Estimaciones mensuales del PBI mediante el filtro de Kalman: Evidencia de Uruguay Alejandro V´azquez Paganini1 Facultad de Ingenier´ıa Universidad de la Rep´ ublica 26 de diciembre de 2003

1 Alejandro

V´azquez Paganini ([email protected]):, Instituto de Matem´atica y Estad´ıstica, Facultad de Ingenier´ıa, Universidad de la Rep´ ublica.

´Indice 1. Introducci´ on

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2. Literatura Relacionada

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3. Modelos 3.1. Representaci´on en variables de estado . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelos de Interpolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Descripci´on General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Funci´on de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Estacionareidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Modelos sin series relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Modelo 1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Modelo 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Modelo 1c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Modelos sin estructura autoregresiva . . . . . . . . . . 3.4. Modelos con series relacionadas y sin estructura autoregresiva 3.4.1. Modelos 2a-b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Modelos 2c-d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Modelos con series relacionadas y con estructura autoregresiva 3.5.1. Modelo 2e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Modelo 2f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 4 4 4 6 7 8 8 9 10 10 11 11 14 15 15 15

4. Datos 4.1. Utilizaci´on de series relacionadas 4.2. Elecci´on de las series relacionadas 4.2.1. Intuici´on econ´omica . . . . 4.2.2. An´alisis Estad´ıstico . . . .

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16 16 16 16 16

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5. Resultados 18 5.1. Evaluaci´on de las series relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2. Evaluaci´on de las t´ecnicas de interpolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. Simulaciones

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A. Algunos conceptos matem´ aticos utilizados 23 A.1. M´axima verosimilitud logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 A.2. Series integradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 A.3. M´ınimos cuadrados generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 B. Filtro de Kalman

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C. Estimaciones del PBI - Valores num´ ericos

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D. Programas utilizados

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1.

Introducci´ on

El producto bruto interno (PBI) es uno de los indicadores econ´omicos m´as relevantes a la hora de medir el poder econ´omico de un pa´ıs. Constituye la medida m´as amplia de actividad econ´omica, conteniendo una amplia gama de factores constitutivos que representan diferentes ´areas de la actividad econ´omica y ha sido el centro de muchos modelos econ´omicos utilizados para planeamiento y toma de decisiones. Podemos definirlo, (ver [4]) como el valor total de productos y servicios producidos por una naci´on en un per´ıodo espec´ıfico de tiempo, usualmente un a˜ no o un trimestre. La u ´ltima apreciaci´on es espec´ıficamente la que es de inter´es en la presente monograf´ıa, es decir, la frecuencia con la que el PBI es calculado. Para diversos estudios econ´omicos, un n´ umero bajo de datos puede causar serios problemas en cuanto a la calidad de un an´alisis cuantitativo. Asimismo, en la gran mayor´ıa de modelos ecomom´etricos, donde se utilizan varios estimadores, la frecuencia del modelo quedar´a supeditada la de aquel indicador de menor frecuencia. Debido a todo lo anterior, ser´ıa de utilidad hacer estimaciones mensuales de los valores del PBI a partir de los datos oficiales, que son publicados trimestralmente en el caso de nuestro pa´ıs. El objetivo principal del presente trabajo, ser´a el de estudiar diferentes maneras de interpolar los datos trimestrales del PBI, para obtener una variable estimada mensual, que pueda ser utilizada para estudios posteriores. A su vez se estudiaran las herramientas para comparar los diferentes modelos, y en los casos que sea posible se har´a un estudio emp´ırico, contrastando los diferentes resultados. Dentro de la literatura, se pueden encontrar varios autores que han desarrollado m´etodos para lo anterior. En [ChowLin1971], se plantea un modelo donde se asume una relaci´on lineal entre la variable de inter´es (aquella cuyas observaciones no est´an disponibles, i.e. PBI mensual) y alg´ un otro indicador econ´omico que este disponible a mayor frecuencia. Estos u ´ltimos son llamados series relacionadas, o series indicadoras. A partir de estos datos se plantea una regresi´on lineal para las estimaciones. En las secciones siguientes se har´a un desarrollo m´as profundo del uso y las posibilidades de dichas series. Existen otros enfoques m´as actuales, que plantean el uso del filtro de Kalman como ´ [HarveyPierse1984] y [BenankeGetrler]. Este ofrece un m´etodo de trabajo mucho m´as flexible, permitiendo trabajar con varios modelos, con la ventaja de ir actualizando los datos a medida que arriban los valores observados. Tambi´en es posible la incorporaci´on de datos externos provenientes de series relacionadas, como lo planteado anteriormente. Algunos de los aspectos que deber´an ser tenidos en cuenta en el presente trabajo, a la hora de la implementaci´on de las diferentes configuraciones del filtro de Kalman, ser´a la estacionareidad1 y la cointegraci´on de las series de datos (ver ap´endice A.2). Se analizar´an varias t´ecnicas innovadoras para tratar estos efectos, y algunas de ´estas ser´an estudiadas emp´ıricamente. Se estudiar´an diferentes combinaciones de m´etodos y series relacionadas, con el prop´osito de utilizarlas y compararlas. Antes de evaluar cada uno de los modelos, se estudiar´an las diferentes series relacionadas, con el prop´osito de identificar aquellas que provean la mayor cantidad de informaci´on para la interpolaci´on. Se ver´a, en la secci´on 4.1, como se elegir´an las mismas, pero en definitiva, estaremos interesados en aquellas que se muevan conjuntamente y de manera robusta con el PBI. 1

Para ser m´as precisos, lo que nos interesar´a vigilar ser´a la no-estacionareidad de las series de datos

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2.

Literatura Relacionada

Como se puede ver en [Lanning1986], aquellos problemas econ´omicos que tratan con datos faltantes en series de datos, tienen dos tipos de caminos posibles hacia la soluci´on. Una primera posibilidad es la de estimar los datos faltantes junto a los dem´as par´ametros que tenga el modelo y por lo tanto, considerar las observaciones como todos los otros par´ametros. La segunda posibilidad es la de implementar una estrategia de dos pasos, donde en el primera, los datos faltantes2 son interpolados. Luego, en la segunda etapa, la nueva serie aumentada, que incluye los recientemente interpolados datos, es utilizada para estimar el modelo econ´omico. Los datos estimados en un solo paso tienen una varianza mayor, por lo que ser´an menos confiables que los u ´ltimos, por lo que en [Lanning1986] se sugiere la utilizaci´on de un m´etodo de dos etapas. Veamos tres clases del anterior m´etodo que se pueden encontrar en la literatura. 1. Una primera aproximaci´on es la presentada en [ChowLin1971] y [ChowLin1976] que utiliza una t´ecnica de regresiones m´ ultiples con series relacionadas. Un ejemplo de aplicaci´on de este m´etodo se puede encontrar en [DeAlba1990], donde se calcula el PBI mensual para M´ejico a partir de datos trimestrales. 2. En otra t´ecnica, que tambi´en utiliza variables indicadoras, [Denton1971], [Fernandez1981] y [Litterman1983] proponen minimizar una funci´on cuadr´atica de error, correspondiente a la diferencia entre las series a estimar y una combinaci´on lineal de las series relacionadas observadas. Un ejemplo, con datos de Portugal se puede encontrar en [PinheiroCoimbra1993]. 3. Por u ´ltimo, [BenankeGetrler] utiliza una representaci´on en variables de estado para interpolar el PBI real. Su aproximaci´on se basa en estimar por separado diferentes componentes de PBI, para luego agregarlos. La metodolog´ıa utilizada se basa en lo propuesto [HarveyPierse1984], que proponen una t´ecnica mucho m´as general, donde se utiliza un modelo de representaci´on en espacios de estado, tanto para datos estacionarios o no y con o sin utilizar series relacionadas. Es la intenci´on del presente trabajo, basar los conceptos fundamentales en dicho articulo. Un ejemplo, donde se estiman los datos para el PBI Canadiense se puede encontrar en [Guay1990]. A continuaci´on presentaremos la formulaci´on introducida por [HarveyPierse1984], la cual nos permite reescribir la mayor´ıa de los modelos citados en las tres clases anteriores, as´ı como otros modelos que no utilizan series relacionadas.

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Los datos faltantes podr´ıan ser independientes del modelo

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3.

Modelos

3.1.

