MATEMÁTICAS

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EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA

Juan Jesús Pascual

TRIGONOMETRÍA A. Introducción teórica A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes). A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica. A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas. A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno. B. Ejercicios resueltos B.1. Razones trigonométricas. B.2. Ecuaciones trigonométricas. B.3. Problemas. A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado: a)

Para el ángulo α: función seno a senα = c función cosecante 1 c cos ec α = = senα a

función coseno b cos α = c función secante 1 c s ecα = = cos α b

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función tangente a tgα = b función cotangente 1 b cotgα = = tgα a

Ejercicios de trigonometría resueltos

b)

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Para el ángulo β: función seno b senβ = c función cosecante 1 c cos ecβ = = senβ b

función coseno a cos β = c función secante 1 c s ecβ = = cos β a

función tangente b tgβ = a función cotangente 1 a cotgβ = = tgβ b

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes)

ángulo 0º 30º 45º

sen

cos

tg

0 rad

0

1

0

π rad 6 π rad 4

1 2 2 2

3 2 2 2

1 3

ángulo π rad 60º 3 π rad 90 2

1

180º

π rad

sen 3 2

cos 1 2

tg

1

0

∞

0

–1

0

3

A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.

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Ejercicios de trigonometría resueltos

A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad: senθ = tgθ cos θ Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 b) Relaciones del ángulo suma–diferencia: sen ( α ± β ) = senα ⋅ cos β ± senβ ⋅ cos α cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ senα ⋅ senβ

tg ( α ± β ) =

tgα ± tgβ 1 ∓ tgα ⋅ tgβ

c) Relaciones del ángulo doble Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales. sen ( 2 α ) = 2senα ⋅ cos α cos ( 2 α ) = cos 2 α − sen 2 α tg ( 2 α ) =

2tgα 1 − tg 2 α

d) Relaciones del ángulo mitad sen 2

α 1 − cos α = 2 2

cos 2

α 1 + cos α = 2 2

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Ejercicios de trigonometría resueltos

tg 2

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α 1 − cos α = 2 1 + cos α

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno

Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno. A c

b

B

C a

a) Teorema del seno:

a b c = = senA senB senC

b) Teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

B. EJERCICIOS RESUELTOS

B.1. Cálculo de razones trigonométricas

1. Sabiendo que senα = 0, 86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas Solución: Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: •

senα = 0, 86

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•

Ejercicios de trigonometría resueltos

El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental sen 2 θ + cos 2 θ = 1 : sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ cos 2 θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − sen 2 θ Sustituyendo datos:

1 2 La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental senθ = tgθ . Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos: cos θ cos θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − 0, 86 2 ⇒ cos θ =

•

senθ 0, 86 = tgθ ⇒ tgθ = ⇒ tgθ = 1,72 cos θ 0, 5 •

La cosecante es la inversa del seno. cos ecα = sen−1α =

1 = 1, 26 0, 86

•

La secante es la inversa del coseno.

•

1 =2 1 2 La cotangente es la inversa de la tangente. s ecα = cos−1 α =

cot gα = tg −1α =

1 = 0, 58 1,72

2. Calcula las relaciones directas de α y β Solución:

trigonométricas

Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente.


Para el ángulo α : 40 ⇒ senα = 0, 8 , 50 30 cos α = ⇒ cos α = 0, 6 50 40 tgα = ⇒ tgα = 1, 33 30 Observa que se cumple que sen 2 α + cos 2 α = 1 senα =

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Ejercicios de trigonometría resueltos

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Para el ángulo β : 30 senβ = ⇒ senβ = 0, 6 50




cos β = tgβ =

40 ⇒ cos β = 0, 8 50

30 ⇒ tgβ = 0, 75 40

Observa que también se cumple que sen 2β + cos 2 β = 1 , como no podía ser de otra manera.

3. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:


135º Solución: El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura.

sen 45

135º 45º - cos 45




- 560º Solución: Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo: 560 200

360    ⇒ 1 vuelta ⋅ 360º + 200º  1

El ángulo que tenemos que manejar es -200º. Ello es equivalente a un ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo

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Ejercicios de trigonometría resueltos

sen 20 20º - cos 45 -200º

3 y que α está en el 4º cuadrante, halla las 2 demás razones trigonométricas.

