Cónicas

1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) 11x 2 + 14y2 − 4xy + 40x + 20y + 45 = 0 b) x 2 − 8xy + y2 − 4x − 4y + 1 = 0 c) x 2 − 4xy + 4y2 − 2x + 8y = 0 d) 4x2 + y2 − 4xy + 2x + 4y − 10 = 0

2.- Hallar la ecuación de la cónica 3 1 ( 0, 0 ) , ( 2, 0 ) , ( 0, −2 ) , ⎛⎜ , ⎞⎟ y ⎝2 4⎠

que pasa por los puntos ⎛ 3 −3 ⎞ ⎜ , ⎟. ⎝2 4 ⎠

3.- Hallar el centro y las asíntotas de la cónica: 2 + x 2 + 2xy = 0 . 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a) x 2 − 2axy + 2ay2 − 2x + 4ay = 0 b) ax2 − 2xy + ay2 − 2x + 2y + 3 = 0 5.- Hallar λ y μ sabiendo que las ecuaciones x 2 + λy2 = 1 , x ' y ' = μ , corresponden a una misma cónica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos. 6.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: x 2 + 2ay2 − 2axy − 2x + 4ay = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 2: Ecuación reducida Parámetro de la cónica Eje y vértice Foco y directriz Dibujo de la cónica. 7.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a + 2x + 2y + ax2 + 2xy + ay2 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 0 Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica Centro, si procede Ejes y vértices Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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Focos y directrices Asíntotas, si procede Dibujo de la cónica.

Cónicas

8.- Dada la cónica 2x2-y2+4xy-x=0, se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas g) Vértices h) Dibujo de la cónica. 9.- Dada la cónica de ecuación: 9x2+6xy-22x+y2-34y+49=0. Se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Parámetro de la cónica. e) Vértice y eje. f) Foco y directriz. 10.-Dada la cónica x2 + y2 + kxy - 10x - 2y + 1 = 0, se pide: a) La ecuación matricial b) Ecuación de las Asíntotas y eje focal para el valor k = 2. c) Ecuación reducida para el valor k = 1 1 d) Hallar la excentricidad para el valor k = . 2 e) Clasificar según los valores del parámetro k ∈ ℜ f) Demostrar que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es e =

11.- Dada la cónica de ecuación: 1+2x+4y+3x2+4xy=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica d) Centro, si procede e) Ejes y Vértices f) Focos y directrices g) Asíntotas, si procede 2

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Cónicas

h) Dibujo de la cónica y de los elementos hallados en los apartados anteriores. 12.- Sea la cónica de ecuación: 2x2+y2+2√2xy+2y=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Excentricidad y Parámetro de la cónica d) Vértice, si procede e) Ejes f) Dibujo de la cónica 13.- Dada la cónica de ecuación 3x 2 − 8xy − 3y2 + 10x − 10y + 10 = 0 , se pide: a) b) c) d) e)

f)

Ecuación matricial. Clasificación. Ecuación reducida. Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica. Centro y Ejes.

Asíntotas

14.- Dada la cónica de ecuación 2x2 − 2xy + 3y2 + 6x − 8y + 3 = 0 , se pide: a) b) c) d) e) f) g)

Ecuación matricial. Clasificación. Ecuación reducida. Semiejes y Parámetro de la cónica. Centro. Ejes (indicando cuál es el eje focal). Vértices principales (sobre el eje focal).

15.- Dada la cónica de ecuación x2+2xy+2y2-2x-1=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Centro d) Ejes 16.- Dada la cónica de ecuación x2 – 2 y2 + 4 x + 1 = 0. Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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c) d) e) f)

Semiejes y excentricidad

Cónicas

Centro Ejes Asíntotas

⎛ 1 −1 − a ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 17.- Sea la cónica de ecuación: (1 x y ) ⎜ −1 a 1 ⎟ ⎜ x⎟ = 0 . ⎜ −a 1 a ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ a.- Clasificarla según los valores del parámetro real “a”. b.- Para a = 0, se pide: Clasificación Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica

Centro Ejes Asíntotas

18.- a) Probar que sólo uno de los siguientes polinomios de segundo grado en x y en y representa una elipse 1. x2+4xy+y2=7 2. 2x+5y-3+x2+3xy+2y2=0 3. 9y2-24xy-40y+16x2-30x=5 4. 5y2+5x2-1-8xy+4x-2y=0 b) Hallar el centro, los ejes, los focos y las asíntotas de la cónica 2 y +4xy+x2-7=0. 19.- Clasificar la cónica 2xy+4x-1=0 y hallar su excentricidad, eje focal y focos.

20.- Dada la cónica x2 + y2 –2xy – 6x + 2y + 7 = 0, se pide: a)

Las coordenadas del foco.

b)

La ecuación de la directriz.

21.- Dada la cónica de ecuación 36x2 + 29y2 + 24xy − 96x − 22y − 115 = 0 . Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, parámetro y excentricidad 4

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d) Centro y ejes e) Directrices

Cónicas

22.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + 2xy + y2 − 2x − 10y + 9 = 0 . Se pide:

a) Ecuación matricial b) Clasificación c) Ecuación reducida d) Excentricidad y parámetro de la cónica e) Vértice y eje f) Foco y directriz g) Gráfica de la cónica donde aparezcan los elementos que se calculan en los dos apartados anteriores. 23.- Sea la cónica de ecuación: 11x 2 + 17y2 − 6 3xy − 40 = 0 a) ¿Es el centro de la cónica el origen del sistema de referencia? ¿Son los ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos. b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: c) Hallar las ecuaciones de los ejes: d) Directrices. e) Focos. f) Vértices. 24.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: (a2 + 4)x 2 + 9y2 + 6axy − 4(a2 + 1)x − 12ay + 4a2 − 8 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 1: Ecuación reducida y área de la cónica. Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica. Centro, ejes, focos y vértices principales. Ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (0,2) y son tangentes a la cónica. Dibujo de la cónica. 25.- Dada la cónica de ecuación 8x 2 − 6 2xy + y2 − 36 2x + 14y + 49 = 0 . Se pide:

a) Clasificar la cónica b) La ecuación reducida. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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Cónicas

c) La excentricidad. d) La ecuación del eje focal. e) Las ecuaciones de las asíntotas.

26.- Dada la cónica de ecuación

x 2 + 2ay2 − 2axy − 2x + 4ay = 0 , se pide:

a) Clasificar la cónica en función del parámetro “a”. b) Para a = -10, hallar b1) Ecuación reducida. b2) Centro, si procede. b3) Ejes, indicando cuál es el focal. b4) Asíntotas, si procede. b5) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores 27.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + y2 + 2kxy + 2x + 1 = 0 , se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro “k”. b) Para k = -1 b1) Ecuación reducida y parámetro de la cónica. b2) Vértice y eje de la cónica. b3) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores. 28.- Dada la cónica de ecuación: 2 + x2 + 2xy = 0 , se pide: a) Clasificarla b) Coordenadas del centro c) Asíntotas

29.- a) Determinar entre todas las cónicas de la familia x2 + xy + y2 +2x + y + 3 + λ(xy + y2 - 2x + y + 1) = 0 aquellas no degeneradas cuyos centros están sobre la recta x –y –2 = 0 b) Clasificar la cónica para λ=1.

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2

Cónicas

30.- Dada la elipse: x +y -xy+x+y=0. Se pide: a) centro b) excentricidad y semiejes c) ejes de simetría d) ecuación de las rectas tangentes a la elipse y paralelas a la recta y = x 31. Dada la cónica de ecuación: 5x2 + 5y2 +2xy – 6x – 6y - 3 = 0, se pide: a) Ecuación reducida. b) Excentricidad. c) Centro. d) Ejes. 32.- Dadas las cónicas 3x² + 2xy + 3y² + 4x +1 = 0 4x² + y² – 4xy + 2x + 4y – 3 = 0 Se pide: a) Calcular los puntos de intersección de ambas cónicas. b) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por ambos puntos de intersección. c) Calcular los puntos de corte de la recta r con cada uno de los ejes focales de ambas cónicas.

33.- Hallar las coordenadas del centro, las ecuaciones de los ejes y las asíntotas de la hipérbola 6x 2 − 12xy + y2 + 3x + 2y − 13 = 0 .

34.- Escribir la ecuación reducida de la cónica x 2 + 3y2 − 2xy − 2x + 1 = 0 y determinar la excentricidad. 35.- Sea la cónica de ecuación: λx2 + λ y2 − 2xy + 2x + 2y + 1 = 0 . a.- Clasificarla según los valores del parámetro real “ λ ”. b.- Para λ = 0, se pide: Ecuación reducida Semiejes

Excentricidad Centro Asíntotas

36.- a) Clasificar las siguientes cónicas: a1) 2 + x2 + 2xy = 0 a2) x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 8y = 0 a3) x2 + 2xy + 2 y2 - 2x – 1 = 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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Cónicas

b) Hallar los semiejes a y b, y las ecuaciones de los ejes de la elipse x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 4y = 0

Problemas propuestos. P1.- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (7, 1), (5, -3), (-1,-3), (-3,1) y (-3,-7). Calcular sus elementos característicos, la ecuación reducida y representar la cónica. P2.- Hallar la cónica que pasa por los puntos (1, 0), (3, 2) y (1, -4) y tal que e=0. P3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, su centro es C(-2,1); el eje mayor es paralelo a OY, su longitud es 10 y la distancia focal 8. P4.- Dados los puntos A(3,4),B(-3,9), C(-3,-1), D(-9,4) y E(3/5,0). Calcular la ecuación de la cónica que pasa por dichos puntos. b) Hallar los ejes, vértices, focos y excentricidad de la cónica anterior. c) Ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente que pasa por E(3/5,0). d) Ecuaciones de las rectas que pasan por (9,9) y son tangentes a la elipse. P5.- Estudiar las siguientes cónicas: a) x 2 + y2 + 2xy + 6 2x − 2 2y − 14 = 0 b) x 2 + y2 + 2xy + x + y − 2 = 0 c) xy − x = 0

d) x 2 + 4y2 + 4xy − 2x − 4y + 1 = 0

e) 2x2 + 2y2 + x + 1 = 0 g) xy + x − y = 0

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f) 3x 2 + 3y2 + 2xy − 6 2x − 10 2y + 10 = 0 h) 8x 2 + y2 − 6 2xy + 2x + 1 = 0 .

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Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) 11x 2 + 14y 2 − 4xy + 40x + 20y + 45 = 0 Solución: Clasificación ⎛ 45 20 10 ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 20 11 − 2 ⎟ , ⎜ 10 − 2 14 ⎟ ⎠ ⎝ (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0

⎧A 00 = 150 > 0 ⇒ Elipse ⎨ ⎩ A = −750 ≠ 0 ⇒ ELIPSE REAL

Ecuación reducida λ1 x ''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 ⎛ 11 − 2 ⎞ ⎧λ 1 = 10 ⎟⎟ ⇒ ⎨ λ 1 y λ 2 valores propios de A c = ⎜⎜ , ya que se toma como λ 1 el valor ⎝ − 2 14 ⎠ ⎩λ 2 = 15 propio de menor valor absoluto. A k= = −5 A 00

10 x ' ' 2 +15 y' ' 2 −5 = 0 ⇒

x ' ' 2 y' ' 2 + =1 5 10 5 15

Semiejes 1 1 1 1 a2 = ⇒ a = , b2 = ⇒ b = 2 3 2 3 Excentricidad y parámetro de la cónica b2 2 1 1 2 2 = a = , b = ⇒ p= a 3 2 3

c2 = a 2 − b2 =

c 3 1 1 ⇒c= ⇒ e= = a 3 6 6

Centro ⎧20 + 11x − 2y = 0 ⇒ C ( −2, −1) ⎨ ⎩10 − 2x + 14y = 0 Ejes ⎧Pasa por el centro C (− 2,−1) Eje focal x’’ ≡ ⎨ ⎩Es paralelo a los vectores propios asociados a λ 1 = 10

x ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 1 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x − 2 y = 0 ⇒ y = x ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎝ y ⎠ ⎝ − 2 4 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 Luego, x’’ ≡ y + 1 = (x + 2) . 2 ⎧Pasa por el centro C (− 2,−1) El eje no focal y’’ ≡ ⎨ ⎩Es perpendicular al eje focal

