Exploraci´on de Patrones Aritm´eticos en los Grados Noveno y Octavo de la B´asica Secundaria Ivan Orlando Valencia Torres 29 de noviembre de 2012

´ DE PATRONES ARITMETICOS ´ EXPLORACION EN LOS ´ GRADOS NOVENO Y OCTAVO DE LA BASICA SECUNDARIA

Ivan Orlando Valencia Torres

Trabajo de Tesis presentado a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia como requisito parcial para optar al t´ıtulo de ˜ MAGISTER EN ENSENANZA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES.

Director Profesor Dr. Agust´ın Moreno Ca˜nadas

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Maestr´ıa en Ense˜nanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogot´a 2

´ DE PATRONES ARITMETICOS ´ EXPLORACION EN LOS ´ GRADOS NOVENO Y OCTAVO DE LA BASICA SECUNDARIA

Ivan Orlando Valencia Torres

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Maestr´ıa en Ense˜nanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogot´a 3

˜ Vo.Bo. Dr. AGUST´IN MORENO CANADAS. Director Trabajo Final.

El esfuerzo que me condujo a la realizaci´on de este trabajo, se lo dedico a mi esposa Heimy, a qui´en amo profundamente, mi hijo Joshua, que amo incluso antes de nacer y a Juan Felipe, que a pesar de no estar cerca de mi, hace parte de mi existencia.

Dios puede que no juega a los dados con el universo, pero algo extra˜ no est´a pasando con los n´ umeros primos... Paul Erd¨os

´Indice general Agradecimientos

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Resumen

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Abstract

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´ INTRODUCCION

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1. Regularidades, Patrones y Generalizaciones 1.1. Regularidades y Patrones en el calendario Maya . . . . . 1.2. El trabajo de los Babilonios por encontrar regularidades 1.3. La b´ usqueda de Regularidades en la Grecia Antigua . . . 1.4. La Generalizaci´on en el Renacimiento . . . . . . . . . . . 1.5. N´ umeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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18 19 20 21 23 24

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27 28 34 36 40 43 46 50

2. Visualizaci´ on de Patrones en la Teor´ıa de N´ umeros 2.1. Representaciones num´ericas a trav´es de im´agenes. . . . 2.2. Visualizaci´on, n´ umeros y geometr´ıa. . . . . . . . . . . . 2.3. El Tri´angulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Generando el Tri´angulo de Pascal . . . . . . . . 2.3.2. El Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . 2.4. Formas Cuadr´aticas Universales y N´ umeros Poligonales 2.4.1. Formas Cuadr´aticas Universales . . . . . . . . .

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3. Exploraci´ on de Patrones Aritm´ eticos en la Teor´ıa de N´ umeros 52 3.1. Patrones en los N´ umeros Poligonales. . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.1. El Teorema del n´ umero poligonal de Fermat . . . . . . 53

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3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.1.2. N´ umeros Pentagonales y Conjetura de Ramanuja para n 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´ umeros de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. La Refutaci´on de Euler a los N´ umeros Primos de Fermat. 3.2.2. Determinaci´on de n´ umeros de Fermat. . . . . . . . . . 3.2.3. N´ umeros de Fermat en la actualidad. . . . . . . . . . . 3.2.4. Pol´ıgonos regulares y n´ umeros primos de Fermat . . . 3.2.5. N´ umeros primos de Fermat y el tri´angulo de Her´on . . 3.2.6. N´ umeros primos de Fermat y simetr´ıa rotacional . . . Ternas Pitag´oricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Prueba de la existencia de Infinitas Ternas Pitag´oricas. ´ El Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Utilizaci´on del m´etodo del descenso infinito para una particularizaci´on de la ecuaci´on z n = xn + y n . . . . . . 3.4.2. Prueba de la no soluci´on de la ecuaci´on z n = xn + y n para n un m´ ultiplo de 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. El intento de Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Generalidades de la Demostraci´on de Andrew Wiles . . El Calendario Maya Tzolkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paul Erd¨os y el Teorema de los N´ umeros Primos . . . . . . . .

4. Patrones y ense˜ nanza de las Matem´ aticas 4.1. Acerca de los Patrones Seg´ un los Lineamientos Curriculares 4.2. El Razonamiento Proceso General en el Aprendizaje de las Matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. El Razonamiento a trav´es de Regularidades, Patrones y Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. El Valor de la Simbolizaci´on Matem´atica . . . . . . . . . . . 4.3.1. Registros de Representaci´on . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Ense˜ nanza y Registros de Representaci´on . . . . . . . 4.3.3. Patrones y Registros de Representaci´on en los Grados Octavo y Noveno de la B´asica Secundaria . . . . . . . 4.3.4. Situaciones Did´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 57 57 62 63 65 69 75 77 83 84 84 85 86 87 90 93

95 . 96 . 97 . . . .

98 99 99 100

. 100 . 101

5. Unidad Did´ actica 103 5.1. B´ usqueda y Consecuci´on de Patrones Aritm´eticos en los grados Octavo y Noveno: Estudio de algunas tem´aticas de la Teor´ıa de N´ umeros. . . . . . . . . . . . . . 103

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5.1.1. Justificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Actividad Diagn´ostica. Regularidades y Patrones en el Tri´angulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Actividad 1. Regularidades y Patrones en los N´ umeros de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Actividad 2. Regularidades y Patrones en Ternas Pitag´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. Actividad 3: N´ umeros Poligonales. . . . . . . . . . . BIBLIOGRAF´IA

. 103 . 105 . 112 . 119 . 127 136

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´Indice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Calendario Tzolkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serpiente cascabel-Canamayte . . . . . . . . . . . . . . . . Grabado del peri´odo Seleucida (siglo II a.C.) . . . . . . . . Tablilla Plimpton 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hueso de Ishango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paul Erd¨os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 1 2n = 13 . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de A = ∞ i=1 ( 2 ) N´ umero π y su aproximaci´on 22 . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 Expansi´on binaria de el n´ umero racional 65537 . . . . . . . Primeros 1600 valores de la fracci´on continua del n´ umero π del n´ umero e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tri´angulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tri´angulo de Pascal y Tri´angulo de Sierpinski . . . . . . .

3.1. Fragmento del diario de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Pol´ıgono Regular de 3 lados . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Pol´ıgono Regular de 4 lados . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Pol´ıgono Regular de 5 lados . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Pol´ıgono Regular de 6 lados . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Pol´ıgono regular de 17 lados . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Tri´angulos de Her´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Circunferencia inscrita en un tri´angulo . . . . . . . . . . 3.9. Razonamiento F´ormula de Her´on . . . . . . . . . . . . . 3.10. Representaci´on gr´afica de 17 , para la base 10. . . . . . . . 3.11. Representaci´on gr´afica de 17 , para la base 11. . . . . . . . 3.12. Representaci´on gr´afica de la terna pitag´orica 3, 4, 5 . . . 3.13. Portada del Libro Arithmetica de Diofanto de Alejandr´ıa. 3.14. P´agina que contiene la nota de Fermat. . . . . . . . . . .

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19 20 21 22 25 26

. . . y . . .

