Capítulo 2

TRANSFORMACIONES DE f(x) = x2

2.1.1 – 2.1.5

A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos o las relaciones contextuales, los alumnos deben reconocer fácilmente y manipular los gráficos de distintas funciones. Los alumnos investigarán la ecuación general de una familia de funciones cuadráticas, y descubrirán formas de desplazar y modificar los gráficos. También aprenderán a graficar rápidamente una función cuadrática escrita en forma de graficación. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.1.4.

Ejemplo 1 y

A la derecha puedes ver el gráfico de f ( x) = x 2 . Explica en qué se diferenciarán los gráficos de las funciones dadas a continuación de este gráfico original. g ( x) = −2 x 2

h( x) = ( x + 3) 2

j ( x) = x 2 − 6

k ( x) = 14 x2

l ( x) = 3( x − 2) 2 + 7

x

Todas las funciones anteriores tienen algo en común: en todos los casos la potencia más alta a la que se ha elevado x es 2. Esto significa que todas las funciones son funciones cuadráticas, y todas formarán una parábola al graficarlas. La única diferencia estará en la dirección de apertura (arriba o abajo), el tamaño (comprimida o estirada), y/o la ubicación del vértice. El “ −2 ” en g ( x) = −2 x 2 le hace dos cosas a la parábola. El signo negativo cambia la dirección de la parábola, que se abrirá hacia abajo. El “2” alarga el gráfico y lo hace parecer más “delgado”. El gráfico de h( x) = ( x + 3) 2 tendrá la misma forma que el de f ( x) = x 2 , abierto hacia arriba, pero se encontrará tres unidades a la izquierda. El gráfico de j ( x) = x 2 − 6 también tendrá la misma forma que f ( x) = x 2 , abierta hacia arriba, pero se desplazará seis unidades hacia abajo. La función k ( x) = 1 x2 se encuentra en el mismo lugar y 4 también se abre hacia arriba, pero el 14 comprimirá la parábola y la hará parecer más “gorda”. La última función, l ( x) = 3( x − 2) 2 + 7 , combina todos estos cambios en un gráfico. El “3” hace que el gráfico sea más delgado y se abra hacia arriba, el “–2” lo desplaza a la derecha dos unidades, y el “+ 7” lo desplaza hacia arriba 7 unidades. Puedes ver todos estos gráficos a la derecha. Une cada ecuación con la parábola correcta.

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y

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x

13

Ejemplo 2 ¿Cuál es el vértice de cada una de las ecuaciones cuadráticas dadas a continuación? f ( x) = −2( x + 4) 2 + 7

h( x) = 53 x 2 − 52

g ( x) = 5( x − 8) 2

En una ecuación cuadrática, el vértice es el punto de ubicación. Nos da un punto de partida para graficar la parábola rápidamente. El vértice de la ecuación cuadrática f ( x) = a ( x − h) 2 + k es el punto (h, k). En f ( x) = −2( x + 4) 2 + 7 el vértice es (–4, 7). Ya que g ( x) = 5( x − 8) 2 también puede escribirse como g ( x) = 5( x − 8) 2 + 0 , el vértice es (8, 0). Podemos reescribir h( x) = 3 x 2 − 2 como h( x) = 3 ( x − 0) 2 − 2 para ver que el vértice es 0, − 52 . 5

5

5

5

(

)

Ejemplo 3 Dudley desarrolló una estrategia para ganar la guerra de globos de agua de su vecindario. Situó su base a cinco pies de una cerca de ocho pies de alto. Del otro lado de la cerca, a 25 pies de ella, se encuentra el campamento enemigo. Dudley usa un lanzador de globos de agua y dispara sus globos de forma que pasen justo por encima de la cerca y aterricen en el campamento contrario. Escribe una ecuación cuyo gráfico modele la trayectoria (camino) de los globos de agua. Al igual que con muchos problemas, es más fácil dibujar primero un diagrama de la situación. La parábola muestra el camino del globo, que comienza a cinco pies de la cerca (punto A) y 8 aterriza a 25 pies de la cerca (punto B). A B 5