Representaci´ on en variables de estado

Como ya se mencion´o antes, el problema de tener variables desconocidas es com´ un en econom´ıa. De acuerdo a [Kalman1960] y [Kalman1963], un m´etodo conveniente para extraer se˜ nales es el de escribir las variables conocidas (observadas) y desconocidas en una misma representaci´on en espacios de estado. A continuaci´on se presenta una breve descripci´on de nuestro modelo de trabajo, el cual esta en un ambiente de filtro de Kalman, y en el ap´endice B se detallar´a m´as el concepto, introduciendo la notaci´on y la expresiones particulares utilizadas. La representaci´on en espacios de estado viene dada por dos ecuaciones vectoriales, una llamada de transici´on y la otra de observaciones. La primera de ´estas3 , describe la din´amica de el vector de estados ξt , el cual contiene las variables desconocidas que queremos estimar. La segunda, relaciona al vector de estados con la variables observadas yt+ . Las ecuaciones de nuestro sistema ser´an: ξt+1 = Ft ξt + C0t xt+1 + Rt vt+1 yt+ = A0t x∗t + H0t ξt + Nt wt

(1) (2)

En las ecuaciones 1 y 2, adem´as de las variables conocidas y desconocidas aparecen las llamadas series relacionadas (xt ) y (x∗t ) como variables ex´ogenas4 . Adem´as ambas ecuaciones contienen t´erminos de error (vt y wt ), los cuales en nuestras hip´otesis de trabajo se asumir´a tienen una distribuci´on normal multivariada. ¶ µµ ¶ µ ¶¶ µ 0 Q 0 vt ∼ N , (3) 0 0 G wt Como observamos en la ecuaci´on 3 los vectores de ruido no est´an correlacionados entre si, lo que por el hecho de ser gaussianos hace que sean independientes. Las entradas de las matrices Ft , C0t , Rt , A0t , H0t , Nt , Q y G se estimar´an maximizando la funci´on de m´axima verosimilitud logar´ıtmica del sistema. Una descripci´on general de dicho m´etodo se puede ver en el ap´endice A.1. La representaci´on descrita en esta secci´on es general, a continuaci´on se pasar´a a describir como ser´a la representaci´on para nuestro caso particular de estudio, en cada uno de los modelos utilizados.

3.2. 3.2.1.

Modelos de Interpolaci´ on Descripci´ on General

Como ya se dijo, vamos a adaptar la representaci´on en espacios de estado de las ecuaciones 1 y 2 a nuestro problema en diferentes casos. Para ser m´as espec´ıficos los diferentes casos vendr´an dados por la inclusi´on de diferentes series relacionadas y suposiciones en cuanto al tipo de proceso estoc´astico del PBI mensual. El modelo con el que trabajaremos ser´a: 3 4

Tambi´en se conoce como ecuaci´on de estado En dicha representaci´on los vectores xt y x∗t ser´an datos externos

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ξt+1 = F ξt + C0 xt+1 + R vt+1 yt+ = a0t x∗t + h0t ξt

(4) (5)

Primero que nada, la ecuaci´on 4 describe la din´amica de la variable no observada, el PBI mensual, la cual se encuentra en el vector ξt = (yt yt−1 yt−2 )0 . El vector de dimensi´on [3x1] es u ´til para tener tres meses juntos de manera de poder satisfacer algunas de las restricciones impuestas por el modelo en s´ı. Adem´as vamos a asumir que las matrices F, C0 y R son invariantes en el tiempo. Por otro lado, la ecuaci´on 5 relaciona el vector de estados con las variables observadas, del PBI trimestral, yt+ . Una restricci´on muy importante que relaciona y condiciona la variable trimestral con nuestras estimaciones es que la suma del valor del PBI mensual dentro de un trimestre debe ser igual al valor trimestral oficial. De acuerdo con [HarveyPierse1984], dicha ecuaci´on ser´a la que represente la restricci´on de la suma. Por esta afirmaci´on, desaparece el t´ermino de error (Nt wt ) de la ecuaci´on de observaciones. Para satisfacer la restricci´on de la suma, se deber´an elegir valores de at y h0t convenientemente, lo que depender´a de cada uno de los modelos utilizados, y lo veremos en las siguientes secciones. Todas las especificaciones de los modelos en variables de estado que se describen a partir de este punto, van a depender de las caracter´ısticas de los datos a interpolar (modelo y estacionareidad asumidas para el proceso) y si se utilizan o no series relacionadas. Propiedades tales como la integraci´on (ver ap´endice A.2) de los datos y las propiedades estoc´asticas en si de las series mensuales, influir´an de manera directa en nuestra representaci´on. Vamos a basar nuestra clasificaci´on de los modelos utilizados en base a los siguientes factores: ¦ La utilizaci´on de series relacionadas, xt o x∗t como variables indicadoras. ¦ Modelo asumido para el PBI mensual (en particular si sigue un modelo autoregresivo). ¦ La no-estacionareidad de los datos, y posibles correcciones para esto. ¦ La estructura de los residuos mensuales.5 ¦ El algoritmo en si para estimar el PBI mensual. En la figura 1 podemos ver un diagrama con todos los posibles modelos, seg´ un nuestra clasificaci´on. Los primeros modelos son aquellos que no utilizan series relacionadas para las estimaciones, se asume que hay suficiente informaci´on en los datos del PBI trimestral para la interpolaci´on. Dentro de lo anterior, la principal clase de modelos que se utilizar´an ser´an aquellos en que se asume que el PBI mensual sigue un modelo autoregresivo dentro de los cuales vemos diferentes maneras de tratar la no-estacionareidad (modelos 1a-c). Contrastando con los modelos autoregresivos, vemos aquellos modelos mas simples donde no se asume de antemano ning´ un comportamiento para las series ni se utilizan series relacionadas. En este tipo de modelos no ser´a necesario siquiera utilizar el filtro de Kalman ya que la interpolaci´on de puede realizar por medio del c´alculo directo(modelos 1d-e ). 5

En la secci´on 3.4 quedar´a mas claro este concepto.

5

Figura 1: Modelos utilizados El segundo tipo de modelos utilizados, son aquellos que incorporan la informaci´on de otra serie externa para mejorar la estimaci´on. Tambi´en haremos diferencias en cuanto a si permitimos que el modelo siga un proceso autoregresivo (modelos 2e-f) o no (modelos 2a-d).Lo que diferenciar´a unos de otros en los modelos 2a-d ser´a la forma de tratar los residuos mensuales, que se ver´a en la secci´on 3.4. En la figura 1 cada una de las columnas representa las diferentes clasificaciones. La primer columna con forma de flecha representa la correcci´on asumida para la no estacionareidad. AR(2) representa un modelo autoregresivo de orden 1 (AR(1)) para la serie diferenciada, escrito en funci´on de los valores en s´ı (sin diferenciar); BGW representa la correcci´on propuesta por Bernanke, Gertler y Watson (ver [BenankeGetrler]). ∆ representa en operador de primer diferencia. En los casos en que no se realiza correcci´on alguna se indica con “no”. La segunda columna representa la forma de los residuos y la u ´ltima son simplemente los n´ umeros de los modelos. “diag´´representa que no se asume autocorrelaci´on entre los errores, mientras que AR(1) se utiliza para representar los casos en que se modelo a los errores como un proceso autoregresivo de orden 1.

3.2.2.

Funci´ on de verosimilitud

Para el caso particular de las ecuaciones 4 y 5, se hallar´an las matrices de los mismos maximizando la funci´on de m´axima verosimilitud logar´ıtmica, la cual presentamos a continuaci´on. Se asumir´a que los datos trimestrales del PBI tienen una distribuci´on normal:

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´ ³ ¡ ¢ + yt+ | y0+ , . . . , yt−1 , x1 , . . . , xt , x∗1 , . . . , x∗t ∼ N a0t x∗t + h0t ξˆt|t−1 , h0t Pt|t−1 ht

La funci´on de m´axima verosimilitud logar´ıtmica, Λ por lo tanto ser´a: t=T /3

Λ=

X t=1

ln(f (yt+ ))

t=T /3 ¯¢ T 1 X ¡¯¯ 0 = − ln(2π) − ln ht (F Pt−1|t−1 F 0 + RQR0 )ht ¯ 6 2 t=1 ³ ³ ´´2 0 t=T /3 y + − a0 x∗ − h0 F ξˆ + C x t t−1|t−1 t t t 1 X − 0 2 t=1 ht (F Pt−1|t−1 F 0 + RQR0 )ht

La notaci´on utilizada para la funci´on de verosimilitud, es la que trabaja en todo el trabajo para el filtro de Kalman, y en el ap´endice B se describe la misma. Para facilitar la lectura, mencionamos algunas de los variables utilizadas. En primer lugar, el l´ımite de las sumatorias, T es la cantidad de observaciones del PBI trimestral con las que se trabaj´o, por lo que T 3 ser´a en n´ umero final de estimaciones mensuales que se obtendr´an. Adem´as, las matrices F, R, C, a y h son las matrices utilizadas en la representaci´on en espacios de estados. Por u ´ltimo, el vector ξ es el vector de estados con que se trabaja en el filtro de Kalman, y la matriz P es la matriz de error del filtro, Pt|t = E {ek e0k }. La anterior funci´on ser´a la que se maximizar´a para cada uno de los modelos utilizados, de manera de hallar las matrices correspondientes a cada uno.

3.2.3.