. 29 . 31 . 32 . 33 . 34 . 35

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

53 66 66 67 67 69 70 71 74 76 77 78 88 89

3.15. Meses del Calendario Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.16. Cuenta d´ıas del Calendario Tzolkin . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Terrenos tipo A . . . . Terrenos tipo B . . . . Terrenos tipo A . . . . Terrenos tipo B . . . . Terrenos tipo C, con la a, b son las medidas de del r´ıo. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . medida del r´ıo . . . . . . . . . . . . los lados del rect´angulo y c la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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119 119 120 121 122

. 122

Agradecimientos Dr. Agust´ın Moreno Ca¨ nadas quien gracias a su gran apoyo y motivaci´on, permiti´o que realizara an´alisis muy productivos de la consecuci´on de patrones que a lo largo de la historia han permitido a matem´aticos sobresalientes construir teor´ıas; permitiendo as´ı afianzar mis conocimientos de algunas tem´aticas de la teor´ıa de n´ umeros y la culminaci´on de este trabajo.

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Resumen Este trabajo presenta el estudio de regularidades, la consecuci´on de patrones y la generalizaci´on de resultados como recurso pedag´ogico y did´actico para la ense˜ nanza de las matem´aticas. El estudio inicia con el seguimiento a nivel hist´orico sobre el tema, seguido por el estudio de regularidades y patrones que se encuentran visualmente en estructuras de la teor´ıa de n´ umeros, de acuerdo al trabajo de Borwein y J¨orgenson, para despu´es realizar un an´alisis de patrones enmarcado en el estudio de un problema de tipo combinatorio, que genera el tri´angulo de Pascal, encontrando en este arreglo num´erico una relaci´on directa con los n´ umeros poligonales de acuerdo al trabajo de A. M. Ca˜ nadas. Lo anterior responde a la necesidad de dar un aporte riguroso al trabajo propuesto por Ca˜ nadas, en el que se deduce el Tri´angulo de Pascal a partir de algunas trayectorias reticulares convenientes, con ayuda de las cuales tambien es posible deducir el Teorema del Binomio. Como un peque˜ no aporte del autor, se hace una conexi´on entre patrones aritm´eticos que generan n´ umeros poligonales y formas cuadr´aticas universales.

El cap´ıtulo 3 se centra en la consecuci´on de patrones en algunas tem´aticas propias de la teor´ıa de n´ umeros, como los n´ umeros de Fermat, las ternas Pitag´oricas, el u ´ltimo Teorema de Fermat, el Teorema Chino de los residuos (aplicado al conocimiento de las fechas del calendario Maya Tzolkin) y los n´ umeros primos. La revisi´on de las tem´aticas de la teor´ıa de n´ umeros se enmarca en la b´ usqueda y an´alisis de las t´ecnicas y procesos utilizados por matem´aticos prominentes para lograr generalizaciones. Por otro lado, se realiza un an´alisis a nivel pedag´ogico y did´actico, que se centra en los lineamientos curriculares en matem´aticas de Colombia, el fortalecimiento del razonamiento inductivo y deductivo a trave´s de la observaci´on de registros semi´oticos de representaci´on y el estudio de situaciones did´acticas, para concluir con una propuesta de actividades con el fin de reforzar en estudiantes del grado octavo y noveno de la b´asica secundaria el desarrollo del pensamiento num´erico y variacional.

Palabras Clave: Patrones, Regularidades, Generalizaci´on, Visualizaci´on, Teor´ıa de N´ umeros, Ense˜ nanza, Aprendizaje, Pedagog´ıa, Did´actica.

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Abstract This work presents the study of regularities, the achievements of patterns and the mainstreaming as a pedagogic and didactical resource for math teaching. Keywords: Patterns, regularities, Generalization, Visualisation, Number Theory, Teaching, Learning, Pedagogy, Didactics.

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Introducci´ on En educaci´on matem´atica, el estudio de c´omo se desarrolla el pensamiento por medio de la consecuci´on de patrones, adquiere un valor importante debido al paso de un estudio informal de variaci´on en los primeros a˜ nos escolares, a un estudio m´as formal en la educaci´on b´asica y media. La importancia de la consecuci´on de patrones est´a determinada por su constante aparici´on en la naturaleza y en la vida cotidiana ya que como lo manifiesta Bressan y Gallego [7], el proceso de hacer matem´atica va m´as all´a que calcular o deducir, implica la observaci´on de patrones, la comprobaci´on de conjeturas y la estimaci´on de resultados.

Encontrar regularidades, implica la consecuci´on de patrones y esto constituye una herramienta fundamental, no solo en el desarrollo de las matem´aticas, sino tambi´en tiene una implicaci´on transversal en otras a´reas. De hecho la b´ usqueda de regularidades, la consecuci´on de patrones y la generalizaci´on de estos, es imprescindible para la construcci´on de otras ciencias. Podr´ıa decirse entonces, que cualquier regularidad puede ser modelada en t´erminos matem´aticos [7], y existen varios ejemplos que pueden dar cuenta de c´omo la naturaleza brinda herramientas para que haciendo uso de las matem´aticas se puedan crear generalizaciones. La consecuci´on de patrones, hace parte de una habilidad innata en los seres humanos para encontrar regularidades, al respecto Hviding [29], manifiesta que si bien los seres humanos son capaces de reconocer muchos patrones diferentes en la estructura de la naturaleza en general . . .. hay un patr´on u ´nico que se destaca de todos los dem´as. Algunos bi´ologos sistem´aticos han hecho referencia a ese patr´on como el sistema natural . . .. La capacidad de los seres humanos de reconocer patrones es probablemente innata. Esta habilidad conlleva una b´ usqueda de representaciones simb´olicas que plasmen estos patrones y la generalizaci´on de los mismos. Portan y Costa [21], se refieren a esta habilidad de la siguiente forma: La ciencia se construye sobre la b´ usqueda de regularidades; desde este punto de vista, el trabajo

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de los alumnos en la detecci´on de las mismas, el descubrimiento de sus leyes de formaci´on, su reconstrucci´on con base en una ley dada, cumple un papel fundamental para el desarrollo de su conocimiento cient´ıfico.

El objetivo de este trabajo es determinar algunos de los patrones aritm´eticos subyacentes en las matem´aticas a nivel escolar y analizar hist´oricamente c´omo esta b´ usqueda de patrones ha estado inmersa dentro de la construcci´on conceptual de la teor´ıa de n´ umeros, la creaci´on de conjeturas y la generalizaci´on de resultados. Por consiguiente se ha tomado como referente el trabajo de algunos matem´atios destacados como Pierre de Fermat y Paul Erd¨os ya que en vida y despu´es de su muerte, dejaron una cantidad considerable de problemas abiertos, que revelaban su preocupaci´on por buscar patrones aritm´eticos y descubrir generalizaciones. No solamente la preocupaci´on de estos matem´aticos por buscar estas regularidades hace parte de este trabajo, sino adem´as la motivaci´on de matem´aticos que a trav´es de los a˜ nos, inspirados por la labor de Fermat, detectaron nuevos patrones que generaron nuevas conjeturas y demostraciones, fortaleciendo todos los descubrimientos enmarcados en la teor´ıa de n´ umeros.

La revisi´on hist´orica en la que se enmarca este trabajo, tiene como finalidad destacar algunos trabajos que concluyeron con la consecuci´on de patrones aritm´eticos y hacer un recorrido en busca de construcciones matem´aticas que determinaron regularidades y patrones, para observar c´omo se han ido formando ciertos conceptos hasta nuestros d´ıas, situaci´on importante porque es posible darse una idea de las dificultades y obst´aculos a los que a diario se enfrentan los estudiantes. Adem´as de acuerdo con Azc´arate y Deulofeu [3], el conocimiento de este desarrollo hist´orico permitir´a que los estudiantes adquieran una visi´on mucho m´as amplia que la obtenida a trav´es del estudio de teor´ıa modernas o de las u ´ltimas definiciones, las cuales han sido posibles despu´es de un largo camino y cuya simple reproducci´on en niveles inferiores suele conducir a graves errores epistemol´ogicos y did´acticos.