25

En este problema, los ejes pueden asumir distintas formas, por lo que es posible obtener distintas respuestas. En este caso, el eje y y será la cerca. Con los ejes en su lugar, etiquetamos las coordenadas que conocemos. Esto muestra toda la información (0, 8) que podemos extraer de la descripción del problema. Si podemos hallar las coordenadas del vértice (punto más alto) de esta parábola, podremos escribir su ecuación en forma de graficación. (–5, 0) (25, 0) x Las parábolas son simétricas, así que el vértice se encontrará a mitad de camino entre los dos puntos de corte con el eje x. La distancia total entre los puntos A y B es de 30 unidades, así que la mitad es 15. A 15 unidades del punto A se encuentra el punto (10, 0). Sabemos que la ecuación se hallará en forma y = a( x − 10)2 + k , donde a < 0. También sabemos que k debe ser mayor de ocho, ya que el vértice debe estar por encima del punto de corte con el eje y, (0, 8). La parábola atraviesa los puntos (0, 8), ( −5 , 0) y (25, 0). Usaremos estos puntos en la ecuación que tenemos hasta ahora y veremos qué más podemos descubrir. Podemos sustituir x e y en la ecuación por los valores del punto (0, 8) y escribir:

8 = a(0 − 10)2 + k o 8 = 100a + k

14

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Capítulo 2

Esta ecuación tiene dos variables, lo que significa que necesitamos otra ecuación (distinta) con variables a y k para resolverla. Si usas el punto (–5, 0):

0 = a(−5 − 10)2 + k o 0 = 225a + k Comienza a resolver restando la segunda ecuación de la primera:

8 = 100a + k − (0 = 225a + k ) 8 = −125a 8 a = − 125 Substituye la variable a por este valor en una de las ecuaciones anteriores y halla el valor de k.

(

)

8 +k 8 = 100 − 125

8 = − 32 5 k = 72 5

+k

8 x − 10 + 72 . Deberías poder graficarla La ecuación del camino del globo de agua es y = − 125 ( ) 5 con tu calculadora gráfica para comprobarlo. 2

Problemas Halla los puntos de corte con los ejes x e y de cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1.

y = x2 + 4x + 3

2.

y = x2 + 5x − 6

3.

y = 2x2 − 7 x − 4

4.

y = −3x 2 − 10 x + 8

5.

y = 16 x 2 − 25

6.

y = 6 x − 12

Halla el error en las soluciones a continuación y luego halla la solución correcta al problema. 7.

Halla x si 3x2 + 6x + 1 = 0.

a = 3, b = 6, c = 1 x= = = = =

6± 62 − 4(3)(1) 2(3) 6± 36−12 6 6± 24 6 6± 2 6 6 3± 6 3

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8.

Halla x si –2x2 + 7x + 5 = 0.

a = −2, b = 7, c = 5 x= = = x=

−7 ± 72 −4( −2)(5) 2( −2) −7 ± 49−40 −4 −7 ±3 −4 −4 = 1 o x = −10 −4 −4

= 2.5

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15

Halla el vértice de cada una de las parábolas a continuación calculando el promedio de los puntos de corte con el eje x o “completando el cuadrado”. Luego escribe cada ecuación en forma de graficación y diagrama su gráfico. 9.

y = −2 x 2 + 4 x + 1

10.

y = x 2 + 10 x + 19

11.

y = ( x + 7)( x − 3)

12.

y = 2( x + 6)2 − 1

Escribe la ecuación que modele cada una de las siguientes situaciones en forma efectiva: 13.

Twinkle Toes Tony pateó un balón de futbol que aterrizó a 100 pies del lugar en el que lo pateó y alcanzó una altura de 125 pies. Escribe una ecuación cuyo gráfico modele el camino recorrido por el balón desde el momento en que lo patearon hasta que tocó el suelo por primera vez.

14.

