E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 2 Aproximación e interpolación Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Curso 2006/07 Septiembre 2006, Versión 1.3

Ejercicio 1 Queremos aproximar el valor1 de sin(0.1). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p4 (0.1). (b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que se produce cuando aproximamos sin(0.1) mediante p4 (0.1). (c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que proporciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 decimales. Ejercicio 2 Consideramos la función sin(x). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple. (b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en el intervalo [−2, 2]. (c) Construye la expresión del valor absoluto del error absoluto |e4 (x)| = |R4 (x)| = |sin(x) − p4 (x)| y represéntala en [−2, 2]. A partir del gráfico, determina una cota superior de error absoluto. (d) Construye la función del valor absoluto del error relativo ¯ ¯ ¯ sin(x) − p4 (x) ¯ ¯ ¯ sin(x)

|r4 (x)| = ¯¯

represéntala en [−1, 1]. A partir del gráfico, determina una cota superior de error relativo. Ejercicio 3 Consideramos la función cos(x). 1

En los sucesivo, los ángulos están en radianes

1

Ejercicios: Aproximación e Interpolación

2

(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6. (b) Determina una cota superior del error absoluto que se comente cuando aproximamos cos(x) mediante el p6 (x) en el intervalo [0, π4 ]. Ejercicio 4 Queremos aproximar e0.5 . (a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5. (b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativo que se produce cuando aproximamos e0.5 mediante p5 (0.5). Verifica los resultados comparando los valores que se obtienen con la calculadora o con Maple. Ejercicio 5 Consideramos la función ex . (a) Construye los polinomios de McLaurin de orden 3,4 y 5 usando Maple. (b) Representa conjuntamente la función ex y los polinomios obtenidos en el intervalo [0, 1]. (c) Construye las funciones de error absoluto |ej (x)| = |Rj (x)| = |exp(x) − pj (x)| ,

j = 3, 4, 5

y represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso, una cota superior de error absoluto. (d) Construye las funciones de error relativo ¯ ¯ ¯ exp(x) − pj ¯ ¯ ¯, |rj (x)| = ¯ exp(x) ¯

j = 3, 4, 5

represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso, una cota superior de error relativo. (e) Amplía el cálculo de cotas de error al intervalo [−2, 2] ¿Sigue siendo bueno el comportamiento de los polinomios como aproximantes de ex ? Ejercicio 6 Consideramos la siguiente tabla de datos x y

0 −1

1 1

2 . 3

(a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el polinomio interpolador de la tabla. (b) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador.

Ejercicios: Aproximación e Interpolación

3

(c) Verifica los resultados con Maple. Ejercicio 7 Consideremos la tabla de datos x y

x0 y0

x1 y1

x2 . y2

Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x) queda determinado por la siguiente expresión ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯

x2 p(x) ¯¯ x20 y0 ¯¯ ¯ = 0. x21 y1 ¯¯ x22 y2 ¯

1 x 1 x0 1 x1 1 x2

(a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla x y

0 −1

1 1

2 . 3

(b) Resuelve el apartado (a) con Maple. Ejercicio 8 Consideramos la siguiente tabla de datos x y

0 0

1 1

2 3

−1 . 0

(a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 que interpole los valores de la tabla. (b) ¿Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de la tabla? ¿Y de grado 4? (c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple. Ejercicio 9 Calcula los polinomios de grado 2 que para x = 1 y x = −1 toman el valor 1. Ejercicio 10 Aproxima2 log(4). 1. Mediante interpolación lineal a partir de los valores log(3) = 0. 47712 12, 2

log(5) = 0. 69897 00

log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que 1 d log(x) = dx x ln(10)

donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.

Ejercicios: Aproximación e Interpolación

4

2. Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartado anterior y, además, log(4.5) = 0.6532125. 3. Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo. 4. Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que proporciona la calculadora. Calcula el error absoluto y relativo correspondientes a cada caso y verifica la corrección de las cotas superiores de error. Ejercicio 11 Consideramos la siguiente tabla de datos x y

−2 1

−1 4

0 11

1 16

2 . a

(a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros puntos de la tabla. (b) ¿Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola los cinco puntos coincida con el del apartado anterior? (c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primeros puntos de la tabla. (d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que interpolan los valores de la tabla. Ejercicio 12 Consideramos las siguientes tablas de datos x y

0 1

1 −2

2 −3

x y

0 1

1 −2

2 −3

−1 . 6

(a) Calcula los polinomios que interpolan las tablas. (b) ¿Qué relación hay entre ellos? ¿A qué se debe esta relación? (c) Calcula los polinomios con Maple. Ejercicio 13 Consideramos la siguiente tabla de datos x y

