Sistemas Lineales Examen de Septiembre 2005. Soluciones
1. (2.5 pt.) La se˜ nal y(t) = [sinc(ω0 t)]4 puede escribirse como y(t) = [sinc(ω0 t)]4 · ¸ sin(ωo πt) 4 = ωo πt ¸ · 1 sin(ωo πt) 4 = πt ω04 1 1 [y1 (t)]4 = 4 y1 (t) × y1 (t) × y1 (t) × y1 (t) = 4 ω0 ω0 de donde se deduce que la transformada de Fourier de y(t) (aplicando la propiedad de multiplicaci´on) ser´a ¸ · 1 1 1 1 (Y1 (ω) ∗ Y1 (ω)) ∗ (Y1 (ω) ∗ Y1 (ω)) Y (ω) = 2π ω04 2π 2π 1 1 = [(Y1 (ω) ∗ Y1 (ω)) ∗ (Y1 (ω) ∗ Y1 (ω))] ω04 (2π)3 La trasnformada de Fourier de y1 (t) ser´a un pulso cuadrado entre [−ω0 π, ω0 π] y de altura 1. (Si no sacamos fuera de la ecuaci´on el t´ermino 1/ω04 el pulso tendr´a altura 1/ω0 ). Llamemos ahora Y2 (ω) = Y1 (ω) ∗ Y1 (ω). Sabemos que la convoluci´on de dos pulsos cuadrados es un tri´angulo de anchura doble. Su altura la podemos calcular como la convoluci´on en el origen (tambi´en podr´ıa hacerse la convoluci´on, que es sencilla): Z ωo π Z ∞ (Y1 (η))2 dη = 2πω0 Y1 (η)Y1 (−η)dη = Y2 (0) = −ωo π
−∞
Luego Y2 (ω) es un pulso triangular entre [−2ω0 π, 2ω0 π] y con altura 2πω0 . La se˜ nal Y (ω) ser´a Y (ω) =
1 1 Y2 (ω) ∗ Y2 (ω) ω04 (2π)3
S´olo se pide la frecuencia m´axima y la altura en el origen. la frecuencia m´axima ser´a la suma de las frecuencias m´aximas de las se˜ nales a convolucionar. En este caso ser´a por lo tanto el doble de la frecuencia m´axima de Y2 (ω): ωmax = 4πω0
1
El valor en el origen lo obtenemos a partir de la convoluci´on: Y3 (ω) = Y 2(ω) ∗ Y2 (ω) Z ∞ Y2 (η)Y2 (ω − η)dη = −∞ Z ∞ Y3 (0) = Y2 (η)Y2 (−η)dη −∞ 2πω0
=
Z
=
Z
=
2(2πω0 )3 3
−2πω0 0
(Y2 (η))2 dη (η + 2πω0 )2 dη +
−2πω0
de donde Y (0) =
Z
2πω0
(−η + 2πω0 )2 dη
0
1 1 2(2πω0 )3 2 = 4 3 3 3ω0 ω0 (2π)
Y1 (ω)
Y2 (ω)
1
Y (ω)
2ω0 π
2/(3ω0 )
ω
ω
ω0 π
ω
2ω0 π
4ω0 π
2. (2.5 pt.) Lo primero que hay que tener en cuenta es que la se˜ nal x(t) definida en el enunciado es una se˜ nal peri´odica cuyo periodo corresponde con la se˜ nal x a (t). Por lo tanto la transformada de Fourier de x(t) ser´a un tren de deltas, como la de cualquier se˜ nal peri´odica. La mejor manera de trabajar es usar la Serie de Fourier. Sabemos que toda se˜ nal peri´odica puede escribirse como una suma de exponenciales de la forma x(t) =
∞ X
2π
Ck ejk T
t
k=−∞
donde Ck son los coeficientes de la serie que se calculan Z 2π 1 x(t)e−jk T t dt Ck = T La transformada de Fourier de una se˜ nal peri´odica es X(ω) = 2π
∞ X
k=−∞
2
Ck δ(ω − k
2π ) T
Para este caso el periodo es T = 1, por lo tanto Z 1 Ck = xa (t)e−jk2πt dt 0 Z 1 = cos(πt)e−jk2πt dt 0 Z ´ 1 1 ³ jπt(1−2k) e + e−jπt(1+2k) + e−jk2πt dt = 2 0 . = .. 4k = jπ(4k 2 − 1) De donde deducimos X(ω) X X X(ω) = 2πCk δ(ω − 2πk) = k
k
8k δ(ω − 2πk) j(4k 2 − 1)
Las deltas que caen dentro del intervalo [−5π, 5π] corresponden a k = {−2, −1, 0, 1, 2}: 4j −8j 8j −4j , a−1 = , a2 = , a−2 = 3π 3π 15π 15π La transformada de Fourier queda como sigue a0 = 0, a1 =
8/3
|X(ω)| 8/3
16/15
π/2 16/15
ω
ω −4π −2π
X(ω)
2π
−π/2
4π X(ω) 8j/3
−8j/3
16j/15
−16j/15
ω −4π −2π
2π
4π
Es posible realizar el problema tambi´en a partir de la Transformada de Fourier de la se˜ nal aperi´odica. En ese caso la se˜ nal aperi´odica es xa (t). N´otese que no es un coseno, sino un coseno enventanado. Su transformada de Fourier por lo tanto ser´a Z ∞ Z 1 −jωt Xa (ω) = xa (t)e dt = cos(πt)e−jωt dt 0