Seguido de la revisi´on hist´orica y disciplinar de algunos patrones trabajados por Fermat y algunos de sus sucesores, el trabajo presenta el dise˜ no de actividades que potencian la consecuci´on de patrones, que van en busca de

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replicar condiciones, que hicieron surgir en varios matem´aticos el inter´es por generalizar regularidades.

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Cap´ıtulo 1 Regularidades, Patrones y Generalizaciones La cotidianidad pone de manifiesto una cantidad infinita de regularidades, espec´ıficamente encontramos patrones en la naturaleza, el arte, la literatura, etc. De acuerdo con Doczi [22], la disciplina intr´ınseca en las proporciones y en los patrones de formaci´on de los fen´omenos naturales se manifiesta tambi´en en la mayor´ıa de las obras humanas cl´asicas y armoniosas, y evidencia el v´ınculo existente entre las cosas. Los l´ımites de la disciplina nos permiten vislumbrar la armon´ıa del cosmos y tomar parte en ella, tanto en lo que se refiere al mundo f´ısico como a nuestro modo de vivir.

¿Pero c´omo definimos patr´on?, seg´ un Portan y Costa [21], un caso especial de regularidad la constituye un patr´on. Un patr´on es una sucesi´on de signos (orales, gestuales, gr´aficos, de comportamiento, etc.) que se construyen siguiendo una regla (algoritmo), ya sea de repetici´on o de recurrencia. Para Castro, [18] la idea b´asica implicada en esta noci´on es que toda situaci´on repetida con regularidad da lugar a un patr´on.

Los patrones de repetici´on, est´an determinados porque los diferentes elementos se presentan en forma peri´odica, como por ejemplo la repetici´on de notas de una canci´on, (do,re,mi,do,re,mi,do,re,mi,...). Por otro lado los patrones de recurrencia tienen un n´ ucleo que cambia con regularidad, cada uno de los t´erminos de la sucesi´on pueden ser expresados en t´erminos de los anteriores

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de cuyo an´alisis se puede inferir la ley, como por ejemplo: (un salto adelante, un salto atr´as, dos saltos adelante, dos saltos atr´as, tres saltos adelante, tres saltos atr´as,...).

La consecuci´on de patrones ha sido una tarea en la que la humanidad ha estado inmersa a trav´es del tiempo, la b´ usqueda de regularidades, los patrones y su generalizaci´on hace parte de la construcci´on, que ha desarrollado un medio para comunicarse y para entender mejor el mundo que nos rodea, desde los egipcios y los babilonios, hasta la sociedad contempor´anea ha estado comprometida con su b´ usqueda y a´ un en el presente, la habilidad del ser humano para encontrar regularidades hace parte de la cotidianidad y del desarrollo de las matem´aticas.

1.1.

Regularidades y Patrones en el calendario Maya

Al igual que otras culturas, los Mayas desarrollaron un sistema de numeraci´on en base 20 que obedece a un patr´on determinado por s´ımbolos. La habilidad de los Mayas por determinar regularidades los condujeron a calcular la medida del a˜ no solar con un grado de exactitud que super´o el calendario Gregoriano Europeo, sin embargo, este modelo usando el a˜ no solar, no fue empleado, por lo cual construyeron un calendario sagrado y ritual. Este es el calendario Tzolkin que se muestra en la figura 1.1, que est´a determinado por 20 meses cada uno de 13 d´ıas, por lo cual de acuerdo a este calendario, un a˜ no tiene 260 d´ıas.

Figura 1.1: Calendario Tzolkin

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Los patrones geom´etricos fueron una fuente de preocupaci´on de los Mayas a nivel sagrado, divino y matem´atico. Para los Mayas la v´ıbora de cascabel guardaba secretos de la vida y la regeneraci´on y plantearon que en su piel se encontraba un patr´on geom´etrico llamado Canamayt´e (Ver figura 1.2). Este patr´on geom´etrico est´a formado por 13 escamas por lado, separadas por una cruz en dos secciones de 6 cada una, con una al centro. En los cuatro costados se pueden ver 13 escamas, mientras que en el centro se observan 25 escamas. Los n´ umeros 13 y 20 son la base del calendario Tzolkin, en el cap´ıtulo 2 se realiza un tratamiento matem´atico de este y su relaci´on con la aritm´etica modular.

Figura 1.2: Serpiente cascabel-Canamayte

1.2.

El trabajo de los Babilonios por encontrar regularidades

La b´ usqueda de patrones y su consecuci´on est´a inmersa en toda actividad matem´atica, es aqu´ı donde esta habilidad de los seres humanos permite incluso hallar relaciones entre diferentes tipos de magnitudes. A trav´es de la historia es posible observar la preocupaci´on por civilizaciones antiguas, como por ejemplo en Babilonia, pues se han encontrado manuscritos que tratan sobre temas aritm´eticos, mostrando ingeniosos m´etodos de c´alculo e incursionando incluso, en el terreno del ´algebra; pero fueron probablemente los conocimientos en astronom´ıa los que condujeron a los babilonios a realizar observaciones sistem´aticas de diversos fen´omenos que se repet´ıan peri´odicamente, tratando de enlazarlos a trav´es de relaciones aritm´eticas. [3]

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Figura 1.3: Grabado del peri´odo Seleucida (siglo II a.C.)

Espec´ıficamente en las tablillas del per´ıodo Seleucida (Ver figura 1.3), se pueden observar regularidades y relaciones determinadas de acuerdo a los per´ıodos de visibilidad de un planeta y el a´ngulo que este forma con el sol, espec´ıficamente se puede observar, de izquierda a derecha, las siete estrellas representando las Pl´eyades, la Luna y el Toro Celeste, Gudanna. En general Bourbaki, [10] afirma que los documentos m´as antiguos que nos quedan sobre la matem´atica de los egipcios y los babilonios nos muestran que estaban ya en posesi´on de un sistema completo de reglas de c´alculo para los enteros naturales mayores que 0, los n´ umeros racionales mayores que 0, las longitudes, y las a´reas; y aunque los textos babilonios que nos han llegado se refieran u ´nicamente a problemas en los que los datos tienen valores num´ericos concretos, no dan lugar a dudas en cuanto a la generalidad de las reglas empleadas, e indica una habilidad t´ecnica considerable en el manejo de las ecuaciones de primer y segundo grado.

1.3.

La b´ usqueda de Regularidades en la Grecia Antigua

El papel de los Griegos en la determinaci´on de regularidades, fue relevante frente a la construcci´on de conceptos en geometr´ıa y matem´aticas, estos muestran mucha afinidad con la mentalidad aritm´etica de los Babilonios. La

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determinaci´on de leyes simples de la ac´ ustica representan un intento por determinar generalizaciones que son atribuibles a los pitag´oricos, aunque ese tipo de intentos no son tan relevantes, el trabajo alrededor de las proporciones es el aspecto m´as importante para el desarrollo de las matem´aticas griegas. Azc´arate y Deulofeu, [3] presentan que la idea pitag´orica de todo es n´ umero, fue controvertida con la paradoja de Zen´on y por la aparcici´on de la inconmensurabilidad, situaci´on que condujo a una separaci´on entre la idea de n´ umero y magnitud, lo cual tiene repercusiones en el pensamiento, para determinar generalizaciones de una magnitud variable, situaci´on que se dio gracias al estudio de regularidades y consecuci´on de patrones.