Estacionareidad

Antes de comenzar la descripci´on en s´ı del primer modelo, pasaremos a describir el m´etodo de diferenciaci´on de los procesos estoc´asticos, que ser´a la principal herramienta utilizada en dicho modelo, y su finalidad es la de combatir la no estacionareidad de los datos. Es sabido que muchas series temporales, en particular las econ´omicas, no satisfacen las condiciones de estacionareidad necesarias para poder considerar que siguen un modelo autoregresivo, de media m´ovil. Las misma deben ser transformadas, expresadas de otra manera de manera que pasen a ser estacionarias respecto de la media y la varianza. Luego de tratar los datos para lo que se desee, la misma transformaci´on que se realizo para ganar estacionareidad se realiza a la inversa para obtener la serie original. Una manera de convertir aquellas series de datos no estacionarias respecto de la media en estacionarias, es mediante la diferenciaci´on. Veamos una como se puede interpretar esto. En la figura 2 vemos el gr´afico de una funci´on f (x), donde se muestran dos puntos de la misma, (a, f (a)) y (b, f (b)). Supongamos que la serie temporal viene dada por la funci´on f . En el gr´afico vemos la cuerda, cuya tangente es: f (b) − f (a) f (a + h) − f (a) = h h Si consideramos que generalmente las series no vienen de manera continua, sino que son simplemente muestras discretas de la funci´on f , la tangente anterior ser´ıa una aproximaci´on a la derivada. Para que dicha aproximaci´on sea lo mejor posible, h deber´a ser lo m´as chico 7

Figura 2: Interpretaci´on de la diferenciaci´on posible, y bajo la hip´otesis de tiempo discreto, h ser´a la unidad de tiempo (h = 1). Por lo tanto, la derivada de la f , ser´a: f (a + h) − f (a) = f (a + 1) − f (a) = fa+1 − fa = ∆fa+1 h Por lo tanto, al diferenciar la serie, podemos considerar que estamos derivando la funci´on que la genera, y por lo tanto disminuyendo el grado de la misma en uno. Si se tuviera una funci´on cuya media variara en forma cuadr´atica, diferenciando la serie dos veces, obtendr´ıamos una serie estacionaria respecto de la media. Lo anterior se puede ver simplemente de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una serie de datos, {Xt } , la cual no es estacionaria respecto de la media, sino que ´esta sigue un comportamiento lineal, es decir: E {Xt } = αt Si llamamos {Yt } a la serie diferenciada, es decir Yt = Xt −Xt−1 , entonces ´esta ser´a estacionaria respecto de la media: E {Yt } = E {Xt − Xt−1 } = E {Xt } − E {Xt−1 } = αt − α(t − 1) = α Lo que se obtiene es un proceso que tiene media constante. De la misma manera, mediante sucesivas diferenciaciones se podr´a lograr estacionareidad respecto de los dem´as momentos estad´ısticos. A continuaci´on pasamos a desarrollar con algo m´as de detalle cada uno de los modelos presentados en la monograf´ıa.

3.3. 3.3.1.

Modelos sin series relacionadas Modelo 1a

En nuestro primer modelo haremos uso de la diferenciaci´on, explicada anteriormente, para tratar la no estacionareidad de los datos. Asumiremos que la primer diferenciaci´on del PBI 8

mensual6 sigue un modelo autoregresivo de orden 1, ∆yt = φ ∆yt−1 + ut , donde ∆yt es la serie diferenciada mensual, φ es un coeficiente menor o igual que uno y ut es un t´ermino de error, iid, y con distribuci´on N (0, σ 2 ). Podemos reescribir el proceso autoregresivo de orden 1 como un proceso de orden 2 de las series en s´ı, de la siguiente manera. yt = (1 + φ)yt−1 − φyt−2 + ut Si reescribimos la anterior ecuaci´on como una ecuaci´on de estados, con ξ = (yt yt−1 para t = 1, . . . , T 7 obtenemos         yt+1 1 + φ −φ 0 yt 1 0 0 ut+1  yt  =  1 0 0   yt−1  +  0 0 0   ut  0 1 0 yt−1 0 0 0 yt−2 ut−1

yt−2 )0 ,

(6)

Observamos que esto hace C0 = 0 en la ecuaci´on 4. La ecuaci´on de observaciones se obtiene simplemente incorporando la restricci´on de la suma, sin utilizar series relacionadas. Esto significa que a0t = 0 y h0t tomar´a valores diferentes dependiendo del mes. yt+ = h0t ξt donde h0t = (0 0 0), para t = 1, 2, 4, 5, 7, . . . , T − 1 donde h0t = (1 1 1), para t = 3, 6, 9, . . . , T

(7)

Lo anterior est´a de acuerdo con la nomenclatura utilizada, ya que la serie yt+ , tomar´a los valores observados en los tiempos t = 3, 6, . . . , T , mientras que en los dem´as tiempos ser´a cero (yt+ = 0, t = 1, 2, 4, 5, 7, . . . , T − 1) A continuaci´on se va a desarrollar para este modelo el desarrollo matem´atico utilizado para la simulaci´on del mismo. Se presentar´a como ser´an cada una de las matrices de las ecuaciones de la representaci´on en variables de estado para este caso particular.      2  1 + φ −φ 0 1 0 0 σ 0 0 0 0  , R =  0 0 0  , Q =  0 σ2 0  F = 1 0 1 0 0 0 0 0 0 σ2 Adem´as, C = 0 y at = 0. Por lo tanto, los dos par´ametros a estimar ser´an: φ y σ 2 . Como ya se mencion´o anteriormente, la manera que se estimar´an dicho par´ametros es maximizando la funci´on de m´axima verosimilitud logar´ıtmica (ver ap´endice A.1). Los programas de MATLAB utilizados para la estimaci´on de los par´ametros, as´ı como para el c´alculo del PBI mensual de este modelo se encuentran en el ap´endice D. 3.3.2.

Modelo 1b

Una alternativa planteada recientemente como m´etodo de interpolaci´on, es la presentada en [BenankeGetrler]. La misma consiste en asumir que el PBI es una serie integrada de orden uno (ver ap´endice A.2) y trabajar con una serie auxiliar cointegrada con el PBI (pt ), que tambi´en sea I(1), de manera de poder calcular una nueva serie estacionaria yts . 6

Entendemos por primer diferenciaci´on a la serie resultante de diferenciar una vez la serie de las observaciones. 7 T ser´a el n´ umero total de estimaciones del PBI mensual, T3 es la cantidad de observaciones con que se cuenta.

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yts =

yt pt

Lo que se propone es suponer que el PBI sigue un comportamiento lineal en media (I(1)), y hallar otra serie relacionada, que tenga el mismo comportamiento. De esta manera, al trabajar con la serie yts se obtendr´a un proceso estacionario, al menos respecto de la media. La serie pt deber´a ser alg´ un otro indicador, que tenga el comportamiento deseado. En otras palabras, la idea es trabajar con una serie pt , que no es m´as que una variable de escala, que permite trabajar con una serie estacionaria, yts , la cual ser´a ahora nuestra variable din´amica, o de estados. Vale destacar que en este caso estamos tratando con cointegraci´on multiplicativa, que se deber´a cumplir tanto a nivel trimestral como mensual. Para la escritura de las ecuaciones de estado, vamos a asumir que yts sigue un proceso autoregresivo de orden 1, ya que al ser estacionaria no hay necesidad de diferenciar, es decir: s yts = φyt−1 + ut . Esto va a resultar en una ecuaci´on de estados ligeramente diferente a la del modelo 1a, ¡donde el vector de PBI mensual ser´a y s en lugar de y y la matriz F tendr´a una ¢ primer fila φ 0 0 . En cuanto a la ecuaci´on de observaciones, la misma tambi´en ser´a diferente a la del modelo 1a, ya que aparecer´an la variable pt , para poder “neutralizar”la divisi´on de yt . El vector a0t = 0 y se redefinir´a h0t yt+ = h0t ξt donde h0t = (0 0 0), para t = 1, 2, 4, 5, 7, . . . , T − 1 0 donde ht = (pt pt−1 pt−2 ), para t = 3, 6, 9, . . . , T 3.3.3.

(8)

Modelo 1c

El ultimo de los modelos que utilizaremos donde no se utilizan series relacionadas esta basado en [Bomhoff1994], quien sugiere el uso de las serie de datos ignorando el problema de la no-estacionareidad. El autor argumenta que el filtro de Kalman no requiere que el usuario decida expresamente sobre necesidad de diferenciar la serie de datos, como forma de combatir la no estacionareidad de los mismos. Varios antecedentes sugieren que el filtro de Kalman permite procesar autom´aticamente una amplia gama de se˜ nales que no sean estacionarias, obteniendo buenos resultados, y en esto se basan varios de los modelos utilizados. Por lo tanto, podemos escribir la ley que gobierna nuestro proceso de manera que la serie fuera estacionaria: yt = φ yt−1 + ut . El modelo ser´a muy similar al 1a, con un cambio en la primer fila de la matriz F.         yt+1 φ 0 0 yt 1 0 0 ut+1  yt  =  1 0 0   yt−1  +  0 0 0   ut  (9) yt−1 0 1 0 yt−2 0 0 0 ut−1 3.3.4.

