Teorema 1.1 a funciones arbitrarias es conocido como el teorema de diferenciaci´ on de Lebesgue [12]: Si f ∈ L1 (Rn ), entonces 1 |B(x, h)|

Z B(x,h)

f (y) dy −−→f (x), a.e. x ∈ Rn .

(2)

h→0

La prueba de este resultado es consecuencia de la acotaci´on del operador maximal de Hardy-Littlewood [14]: Z 1 M f (x) = sup |f (y)| dy, (3) h>0 |B(x, h)| B(x,h) 4

2

-4

2

-2

4

-2

-4

-6

-8

Figura 4: Gr´ afica de la convoluci´ on de dos funciones escalonadas.

6

´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

que nos da el ((mayor promedio)), sobre todas las bolas centradas en el punto x, de la funci´ on |f |. M es un operador sublineal, positivo, acotado en Lp (Rn ), 1 < p ≤ ∞ (v´ease (10)). Sin embargo, la acotaci´ on en L1 (Rn ) no es cierta: si |x| >> 0, M χB(0,1) (x) ≈

1 ∈ / L1 (Rn ). |x|n

Es usual, en estos casos, sustituir la acotaci´on en el extremo p = 1 por otra estimaci´ on m´ as d´ebil, mediante el control de la medida de los conjuntos de nivel de M f (lo que se conoce como la funci´ on de distribuci´ on de M f ):  C λM f (t) := x ∈ Rn : M f (x) > t ≤ kf k1 , t que equivale a kM f k1,∞ ≤ Ckf k1 , 1,∞

donde el espacio de tipo d´ebil L

(4)

se define por la condici´on:

L1,∞ = {f : kf k1,∞ = sup tλ|f | (t) < ∞}. t>0

Es f´ acil probar que L1 ⊂ L1,∞ (desigualdad de Chebyshev) y que, si p > 0, Z ∞ p kf kp = p tp−1 λ|f | (t) dt. 0

Si reemplazamos las bolas por una familia general de conjuntos B (como cubos, intervalos, rect´ angulos, dilataciones de un conjunto convexo fijo, etc.) y definimos el correspondiente operador maximal: Z 1 MB f (x) = sup |f (y)| dy, x∈B∈B |B| B se puede probar que las siguientes propiedades son, esencialmente, equivalentes [12, Chapter 6]: Acotaciones de MB . Propiedades geom´etricas de recubrimientos de B. Diferenciaci´ on de integrales:

1 B3B→x |B|

Z

l´ım

f (y) dy = f (x), a.e. x. B

Por ejemplo, si B es una base de diferenciaci´ on (v´ease [12, p. 104]) y 1 < p < ∞, entonces [12, Theorem 6.5.3] Z 1 l´ım f (y) dy = f (x), a.e. x, para toda f ∈ Lp , B3B→x |B| B

7

La Gaceta ? Art´ıculos

si, y solo si, para todo 0 < |A| < ∞, todo cubrimiento de Vitali V de A (v´ease [12, p. 106]), formado por conjuntos de B: [ A⊂ B B∈V

y todo ε > 0, existe una sucesi´ on {Bk }k ⊂ V tal que: S |A \ k Bk | = 0. S | k Bk \ A| < ε. Solapamiento peque˜ no:  p0 Z X χBk (x) − χ∪k Bk (x) dx < ε. Rn

k

P

Obs´ervese que k χBk (x) − χ∪k Bk (x) = 0 si, y solo si, los elementos de {Bk }k son disjuntos dos a dos. Una u ´ltima aplicaci´ on que nos gustar´ıa mencionar del uso de estimaciones para operadores maximales, es la obtenci´ on de los resultados cl´asicos de aproximaciones de la identidad: Si K es un n´ ucleo positivo, con kKk1 = 1 y con un buen decaimiento (en el infinito, o lejos del origen), entonces (f ∗ Kt )(x) → f (x), a.e. x. La idea es probar que el operador maximal asociado a K, MK f (x) = sup |(f ∗ Kt )(x)|, t

est´ a puntualmente acotado por el operador maximal de Hardy-Littlewood y, a partir de aqu´ı, repetir la demostraci´ on del teorema de diferenciaci´on de Lebesgue (2). Como aplicaci´ on podemos dar una idea de la prueba del teorema de Fej´er (1). Si n

