1. EL TRIÁNGULO COMO POLÍGONO Debemos comenzar el estudio geométrico del triángulo considerándolo como el más sencillo de los polígonos. Así, vamos a considerar algunas de las características básicas de los polígonos que nos ayudarán posteriormente a comprender mejor las características del triángulo. Un polígono viene definido como la porción del plano limitada por rectas que se cortan o bien como el espacio limitado por una línea quebrada, cerrada y plana. Cada segmento de la línea quebrada se llama lado y los puntos de intersección de los lados se llaman vértices. Un polígono es cóncavo se al trazar cualquier recta sólo lo corta en dos puntos. El polígono es convexo si existe alguna recta que lo corte en más de dos puntos.
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Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están en ella. El polígono está circunscrito se todos sus lados son tangentes a la circunferencia.
2. TRIÁNGULOS: DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN El triángulo es una figura o superficie plana limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Tiene tres lados y tres ángulos. Los puntos de intersección de las rectas se llaman vértices y los segmentos comprendidos entre los vértices se llaman lados. Los vértices se designan con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas, utilizando la misma letra del vértice opuesto. Vamos a considerar algunas de sus propiedades geométricas fundamentales: • La suma de los tres ángulos interiores es 180º.
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• • • •
La suma de los ángulos exteriores es 360º Un lado es siempre menor que la suma de los otros dos lados En todo triángulo la suma de las dos bisectrices exterior e interior forma 90º En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de sus catetos.
Vemos estas características en el siguiente esquema
Los ángulos correspondientes a cada vértice son A, B y C Las bisectrices están trazadas en color naranja
2.1. Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican según distintas características geométricas dando lugar a tres tipos de clasificación: • según su configuración • según las medidas de los lados • según las medidas de los ángulos.
Vamos a ver más de cerca cada uno de estos tipos de clasificación.
Podemos clasificar los triángulos según su configuración en • Rectilíneos • Curvilíneos
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• Mixtilíneos
Observamos los distintos tipos a los que da lugar esta clasificación en el siguiente dibujo
Podemos clasificar los triángulos según las medidas de los lados en • Equilátero • Isósceles • Escaleno
Observamos los distintos tipos a los que da lugar esta clasificación en el siguiente dibujo
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Por último podemos clasificar los triángulos según las medidas de los ángulos en • Rectángulo • Acutángulo • Obtusángulo
Observamos los distintos tipos a los que da lugar esta clasificación en el siguiente dibujo
3. TRIÁNGULOS: PUNTOS Y RECTAS NOTABLES A continuación centramos la explicación en las características y propiedades de las rectas notables del triángulo, planteándola como el estudio en profundidad de las características geométricas de uno de los polígonos más importantes.
3.1. Altura y ortocentro La altura es la perpendicular trazada desde un vértice al lado puesto. Un triángulo tiene tres alturas. Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro H. Uniendo los puntos donde las alturas cortan a los lados del triángulo se obtiene el triángulo órtico correspondiente.
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3.2. Mediatriz La mediatriz es la recta perpendicular al lado en su punto medio. El punto de intersección de las tres mediatrices se llama circuncentro y constituye el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.
3.3. Bisectriz La bisectriz es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales. El punto de intersección de las tres bisectrices se llama incentro I. Este punto equidista de los tres lados del triángulo y es por eso el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo dado.
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3.4. Mediana La mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado puesto. El punto de intersección de las tres medianas se llama baricento (G) y es el centro de gravedad del triángulo dado.
3.5. Ceviana La ceviana es la línea que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto.
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3.6. Cediana Las líneas cedianas son las rectas perpendiculares a los lados de un triángulo dado.
4. OTROS ASPECTOS GEOMÉTRICOS: ÁREA Y SUPERFICIE La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura y dividiendo entre dos (donde la altura es el segmento que parte perpendicular desde la base hasta llegar al vértice opuesto).
Así, el área del triángulo queda expresada del siguiente modo:
Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la altura con respecto a ese lado. Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de Herón.
donde s = ½ (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo. Reescribiendo la fórmula anterior obtenemos:
5. BIBLIOGRAFÍA González Monsalve, M., Palencia Cortés, J. (2006) Trazado Geométrico. Utrera: Grafitrés. Rodríguez de Abajo, F., Álvarez Bengoa, V. (1992) Curso de dibujo geométrico y de croquización. San Sebastián: Editorial Donostiarra.
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Rodríguez de Abajo, F., Revilla Blanco, A. (1992) Tratado de perspectiva. San Sebastián: Editorial Donostiarra.