(A c − λ1I)⎛⎜⎜

Por tanto, y’’ ≡ y + 1 = −2(x + 2 )

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Cónicas Vértices Se hallan interseccionando el eje focal con la circunferencia de centro el de la cónica y radio 1 a= : 2 ⎧ ⎛ 10 10 ⎞ 1 ⎧ A − 2, − 1⎟⎟ ⎪ ⎜ 1 ⎜ 5 10 ⎪⎪ y + 1 = 2 ( x + 2 ) ⎪ ⎝ ⎠ ⇒⎨ ⎨ 10 ⎞ ⎪ ⎛ 10 ⎪( x + 2 )2 + ( y + 1)2 = 1 A 2, − − − − 1⎟⎟ ⎜ 2 ⎪⎩ ⎪ ⎜ 5 2 10 ⎠ ⎩ ⎝ Los vértices secundarios se hallarían de manera análoga, interseccionando el eje no focal con la 1 . circunferencia de centro el de la cónica y radio b = 3 ⎧ ⎛ 15 15 ⎞ B − 2, − − 1⎟⎟ ⎪ ⎜ 1⎜ ⎧ y + 1 = −2 ( x + 2 ) 15 ⎪ ⎝ 15 ⎠ ⎪ ⎨ 1⇒ ⎨ 2 2 15 ⎞ ⎪ ⎛ 15 ⎪( x + 2 ) + ( y + 1) = 3 ⎩ ⎪B2 ⎜⎜ − 15 − 2, 15 − 1⎟⎟ ⎠ ⎩ ⎝ Focos Se hallan interseccionando el eje focal con la circunferencia de centro el de la cónica y radio c: 1 1 c2 = a 2 − b2 = ⇒ c = 6 6

1 ⎧ ⎪⎪ y + 1 = 2 ( x + 2 ) ⇒ ⎨ ⎪( x + 2 )2 + ( y + 1)2 = 1 ⎪⎩ 6

⎧ ⎛ 30 30 ⎞ − 2, − 1⎟⎟ ⎪F1 ⎜⎜ 30 ⎪ ⎝ 15 ⎠ ⎨ 30 30 ⎞ ⎪ ⎛ ⎪F2 ⎜⎜ − 15 − 2, − 30 − 1⎟⎟ ⎠ ⎩ ⎝

Directrices

Son rectas paralelas al eje no focal y’’ y tales que distan

a2 del centro de la cónica: c

dir ≡ y = −2 x + k ⇔ 2x + y − k = 0 − 4 −1− k a 2 6 30 30 d(C, dir ) = = = ⇒ 5+ k = ⇒k=± −5⇒ c 2 2 2 4 +1 ⎧ 30 +5= 0 ⎪dir1 ≡ 2x + y − ⎪ 2 ⎨ ⎪dir ≡ 2x + y + 30 + 5 = 0 ⎪⎩ 1 2 Dibujo de la cónica

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Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: b) x 2 − 8xy + y 2 − 4x − 4y + 1 = 0 Solución: Ecuación matricial

X AX = O ⇔ (1 x t

⎛ 1 −2 −2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ y ) ⎜ −2 1 −4 ⎟⎜ x ⎟ = 0 ⎜ −2 −4 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Clasificación 1 −4 A 00 = = −15 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. −4 1

A = −55 ≠ 0 ⇒ Se trata de una HIPÉRBOLA . Ecuación reducida λ 1x''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 A 11 ⎧−3 = ; A c − λ I = λ 2 − 2λ - 15 = 0 ⇒ λ = ⎨ A 00 3 ⎩5 De acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para λ 1 el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ 1 = −3, λ 2 = 5 ;. Por tanto, la ecuación reducida queda: 11 x' ' 2 y' ' 2 −3x' ' 2 +5y'' 2 + = 0 ⇔ − = 1. 2 2 3 11 11 ( ) ( 15 3) Excentricidad y parámetro de la cónica 8 c 11 2 11 2 88 > 1 , ya que a 2 = e= = ,b = , c = a 2 + b2 = . 5 a 9 15 45 k=

b 2 3 11 = p= a 15 Centro y ejes ⎧ −2 + x − 4 y = 0 Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ , obteniéndose el punto. ⎩ −2 − 4 x + y = 0 C = (-2/3, -2/3). Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ 1 + 3 −4 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ x − y = 0 ⇔ y = x . ⎜ ⎝ −4 1 + 3⎠ ⎝ y⎠ ⎝ 0⎠ 2 2 Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + = x + ⇔ y = x . 3 3 El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: 2 2 4 y + = −( x + ) ⇔ y = − x − . 3 3 3

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Cónicas Para calcular los vértices, interseccionamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a: 2 2 2 2 11 ⎧ ⎪( x + ) + ( y + ) = 3 3 9 ⎨ ⎪⎩y = x obteniéndose los puntos V1 (

−4 + 22 −4 + 22 −4 − 22 −4 − 22 , ) y V2 ( , ). 6 6 6 6

Focos y directrices Los focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c: 2 2 2 2 88 ⎧ ⎪( x + ) + ( y + ) = 3 3 45 ⎨ ⎪⎩y = x

2 55 − 10 2 55 − 10 2 55 + 10 2 55 + 10 , ) y F2 (,). 15 15 15 15 a2 : Las directrices son rectas paralelas al eje no focal que distan del centro c Su ecuación ha de ser, por tanto, de la forma y = -x + k, determinando k de modo que 2 2 −8 ± 55 a2 55 − 3 − 3 − k . Resulta k = , luego, las directrices son las = = c 6 6 2 2 obteniéndose los puntos F1 (

rectas y = − x +

−8 ± 55 . 6

Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación 1 + m 2 − 8m = 0 . Al resolver la ecuación anterior, se obtienen dos valores para m: m1 = 4 − 15 , m 2 = 4 + 15 . Las ecuaciones de las asíntotas son: 2 2 2 2 y + = (4 − 15 )( x + ) , y + = (4 + 15 )( x + ) . 3 3 3 3 Dibujo de la cónica

x

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Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: c) x 2 − 4xy + 4y 2 − 2x + 8y = 0 Solución: Ecuación matricial

X AX = O ⇔ (1 x t

⎛ 0 −1 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ y ) ⎜ −1 1 −2 ⎟ ⎜ x ⎟ = 0 . ⎜ 4 −2 4 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Clasificación 1 −2 = 0 ⇒ Cónica de tipo parabólico. A 00 = −2 4 A = −4 ≠ 0 ⇒ Se trata de una PARÁBOLA .

Ecuación reducida es del tipo λ 2 y'' 2 +2 b1 x'' = 0 , siendo λ 2 = a11 + a 22 = 1 + 4 = 5 ,

−A

4 2 =± 5. a11 + a 22 5 5 Tomamos el signo de b1 contrario al de λ 2 , resultando la ecuación reducida: y b1 = ±

=±

4 5 5 x '' = 0 ⇔ y ''2 = 4 x '' . 5 25 Parámetro de la cónica 5 p=2 25 Eje y vértice De todas las rectas que tienen por dirección la dada por los vectores propios de A c asociados al valor propio λ 2 , vamos a considerar la recta r que corta a la parábola en único punto. Dicho punto será el vértice V de la parábola. Los vectores propios asociados a λ 2 = 5 , son las soluciones del sistema: ⎛1 − 5 −2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ −4x − 2y = 0 ⇔ y = −2x ⎝ −2 4 − 5 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Por tanto, la pendiente de la recta r es -2, y tiene una ecuación de la forma: y = −2x + k . Hay que hallar k de forma que el discriminante Δ de la ecuación de segundo grado que se obtiene al interseccionar la parábola y la recta r, sea nulo: ⎧4x 2 + y 2 − 4xy + 2x + 4y − 10 = 0 ⇔ 25x 2 + (−20k + 18)x + ( 4k 2 + 8k ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩ y = −2x + k 81 Δ = (−20k + 18) 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ (4k 2 + 8k) = 0 ⇒ k= . 20 81 El vértice es ya la solución del sistema anterior para k= , es decir: 20 9801 99 99 81 9 ⎛ 99 9 ⎞ =0⇒ x = ⇒ y = −2 + = ⇒ V=⎜ , 25x 2 − 99x + ⎟. 100 50 50 20 100 ⎝ 50 100 ⎠ 5y ''2 −

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Cónicas El eje es la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a r, es decir, tiene de pendiente 1/2. Su ecuación es, por tanto: 9 1⎛ 99 ⎞ = ⎜x − ⎟. y− 100 2 ⎝ 50 ⎠ Foco y directriz Para calcular el foco y la directriz, interseccionemos el eje con la circunferencia de p 5 : centro V y radio , siendo p el parámetro de la parábola, p = 2 2 25 9 1 99 1 ⎧ ⎧ 19 − = − y (x ) x= , y= ⎪⎪ 100 2 ⎪⎪ 10 50 20 ⇒⎨ . ⎨ 99 9 1 103 13 2 2 ⎪(x − ) + (y − ⎪ x= ) = , y= ⎪⎩ ⎪⎩ 50 50 100 125 100 ¿Cuál de los dos puntos anteriores es el foco y cuál pertenece a la directriz? Para averiguarlo, analicemos el discriminante de la ecuación del apartado anterior para k = 0: Δ = 18 > 0 . Por tanto, para k = 0, la correspondiente recta perpendicular al eje corta a la parábola en dos puntos, luego la cónica se dirige hacia la izquierda. ⎛ 19 1 ⎞ El foco es, entonces, el punto F ⎜ , ⎟ y la directriz es la recta perpendicular al eje ⎝ 10 20 ⎠ ⎛ 103 13 ⎞ , que pasa por el punto ⎜ ⎟ . Por consiguiente, la ecuación de la directriz es: ⎝ 50 100 ⎠ 13 103 ⎞ ⎛ = −2 ⎜ x − dir ≡ y − ⎟ . 100 50 ⎠ ⎝ Dibujo de la cónica

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Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: d) 4x 2 + y 2 − 4xy + 2x + 4y − 10 = 0 Solución: Ecuación matricial

X AX = O ⇔ (1 x t

2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ −10 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ y) ⎜ 1 4 −2 ⎟⎜ x ⎟ = 0 . ⎜ 2 −2 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Clasificación 4 −2 A 00 = = 0 ⇒ Cónica de tipo parabólico. −2 1 A = −25 ≠ 0 ⇒ Se trata de una PARÁBOLA .