Sn f (x) =

X

fˆ(k)eikx y σn f (x) =

|k|≤n

entonces σn f (x) = (f ∗ Fn )(x), donde Fn (x) =

1 X Sj f (x), n + 1 j=0

1 − cos nx n(1 − cos x)

es el n´ ucleo de Fej´er, que satisface todas las estimaciones de una ((buena)) aproximaci´ on de la identidad y, por lo tanto, σn f (x) = (f ∗ Fn )(x)−−→f (x), a.e. x ∈ T. n→∞

Es interesante observar que Sn f (x) = (f ∗ Dn )(x), donde Dn (x) =

sen((n + 1/2)x) sen(x/2)

es el n´ ucleo de Dirichlet, para el que se verifica que kDn k1 ≈ log n.

8

´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

Promedios y monoton´ıa

2. 2.1.

´ nos interesan las funciones decrecientes? ¿Por que

Comenzamos con la siguiente cita extra´ıda del libro [24]: Uno de los teoremas m´ as conocidos de Hardy y Littlewood hace referencia a la felicidad de un jugador de cr´ıquet: si tiene un mal d´ıa, puede consolarse promediando los resultados obtenidos en d´ıas anteriores. Si, por ejemplo, hoy hizo un ((duck)) (ning´ un punto), pero el d´ıa anterior consigui´ o 100 puntos, siempre puede decir ((¡Bah!, de momento llevo 50 . . . )). Su felicidad en un d´ıa en concreto depender´ a no solamente de sus u ´ltimos resultados, sino del m´ aximo valor de una sucesi´ on de puntuaciones promediadas . . . Y nos preguntamos, ¿en qu´e orden deber´ıa ordenar la Providencia dichas puntuaciones para darle al jugador la mayor felicidad posible? La respuesta que dieron Hardy-Littlewood es probable que no satisficiera al cl´erigo preocupado por cuestiones de ´ındole moral, aunque seguro que fue del total agrado de Hardy. Lejos de lo que dicta el sentido com´ un, de que hemos de ir mejorando d´ıa a d´ıa, la Providencia deber´ıa ordenar las puntuaciones en sentido decreciente (es decir, la felicidad m´ axima se alcanza cuanto peores nos volvamos con el paso del tiempo). La demostraci´ on de este hecho, quiz´ a parad´ojico, es en realidad un ejercicio inmediato. Dados a = {a1 , . . . , aN } ⊂ R+ , si reordenamos a en orden decreciente a = {a∗j }j=1,...,N ,

a∗1 ≥ a∗2 ≥ · · · ≥ a∗N ,

entonces, de manera inductiva, se prueba que a∗1 + · · · + a∗j a1 + · · · + aj ≤ , j j

j = 1, . . . , N.

(5)

En general, esta desigualdad se puede extender f´acilmente a promedios integrales de funciones. Para tal fin, dada f construimos su reordenada decreciente f ∗ de la siguiente manera: aproximamos |f | mediante una sucesi´on creciente de funciones escalonadas fN ↑ |f |, reordenamos fN como si fuera una sucesi´on num´erica (v´ease ∗ la figura 5) y observamos que fN converge, de manera creciente, a una funci´on que ∗ denominamos f . Las siguientes propiedades de f ∗ son sencillas de probar: f ∗ es la ((inversa)) de la funci´ on de distribuci´on λ|f | .

