Soluciones Examen de Estad´ıstica Ingenier´ıa Superior de Telecomunicaci´on 15 de Febrero, 2005

Cuestiones

2 horas

C1. Un programa se ejecuta desde uno cualquiera de cuatro perif´ericos A, B, C y D con arreglo al siguiente protocolo: en un primer intento, si A est´ a operativo, el programa se ejecuta desde A. Si A no est´ a operativo, se realiza un segundo intento consistente en lanzar dos monedas y ejecutar el programa desde B si no se obtuvo ninguna cara, desde C si se obtuvo una cara o desde D si se obtuvieron dos caras. Si el perif´erico seleccionado en este segundo intento no est´ a operativo el programa se queda sin ejecutar. La probabilidad de que cada perif´erico est´e operativo es p y cada uno de ellos lo est´ a o no con independencia del estado de los otros. a) Calcular la probabilidad de que el programa no se ejecute. La probabilidad de que el programa se ejecute en el primer intento es igual a la probabilidad de que A est´e operativo, es decir, p. La probabilidad de que se ejecute desde B es igual a la probabilidad de que A no est´e operativo, 1 − p, por la probabilidad de que B sea elegido (que es igual a 41 : probabilidad de no obtener ninguna cara), por la probabilidad de que B est´e operativo, p, es decir: (1 − p) 14 p. Del mismo modo, las probabilidades de que el programa se ejecute desde C y D son respectivamente: 1 1 (1 − p) p y (1 − p) p 2 4 Por tanto, la probabilidad de que el programa se ejecute es: 1 1 1 p + (1 − p) p + (1 − p) p + (1 − p) p = p + p (1 − p) = p (2 − p) 4 2 4 2

y la probabilidad de que no se ejecute es 1 − p − p (1 − p) = (1 − p) . b) Si el programa no se ha ejecutado, ¿cu´ al es la probabilidad de que haya fallado el perif´erico C? Por las condiciones de funcionamiento del protocolo, la probabilidad de que falle el perif´erico C es: (1 − p) 21 (1 − p). Por tanto, si el programa no se ha ejecutado, la probabilidad de que haya fallado el perif´erico C viene dada por (1 − p) 12 (1 − p) 1 = 2 2 (1 − p) C2. Los circuitos integrados (chips) se optienen a partir de obleas de silicio y son muy susceptibles a culaquier fallo en la superficie de la oblea. Se define como defecto fatal aquel defecto que pueda echar a perder un chip. El n´ umero de defectos fatales por 100 mil´ımetros cuadrados de oblea de silicio viene caracterizado por una variable aleatoria de media 0.1 X =n´ umero de defectos en 100 mm2 ∼ P (0,1)

1

como defecto fatal aquel defecto de la oblea que pueda echar a p de pista de los chips que se están produciendo a partir de dicha ob

El número de defectos fatales por 100 milímetros cuadrados de o por una variable aleatoria de media 0,1.

a) ¿Cuál es la probabilidad de q haya más de un defecto fata

b) Si se toman 25 chips diferent probabilidad de que más defectos?

c) Si se pretenden obtener c obleas de 100 milímetros de de encontrar más de 12 de total de 4 obleas?

58 chips de 10x10 mm2

a) ¿Cu´ al es la probabilidadXde que de en un chip de 20×20 por mm2100 haya mm m´ as 2de=un defecto ℘ (0,1)fatal?. : Nº defectuosos 2 Y =n´ umero de defectos en 20 × 20 mm ∼ P (0,4) P r(Y > 1) = 1 − P r(Y ≤ 1) = 1 − P r(Y = 0) − P r(Y = 1) = 1 − e−0,4 − 0,4e−0,4 = 0,0615

a)

De la lafigura se observa b) Si se toman 27 chips diferentes de 10 × 10 mm2 , ¿cu´ al es probabilidad de que m´ aque s de un chip de 20x20 de 10x10. Tenemos pues: 22 de esos chips no tengan defectos?. 4