Ecuación reducida es del tipo λ 2 y'' 2 +2 b1 x'' = 0 , siendo λ 2 = a 11 + a 22 = 4 + 1 = 5 ,

−A

25 =± 5. a 11 + a 22 5 Tomamos el signo de b1 contrario al de λ 2 , resultando la ecuación reducida: y b1 = ±

=±

5y' ' 2 −2 5 x ' ' = 0 ⇔ y' ' 2 =

2 5 x' ' . 5

Parámetro de la cónica 5 p= 5 Eje y vértice De todas las rectas que tienen por dirección la dada por los vectores propios de A c asociados al valor propio λ 2 , vamos a considerar la recta r que corta a la parábola en único punto. Dicho punto será el vértice V de la parábola. Los vectores propios asociados a λ 2 = 5 , son las soluciones del sistema: ⎛ 4 − 5 − 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ x + 2 y = 0 ⇔ y = − x 2 ⎝ − 2 1 − 5 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 Por tanto, la pendiente de la recta r es − , y tiene una ecuación de la forma: 2 x y = − + k . 2 Hay que hallar k de forma que el discriminante Δ de la ecuación de segundo grado que se obtiene al interseccionar la parábola y la recta r, sea nulo: ⎧4 x 2 + y 2 − 4 xy + 2x + 4 y − 10 = 0 ⎪ ⇔ 25x 2 − 20kx + 4k 2 + 16k − 40 = 0 ⇒ ⎨ x ⎪y = − + k 2 ⎩ 5 Δ = 400k 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ (4k 2 + 16k − 40) = 0 ⇒ k = . 2 5 El vértice es ya la solución del sistema anterior para k = , es decir: 2

(

)

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Cónicas 1 5 25x 2 − 50x + 25 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = − + = 2 ⇒ V = (1, 2) . 2 2 El eje es la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a r, es decir, tiene de pendiente 2. Su ecuación es, por tanto: y − 2 = 2( x − 1) ⇔ y = 2x . Foco y directriz Para calcular el foco y la directriz, interseccionemos el eje con la circunferencia de p 5 centro V y radio , siendo p el parámetro de la parábola, p = : 2 5 9 9 ⎧ x= , y= ⎧ y − 2 = 2(x − 1) ⎪ ⎪ ⎪ 5 10 . ⎨ 1 ⇒⎨ 2 2 11 11 − + − = ( x 1 ) ( y 2 ) ⎪x = , y = ⎪⎩ 20 ⎪⎩ 5 10 ¿Cuál de los dos puntos anteriores es el foco y cuál pertenece a la directriz? Para averiguarlo, analicemos el discriminante de la ecuación del apartado anterior para k = 0: Δ = −4 ⋅ 25(− 40 ) > 0 . Por tanto, para k = 0, la correspondiente recta perpendicular al eje corta a la parábola en dos puntos, luego la cónica se dirige hacia la izquierda. ⎛ 9 9⎞ El foco es, entonces, el punto F⎜ , ⎟ y la directriz es la recta perpendicular al eje que ⎝ 10 5 ⎠ ⎛ 11 11 ⎞ pasa por el punto ⎜ , ⎟ . Por consiguiente, la ecuación de la directriz es: ⎝ 10 5 ⎠ 11 ⎞ 11 1⎛ dir ≡ y − = − ⎜ x − ⎟ . 10 ⎠ 5 2⎝ Dibujo de la cónica

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Cónicas 2.- Hallar la ecuación de la cónica 3 1 ( 0, 0 ) , ( 2, 0 ) , ( 0, −2 ) , ⎛⎜ , ⎞⎟ y ⎝2 4⎠ Solución:

que pasa por los puntos ⎛ 3 −3 ⎞ ⎜ , ⎟. ⎝2 4 ⎠

x 2 + Ay 2 + Bxy + Cx + Dy + E = 0 ⎧(0,0) ∈ cónica ⇒ E = 0 ⎪(2,0) ∈ cónica ⇒ 4 + 2C + E = 0 ⎪ ⎪(0,−2) ∈ cónica ⇒ 4A − 2D + E = 0 ⎪ 1 3 3 9 1 ⎪⎛ 3 1 ⎞ ⎨⎜ , ⎟ ∈ cónica ⇒ + A + B + C + D + E = 0 4 2 8 4 16 ⎪⎝ 2 4 ⎠ ⎪⎛ 3 3 ⎞ 3 3 9 9 9 ⎪⎜ ,− ⎟ ∈ cónica ⇒ + A − B + C − D + E = 0 4 2 8 4 16 ⎪⎝ 2 4 ⎠ ⎪⎩ Resolviendo este sistema lineal de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, se obtiene: A = 4, B = -4, C = -2, D = 8 y E = 0 Resultando la ecuación de la cónica: x 2 + 4 y 2 − 4 xy − 2 x + 8y = 0

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Cónicas 3.- Hallar el centro y las asíntotas de la cónica: 2 + x 2 + 2xy = 0 . Solución:

2 + x 2 + 2 xy = 0 ⎛ 2 0 0⎞ ⎟ ⎜ 1 1 = −1 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , A 00 = 1 0 ⎜ 0 1 0⎟ ⎠ ⎝ A = −2 ≠ 0 ⇒ Se trata de una hipérbola.

Centro: ⎧x + y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ C ( 0, 0 ) ⎨ ⎩x = 0 Asíntotas: 1 2 y 1 + 1 + 2 = 0 ⇒ 1 + 2m = 0 ⇒ m = − ⇒ y = − x 2 2 x x 2 La otra asíntota pasa por C y tiene pendiente infinita: x = 0.

x= 0

y = - (1/2)x

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Cónicas 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a) x 2 − 2axy + 2ay2 − 2x + 4ay = 0 Solución: ⎛ 0 − 1 2a ⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ − 1 1 − a ⎟ ⎜ 2a − a 2a ⎟ ⎠ ⎝ A = −2a = 0 ⇒ a = 0

A 00 =

1 −a ⎧a = 0 = a (2 − a ) = 0 ⇒ ⎨ − a 2a ⎩a = 2 a 0

2

Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎪⎧A 00 < 0 1) a < 0 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico 2) a = 0 ⇒ ⎨ ⎩ A = 0 ⇒ Cónica degenerada ⎛ 0 −1 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ − 1 1 0 ⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 0 + (−1) = −1 < 0 ⇒ RECTAS PARALELAS ⎜0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎧A 00 > 0 3) 0 < a < 2 ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? ≠ A 0 ⎩ (a 11 + a 22 ) A = (1 + 2a )(− 2a ) = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧A 00 = 0 4) a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ⎩A ≠ 0 ⎧⎪A 00 < 0 5) a > 2 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 dos rectas paralelas parábola a hipérbola

0

elipse real

2

hipérbola

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Cónicas 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: b) ax 2 − 2xy + ay2 − 2x + 2y + 3 = 0 Solución: ⎛ 3 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ b) La matriz de la cónica es A = ⎜ − 1 a − 1⎟ ⎜ 1 −1 a ⎟ ⎠ ⎝ ⎧1 a −1 ⎪ 2 = a 2 - 1 = 0 ⇒ a = ±1 A = 3a − 2a − 1 = 0 ⇒ a = ⎨ 1 ; A 00 = −1 a ⎪⎩− 3

a -1

1

-1/3

Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧A 00 > 0 ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? 1) a < −1 ⇒ ⎨ ≠ A 0 ⎩ (a 11 + a 22 ) A = (2a ) ⋅ + = − ⋅ + < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico 2) a = −1 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no degenerada ⎧A 00 < 0 1 3) − 1 < a < − ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ≠ A 0 3 ⎩ ⎧A 00 < 0 1 4) a = − ⇒ ⎨ ⇒ DOS RECTAS SECANTES = A 0 3 ⎩ 1 ⎪⎧A 00 < 0 5) − < a < 1 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA 3 ⎪⎩ A ≠ 0 ⎛ 3 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ 6) a = 1 ⇒ A = ⎜ − 1 1 − 1⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 2 + 2 = 4 > 0 ⇒ RECTAS IMAGINAR. ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎠ ⎝ PARALELAS. ⎧A 00 > 0 7) a > 1 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = (2a ) ⋅ + = + ⋅ + > 0 ⇒ ELIPSE IMAGINARIA dos rectas secantes parábola

rectas imag. paralelas

a elipse real

20

-1 hipérbola

-1/3

hipérbola

1 elipse imag.

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Cónicas 5.- Hallar λ y μ sabiendo que las ecuaciones x 2 + λ y 2 = 1 , x ' y ' = μ , corresponden a una misma cónica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos. Solución: ⎛−1 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ x + λy = 1 ⇒ A 1 = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 λ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜− μ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ x ' y' = μ ⇒ B = ⎜ 0 0 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ 1 0⎟ ⎜ 0 2 ⎝ ⎠ Girando y trasladando los ejes se pasa de una ecuación a otra, luego: ⎛ −k 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ∃k ∈ R, k ≠ 0, tal que A = ⎜ 0 k 0 ⎟ , ya que la ecuación de una cónica en un ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 λk ⎠ sistema de referencia puede multiplicarse por un número distinto de cero. Teniendo en cuenta los invariantes en la ecuación de una cónica, se verifica: Tr (A c ) = Tr (B c ) ⇔ k + kλ = 0 ⇒ λ = −1 2

2

−k A = 0 0

0

0

1 k 0 = k 3 = B = μ ⇒ μ = 4k 3 4 0 −k

1 1 ⇒k=± 4 2 1 1 Para”+” se obtiene: μ = 4 = 8 2 1 1 Para”-” se obtiene: μ = − 4 = − 8 2 1 Por tanto, han de ser λ = −1 y μ = ± . 2 A 00 = k 2 λ = − k 2 = B 00 = −

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Cónicas 6.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a + 2x + 2y + ax 2 + 2xy + ay 2 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 2: Ecuación reducida Parámetro de la cónica Eje y vértice Foco y directriz Dibujo de la cónica. Solución: ⎛ 0 − 1 2a ⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ − 1 1 − a ⎟ ⎜ 2a − a 2a ⎟ ⎠ ⎝ A = −2a = 0 ⇒ a = 0

A 00 =

1 −a ⎧a = 0 = a (2 − a ) = 0 ⇒ ⎨ − a 2a ⎩a = 2 a

0 2 Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧⎪A 00 < 0 ⇒ HIPÉRBOLA 1) a < 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 > 0 2) 0 < a < 2 ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = (1 + 2a )(− 2a ) = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪A 00 < 0 3) a > 2 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico 4) a = 0 ⇒ ⎨ ⎩ A = 0 ⇒ Cónica degenerada ⎛ 0 −1 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ − 1 1 0 ⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 0 + (−1) = −1 < 0 ⇒ RECTAS PARALELAS ⎜0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎧A 00 = 0 5) a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ⎩A ≠ 0

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Cónicas dos rectas paralelas

parábola

a hipérbola

0

elipse real

2

hipérbola

b) A la vista del apartado anterior, para a = 2, la cónica es una parábola cuya matriz asociada es: ⎛ 0 −1 4 ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ − 1 1 − 2 ⎟ con A 00 = 0 y A = −4 . ⎜ 4 −2 4 ⎟ ⎠ ⎝ Ecuación reducida λ 2 y``2 +2b1 x``= 0 ⎛ 1 − 2⎞ ⎟⎟ , y siendo λ 2 = a 11 + a 22 = 5 , ó bien λ 2 = valor propio no nulo de A c = ⎜⎜ ⎝− 2 4 ⎠ −A 4 2 5 b1 = ± =± =± . a 11 + a 22 5 5

Como b1 ha de tener signo contrario a λ 2 , se toma b1 = − reducida: 5 y``2 −

2 5 . Resultando la ecuación 5

4 5 x``= 0 , es decir: 5 y``2 =

4 5 x`` 25

Parámetro de la cónica

2p =

2 5 4 5 ⇒ p= 25 25

Eje y vértice El eje de la parábola x`` tiene la dirección de los vectores propios asociados al valor propio λ 1 = 0 de la matriz A c :

⎛ 1 − 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x − 2 y = 0 ⇒ y = x 2 ⎝ − 2 4 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Luego, el eje y``, perpendicular a x`` y que corta a la cónica en el vértice, tiene una ecuación de la forma: y`` ≡ y = −2 x + k Sustituimos esta expresión en la ecuación de la parábola, obteniéndose: 2 x 2 + 4(− 2 x + k ) − 24 x (− 2 x + k ) − 2 x + 8(− 2 x + k ) = 0 ⇒ 25x 2 − 2(9 + 10k )x + 4k (k + 2 ) = 0 cuyo discriminante Δ ha de ser nulo para que tenga solución única (la abscisa x del 81 2 vértice): Δ = 4(9 + 10k ) − 4 ⋅ 25 ⋅ 4k (k + 2 ) = 0 ⇔ −20k + 81 = 0 ⇒ k = 20 La abscisa del vértice es, entonces, la solución única de la ecuación 81 : 2(9 + 10k )x + 4k (k + 2 ) = 0 para k = 20

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Cónicas 2500x 2 − 9900x + 9801 = 0 ⇒ x = Como el vértice ha de pertenecer al eje y`` ≡ y = −2x +

99 50

81 , su ordenada ha de ser: 20

99 81 9 + = 50 20 100 ⎛ 99 9 ⎞ El vértice es, por tanto, el punto V⎜ , ⎟. ⎝ 50 100 ⎠ y = −2

Y el eje de la parábola es la recta que pasa por el vértice y tiene de pendiente y−