Las funciones f y f ∗ son equimedibles: |{x : |f (x)| > s}| = |{t : f ∗ (t) > s}|. kf kp = kf ∗ kp .

a∗1 + · · · + a∗j a1 + · · · + aj ≤ , j j

j = 1, . . . , N.

(5) hlse

En general, esta desigualdad se puede extender f´acilmente a promedios integrales de funciones. Para tal fin, dada f construimos su reordenada decreciente f ∗ de la aproximamos |f | mediante una sucesi´on creciente de funciones La siguiente Gaceta ?manera: Art´ıculos escalonadas fN ↑ |f |, reordenamos fN como si fuera una sucesi´on num´erica (v´ease ∗ la figura 5) y observamos que fN ↑ f ∗.

9

3

2

1 2

3

4 Grafo de f

Grafo de f ∗ 3 2 1 4 �rede�

6

9

Figura 5: Reordenada decreciente de una funci´ on escalonada.

Figura 5: Reordenada decreciente de una funci´ on escalonada.

La extensi´ on de (5), de sucesiones a funciones, se conoce como la desigualdad de Hardy-Littlewood: si E ⊂ Rn y |E| = t, entonces Z Z 1 1 t ∗ |f (x)| dx ≤ f (s) ds. |E| E t 0 ¿C´ omo se comporta la reordenaci´ on decreciente con respecto al promedio m´aximo? La respuesta la da el siguiente resultado fundamental, debido a F. Riesz, N. Wiener y C. Herz [3, Theorem III.3.8]: Mf


∗

(t) ≈

1 t

Z

t

f ∗ (s) ds, t > 0

(6)

0

Es decir, la reordenada del ((mayor promedio)), es el promedio de la reordenada. Obs´ervese que de (6) se obtiene la siguiente equivalencia de ((normas)), de la que se deduce (4): Z t
∗ kM f k1,∞ = sup t M f (t) ≈ sup f ∗ (s) ds = kf k1 . (7) t>0

2.2.

t>0

0

Desigualdades de Hardy

Si intentamos usar (6) para probar la acotaci´on en Lp del operador maximal, 1 < p < ∞, an´ alogamente a lo que hemos hecho en (7), obtenemos que

Z t

1

∗ ∗

(8) kM f kp = k(M f ) kp ≈ f (s) ds

. t 0 p

10

´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

As´ı, necesitamos demostrar que

Z t

1

∗

≤ Ckf ∗ kp . f (s) ds

t

0 p

(9)

Observamos que de hecho (9) es una equivalencia, pues trivialmente se tiene que f ∗ (t) ≤

1 t

Z

t

f ∗ (s) ds,

t > 0.

0

La desigualdad (9) se demuestra a partir de las desigualdades de Hardy cl´asicas: Teorema 2.1. Si α > −1, p > α + 1 y p ≥ 1, entonces para toda f ≥ 0, p  p Z ∞ Z ∞ Z t 1 p f (s) ds tα dt ≤ f (s)p sα ds, t 0 p−α−1 0 0 y la constante es ´ optima. ´ n. La demostraci´ Demostracio on es una consecuencia de la desigualdad integral de Minkowski: p 1/p  Z ∞  Z 1 p 1/p Z ∞ Z t 1 α α f (s) ds t dt = f (rt) dr t dt t 0 0 0 0 1/p Z ∞ 1/p Z 1 Z 1Z ∞ p α p α ≤ f (rt) t dt dr = f (t) t dt r−(α+1)/p dr 0

=

0

p p−α−1

0

Z

∞

0

1/p f p (t) tα dt .