P r(X = 0) = e−0,1 = 0,9

2

Y: Nº de defectuosos por 400 mm =

N = n´ umero de chips que no tienen defectos de entre los 25 N ∼ B(25, 0,9) P r(N > 22)

∑X i =1

i

=

p (Y > 1) = p (℘2(0,4 ) > 1) = 1 − p (℘(0,4 ) ≤ 1) = 1 − e −0, 4 − 0,4

= P r(N = 23) + P r(N = 24) = P r(N = 25) = 0,266 + 0,199 + 0,072 = 0,537

c) Si se pretenden obtener chips de 10 × 10 mm de las obleas de 100 mm de di´ ametro, ¿cu´ al es la probabilidad de encontrar m´ as de 12 defectos fatales en la superficie u ´til total 2 de 4 obleas? 4 obleas ab) 58 chips por oblea, son 232 chips de 10 × 10 mm M =n´ umero de defectos en los 232 chips, M ∼ P (23,2) p X = 0 = p ℘ 0,1 = 0 = e −0,1 = 0,9048 ≅ 0,9 √ Utilizamos el T.C.L. y aproximamos una Poisson a una Normal: M ≈ N (23,2, 23,2)   12 − 23,2 22 >≅−2,32) p B= P25 ;0= 220,9898 =1− p B P r(M > 12) = P r Z p > B 25; p => P r(Z r(Z 4,816

(

)

( (

( ( )

)

)

)

( (

)

)

( (25;0,9 ) ≤ 22 )

C3. Se elige un punto X al azar en el intervalo (0, 1). Supuesto que X = x, Y es una variable c) 4x1 ,obleas a 58 viene chips de 10x10 aleatoria exponencial de media cuya densidad definida por por oblea, son 232 chips de 10x10. 232 ( xe−xy si y > 0 T.C.L. fZY |X=(y | x)X = i = ℘( 23,2) 0 otro caso i =1

∑

Calcular:

p (Z > 12) = p (℘(23,2) > 12) = 1 − p (℘(23,2) ≤ 12) ≅ 1 − p (0 − 0

−0 a) La funci´ on de densidad conjunta del vector aleatorio (X, Y ). La elecci´on al azar en el = 1 − p − 0 ,5 ≤ N 23,2;4,816 ≤ 12 ,5 = 1 − p intervalo (0, 1) supone una distribuci´on uniforme para la variable aleatoria X, com lo  que la funci´ on de densidad de X es = 1 − p − 4,92 ≤ N 0;1 ≤ −2,22 ≅ 1 − p N (0;1) ( 1 si 0 < x < 1 fX (x) = = p N (0;1) ≤ 2,22 = 0,98679 0 en otro caso

(

(

(

(

)

( )

)

Puesto que fX,Y (x, y) = fY |X (y | x) fX (x), la densidad conjunta del vector aleatorio (X, Y ) ser´ a ( xe−xy si 0 < x < 1, y > 0 fX,Y (x, y) = 0 en otro caso

2

)

)

(

b) La densidad marginal de Y y la esperanza de Y sabiendo que X = x. La densidad marginal de Y es 1  Z Z Z 1 1 1 −xy xe−xy −xy e dx = fY (y) = fX,Y (x, y) dx = xe + dx = − y y 0 0 0  −xy 1 e−y 1 − e−y e−y e = − = − − , y>0 2 2 y y y y 0 La variable aleatoria Y | X = x es una exponencial de par´ametro x, por tanto su esperanza ser´ a x1 , tal y como se especifica en el enunciado.
c) La probabilidad condicionada P Y > 1 | X < 21 Por un lado se tiene que  P

1 Y > 1, X < 2



1 2

Z

Z

∞

xe

= 0

−xy

Z dydx =

1

1 2

1

e−x dx = 1 − e− 2

0

Por otro lado, dado que la distribuci´on de X es uniforme en (0, 1), se tiene que   1 1 P X< = 2 2 Consecuentemente,
    P Y > 1, X < 12 1 − 21
P Y >1|X< = = 2 1 − e 2 P X < 12 C4. Tres d´ıas antes del refer´endum de aprobaci´ on de la constituci´ on europea se realiza una encuesta a 500 personas para determinar si se puede afirmar que el resultado va a ser positivo. De las 500 personas, 275 se muestran a favor de la aprobaci´ on y 225 en contra. a) Calcular el intervalo de confianza para la proporci´ on de personas que votar´ıan s´ı a la constituci´ on, con un nivel de confianza del 99 %. La proporci´on de personas que vota s´ı en la muestra es pˆ = 275 500 = 0,55. Por tanto, el intervalo de confianza es: ( p∈