4. Sabiendo que cos α =

Solución: Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es negativo. El senα

lo deducimos usando la relación fundamental de la

trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 2

 3 Así: sen α + cos α = 1 ⇒ sen α +   = 1 ⇒ senα = −  2  2

2

2

 3 1 1 −  = − 4 2

El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:

1 1 senα 1 =− 3 ; ; cotgα = tgα = = 2 =− tgα cos α 3 3 2 −

sec α =

1 3 1 = ; co sec α = = −2 cos α 2 senα

1 y que α está en el 2º cuadrante, halla las 3 demás razones trigonométricas.

5. Sabiendo que tgα = −

Solución: Si α está en el 2º cuadrante entonces cosα es negativo y senα es positivo. -

1 para hallar senα : sen 2α 2  1  1 1 4 1 3 2  tg α + 1 = ⇒ −  + 1 = ⇒ = ⇒ senα = 2 2 2  sen α  sen α 3 sen α 2 3

Utilizamos la relación tg 2α + 1 =

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Ejercicios de trigonometría resueltos

-

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Hallamos cosα a partir de tgα =

senα : cos α

3 senα 3 cos α = = 2 =− . 1 tgα 2 − 3 -

Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata: sec α =

1 2 1 2 1 =− 3 = − ; co sec α = = ; cot gα = cos α 3 tgα senα 3

1 6. Si α está en el tercer cuadrante y senα = − , determina las siguientes 2 razones trigonométricas:


sen (180º −α ) Solución:




Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien indica el enunciado. Pero, en general, senα = sen (180 −α ) , así que 1 sen (180 −α ) = − 2 sen (180º +α ) Solución:




Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además: 1 senα = −sen (180 −α ) , así que sen (180 −α ) = 2 cos (180º −α ) Solución: Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además: cos α = − cos (180 −α ) . Deduzcamos cosα : Usamos la relación fundamental de la trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 2  1  1 3 sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ −  + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = −1 −  = −  2  4 4

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Entonces, cos (180 −α ) =


3 4

cos (180º +α ) Solución: Se cumple que cos α = − cos (180 + α ) . Entonces: 3 3 − = − cos (180 +α ) ⇒ cos (180 + α ) = 4 4




tg (180º −α ) Solución:

1 sen (180º −α ) − 2 2 tg (180º −α ) = = = cos (180º −α ) − 3 3 4


tg (180º +α ) Solución: 1 sen (180º +α ) 2 2 tg (180º +α ) = = = cos (180º +α ) 3 3 4

B.2. Demostración de igualdades trigonométricas:

2sen α + 3 = cos α 2tg α + 3 sec α

7.

Solución:


Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para sen α convertirlo en cos α . Teniendo en cuenta que tg α = y que cos α 1 sec α = , podemos escribir: cos α 2sen α + 3 2sen α + 3 = 2tg α + 3 sec α 2 sen α + 3 cos α cos α

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Ejercicios de trigonometría resueltos




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Operamos esa expresión con el fin de simplificarla: 2sen α + 3 2sen α + 3 cos α (2sen α + 3) = = = cos α sen α 3 2sen α + 3 2sen α + 3 2 + cos α cos α cos α




8.

Como acabamos de ver, la igualdad se cumple.

tg 2α =

sen 2α 1 − sen 2α

Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A = tg 2α =

sen 2α cos 2 α

Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: En B =

sen 2α vamos a reescribir el denominador de una forma 1 − sen 2α

más conveniente: Teniendo en cuenta que sen 2α + cos 2 α = 1 1 − sen 2α = cos 2 α . Entonces: B=

se deduce que

sen 2α sen 2α = 1 − sen 2α cos 2 α

Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera.