Modelos sin estructura autoregresiva

Modelo 1d Este modelo, asigna valores iguales para cada uno de los variables mensuales, e iguales a una tercera parte del valor trimestral. Es el modelo m´as simple, asignando el prome-

10

dio del PBI trimestral a los valores mensuales.

Modelo 1e El modelo 1e ajusta los datos a un modelo lineal, centrado en la media del PBI trimestral. Se asume que se tiene para cada mes8 un valor inicial, que es el u ´ltimo valores mensual del trimestre anterior (yt−3 ), y luego se calcula un paso dt para cada trimestre de acuerdo a la siguiente formula: (ϕ yt−3 + dt ) + (ϕ yt−3 + 2dt ) + (ϕ yt−3 + 3dt ) = yt+ En la ecuaci´on anterior, ϕ es un escalar que toma diferentes valores dependiendo de t ½ 1 t = 6, 9, 12, . . . , T ϕ= 0 t = 4, 5, 7, . . . , T − 1 El paso dt se calcula para t = 6, 7, 8, . . . , T y sus valores ser´an el paso en cada mes respecto del anterior9 . Este modelo 1d ser´a el que se utilizar´a como referencia a la hora de comparar los resultados de todos los dem´as modelos, debido a su simplicidad te´orica y de implementaci´on. La principal cr´ıtica que se le hace a los modelos anteriores, (1a-c) es el hecho que solamente extraen informaci´on de la serie de datos originales, la cual se supone que se tiene un proceso estoc´astico; no se incorpora nada de informaci´on nueva. Ser´ıa m´as conveniente, obtener un modelo econ´omico a partir de otras series de datos, al cual ajustar el PBI mensual. A continuaci´on se presentar´an los modelos que utilizan alguna otra serie externa como informaci´on adicional, cuyas dos caracter´ısticas principales deber´an ser: 1. La serie externa deber´a tener una correlaci´on (alta) con el PBI de manera de poder marcar una tendencia para los datos interpolados. 2. La frecuencia con la que se conozca dicha serie deber´a ser mayor (en lo posible mensual) necesariamente que la del PBI, ya que de otra manera no aportar´ıan nada nuevo.

3.4.

Modelos con series relacionadas y sin estructura autoregresiva

Los siguientes modelos son los que utilizan alguna otra serie, adem´as del PBI trimestral como gu´ıa para la interpolaci´on. Los mismos se dividen en dos partes bien diferenciadas, distinguiendo aquellos en que no se asume una estructura autoregresiva para el PBI (modelos 2a-d) de los que si se hace (modelos 2 e-f). En los primeros, se introduce la variable indicadora en la ecuaci´on de estados, y se utiliza un estimador de m´ınimos cuadrados generalizados, mientras que en los segundos la serie relacionada se incluye en la ecuaci´on de medici´on, utilizando el filtro de Kalman. 3.4.1.

Modelos 2a-b

En [ChowLin1971] se muestra como mediante el uso de variables indicadoras (series relacionadas), se puede interpolar datos de menor frecuencia a una frecuencia mayor mediante 8 9

Excepto para el primer trimestre, para lo que se usar´an valores promedio. Se puede interpretar al paso dt como la pendiente de la recta para cada trimestre

11

la utilizaci´on de un estimador de m´ınimos cuadrados generalizados. Se asume que el PBI mensual (yt ) se puede relacionar con las n series relacionadas xt ∈ Rn mediante una regresi´on lineal simple. Escribi´endolo en notaci´on matricial: y = Xβ + u10

(10)

Donde la matriz X ∈ MT xn contiene las n series relacionadas en sus columnas, β ∈ Rn es el vector de coeficientes a determinar, y u ∈ RT es el t´ermino de error. Llamaremos V a la matriz de correlaci´on de dicho error, V = E {uu0 }. M´as adelante veremos algo m´as sobre los modelos para dicho error y las diferentes maneras de tratarlo. Tambi´en se puede derivar sin problemas la misma relaci´on para el PBI trimestral. Si premultiplicamos al vector de PBI mensual por una matriz C de la forma11 :   1 1 1 0 0 0 ... 0  0 0 0 1 1 1 ... 0    C =  .. ..   . .  0 0 0 ... 0 1 1 1 obtenemos las T /3 observaciones del PBI trimestral. Por lo tanto, la ecuaci´on 10 queda: y+ = X + β + u+ +

(11)

+

Donde: X = CX y u = Cu A partir de lo anterior, podemos decir que X + es una matriz que tiene los valores de las series relacionadas trimestrales y que la matriz de correlaci´on del “nuevo”t´ermino de error u+ ser´a: n o 0 V + = E u+ u+ = CV C 0 Lo que se hace en [ChowLin1971] es hallar una matriz A, que permita estimar los valores mensuales (llam´emosle yˆ ) a partir de las observaciones. yˆ = Ay + Una de las restricciones que se imponen es la que el estimador sea insesgado, es decir E {ˆ y − y} = 0: © ¡ ¢ ª ©¡ ¢ ª E {ˆ y − y} = E A X + β + u+ − Xβ − u = E AX + − X β = 0

Lo que se har´a es AX + − X = 0, lo que permite hallar una expresi´on para la diferencia entre la estimaci´on y el valor real del PBI mensual. yˆ − y = Au+ − u Luego, se busca que el estimador sea de menor varianza, para lo que se minimiza la traza de la matriz de correlaci´on del error, o sea que se minimiza la traza de todas las varianzas correspondientes a cada observaci´on. La antedicha matriz es: 10

Nota: Cuando en las ecuaciones no se escribe el subindice temporal t, es porque se esta considerando la variable vectorial, a diferencia de, por ejemplo yt que hace referencia al valor escalar del PBI mensual en el mes t. 11 Lo que estamos haciendo es simplemente sumar de a tres los t´erminos del PBI mensual

12

© ª © © +0 0 ª 0ª 0 E (ˆ y − y)2 = AE u+ u+ A0 − AE {un+ u0 } − E uu A + E {uu } o 0

= AV + A0 − A |Eu{z+ u}0 + E uu+ +V | {z } V +” +

0

= AV A − AV

+”

−V

”+

V ”+ 0

A +V

Luego, para hallar la matriz A, se hace uso del m´etodo de los multiplicadores de lagrange, imponiendo la restricci´on AX + − X = 0. lo que devuelve un valor ´optimo de: ³ ´−1 0 −1 0 −1 A = X X+ V + X+ X+ V + · ¸ ³ ´−1 ”+ +− 1 + +0 +−1 + +0 +−1 +V V IT /3 − X X V X X V Por u ´ltimo, el valor estimado del PBI mensual viene dado, como ya se dijo por yˆ = Ay + , obteni´endose: βˆ

GLS }| { z ´−1 ³ +0 +−1 + +0 +−1 + y X V X yˆ = X X V · ¸ ³ 0 −1 ´−1 0 −1 − + + + + + + X V X y+ +V ”+ V + 1 IT /3 − X X V | {z }

u ˆ+

− yˆ = X βˆGLS + V ”+ V + 1 uˆ+ = X βˆGLS + Λˆ u+

Como resulta evidente, la matriz Λ es una funci´on de V , la matriz de correlaci´on del error u, o sea, es en realidad Λ (V ). Con esto, las estimaciones del PBI mensual son: yˆ = X βˆGLS + Λ (V ) uˆ+

(12) Como se aprecia en la ecuaci´on 12, las estimaciones tienen dos partes, la primera, X βˆGLS que es el ajuste tradicional, mediante m´ınimos cuadrados generalizados, que surge de la regresi´on de la ecuaci´on 11 entre el PBI trimestral (y + ) y las series relacionadas trimestrales (X + ). ³ 0 −1 ´−1 0 −1 + + + ˆ X + V + y+ βGLS = X V X

Por otra parte, vemos que la segunda parte de la ecuaci´on 12 corresponde a un t´ermino residual, corregido por la interpolaci´on (Λ(V )ˆ u+ ). Este u ´ltimo hecho ser´a el que diferenciar´a nuestros modelos de ajuste, ya que la elecci´on de V influir´a directamente en los residuos que son muy importantes para nuestra interpolaci´on. El valor del ajuste tradicional X βˆGLS no es igual a las observaciones del PBI trimestral, por lo que ser´a indispensable que el residuo uˆ+ se “redistribuya”mediante la matriz Λ para corregir esta diferencia. Por lo tanto, como ocurre en todas las estimaciones de m´ınimos cuadrados generalizados, se necesita disponer de la matriz de correlaci´on V = E {uu0 }. Ya que en la pr´actica dicha matriz es desconocida, en los modelos 2a-b ser´an estimadas asumiendo alguna estructura para los residuos de las estimaciones mensuales. en El modelo 2a es el m´as simple de los dos, donde se asume que la matriz de correlaci´on de los residuos mensuales V es una matriz diagonal, σu2 IT , o sea que los residuos no est´an correlacionados entre s´ı. Por lo tanto, la matriz de correlaci´on de los residuos trimestrales ser´a similar, 13

o n 0 V + = E u+ u+ = 3σu2 I T

3

Lo que a su vez implica que la matriz Λ sea:  1 0 ...  1 0   1 0   0 1  Λ =  .. ..  . .     ...