Algunas empresas desarrollan softwares teniendo en mente el concepto de “obsolescencia programada”. Esto significa que planean que las ventas de software aumenten hasta alcanzar un punto máximo y luego disminuyan hasta eventualmente detenerse cuando lancen una nueva versión del software. Supón que la curva que muestra la cantidad de ventas a lo largo del tiempo es una parábola, la “expectativa de vida” de los productos fabricados por la empresa en cuestión es de seis meses, y se espera una vente máxima de 1.5 millones de unidades. Escribe la ecuación que mejor se ajuste a estos datos.

15.

El Centro de Diversión Familiar de Bungey acaba de recibir una nueva rampa de skate. Un corte transversal muestra que la forma es parabólica. Los lados miden 12 pies de alto y 15 pies de ancho. Escribe una ecuación cuyo gráfico muestre el corte transversal de la rampa.

16

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Capítulo 2

Respuestas 1.

Puntos de corte con el eje x: (–1, 0), (–3, 0), punto de corte con el eje y: (0, 3).

2.

Puntos de corte con el eje x: (–6, 0), (1, 0), punto de corte con el eje y: (0, –6).

3.

Puntos de corte con el eje x: (–0.5, 0), (4, 0), punto de corte con el eje y: (0, –4).

4.

Puntos de corte con el eje x: (–4, 0),

5.

Puntos de corte con el eje x: − 54 , 0 ,

6.

Punto de corte con el eje x: (2, 0), punto de corte con el eje y: (0, –12).

7.

La fórmula comienza con “–b”; debemos eliminar el signo negativo; x =

8.

Dentro de la raíz, “–4ac” debería ser igual a + 40. x =

9.

y = −2( x − 1)2 + 3

(

Puntos de corte con el eje x:

(

( 23 , 0 ), punto de corte con el eje y: (0, 8). ) ( 54 , 0 ), punto de corte con el eje y: (0, –25).

2m 6 2

,0

10.

)

−7± 89 −4

−3± 6 3

.

y = ( x + 5) 2 − 6

(

Puntos de corte con el eje x: −5 ± 6, 0 Vértice: ( −5 , −6 )

Vértice: (1, 3)

10 5

5

–10 –5 –5

5 10

5 10

–10

y = ( x + 2) 2 − 25 Puntos de corte con el eje x: (3, 0), (–7, 0)

Vértice: (–2, –25)

x

x

–10

11.

)

y

y

10

–10 –5 –5

.

y

x

12.

y = 2( x + 6)2 − 1

Puntos de corte con el eje x:

(

−12± 2 2

Vértice: (–6, –1)

,0

)

y

10 5 x

–10 –5 –5

5 10

–10

13.

Si colocamos el punto inicial de la patada en el origen, y = −0.05x(x − 100) .

14.

Suponiendo que el eje x representa la cantidad de meses y el eje y la cantidad de ventas en millones, si colocamos el origen en el comienzo podemos usar y = − 16 (x − 3)2 + 1.5 .

15.

48 x 2 . Si colocamos el punto más bajo de la rampa en el origen, y = 225

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17

TRANSFORMACIÓN DE GRÁFICOS MADRE

2.2.1 y 2.2.3

Los alumnos generalizarán lo que aprendieron sobre la transformación del gráfico de f ( x) = x 2 para cambiar la forma y posición de los gráficos de varias funciones. Los alumnos comenzarán con el gráfico más simple de cada tipo de función, llamado “gráfico madre”. Los alumnos usarán y = x 3 , y = 1x , y = x , e y = b x como ecuaciones de los gráficos madre, y lo que aprendan mientras estudian estos gráficos se aplicará a todas las funciones. También aprenderán a aplicar lo que saben a ecuaciones que no son funciones. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.2.2 y 2.2.3.