0

La optimalidad de la constante se obtiene considerando f = χ(0,1) . Volviendo a (8), usando el Teorema 2.1, con α = 0 y p > 1, obtenemos finalmente la acotaci´ on de M en Lp :

Z t

1

∗ ∗

kM f kp ≈ f (s) (10)

≈ kf kp = kf kp . t 0 p Observamos que, en realidad, bastar´ıa usar las desigualdades de Hardy solo en funciones positivas y decrecientes (en nuestro caso, para f ∗ ). Este comentario merece ser estudiado con m´ as detalle: espacios funcionales X para los que la norma de una funci´ on solo depende de su reordenada (como es el caso de X = Lp ), es decir, kf kX = kgkX , si f ∗ = g ∗ , se denominan invariantes por reordenamientos (r.i.). Esto es equivalente a la existencia de un espacio funcional de Banach (BFS) X en R+ satisfaciendo kf kX = kf ∗ kX

11

La Gaceta ? Art´ıculos

(teorema de representaci´ on de Luxemburg [3, Theorem II.4.10]). As´ı, estudiar la acotaci´ on de M en un espacio X r.i. es equivalente a probar estimaciones del operador de Hardy Z 1 t ∗ ∗ f (s) ds, S(f )(t) = t 0 restringido a funciones decrecientes f ∗ ∈ X. Un primer resultado en esta direcci´on es la siguiente extensi´ on de las desigualdades de Hardy con pesos: Teorema 2.2 ([1]). Si w es una funci´ on positiva, localmente integrable en R+ y p > 0, entonces Z ∞ Z ∞
p S(f )(t) w(t) dt ≤ C f (s)p w(s) ds, (11) 0

0

para toda funci´ on decreciente f ↓ si, y solo si, w ∈ Bp : para todo r > 0, Z r

∞

kwkBp w(x) dx ≤ xp rp

r

Z

w(x) dx,

(Bp )

0

donde kwkBp es la mejor constante satisfaciendo (Bp ).

Observamos que si w(t) = tα , con −1 < α < p − 1, este resultado es precisamente el Teorema 2.1 restringido a funciones decrecientes. En particular, si definimos el espacio de Lorentz: Λp (w) =

 f : kf kΛp (w) =

Z 0

∞

1/p  f ∗ (t)p w(t) dt 0

Z 0

t

1/p  w(s) ds 1: Λp (w) es un BFS ⇐⇒ w ∈ Bp ⇐⇒ M : Λp (w) → Λp,∞ (w). ([10]) p = 1: Λ1 (w) es un BFS ⇐⇒ M : Λ1 (w) → Λ1,∞ (w). ([21]) p > 0: Λp,∞ (w) es un BFS ⇐⇒ w ∈ Bp ⇐⇒ M : Λp (w) → Λp (w).

Este resultado se puede resumir diciendo que el espacio ((fuerte)) Λp (w) es normable si, y solo si, p ≥ 1 y el operador maximal es de tipo ((d´ebil)); y el espacio ((d´ebil)) Λp,∞ (w) es normable si, y solo si, p > 0 y el operador maximal es de tipo ((fuerte)).

12

3.

´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

Promedios y oscilaciones

3.1.

´ nos interesan las oscilaciones? ¿Por que

Empezaremos viendo un par de ejemplos, extra´ıdos del ´ambito del An´alisis Arm´ onico y de las EDPs, en los que un buen control de la oscilaci´on de la reordenada de una funci´ on nos permite obtener resultados de inclusiones ´optimas: Uno de los espacios m´ as importantes en An´alisis, que mide la oscilaci´on de una funci´ on, es el espacio de oscilaciones de medias acotadas (BMO), que se define mediante la condici´ on:     1 Z |f (x) − fQ | dx < ∞ , BM O = f : kf kBM O = sup |Q| Q Q R 1 f (x) dx. Aunque BM O no es un espacio r.i. se conocen estimadonde fQ = |Q| Q ciones locales de la reordenada de una funci´ on de BM O [2]: si sop f ⊂ Q0 y Z   1 |f (y) − fQ | dy , f ] (x) = sup x∈Q⊂Q0 |Q| Q entonces S(f ∗ )(t) − f ∗ (t) ≤ c(f ] )∗ (t), 0 < t <

|Q0 | 6

(12)