1 : 2

9 1⎛ 99 ⎞ = ⎜x − ⎟ 100 2 ⎝ 50 ⎠

Foco y directriz

p 5 = del vértice, interseccionamos el eje 2 25 p x`` con la circunferencia de centro V y radio : 2 ⎧ 9 1⎛ 99 ⎞ ⎪ y − 100 = 2 ⎜ x − 50 ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ 2 2 ⎪⎛ x − 99 ⎞ + ⎛ y − 9 ⎞ = ⎛⎜ 5 ⎞⎟ = 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 25 ⎟ ⎪⎜⎝ 50 ⎠ ⎝ 100 ⎠ 125 ⎝ ⎠ ⎩ ⎛ 19 1 ⎞ ⎛ 103 13 ⎞ , Resolviendo el sistema anterior se obtienen los dos puntos: ⎜ , ⎟ y ⎜ ⎟ ⎝ 10 20 ⎠ ⎝ 50 100 ⎠ ¿Cuál de ambos es el foco? Si se intersecciona la parábola con la recta paralela al eje y`` que pasa por el origen, se obtienen dos puntos de corte, ya que el discriminante Δ para k = 0 es positivo: 2 Δ = 4(9 + 10k ) − 4 ⋅ 25 ⋅ 4k (k + 2 ) = 4 ⋅ 81 = 324 > 0 Luego, la parábola se abre hacia la izquierda del vértice y el foco F es, de ambos puntos, el que tiene menor abscisa: ⎛ 19 1 ⎞ F⎜ , ⎟ . La directriz d es la recta que pasa por el otro punto y es paralela al eje y``: ⎝ 10 20 ⎠ 13 103 ⎞ ⎛ d ≡ y− = −2⎜ x − ⎟ 100 50 ⎠ ⎝ Dibujo de la cónica Como ambos se encuentran a una distancia

dir

V F 24

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Cónicas 7.a) Clasificar la siguiente cónicas según los valores del parámetro “a”: a + 2x + 2y + ax 2 + 2xy + ay 2 = 0 .

b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 0 Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica Centro, si procede Ejes y vértices Focos y directrices Asíntotas, si procede Dibujo de la cónica. Solución: ⎛ a 1 1⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ 1 a 1 ⎟ ⎜1 1 a ⎟ ⎠ ⎝ ⎧− 2 2 A = a 3 − 3a + 2 = (a + 2 )(a − 1) = 0 ⇒ a = ⎨ ⎩1 a 1 A 00 = = a 2 - 1 = 0 ⇒ a = ±1 1 a a -2

-1

1

Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧A 00 > 0 ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? 1) a < −2 ⇒ ⎨ ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = 2a (a + 2)(a − 1)2 = − ⋅ − > 0 ⇒ ELIPSE IMAGINARIA

[

]

⎧A 00 > 0 2) − 2 < a < −1 ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = 2a (a + 2)(a − 1)2 = − ⋅ + < 0 ⇒ ELIPSE REAL

[

]

⎧⎪A 00 < 0 3) −1 < a < 1 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 > 0 4) 1 < a ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? A ≠ 0 ⎩ (a 11 + a 22 ) A = 2a (a + 2)(a − 1)2 = + ⋅ + > 0 ⇒ ELIPSE IMAGINARIA

[

]

⎧A 00 > 0 5) a = −2 ⇒ ⎨ ⇒ PUNTO ⎩A = 0

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Cónicas ⎧A 00 = 0 ⇒ PARÁBOLA 6) a = -1 ⇒ ⎨ ⎩A ≠ 0 ⎧A 00 = 0 7) a = 1 ⇒ ⎨ ⇒ Parábola degenerada ⎩A = 0 ⎛1 1 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜1 1 1⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 0 ⇒ RECTA DOBLE ⎜1 1 1⎟ ⎠ ⎝ Punto o rectas imaginarias

parábola

recta doble

a elipse real

elipse -2 imaginaria

-1 hipérbola

1 elipse imaginaria

b) x + y + xy = 0 Ecuación matricial

X t AX = O ⇔ (1 x

⎛ ⎜0 ⎜ 1 y )⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎝2

1 2 0 1 2

Nota: También puede utilizarse

1⎞ ⎟ 2 ⎟⎛ 1 ⎞ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜x⎟ = 0 . 2 ⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ y ⎠ 0⎟ ⎠ ⎛ 0 1 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 0 1 ⎟ , llegando al mismo resultado. ⎜ 1 1 0⎟ ⎠ ⎝

Clasificación 1 0 2 = − 1 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. A 00 = 1 4 0 2 1 A = ≠ 0 ⇒ Se trata de una HIPÉRBOLA. 4 Ecuación reducida λ 1x''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 1 −λ A 1/ 4 2 = λ2 − 1 = 0 ⇒ λ = ± 1 k= = = −1 ; A c − λ I = 1 4 2 A 00 −1/ 4 −λ 2

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Cónicas De acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para λ1 el valor propio de 1 1 signo contrario a k, es decir, λ 1 = , λ 2 = − . 2 2 Por tanto, la ecuación reducida queda: 1 2 1 2 x ' ' 2 y' ' 2 x ' ' − y ' ' −1 = 0 ⇔ − = 1 . Es una hipérbola equilátera. 2 2 2 2 Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica a 2 = 2 = b2 ⇒ a = b = 2 e = 2 , por ser hipérbola equilátera. b2 2 = = 2 p= a 2 Centro ⎧1 1 ⎪⎪ 2 + 2 y = 0 Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ ⇒ C ( −1, −1) . ⎪1 + 1 x = 0 ⎪⎩ 2 2 Ejes y vértices Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜− ⎜ 2 2 ⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ − x + y = 0 ⇔ y = x . ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 2⎠ ⎝ 2 Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + 1 = 1(x + 1) ⇔ y = x . El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y + 1 = −1( x + 1) ⇔ y = − x − 2 . Para calcular los vértices, intersecamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a=1: ⎧( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2 ⎨ ⎩y = x obteniéndose los puntos V1 (0,0) y V2 (−2,−2) .

Focos y directrices Los focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c: c2 = a 2 + b2 = 4 ⇒ c = 2 ⎧( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 4 ⎨ ⎩y = x obteniéndose los puntos F1 ( 2 - 1, 2 - 1) y F2 (- 2 - 1,- 2 - 1) . Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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Cónicas a2 : c Su ecuación ha de ser, por tanto, de la forma y = -x + n, es decir, x + y – n = 0, −1−1− n a2 =1= . Resulta n = −2 ± 2 , luego, las determinando n de modo que c 2 directrices son las rectas y = − x − 2 ± 2 .

Las directrices son rectas paralelas al eje no focal que distan del centro

Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación a 11 + 2a 12 m + a 22 m 2 = 0 ⇔ 0 + m + 0 = 0 ⇒ m = 0 . Una asíntota tiene, entonces, de ecuación: y = -1 La otra, pasa por el centro y es paralela al eje de ordenadas OY: x = -1 . Dibujo de la cónica

x

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Cónicas 2

2

8.- Dada la cónica 2x -y +4xy-x=0, se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas g) Vértices h) Dibujo de la cónica. Solución: 2 2 #1: 2·x - y + 4·x·y - x = 0 ⎡ 1 ⎤ ⎢ 0 - ⎯ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ #2: A ≔ ⎢ 1 ⎥ ⎢ - ⎯ 2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 2 -1 ⎦ a) Calsificación: #3: DET(A) 1 #4: ⎯ 4 Cónica no degenerada #5: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) ⎡ 2 2 ⎤ #6: ⎢ ⎥ ⎣ 2 -1 ⎦ #7: A00 ≔ DET(Ac) #8: -6 Hipérbola b) Ecuación reducida: DET(A) #9: k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A00 1 #10: - ⎯⎯ 24 #11: EIGENVALUES(Ac) #12: [-2, 3] #13: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -2) ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎯ ⎥ #14: ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ #15: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 3) ⎡ -2 ⎤ #16: ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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Cónicas

Ecuación reducida: 2 2 1 #17: 3·x - 2·y - ⎯⎯ = 0 24 c) semiejes y excentricidad Parámetros:

2 #18: #19:

- 2·y

1 - ⎯⎯ = 0 24

⎛ 2 1 ⎞ SOLVE⎜- 2·y - ⎯⎯ = 0, y⎟ ⎝ 24 ⎠

√3·i √3·i y = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯ 12 12 2 1 #21: 3·x - ⎯⎯ = 0 24 ⎛ 2 1 ⎞ #22: SOLVE⎜3·x - ⎯⎯ = 0, x⎟ ⎝ 24 ⎠ √2 √2 #23: x = - ⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯ 12 12 √3 #24: b ≔ ⎯⎯ 12 √2 #25: a ≔ ⎯⎯ 12 Semidistancia focal: 2 2 #26: c ≔ √(a + b ) c #27: e ≔ ⎯ a √10 #28: ⎯⎯⎯ 2 d) Centro: ⎛⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎞ ⎜⎢ - ⎯ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 0 ⎤ ⎟ #29: SOLVE⎜⎢ 2 ⎥·⎢ x ⎥ = ⎢ ⎥, [x, y]⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎟ ⎝⎣ 0 2 -1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎠ ⎡ 1 1 ⎤ #30: ⎢x = ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎥ ⎣ 12 6 ⎦ Centro de la cónica:(1/12,1/6) e) Ejes Eje real o focal: 1 1 ⎛ 1 ⎞ #31: y - ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 2 ⎝ 12 ⎠ Eje imaginario o no focal: #20:

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Cónicas 1 ⎛ 1 ⎞ #32: y - ⎯ = - 2·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 ⎝ 12 ⎠ f) Asíntotas ⎡ 1 ⎤ #33: [1, m]·Ac·⎢ ⎥ = 0 ⎣ m ⎦ ⎡ 2 ⎤ #34: ⎣ - m + 4·m + 2 = 0⎦ ⎡ 2 ⎤ #35: SOLVE(⎣ - m + 4·m + 2 = 0⎦, m, Real) #36: [m = 2 - √6, m = √6 + 2] 1 ⎛ 1 ⎞ #37: y - ⎯ = (2 - √6)·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 ⎝ 12 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ #38: y - ⎯ = (2 + √6)·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 ⎝ 12 ⎠ g) Vértices ⎛⎡ 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞2 2⎤ #39:SOLVE⎜⎢y - ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎯⎟, ⎜y - ⎯⎟ + ⎜x - ⎯⎯⎟ = a ⎥, ⎝⎣ 6 2 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎦ ⎞ [x, y]⎟ ⎠ ⎡ √10 1 √10 1 1 √10 1 #40:⎢x = ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎯⎯ + ⎯, x = ⎯⎯ - ⎯⎯⎯ ∧ y = ⎯ ⎣ 30 12 60 6 12 30 6 √10 ⎤ ⎯⎯⎯⎥ 60 ⎦ h) Dibujo de la cónica

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Cónicas 9.- Dada la cónica de ecuación: 9x2+6xy-22x+y2-34y+49=0. Se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Parámetro de la cónica. e) Vértice y Eje. f) Foco y directriz. Solución: 2 2 #1: 9·x + 6·x·y - 22·x + y - 34·y + 49 = 0 a) Ecuación matricial: ⎡ 49 -11 -17 ⎤ #2: A ≔ ⎢ -11 9 3 ⎥ ⎣ -17 3 1 ⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ #3: [1, x, y]·A·⎢ x ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ b) Clasificación: #4: DET(A) #5: -1600 #6: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) ⎡ 9 3 ⎤ #7: ⎢ ⎥ ⎣ 3 1 ⎦ #8: DET(Ac) #9: 0 Se trata de una parábola. c) Ecuación reducida: #10: EIGENVALUES(Ac) #11: [0, 10] #12: λ2 ≔ 10 ⎛ DET(A) ⎞ #13: b1 ≔ - √⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ 10 ⎠ #14: b1 ≔ - 4·√10 2 #15: λ2·y`` - 2·b1·x`` = 0 2 #16: 10·y`` - 8·√10·x`` = 0 2 4·√10 #17: y`` = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x`` 5 d) Parámetro de la cónica: 4·√10 #18: 2·p = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 ⎛ 4·√10 ⎞ #19: SOLVE⎜2·p = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, p⎟ ⎝ 5 ⎠ 2·√10 #20: p = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 32

