Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Col La Presentación 

ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN  Teoría Práctica  Los pasos a seguir para el estudio completo y representación de una Función son los siguientes:  1) Hallar el Dominio de la función. En dicho dominio sabemos que es continua.  ⎧⎪Par o respecto eje OX → Se ha de verificar:  f ( x ) = f ( − x ) 2) Simetrías ⎨   ⎪⎩Impar o respecto  ( 0 ,0 ) → Se ha de verificar:  − f ( x ) = f ( − x )

⎪⎧Con el eje OX   → y = 0, es decir,  f ( x ) = 0   3) Puntos de corte con los ejes ⎨ ⎪⎩Con el eje OY   → x = 0, es decir,  y = f ( 0 ) Periodicidad: Diremos que una función   es periódica de período   si se cumple que 

. 

Signo  de  la  función:  Para  saber  si  está  por  encima  o  por  debajo  del  eje  OX .  Se  estudia  el  signo  de  la  función  exactamente igual que cuando resolvemos una inecuación.  4) Asíntotas, primero las verticales y después se pasa al estudio de las no verticales  Asíntotas Verticales 

Asíntotas Horizontales

Asíntotas Oblicuas

Si lim f ( x ) = c ⇒ y = c es AH  

f ( x ) = ±∞ ⎧ lim ⎪ x →∞ f ( x) ⎪ ∃   Existe la A. O. y = m x + n si ⎨m = lim x →∞ x ⎪ ⎪n = lim f ( x) − m x ∃ x →∞ ⎩

Si lim f ( x ) = ±∞ ⇒ x = k es AV   x →k

x →±∞

Generalmente  saldrá  sólo  un  valor  Generalmente  la  asíntota  vertical,  para  c,  pero  habrá  algunos  casos  en  será  aquel  valor  que  no  está  en  el  Puede  no  existir  la  A.  O.,  pero  si  existe  es  porque  los  los que haya que estudiar el límite en  dominio o aquél que nos quiten de la  límites, de la celdilla anterior, los hemos podido calcular.  ∞    y  en  ∞  por  separado,  porque  definición de la función  podrán salir valores distintos.

Posición Relativa A. V.  lim ∞  lim

Posición Relativa A. H. 0   lim

∞ 

Se trata de saber por dónde queda la  0 gráfica de la función a la izquierda y a  0 la derecha de la recta imaginaria (AV) 

lim

Posición Relativa A. O.  lim lim

0  

  gráfica encima de la asíntota.    gráfica debajo de la asíntota. 

0 0

0   0  

 la gráfica está por encima de la asíntota.   la gráfica está por debajo de la asíntota. 

Nota: Las AH y AO pueden ser diferentes en el  −∞ y   + ∞ .Así, se recomienda asegurarse de que los límites necesarios  para el cálculo de dichas asíntotas se realicen en el  −∞ y   + ∞ . 

5) Monotonía. Máximos y Mínimos.  f '( x ) > 0 ∀x ∈ ( a,b ) → Creciente en  ( a,b ) f '( x ) < 0 ∀x ∈ ( a,b ) → Decreciente en  ( a,b )

 

f '( x0 ) = 0 ⎫ ⎧ f ''( x0 ) > 0 → Mínimo en x = x0 ⎬→⎨ Ext Rel, P Crítico en x = x0 ⎭ ⎩ f ''( x0 ) < 0 → Máximo en x = x0

6) Curvatura. Puntos de Inflexión.  f ''( x ) > 0 ∀x ∈ ( a,b ) → Convexa  en  ( a,b ) f ''( x ) < 0 ∀x ∈ ( a,b ) → Cóncava  en  ( a,b )   f ''( x0 ) = 0 → Punto de Inflexión

    

Página 1

   

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Ejemplo 1.‐ Realiza el estudio completo de la función  f ( x ) =

ln x + 1 x

Col La Presentación 

 y esboza su gráfica. 

Dominio  Simetrías  Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función  Asíntotas  Monotonía. Máximos y mínimos  Curvatura. Puntos de Inflexión    Se trata de un función que tiene un valor absoluto, por lo tanto vamos a descomponerla y luego la estudiamos. 

1) 2) 3) 4) 5) 6)

ln ( − x ) + 1 ⎧ ln ( − x ) + 1 ⎧ si x < 0 f1 ( x ) = si x < 0 ⎪ ⎪ ln x + 1 ⎪ ⎪ x x   f(x)= A partir de ahora llamaré  ⎨ =⎨ x ⎪ ln ( x ) + 1 si x ≥ 0 ⎪ f ( x ) = ln ( x ) + 1 si x ≥ 0 ⎪⎩ 2 x x ⎩⎪ 1) Dominio  Para calcular el dominio estudiamos el dominio de cada trozo y en particular para cada función sus elementos que nos  puedan dar problemas, en este caso, por ejemplo, el hecho de que lleve un logaritmo y sea racional.  ⎛ ln ( − x ) + 1 ⎞ Por ser racional  Dom ⎜ ⎟= x ⎝ ⎠

− {0} ;  Por llevar un logaritmo Dom ( ln ( − x ) ) = ( −∞ , 0 ) ;  Y por estar definida en  

x < 0 ≡ ( −∞ , 0 ) . Nos sale que haciendo la intersección de todo eso: Dom( f1 ) =

⎛ ln ( x ) + 1 ⎞ Por  ser  racional  Dom ⎜ ⎟= x ⎝ ⎠

− {0} ∩ ( −∞ , 0 ) ∩ ( −∞ ,0 ) = ( −∞ ,0 ) . 