1 4.75

2 4

3 5.25

5 19.75

6 36

Calcula valores aproximados para f (3.5) usando polinomios de Newton de orden 1,2,3,4, escogiendo, en cada caso, los puntos más adecuados. Ejercicio 14 Para una función f (x), conocemos los siguientes valores x f (x)

1 0

2 2

4 12

5 21

6 . 32

Ejercicios: Aproximación e Interpolación

5

(a) ¿Cual es la mejor elección de nodos para aproximar f (3.5) mediante interpolación cuadrática? (b) Aproxima f (3) mediante interpolación cuadrática usando una elección de nodos distinta a la del apartado anterior. (c) Aproxima f (3) usando el polinomio interpolador de grado máximo. Ejercicio 15 Consideramos la integral v=

Z 1 0

2

e−x dx 2

Es bien sabido que la función f (x) = e−x no tiene primitivas que puedan expresarse como combinación sencilla de funciones elementales. Para aproximar el valor de la integral, podemos construir un polinomio interpolador y calcular su integral. (a) Calcula el polinomio p2 (x) que interpola a f (x) en los nodos x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1. (b) Construye con Maple una representación conjunta de f (x) y p2 (x). (c) Calcula el valor v¯ =

Z 1 0

p2 (x) dx.

(d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el error absoluto que se produce cuando aproximamos v mediante la integral del polinomio interpolador. (e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repartidos en el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5 nodos igualmente espaciados en [a, b], hacemos xj = a + jh,

j = 0, 1, 2, 3, 4.

h=

b−a . 4

En nuestro caso es, h = 0.25 y resulta x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1. Ejercicio 16 Consideramos los valores x y y0

0 1 1

1 2 −1

Ejercicios: Aproximación e Interpolación

6

(a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el polinomio de grado ≤ 3 que interpola los valores de la tabla. (b) Resuelve el sistema y verifica que, efectivamente, el polinomio cumple las condiciones exigidas. Ejercicio 17 Calcula el interpolador de Hermite de la tabla x y y0

0 1 0

1 3 −1

usando diferencias divididas. Verifica que el polinomio obtenido toma los valores adecuados. Ejercicio 18 Consideramos los valores x y y0

x0 y0 y00

x1 y1 y10

puede demostrarse que el polinomio de Hermite que interpola la tabla anterior queda determinado por la expresión ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯

1 x x2 x3 p(x) ¯¯ y0 ¯¯ 1 x0 x20 x30 ¯ 0 1 2x0 3x20 y00 ¯ = 0 ¯ 1 x1 x21 x31 y1 ¯¯ 0 1 2x1 3x21 y10 ¯

Usando la expresión anterior, determina el interpolador de Hermite para la tabla x 0 1 y 1 2 y0 1 −1 Ejercicio 19 Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y la velocidad (en m/s) en los instantes t = 4 s y t = 5 s. Estima el valor de la posición y la velocidad para t = 4.5 s. t e(t) v(t)

4. 40 1

5. 65 −1

Ejercicio 20 Demuestra que el máximo absoluto de la función h(x) = (x − x0 )2 (x − x1 )2

Ejercicios: Aproximación e Interpolación

7

sobre el intervalo [x0 , x1 ] se produce en xM =

x0 + x1 2

y que el valor del máximo es M = max h(x) = x∈[x0 ,x1 ]

(x1 − x0 )4 . 16

Ejercicio 21 Consideramos la función f (x) = sin x. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f (x) en los nodos x0 = 0 y x1 = π/4. (b) Usando el polinomio del apartado anterior, aproxima el valor de sin(0.5). Calcula una cota superior de error absoluto. (c) Calcula una cota superior de error absoluto válida para todo x ∈ [0, π/4]. Ejercicio 22 Consideramos la función f (x) = ex . (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f (x) en los nodos x0 = 0 y x1 = 0.5. (b) Usando el polinomio obtenido, aproxima el valor de e0.25 . Calcula una cota superior de error absoluto. (c) Determina cotas superiores para el error absoluto válidas para cualquier x ∈ [0, 0.5]. Ejercicio 23 Para un objeto móvil, conocemos los siguientes datos Tiempo (s) Posición (m) Velocidad (m/s)

0 0 1

2 8 1.5

3 34 3

4 67 1.5

5 115 −1

6 146 . 0

(a) Construye un función a trozos que modelice la distancia recorrida en la forma ⎧ ⎪ 0≤t