Ejemplo 1 Escribe la ecuación madre de cada una de las ecuaciones dadas a continuación y úsala para graficar cada ecuación como una transformación de su ecuación madre.

y = (x + 4)3 − 1 y=3 x−2

y=−

1 x

y = 3x − 6

Para cada una de estas ecuaciones, graficaremos tanto la ecuación dada como su ecuación madre en el mismo grupo de ejes para mostrar los cambios y el movimiento. y La primera ecuación es cúbica (término que describe un polinomio en el 10 cual la mayor potencia a la que se encuentra elevada x es 3), por lo que su 3 5 ecuación madre es y = x . La ecuación dada tendrá la misma forma que x 3 , pero deberá ser desplazada 4 unidades a la izquierda (por el “+ 4” y=x –10 –5 5 10 dentro del paréntesis), y una unidad hacia abajo (por el “–1”). El nuevo –5 gráfico es la curva más oscura a la derecha. Observa que el punto (0, 0) en –10 el gráfico original se desplazó 4 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo hasta (–4, –1). Este punto es lo que llamamos un punto de ubicación. Es un punto clave del gráfico, y graficar su posición nos ayuda a graficar el resto de la curva.

La segunda curva, y = − 1x , presenta solo un cambio respecto del gráfico madre y = 1x : el signo negativo. Así como la inclusión de un signo negativo delante de f ( x) = x 2 haría dar vuelta o voltear este gráfico en forma vertical, la inclusión del signo negativo en esta posición hace voltear el gráfico por el eje x. El gráfico más claro a la derecha es el gráfico madre y = 1x , y el gráfico más oscuro es y = − 1x .

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y

x

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Capítulo 2

En la ecuación y = 3 x − 2 la raíz se multiplica por 3; por lo tanto, el gráfico transformado crecerá verticalmente más rápido que el gráfico madre y = x . También se desplaza 2 unidades a la derecha por el “ −2 ” dentro de la raíz. El nuevo gráfico es la curva más oscura en el gráfico de la derecha. Observa que el punto (0, 0) del gráfico original (el punto de ubicación) se desplazó 2 unidades a la derecha.

y

x

Este último gráfico es una función exponencial. El gráfico madre, y = b x , se vuelve más o menos empinado a medida que b cambia. Cuanto mayor sea b, más rápido subirá el gráfico, y más empinado será. El gráfico de y = 3x − 6 es un poco más empinado que el de y = 2 x , que suele ser vista como la función exponencial más simple, pero también se encuentra 6 unidades más abajo. El gráfico más claro es y = 2 x , y el gráfico más oscuro es y = 3x − 6 .

y

x

y

Ejemplo 2 Supón que el gráfico de la derecha es f (x). Dado todo lo que has aprendido sobre cómo modificar los gráficos de funciones: a. Grafica f (x) + 3.

b. Grafica f ( x) − 2 . c. Grafica f (x – 1).

d. Grafica f (x + 3).

e. Grafica 3 f ( x) .

y

x

x

f. Grafica 1 f ( x) . 2

Cada vez que alteramos levemente la ecuación, el gráfico cambia. Incluso si no tenemos idea de cuál es la ecuación de esta función, podemos desplazar el gráfico en el sistema de coordenadas. Recuerda que f ( x) representa el rango o los posibles valores de y. Por lo tanto, en el punto (a), f (x) + 3 significa “los valores de y más 3”. Sumar tres a todos los valores de y desplazará el gráfico tres unidades hacia arriba. Puedes ver esto a la derecha. Observa que la forma del gráfico de la derecha es idéntica a la del original, solo que se desplazó tres unidades hacia arriba. Puedes verificar esto comparando los puntos de corte con el eje y.

Si f ( x) + 3 desplaza el gráfico tres unidades hacia arriba, entonces f ( x) − 2 desplazará el gráfico dos unidades hacia abajo. Puedes ver el gráfico abajo a la izquierda. Nuevamente, compara el punto de corte con el eje y del gráfico de la izquierda con el del gráfico original (nota: usar el punto de corte con el eje y o los puntos de corte con el eje x para ayudarte a graficar una función es una forma efectiva de crear un gráfico).