− {0} ;    Por  llevar  un  logaritmo Dom ( ln ( x ) ) = ( 0, +∞ ) ;    Y  por  estar  definida  en  

x ≥ 0 ≡ [ 0 , +∞ ) . Nos sale que haciendo la intersección de todo eso: Dom( f 2 ) =

Luego el                                    Dom( f ) = Dom( f1 ) ∪ Dom( f 2 ) = ( −∞ , 0 ) ∪ ( 0 , +∞ ) =

− {0} ∩ ( 0 , +∞ ) ∩ [ 0 , +∞ ) = ( 0 , +∞ ) . 

− {0}  

2) Simetrías   En  una  función  valor  absoluto  podemos  estudiar  la  simetría  en  la  función  descompuesta  o  en  la  no  descompuesta.  Hagámoslo  en  la  no descompuesta que  es    mucho  más  rápido. Al  terminar  también  tenéis  la  simetría  estudiada  en  la  descompuesta.  ⎫ ⎪ x ⎪ ln − x + 1 ln x + 1 − ln x − 1 ⎪⎪ f ( −x ) = = = ⎬ Tenemos f ( x ) = − f ( − x ) luego hay simetría respecto del origen   x −x −x ⎪ − ln − x − 1 − ln x − 1 ln x + 1 ⎪ − f ( −x ) = = = ⎪ x ⎪⎭ −x −x ***** Fijaos que para estudiar la simetría no hace falta estudiarla en la función descompuesta, así que ya sabéis. Para  estudiar la simetría cuando aparezcan valores absolutos no hay por qué estudiarla  en la descompuesta. Tan sólo tener  en cuenta que un menos dentro de un valor absoluto no sirve para nada.  Ahora bien si alguien quiere ver como también sale con la función descompuesta que lea estas líneas si no, pues que  pase al punto siguiente  f(x)=

ln x + 1

⎧ ln ( − x ) + 1 si x < 0 ln x + 1 ⎪⎪ x   f(x)= =⎨ x ⎪ ln ( x ) + 1 si x ≥ 0 x ⎩⎪

    

Página 2

   

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

⎧ ⎪ ln ⎪ f ( −x ) = ⎪ ⎪ ⎪ f ( −x )⎨ ⎪ ⎪ ln ⎪ f ( −x ) = ⎪ ⎪⎩

−x +1 −x

⎧ ln ( x ) + 1 ⎪ ⎪ −x =⎨ ⎪ ln ( − x ) + 1 ⎪⎩ −x

⎧ − ln ( x ) − 1 ⎪ ⎪ x =⎨ ln − (−x) −1 si − x ≥ 0 ⎪⎪ x ⎩

si − x < 0

⎧ − ln ( − x ) − 1 − x + 1 ln x + 1 − ln x − 1 ⎪⎪ x = = =⎨ x −x −x ln x − ( ) −1 ⎪ ⎪⎩ x

⎧ − ln ( − x ) − 1 ⎪ ⎪ x =⎨ ln x − ( ) −1 si x ≤ 0 ⎪⎪ x ⎩

si x > 0

Col La Presentación 

si x ≤ 0 si x > 0

 

si x < 0 si x ≥ 0

⎧ ⎧ ln ( x ) + 1 ⎧ ln ( x ) + 1 si − x < 0 ⎪ ⎪ ⎪ ln − x + 1 ⎪ ⎪ x x ⎪− f ( − x ) = =⎨ =⎨ ⎪ x ⎪ ln ( − x ) + 1 si − x ≥ 0 ⎪ ln ( − x ) + 1 ⎪ x x ⎪ ⎩⎪ ⎩⎪ − f ( −x )⎨ ⎧ ln ( − x ) + 1 ⎪ si x < 0 ⎪ ln − x + 1 ln x + 1 ⎪⎪ x = =⎨ ⎪− f ( − x ) = x x ⎪ ⎪ ln ( x ) + 1 si x ≥ 0 ⎪⎩ ⎪⎩ x   3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función 