En particular, si n   o W (Q0 ) = f : kf kW (Q0 ) = sup S(f ∗ )(t) − f ∗ (t) < ∞ , t>0

entonces W (Q0 ) es la envolvente r.i. del espacio BM O(Q0 ) (¡aunque W no es un espacio vectorial!) y L∞ (Q0 ) ⊂ BM O(Q0 ) ⊂ W (Q0 ) ⊂ Lexp (Q0 ), donde kf kLexp (Q0 ) =

(13)

S(f ∗ )(t) 0 0, Z

∞

K(x, r)K(x, s) dx = K(r, s) + K(s, r).

(14)

0

Observaciones 3.4. Para que la condici´ on (14) sea v´ alida en todo punto, el n´ ucleo K ha de ser convenientemente normalizado. Por ejemplo, si consideramos el operador de Hardy Z 1 t TK f (t) = f (s) ds, t 0 entonces  1   si s < t,   t K(t, s) = 1 si s = t,   2t    0 si s > t. Es f´ acil probar que T es una isometr´ıa en un espacio de Hilbert si, y solo si, T ∗ T = Id. A partir de este resultado la condici´on (iii) es inmediata, y v´alida en cualquier espacio L2 (X, dµ). La parte m´ as interesante del Teorema 3.3 consiste en probar que es suficiente restringir TK − Id al cono de funciones decrecientes, ya que no es cierto que, para un TK general, kTK (f ) − f kL2 = kTK (f ∗ ) − f ∗ kL2 . Por ejemplo, basta considerar el caso del operador de Hardy iterado:    Z  Z Z 1 t t 1 t 1 s f (x) dx ds = log f (x) dx. TK f (t) = t 0 s 0 t 0 x

16

´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

Ejemplos 3.5. Z Operadores de convoluci´ on: el operador TK f (x) = R

K(x − y)f (y) dy, con

sen(2π 2 x) ∈ L1 (R), πx(2πx + 1)

K(x) =

satisface que TK − Id es una isometr´ıa en L2 (R). Esto tambi´en se puede probar usando el teorema de Plancherel y que BRIEF ARTICLE

b K(ξ) = (1 + eiξ )χ[−π,π] (ξ). THE AUTHOR

As´ı, para todo ξ ∈ R.

b |K(ξ) − 1| = 1, En particular, (14) nos da la identidad Z R

sen(2π 2 x) 2π sen(2π 2 r) sen(2π 2 (x − r)) dx = . (x − r)(2π(x − r) + 1) x(2πx + 1) r(1 − (2πr)2 )

Consideramos ahora operadores TK asociados a funciones caracter´ısticas; i.e., con n´ ucleos de la forma K(x, y) = χE (x, y), siendo E ⊂ R+ × R+ un conjunto eN est´a generado por una uni´on de medible. En particular, fijado N ∈ N, si E cuadrados unidad de la forma [j, j + 1] × [k, k + 1], con j, k ∈ {0, . . . , N − 1} y EN =

∞   [ eN + (lN, lN ) , E l=0

eN se repite peri´ es decir, E odicamente a lo largo de la diagonal y = x, se puede probar que los ejemplos de las figuras 7 y 8 representan todos los casos posibles de los conjuntos EN , con N = 3, 4 respectivamente, para los que TK − Id es una isometr´ıa en L2 (R+ ). �

�

�

�

.. . 3

.. . 3

2

2

1

1

E3,1 1

2

3 ···

1

�

�

E3,2 1

2

3 ···

Figura 7: Conjuntos generados por un per´ıodo 3 × 3.

17

La Gaceta ? Art´ıculos 2

�

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THE AUTHOR

�

�

�

�

�

.. .

.. .

.. .

4

4

4

2

2

E4,1 2

4

···

�

�

2

�

2

E4,2 4

···

�

�

.. .

.. .

.. .