Las tablas pitag´oricas son una evidencia clara, de la preocupaci´on por la b´ usqueda de regularidades y no solamente aqu´ı se muestra esta intranquilidad, sino que adem´as la connotaci´on m´agica de n´ umero condujo a la asociaci´on de estos con figuras que guardaban regularidades en sus formas; sin embargo en donde hubo un trabajo m´as fuerte por encontrarlas, fue en la b´ usqueda de ternas pitag´oricas, trabajo que aunque no fue logrado solamente por los pitag´oricos, puesto que se encontraron en algunos trabajos de los babilonios y los egipcios, como lo muestra la tablilla Plimpton 322, que demuestra que los Babilonios conoc´ıan las ternas pitag´oricas unos 1500 a˜ nos antes de que el mism´ısimo Pit´agoras naciera (Ver figura 1.4); sin lugar a dudas los griegos fueron quienes lograron plasmarlas en una generalizaci´on.

Figura 1.4: Tablilla Plimpton 322

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1.4.

La Generalizaci´ on en el Renacimiento

Para los Pitag´oricos los n´ umeros poligonales representaron un fuente de virtudes m´ısticas, esta connotaci´on religiosa se puede observar como lo dice Bell, [5] desde la burda numerolog´ıa de los pitag´oricos hasta la doctrina plat´onica de las ideas. M´as adelante, matem´aticos como Fermat ve´ıan estos n´ umeros como objetos leg´ıtimos de la curiosidad intelectual; las secciones c´onicas, aunque son un ejemplo del tratamiento inicial de los griegos, tambi´en lo son de la generalizaci´on lograda en el renacimiento.

En el renacimiento se lograron avances importantes en la actividad matem´atica, se utilizaba un simbolismo algebraico rudimentario y la aplicaci´on de los conocimientos matem´aticos aportaron a diferentes campos de las ciencias, que determinaron nuevos modelos generalizados. El ´algebra hasta el siglo XVI era de tipo verbal, situaci´on que no permit´ıa un tratamiento con n´ umeros de potencias grandes, tal raz´on motiv´o a muchos a crear un sistema simb´olico que no se limitara solo un grupo de reglas para resolver ecuaciones particulares.

Matem´aticos como Fran¸cois Viete contribuyeron en el desarrollo del a´lgebra, logrando un grado de generalizaci´on notable dando un nuevo enfoque a la resoluci´on de todo tipo de ecuaciones. Seg´ un Bell, [5] la importancia de un simbolismo f´acil de manejar, como indica De Morgan, es que permite a los que no son grandes matem´aticos en su generaci´on, hacer sin esforzarse razonamientos matem´aticos que hubieran desconcertado a sus mayores predecesores, esta a´lgebra simb´olica reemplaza los procesos algebraicos verbales.

En el siglo XVII, empez´o a surtir efecto la generalizaci´on lograda a trav´es de la creaci´on del algebra simb´olica; matem´aticos como Descartes, Fermat, Newton y Leibniz, lograron importantes avances en el a´rea de las Matem´aticas y la Geometr´ıa. Matem´aticos como Fermat trabajaron tambi´en en Geometr´ıa Anal´ıtica llegando a resultados como los de Descartes, seg´ un Fermat en 1629 ya hab´ıa determinado generalizaciones tan importantes como la ecuaci´on general de la l´ınea recta, la ecuaci´on de una circunferencia con centro en el origen, las ecuaciones de la elipse, la par´abola y la hip´erbola rectangular.

23

La b´ usqueda de regularidades y la consecusi´on de patrones aritm´eticos, se observa claramente en los inicios de la Aritm´etica moderna, se considera que el mayor aporte personal de Fermat fue para la Aritm´etica. Muchos de los conocimientos de Fermat quedaron registrados en notas marginales de sus libros o en comunicaciones a trav´es de correspondencias. La necesidad de Fermat por buscar regularidades se observa en la consecuci´on de un patr´on num´erico que corresponde a los n´ umeros de Fermat y su u ´ltimo teorema que fue demostrado en el siglo XX.

1.5.

N´ umeros Primos

Muchos de los progresos determinados desde la Aritm´etica cl´asica generada por Fermat, Euler, Lagrange y Gauss, entre otros, fueron decisorios en la creaci´on de la Aritm´etica generalizada. Toda generalizaci´on matem´atica, para que tenga un significado importante debe pasar por la particularizaci´on de todos los casos y dar como resultado algo m´as que no este contenido en los casos particulares. Bell describe como la ampliaci´on de la Aritm´etica racional a una Aritm´etica de n´ umeros algebraicos tuvo dos or´ıgenes distintos, la demostraci´on de Gauss de la ley de reciprocidad cuadr´atica y la tentativa que hizo Kummer para probar el u ´ltimo teorema de Fermat [5].

Es claro que las regularidades son el primer paso para llegar a una generalizaci´on, por lo cual se hace interesante el tratamiento que se ha tenido con un grupo de n´ umeros que desde la antig¨ uedad hasta nuestro tiempo han sido trascendentes en la construcci´on de las matem´aticas. Al respecto Paul Erd¨os matem´atico del siglo XX, expres´o en su momento una frase muy interesante [28] Dios puede que no juega a los dados con el universo, pero algo extra˜ no est´a pasando con los n´ umeros primos..., tal afirmaci´on manifiesta una idea de belleza y orden en la matem´aticas. Seg´ un Hoffman, [28] Erd¨os era amigo de los n´ umeros primos, tal vez por su potencial para encontrar patrones, ya que dichos n´ umeros est´an plagados de estos, como lo muestra Ne¨set¨ril, [40] el comienzo de la carrera de Erd¨os estaba concentrada en el estudio de la teor´ıa de n´ umeros, sobre problemas relacionados con la distribuci´on de n´ umeros primos, trabajo que culmin´o con la demostraci´on elemental del teorema de los n´ umeros primos.

24

Desde la antig¨ uedad se han tenido indicios del tratamiento de estos n´ umeros, el hueso de Ishango (Ver figura 1.5) es prueba de la existencia de antepasados de aproximadamente 35.000 a˜ nos a.c., que pretend´ıan tratar de abstraer el signifcado de algunas regularidades. Las marcas plasmadas en este hueso aunque no dan muestras de la utilizaci´on de operaciones, si muestran la observaci´on de un patr´on num´erico.

Figura 1.5: Hueso de Ishango.

En Grecia, Euclides muestra en su libro IX de los elementos la demostraci´on de la existencia de infinitos n´ umeros primos, pero no solamente demuestra esto, sino que adem´as demuestra el teorema fundamental de la Aritm´etica, cuya hip´otesis afirma que todo entero puede ser escrito como un producto u ´nico de primos. Por otro lado, en el siglo XVI Mersenne, investig´o algunos n´ umeros primos, que m´as adelante ser´ıan nombrados como los primos de Mersenne, tiempo despu´es Fermat utilizando la abundante fuente de regularidades de los n´ umeros primos, conjetur´o el peque˜ no teorema de Fermat y conjetur´o de forma n equivocada que los n´ umeros de la forma 22 + 1, eran n´ umeros primos. Por consiguiente habr´ıa que hacer una larga lista de matem´aticos que encontraron regularidades dentro del contexto de los n´ umeros primos, como por ejemplo Euler, Adrien-Marie Legendre, Sophie Germain, Gauss, Chebyshev y Paul

25

Erd¨os entre muchos m´as.