 .. . 0 1 0 1 0 1

           

(13)

El principal inconveniente de este modelo es que raramente la suposici´on de que la matriz V sea diagonal esta de acuerdo con la pr´actica, es decir generalmente se da un cierto nivel de correlaci´on entre las diferentes muestras del error. Una manera de mejorar este hecho es la de permitir la correlaci´on cruzada en los t´erminos de error. Por lo tanto, en el modelo 2b se asume que el t´ermino de error sigue un proceso autoregresivo de orden 1, es decir ut = %ut−1 + ²t donde ²t es ruido blanco, de media cero y matriz de correlaci´on σ²2 IT , lo que resulta en una matriz de correlaci´on V :   1 % %2 . . . %T −1  %  1 %  σ²2   %2 % 1  V =   2 1 − %  .. ..   . .  T −1 % ... 1 Esto u ´ltimo va a resultar en un estimador βˆGLS diferente, as´ı como en una matriz de redistribuci´on diferente Λ, ambos dependientes de %. Se puede observar que a medida que % → 0, Λ se aproxima a la matriz 13. Por lo tanto, si la autocorrelaci´on es grande, la redistribuci´on es menos “r´ıgida”que en el modelo 2a, y los residuos trimestrales no solo influyen en sus respectivo meses sino que tambi´en afectan el PBI estimado de los meses de trimestres contiguos, pero no de manera abrupta. 3.4.2.

Modelos 2c-d

Los otros dos modelos que no utilizan el filtro de Kalman, sino que tambi´en se basan en los estimadores de m´ınimos cuadrados generalizados, son simplemente una variaci´on de los modelos 2a-b, sugerida por [Denton1971] y [Fernandez1981]. La misma consiste en utilizar las series diferenciadas en la regresi´on en lugar de la serie temporal en s´ı, para tratar con la no estacionareidad. Luego se utilizan las dos mismas suposiciones en cuanto a la matriz de correlaci´on del error, V , que en los modelos 2a-b. As´ı como antes se utilizaba como matriz de ponderaci´on en los m´ınimos cuadrados generalizados, la inversa de la matriz V + , que era el equivalente trimestral de la matriz V , en este caso se utiliza la inversa de el equivalente de la matriz D0 V 0 D, siendo D el operador de diferencia.

14



   D=  

3.5. 3.5.1.

1 0 0 ... −1 1 0 0 −1 1 0 0 −1 .. ... .

      

Modelos con series relacionadas y con estructura autoregresiva Modelo 2e

Adem´as de la utilizaci´on de series relacionadas, como se planteo en los anteriores modelos (2a-d), lo que se har´a es suponer que la serie del PBI mensual sigue un proceso autoregresivo, como en los modelos de la parte 1. Se utilizar´a una correcci´on para la no estacionareidad igual a la que se utiliz´o en el modelo 1a, de suponer que yt sigue un proceso AR(2). La ecuaci´on de estado para el presente modelo ser´a igual a la ecuaci´on del modelo 1a (ecuaci´on 6), salvo por el hecho de que en este caso aparecer´a el t´ermino C0 xt+1 donde xt+1 representa la serie relacionada correspondiente. 3.5.2.

Modelo 2f

Este modelo es similar al 1b, excepto porque aparecer´a un serie relacionada xt al igual que en el modelo anterior, con la correspondiente matriz C0

15

4. 4.1.

Datos Utilizaci´ on de series relacionadas

Como se pudo ver en las secciones anteriores, un asunto de gran relevancia es la utilizaci´on de series relacionadas, o variables indicadoras, para la extracci´on de datos para mejorar la interpolaci´on. Luego de las suposiciones de la din´amica del PBI mensual, las series relacionadas ´ constituyen la mayor fuente de informaci´on para las estimaciones. Estas deber´an cumplir dos condiciones principales para su utilizaci´on. Primer que nada, debe existir una cierta correlaci´on con las series a ser interpoladas. El principal uso de estas series ser´a para “llenar”los huecos que se tienen en la serie del PBI, por lo que cuanto mayor sea la similitud en los movimientos de ambas series, mejor podr´an ser explotadas en esta funci´on. Si solamente hay una peque˜ na informaci´on en las series relacionadas, respecto de la serie a estimar, su utilizaci´on no ser´a eficiente, ya que de todas maneras tendr´a como costo la introducci´on de un gran ruido en la interpolaci´on. Segundo, es una necesidad totalmente ineludible que la serie gu´ıa a utilizar se conozca a una mayor frecuencia que el PBI, ya que de lo contrario su inclusi´on no aportar´ıa nada de informaci´on a la interpolaci´on. En algunos casos, puede ser una restricci´on fuerte el hecho de no disponer de muchas variables macroecon´omicas con frecuencia mensual. Los dos puntos anteriores requieren que se realice un estudio a profundidad antes de decidir cual(es) series relacionadas se incluir´an en los modelos. Una t´ecnica que se ha desarrollado bastante u ´ltimamente, es la de implementar una estrategia conjunta que base sus decisiones tanto en cuestiones econ´omicas como estad´ısticas. La simple intuici´on econ´omica nos permite decidir que tipo de datos ser´ıan adecuados utilizar y cual deber´ıa ser la forma general de los mismos. Junto a esto, ser´ıa conveniente contar con una medida estad´ıstica de decisi´on que nos permitiera elegir la “mejor”serie relacionada objetivamente.

4.2. 4.2.1.

Elecci´ on de las series relacionadas Intuici´ on econ´ omica

Una natural aproximaci´on al problema ser´ıa la de desglosar al PBI en sus elementos constitutivos, y utilizar aquellos que est´en disponibles a mayor frecuencia, o en caso de no estarlo, encontrar los mejores sustitutos para cada uno de los componentes de inter´es. Una alternativa a lo anterior, que depender´a del pa´ıs en particular a analizar, es la posibilidad de contar con indicadores externos, de pa´ıses que tengan cierto grado de similitud en cuanto a los ciclos econ´omicos con el pa´ıs en estudio. Como es de esperar, es pr´acticamente imprescindible complementar est´as dos alternativas con alg´ un enfoque m´as objetivo de clasificaci´on. 4.2.2.

An´ alisis Estad´ıstico

Existen variados m´etodos para elegir las variables a utilizar como series indicadoras. Supongamos que la variable a ser interpolada dependa linealmente de las series relacionadas: yt = α0 + α1 x1,t + α2 x2,t · · · + αk xk,t + · · · + ut 16

(14)

En el caso en que la variable xk sea desconocida, se deber´a elegir otra variable zk que sirva de indicadora. Un m´etodo utilizado es el de elegir zk de manera que obtenga el mayor valor de R2 en la ecuaci´on 14. El valor de R2 se halla como: R2 =

Sf St

P Donde St es la suma de los residuos de la regresi´on lineal, es decir St = (y − yˆ)2 . Sf es un t´ermino que mide la correlaci´on entre las series x e y, hallado como Sf = N αk cov(x, y), donde N es la cantidad total de muestras. Un m´etodo bastante popular , que se ha utilizado mucho en especial u ´ltimamente, y que puede ser aplicado a un rengo mucho mayor de modelos posibles es el de verosimilitud penalizada. Dos ejemplos ampliamente conocidos son el “Akaike Information Criterion”(AIC), ´ (ver [Akaike1974]) y el “Schwarz Information Criterion”(SIC). Estos m´etodos son similares el m´etodo tradicional de m´axima verosimilitud, pero var´ıan en que se le agrega a la funci´on de verosimilitud un t´ermino de penalizaci´on bajo alg´ un criterio que depende de la implementaci´on.

17

5.