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Cónicas e) Vértice y eje: #21: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 10) ⎡⎡ @1 ⎤⎤ ⎢⎢@1, ⎯⎯⎯⎯⎥⎥ ⎣⎣ 3 ⎦⎦ La ecuación del eje y'' es entonces de la forma: 1 #23: y = ⎯⎯⎯·x + k 3 Interseccionamos la parábola con y'' y obligamos a que la solución sea única (será la abscisa del vértice): 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ #24:9·x + 6·x·⎜⎯⎯⎯·x + k⎟ - 22·x + ⎜⎯⎯⎯·x + k⎟ - 34·⎜⎯⎯⎯·x + k⎟ +49=0 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 2 100·x + 60·x·(k - 5) + 9·k - 306·k + 441 #25: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0 9 ⎛ 2 2 ⎞ ⎜ 100·x + 60·x·(k - 5) + 9·k - 306·k + 441 ⎟ #26: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, x⎟ ⎝ 9 ⎠ 3·(2·√6·√(k - 1) - k + 5) #27: x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ x = 10 3·(2·√6·√(k - 1) + k - 5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 10 Para que ambas soluciones coincidan ha de ser K = 1. Otro método para obtener k es igualar a cero el discriminante de la ecuación de segundo grado anterior: 2 2 2 #28: 60 ·(k - 5) - 400·(9·k - 306·k + 441) = 0 2 2 2 #29: SOLVE(60 ·(k - 5) - 400·(9·k - 306·k + 441) = 0, k) #30: k = 1 2 2 100·x + 60·x·(1 - 5) + 9·1 - 306·1 + 441 #31: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0 9 2 4·(25·x - 60·x + 36) #32: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0 9 ⎛ 2 ⎞ ⎜ 4·(25·x - 60·x + 36) ⎟ #33: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, x⎟ ⎝ 9 ⎠ 6 #34: x = ⎯⎯⎯ 5 1 6 #35: y = ⎯⎯⎯·⎯⎯⎯ + 1 3 5 7 #36: y = ⎯⎯⎯ 5 El vértice es pues el punto: #22:

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Cónicas ⎡ 6 7 ⎤ #37: ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦ La ecuación del eje es: 7 ⎛ 6 ⎞ #38: y - ⎯⎯⎯ = - 3·⎜x - ⎯⎯⎯⎟ 5 ⎝ 5 ⎠ f) Foco y directriz: Se intersecciona el eje focal con la circunferencia de centro en el vértice y radio p/2: ⎛⎡ 7 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 6 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 2 ⎤ #39: SOLVE⎜⎢y - ⎯⎯⎯ = - 3·⎜x - ⎯⎯⎯⎟, ⎜x - ⎯⎯⎯⎟ + ⎜y - ⎯⎯⎯⎟ = ⎯⎯⎯⎥, ⎝⎣ 5 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ ⎞ [x, y]⎟ ⎠ ⎡ 7 4 ⎤ #40: ⎢x = 1 ∧ y = 2, x = ⎯⎯⎯ ∧ y = ⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦ En la gráfica se observa que el punto (1,2) es el foco y el punto (7/5, 4/5) pertenece a la directriz, que tiene de ecuación: 4 1 ⎛ 7 ⎞ #41: y - ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯·⎜x - ⎯⎯⎯⎟ 5 3 ⎝ 5 ⎠ #42: [1, 2]

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Cónicas 2

2

10.-Dada la cónica x + y + kxy - 10x - 2y + 1 = 0, se pide: a) La ecuación matricial b) Ecuación de las Asíntotas y Eje focal para el valor k = 2. c) Ecuación reducida para el valor k = 1 1 d) Hallar la excentricidad para el valor k = . 2 e) Clasificar según los valores del parámetro k ∈ ℜ f) Demostrar que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es e = 2 Solución: ⎛ 1 −5 − 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ a) (1 x y ) ⎜ −5 1 k ⎟ ⎜ x ⎟ = 0 . ⎜ −1 k 1 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ b) Si k = 2 entonces ⎛ 1 −5 −1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −5 1 2 ⎟ , A c = −3 , A = −9 la cónica es una hipérbola cuyo centro ⎜ −1 2 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎧−5 + x + 2y = 0 , es x = −1, y = 3 solución del sistema ⎨ ⎩ −1 + 2x + y = 0 Las pendientes de sus asíntotas, son las raíces del polinomio 1 + 4m + m 2 = 0 , por tanto, m = −2 ± 3 Los valores propios de Ac son las raíces de A c − λI 2 = ( λ − 3) (λ + 1) = 0 . El eje focal pasa por el centro y su pendiente es, la pendiente del vector propio asociado al valor propio λ = −1 , que resulta ser m = −1

(

)

Asíntotas (y − 3) = −2 ± 3 ( x + 1) .

Eje focal (y − 3) = −1( x + 1) ⇒ y = − x + 2 . c) Si k = 1 ⇒ A = −16,

A c = 0 y la cónica, resulta ser, una parábola cuya

ecuación reducida es λ 2 ( y ') ± 2bx ' = 0 . 2

λ 2 = a11 + a 22 = 2 , b = −

−A 2 = 2 2 . Ecuación reducida ( y ') − 2 2x ' = 0 . λ2

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Cónicas ⎛ ⎜1 1 d) Si k = los valores propios de ⎜ 2 ⎜1 ⎜ ⎝2

a 2 = 2k , b 2 =

1⎞ 1 3 2 ⎟ son λ = y λ = por tanto ⎟ 2 2 1 ⎟⎟ ⎠

2 2 k , ⇒ c = 2k − k y la excentricidad en este caso es: 3 3

e=

4 k 3 = 2 . 2k 6

e) A c = 1 − k 2 , A = −(k − 5) 2 , así pues el valor de k ∈ R lo descomponemos en

los intervalos y valores siguientes: 1.- Si k < −1 ⇒ A c < 0,

A < 0 son hipérbolas.

2.- Si k = −1 ⇒ A c = 0,

A < 0 es una parábola.

3.- Si −1 < k < 1 ⇒ A c > 0,

4.- Si k = 1 ⇒ A c = 0,

5.- Si 1 < k < 5 ⇒ A c < 0,

A < 0 y a11 > 0 son elipses.

A < 0 es una parábola.

A < 0 son hipérbolas.

6.- Si k = 5 ⇒ A c < 0,

A = 0 son dos rectas secantes.

7.- Si 5 < k ⇒ A c < 0,

A < 0 son hipérbolas.

f) En una hipérbola equilátera se verifica que a=b y c2=a2+b2=2a2 y como la c excentricidad es e = = a

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2a 2 = 2. a

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Cónicas 11.- Dada la cónica de ecuación: 1+2x+4y+3x2+4xy=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica d) Centro, si procede e) Ejes y vértices f) Focos y directrices g) Asíntotas, si procede h) Dibujo de la cónica y de los elementos hallados en los apartados anteriores. Solución: a) Clasificación: ⎡ 1 1 2 ⎤ ⎢ ⎥ #1: A ≔ ⎢ 1 3 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 0 ⎦ #2: DET(A) #3: -8 #4: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #5: A00 ≔ DET(Ac) #6: A00 ≔ -4 ES UNA HIPÉRBOLA DET(A)≠0; DET(Ac) 0 ELIPSE REAL ⎜ 2 −4 5 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩signo(a11 + a 22 ) ≠ signo A ⎛ −7 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎧⎪ A = 21 ≠ 0 b) A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ⇒ ⎨ Hipérbola = − < A 3 0 ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎩⎪ c ⎝ ⎠ x + 2y = 0 ⎫ Centro ⎬ ⇒ C(0, 0) 2x + y = 0 ⎭

Ecuación característica de Ac: λ 2 − 2λ − 3 = 0 . Valores propios -1 y 3. k =

A Ac

= −7

x 2 y2 − =1 7 7 3 1 − 3 2 ⎛ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ Pendiente del eje focal ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ y = x ⇒ m1 = 1 ⎝ 2 1 − 3⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Eje focal y = x Eje transverso y = -x Ecuación reducida 3x2-y2-7=0 ⇔

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Cónicas Focos 7 28 De la ecuación reducida obtenemos que: a 2 = ; b 2 = 7 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 = 3 3 y=x ⎫ ⎛ 42 42 ⎞ ⎛ 42 42 ⎞ ⎪ F , , F , = = − − Y del sistema 2 ⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 28 ⎬ 1 2 ⎜ 3 ⎜ 3 ⎟⎠ 3 3 ⎟⎠ x + y2 = ⎪ ⎝ ⎝ 3⎭ Asíntotas ⎧y = 3 − 2 x ⎪ 2 1+4m+m =0 ⇒ m = −2 ± 3 ⇒ ⎨ ⎪y = − 3 − 2 x ⎩

(

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(

)

)

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Cónicas 19.- Clasificar la cónica focal y Focos. Solución: ⎛ −1 ⎜ t X AX = O ⇔ (1 x y ) ⎜ 2 ⎜0 ⎝ Clasificación: A 00 =

2xy+4x-1=0 y hallar su excentricidad, Eje

2 0⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 1⎟⎜ x ⎟ = 0. 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠

0 1 = −1 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. 1 0

A = 1 ≠ 0 ⇒ Se trata de una hipérbola.

Ecuación reducida: λ 1 x'' 2 + λ 2 y'' 2 + c = 0 A ⎧−1 c= = −1 ; A c − λ I = λ 2 − 1 = 0 ⇒ λ = ⎨ A 00 ⎩1 Tomamos para λ 1 el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ 1 = 1, λ 2 = −1 ;. Por tanto, la ecuación reducida queda: 1x ''2 − 1y ''2 − 1 = 0 ⇔ x ''2 − y ''2 = 1 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA c Excentricidad: e = = 2 > 1 , ya que a 2 = 1 , b 2 = −1 , c2 = a 2 - b 2 = 2 . a ⎧2 + y = 0 Para el centro, resolvemos el sistema ⎨ , obteniéndose el punto C=(0,-2) ⎩x = 0 Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ −x + y = 0 ⇔ y = x . ⎝ 1 −1 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + 2 = x ⇔ y = x − 2 . El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y + 2 = −x ⇔ y = −x − 2 . Focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y ⎧(x + 0) 2 + (y + 2) 2 = 2 radio c: ⎨ . Obteniéndose los puntos F1 ( − 1, −3) y F2 (1,-1) . ⎩y = x − 2

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Cónicas 2

2

20.- Dada la cónica x + y –2xy – 6x + 2y + 7 = 0, se pide: a) Las coordenadas del foco. b) La ecuación de la directriz. Solución: Dada la cónica: 2 2 #1: x + y - 2·x·y - 6·x + 2·y + 7 = 0 ⎡ 7 -3 1 ⎤ ⎢ ⎥ #2: A ≔ ⎢ -3 1 -1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 -1 1 ⎦ Ecuación matricial ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ #3: [1, x, y]·A·⎢ x ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ #4: DET(A) #5: -4 Cónica no degenerada #6: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) ⎡ 1 -1 ⎤ #7: Ac ≔ ⎢ ⎥ ⎣ -1 1 ⎦ #8: A00 ≔ DET(Ac) #9: 0 Parábola #10: TRACE(Ac) #11: 2 ⎛ DET(A) ⎞ #12: b1 ≔ √⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ TRACE(Ac) ⎠ #13: b1 ≔ √2 Ecuación reducida: 2 #14: 2·y - 2·√2·x = 0 Parámetro:comparando con y^2=2px b1 #15: p ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ TRACE(Ac) #16:

√2 p ≔ ⎯⎯ 2

Vértice: Buscamos los vectores propios asociados a los valores propios 0 y 2: ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ #17: Ac·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦

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Cónicas ⎛ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎞ #18: SOLVE⎜Ac·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, y, Real⎟ ⎝ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎠ #19: y = x haz de rectas de pendiente m=-1: #20: y = -x + n 2 2 #21: 4·x - 4·x·(n + 2) + n + 2·n + 7 = 0 2 2 #22: 16·(n + 2) - 16·(n + 2·n + 7) = 0 2 2 #23: SOLVE(16·(n + 2) - 16·(n + 2·n + 7) = 0, n, Real) 3 #24: n = ⎯ 2 sustituyendo n por 3/2, para que el discriminante sea cero y tengamos solución única: ⎛ 2 49 ⎞ #25: SOLVE⎜4·x - 14·x + ⎯⎯ = 0, x, Real⎟ ⎝ 4 ⎠ 7 #26: x = ⎯ 4 1 #27: y = - ⎯ 4 vértice (7/4,-1/4) eje de simetría: 1 ⎛ 7 ⎞ #28: y + ⎯ = 1·⎜x - ⎯⎟ 4 ⎝ 4 ⎠ ⎛⎡ 1 ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 #29: SOLVE⎜⎢y + ⎯ = 1·⎜x - ⎯⎟, ⎜y + ⎯⎟ + 1·⎜x - ⎯⎟ = ⎝⎣ 4 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎛ p ⎞2⎤ ⎞ ⎜⎯⎟ ⎥, [x, y]⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎡ 3 1 ⎤ #30: ⎢x = 2 ∧ y = 0, x = ⎯ ∧ y = - ⎯⎥ ⎣ 2 2 ⎦ a) foco:F(2,0) b) directriz: 1 ⎛ 3 ⎞ #32: y + ⎯ = - 1·⎜x - ⎯⎟ 2 ⎝ 2 ⎠