⎧ ln ( − x ) + 1 ⎪ ⎪ x =⎨ ln ( x ) + 1 si x ≤ 0 ⎪⎪ x ⎩

si x > 0

si x ≤ 0 si x > 0

 

ln ( − x ) + 1 ⎧ = 0 ⇔ ln ( − x ) + 1 = 0 ⇔ ln ( − x ) = −1 ⇔ − x = e−1 ⇔ x1 = − e −1 ⎪ f1 ( x ) → y = 0 ⇔ f1 ( x ) = 0 ⇔ ⎪ x   OX ⎨ ⎪ f ( x ) → y = 0 ⇔ f ( x ) = 0 ⇔ ln ( x ) + 1 = 0 ⇔ ln x + 1 = 0 ⇔ ln x = −1 ⇔ x = e−1 ⇔ x = e −1 ( ) ( ) 2 2 ⎪⎩ 2 x ⎧ f1 ( x ) → x = 0 ⇔ y = f1 ( 0 )No Existe →  porque recordar que x = 0 está en el otro trozo ⎪ OY ⎨ ln ( 0 ) + 1  No se puede hacer porque recordar que el Dom( f ) = ⎪ f2 ( x ) → x = 0 ⇔ y = f2 ( 0 ) ⇔ y = 0 ⎩

− {0}  

 

Luego los puntos de corte con los ejes son:   ( −e −1 ,0 ) , ( e −1 , 0 )  

Periodicidad: no hay funciones trigonométricas, luego no tiene.  Signo de la función:  Los  puntos  de  corte  con  el  eje  de  abscisas  son  dos  los  tenemos  ahí  arriba  así  que  hacemos  la  tablita  de  los  signos  poniendo los puntos de corte y los valores que no están en el dominio y vemos que signo tiene la función. Ojo, que los  valores que utilicemos en la tabla deberán sustituirse en el trozo adecuado.   0          −e −1 ≈ −0.36   e −1 ≈ 0.36             4) Asíntotas  Asíntotas Verticales:  El  valor  que  no  pertenece  al  dominio  es  nuestro  candidato,  así  que  vamos  a  estudiar  el  límite  correspondiente  para  calcular la asíntota vertical y su posición relativa a la gráfica de la función.  Si lim x →0

ln x + 1 x

=

−∞ + 1 = −∞ ⇒ x = 0 es AV 0  

⎧ ln ⎪ xlim − ⎪ →0 Posición Relativa: ⎨ ⎪ lim ln ⎪⎩ x → 0+

    

x +1

−∞ + 1 = +∞ → A la izquierda de x = 0  la función sube hacia arriba 0− x   x + 1 −∞ + 1 = = −∞ → A la derecha de x = 0 la función baja hacia abajo + 0 x =

Página 3

   

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Col La Presentación 

Asíntotas No Verticales:  Veamos el límite en más infinito y en menos infinito, para ver si hay asíntotas horizontales u oblicuas.  1 ⎫ ⎪ 1 ⎡ +∞ ⎤ x = lim =⎢ = lim − = 0 ⎪ lim I ⎥ L` H = lim x →−∞ x →+∞ x →+∞ −1 x →+∞ −x −∞ x x ⎣ ⎦ ⎪ ⎬ ⇒ y = 0 es AH 1   ⎪ ln ( x ) + 1 ln ( x ) + 1 ⎡ ∞ ⎤ 1 ⎪ lim = lim = ⎢ I ⎥ L` H = lim x = lim = 0 ⎪ x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 x →+∞ x x x ⎣∞ ⎦ ⎭ Posición relativa  ln ( − x ) + 1

ln ( x ) + 1

1 ⎧A la izquierda, la gráfica está 1 ⎡ +∞ ⎤ lim − 0 = lim =⎢ I ⎥ L` H = lim x = lim − = 0− → ⎨ x →−∞ x →+∞ x →+∞ −1 x →+∞ x −x x ⎣ −∞ ⎦ ⎩por debajo de la asíntota 1 ln ( x ) + 1 ln ( x ) + 1 ⎡ ∞ ⎤ ⎧A la derecha, la gráfica está  1 lim − 0 = lim = ⎢ I ⎥ L` H = lim x = lim = 0+ → ⎨ x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 x →+∞ x x x ∞   ⎣ ⎦ ⎩por encima de la asíntota ln ( − x ) + 1

ln ( x ) + 1

Observación este límite se podría haber calculado directamente por la escala de infinitos. Conclusión: L’H no va a fallar  nunca, pero algunos límites se pueden ver mucho más rápidos y directos, con las técnicas que aprendimos en su día.  5) Monotonía. Máximos y mínimos  Calculemos  f '( x ):  ⎧ −1 ⎪ − x ⋅ x − ( ln ( − x ) + 1) ⋅1 1 − ln ( − x ) − 1 − ln ( − x ) ⎧ ln ( − x ) + 1 = = si x < 0 si x < 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x x2 x2 x2 ⇒ f '( x ) = ⎨ f(x)= ⎨   ⎪ ln ( x ) + 1 si x ≥ 0 ⎪ 1 ⋅ x − ( ln ( x ) + 1) ⋅1 1 − ln ( x ) − 1 − ln ( x ) ⎪⎩ ⎪x x = = si x > 0 ⎪⎩ x2 x2 x2 Ahora faltaría por hallar f '( 0 ) pero resulta que como la función no exite en cero, su derivada va a existir aun menos.