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y

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x

19

¿Qué pasa cuando el cambio se produce dentro del paréntesis, como en los puntos (c) y (d)? Aquí el desplazamiento se da respecto de las coordenadas del eje x, por lo que el gráfico se desplaza a la izquierda o la derecha. En el punto (c), el gráfico de f ( x − 1) se desplaza 1 unidad a la derecha. y

El gráfico del punto (d), f ( x + 3) , se desplaza 3 unidades a la izquierda. y

x

x

Al multiplicar f ( x) por un número, como en los puntos (e) y (f), observa algunos puntos clave. Especialmente, considera los puntos de corte con el eje x. Ya que en estos puntos el valor de y es cero, multiplicar por cualquier número no cambiará la variable y. Por lo tanto, los puntos de corte con el eje x no cambiarán para nada, pero los puntos de corte con el eje y sí. En el gráfico original, el punto de corte con el eje y es 1, así que f (0) = 1. Multiplicar por 3 llevará ese punto tres unidades más arriba hasta (0, 3).

Multiplicar por 12 cambia el punto de corte con el eje y a 0, 12 .

(

)

y

y

x

x

Cuanto mayor sea la constante por la que debes multiplicar la variable, más se alargará el gráfico. Un número más pequeño aplana el gráfico.

20

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Capítulo 2

Ejemplo 3 Aplica lo que sabes sobre gráficos madre y transformaciones para graficar las siguientes ecuaciones que no son funciones: a. b. x = y2 + 3 ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 36 No todas las ecuaciones son funciones, y las dos ecuaciones de este tipo que los alumnos considerarán son x = y 2 y x 2 + y 2 = r 2 . La primera es la ecuación de una parábola horizontal, o parábola “durmiente”. La segunda ecuación es la forma general de un círculo con su centro en (0, 0), y un radio igual a r. Los alumnos no pueden introducir estas ecuaciones en una calculadora gráfica a menos que las reescriban en forma “y =”. Pero en lugar de hacer eso, los alumnos pueden usar lo que han aprendido y para crear gráficos precisos de cada ecuación. La ecuación madre de la ecuación del punto (a) es x = y 2 . El “+ 3” nos dice que el gráfico se desplazará 3 unidades, pero ¿hacia arriba, abajo, la izquierda o la derecha? x Reescribir la ecuación como ± x − 3 = y nos ayuda a ver que este gráfico se desplaza 3 unidades a la derecha. A la derecha, la curva gris es el gráfico de x = y 2 , y la curva más oscura es el gráfico de x = y 2 + 3 . Graficar la ecuación de un círculo es simple: la ecuación de un círculo con su centro en (h, k) y un radio de r es ( x − h) 2 + ( y + k ) 2 = r 2 . Por lo tanto, el gráfico de la ecuación del punto (b) es un círculo con su centro en (2, −3 ), y un radio de 6. Puedes ver el gráfico del círculo a la derecha.

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y

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x

21

Problemas Escribe la ecuación madre de cada una de las ecuaciones dadas a continuación y luego grafícalas. Asegúrate de incluir cualquier punto clave o punto de ubicación. 1.

y = ( x − 5) 2

2.

y = − 13 ( x + 4)2 + 7

3.

( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 9

4.

y = x+5 −2

5.

y=

1 + 10 x +1

6.

y = 2x − 8

7.

y = −( x − 2)3 + 1

8.

y = x+7

9.

y = 3 x −5

10.

y = ± x−9

Determina si cada uno de los problemas a continuación es o no una función. Si no es una función, explica por qué. 11.

y

y

12.

x

x

13.

22

y = 7 ± 9 − x2

14.

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y = 3( x − 4) 2

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Capítulo 2

Respuestas y

1. Gráfico madre f ( x) = Vértice (5, 0)

y

x2

2. Gráfico madre f ( x) = Vértice (–4, 7)

x2

x

y

3. Gráfico madre ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 Centro (2, –1) Radio 3

5. Gráfico madre f ( x) =

x

y

4. Gráfico madre f (x) = x Vértice (–5, –2) x

1 x

y

x

6. Gráfico madre f (x) = 2x Asíntota x = –8

Asíntotas x = –1, y = 10

y

x

x

7. Gráfico madre f ( x) = x3 Punto de ubicación (2, 1)

y

y

8. Gráfico madre f (x) = x Vértice (–7, 0)

x

x

9. Gráfico madre f ( x) = x Vértice (5, 0)

y

10. Gráfico madre y2 = x Vértice (9, 0)

y

x

x

11.