Resultados

En las secciones anteriores, se describieron varios m´etodos para la interpolaci´on del PBI mensual, a partir de muestras trimestrales. Se discuti´o la utilizaci´on de series relacionadas para mejorar los ajustes, y se propusieron varios modelos con diferentes tratamientos y suposiciones para los datos. Es la intenci´on de la presente secci´on introducir las herramientas de an´alisis, mediante las cuales ser´a posible decidir cu´al de todos los modelos ser´ıa m´as conveniente utilizar. Una de las primeros estudios que se deber´a realizar a las series estimadas es hallar algunas propiedades estad´ısticas con la intenci´on de verificar algunas de las suposiciones en las que se basan los modelos, por ejemplo los niveles de estacionareidad, los criterios de informaci´on para las series relacionadas, etc. Adem´as, se deber´a hacer una comparaci´on directamente entre los resultados de cada modelo, como ya se mencion´o, se utilizar´a en modelo 1e como punto de comparaci´on. Por lo tanto, ser´a necesario hallar, para cada uno de los modelos utilizados el error cuadr´atico medio12 (ECM) como medio de comparaci´on. Habr´a que tener en cuenta que la serie que utilizaremos como comparaci´on se eligi´o por razones pr´acticas, por lo que habr´a que tener presente que puede ocurrir que no constituya una buena comparaci´on objetiva en cuanto a la bondad de los ajustes. Ser´ıa interesante hacer otro tipo de comparaciones, para medir por ejemplo la performance de los modelos ante interpolaciones de series de datos con diferentes frecuencias. Se podr´ıa calcular otro ECM, entre los datos reales trimestrales y una serie trimestral interpolada a partir de datos anuales. De esta manera podremos tener una idea de que modelos se adaptan mejor a series de datos con diferentes frecuencias a las de trabajo. Analizando en detalle cada uno de los modelos, podemos identificar dos direcciones b´asicas de comparaci´on. La primera consiste en estudiar si la inclusi´on de series indicadoras resulta en mejores interpolaciones que los modelos de clase 1. Segundo, se deber´a analizar la cuesti´on del tratamiento de la no estacionareidad, y las t´ecnicas especificas de interpolaci´on.

5.1.

Evaluaci´ on de las series relacionadas

Es de esperar que la utilizaci´on de modelos econ´omicos, con la inclusi´on de variables indicadoras, devuelva mejores resultados que los modelos puramente econom´etricos, los cuales aparecen como muy mec´anicos13 . Es de esperar que la estructura autoregresiva y la autocorrelaci´on entre los coeficientes genere un patr´on claramente identificable en las estimaciones de los tres meses dentro de un mismo cuarto a lo largo de los trimestres. Suponemos que la inclusi´on de series relacionadas podr´ıa atenuar dicho patr´on. Este tipo de patrones que aparecen repetidamente, se deben, como ya se dijo a la estructura autoregresiva que se supuso para la interpolaci´on. Es de esperar que dado que las series relacionadas aportan informaci´on espec´ıfica para cada mes a interpolar, las mismas ayuden a vencer la rigidez de los modelos y eliminar los patrones. Tambi´en habr´a que vigilar la introducci´on de ruido debido a la utilizaci´on de las series, como se mencionaba anteriormente. Una manera de estudiar dicho impacto es hallar la desviaci´on est´andar de las tasas de crecimiento para las diferentes series interpoladas. Se sabe 12

Hablamos de error, refiri´endonos a la diferencia entre cada modelo y el 1e. Entendemos por econometr´ıa a la rama de la econom´ıa que utiliza m´etodos estad´ısticos para estudiar las relaciones econ´omicas. Se puede ver como una forma de econom´ıa matem´atica 13

18

que en la pr´actica no es com´ un que exista gran variabilidad en las tazas de crecimiento, por lo que aquellas series interpoladas que exhiban un valor alto, podr´an ser descartadas.

5.2.

Evaluaci´ on de las t´ ecnicas de interpolaci´ on

El principal punto de comparaci´on entre los diferentes m´etodos es el tratamiento de la estacionareidad. Existen una serie de herramientas para el estudio de la estacionareidad de una serie de datos. Entre otras podemos citar el test conocido como “Augmented Dickey Fuller Test”, el cual, como se dijo analiza las series de datos para identificar la no estacionareidad. En [8] se encuentra una descripci´on del test. En [CucheHess2000], que fue usado como referencia para gran parte del presente trabajo, se obtienen resultados para Suiza, y se observa que las modificaciones propuestas por [Denton1971] (modelo 2c) no obtienen significativamente mejoras que los m´etodos cl´asicos, como el 2a. En los dem´as casos, no es clara la diferencia entre las distintas alternativas para tratar la no estacionareidad, por lo que se puede concluir que dicho estudio probablemente dependa fuertemente de las condiciones de la interpolaci´on y depender´a de la dificultad en la implementaci´on su utilizaci´on o no. De todas maneras, s´ı es de esperar que las ventajas te´oricas del filtro de Kalman en cuanto al tratamiento de la no estacionareidad (ver [Lutkepol1993]) sean tales que en varios casos lo mejor sea no asumir ninguna correcci´on para este problema y dejar que el filtro adapte los resultados autom´aticamente. Los modelos que asumen un modelo determinado para los residuos (2a-d) probablemente sean r´ıgidos en este aspecto, no permitiendo que el error var´ıe libremente sino que limit´andolo a un rango mucho menor que el que permitir´ıa el modelo 2e, donde el error se adapta libremente de acuerdo al filtro de Kalman. Este modelo elige el error dentro del rango completo de posibilidades, sin necesidad de especificar sus caracter´ısticas de antemano. Un u ´ltimo test que puede ser utilizado para conocer las series temporales con las que se trabaja, pero cuya utilidad en el presente trabajo se limita u ´nicamente al modelo 1b, donde se utiliza la correcci´on propuesta en [BenankeGetrler] es el test de “Johansen (ver [Johansen1991])”, que analiza las series para saber si existe cointegraci´on en las mismas.

19

6.

Simulaciones

En el presente trabajo, principalmente debido a la falta datos para nuestro pa´ıs, las simulaciones que se realizaron se concentraron principalmente en los primeros modelos. En particular, se obtuvieron los datos interpolados para los modelos 1a, 1c, 1d y 1e. Como ya se mencion´o, los modelos 1d y 1e no fueron hallados mediante el filtro de Kalman, sino que las estimaciones fueron calculadas directamente, siguiendo las especificaciones que se detallan en la secci´on 3. Por otra lado, los restantes dos modelos, se implementaron mediante el filtro de Kalman, y los c´odigos de MATLAB correspondientes a los mismos se encuentran en la secci´on D. Las estimaciones del PBI mensual, as´ı como los datos obtenidos para del PBI trimestral14 , se pueden encontrar en el ap´endice C. Los datos corresponden a los valores oficiales del PBI Uruguayo, desde el a˜ no 1983 hasta diciembre del a˜ no 2002. En las figuras 3 y 4 se puede observar la evoluci´on del PBI mensual, estimado seg´ un los dos primeros modelos. En ambas gr´aficas se observa adem´as los valores del PBI trimestral, a modo de comparaci´on. Se puede observar que no todos los puntos del mismo coinciden con la curva estimada, ya que para graficarlos se utiliz´o como aproximaci´on la tercera parte de los datos reales. 4

12

Evolución del PBI mensual, modelo 1a

x 10

11

10

9

8

7

6

5

0

50

100

150

200

250

Figura 3: Estimaciones mensuales del PBI seg´ un el modelo 1a Se puede observar en los gr´aficos de las aproximaciones que los comportamientos son bastante diferentes entre s´ı. La aproximaci´on seg´ un el modelo 1a, es decir que asum´ıa un que el PBI mensual segu´ıa un proceso AR(2) tiene un car´acter mucho m´as oscilatorio que el otro, donde se asum´ıa un proceso AR(1). Dicho comportamiento era bastante esperado, donde se observa a las claras que el valor de un mes y el de dos meses hac´ıa atr´as o hacia adelante, son muy similares, siguiendo pr´acticamente el mismo comportamiento a lo largo de los meses. Para la estimaci´on seg´ un un modelo AR(1), se obtuvo un comportamiento muy similar al obtenido para el modelo 1d, donde simplemente se divid´ıa de forma igual al PBI trimestral 14

Los mismos fueron proporcionados por el Instituto de Estad´ıstica, Facultad de Ciencias Econ´omicas y Administraci´on.

20

4

12

Evolución del PBI mensual, modelo 1c

x 10

11

10

9

8

7

6

5

0

50

100

150

200

250

Figura 4: Estimaciones mensuales del PBI seg´ un el modelo 1c entre cada mes. Esto tambi´en era de esperar, ya que lo que se observa es que cada valor mensual se asimila bastante al del mes anterior, debido justamente a que se modelo que cada mes dependiera u ´nicamente del anterior. Se ven las mayores diferencias al final de cada trimestre, donde el valor real “corrige”las estimaciones. En cuanto a la comparaci´on con nuestro modelo base, (1e), ambos modelos obtuvieron errores similares, siendo algo mejor el ajuste realizado por el 1c. Los valores que se obtuvieron fueron: MSE Modelo 1a 460.80 Modelo 1c 352.47 Como se puede ver, el segundo modelo ajust´o algo mejor los datos, principalmente debido a lo antes mencionado, el comportamiento oscilatorio del primer modelo generaba errores mayores. Lo anterior es un indicio de lo antes mencionado respecto al tratamiento de la noestacionareidad, ya que podemos ver que el filtro de Kalman de por s´ı se adapta a la serie no estacionaria, obteniendo mejores interpolaciones que en el caso en que se forzaba un modelo para tratar el problema.