0,55 ± z0,005

r

0,55 × 0,45 500

) = [0,493, 0,607]

b) Se puede asegurar con ese mismo nivel de confianza que la proporci´ on de personas que apoyar´ an la constituci´ on es superior al 50 %. Si no es as´ı, con qu´e nivel de confianza podr´ıamos asegurar que pasar´ıa. b) Directamente, viendo el intervalo de confianza no se puede asegurar que m´ as del 50 % de las personas votar´an s´ı al refer´endum puesto que hay valores inferiores a 0,5 que se encuentran en el intervalo. Nota: tambi´en se puede hacer con un contraste de hip´ otesis. Por tanto, para calcular el nivel de confianza o bien se hace siguiendo el razonamiento del intervalo de confianza o con un contraste de hip´otesis (es decir calculando el p-valor). Seg´ un la primera forma, ahora: r r 0,55 × 0,45 0,55 × 0,45 zα/2 > 0,5 ⇒ zα/2 < = 2,247 ⇒ P r(Z < 2,247) = 0,9875 = 1 − α/2 500 500 Y α = 0,025, o lo que es lo mismo, el nivel de confianza es del 97,5 %.

3

Problemas

1h 30’

P1. Los mensajes llegan a un cierto servidor de correo electr´ onico por dos l´ıneas diferentes siguiendo dos procesos de Poisson independientes de par´ ametros λ1 y λ2 a) Determinar de qu´e tipo es la v.a.: Xj =tiempo de llegada del primer mensaje por la l´ınea j Xj ∼ Exp(λj ) b) Determinar la probabilidad de que el primer mensaje llegue por la l´ınea 1. La funci´on de densidad conjunta de X1 y X2 es (al ser independientes) f (x1 , x2 ) = λ1 e−λ1x1 λ2 e−λ2x2 Z P r(X1 < X2 )

∞ −λ2x2

λ2 e

= 0

Z dx2

x1 , x2 > 0 x2

λ1 e−λ1x1 dx1 =

0

λ1 λ1 + λ2

c) Calcular la funci´ on de densidad de la v.a. X =tiempo de llegada del primer mensaje. Si el n´ umero total de mensajes en un segundo es P (λ1 + λ2 ), el tiempo de llegada del primer mensaje (independientemente del canal) ser´a una exponencial con el mismo par´ametro, por lo tanto:

f (x) = (λ1 + λ2 )e−(λ1 +λ2 )x d ) Calcular la funci´ on de probabilidad del proceso N (t), n´ umero total de mensajes que llegan en un intervalo de t segundos. ¿Es N (t) estacionario en sentido d´ebil?. Si el n´ umero de mensajes en un segundo es P (λ1 + λ2 ), el n´ umero total de mensajes que llegan en un intervalo de t segundos N (T ) ∼ P ((λ1 + λ2 )t), por lo tanto su funci´on de probabilidad es: P r(N (t) = k) =

e−(λ1 +λ2 )t (λ1 + λ2 )k tk k!

No es estacionario en sentido d´ebul, ya que por ejemplo: E[N (t)] = (λ1 + λ2 )t depende del tiempo. P2. El valor de una determinada se˜ nal s producida por un aparato sufre peque˜ nas perturbaciones que consideramos aleatorias. a) Supongamos que la distribuci´ on de los valores de s se puede aproximar por una distribuci´ on Normal con media 12 y desviaci´ on t´ıpica 0.5. Entre los valores de la se˜ nal que son mayores que 12.5, ¿cu´ al es la proporci´ on de valores que son mayores que 13?.   13−12 P r Z > 0,5 P r(S > 13) P r(S > 12,5) ∩ P r(S > 13)   = = P r(S > 13|S > 12,5) = 12,5−12 P r(S > 12,5) P r(S > 12,5) Pr Z > 0,5