9.

tg (α )⋅ cot g (α ) −

 1   cos (α ) + sen (α ) ⋅  1 − =    sec (α ) cos ec (α )   1 + cot g 2 (α ) 2sen (α )

Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A:

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A = tg (α )⋅ cot g (α ) −

= 1−

2 ⋅ sen (α ) 2

1+

cos (α ) sen 2 (α )

2 ⋅ sen (α ) 1 + cot g 2 (α )

= tg (α )⋅

2 ⋅ sen (α ) 1 − = tg (α ) 1 1+ 2 t g (α )

2 ⋅ sen (α )

= 1−

2

2

sen (α ) + cos (α ) sen 2 (α )

= 1−

2 ⋅ sen (α ) = 1 sen 2 (α )

= 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )

Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:

 1  1  = B =  cos (α ) + sen (α ) ⋅  −  sec (α ) cos ec (α )

=  cos (α ) + sen (α ) ⋅  cos (α ) − sen (α ) = = cos 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α ) Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.

10.

1 = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α 2 sec α Solución: Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A=

1 = cos 2 α sec2 α

Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: B = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α = (sen 2α + cos 2 α )⋅ cos 2 α = cos 2 α Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.

11. cos ec 4α − 1 = 2 cot g 2α + cot g 4α Solución: Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A:

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A = cos ec 4α − 1 = (cos ec2α − 1)( cos ec 2α + 1)

Recordamos que cos ec2α = 1 + cot g 2α . Entonces:

(cos ec2α − 1)(cos ec2α + 1) = (1 + cot g 2α − 1)(1 + cot g 2α + 1) = = cot g 2α ( cot g 2α + 2) = cot g 4α + 2 cot g 2α . Hemos llegado a obtener el lado B de la expresión dada, luego se ha demostrado que la igualdad es cierta.

12. sen 2α =

2tg α 1 + tg 2α

Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha: sen α ⋅ cos α sen 2α = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 2 ⋅ tg α ⋅ cos 2 α = cos α

= 2 ⋅ tg α ⋅

=

13.

tg α 1 1 = 2 ⋅ tg α ⋅ = 2⋅ = 2 2 2 1 sen α + cos α sen α cos 2 α + cos 2 α cos 2 α cos 2 α cos 2 α

2 ⋅ tg α . Queda así demostrado. 1 + tg 2α

2 ⋅ sen x + 3 = cos x 2 ⋅ tg x + 3 ⋅ sec x Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante

B.3. Ecuaciones trigonométricas

14. Resuelve: sen x =

3 2

Solución:

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 x = sen−1  

 π  x = 60º = 1  3   3  ⇒    2π 2   x 2 = 180º −60º = 120º = 3 

15. Resuelve: cos x =

1 2

Solución:

x = cos−1

16. tg x =

π π  x1 = 45º = 45º ⋅ =  1 180º 4  ⇒  2 x = 360º −45º = 315º = 315º ⋅ π = 7 π  2 180º 4

1 3

Solución:

x = tg −1

π π  x = 30º = 30º ⋅ =  1  180º 6 ⇒ π 3  x = 30º +180º = 210º = 7 

17. Resuelve la ecuación cos 2x = sen x en el intervalo [ 0, 2π ] Solución: •

Hay que recordar que cos 2x = cos 2 x − sen 2 x . Así: cos 2x = sen x ⇒ cos 2 x − sen 2 x = sen x

•

Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por ello: cos 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 1 − sen 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 2

2

⇒ 2 ⋅ sen x + senx − 1 = 0 ⇒ senx =

−1 ± (−1) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) 2⋅2

sen x = −1 =  1 sen x =  2 •

Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos:

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=

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Si sen x = −1 , entonces: x 1 = Si sen x =

3π 2

1 π 5π , entonces: x 2 = y x 3 = 2 6 6

18. Resuelve la ecuación sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x en el intervalo [ 0, 2π ] Solución: •

Hay que recordar que sen 2x = 2sen x ⋅ cos x . Así: sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos 2 x = 6sen 3 x

•

Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por ello:

2 ⋅ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 6 ⋅ sen 3 x ⇒ ⇒ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 3 ⋅ sen x ⋅ sen 2 x ⇒

sen x = 0 ⇒ sen x ⋅ ( 4 ⋅ sen x − 1) = 0 ⇒  1 1 sen 2 x = ⇒ sen x = ±  4 2 2

•

Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos: Si sen x = 0 , entonces: x 1 = 0 1 π 5π Si sen x = , entonces: x 2 = y x 3 = 2 6 6 1 7π 11π Si sen x = − , entonces: x 4 = y x5 = 2 6 6

