RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

Coseno El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

Tangente La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B.

Cosecante La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B.

Secante La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

Cotangente La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

Razones trigonométricas en una circunferencia Se llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. QOP y TOS son triángulos semejantes. QOP y T'OS′ son triángulos semejantes. El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. -1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1

Signo de las razones trigonométricas

Tabla de razones trigonométricas

Relaciones entre las razones trigonométricas cos² α + sen² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos que difieren en 180°

Ángulos opuestos

Ángulos negativos

Mayores de 360º

Ángulos que difieren en 90º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que difieren en 270º

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

Definición y medida de ángulos Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común.

A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario Medida de ángulos Para medir ángulos se utiliza el sistema sexagesimal. Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). 1º = 60' = 3600'' 1' = 60''

Radianes Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

1 rad= 57° 17' 44.8'' 360º = 2 180º = 30º

rad rad rad

/3

rad

Ejercicios

º

Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos: 13 rad

22π/5rad.

33π/10 rad.

Expresa en radianes los siguientes ángulos: 1316°

2 10°

3 127º

Ejercicios de identidades trigonométricas

Comprobar las identidades trigonométricas: 1

2

3

4

5

6

7

Simplificar las fracciones:

1

2

3

Teorema de los senos Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Teorema de las tangentes

Resolución de triángulos Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área. Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos: 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

2. Se conocen los dos catetos

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Ejercicios De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo. sen B = 280/415 = 0.6747

B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo. tg B = 33/21 = 1.5714

B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo C = 90° - 22° = 68° b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m c = a cos 22°

c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo C = 90° - 37° = 53º a = b/sen B

a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º

Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.

Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

Elaborado por: Ing. Edilberto Villafañe A