Sí.

12.

No, en el sector izquierdo del gráfico, por cada valor de x hay dos valores posibles de y. Puedes ver esto dibujando una línea vertical a lo largo del gráfico. Si una línea vertical atraviesa el gráfico más de una vez, no se trata de una función.

13.

No, ya que la ecuación tiene “±”, por cada valor por el que se sustituya x habrá dos valores de y. Una función puede tener solo un valor de salida por cada valor de entrada.

14.

Sí.

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23

MÁS INFORMACIÓN SOBRE COMPLETAR CUADRADOS Si bien los alumnos pueden hallar el vértice de una parábola calculando el promedio de los puntos de corte con el eje x, también pueden usar el método algebraico conocido como completar cuadrados. Esto permite a los alumnos pasar directamente de la forma estándar a la forma de graficación sin el paso intermedio de hallar los puntos de corte con el eje x. La técnica de completar cuadrados también puede usarse cuando la ecuación de un círculo está escrita en forma expandida. Cuando aprendieron a completar cuadrados, los alumnos usaron azulejos para ver cómo funciona este método. Cuando trataron de crear un cuadrado (completarlo) acomodando los azulejos, las partes disponibles eran demasiadas o no eran suficientes. Esta representación visual ayuda a los alumnos a ver cómo reescribir la ecuación algebraicamente.

Ejemplo 1 La función f ( x) = x 2 + 6 x + 3 está escrita en forma estándar. Completa el cuadrado para escribirla en forma de graficación. Luego halla el vértice de la parábola y diagrama su gráfico. La ecuación general de una parábola en forma de graficación es f ( x) = a ( x − h) 2 + k , donde (h, k) es el vértice. La ecuación original debe convertirse en un conjunto de paréntesis elevados al cuadrado a los que debe sumarse o restarse una constante. Para hacer esto, debemos saber que ( x − h) 2 = x 2 − 2 xh + h 2 . Usaremos esta forma de cuadrado perfecto para completar el cuadrado de la ecuación o función dada.

f ( x) = x 2 + 6 x + 3 = x2 + 6 x +

+3−

= x2 + 6 x + 9 + 3 − 9 = ( x + 3) 2 − 6

y

El primer recuadro contiene un espacio para el número que debemos sumar para completar el cuadrado. En el segundo recuadro, debemos restar el mismo número para no modificar el balance de la ecuación. Para determinar el número faltante, toma la mitad del coeficiente de x (la mitad de 6) y luego elévala al cuadrado y coloca el resultado en ambos recuadros. Con la ecuación en forma de graficación, sabemos que el vértice es (–3, –6). Puedes ver el gráfico a continuación.

x

24

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Capítulo 2

Ejemplo 2 La ecuación x 2 − 8 x + y 2 + 16 y = 41 es la ecuación de un círculo. Completa el cuadrado para determinar las coordenadas de su centro y la longitud de su radio. Al igual que en el ejemplo anterior, completaremos los espacios en blanco para crear cuadrados perfectos. Debemos hacer esto dos veces: una para x y otra para y. x 2 − 8 x + y 2 + 16 y = 41 x2 − 8x +

+ y 2 + 16 y +

−

−

= 41

x 2 − 8 x + 16 − 16 + y 2 + 16 x + 64 − 64 = 41 ( x − 4)2 − 16 + ( y + 8) 2 − 64 = 41 ( x − 4) 2 + ( y + 8) 2 = 41 + 16 + 64 ( x − 4) 2 + ( y + 8) 2 = 121

Este es un círculo con su centro en (4, –8) y un radio de 121 = 11.