Ahora vamos a hacer  f '( x ) = 0 , para hallar los puntos críticos o extremos relativos. Esto al ser una función a trozos hay  que hacerlo con todos y cada uno de los trozos que tenga la derivada.  − ln ( − x ) 2

x − ln ( x )

= 0 ⇔ − ln ( − x ) = 0 ⇔ ln ( − x ) = 0 ⇔ − x = e0 ⇔ x1 = −1

 

= 0 ⇔ − ln ( x ) = 0 ⇔ ln ( x ) = 0 ⇔ x = e ⇔ x2 = 1 x2 Ahora hacemos nuestra tablita de monotonía, en la que colocamos los puntos críticos y los valores que no están en el  dominio:  0           −1 1  f '( x )                   f( x)  0

  Mín  Entonces se nos queda la función de la siguiente manera: 

 

Máx 

Decreciente en  ( −∞ , −1) ∪ (1, +∞ ) Creciente en  ( −1, 0 ) ∪ ( 0 ,1) "Recordar que el cero no se incluye por que no está en el dominio" Podemos asegurar la existencia de un máximo y un mínimo según la tabla puesto que la función existe en  ± 1   Así pues quedarían: 

    

⎪⎧Mínimo = ( −1, f ( −1 )) = ( −1, −1) ⎨ ⎪⎩Máximo = (1, f ( 1 )) = (1,1)

Página 4

   

 

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Col La Presentación 

  6) Curvatura. Puntos de Inflexión  Calculemos  f ''( x ):  ⎧ −1 2 ⎪ − − x ⋅ x − ( − ln ( − x ) ) ⋅ 2 x − x + 2 x ln ( − x ) −1 + 2 ln ( − x ) ⎧ − ln ( − x ) < = = si x si x < 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ x2 ⎪ x4 x4 x3 ⇒ f ''( x ) = ⎨ f '( x ) = ⎨   ⎪ − ln ( x ) si x > 0 ⎪ − 1 ⋅ x 2 − ( − ln ( x ) ) ⋅ 2 x − x + 2 x ln ( x ) −1 + 2 ln ( x ) ⎪⎩ x 2 ⎪ x si x > 0 = = 4 ⎪⎩ x x4 x3 Ahora faltaría por hallar f ''( 0 ) pero resulta que como la función no exite en cero, igual que antes.

Ahora vamos a hacer  f ''( x ) = 0 , para hallar los puntos de inflexión. Esto al ser una función a trozos hay que hacerlo con  todos y cada uno de los trozos que tenga la segunda derivada.  −1 + 2 ln ( − x ) x3 −1 + 2 ln ( x )

= 0 ⇔ −1 + 2 ln ( − x ) = 0 ⇔ ln ( − x ) =

1 1 ⇔ − x = e 2 ⇔ x1 = −e0' 5 2

  1 1 0' 5 2 = 0 ⇔ −1 + 2 ln ( x ) = 0 ⇔ ln ( x ) = ⇔ x = e ⇔ x2 = e x3 2 Ahora  hacemos  nuestra  tablita  de  curvatura,  en  la  que  colocamos  los  puntos  críticos  y  los  valores  que  no  están  en  el  dominio:    0          −e0' 5 ≈ −1' 64   e0' 5 ≈ 1' 64   f ''( x )            

f( x) 

 

 

  P I  Entonces se nos queda la función de la siguiente manera: 

 

 

PI 

 

Convexa en  ( −e0' 5 , 0 ) ∪ ( e0' 5 , +∞ ) Concava en  ( −∞ , −e0' 5 ) ∪ ( 0,e0' 5 )

Podemos asegurar la existencia de los puntos de inflexión según la tabla puesto que la función existe en  ± e0' 5 = ± e

Así pues quedarían: 

 

⎧ 0' 5 3 ⎞ ⎛ 0' 5 0' 5 ⎪( −e , f ( −e )) = ⎜ −e , − ⎟ 2 e⎠ ⎪ ⎝ Puntos de inflexión ⎨ ⎪ e 0' 5 , f ( e 0' 5 ) = ⎛ e 0' 5 , 3 ⎞ ) ⎜ 2 e⎟ ⎪( ⎝ ⎠ ⎩ 3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

-1

-2

-3

    

Página 5

 

   

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Ejemplo 2.‐ Realiza el estudio completo de la función  f ( x ) =

1) 2) 3) 4) 5) 6)   1)

sen ( 2 x ) 1 + sen x

Col La Presentación 

 y esboza su gráfica. 