=

P r(Z > 2) 1 − P r(Z ≤ 2) 1 − 0,9772 = = = 0,143 P r(Z > 1) 1 − P r(Z ≤ 1) 1 − 0,8413

4

b) Queremos ahora medir la se˜ nal s con un aparato de medici´ on. Sea X la v.a. valor proporcionado por el aparato al realizar una medici´on y  la variable error cometido por el aparato al realizar la medici´ on. Suponiendo que  sigue una distribuci´ on normal con media 0 y desviaci´ on t´ıpica 0.4, y es independiente de s. ¿Cu´ al es la relaci´ on entre s, X y , ¿cu´ al es la distribuci´ on de X? X E[X] V ar[X] p X ∼ N (12, 0,41)

= s+ = E[s] + E[] = 12 + 0 = 12 = V ar[s] + V ar[] = 0,52 + 0,42 = 0,41 (al ser independeintes)

c) Se planifica realizar varias mediciones y proporcionar su media para aproximar el valor de la se˜ nal. ¿Cu´ antas mediciones habr´ a que tomar para que nos aseguremos con una probabilidad mayor o igual a 0.95 que el valor proporcionado no se alejar´ a en m´ as de 0.1 unidades de la se˜ nal promedio? Si llamamos X a la media muestral de las mediciones obtenidas, buscamos un n tal que: P r(|X − 12| ≤ 0,1) ≥ 0,95 Puesto que X ∼ N (12, 0,41), sabemos que X ∼ N (12, 0,41/n), por lo tanto P r(|X − 12| ≤ 0,1)

≥

0,95

P r(−0,1 ≤ X − 12 ≤ 0,1) ≥ 0,95 ! −0,1 −0,1 Pr p ≤Z≤ p ≥ 0,95 0,41/n 0,41/n ! ! 0,1 −0,1 Pr Z ≤ p − Pr Z ≤ p ≥ 0,95 0,41/n 0,41/n ! 0,1 −1 ≥ 0,95 2P r Z ≤ p 0,41/n ! 0,1 Pr Z ≤ p ≥ 0,975 0,41/n 0,1 p ≥ 1,96 0,41/n  2 1,96 × 0,64 n≥ ≥ 157,5 0,1

Ser´ a necesario realizar 158 mediciones 1. Despu´es de ser producida la se˜ nal entra en un dispositivo que la transforma en una se˜ nal saliente con tres estado: -1, 0, 1. La se˜ nal sout toma el valor -1 si la se˜ nal entrante es menor que 11.5, toma el valor 0 si la se˜ nal entrante est´ a entre 11.5 y 12.5, y toma el valor 1 si la se˜ nal entrante es mayor que 12.5. Calcula la funci´ on de probabilidad de sout . Si se toman 1124 valores de sout , ¿cu´ al es en promedio el n´ umero de valores no nulos de sout ? La variable sout

5

es discreta y toma los valore, -1, 0, 1, su funci´on de probabilida es: p(−1) = P r(sout =-1)

= P r(s ≤ 11,5) = P r(Z ≤ (11,5 − 12)/0,5) = P r(Z ≤ −1) = 1 − P r(Z ≤ 1) =

p(0) = P r(sout =0)

= P r(11,5 ≤ s ≤ 12,5) = P r(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2P r(Z ≤ 1) − 1 = 2 × 0,8413 − 1 =

p(1) = P r(sout =1)

1 − 0,8413 = 0,1587

0,6826

= P r(s ≥ 12,5) = P r(Z ≥ 1) = 1 − P r(Z ≤ 1) = 0,1587

Sea N = n´ umero de ceros observados en una secuencia de 1124 valores N ∼ B(1124, 0,6826). El n´ umero medio de valores nulos es E[N ] = 1124 × 0,6826 = 767,24. Por lo tanto el promedio de valores no nulos es 1124 − 767,24 = 356,75

6