Figura 1.6: Paul Erd¨os.

Por otro lado Legendre, en 1798 conjetur´o que el n´ umero de primos menox res que x deb´ıa aproximarse asint´oticamente a log(x) , en el mismo tiempo Gauss observaba regularidades que le permit´ıan determinar que la densi1 dad de n´ umeros primos en un entorno n, era aproximadamente log(n) . M´as adelante en el siglo XIX Chebyshev con un argumento combinatorio, le permiti´o determinar el orden de magnitud de los n´ umeros primos menores que x. Por su parte Riemann en el siglo XIX, seg´ un Cilleruelo, [19] redacto una famosa memoria de ocho p´aginas en la que sentaba las bases de lo que unos a˜ nos m´as tardes concluir´ıa con la demostraci´on del teorema de n´ umeros primos. Ya en el siglo XX Paul Erd¨os y Atle Selberg lograron una demostraci´on completamente elemental de dicho teorema.

26

Cap´ıtulo 2 Visualizaci´ on de Patrones en la Teor´ıa de N´ umeros El pensamiento matem´atico es visual , evidencia de esto es que muchos de los hechos notables, entorno al desarrollo de la actividad matem´atica, son basados en las im´agenes. Ejemplo de esta afirmaci´on, es el an´alisis cartesiano a relaciones de tipo num´erico. Este cap´ıtulo se basa en el articulo escrito por Borwein y J¨orgenson [6] y tiene como uno de sus objetivos encontrar patrones visibles en distintas estructuras de tipo combinatorio como por ejemplo el tri´angulo de Pascal.

Borwein y J¨orgenson, ponen de manifiesto que los matem´aticos han sido conscientes de la importancia de la visualizaci´on y que estos hacen un gran esfuerzo por explotarla, en particular presentan el caso de Carl Friedrich Gauss, quien en alg´ un momento expresa su dificultad para dibujar im´agenes que le permitan llegar a conjeturas precisas como se muestra en una de sus manifestaciones con respecto a un diagrama que acompa˜ na su primera prueba del teorema fundamental del ´algebra: ((A´ un es verdad que, con teoremas negativos como este, transformar convicciones personales en convicciones objetivas requiere un trabajo detallado y a veces disuasivo. Para visualizar la variedad entera de casos, uno tendr´ıa que mostrar un gran n´ umero de ecuaciones mediante curvas; cada curva tendr´ıa que ser dibujada por cada uno de sus puntos y determinar un solo punto

27

requiere c´alculos largos. No te imaginas cu´anto trabajo me tom´o dibujar apropiadamente la curva de la Fig. 4 en mi primer art´ıculo de 1799.)) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Hoy en d´ıa, los ambientes computacionales han aumentado la posibilidad de visualizaci´on en matem´aticas, debido a la posibilidad de obtener gr´aficas como las requeridas por Gauss con una alta resoluci´on, velocidad de obtenci´on, proporcionando una mayor utilidad a trav´es del color, la animaci´on y el procesamiento de im´agenes que permiten la interacci´on con el usuario. La revisi´on hist´orica que se realiza en este trabajo presenta c´omo las matem´aticas pueden ser la ciencia que obtiene patrones, relaciones y generalizaciones a trav´es de descripciones de estructuras que son reconocidas en el espacio y los n´ umeros. Sin embargo, la relaci´on visual no es evidente en todas las ramas de la matem´atica, campos como la teor´ıa de n´ umeros no se prestan de forma inmediata para hacer descripciones gr´aficas.

2.1.

Representaciones num´ ericas a trav´ es de im´ agenes.

La teor´ıa de n´ umeros ofrece una gran gama de problemas de tipo num´erico que el cerebro humano tiene dificultad para asimilar, claramente es posible observar esta situaci´on en el conjunto de n´ umeros primos o los n´ umeros de Fermat, ya que estas tem´aticas requieren la manipulaci´on de una gran cantidad de informaci´on num´erica, parafraseando a Jacques Hadamard (18651963) cuando describi´o sus pensamientos iniciales en la demostraci´on de que hab´ıa un n´ umero primo mayor que 11, estos n´ umeros ofrecen a primera vista una ((masa confusa de puntos)). Esta situaci´on conlleva que los matem´aticos hagan uso de representaciones formales, que dejan de lado la visualizaci´on de los datos que permiten la identificaci´on de patrones, raz´on por la cual se han potenciado los computadores para que por medio de esta herramienta, se le permita a los seres humanos acceder a una nueva forma de visualizaci´on que genere la consecuci´on de nuevos patrones. En [6], se presenta un problema de una situaci´on propia de la manipulaci´on de n´ umeros, que permite hacerse la pregunta si, ¿todo lo visual, es u ´til para

28

realizar una prueba?

Figura 2.1: Prueba de A =

P∞

i=1

( 12 )2n =

1 3

Los autores presentan que una prueba usando representaciones visuales depende de los siguientes factores:

Fiabilidad: El medio fundamental de llegar a la prueba es confiable y es el resultado invariable con cada inspecci´on. Consistencia: El medio y el final de la prueba son consistentes con otros hechos conocidos, creencias, y pruebas. Repetibilidad: La prueba se puede confirmar o demostrar a los dem´as.

Aunque la prueba usando representaciones visuales depende de la fiabilidad, la consistencia y la repetibilidad, estas caracter´ısticas no son suficientes para

29

determinar la veracidad de una prueba de este tipo. Las im´agenes no pueden limitarse a la revisi´on y an´alisis est´atico de las mismas, por el contrario debe existir una visualizaci´on que ofrezca caracter´ısticas como:

Dinamismo: La representaci´on debe variar a trav´es de alg´ un par´ametro para demostrar una serie de comportamientos.

Orientaci´on: Llevar al espectador a trav´es de la informaci´on que se acumula en el caso de la prueba, de los pasos adecuados en el orden correcto, la representaci´on debe ofrecer un camino a trav´es de la informaci´on que se acumula en el caso de la prueba.

Flexibilidad: Debe apoyar la exploraci´on del propio espectador de las ideas presentadas, incluyendo la b´ usqueda de contraejemplos o incompletas y apertura.

Apertura: Los algoritmos subyacentes, bibliotecas, y los detalles de lenguajes de programaci´on y el hardware deben estar disponibles para su inspecci´on y confirmaci´on.

Un ejemplo interesante de la visualizaci´on de patrones, fu´e propuesto en el siglo 17 por Gottfried Wilhelm Leibinz quien en una carta pregunto a uno de los hermanos Bernoulli si podr´ıa existir un patron en el desarrollo binario de π. A manera de ilustraci´on en la figura 2.2. muestra una representaci´on m´od 2, que es una aproximaci´on al n´ umero π gr´afica de π m´od 2 y de 22 7 dada en el siglo V por el matem´atico y astr´onomo chino Zu Chongzhi:

30

Figura 2.2: N´ umero π y su aproximaci´on

22 7

La figura muestra la expansi´on binaria de los primeros 1600 digitos del n´ ume22 ro π y su aproximaci´on 7 , ambos mod 2, lo que se puede observar es una regularidad en la representaci´on de 22 ya que este es un n´ umero racional en 7 contraste con la inexistencia de un patr´on en la gr´afica de π, quien hace parte del conjunto de n´ umeros irracionales.