Dominio  Simetrías  Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función  Asíntotas  Monotonía. Máximos y mínimos  Curvatura. Puntos de Inflexión  Dominio  Para calcular el dominio de esta función, como no nos aparece ningún valor absoluto, no es función a trozos y el seno es  una función continua en todo  , tan sólo hemos de tener en cuenta que se trata de una función racional.   Dom( f ) =

− {x ∈

/ 1 + sen x = 0}

⎧ x = 270º +360º ⋅k , k ∈ (La solución al principio podemos sacarla en grados) ⎪ 1 + sen x = 0 ⇔ sen x = −1 ⇔ ⎨ 3π (Pero la solución hay que darla en radianes que si son números reales) ⎪⎩ x = 2 + 2π ⋅ k , k ∈ Luego el dominio finalmente sería: Dom( f ) =

⎧ 3π ⎫ − ⎨ + 2π ⋅ k , k ∈ ⎬ = ⎩2 ⎭

⎧π ⎫ − ⎨ ⋅ ( 4k + 3 ) , k ∈ ⎬ ⎩2 ⎭

  2) Simetrías   En  una  función  valor  absoluto  podemos  estudiar  la  simetría  en  la  función  descompuesta  o  en  la  no  descompuesta.  Hagámoslo  en  la  no descompuesta que  es    mucho  más  rápido. Al  terminar  también  tenéis  la  simetría  estudiada  en  la  descompuesta.  sen ( 2 x )

⎫ ⎪ 1 + sen x ⎪ sen ( −2 x ) − sen ( 2 x ) ⎪⎪ f ( −x ) = = ⎬  luego NO hay SIMETRÍA de ningún tipo.   1 + sen ( − x ) 1 − sen x ⎪ ⎪ sen ( 2 x ) ⎪ − f ( −x ) = ⎪⎭ 1 − sen x f(x)=

El cambio que he hecho con  sen ( − x ) = − sen ( x )  es porque para el seno de un ángulo y su negativo se tiene que son  números iguales y de distinto signo          3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función 

⎧ sen ( 2 x ) sen ( 2 x ) 1 →y =0 ⇔ f(x)= 0 ⇔ = 0 ⇔ sen ( 2 x ) = 0 ⇔ 2 x = arcsen 0 ⇔ x = arcsen 0 ⇔ ⎪f(x)= + + 1 1 2 sen x sen x ⎪ OX ⎨ ⎪⇔ x = 1 ⋅ ⎪⎧0º , 180º  y sus equvalentes dando más vueltas ⎫ → x = ⎧ 1 ⋅ kπ , k ∈ ⎫ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ 2 ⎩⎪0, π , 2π , 3π ,..., es decir, kπ , k ∈   ⎩2 ⎭ ⎭ ⎩ ⎧⎛ 1 ⎫ ⎞ Luego sus respectivos puntos de corte, que en este caso son infinitos, son: ⇒ ⎨⎜ ⋅ kπ , 0 ⎟ , k ∈ ⎬ ⎠ ⎩⎝ 2 ⎭ Esos serán los puntos de corte siempre y cuando se encuentren en el dominio. Veamos esto con más detalle:

    

Página 6

   

 

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Col La Presentación 

⎛ −3π ⎞ ⎛ −2π ⎞ ⎛ −π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 3π ⎞ Los PC son: ...,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ , ( 0 , 0 ) ,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,...Sin embargo resulta que según el dominio 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ −4π ⎞ ⎛ −3π ⎞ ⎛ −2π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 4π ⎞ serían ...,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ , ( 0 , 0 ) ,⎜ , 0 ⎟ , ⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,...Pero claro, cómo expresamos esto de forma que ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ esté bien, pues es complicado pero una forma es a los puntos de corte quitarles los que no están en el dominio, veámoslo:

π ⎧⎛ π ⎫ ⎧1 ⎫ ⎧π ⎫ π ⎞ ⎨ ⋅ kπ ⎬ − ⎨ ⋅ ( 4k + 3) ⎬ = ⋅ ( k − ( 4k + 3) ) = ⋅ ( −3k − 3) ⇒ los puntos de corte son ⎨⎜ ⋅ ( −3k − 3) , 0 ⎟ , k ∈ ⎬ 2 2 2 2 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎠ ⎩⎝ ⎭   ⎧⎪ sen ( 2 x ) sen ( 0 ) 0 OY ⎨ f ( x ) = →x = 0 ⇔ y = f(0)⇔ y = ⇔ y= ⇔ y=0 1 + sen x 1 + sen 0 1+ 0   ⎪⎩ Luego el único punto de corte con el eje de ordenadas es:  ( 0 , 0 )