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Grafica:

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Cónicas

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Cónicas 21.- Dada la cónica de ecuación 36x2 + 29y2 + 24xy − 96x − 22y − 115 = 0 . Se pide: a) b) c) d) e) Solución:

Clasificación Ecuación reducida Semiejes, Parámetro y excentricidad Centro y Ejes

Directrices

2 2 36·x + 29·y + 24·x·y - 96·x - 22·y - 115 = 0 ⎡ -115 -48 -11 ⎤ ⎢ ⎥ #2: A ≔ ⎢ -48 36 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -11 12 29 ⎦ #3: DET(A) #4: -162000 #5: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #6: A00 ≔ DET(Ac) #7: A00 ≔ 900 ES UNA ELIPSE DET(A)≠0; DET(Ac)>0 ⎡ 36 12 ⎤ #8: TRACE ⎢ ⎥ ⎣ 12 29 ⎦ #9: 65 a) Elipse real, pues la traza de Ac es de distinto signo que el determinante de A. DET(A) #10: k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A00 #11: k ≔ -180 valores propios de Ac: #12: EIGENVALUES(Ac) #13: [20, 45] Consideramos primero el menor, para obtener como eje de abs cisas 0X'' el eje focal b) Ecuación reducida: 2 2 #14: 20·x + 45·y - 180 = 0 2 2 #15: 20·x + 45·0 - 180 = 0 2 2 #16: SOLVE(20·x + 45·0 - 180 = 0, x, Real) #17: x = -3 ∨ x = 3 2 2 #18: 20·0 + 45·y - 180 = 0 2 2 #19: SOLVE(20·0 + 45·y - 180 = 0, y, Real) #20: y = -2 ∨ y = 2 #1:

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Cónicas c) Semiejes:a=3, b=2 #21: a ≔ 3 #22: b ≔ 2 Semidistancia focal: 2 2 #23: c ≔ √(a - b ) #24: Excentricidad: c #25: e = ⎯ a √5 #26: ⎯⎯ 3 Parámetro focal: 2 b #27: p = ⎯⎯ a 4 #28: ⎯ 3 #29: #30:

⎡ ⎢ DELETE_ELEMENT(A, 1)·⎢ ⎢ ⎣ SOLVE(36·x + 12·y = 48

#31:

c ≔ √5

1 ⎤ ⎥ ⎡ 0 ⎤ x ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 0 ⎦ y ⎦ ∧ 12·x + 29·y = 11, [x, y], Real) 7 1 x = ⎯ ∧ y = - ⎯ 5 5

d)

Centro(7/5,-1/5) #32:

EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 20) ⎡ 3 ⎤ ⎢ ⎯ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦

#33: #34:

EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 45) ⎡ 4 ⎢ - ⎯ ⎢ 3 ⎢ ⎣ -1

#35:

Eje mayor: #36:

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 4 ⎛ 7 ⎞ y + ⎯ = - ⎯·⎜x - ⎯⎟ 5 3 ⎝ 5 ⎠

Eje menor: #37:

62

1 3 ⎛ 7 ⎞ y + ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎟ 5 4 ⎝ 5 ⎠

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Cónicas e) ⎛⎡ ⎜⎢⎛ 1 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 #38: SOLVE⎜⎢⎜y + ⎯⎟ + ⎜x - ⎯⎟ = ⎝⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎤ ⎞ 7 ⎞⎥ ⎟ ⎯⎟⎥, [x, y]⎟ 5 ⎠⎦ ⎠ ⎡ 27·√5 7 36·√5 #39:⎢x = ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ ∧ y = - ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎣ 25 5 25 36·√5 1 ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎥ 25 5 ⎦

⎛ 2 ⎞2 ⎜ a ⎟ 1 4 ⎛ ⎜⎯⎯⎟ , y + ⎯ = - ⎯·⎜x ⎝ c ⎠ 5 3 ⎝

1 7 27·√5 - ⎯, x = ⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ ∧ y = 5 5 25

Directrices: #40: #41:

36·√5 1 3 ⎛ 27·√5 7 ⎞ y + ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎟ 25 5 4 ⎝ 25 5 ⎠ 36·√5 1 3 ⎛ 27·√5 7 ⎞ y - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ = ⎯·⎜x + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎟ 25 5 4 ⎝ 25 5 ⎠

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Cónicas 22.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + 2xy + y 2 − 2x − 10y + 9 = 0 . Se pide: a) Ecuación matricial b) Clasificación c) Ecuación reducida d) Excentricidad y Parámetro de la cónica e) Vértice y Eje f) Foco y directriz g) Gráfica de la cónica donde aparezcan los elementos que se calculan en los dos apartados anteriores. Solución: a) Ecuación matricial ⎛ 9 −1 −5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ t (1 x y ) ⎜⎜ −1 1 1 ⎟⎟ ⎜⎜ x ⎟⎟ = 0 ⇔ X AX = 0 ⎜ −5 1 1 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ b) Clasificación 1 1 A 00 = A c = = 0 ⇒ Tipo parabólico 1 1 A = −16 ≠ 0 ⇒ PARÁBOLA

c) Ecuación reducida 2b1 x ' '+λ 2 y' ' 2 = 0 ; valores propios de A c : λ 1 = 0, λ 2 = 2 (con la función

EIGENVALUES (Ac)); b1 = ±

−A a 11 + a 22

= ± 2 2 ; para que b1 sea de signo

contrario a λ 2 , tomamos b1 = −2 2 . − 4 2 x ' '+2 y' ' 2 = 0 ⇔ y' ' 2 = 2 2 x ' ' d) Excentricidad y parámetro de la cónica e = 1 , por ser una parábola. 2p = 2 2 ⇒ p = 2 e) Eje y vértice Vectores propios de Ac asociados a

λ2 = 2 :

(1,1)

(con la función

Exact_EIGENVECTOR (Ac, 2)) ⇒ Eje y' ' ≡ y = x + n . Busquemos “n” para que la intersección de y’’ con la parábola sea un único punto: ⎧y = x + n ⇒ 4 x 2 + 4x (n − 3) + n 2 − 10n + 9 = 0 ⇒ ⎨ 2 2 ⎩x + y + 2 xy − 2 x − 10 y + 9 = 0 x=

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− 4(n − 3) ± 16(n − 3) 2 − 16(n 2 − 10n + 9) 8 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

Cónicas Discriminante = 0 = 16(n − 3) − 16(n 2 − 10n + 9) ⇒ n = 0 ⇒ Eje y' ' ≡ y = x 2

3 − 4(0 − 3) ± 0 3 = ; ordenada: y = x = n =0 8 2 2

Abscisa del vértice: x =

⎛3 3⎞ Luego, V = ⎜ , ⎟ . ⎝2 2⎠ El eje focal pasa por el vértice y es perpendicular a y’’: 3 3⎞ ⎛ Eje focal ≡ y - = −⎜ x − ⎟ ⇔ y = − x + 3 2 2⎠ ⎝ f) Foco y directriz ⎧ 3 3⎞ ⎛ ⎪Eje focal ≡ y - 2 = −⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎧x = 2 ⇒ y = 1 ⎪ ⇒⎨ ⎨ 2 2 ⎩x = 1 ⇒ y = 2 ⎪circunf . de centro V y radio p ≡ ⎛ x − 3 ⎞ + ⎛ y - 3 ⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 Observando el dibujo se obtiene que el foco es F = (1,2) y la directriz es la recta que pasa por el punto (2, 1) y es paralela a y’’: dir ≡ y - 1 = 1(x − 2) ⇔ y = x − 1 g) Gráfica de la cónica

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Cónicas 23.- Sea la cónica de ecuación: 11x2 + 17y2 − 6 3xy − 40 = 0 a) ¿Es el Centro de la cónica el origen del sistema de referencia? ¿Son los Ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos. b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: c) Hallar las ecuaciones de los Ejes: d) Directrices. e) Focos. f) Vértices. Solución: a) ¿Es el centro de la cónica el origen del sistema de referencia? SI , ya que NO APARECEN TERMINOS EN X NI EN Y ¿Son los ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? NO , ya que APARECE TÉRMINO EN X.Y En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos: Llamando z, t a los ejes de la cónica, se ha de verificar que ⎧x = z cos α − t sen α ⎛ x ⎞ ⎛ COSα −SENα ⎞ ⎛ z ⎞ . ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , es decir, ⎨ ⎝ y ⎠ ⎝ SENα COSα ⎠ ⎝ t ⎠ ⎩ y = z sen α + t cos α Llevando estas expresiones a la ecuación de la cónica y simplificando, se obtiene (1) (−12 3 cos 2 α + 12sen α cos α + 6 3)zt +

+ (6 cos 2 α + 6 3 sen α cos α )(t 2 − z 2 ) + 17z 2 + 11t 2 − 40 = 0 Ha de ser 0 = coeficiente de zt = − 12 3 cos 2 α + 12 sen α cos α + 6 3 π π Resolviendo la ecuación anterior, se obtiene α = − ó y ya las ecuaciones del giro 3 6 son: ⎛ 3 1⎞ ⎜ ⎟ z − ⎛x⎞ ⎜ 2 2 ⎟⎛⎜ ⎞⎟ (2) ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎟⎜⎝ t ⎟⎠ ⎝y⎠ ⎜ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: Para ello, sustituimos, en la expresión (1), α por el valor que acabamos de obtener, y π π queda: 2x 2 + 5y 2 − 10 = 0; α = o bien 5x 2 + 2 y 2 − 10 = 0; α = − 6 3 c) Hallar las ecuaciones de los ejes.

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Cónicas

π ; para ello escribimos 6 ⎛ 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ x' x ⎛ ⎞ ⎜ 2 2 ⎟⎛⎜ ⎞⎟ . , es decir, ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎟⎜⎝ y' ⎟⎠ ⎝y⎠ ⎜− 1 ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

Para obtener el eje focal hay que girar la recta y = 0 un ángulo

⎛ 3 1⎞ ⎜ ⎟ x − x ' ⎛ ⎞ ⎜ 2 2 ⎟⎛⎜ ⎞⎟ las ecuaciones del giro ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎟⎜⎝ y ⎟⎠ ⎝ y' ⎠ ⎜ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 Sustituyendo queda: 1 3 − x+ y = 0 . Análogamente, el eje no focal se obtiene girando la recta x=0 un 2 2 3 1 π x+ y=0 ángulo obteniéndose: 2 2 6 Dibujar los ejes:

d) Las directrices se obtienen girando las rectas x =

Obteniéndose:

a2 5 =± c 3

3 1 5 3 1 5 x+ y= y x+ y=− 2 2 3 2 2 3

e) Los focos se obtendrán girando los puntos (c,0),(-c,0), es decir

⎛ ⎜ x ' ⎛ ⎞ ⎜ Para ello: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ y' ⎠ ⎜ ⎜ ⎝

3 2 1 2

1⎞ ⎛ 3 ⎞ − ⎟⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟ y. 3 ⎟⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠

⎛ ⎜ x ' ⎛ ⎞ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ y' ⎠ ⎜ ⎜ ⎝

3 2 1 2

⎛ 15 5 ⎞ ⎟, , f) Análogamente se obtienen los vértices: ⎜⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎛ 2 6⎞ ⎜⎜ ⎟ ,− 2 ⎟⎠ ⎝ 2

(

)(

3,0 , − 3,0

)

1⎞ ⎛ 3 ⎞ − ⎟⎛ − 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 2 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟. ⎜ 3⎟ 3 ⎟⎝ 0 ⎟⎠ ⎜ ⎜− ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠

⎛ 15 5⎞ ⎛ 2 6⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ , ⎜⎜ − ⎟, ,− , 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎝

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Cónicas 24.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: (a2 + 4)x 2 + 9y2 + 6axy − 4(a 2 + 1)x − 12ay + 4a 2 − 8 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 1: Ecuación reducida y área de la cónica. Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica. Centro, Ejes, Focos y vértices principales. Ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (0,2) y son tangentes a la cónica. Dibujo de la cónica. Solución: a) Clasificación ⎛ 4a 2 − 8 − 2(a 2 + 1) − 6a ⎞ ⎜ ⎟ ⎧⎪A 00 = 36 > 0 A = ⎜ − 2(a 2 + 1) a2 + 4 3a ⎟ , ⎨ ⎪⎩ A = −324 ≠ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ 3a 9 ⎠ ⎝ − 6a (a11 + a22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL

⇒

Elipse

b) Sea a=1

Ecuación reducida

λ1x' '2 +λ 2 y ' '2 + γ = 0 ;

⎧⎪λ = 7 − 13 ⎛5 3 ⎞ ⎟⎟ ⇒ ⎨ 1 λ1 y λ 2 valores propios de A c = ⎜⎜ , ⎪⎩λ 2 = 7 + 13 ⎝3 9 ⎠

ya que se toma como λ 1 el valor propio de menor valor absoluto. γ=

A A 00

= −9

(7 − 13 )x' ' 2 +(7 + 13 )y ' ' 2 −9 = 0 ⇒

x' ' 2 9

+

7 − 13 Semiejes a2 =

9 7 − 13

⇒a=

Área de la cónica S = abπ =

3 7 − 13

, b2 =

9 7 + 13

y' ' 2 9

=1

7 + 13

⇒b =

3 7 + 13

3 π 2

Excentricidad y parámetro de la cónica

a2 =

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9 7 − 13

, b2 =

9 7 + 13

⇒ p=

b 2 2 26 − 5 2 = . a 6

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Cónicas c2 = a 2 − b2 =

c 7 13 − 13 1 13 ⇒ e = = a 18 2

Centro

⎧−4 + 5x + 3y = 0 ⎛1 1⎞ ⇒ C ⎜ , ⎟. ⎨ ⎝2 2⎠ ⎩−6 + 3x + 9y = 0

Ejes

⎧ ⎛ 1 1⎞ ⎪Pasa por el centro C ⎜ , ⎟ Eje focal x’’ ≡ ⎨ ⎝ 2 2⎠ ⎪ ⎩Es paralelo a los vectores propios asociados a λ 1 = 7 − 13

⎞ 1 3 ⎛ 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ G ⎛ 13 + 2 e , 1 = ⇒ = − ⎜ ⎟⎟ ⇒ y − = − ⎜x− ⎟. f ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2⎠ 2 + 13 ⎝ ⎝ y⎠ ⎝0⎠ ⎝ 3 ⎠

( A c − λ1I ) ⎜

⎧ ⎛ 1 1⎞ ⎪Pasa por el centro C ⎜ , ⎟ El eje no focal y’’ ≡ ⎨ ⎝ 2 2⎠ ⎪Es perpendicular al eje focal ⎩ por tanto, y’’ ≡ y −

1⎞ 1 3 ⎛ =− ⎜x − ⎟ . 2⎠ 2 2 − 13 ⎝

Vértices principales Se hallan como la intersección del eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio “a”:

⎧ ⎛ 26 − 3 338 + 78 13 26 + 1690 − 26 13 ⎞ 1 1⎞ ⎧ −3 ⎛ ⎪ ⎟ V1 ⎜ , ⎜x − ⎟ ⎜ ⎟ ⎪y − 2 = 52 52 ⎪ 2 2 + 13 ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ . ⇒⎨ ⎨ 2 2 9 ⎪ ⎛ 26 + 338 + 78 13 26 − 1690 − 26 13 ⎞ ⎪⎛ x − 1 ⎞ + ⎛ y − 1 ⎞ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎪V2 ⎜ ⎪⎩⎝⎜ 2⎠ ⎝ 2⎠ 7 − 13 ⎜ ⎟ 52 52 ⎪⎩ ⎝ ⎠

Focos Se hallan los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio c:

c2 = a 2 − b2 =

13 2

⎧ ⎛1 ⎧ −3 ⎛ 1 1⎞ ⎪F1 ⎜ + ⎜x − ⎟ ⎪y − 2 = ⎪⎪ ⎜⎝ 2 2 2 + 13 ⎝ ⎠ ⎪ ⇒⎨ ⎨ 2 2 ⎪ ⎛1 ⎪⎛ x − 1 ⎞ + ⎛ y − 1 ⎞ = 13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪F2 ⎜ − ⎪⎩⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⎪⎩ ⎜⎝ 2

13 + 2 1 , − 4 2 13 + 2 1 , + 4 2

13 − 2 ⎞ ⎟ ⎟ 4 ⎠ 13 − 2 ⎞ ⎟ ⎟ 4 ⎠

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Cónicas

Haz de rectas que pasan por el punto (0,2) es y − 2 = mx . La intersección de la recta tangente con la elipse debe ser un único punto, y = 2 + mx debe tener solución por tanto, el sistema 5x 2 + 9y 2 + 6xy − 8x − 12y − 4 = 0 1 m=± única ⇒ (24m + 4)2 − 32(9m2 + 6m + 5) = 0 144(2m2 − 1) = 0 2 1 y = 2+ x 2 1 y = 2− 2x

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Cónicas 25.- Dada la cónica de ecuación 8x2 − 6 2xy + y2 − 36 2x + 14y + 49 = 0 . Se pide: a) b) c) d) e)

Clasificar la cónica La ecuación reducida. La excentricidad. La ecuación del Eje focal. Las ecuaciones de las Asíntotas.

Solución: a) #1:

⎡ 49 ⎢ A ≔ ⎢ - 18·√2 ⎢ ⎣ 7

- 18·√2 8

7

⎤ ⎥ - 3·√2 ⎥ ⎥ 1 ⎦ DET(A) = -18

- 3·√2 #2: #3: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #4: A00 ≔ DET(Ac) #5: A00 = -10 ES UNA HIPÉRBOLA DET(A)≠0; DET(Ac) 0 3) 0 < a < 2 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧A 00 = 0 4) a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ≠ A 0 ⎩ 74

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Cónicas ⎧A 00 < 0 ⇒ HIPÉRBOLA 5) a > 2 ⇒ ⎨ ⎩A ≠ 0 rectas paralela a

hipérbola

0

parábola elipse real

2 Hipérbola

b) x 2 − 20 y 2 + 20 xy − 2 x − 40 y = 0 − 1 − 20 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ A = ⎜ −1 1 10 ⎟ . ⎜ − 20 10 − 20 ⎟ ⎠ ⎝ Clasificación (ya sabemos que es una hipérbola: a = -10 < 0) 1 10 = −120 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. A 00 = 10 − 20 A = 20 ≠ 0 ⇒ Se trata de una HIPÉRBOLA.

b1) Ecuación reducid λ 1 x'' 2 + λ 2 y'' 2 + c = 0 A 1− λ 10 ⎧− 24 20 1 = λ 2 + 19λ − 120 = 0 ⇒ λ = ⎨ = = − ; Ac − λ I = c= 10 − 20 − λ A 00 − 120 6 ⎩5 Tomamos para λ 1 el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ 1 = 5, λ 2 = −24 ;. Por tanto, la ecuación reducida queda:

5x ''2 − 24y ''2 −

1 x ''2 y ''2 =0⇔ − =1 . 1 1 6 30 144

b2) Centro

⎧−1 + x + 10y = 0 ⎛ 11 1 ⎞ Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ ⇒ C⎜ ,− ⎟ . ⎝ 16 12 ⎠ ⎩−20 + 10x − 20y = 0 b3) Ejes Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ − 4 10 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ −4 x + 10 y = 0 ⇔ y = x . 5 ⎝ 10 − 25 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 2⎛ 11 ⎞ = ⎜x − ⎟ . 12 5 ⎝ 6⎠ El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: 1 5⎛ 11 ⎞ y+ = − ⎜x − ⎟ . 12 2⎝ 6⎠

Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y +

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Cónicas b4) Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación ⎧1 30 ⎪ + ⎪ 2 10 a 11 + 2a 12 m + a 22 m 2 = 0 ⇔ 1 + 20m − 20m 2 = 0 ⇒ m = ⎨ . ⎪ 1 − 30 ⎪⎩ 2 10

Las asíntotas tienen, por tanto, de ecuación: y +

1 1 30 ⎛ 11 ⎞ =( ± )⎜ x − ⎟ 12 2 10 ⎝ 6⎠

b5) Dibujo de la cónica

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Cónicas 27.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + y 2 + 2kxy + 2x + 1 = 0 , se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro “k”. b) Para k = -1 b1) Ecuación reducida y Parámetro de la cónica. b2) Vértice y Eje de la cónica. b3) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores. Solución: ⎛1 1 0⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ 1 1 k ⎟ ⎜0 k 1⎟ ⎠ ⎝ 2 A = −k = 0 ⇒ k = 0

A 00 = A c =

1 k = 1 − k 2 = 0 ⇒ k = ±1 k 1 k -1

0

1

Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧⎪ A 00 < 0 ⇒ Tipo hiperbólico ⇒ HIPÉRBOLA 1) k < −1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no deg enerada ⎪⎧A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico ⇒ PARÁBOLA 2) k = −1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no degenerada ⎧A 00 > 0 3) − 1 < k < 0 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪A 00 > 0 ⇒ Tipo elíptico ⇒ UN PUNTO 4) k = 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A = 0 ⇒ deg enerada ⎧A 00 > 0 5) 0 < k < 1 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪ A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico ⇒ PARÁBOLA 6) k = 1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no degenerada ⎪⎧ A 00 < 0 ⇒ Tipo hiperbólico ⇒ HIPÉRBOLA 7) k > 1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no deg enerada Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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Cónicas parábola

punto

parábola

k hipérbola -1 elipse real

0 elipse real

1

hipérbola

b) x 2 + y 2 − 2 xy + 2 x + 1 = 0 0⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 1 − 1⎟ . ⎜0 −1 1 ⎟ ⎠ ⎝

Ya sabemos que se trata de una PARÁBOLA por el apartado anterior. A = −1 , A 00 = 0 b1) Ecuación reducida λ 2 y' ' 2 +2b1 x ' ' = 0 Ac − λ I =

b1 = ±

1− λ −1 ⎧0 = λ 1 =0⇒λ=⎨ −1 1− λ ⎩2 = λ 2

-A a 11 + a 22

=±

1 2 =± 2 2

Se toma b1 de signo contrario a λ 2 ; es decir, b1 = −

2 y' ' 2 − 2 x ' ' = 0 ⇒

y' ' 2 =

2 . 2

2 x' ' . 2

Parámetro de la cónica

2p =

2 2 ⇒p= 2 4

b2) Vértice y eje de la parábola El eje de la parábola x`` tiene la dirección de los vectores propios asociados al valor propio λ 1 = 0 de la matriz A c :

⎛ 1 − 1⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x − y = 0 ⇒ y = x ⎝ − 1 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Luego, el eje y``, perpendicular a x`` y que corta a la cónica en el vértice, tiene una ecuación de la forma: y`` ≡ y = − x + n Sustituimos esta expresión en la ecuación de la parábola, obteniéndose: 2 x 2 + (− x + n ) − 2x (− x + n ) + 2x + 1 = 0 78

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Cónicas + 2(1 − 2n )x + n 2 + 1 = 0

⇒ 4x cuyo discriminante Δ ha de ser nulo para que tenga solución única (la abscisa x del vértice): 3 2 Δ = 4(1 − 2n ) − 4 ⋅ 4 n 2 + 1 = 0 ⇔ −4n − 3 = 0 ⇒ n = − 4 La abscisa del vértice es, entonces, la solución única de la ecuación 3 4x 2 + 2(1 − 2n )x + n 2 + 1 = 0 para n = − : 4 25 5 =0⇒x =− 4 x 2 + 5x + 16 8 3 Como el vértice ha de pertenecer al eje y`` ≡ y = − x − , su ordenada ha de ser: 4 5 3 1 y= − =− 8 4 8 ⎛ 5 1⎞ El vértice es, por tanto, el punto V⎜ − ,− ⎟ . ⎝ 8 8⎠ Y el eje de la parábola es la recta que pasa por el vértice y tiene de pendiente 1: 1 ⎛ 5⎞ y + = 1⎜ x + ⎟ 8 ⎝ 8⎠ b3) Dibujo de la cónica 2