1 Asi mismo en [6], se observa al n´ umero racional 65537 , como una expansi´on binaria, con un peri´odo de 65536; la visuaizaci´on de esta representaci´on gr´afica deja claro que es dif´ıcil determinar la regularidad subyacente a este n´ umero racional, pues se debe poseer una herramienta de resoluci´on muy poderosa para determinar claramente la regularidad, aunque en esta im´agen se observa una sutil diagonal que sugiere un patron.

31

Figura 2.3: Expansi´on binaria de el n´ umero racional

1 65537

Visualmente se pueden expresar las fracciones continuas de π y el numero e en m´odulo 4 de la siguiente forma:

32

Figura 2.4: Primeros 1600 valores de la fracci´on continua del n´ umero π y del n´ umero e.

En estas figuras se puede observar como para el n´ umero π no se puede determinar ninguna regularidad, ya que la fracci´on continua esta representada

33

por π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, . . .], pero para el n´ umero e es: e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, . . .] Para este u ´ltimo se puede ver claramente que la fracci´on continua presenta una regularidad que es posible detectar en su representaci´on gr´afica.

2.2.

Visualizaci´ on, n´ umeros y geometr´ıa.

La Geometr´ıa brinda una gran gama de posibilidades que permiten articular los n´ umeros y la b´ usqueda de patrones. La identificaci´on de patrones requiere del reconocimiento de semejanzas y diferencias, este trabajo incluye la copia de patrones, la b´ usqueda de regularidades, la extensi´on de sucesiones, la extrapolaci´on y la traslaci´on. El tri´angulo de Sierpinski, ofrece un alto potencial de vinculaci´on de lo visual y lo num´erico, este tri´angulo tiene forma fractal y se construye partiendo de tri´angulos simples. Despu´es, se unen los puntos centrales de cada arista de modo que quede dividido en cuatro tri´angulos iguales. Con esto, a cada uno de los tres tri´angulos que quedan en la posici´on de los v´ertices del tri´angulo original se les aplica esta misma transformaci´on sucesivamente:

Figura 2.5: Tri´angulo de Sierpinski

n 1 2 3 4 5

N 1 3 9 27 81

T 1 0,5 0,25 0,125 0,0625

34

n: N´ umero del tri´angulo, N: Cantidad de tri´angulos negros, T: Tama˜ no del lado de tri´angulo negro. Existe una relaci´on directa entre el tri´angulo de Sierpinski y el tri´angulo de Pascal, en 1654 Blaise Pascal mantuvo correspondencia con Pierre de Fermat sobre ciertos problemas de probabilidad, esta dar´ıa origen al tri´angulo de Tartaglia o al comunmente llamado tri´angulo de Pascal. La relaci´on directa entre el tri´angulo de Sierpinski y el tri´angulo de Pascal se puede observar dibujando tri´angulos sobre el tri´angulo de Pascal, teniendo en cuenta que se colorean los n´ umeros impares como en la figura:

Figura 2.6: Tri´angulo de Pascal y Tri´angulo de Sierpinski

El tri´angulo de Pascal es de mucho inter´es, ya que los n´ umeros que lo forman hacen parte de la soluci´on de un problema combinatorio que describiremos

35

en la secci´on 2.3. De hecho se muestran algunas regularidades subyacentes al tri´angulo de Pascal y su relaci´on directa con los n´ umeros poligonales, basado en los trabajos A. M. Canadas, M. A. Angarita, B. Kane y Z. W. Sun [12, 15, 31, 48].

2.3.

El Tri´ angulo de Pascal

En esta secci´on, estudiaremos algunas regularidades obtenidas del tri´angulo de Pascal. En particular, usaremos algunos patrones sugeridos por n´ umeros poligonales, para encontrar algunas formas cuadr´aticas universales. Para ello, introduciremos unas definiciones preliminares. Un conjunto ordenado, conjunto parcialmente ordenado o poset es una pareja ordenada (P, ≤) que consta de un conjunto P y una relaci´on binaria ≤ contenida en P × P, denominada el orden (o el orden parcial) sobre P, tal que : (a) La relaci´on ≤ es reflexiva. Esto es, para cada x ∈ P, x ≤ x. (b) La relaci´on ≤ es antisim´etrica. Esto es, para cada pareja x, y ∈ P x ≤ y y y ≤ x implica x = y. (c) La relaci´on ≤ es transitiva. Esto es, para toda tripla x, y, z ∈ P x ≤ y y y ≤ z implica x ≤ z. Frecuentemente si no hay confusi´on, la relaci´on de orden no se menciona explicitamente cuando se habla de un conjunto parcialmente ordenado. De tal manera que frases como “Dado un poset P”, normalmente quiere decir que al conjunto P se le ha dotado de una relaci´on de orden la cual usualmente se nota ≤. Escribimos x < y si x ≤ y y x 6= y, en cuyo caso diremos que la relaci´on entre x y y es estricta. Una relaci´on ≤ sobre un conjunto P que es reflexiva y transitiva pero no necesariamente antisim´etrica se llama un pre-orden. Dos elementos x, y de un poset dado P son comparables si x ≤ y o y ≤ x.

36

Un poset es finito (infinito) si y solamente si el conjunto subyacente es finito (infinito). Dado un poset P, entonces notamos P op al poset antiisomorfo o poset dual de P cuyos elementos se identifican con los de P y x ≤ y en P op si y solamente si y ≤ x en P. Por lo que, de cada hecho Φ relacionado con un poset P podemos obtener su hecho dual Φ op reemplazando cada ocurrencia de ≤ por ≥ y viceversa. Donde x ≥ y si y solamente si y ≤ x. Si (P, ≤) es un poset finito, entonces podemos representarlo gr´aficamente con un sistema de circulos (representando los elementos de P) y lineas conectandolos (indicando una relaci´on entre los puntos). La construcci´on de esta representaci´on gr´afica cumple con las siguientes reglas : (a) A cada punto x ∈ P, se le asocia un punto p(x) del plano euclidiano R2 , representandolo con un peque˜ no circulo con centro en p(x). (b) a cada relaci´on x < y en P, para la cual no existe t ∈ P tal que x < t < y se le asigna un segmento de recta l(x, y), conectando el circulo con centro en p(x) y el circulo con centro en p(y). (c) Los pasos (a), (b) se llevan a cabo de forma tal que : (1) Si x < y y no existe t ∈ P tal que x < t < y entonces p(x) debe quedar por debajo de p(y) (esto es, la segunda coordenada de p(x) es estrictamente menor que la de p(y)). (2) El circulo con centro en p(z) no intersecta el segmento de recta l(x, y) si z 6= x y z 6= y. Una configuraci´on de circulos y lineas satisfaciendo (a)-(c) se llama un diagrama de Hasse de P [15]. La figura 2.6.1 es un diagrama de Hasse representando el poset (P, ≤) con P = {a, b, c, d} y a < c, a < d, b < c, b < d. c