Luego los puntos de corte con los ejes son:   ⎧⎛ π ⎫ ⎧ ⎛ −4π ⎞ ⎛ −3π ⎞ ⎛ −2π ⎞ ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 4π ⎞ ⎫ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ , ( 0 , 0 ) , ⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ,...⎬   ⎨⎜ ⋅ ( −3k − 3) , 0 ⎟ , k ∈ ⎬ = ⎨...,⎜ ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎭ ⎩⎝ 2 ⎭ ⎩ ⎝ 2 Periodicidad:   De todas las razones trigonométricas que hay, como todas son seno, y sabemos que el seno repite gráfica y propiedades  cada  2π , vamos a quedarnos con la RT que más grande tenga la expresión que la acompaña. En este caso sería:   El periodo positivo más pequeño es 2π . Hemos de comprobar que f ( x + 2π ) = f ( x ) f ( x + 2π ) =

sen 2 ( x + 2π )

1 + sen ( x + 2π )

=

sen 2 ( x + 2π )

1 + sen ( x + 2π )

=

sen 2 ( x )

1 + sen ( x )

= f(x)

El truco para sacar el período es ir de menos a más. Primero sacamos el período más pequeño con esta    2π técnica: Si sen x es 2π ‐periódica ⇒ sen ( nx ) es ‐periódica n Si no nos sale con ese período probamos con  2π .

Signo de la función:  Como se trata de una función trigonométrica ésta repite periódicamente su gráfica y propiedades así que para estudiarla  a  partir  de  ahora  vamos  a  restringirnos  al  intervalo  donde  tenga  sentido  la  función  y  que  esté  centrado  en  0.  Esto  lo  vamos a hacer para signo, monotonía, curvatura y casi asíntotas. Veamos esto antes de pasar a hacer lo restante.  ⎧ 3π ⎫ ⎧π ⎫ ⎧ −9π −5π −π 3π 7π 11π 15π ⎫ − ⎨ + 2π ⋅ k , k ∈ ⎬ = − ⎨ ⋅ ( 4k + 3) , k ∈ ⎬ = − ⎨..., , , , , , , ,...⎬ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Ese conjunto de valores que no están en el dominio salen dándole valores enteros a k. Bien, por tanto a partir de ahora  Dom( f ) =

⎡ −π 3π ⎞ vamos a considerar sólo la función en el intervalo  ⎢ , ⎟ , puesto que todas las propiedades se van a repetir a lo largo ⎣ 2 2 ⎠ ⎡ −π 3π ⎞ de la recta real. En  ⎢ , ⎟  se encuentran los siguientes puntos de corte, para ello miremos arriba (en amarillo). ⎣ 2 2 ⎠ ⎧ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎫ Los  puntos  de  corte  con  el  eje  de  abscisas  son  ⎨( 0, 0 ) ,⎜ , 0 ⎟ ,⎜ , 0 ⎟ ⎬ ,  así  que  hacemos  la  tablita  de  los  signos  ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭ ⎩

⎡ −π 3π ⎞ , ⎟ .   poniendo los puntos de corte en  ⎢ ⎣ 2 2 ⎠ π π    0          2          Hay que tener claro que esta tabla de signos se va a repetir en los  distintos intervalos restantes de longitud  2π    

    

Página 7

   

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Col La Presentación 

4) Asíntotas  Asíntotas Verticales:  El  valor  que  no  pertenece  al  dominio  es  nuestro  candidato,  así  que  vamos  a  estudiar  el  límite  correspondiente  para  −π 3π   nuestros  límites  en  los  ,x= 2 2 cuales hemos dejado de estudiar por que la función al ser periódica se repite en intervalos de longitud  2π . 

calcular  la  asíntota  vertical  y  su  posición  relativa  a  la  gráfica  de  la  función  en  x =

Si lim

−π x→ 2

Si lim

3π x→ 2

sen ( 2 x )

2 cos ( 2 x ) −2 −π ⎡0 ⎤ = ⎢ I ⎥ L' H = lim = = −∞ ⇒ x = es AV − π 1 + sen x ⎣ 0 ⎦ cos x 0 2 x→ 2 sen ( 2 x )

  2 cos ( 2 x ) −2 3π ⎡0 ⎤ = ⎢ I ⎥ L' H = lim = = −∞ ⇒ x = es AV π 3 1 + sen x ⎣ 0 ⎦ cos x 0 2 x→ 2

sen ( 2 x ) ⎡ 0 ⎤ 2 cos ( 2 x ) ⎧ = ⎢ I ⎥ L' H = lim − = ⎪ lim − −π cos x x→ ⎪⎪ x → −2π 1 + sen x ⎣ 0 ⎦ 2 P R: ⎨ sen x 2 2 cos ( 2 x ) ( ) ⎡0 ⎤ ⎪ lim = + ⎪ −π + 1 + sen x = ⎢⎣ 0 I ⎥⎦ L' H = lim −π cos x x→ x→ ⎩⎪ 2 2 Y sale exactamente igual para la AV x =

−2 −π = +∞ → A la izquierda de x =  la función sube hacia arriba − 0 2 −2 −π  la función baja hacia abajo = −∞ → A la derecha de x = 2 0+

 