Problemas Escribe cada una de las ecuaciones a continuación en forma de graficación. Luego determina el vértice y la dirección en la que se abre la parábola. 1. y = x 2 − 8 x + 18

2.

y = − x2 − 2x − 7

3.

y = 3 x 2 − 24 x + 42

4. y = 2 x 2 − 6

5.

y = 12 x2 − 3x + 12

6.

y = x 2 + 18 x + 97

Halla el centro y el radio de cada uno de los siguientes círculos: 7. 10.

( x + 2) 2 + ( y + 7) 2 = 25

8.

x 2 − 10 x + y 2 + 14 y = −58 11.

3( x − 9) 2 + 3( y + 1) 2 = 12 x 2 + 50 x + y 2 − 2 y = −602

9. 12.

x 2 + 6 x + y 2 = 91 x 2 + y 2 − 8 x − 16 y = 496

Respuestas 1.

y = (x – 4)2 + 2, vértice (4, 2), arriba

2.

y = –(x + 1)2 – 6, vértice ( −1 , –6), abajo

3.

y = 3(x – 4)2 – 6, vértice (4, –6), arriba

4.

y = 2(x – 0)2 – 6, vértice (0, –6), arriba

5.

y=

6.

y = (x + 9)2 + 16, vértice (–9, –16), arriba

7.

Centro: (–2, –7), radio: 5

8.

Centro: (9, –1), radio: 2

9.

Centro: (–3, 0), radio: 10

10.

Centro: (5, –7), radio: 4

12.

Centro: (4, 8), radio: 24

11.

1 2

(x – 3)2 – 4, vértice (3, –4), arriba

Centro: (–25, 1), radio:

24 = 2 6

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25

PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1.

Si m es un entero, ¿cuál de los siguientes valores no podría ser igual a m3? a.

2.

8.

d.

16

e.

64

2

b.

3

c.

3

d.

5

e.

6

–3

b.

− 13

c.

0

d.

1 3

e.

3

–5

b.

− 15

c.

13 5

d.

2 3

e.

15

4

b.

17

c.

19

d.

41

e.

204

Si n > 0 y 16 x 2 + kx + 25 = (4 x + n) 2 para todos los valores de x, ¿cuál es el valor de k – n? a.

7.

1

Una bolsa contiene una cantidad determinada de canicas de las cuales 35 son azules, 16 son rojas y el resto son amarillas. Si las probabilidades de extraer una canica amarilla de la bolsa al azar son de 14 , ¿cuántas canicas amarillas hay en la bolsa? a.

6.

c.

Si x = 2y + 3 y 3x = 7 – 4y, ¿cuál es el valor de x? a.

5.

0

¿Cuál es la pendiente de la recta que atraviesa el punto (–3, –1) y el origen? a.

4.

b.

Si dividimos n por 7 el resto es 3. ¿Cuál es el resto si dividimos 3n por 7? a.

3.

27

0

b.

5

c.

35

Un sólido rectangular tiene dos caras congruentes con la figura I de la derecha y cuatro caras congruentes con la figura II de la derecha. ¿Cuál es el volumen del sólido?

d.

40

e.

5 5

10

I

En la figura de la derecha, PQ = QR . ¿Cuál es la coordenada x del punto Q?

80

5

II

y x O P • (1, –3)

9.

10.

26

Q

•

(x, y)

R • (9, –3)

El tiempo t, en horas, necesario para producir u unidades de un producto está dado por la fórmula t = ku + c, donde k y c son constantes. Si se necesitan 430 horas para producir 100 unidades y 840 horas para producir 200 unidades, ¿cuál es el valor de c? En la figura de la derecha tenemos un cuadrado dentro de un círculo. Si los lados del cuadrado miden 3 y el área del círculo es cπ, ¿cuál es el valor exacto de c?

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Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 2

Respuestas 1.

D

2.

A

3.

D

4.

C

5.

B

6.

C

7.

250

8.

5

9.

20

10.

1.5

Guía para padres con práctica adicional

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