d

d @ @

d

@ @

P=

@ @ @ d

@d

a

b Fig. 2.6.1 37

Si X ⊂ Y denota una contenencia arbitraria de conjuntos no necesariamente propia, P es un poset y S ⊂ P, entonces un elemento x ∈ P es una cota superior de S si s ≤ x para todo s ∈ S, una cota inferior se define de forma dual. x es la m´ınima cota superior de S si : (a) x es una cota superior de S. (b) x ≤ y, para cada cota superior y de S. El concepto dual de m´ınima cota superior es el de m´ axima cota inferior. Sup S (Inf S) es la notaci´on usual para la m´ınima cota superior (m´axima cota inferior) de S ⊂ P, la cual se denomina tambi´en el supremo (infimo) del conjunto S. Si P es un poset se definen sus elementos, primero, menor o m´ınimo y u ´ ltimo, mayor o m´ aximo, notados respectivamente ⊥ y > tales que ⊥ ≤ x y x ≤ >, para cada x ∈ P. Note que los elementos ⊥ y > si existen son u ´nicos. Una vez definidos los elementos Sup S e Inf S para un subconjunto S de un poset P, podemos detallar estas definiciones para los casos extremos en los que S = ∅ o S = P. En primer lugar note que si P tiene m´aximo entonces {>} es el conjunto de cotas superiores de P de donde Sup P = > y en el caso que P no tenga m´aximo entonces el conjunto de cotas superiores de P es vac´ıo y por lo tanto el Sup P no existe. Razonamientos duales pueden hacerse con respecto al m´ınimo. Si S es el subconjunto vac´ıo de P entonces cada elemento x ∈ P cumple vaciamente la condici´on s ≤ x para cada s ∈ S y por lo tanto P es el conjunto de cotas superiores de ∅. De donde Sup ∅ existe si y solamente si P tiene m´ınimo y en este caso Sup ∅ = ⊥. Dualmente Inf ∅ = > si P tiene m´aximo. Si (P, ≤) es un poset entonces un elemento m ∈ P es maximal (minimal) si y solamente si x ≤ m (m ≤ x) para cada x ∈ P relacionado con m. Si A ⊂ P, notamos maxA (minA) el conjunto de elementos maximales (minimales) de A. Para un poset P y a ∈ P, el cono superior aO y el cono inferior aM , asociados al punto a, los definimos de forma tal que :

38

aO = {x ∈ P | a ≤ x}, aM = {x ∈ P | x ≤ a}. Los subconjuntos de P, aO \ a y aM \ a se llaman los conos truncados superior e inferior asociados al punto a ∈ P y se notan respectivamente aH y aN . De esta forma tendremos que : aH = aO \ a = {x ∈ P | a < x}, aN = aM \ a = {x ∈ P | x < a}. Para un poset PSy A ⊂ P, denotamos AO y AM a los subconjuntos de P, S tales que AO = aO , A M = aM . Si A = AO (respectivamente A = AM ), a∈A

a∈A

entonces A se llama un cono superior (cono inferior). Dos conos A = AO ⊂ P, B = BM ⊂ P, se dicen mutuamente complementarios si A + B = P. Un poset (C, ≤) es una cadena o un conjunto linealmente ordenado si y solamente si para todo par de puntos x, y ∈ C se tiene x ≤ y o y ≤ x esto es, todos sus puntos son comparables. Un poset (P, ≤) es una anticadena si y solamente si para todo par de puntos x, y ∈ P con x 6= y, se tiene x incomparable con y. Una descripci´on alterna de anticadena puede darse en los siguientes t´erminos : Un poset P es una anticadena, si x ≤ y en P solamente si x = y. El cardinal m´aximo de las anticadenas de un poset P se llama el ancho del poset y se nota w(P). A veces si P es un poset y x, y ∈ P, en este trabajo se usan las notaciones xy, x + y para indicar Inf{x, y} y Sup{x, y} respectivamente en el caso que existan [16], [15]. Q P Adem´as si S ⊂ P, s, s, denotan respectivamente Inf S y Sup S respecs∈S

s∈S

tivamente si ellos existen. Si P es un conjunto ordenado no vac´ıo y para cada x, y ∈ P, xy y x + y existen entonces P se denomina un ret´ ıculo. P P es un ret´ıculo completo si Q para cada subconjunto S ⊂ P existen s y s. s∈S

s∈S

Si X es un conjunto arbitrario y ∅ 6= M ⊂ P (X), en donde P (X) es la colecci´on de subconjuntos o conjunto de partes de X entonces M es un ret´ıculo de conjuntos si es cerrado para uniones e intersecciones finitas y un ret´ıculo

39

completo de conjuntos, si es cerrado para uniones e intersecciones arbitrarias. Un grafo dirigido Γ, es una tripla (V (Γ), A(Γ), γ) en donde V (Γ), A(Γ) son conjuntos con V (Γ) 6= ∅ y γ es una funci´on γ : A(Γ) −→ V (Γ) × V (Γ). V (Γ) se denomina el conjunto de v´ ertices del grafo y A(Γ) se llama el conjunto de aristas o flechas del grafo. Si e ∈ A(Γ) y γ(e) = (p, q) entonces p se llama el v´ ertice inicial de e y q el v´ ertice terminal de e. Dos grafos 0 0 0 Γ = (V (Γ), A(Γ), γ) y Γ = (V (Γ ), A(Γ ), γ 0 ) se dicen isomorfos, si existen correspondencias uno a uno α : V (Γ) −→ V (Γ0 ) y β : A(Γ) −→ A(Γ0 ), tales que si γ(e) = (u, v) entonces γ 0 (β(e)) = (α(u), α(v)). Si dos grafos Γ y Γ0 son isomorfos entonces escribiremos Γ ' Γ0 .

2.3.1.

Generando el Tri´ angulo de Pascal

Considere el ret´ıculo L = (N2 , ), en donde (x, y)  (x0 , y 0 ) si y solo si x ≤ x0 y y ≤ y 0 , con ≤ el orden usual de N. En este caso, el subconjunto (x, y)M ⊂ L se llama el conjunto de predecesores o ancestros del punto (x, y). Por lo que (0, 0) es ancestro de todo punto. Una trayectoria o camino reticular, P ⊂ L, con punto inicial (0, 0) y punto final (x, y) es una cadena constituida por ancestros de (x, y) de la forma: P = {(0, 0), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) . . . , (xk−1 , yk−1 ), (x, y)} en donde para todo i ≥ 1, xi ≤ x, yi ≤ y y (xi+1 , yi+1 ) ∈ {(xi + 1, yi ), (xi , yi+1 )} = Ei . De hecho, (xi+1 , yi+1 ) solo puede ser y solo uno de los elementos de este conjunto. Las aristas de P son de la forma {(xt , yt ), (xi+1 , yi + 1)} con (xt , yt ) ∈ Ei . Por ejemplo, la siguiente es una trayectoria reticular conectando los puntos (0, 0) y (2, 2) (cabe anotar que el diagrama de Hasse original de L, ha sido modificado, para que las coordenadas de los puntos de L correspondan a las del plano cartesiano): (2, 2) → (2, 1) → (1, 1) → (0, 1) → (0, 0).

40

•

•

•

•

•

•

•

•

(0, 1) •

(1, 1) •

(1, 2) •?