3π 2  

Asíntotas No Verticales:  Veamos el límite en más infinito y en menos infinito, para ver si hay asíntotas horizontales u oblicuas.  sen ( 2 x )

⎫⎪ = No existe por ser periódica y no estabilizarse ⎬ ⇒ y = 0 es AH x →±∞ 1 + sen x   ⎪⎭   5) Monotonía. Máximos y mínimos  Calculemos  f '( x ):  lim

f(x)=

sen ( 2 x ) 1 + sen x

⇒ f '( x ) =

2 cos ( 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen ( 2 x ) ⋅ cos x  

(1 + sen x )

2

Ahora vamos a hacer  f '( x ) = 0 , para hallar los puntos críticos o extremos relativos. Esto al ser una función a trozos hay  que hacerlo con todos y cada uno de los trozos que tenga la derivada.  2 cos ( 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen ( 2 x ) ⋅ cos x

= 0 ⇔ 2 cos ( 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen ( 2 x ) ⋅ cos x = 0 ⇔ 2 (1 + sen x ) ⇔ 2 ( cos 2 x − sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − ( 2 sen x ⋅ cos x ) ⋅ cos x = 0 ⇔ 2 ⎡⎣(1 − 2 sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen x ⋅ cos 2 x ⎤⎦ = 0 ⇔ ⇔ (1 − 2 sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − 2 sen x ⋅ cos 2 x = 0 ⇔ (1 − 2 sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen x ⋅ (1 − sen 2 x ) = 0 ⇔

⎧ ⎪t = − 1 ⎪ ⎪ −1 + 5 2 3 3 2 3 2 3 ⇔ 1 − 2 sen x + sen x − 2 sen x − sen x + sen x = 0 ⇔ 1 − 2 sen x − sen x = 0 ⇔ [t = sen x ] ⇔ 1 − 2t − t = 0 ⇔ ⎨t = 2 ⎪ ⎪ −1 − 5 ⎪t = 2 ⎩

   

    

Página 8

   

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Col La Presentación 

⎧ ⎧No vale por que nos da lugar a valores de x que no ⎫ ⎪t = −1  ⎨ ⎪ ⎩están en el dominio de la función. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − + −1 + 5 1 5 ⎪ ⎪ ⎪⎧ −1 + 5 = ≈ ≈ 0.618 ⇔ sen x = t . 0 618 ⇔ ⎨ ⎬ ⇒ ⎨t = 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪ −1 − 5 ⎪ ≈ −1.618 {No vale su seno es menor que  − 1 ⎪ ⎪t = 2 ⎪⎩ ⎪⎭ ⇔ x = arcsen

⎧0.6662394325...radianes −1 + 5   [Calculando la solución en radianes nos da] = ⎨ 2 ⎩π rad − 0.6662394325...rad = 2.475353221...rad

⎧α = 0.6662394325...rad Con estas soluciones, en radianes, es un coñazo trabajar, así que las voy a llamar  ⎨ ⎩ β = 2.475353221...rad ⎡ −π 3π ⎞ Ahora  hacemos  nuestra  tablita  de  monotonía  en  ⎢ , ⎟ ,  en  la  que  colocamos  los  puntos  críticos.  No  hacemos  la  ⎣ 2 2 ⎠ tablita en más intervalos por que todos son lo mismo. Les pasa como a la gráfica de la función tangente.    −π 3π β  α                2 2 f '( x )          

 

 

 

f( x) 

  Máx  Entonces se nos queda la función de la siguiente manera: 

 

Mín  

   

⎡ −π 3π ⎞ , ⎟ Restringiéndonos al  ⎢ ⎣ 2 2 ⎠ ⎛ −π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ,α ⎟ ∪ ⎜ β , ⎟ Decreciente en  ⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ Creciente en  (α , β )

 

Podemos asegurar la existencia de un máximo y un mínimo según la tabla puesto que la función existe en α  y β Así pues quedarían: 

⎪⎧Mínimo = ( β , f ( β )) = ( 2.475, −0.6005 ) ⎨ ⎪⎩Máximo = (α , f ( α )) = ( 0.666,0.6005 )

  6) Curvatura. Puntos de Inflexión  Calculemos  f ''( x ), para ello simplifiquemos previamente la función derivada:  f '( x ) =

2 cos ( 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen ( 2 x ) ⋅ cos x

=

2 ( cos 2 x − sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − ( 2 sen x ⋅ cos x ) ⋅ cos x