21

4

12

Evolución del PBI mensual, modelo 1d

x 10

11

10

9

8

7

6

5

0

50

100

150

200

250

Figura 5: Evoluci´on del PBI mensual, modelo 1d 4

12

Evolución del PBI mensual, modelo 1e

x 10

11

10

9

8

7

6

5

0

50

100

150

200

250

Figura 6: Evoluci´on del PBI mensual, modelo 1e En las figuras 5 y 6 podemos observar la evoluci´on del PBI estimado mediante los otros dos modelos, que no utilizan el filtro de Kalman. Se observa que los resultados obtenidos est´an de acuerdo con los esperado y con los antes mencionado respecto de la similitud con las dem´as simulaciones.

22

A.

Algunos conceptos matem´ aticos utilizados

EL prop´osito de este ap´endice es el de introducir, de manera breve, algunos conceptos matem´aticos que fueron utilizados a lo largo del trabajo, de manera de que quede m´as claro su aplicaci´on y utilizaci´on en las diferentes situaciones de trabajo.

A.1.

M´ axima verosimilitud logar´ıtmica

En este ap´endice se introducir´a el concepto de la funci´on de m´axima verosimilitud logar´ıtmica. Como ya se adelant´o, para estimar las matrices de la representaci´on en variables de estado (ecuaciones 4 y 5) de cada modelo utilizado se maximizar´a la funci´on de m´axima verosimilitud logar´ıtmica. Vamos a introducir primero el concepto de m´axima verosimilitud. Es com´ un en los estudios probabil´ısticos, el intentar ajustar una serie de datos mediante una distribuci´on de probabilidad. Dicha aplicaci´on claramente tiene dos partes bien diferenciadas, la primera de ellas que consiste en determinar una distribuci´on que “mejor”se ajuste a los datos y una vez determinada una distribuci´on, se deber´a estimar los par´ametros15 de la misma. Para llevar a cabo esta segunda parte existen varios m´etodos, uno de los cuales es la estimaci´on por m´axima verosimilitud.16 La estimaci´on por el antedicho m´etodo comienza por el c´alculo anal´ıtico de la funci´on de m´axima verosimilitud, para la serie de datos. De manera informal, esta funci´on expresa la probabilidad de obtener esa serie de datos en particular dado que se eligi´o la distribuci´on general de los datos. La expresi´on contiene a los par´ametros desconocidos, y aquel grupo de los mismos que maximicen la funci´on de m´axima verosimilitud, ser´an los utilizados. El m´etodo en cuesti´on presenta una serie de ventajas y desventajas, algunas de las cuales cabe mencionar. Dentro de las ventajas podemos encontrar: El m´etodo es una aproximaci´on consistente para problemas de ajuste de par´ametros, lo que significa que puede ser utilizada para una gran variedad de situaciones. Tiene muchas propiedades matem´aticas y de optimalidad deseables, como ser que provee estimadores insesgados17 y de varianza m´ınima18 si se tiene una serie de datos suficientemente grande. Existen muchas herramientas estad´ısticas que proveen excelentes algoritmos para este tipo de estimaciones, para una gran cantidad de las distribuciones com´ unmente usadas, lo que ayuda a mitigar la complejidad anal´ıtica que com´ unmente tiene este tipo de m´etodos. Podemos citar el muy utilizado MATLAB, pero tambi´en otros programas m´as espec´ıficos como “dataplot”(http://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/). 15 Como ejemplo, en caso de ajustar una distribuci´on normal, se estimar´an la media y la varianza de la misma. 16 Podemos citar, dentro de los otros ejemplo que com´ unmente se utilizan la estimaci´on por el m´etodo de los momentos y por el m´etodo de los m´ınimos cuadrados. 17 Por insesgados nos referimos a que si se toman (un n´ umero grande de) variables aleatorias con reposici´on de una poblaci´on el promedio de las estimaciones de lo par´ametros ser´a te´oricamente igual al valor de la poblaci´on 18 Cuando decimos de varianza m´ınima nos referimos a que el estimador tiene la menor varianza y por lo tanto el menor intervalo de confianza de todos los estimadores de ese tipo.

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Lo u ´ltimo que se menciono tambi´en constituye una de las mayores desventajas del m´etodo, es decir, que com´ unmente la matem´atica involucrada no es para nada trivial, excepto para algunos casos particulares. Otro problema que puede ser de relevancia es que las estimaciones pueden ser fuertemente sesgadas si la cantidad de datos es poca. Veamos como es el proceso de obtener la funci´on de m´axima verosimilitud, para una variable aleatoria X, cuya funci´on de densidad es: f (x, θ1 , θ2 , . . . , θk ) donde θ1 , θ2 , . . . , θk son los par´ametros desconocidos que deben ser estimados a partir de un experimento de N observaciones independientes x1 , x2 , . . . , xN . La funci´on de verosimilitud, para la serie completa de datos ser´a: L(x1 , x2 , . . . , xN |θ1 , θ2 , . . . , θk ) = L =

N Y

f (xi , θ1 , θ2 , . . . , θk )

i=1

Una de las desventajas que se mencionaban antes, la de la complejidad en las cuentas, ser´a combatida mediante la introducci´on de la funci´on de verosimilitud logar´ıtmica: Λ = ln(L) =

N X

f (xi , θ1 , θ2 , . . . , θk )

i=1

Los estimadores θ1 , θ2 , . . . , θk se obtienen de maximizar L, o como en nuestro caso, Λ.

A.2.

Series integradas

En algunas de las partes del trabajo se trabajo sobre la integraci´on y la cointegraci´on de los datos, por lo que pasaremos a describir dichos conceptos.

Integraci´ on (ver [EngleGranger1987]) Si una serie de datos yt , sin componentes determin´ısticos puede ser representados por un proceso estacionario y invertible ARMA19 , luego de ser diferenciada d veces, entonces decimos que esta integrada de orden d, o lo que es lo mismo, yt ∼ I(d). Lo que se esta diciendo es que si tenemos una serie de datos, la cual no es estacionaria, si luego de derivarla d veces pasa a serlo, entonces dicha serie se considera integrada de orden d. Antes de pasar a la definici´on de series co-integradas, veamos algunas propiedades de las combinaciones lineales de procesos integrados. Si xt ∼ I(d) ⇒ a + bxt ∼ I(d) con d = 0, 1 Si xt ,yt ∼ I(d) ⇒ axt + byt ∼ I(d) con d = 0, 1 Si xt ∼ I(0), yt ∼ I(1) ⇒ axt + byt ∼ I(1). Se dice que yt es dominante. 19

Autoregresivo y de media m´ovil

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Co-Integraci´ on Sean dos procesos yt y xt , ambos I(1), si existe una combinaci´on lineal zt , de ´estos, zt = m + axt + byt de manera que zt sea I(0), entonces decimos que yt y xt est´an co-integrados. Se puede hacer una interpretaci´on geom´etrica del anterior concepto, introduciendo el concepto de atractor, que es un concepto de equilibrio a largo plazo entre dos procesos estoc´asticos. Si tenemos dos variables, las mismas estar´an cointegradas, si a pesar de diverger en el corto plazo, las dos converger´an a una misma regi´on denominada regi´on atractora. Intuitivamente podemos decir que dos series est´an cointegradas, si a pesar de ser ambas aleatorias, var´ıan aproximadamente juntas a medida que transcurre el tiempo20 Existen varios test que permiten decidir si dos variables aleatorias est´an cointegradas, ver [EngleGranger1987]. Veamos una definici´on alternativa de procesos integrados y cointegrados. Dado un proceso descrito por la siguiente ecuaci´on en diferencias, Xt = Φ Xt−1 + Zt decimos que Ptes un proceso integrado de orden 0, (Xt ∼ I(0)), si el mismo es estacionario, pero {St } = { τ =1 Xτ } no lo es. El proceso se denomina integrado de orden d, si ∆d Xt ∼ I(0). Decimos que el sistema est´a cointegrado, si Xt es I(1) y existe un vector b ∈ Rn no nulo tal que b0 Xt es estacionario.

A.3.