(

)

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Cónicas NOTA: Foco y directriz no se piden. Se añaden aquí para tener un estudio más completo de la cónica por si algún alumno emplea esta solución como material de estudio: Foco y directriz

Como ambos se encuentran a una distancia

p 2 = del vértice, intersecamos el eje x`` 2 8

p : 2 ⎧ 1 ⎛ 5⎞ ⎪ y + 8 = 1⎜ x + 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ 2 2 ⎪⎛ x + 5 ⎞ + ⎛ y + 1 ⎞ = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎪⎜⎝ 8 8 32 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Resolviendo el sistema anterior se obtienen los dos puntos: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎜ − ,0 ⎟ y ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 4⎠ ¿Cuál de ambos es el foco? Si se interseca la parábola con la recta paralela al eje y`` que pasa por el origen, no se obtienen puntos de corte, ya que el discriminante Δ para n = 0 es negativo: 2 Δ = 4(1 − 2n ) − 4 ⋅ 4 n 2 + 1 = −12 < 0 Luego, la parábola se abre hacia la izquierda del vértice y el foco F es, de ambos puntos, el que tiene menor abscisa: ⎛ 3 1⎞ F⎜ − ,− ⎟ ⎝ 4 4⎠ con la circunferencia de centro V y radio

(

)

La directriz d es la recta que pasa por el otro punto y es paralela al eje y``: 1⎞ ⎛ d ≡ y − 0 = −⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝

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Cónicas 28.- Dada la cónica de ecuación: 2 + x2 + 2xy = 0 , se pide: a) Clasificarla b) Coordenadas del Centro c) Asíntotas Solución: a) Clasificación ⎡ 2 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ #1: A ≔ DET ⎢ 0 1 1 ⎥ = -2 ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ #2: A00 ≔ DET ⎢ ⎥ = -1 0 ⎡ 1 1 ⎤ TRACE ⎢ ⎥ = 3 ⎣ 1 2 ⎦ Traza(Ac)>0, es decir de igual signo con respecto a A00, luego una ELIPSE IMAGINARIA #12:

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Cónicas 2

2

30.- Dada la elipse: x +y -xy+x+y=0. Se pide: a) centro b) excentricidad y semiejes c) ejes de simetría d) ecuación de las rectas tangentes a la elipse y paralelas a la recta y = x Solución ⎧2x − y + 1 = 0 a) El centro se obtiene como solución del sistema ⎨ es decir C=(-1,-1) ⎩2y − x + 1 = 0 ⎛ ⎜ 1 b) Llamando A c = ⎜ ⎜− 1 ⎜ ⎝ 2

1⎞ − ⎟ 2 , menor (1,1) de la matriz de la cónica, los valores propios ⎟ 1 ⎟⎟ ⎠ 1 3 de A c son (ordenados de forma creciente por su valor absoluto λ1 = y λ2 = 2 2

⎛ ⎜0 ⎜ 1 Si A es la matriz de la cónica A = ⎜ ⎜2 ⎜ ⎜⎜ 1 ⎝2

1 ⎞ 2 ⎟ ⎟ 3 1⎟ − entonces A = − ⎟ 4 2 ⎟ 1 ⎟⎟ ⎠

1 2 1 −

1 2

3 − A Y llamando k = = 4 = −1 3 Ac 4 La ecuación reducida de la cónica es λ1x 2 + λ 2 y 2 + k = 0 ⇒

1 2 1 2 x + y =1 2 2 3

⎧semieje mayor a = 2 ⎪ De donde se deduce que los semiejes son: ⎨ 2 ⎪ semieje menor b = 3 ⎩

La excentricidad viene dada por e =

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c a −b = = a a 2

2

2− 2

2 3 =

2 3

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Cónicas c) Los vectores propios de la matriz Ac asociados respectivamente a los valores propios ⎧λ → (−1, −1) son: ⎨ 1 que nos dan las pendientes m1=1 y m2=-1 de los ejes de simetría ⎩ λ 2 → (1, −1) focal y no focal.

Imponiendo la condición de que pasen por el centro C=(-1,-1) las ecuaciones de los ejes eje focal y = x ⎧ son ⎨ ⎩eje no focal y = − x − 2 d) El apartado d) se puede resolver de dos formas.

a. Método general. Se obliga a que la intersección de la cónica con la recta genérica de la dirección dada sea un punto doble. Esos puntos son los puntos de tangencia. y= x+n ⎧ Es decir, hay que resolver el sistema ⎨ 2 sustituyendo 2 ⎩ x + y + xy + x + y = 0 x 2 + ( x + n ) + x ( x + n ) + x + x + n = 0 ⇒ x 2 + (n + 2)x + n 2 + n = 0 2

−(n + 2) ± (n + 2) 2 − 4(n 2 + n) se impone que los puntos sean dobles con 2 4 (n + 2) 2 − 4(n 2 + n) = 4 − 3n 2 = 0 ⇒ n = ± 3 2 Las dos rectas tangentes buscadas son, por tanto, y = x ± 3 b. Si se observa el problema, resulta que se buscan dos rectas tangentes a la elipse, que son paralelas al eje focal, por tanto son dos rectas paralelas al eje focal y que cortan a la elipse en los vértices secundarios. Estos vértices se obtienen de la intersección del eje y = −x − 2 ⎧ se no focal con la elipse, es decir, de resolver el sistema ⎨ 2 2 ⎩ x + y + xy + x + y = 0 x=

1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 obtienen los puntos ⎜ − 1, − 1⎟ y las rectas buscadas son − 1,− − 1⎟ y ⎜ − 3 ⎠ 3 3 ⎠ ⎝ ⎝ 3 las rectas de pendiente m=1 que pasan por estos vértices.

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Cónicas 31. Dada la cónica de ecuación: 5x2 + 5y2 +2xy – 6x – 6y - 3 = 0, se pide: a) Ecuación reducida. b) Excentricidad. c) Centro. d) Ejes. Solución: La ecuación matricial de la cónica es: ⎛ −3 − 3 − 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ X AX = 0 ⇔ (1 x y ) ⎜ −3 5 1 ⎟ ⎜ x ⎟ = 0 ⎜ −3 1 5 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Por tanto, A 00 = 24 > 0 ⇒ Cónica de tipo elíptico. A = −144 ≠ 0 ⇒ Es una elipse. t

A (a 11 + a 22 ) = −144 (5 + 5) = −1440 < 0 ⇒ Es una elipse real. a) Ecuación reducida: λ 1x''2 + λ 2 y ''2 + k = 0

⎧4 A c − λ I = (5 − λ ) 2 − 1 = 0 ⇒ λ = ⎨ ⎩6 Tomamos para λ 1 el valor propio de menor valor absoluto, es decir, λ 1 = 4, λ 2 = 6 ; A k= = −6 . A 00 x'' 2 Por tanto, la ecuación reducida queda: −6 + 4 x'' +6y'' = 0 ⇔ + y'' 2 = 1 3 2 3 c 1/ 2 b) Excentricidad: e = = = 0 ⎨ ⎪⎩ A = −1 ≠ 0

⇒ Elipse

= + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL

Ecuación reducida λ1 x ''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 ⎛ 1 −1⎞ ⎧⎪λ1 = 2 − 2 , ya que se toma como λ 1 el ⎟⇒⎨ ⎝ −1 3 ⎠ ⎪⎩λ 2 = 2 + 2

λ 1 y λ 2 valores propios de A c = ⎜

valor propio de menor valor absoluto. A 1 k= =− A 00 2

(

)

(

)

2 − 2 x '' 2 + 2 + 2 y '' 2 −

1 =0⇒ 2

(

x '' 2 1

2 2− 2

+

)

(

y '' 2 1

2 2+ 2

=1

)

Excentricidad

Ya que a 2 =

(

1

2 2− 2

)

, b2 =

e=

(

1

2 2+ 2

c = a

(

)

, c2 = a 2 - b2 =

2 2 1

2 2− 2

90

(

2 ⇒ c= 2

2 . 2

)

= 2 2 2 − 2 0 ⇒ Elipse imaginaria b.- Estamos en el caso 3, se trata de una hipérbola. Ecuación reducida: λ 1 x ' ' 2 + λ 2 y' ' 2 + k = 0

⎛1 1 1 ⎞ ⎛ 0 −1⎞ A = ⎜⎜1 0 −1⎟⎟ ⇒ A c = ⎜ ⇒ A c − λ I = λ 2 − 1 = 0 ⇒ λ = ±1 ⎟ ⎝ −1 0 ⎠ ⎜1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ A ⎧λ = −1 (signo contrario a k) −3 k= = = 3⇒ ⎨ 1 A 00 −1 ⎩λ 2 = 1 x ''2 y''2 − x '' + y'' + 3 = 0 ⇔ − =1 3 3 2

2

Semiejes: a = b = 3 , se trata de una hipérbola equilátera. Excentricidad: e = 2 ⎧1 − y = 0 Centro: ⎨ ⇒ C (1,1) ⎩1 − x = 0 Asíntotas:

⎧m1 = 0 2 ⇒ Pendiente: a11 + a 22 m + 2a12 m = 0 ⇒ 0 − 2m = 0 ⇒ m = 0 ⇒ ⎨ ⎩m 2 = ∞ ⎧x = 1 ⎩y = 1

Ecuaciones: ⎨

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Cónicas 36.- a) Clasificar las siguientes cónicas: a1) 2 + x2 + 2xy = 0 a2) x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 8y = 0 a3) x2 + 2xy + 2 y2 - 2x – 1 = 0 b) Hallar los semiejes a y b, y las ecuaciones de los ejes de la elipse x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 4y = 0 Solución: ⇒

a1) A=

⇒ la ecuación corresponde a una hipérbola

⇒

a2) A=

⇒ la ecuación corresponde a una parábola

⇒

a3) A=

⇒ la ecuación corresponde a una elipse real

b) La ecuación reducida de la elipse, es de la forma λ1x2 + λ2y2 + k =0, y la ecuación de una elipse de centro en el origen es,

a2 =

obtiene que:

, luego operando e identificando se

−k −k y b2 = . λ1 λ2

Calculamos k y los autovalores de Ac ⇒k=

A=

= λ2 -3λ +1 =0 ⇒

Autovalores de Ac: a2=

y b2=

=

= -2

=

, luego,

⇒ a = 3+ 5 , b = 3− 5

Para el cálculo de las ecuaciones de los ejes necesitamos calcular el centro y las direcciones de los ejes: Centro: , resolviendo el sistema se obtiene. x= 0, y= -1 ⇒ C(0,-1) Direcciones de los ejes:

, operando quedan dos

ecuaciones proporcionales, siendo cualquiera de ellas la solución, por ejemplo, ⇒ Eje focal:

y +1 =

Eje secundario:

y las ecuaciones de los ejes son: 5 −1 x 2 y +1 = −

2 x 5 −1

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Cónicas SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS P1.- La ecuación de la hipérbola equilátera es (x − 2)2 − (y + 3)2 = 9 ; centro (2,-3); eje focal y = −3 , y eje no

focal x=2; focos F(2 + 3 , - 3) y F' (2 − 3 , - 3) ; directrices x = 2+ 3 y x = 2 − 3 ; y de ecuación reducida 2 2 2 2 (x ') − (y') = 9 . P2.- Circunferencia (x − 5) + (y + 3) = 20 . 2

P3.-

(X + 2)2 + (Y − 1)2

P4.- a)

9

25

=1

(X + 3)2 + (Y − 4)2 36

25

2

= 1 . b) eje mayor x = −3 ; eje menor y = 4 ; vértices A(-3,-

1), 25 ⎞ 11 ⎛ A’(-3,9), B(3,4), B’(-9,4); focos ⎜ − 3,4 ± . c) recta ⎟ ; y excentricidad e = 6 11 ⎠ ⎝ tangente 5x − 8y − 3 = 0 y recta normal 40x + 25y − 24 = 0 . d) y = 9 y 10 y − 9 = ( x − 9) . 9 P5.- a) b)

c)

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d)

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Cónicas e) elipse imaginaria

f)

g)

h)

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