=

(1 + sen x ) (1 + sen x ) 2 ⎡(1 − 2sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen x ⋅ cos 2 x ⎤⎦ 2 ⎡⎣(1 − 2sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen x ⋅ (1 − sen 2 x ) ⎤⎦ = ⎣ = = 2 2 (1 + sen x ) (1 + sen x ) 2 ⎡⎣(1 − 2sen 2 x ) ⋅ (1 + sen x ) − sen x ⋅ (1 − senx )(1 + senx ) ⎤⎦ 2 (1 + senx ) ⎡⎣(1 − 2sen 2 x ) − sen x ⋅ (1 − senx ) ⎤⎦ = = = 2 2 (1 + sen x ) (1 + sen x ) 2 ⎡(1 − 2sen 2 x ) − sen x ⋅ (1 − senx ) ⎤⎦ 2 ⎡⎣(1 − 2sen 2 x ) − sen x + sen 2 x ⎤⎦ 2 ⎡⎣1 − sen x − sen 2 x ⎤⎦   = ⎣ = = (1 + sen x ) (1 + sen x ) (1 + sen x )

    

2

2

Página 9

   

Matemáticas II 

f ''( x ) = = = =

Estudio y Representación de Funciones  2

(1 + sen x )

⋅ ⎡⎣ − cos x − 2 sen x ⋅ cos x − sen x ⋅ cos x − 2 sen 2 x ⋅ cos x − ( cos x − sen x ⋅ cos x − sen 2 x ⋅ cos x ) ⎤⎦ =

2

⋅ ⎡⎣ −1 − 2 sen x − sen x − 2 sen 2 x − (1 − sen x − sen 2 x ) ⎤⎦ =

2

⋅ ⎡⎣ −2 − 2 sen x − sen 2 x ⎤⎦

2 ⋅ cos x

(1 + sen x ) 2 ⋅ cos x

(1 + sen x )

⋅ ⎡⎣( − cos x − 2 sen x ⋅ cos x ) ⋅ (1 + sen x ) − (1 − sen x − sen 2 x ) ⋅ cos x ⎤⎦ =

2

2

(1 + sen x )

2

Col La Presentación 

⇒ f ''( x ) =

2 ⋅ cos x ⋅ ⎡⎣ −2 − 2 sen x − sen 2 x ⎤⎦

(1 + sen x )

 

2

Ahora vamos a hacer  f ''( x ) = 0 , para hallar los puntos de inflexión.  ⎧ π ⎧ ⎪ ⎪⎪ x = 2 2 ⋅ cos x ⋅ ⎡⎣ −2 − 2 sen x − sen x ⎤⎦ ⎪⎪cos x = 0 ⇔ ⎨ =0⇔⎨ ⎪ x = 3π  Esta no vale porque no está en el dominio 2 1 + sen x ) ( ⎪ ⎪⎩ 2     ⎪ 2 2 ⎪⎩−2 − 2 sen x − sen x = 0 → −2 − 2t − t = 0 No tiene soluciones reales. 2

π ⎡ −π 3π ⎞ , ⎟  es x = Luego el único punto de inflexión que nos sale en  ⎢ 2 2 2 ⎣ ⎠ Ahora  hacemos  nuestra  tablita  de  curvatura,  en  la  que  colocamos  los  puntos  críticos  y  los  valores  que  no  están  en  el  ⎡ −π 3π ⎞ , ⎟ :  dominio, pero como en nuestro caso estamos restringido a  ⎢ ⎣ 2 2 ⎠   −π π         2 2   f ''( x )    

⎛ π 3π Concava en  ⎜ , ⎝2 2

puesto que la función existe en x =

                           

π 2

 

P I 

 

, Así pues quedaría: 

π ⎧⎛ π Punto de inflexión ⎨⎜ , f ( 2 2 ⎩⎝

⎞ ⎛π ⎞ ) ⎟ = ⎜ ,0 ⎟ ⎠ ⎝2 ⎠

6 4 2

-10

 

⎞ ⎟ . Podemos asegurar la existencia del punto de inflexión, según la tabla,  ⎠

-5

5 -2 -4 -6

    

 

 

    Entonces se nos queda la función de la siguiente manera:  ⎛ −π π ⎞ Convexa en  ⎜ , ⎟; ⎝ 2 2⎠

 

 

 

f ( x) 

 

3π   2

 

Página  10 

   

10

 

Matemáticas II 

Estudio y Representación de Funciones 

Col La Presentación 

Ejercicios Propuestos  Realiza un estudio completo de al menos 4 de las funciones y haz un esbozo de sus gráficas, siguiendo este esquema:  1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Dominio  Simetrías  Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función  Asíntotas  Monotonía. Máximos y mínimos  Curvatura. Puntos de Inflexión  Representación  Gráfica  en  Papel  milimetrado.  Toda  representación  que  no  esté  perfecta  o  casi  perfecta  tendrá  una  disminución drástica de la nota 

Para las siguientes Funciones:  2x2 − ln ( x 2 + 1)   x2 + 1

a)

f(x)=

b)

f ( x ) = ( 2 x 2 − 3x ) ⋅ e x  

c)

f ( x ) = ( x − 1) 5 − 2 x  

d)

f(x)=

e)

f ( x ) = ex − 2x  

f)

f(x)=

x2 x2 − 1

 

sen x   sen x + cos x

Observación la a), d) y  f) obligatorias.  

    

Página  11