M´ınimos cuadrados generalizados

Consideremos una regresi´on lineal de la forma y = Xβ + u, el vector y constituye una serie de observaciones de una variables dependiente, X ∈ Mnxk es una matriz de variables independientes, β es un vector de dimensi´on k, cuyas entradas son los par´ametros a estimar, y u es un vector de p perturbaciones. Mediante el teorema de Gauss-Markov, si tenemos A1 E {u|X} = 0, es decir los errores tienen media condicional cero A2 E {uu0 } = σ 2 Ω, donde Ω ∈ Mnxn es la matriz identidad entonces el estimador de m´ınimos cuadrado βOLS = (X0 X)−1 X0 y con matriz de covarianza V (βOLS ) = σ 2 (X 0 X)−1 es: (1) el mejor estimador lineal insesgado de β y (2) un estimador consistente de β (i.e. cuando n → ∞, P (|βOLS − β| < ²) = 1∀² > 0). En el caso en que A2 no se cumpla, es decir que los errores no sean iid entre s´ı, y la matriz de covarianza no sea diagonal, si bien βOLS sigue siendo insesgado y consistente, deja de ser el mejor estimador. σ 2 (X 0 X)−1 pasa a ser un estimador sesgado e inconsistente de V (βOLS ). Asimismo, es com´ un que la suposici´on A2 no sea v´alida en la pr´actica, entre otros, en los casos en que se trabaja con series temporales de datos que com´ unmente tienen errores 20

Un ejemplo bastante elemental, pero u ´til a la hora de aclarar el concepto de co-integraci´on es el siguiente: Consideremos una persona paseando por un parque, sin ning´ un destino aparente (movimiento aleatorio), la cual lleva un perro sujeto a una correa cuya longitud var´ıa. Si bien los dos sujetos llevan una trayectoria aleatoria, vemos que no se separan uno del otro mucho, decimos que las trayectorias est´an cointegradas.

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correlacionados. De todas maneras, cuando A2 no es v´alida, se puede hallar un estimador de m´ınimos cuadrados generalizados, que si es el mejor estimador lineal e insesgado. El mismo es: ¡ ¢−1 0 0 βGLS = X0 Ω−1 X XΩy

Como se puede observar, el anterior estimador requiere el conocimiento de la matriz de covarianza de los errores, hecho que com´ unmente no ocurre en la pr´actica, por lo que se debe recurrir a estimaciones de la misma.

26

B.

Filtro de Kalman

En este ap´endice se describir´an los pasos del filtro de Kalman, el principal objetivo ser´a el de determinar un´ıvocamente la notaci´on utilizada en el desarrollo de la monograf´ıa para el filtro. Como ya se vio, la representaci´on en variables de estado ser´a de la forma: ξt+1 = F ξt + C0 xt+1 + R vt+1 yt+ = a0t x∗t + h0t ξt Los c´alculos en cada iteraci´on del filtro tendr´an los pasos de actualizaci´on y predicci´on en el para el tiempo t. En dicho tiempo t, asumimos conocidos los valores trimestrales hasta ah´ı y0+ , y1+ , . . . , yt+ . Por otro lado son conocidas las series relacionadas x y x∗ hasta el tiempo + t + 1, y las predicciones hasta el tiempo t − 1: ξˆt|t−1 , yˆt|t−1 . Tambi´en se conoce la matriz de error, Pt|t−1 . Paso de Actualizaci´ on ´ ¡ ¢−1 ³ + + yt − yˆt|t−1 ξˆt|t = ξˆt|t−1 + Pt|t−1 ht h0t Pt|t−1 ht {z } | Ganancia de Kalman

¡ ¢−1 0 Pt|t = Pt|t−1 − Pt|t−1 ht h0t Pt|t−1 ht ht Pt|t−1

Paso de Proyecci´ on ξˆt+1|t = F ξˆt|t + C 0 xt

yˆt+1|t = a0t+1 x∗t+1 + h0t+1 ξˆt+1|t Pt+1|t = F Pt|t F 0 + R Q R0

27

C.

Estimaciones del PBI - Valores num´ ericos

En la presente secci´on se presentan los valores obtenidos para el PBI mensual para cada uno de los modelos simulados, as´ı como los datos oficiales del PBI trimestral. Trimestre Mar-83 Jun-83 Sep-83 Dic-83 Mar-84 Jun-84 Sep-84 Dic-84 Mar-85 Jun-85 Sep-85 Dic-85 Mar-86 Jun-86 Sep-86 Dic-86 Mar-87 Jun-87 Sep-87 Dic-87 Mar-88 Jun-88 Sep-88 Dic-88 Mar-89 Jun-89 Sep-89

PBI 180066.573 180185.826 173980.711 200520.029 180988.101 175759.562 174530.124 196112.995 185042.825 174652.996 174346.987 204008.930 188913.242 192173.624 197422.323 224942.340 208633.942 210247.535 212622.743 235225.418 208081.025 210616.390 211340.780 236694.430 209892.000 214238.340 212970.657

Trimestre Dic-89 Mar-90 Jun-90 Sep-90 Dic-90 Mar-91 Jun-91 Sep-91 Dic-91 Mar-92 Jun-92 Sep-92 Dic-92 Mar-93 Jun-93 Sep-93 Dic-93 Mar-94 Jun-94 Sep-94 Dic-94 Mar-95 Jun-95 Sep-95 Dic-95 Mar-96 Jun-96

PBI 239229.795 212209.000 207643.402 218783.461 247638.041 212840.000 214274.473 221805.459 252108.711 220372.000 223632.956 231699.533 255212.745 237851.000 235345.421 248589.194 274539.830 244172.000 258691.292 264711.487 290208.780 261951.000 270062.080 258448.488 294764.004 258159.000 261887.569

Trimestre Sep-96 Dic-96 Mar-97 Jun-97 Sep-97 Dic-97 Mar-98 Jun-98 Sep-98 Dic-98 Mar-99 Jun-99 Sep-99 Dic-99 Mar-00 Jun-00 Sep-00 Dic-00 Mar-01 Jun-01 Sep-01 Dic-01 Mar-02 Jun-02 Sep-02 Dic-02

Cuadro 1: Valores oficiales del PBI trimestral

28

PBI 275203.886 308228.352 272559.000 290393.330 288411.738 324620.831 286317.000 290754.647 300517.471 333888.578 299311.000 301343.359 295246.283 329242.100 290791.000 281675.855 280603.485 314740.597 286600.000 277470.331 267982.636 298414.866 276898.000 284072.528 250720.668 280776.123

Resultados para el modelo 1a

Figura 7: Estimaciones del PBI mensual para el modelo 1a

29

Resultados para el modelo 1c

Figura 8: Estimaciones del PBI mensual para el modelo 1c

30

Resultados para el modelo 1d

Figura 9: Estimaciones del PBI mensual para el modelo 1d

31

Resultados para el modelo 1e

Figura 10: Estimaciones del PBI mensual para el modelo 1e

32

D.

Programas utilizados

Ac´a pondremos los c´odigos de los programas utilizados para las simulaciones de los modelos de la clase 1. %Funci{\’o}n para los modelo 1a y 1d. Ver la diferencia %en la definici{\’o}n de las matrices. %Toma como par{\’a}metros de entradas las dos constantes que %se hallan maximizando la funci{\’o}n de verosimilitud del sistema. function X=kalman1a(a,b) load datos.mat y=PBIT; ym=zeros(3*length(y),1); for i=1:length(y) ym(3*i)=y(i); end %Defino las condiciones iniciales xm(:,1)=mod1e(1:3); Pm=xm*xm’; %Defino las matrices del sistema T=length(ym); h1=[1;1;1]; h2=[0;0;0]; %Modelo 1a F=[1+a -a 0; 1 0 0; 0 1 0]; %Modelo 1d F=[a 0 0; 1 0 0; 0 1 0]; R=[1 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; Q=[b 0 0 0 b 0 0 0 b]; % Arrancamos la iteraci{\’o}n for i=1:length(ym) if (floor(i/3)==i/3) h=h1; else h=h2; end if h==0 K=[0;0;0]; else K=Pm*h*((h’*Pm*h)^(-1)); 33

end P(:,:,i)=(eye(3)-K*h’)*Pm; x(:,i)=xm(:,i)+K*(ym(i)-h’*xm(:,i)); %Se utilizan en el caso que se quiera maximizar la funci{\’o}n de %verosimilitud, junto al programa prueba.m %aux=h’*(F*P*F’+R*Q*R’)*h; %f=f+(1/2)*log(abs(aux)) + (1/2)*((y(i)-h’*F*x(:,i-1)).^2)./(aux); Pm=F*P(:,:,i)*F’+R*Q*R’; xm(:,i+1)=F*x(:,i); end X=x(1,:); Programa para hallar las constantes de la ecuaci´on de estado de Kalman, que lo hace maximizando la funci´on de verosimilitud.

clear all close all load datos.mat %Vamos a llamar a la funci{\’o}n fminsearch de MatLab, para minimizar %la funci{\’o}n fun, que es (-) la de m{\’a}xima verosimilitud. % El resultado ser{\’a}n los valores de \sigma^2 y \phi. pa=fminsearch(’fun1a’, [0.5 0.5]) pc=fminsearch(’fun1c’, [0.5 0.5]) % Luego implementamos el filtro de Kalman, con los valores reci{\’e}n hallados. %function X=kalman(a,b)

mod1a=kalman1a(pa(1),pa(2)); mod1c=kalman1c(pc(1),pc(2));

ind=1:length(mod1c);

disp(’Error cuadr{\’a}tico medio’) msea=(1/length(mod1e))*sqrt(sum((mod1a-mod1e’).^2)) msec=(1/length(mod1e))*sqrt(sum((mod1c-mod1e’).^2))

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