EXAMEN RESUELTO

1) Sean los subespacios de R3:

Septiembre de 2002  V1 = L{(1,2,3), (−1, −1,− 2), (1,4,5)}  x 1 = ë1 − ë 2   V = x = ë 1  2  2   x 3 = 2ë 2  x1 − 2x 2 + x 3 = 0  V3

Hallar: a) Las dimensiones y unas bases de los tres subespacios. b) La dimensión del subespacio V1+V2 c) Unas ecuaciones implícitas del subespacio V2 ∩ V3. d) Comprobar si V1 y V3 son subespacios suplementarios.

Solución: a) Dimensiones y unas bases de los tres subespacios. Para saber la dimensión de V1, pongamos los 3 vectores que engendran este subespacio en una matriz y escalonándola a través de operaciones elementales, veremos cuáles son linealmente independientes: 2 3   1 2 3 1      − 1 − 1 − 2 ≈  0 1 1 1 4 5   0 2 2   Vemos que las dos últimas filas son proporcionales, con lo que deducimos que la dimensión de V1 es 2 y una base puede ser la formada por los vectores originales: {1, 2, 3) (-1,-1,-2)} o la formada por los vectores transformados: {(1, 2, 3) (0, 1, 1)}. Respecto a V2 se observa que las coordenadas de los vectores que pertenecen a este subespacio, dependen de dos parámetros, con lo cual su dimensión es 2. Una base puede ser: (λ1-λ2 , λ1, 2λ2 ) =λ1(1, 1, 0) +λ2 (-1, 0, 2), es decir la formada por los vectores: {(1, 1, 0) (-1, 0, 2)} V3 viene expresado por una ecuación implícita, por lo que podremos saber su dimensión aplicando: dim subespacio = dim espacio –nº de ecuaciones :implícitas es decir, que como la dimensión del espacio es la de R3 y es 3 y el número de ecuaciones implícitas es igual a 1, tendremos que la dimensión del subespacio V3 es 2 . Una base puede ser la formada por 2 vectores que cumplan la ecuación implícita, por ejemplo: {(1, 0,-1)(1, 1, 1)}

b) Dimensión del subespacio V1+V2 Ponemos en una matriz los vectores de la base de V1 y V2 y la escalonamos con operaciones elementales 2 3  1 1     − 1 − 1 − 2  0 ≈ 1 1 0  0    − 1 0 2   0 

2 3  1   1 1  0 ≈ 1 3  0   2 5   0

3  1   1 1  0 ≈ 0 − 2 0   0 3   0 2

2 3  1 1 0 1  0 1 

Se observan 3 vectores linealmente independientes, luego la dimensión de V1 + V2 es 3. (c) Unas ecuaciones implícitas del subespacio V2 ∩ V3 Para saber el nº de ecuaciones, utilizamos la siguiente ecuación: dim V2 ∩ V3 = dim R3 - nº de ecuaciones implícitas y además utilizamos la ecuación: dim V2 ∩ V3 = dim V2 + dim V3 - dim (V2 + V3 ) Si hacemos lo mismo que en el apartado b), veremos que la dimensión de V2 +V3 es 3, con lo que la dimensión de la intersección es 1, lo cual nos lleva a que el nº de ecuaciones implícitas es 2. Una de la dos ecuaciones puede ser la que describe V3 que nos la da el enunciado del problema y la otra puede ser la que describa a V2, que la hallamos de la siguiente forma: 1 1  − 1 0 x  1 x2

0  1 1   2  ≈0 1 x 3   0 x 2 − x 1

0  1 1 0     2  ≈ 0 1 2    x 3   0 0 − 2 x 1 + 2 x 2 − x 3 

Por lo tanto, al ser el rango de la matriz igual a 2, la última fila ha de ser cero , luego las ecuaciones implícitas de la intersección son: - 2x 1 + 2x 2 - x 3 = 0   x 1 - 2x 2 + x 3 = 0 (d) Compruebe si V1 y V3 son subespacios suplementarios. Para que estos dos subespacios sean suplementarios se tiene que cumplir que: dim V1 +V3 = dim (V1 +V3) o lo que es lo mismo, que la dimensión de la intersección sea cero. Esto no ocurre pues la suma de las dimensiones de V1 y V2 es 4, sin embargo como se puede comprobar fácilmente, la dimensión de la suma es 3, por lo que se deduce que no son suplementarios.

2) Sea f una aplicación lineal de R3 en R3 con matriz asociada A simétrica respecto de las bases canónicas, tal que: • f(2,0,0)=(2,0,2) • λ =0 es un autovalor de f • v=(1,-1,0) es un autovector de f Determinar la matriz A y una base respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal. Solución: La matriz asociada a una aplicación lineal tiene por columnas a las imágenes de los vectores de una base (en nuestro caso la base canónica), luego la primera columna de la matriz A es f(1,0,0)=(1,0,1) por la propiedad de linealidad de la aplicación. 1 0 1   Además, como nos dicen que dicha matriz es simétrica será: A =  0 a b  1 b c   Si λ es un autovalor ⇒(A-λI)X=0 , siendo X un autovector de A asociado a λ. (X ≠ 0) Luego para λ=0, será: AX=0,⇒A es una matriz singular (ya que corresponde a un sistema lineal homogéneo con soluciones distintas a al trivial). 1 0 1 Luego ha de ser:

A = 0 a b = 0 ⇒ a( c − 1) = b 2 (*) 1 b c

Teniendo en cuenta que V=(1,-1,0) es un autovector de f, ha de ser: (A-λI)V=0 , siendo λ el autovalor corresdpondiente a dicho autovetor. 0 1  1   0  1 − λ = 0 ⇒ λ = 0 1 − λ       a −λ b  − 1  =  0  ⇒ a − λ = 0 ⇒ a = 1  0  1 b c − λ  0   0  1 − b = 0 ⇒ b = 1   1 0 1   Sustituyendo en (*) se obtiene: c=2, con lo cual: A =  0 1 1   1 1 2   Veamos ahora si es o no diagonalizable:

1− λ A − λI = 0 ⇒

0 1

λ = 0  1− λ 1 = (1 − λ) ( 2 − λ ) − 2(1 − λ ) = 0 ⇒ λ = 1 λ = 3 1 2−λ  0

1

2

Al ser autovalores simples, la matriz A es estrictamente diagonalizable, siendo la matriz diagonal:  0 0 0   D =  0 1 0  0 0 3   Determinemos una base respecto de la cual la matriz asociada a f sea la matriz D: Para λ=0:  1 0 1  x   0  x + z = 0 ⇒ x = −z       ⇒ Vλ =0 = ( x , x ,− x )  0 1 1  y  =  0  ⇒  y + z = 0 ⇒ y = − z  1 1 2  z   0  x + y + 2z = 0 ⇒ −z = ( x + y ) / 2      

Con lo cual un autovector perteneciente al subespacio Vλ=0 es: v1=(1,1,-1) Procediendo de forma análoga obtenemos que para λ=1 un autovector es v2=(1,-1,0) (Tal como nos indica el enunciado del problema). y para λ=3 un autovector es v3=(1,1,2). Luego una base en la cual la matriz asociada a f es la matriz diagonal D es la: B' = {(1,1,−1), (1,−1,0), (1,1,2 )}

3.- Se considera en R 4 la siguiente familia de formas cuadráticas: wβ ( x, y, z , t ) = βx 2 + 2 xy + βy 2 + βz 2 + 2 zt + βt 2 ; ∀β ∈ R a.- Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados. (1.5 puntos) b.- Clasificar la forma cuadrática según los valores de β . (1 punto) Solución: β  1 La matriz asociada a la forma cuadrática es: A =  0  0 

1 0 0  β 0 0 0 β 1  0 1 β 

r

r

Al ser w (1,0,0,0) = β ≠ 0 podemos tomar v1 = (1,0,0,0) y determinamos v 2 = ( x, y, z, t ) r teniendo en cuenta que ha de ser conjugado de v1 x  x β 1 0 0    0      y      y 1 β 0 0 0    (1 0 0 0)  z  = ⇒ ( β 1 0 0 )  z  = βx + y = 0 0 0 β 1    0      t      t   0 0 1 β    0    r Elegimos v 2 = (0 ,0,1,0) β x + y = 0 x = 1 r r r v v 3 ha de ser conjugado de v1 y v2 : ⇒  para  ⇒ v 3 = (1,−β,0,0) β z + t = 0 z = 0 r β x + y = 0 r r r v4 ha de ser conjugado de v1 , v2 y v 3 , luego: ⇒  β z + t = 0

 x 1 0 0  x     y  y β 0 0   2  z  = 0 ⇒ 0 1 − β 0 0  z  = (1 − β 2 ) y = 0  0 β 1      t    t  0 1 β       r v = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ⇒ w (v 1 ) = β  1  rv = (0 .0 ,1,0) ⇒ w (v ) = β Si y = 0 ⇒ x = 0 v 2 2 ⇒ v 4 = (0,0,1,−β) , luego  v  2 Si z = 1 ⇒ t = −β  v 3 = (1,−β,0,0 ) ⇒ w (v 3 ) = β(β − 1)  vv = (0,0 ,1,−β) ⇒ w( v ) = β(β 2 − 1)  4 4 Luego la matriz diagonal asociada a la forma cuadrática en la base: r r v v B = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }es: β  1 (1 − β 0 0) 0  0

(

β  0 D= 0  0 

)

  β 0 0  2  0 β(β − 1) 0  0 0 β (β 2 − 1)  0

0

0

4.- Sean los puntos P(8,13,8) y Q(-4,-11,-8). Se considera el plano π , perpendicular al segmento PQ por su punto medio. a.- Obtener la ecuación del plano π . (0.75 puntos) b.- Calcular la proyección ortogonal del punto O(0,0,0) sobre π . (0.75 puntos) c.- Hallar el volumen del tetaedro determinado por los puntos en los que el plano corta a los ejs coordenados y el origen de coordenadas. (1 punto) Solución: a) El punto medio del segmento PQ es el: 1 M = P + PQ = (8,13,8)+1/2(-6,-12,-8)=(2,1,0) 2 El plano que pasa por M(2,1,0) y es perpendicular al vector PQ=(-12,-24,-16) es el: 12 (x − 2) + 24 (y − 1) + 16 z = 0 con lo cual:

π ≡ 3x + 6 y + 4 z − 12 = 0

b) La proyección ortogonal de O(0,0,0) sobre π viene dada por: r r Po = O + λ n siendo n un vector perpendicular al plano, luego: Po = (3λ ,6 λ,4 λ ) Para determinar λ , hallamos la intersección del OPo con el plano π : 9λ + 36 λ + 16 λ − 12 = 0 ⇒ λ = 12 / 61 Luego: Po=12/61(3,6,4)

c) Volumen del tetraedro Calculamos los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas: A=(4,0,0) B=(0,2,0) y C=(0,0,3). C El volumen del tetraedro es: 1/3*area base*altura, luego: V=

1 1  (4 * 2  * 3 = 4  3 2  B A