4

4

4

2

2

E4,4 2

4

···

�

�

2

�

4

···

�

�

�

.. .

.. .

4

4

4

E4,7 2

4

2

E4,8 2

···

4

···

···

�

�

�

E4,6 2

.. .

2

4

2

E4,5

�

E4,3 2

�

�

4

2

···

�

�

�

E4,9 2

4

···

Figura 8: Conjuntos generados por un per´ıodo 4 × 4.

4.

Problemas abiertos

Terminamos enumerando una serie de preguntas que nos parecen interesantes y que recogen aspectos fundamentales de las diversas t´ecnicas y principales resultados que hemos ido viendo en las secciones anteriores: (a) ¿Para qu´e n´ ucleos K el operador maximal MK f (x) = sup |(f ∗ Kt )(x)| t

es de tipo d´ebil (1,1)? Es decir, MK : L1 → L1,∞ . ¿Cu´ando se verifica que (f ∗ Kt )(x) → f (x), a.e. x? Se conocen algunas condiciones necesarias o suficientes: Si K es una funci´ on radial tal que K(x)|x|−α es decreciente, para alg´ un α ≥ 0, y kKk1 = 1, entonces ambas propiedades son ciertas. Si K ∈ L1 (R) es un n´ ucleo continuo y MK : L1 (R) → L1,∞ (R), entonces |K(x)| ≤ C/|x| (v´ease [9]).

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Si K ∈ L1 (Rn ) ∩ L∞ (Rn ), con kKk1 = 1 y (f ∗ Kt )(x) → f (x), en los puntos de Lebesgue de toda funci´ on f ∈ L1 (Rn ), entonces (v´ease [4]) e K(x) = sup |K(t)| ∈ L1 (Rn ). |t|≤|x|

(b) ¿Cu´ al es la mejor constante Cn en la desigualdad de tipo d´ebil: {x ∈ Rn : M f (x) > t} ≤ Cn kf k1 , t donde M f es el operador maximal de Hardy-Littlewood definido en (3)? Se sabe que Cn = O(n) (v´ease [23]). Solo se conoce el valor para n = 1 (v´ease [19]): √ 11 + 61 C1 = . 12 (c) ¿Cu´ al es la mejor constante C = kSkpLp

dec (w)

en (11)? Se sabe que

(1 + kwkp )1/p ≤ C ≤ 1 + kwkp . (d) Si 1 < p < 2 y w ∈ Bp es un peso decreciente, ¿cu´anto vale kS − Id kLpdec (w) ? A diferencia de lo que se prob´ o en el Teorema 2.1, este resultado no se conoce ni siquiera para el caso de pesos potencias w(t) = tα , −1 < α < 0. Las estimaciones que se pueden probar en este caso son: 1/p

1/p

kwkBp ≤ kS − Id kLpdec (w) ≤

kwkBp

(p − 1)1/p0

.

(e) ¿Para qu´e espacios de medida (X, dµ) existen operadores TK que son promedios: Z K(t, s) dµ(s) = 1, a.e. t ∈ X X

y tal que TK − Id es una isometr´ıa en L2 (X, dµ)? Es inmediato probar que, si tal operador existe, necesariamente µ(X) = ∞. ¿Es cierto el rec´ıproco? Es claro que, en Rn , extensiones radiales del operador de Hardy nos dan ejemplos v´ alidos. Sin embargo, el mismo argumento en N no funciona: el operador discreto de Hardy (que es un operador de promedio) Sd ({am }m∈N )(n) =

a1 + · · · + an n

no satisface dicha propiedad (basta considerar {am }m∈N = {1, 0, 0, . . . }).