19. Resuelve: cos 2x − cos 6x = sen5x + sen3x Solución:


Vamos a utilizar las siguientes relaciones:

A+B A−B ⋅ sen 2 2 A +B A −B senA − senB = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 cos A − cos B = −2 ⋅ sen




Entonces:

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2x + 6x 2x − 6x ⋅ sen 2 2 5x + 3x 5x − 3x sen5x − sen3x = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 cos 2x − cos 6x = −2 ⋅ sen




Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada y pasamos todo a un miembro −2 ⋅ sen ( 4x)⋅ sen (−2x) = 2 ⋅ sen ( 4x)⋅ cos (x)




Si tenemos en cuenta que sen (−a) = −sen (a) y sacamos factor común, entonces: 2 ⋅ sen ( 4x) = 0 2 ⋅ sen ( 4x)⋅  sen (2x) − cos (x) = 0 ⇒  sen ( 2x) − cos (x) = 0  - Resolvemos la primera ecuación de las dos:

4x = 0 + 2kπ ⇒ x = k π  2 2 ⋅ sen ( 4x) = 0 ⇒   π π 4x = π + 2kπ ⇒ x = + k 4 2  - Resolvemos la segunda ecuación: sen ( 2x) − cos (x) = 0 ⇒ 2 ⋅ sen (x) cos (x) − cos ( x) = 0 ⇒

⇒  2 ⋅ sen (x) − 1 cos (x) = 0 ⇒   π  x = + 2kπ   2 cos (x) = 0 ⇒  3 x = π + 2kπ    2 ⇒   π  x = + 2kπ   6 2 ⋅ sen (x) − 1 = 0 ⇒ sen (x) = 1 ⇒   5π 2  + 2kπ  x = 2   La solución es entonces la unión de todas estas soluciones.

20. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [ 0, 2π ] sen x + sen y = 1   2x + 2y = π Solución:

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Ejercicios de trigonometría resueltos

•

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Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la primera ecuación: π − y , por lo que: 2 π  sen x + sen y = 1 ⇒ sen  − y + sen y = 1 2  2x + 2y = π ⇒ x =

•

Ahora, para poder simplificar esta expresión usamos la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos: π  π π sen  − y = sen ⋅ cos y − cos ⋅ seny = cos y , es decir: 2  2 2 π  sen  − y + sen y = 1 ⇒ cos y + seny = 1 2 

•

Intentamos expresar el coseno en función del seno, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación: 2

(cos y + seny) = 12 ⇒ cos 2 y + sen 2 y + 2 ⋅ seny cos y = 1 ⇒ ⇒ 1 + 2 ⋅ sen y cos y = 1 ⇒ sen y cos y = 0 Pero sen y cos y = sen 2y , por lo que sen y cos y = 0 ⇒ sen 2y = 0 •

Las soluciones para sen 2y = 0 están dadas por: 2y = 0 y 2y = π , π π esto es: y 1 = 0 ; y 2 = . Teniendo en cuenta que x = − y , 2 2 entonces: π y1 = 0 ⇒ x1 = 2 π y2 = ⇒ x2 = 0 2

21. Calcula las soluciones del siguiente sistema, en el intervalo [ 0, 2π ] . sen x = 2 ⋅ sen y   π  x−y =  3 Solución:

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•

Ejercicios de trigonometría resueltos

Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la primera ecuación: π π ⇒ x = + y , por lo que: 3 3 π  sen x = 2 ⋅ sen y ⇒ sen  + y = 2 ⋅ sen y 3  x−y =

•

Usamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos en el miembro izquierdo de la ecuación:

π  π π 3 1 sen  + y = sen ⋅ cos y + cos ⋅ seny = cos y + seny 3  3 3 2 2 Entonces la fórmula a resolver es: 3 1 3 1 cos y + seny = 2seny ⇒ cos y = seny ⇒ 3 = tg y 2 2 2 2

 π y 1 = 60º = 3 Solución: tg y = 3 ⇒    4π y 2 = 180º +60º = 3 

22. Calcula las soluciones del siguiente sistema. 4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3   2y ⋅ cos 2x = 3  Solución: •