−∞
e−jω )
jω(1 + π2 − ω2 L´ogicamente la soluci´on ha de ser la misma que con el m´etodo anterior. =
3
3. (2.5 pt.) La transformada de Fourier de la se˜ nal x(t) ser´a X(ω) = 0.2πδ(ω − 2000π) + j4πδ(ω − 10000π) La se˜ nal se muestrea con un tren de deltas con una frecuencia de muestreo de ω s = 16000π. En frecuencia es equivalente a multiplicar la se˜ nal por 1/Ts (siendo Ts = 1/8000 el periodo de muestreo) y a duplicarla en m´ ultiplos enteros de la frecuencia de muestreo: 2π 1 2π X δ(ω − Xp (ω) = X(ω) ∗ k) 2π Ts Ts k X 1 δ(ω − 2π · 8000k) X(ω) ∗ 2π · 8000 = 2π k X = 8000 X(ω) ∗ δ(ω − 2π · 8000k) k
= 8000
X
X(ω − 2π · 8000k)
k
Gr´aficamente:
X(ω) 4πj 0.2π
ω 0
2
×π103
10
Xp (ω)
4πj/Ts
4πj/Ts
0.2π/Ts
0.2π/Ts
0.2π/Ts
ω −14
−6
0
2
10
18
×π103
Para recuperar una se˜ nal muestreada a ωs debemos usar un filtro pasobajo con frecuencia de corte ωc = ωs /2 y ganancia Ts
H(ω) Ts
ω −8000π
8000π
Con lo que a la salida la se˜ nal ser´a Y (ω) = 0.2πδ(ω − 2000π) + 4πjδ(ω + 6000π)
4
y haciendo la transformada inversa obtenemos la se˜ nal temporal: y(t) = 0.1ej2000πt + 2ejπ/2 e−j6000πt 4. (2.5 pt.) (a) (0.5 pt.) 1 1 1 7 y[n] − y[n − 1] − y[n − 2] = x[n] + x[n − 1] − x[n − 2] 4 2 4 8 (b) (0.8 pt.) Formas directas I y II: x[n]
y[n]
D
D
1/4
7/4
D
D
−1/8
1/2
x[n]
y[n]
D 7/4
1/4
D 1/2
−1/8
(c) (1.2 pt.) Se piden dos sistemas cuya respuesta al impulso cumpla que h[n] ∗ hi [n] = δ[n] Esto en el dominio Z es equivalente a H(z)Hi (z) = 1 Es decir, que Hi (z) es el sistema inverso de H(z): Hi (z) =
1 H(z)
En funci´on de las regiones de convergencia de H(z) vamos a poder elegir entre distintos sistemas de salida. Hi (z) = =
1 − 74 z −1 − 12 z −2 1 + 41 z −1 − 18 z −2 1 − 47 z −1 − 21 z −2 (1 − 14 z −1 )(1 + 21 z −1 )
5
El sistema inverso tiene dos polos, con lo que tienen tres posibles regiones de convergencia. Vamos a tomar (por ejemplo) aquellas que hacen que el sistema sea causal o anticausal: 1 2 1 |z| < 4
|z| >
(Causal) (Anticausal)
Para calcular la transformada inversa a partir de Hi (z) hacemos una expansi´on en fracciones simples. Varios m´etodos: i. Divisi´on de polinomios (t´ermino de mayor grado) Hi (z) = 1 − z −1 Hi (z) = 1 −
(1
2 + 38 z −1 (1 − 14 z −1 )(1 + 12 z −1 )
7 −1 6z − 14 z −1 )
−
(1
5 −1 6z + 12 z −1 )
ii. Divisi´on de polinomios (t´ermino de menor grado) Hi (z) = 4 − Hi (z) = 4 −
−1 3 + 11 4 z (1 − 14 z −1 )(1 + 12 z −1 )
(1
14 −1 3 z − 14 z −1 )
+
(1
5 −1 3z + 12 z −1 )
iii. Separaci´on de t´erminos 7 1 −1 1 −1 4 + 2z − z (1 − 14 z −1 )(1 + 12 z −1 ) (1 − 14 z −1 )(1 + 12 z −1 ) .. . 2 1 − 5 z −1 − 1 z −1 = 3 14 −1 + 3 12 −1 (1 − 4 z ) (1 + 2 z )
Hi (z) = .. . Hi (z)
La soluci´on al hacer la transformada inversa es la siguiente: µ ¶ µ ¶n 5 1 14 1 n u[n] + u[n] − h1 [n] = 4δ[n] − 3 4 3 2 µ ¶ µ ¶n 14 1 n 5 1 h2 [n] = 4δ[n] + u[−n − 1] − u[−n − 1] − 3 4 3 2 Dependiendo del m´etodo usado la soluci´on puede aparecer escrita de otra forma y sin embargo ser la misma se˜ nal, como por ejemplo: µ ¶ µ ¶n−1 7 1 n−1 5 1 h1 [n] = δ[n] − u[n − 1] − u[n − 1] − 6 4 6 2