La Gaceta ? Art´ıculos

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Referencias ˜ o y B. Muckenhoupt, Maximal functions on classical Lorentz [1] M. A. Arin spaces and Hardy’s inequality with weights for nonincreasing functions, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 727–735. [2] C. Bennett, R. A. DeVore y R. Sharpley, Weak-L∞ and BMO, Ann. of Math. 113 (1981), 601–611. [3] C. Bennett y R. Sharpley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. [4] P. A. Boo, Necessary conditions for the convergence almost everywhere of convolutions with approximation identities of dilation type, University of Ume˚ a, 1978. [5] S. Boza y J. Soria, Solution to a conjecture on the norm of the Hardy operator minus the Identity, J. Funct. Anal. 260 (2011), 1020–1028. [6] S. Boza y J. Soria, Isometries on L2 (X) and monotone functions. Aceptado en Math. Nachr., http://dx.doi.org/10.1002/mana.201200346. ´zis, An´ [7] H. Bre alisis Funcional: Teor´ıa y Aplicaciones, Alianza Universidad: Textos 88, Alianza Editorial, S. A., Madrid, 1984. [8] A. Brown, P. R. Halmos y A. L. Shields, Ces`aro operators, Acta Sci. Math.(Szeged) 26 (1965), 125–137. [9] M. T. Carrillo, Operadores Maximales de Convoluci´on, Tesis Doctoral, Universidad Complutense de Madrid, 1979. [10] M. J. Carro, A. Garc´ıa del Amo y J. Soria, Weak-type weights and normable Lorentz spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 849–857. [11] M. J. Carro, A. Gogatishvili, J. Mart´ın y L. Pick, Functional properties of rearrangement invariant spaces defined in terms of oscillations, J. Funct. Anal. 229 (2005), no. 2, 375–404. ´ n, Differentiation of Integrals in Rn , Lecture Notes in Mathema[12] M. de Guzma tics 481, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, New York, 1975. [13] P. R. Halmos, Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics 18, Springer, New York, 1974. [14] G. H. Hardy y J. E. Littlewood, A maximal theorem with functiontheoretic applications, Acta Math. 54 (1930), 81–116. [15] N. J. Kalton y B. Randrianantoanina, Surjective isometries on rearrangement-invariant spaces, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 45 (1994), 301–327. [16] V. I. Kolyada, Estimates of rearrangements and embedding theorems, Mat. Sb. 136 (1988), 3–23; Traducido al ingl´es en Math. USSR-Sb. 64 (1989), 1–21. [17] V. I. Kolyada, Optimal relationships between Lp -norms for the Hardy operator and its dual. Aceptado en Ann. Mat. Pura Appl., http://dx.doi.org/10. 1007/s10231-012-0283-9.

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´ lisis Estimaciones de promedios en Ana

[18] N. Kruglyak y E. Setterqvist, Sharp estimates for the Identity minus Hardy operator on the cone of decreasing functions, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), 2505–2513. [19] A. Melas, The best constant for the centered Hardy-Littlewood maximal inequality, Ann. of Math.(2) 157 (2003), 647–688. [20] E. Sawyer, Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces, Studia Math. 96 (1990), 145–158. [21] J. Soria, Lorentz spaces of weak-type, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 49 (1998), 93–103. [22] J. Soria, Optimal bounds of restricted type for the Hardy operator minus the Identity on the cone of radially decreasing functions, Studia Math. 197 (2010), 69–79. ¨ mberg, Behavior of maximal functions in Rn for large [23] E. Stein y J.-O. Stro n, Ark. Mat. 21 (1983), 259–269. [24] L. Young, Mathematicians and Their Times, North-Holland Publishing Company 48, Amsterdam, New York, Oxford, 1981. [25] M. G. Zaidenberg, A representation of isometries on function spaces, Mat. Fiz. Anal. Geom. 4 (1997), 339–347. [26] A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1988. `cnica de Catalunya Santiago Boza, Univ. Polite Correo electr´ onico: [email protected] Javier Soria, Univ. de Barcelona Correo electr´ onico: [email protected] P´ agina web: http://www.maia.ub.es/~soria