Dividimos las dos ecuaciones del sistema: 4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3 4y ⋅ sen x ⋅ cos x 3 2 ⋅ sen x ⋅ cos x  ⇒ = ⇒ = 3  2y ⋅ cos 2x cos 2x 3 2y ⋅ cos 2x = 3 

•

Recordamos que 2 ⋅ sen x ⋅ cos x = sen 2x y sustituimos en la ecuación: 2 ⋅ sen x ⋅ cos x 3 sen 2x = ⇒ = 3 ⇒ tg 2x = 3 cos 2x cos 2x 3

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•

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Despejamos x: 2x =

π π + 2kπ ⇒ x = + kπ 3 6

B.4. Problemas 23. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º. Solución: La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente: tg30 =

y ⇒ y = 10 ⋅ tg30 ⇒ y = 5,77 m 10

24. Calcula x e y: Solución: b a los a dos triángulos rectángulos, obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones: Aplicamos la relación tgθ =

y

30º 40 m

47º

 y tg47 =  x Operando:   y tg30 = 40 + x 

x

x ⋅ tg47 = y ⇒  ( 40 + x) tg30 = y

x ⋅ tg47 = y ⇒ x ⋅ tg47 = ( 40 + x)⋅ tg30 ⇒  ( 40 + x) tg30 = y

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⇒ 1, 07x = 23, 09 + 0, 58x ⇒ 0, 49x = 23, 09 ⇒ 23, 09 ⇒x= ⇒ x = 47, 12 m . 0, 49

Calculemos finalmente el valor de y:

x ⋅ tg47 = y ⇒ 47, 12 ⋅ 1, 07 = y ⇒ y = 50, 42 m

25. Calcula x Solución: 30º 100 m

60º

Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica.

y

x

Resolvemos el sistema:

y tg30 = 100

30º 100 m y

57,7 = y   ⇒ 57, 7 = 173, 2 − x ⇒ 173, 2 − x = y ⇒ x = 115, 5 m

tg60 =

x+y 100

60º

100 m

x+y

26. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)

Solución: 12

y

40º

Aplicamos el teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A Entonces:

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y 2 = 10 2 + 12 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 40 ⇒

y = 100 + 124 − 240 ⋅ cos 40 = 6, 35 m 27. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno: a b c = = senA senB senC Solución:

z= 3m

y 80º

40º

Sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno: a b c = = ⇒ senA senB senC

x  3 ⋅ sen40  y = = 1, 96 m sen80  ⇒  3 ⋅ sen60 = 2, 64 m x = sen80 

28. Halla la altura de la montaña 45º

B

C 4000 m h 30º

A

Solución: Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas  y el ACC´  perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB´

20/22

TIMONMATE

Ejercicios de trigonometría resueltos

B

: Triángulo CBB´

45º 4000 − h

tg45 =

45º

C

B´

4000 − h x

4000 m

: Triángulo ACC´

h

tg30 =

30º

C´

h x

A

x

Resolvamos éste sistema: 4000 − h  4000 − h  1=    x = 4000 − h  x x ⇒ ⇒  ⇒ 4000 − h = h 3 ⇒ 1 h h x=h 3    = tg30 = 3 x x   tg45 =

⇒h=

4000 m ≈ 1464 m 3 +1

29. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z. C

z

x y

60º

75º

45º 678 m

D A Solución:

21/22

B

Ejercicios de trigonometría resueltos

TIMONMATE

 . De él
Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC deduciremos las distancias y, z C

y z 678 = = ⇒ sen45 sen75 sen60

60º

z

y 75º

45º

B

A

 y 678  =  sen45 sen60 ⇒ ⇒  z 678 =   sen75 sen60

 y 678  =   2  2 3 m  y = 678  3  2 2  ⇒ ⇒  z 678  =   z = 1356 sen75  sen75  3 3   2 

m

 . De él obtendremos la altura
Ahora nos fijamos en el triángulo ACD de las torres, x. A

x

600

x=

2 m 3

60º D

C

22/22

2 2 2 678 ⋅ sen60 = 678 ⋅ = 452 m 3 3 3