•

•? (0, 0)

•

•

•

(2, 2)

Fig. 2.6.2 Los n´ umeros del tri´angulo de Pascal, constituyen el conjunto de soluciones del siguiente problema: Si (x, y) es un punto arbitrario del ret´ıculo L, calcule c(x, y) el n´ umero de trayectorias reticulares que conectan los puntos (0, 0) y (x, y). En este trabajo, describ´ıremos la soluci´on de este problema planteada en [12]. En ella se nota c(0, k) = c(k, 0) = 1 (por definici´on de ancestro), para todo k ≥ 0. En este caso se asume c(0, 0) = 1. Como, c(1, k + 1) = c(0, k + 1) + c(1, k) entonces se cumple c(1, k + 1) = 1 + c(0, k) + c(1, k − 1) = k + 2. Se observa c(2, k) = c(1, k)+c(2, k−1) = c(1, k+1)+c(1, k−1)+c(2, k−2) = (k+2)(k+1) . 2 Para los puntos del tipo (3, k) se observa que c(3, 1) = c(2, 1) + c(3, 0) = c(2, 1) + 33 = (4)(3)(2) = 4. Luego, c(3, k) = c(2, k) + c(3, k − 1) = (k+1)(k+2) + (3)(2)(1) 2 (k+2)(k+1)(k) (3)(2)(1)

=

(k+2)(k+1)(k)+3(k+1)(k+2) (3)(2)(1)

=

(k+1)(k+2)[k+3] . (1)(2)(3)


Asumiendo la notaci´on, m+k = (m+1)(m+2)...(m+k) , los resultados descr´ıtos, (1)(2)...(k−1)(k) k nos permiten realizar la siguiente afirmaci´on: Teorema 2.1. Para todo punto (m, n) ∈ L se cumple c(m, n) =

41

m+n n




Demostraci´ on. Fijemos (m, n) ∈ L y supongamos que para todo (x, y) ∈ (m, n)N se cumple: x+y x

c(x, y) =




,

por lo tanto, c(m, n) = c(m − 1, n) + c(m, n − 1) = (m+1)(m+2)(m+3)...(m+n−1) (1)(2)...(n−1)

Luego c(m, n) =
m+n .  n

=

(m+1)(m+2)...(m+n−1) m [n (1)(2)...(n−1)

(m+1)(m+2)...(m+n−1) m [n (1)(2)...(n−1)

+ 1] =

(m)(m+1)(m+2)...(m+n−1) (1)(2)...(n)

+

+ 1]. (m+1)(m+2)...(m+n−1) m+n [ n ] (1)(2)...(n−1)

=

Nota 2.2. Asumiendo las notaciones (1)(2)(3) . . . (k) = k! y suponiendo

(m+n)! m m! . De hecho, . Resultado ´este = (m−n)!n! m ≥ n, entonces m+n = m!n! n n probado por Pascal y por el que algunos autores creen que el siguiente arreglo, se conoce como tri´angulo de Pascal

1 1

N

1
2

1 1

1

1 1


5

3

1

4


6


6


6

3

2

1

3


5

2


6

1


4

2


5

1


6

1

2


4

1


5

1


3


4

1

1

1


3

4

1

5


7


7


7


7


7


7

1

2

3

4

5

6

1

Note que, la ilustraci´on describe los n´ umeros asignados al poset Lop , obtenido al dualizar el problema de las trayectorias reticulares que conectan (0, 0) con un punto (x, y) ∈ L.

42

2.3.2.

El Teorema del Binomio

En este trabajo, estudiamos la forma de establecer el teorema del binomio via el a´lgebra (sobre R) de caminos o trayectorias de L. En este punto recordamos que el ´algebra de caminos RL, es el espacio vectorial (libre), para el que los caminos o trayectorias (reticulares en este caso) constituyen una base. El producto de caminos, est´a dado por la composici´on, cuando est´a pueda ser definida y es 0 de otro modo. Por consiguiente, si una trayectoria σ1 , σ2 , . . . , σm conecta los puntos (x0 , y0 ) y (xk , yk ) y la trayectoria σm+1 , σm+2 , . . . σn conecta los puntos (xk , yk ) y (xn , yn ) entonces el producto σ1 . . . σm σm+1 . . . σn conecta los puntos (x0 , y0 ) y (xn , yn ). En este trabajo asumiremos, las siguientes notaciones y definiciones: 1. Cada trayectoria reticular con punto inicial (0, 0) y punto final (m, n) ∈ L se puede escribir en la forma xt1x y t1y xt2x y t2y . . . xtkx y tky . En donde, k k P P tik es un n´ umero entero no negativo, para 1 ≤ i ≤ k y tjx ( tjy ) j=1

j=1

indican el n´ umero de movimientos horizontales (resp, verticales). Esto es, puntos del tipo, (xi + 1, yi ), (resp, (xi , yi+1 )) requeridos para llegar al origen desde el punto (m, n). 2. Cada movimiento horizontal en una trayectoria reticular, es codificado con un s´ımbolo x y cada movimiento vertical con un simb´olo y. 3. Se asume y 0 = x0 = 1, xk = xk−1 x (note que xk representa una trayectoria del tipo {(xi , yj ), . . . , (xi+k , yj )}, y k = y k−1 y xy = yx (si tales productos pueden ser def´ınidos). 4. Todas las trayectorias con los mismos puntos inicial y terminal son equivalentes en L, dado que todas ellas, van a tener el mismo n´ umero de movimientos horizontales y el mismo n´ umero de movimientos verticales. 5. Si P y P 0 son equivalentes y k1 , k2 ∈ R entonces k1 P + k2 P 0 = (k1 + k2 )P , por lo que, c(m, n) cuenta el n´ umero de trayectorias reticulares semejantes a una trayectoria del tipo xm y n .

43

x 1 • y ? 1 • y

•4

x

? 1 •

y  1 •?

y

x

?3 • y

y

•

•6 y

•

•?3

•

x x

?2 •

x

•

y

x

?1 •

•?1

•

Fig. 2.6.3. Ejemplo de algunas trayectorias reticulares o caminos de L, codificadas de acuerdo a los movimientos horizontales y verticales, necesarios para llegar desde un punto del ret´ıculo al origen, observe que una trayectoria del tipo xxyy = x2 y 2 conecta el punto (2,2) con el origen. Ahora podemos plantear el siguiente problema: Dado un entero no negativo n, determinar todas las trayectorias reticulares terminando en (0, 0) con n movimientos. Esto es, determinar el n´ umero y el tipo de trayectorias que requieren n movimientos para llegar al origen. Note que ´este problema, extiende el problema inicial, en cuanto no solo pide el n´ umero de trayectorias, sino tambien la descripci´on de las clases de equivalencia correspondientes. Por ejemplo, hay solo una trayectoria del tipo x conectando los puntos (0, 0) y (1, 0) y una trayectoria del tipo y conectando los puntos (0, 1) y (0, 0). Por lo que hay en total dos trayectorias con un solo movimiento. De hecho, 1x + 1y son todas las trayectorias con un u ´nico movimiento. La descripci´on completa de las trayectorias reticulares con dos movimientos, se obtiene al multiplicar las trayectorias con un u ´nico movimiento de la siguiente forma: 1. La trayectoria, {(0, 0), (0, 1)} por las trayectorias,{(0, 1), (0, 2)} y {(0, 1), (1, 1)}. Respect´ıvamente codificadas en la forma y y x 2. La trayectoria, {(0, 0), (1, 0)} por las trayectorias,{(1, 0), (2, 0)} y {(1, 0), (1, 1)}. Respect´ıvamente codificadas, x y y.

44

Luego si x + y son todas las trayectorias con un u ´nico movimiento entonces 2 x(x+y)+y(x+y) = (x+y)(x+y) = (x+y) es el n´ umero total de trayectorias reticulares en L con dos movimientos. Por
otro lado, el producto de caminos descrito, nos permite afirmar que hay 20 =
1 trayectorias reticulares del tipo yy = x0 y 2 (partiendo del punto
(0, 2)), 21 = 2 del tipo x1 y 1 (partiendo del punto (1, 1)), finalmente hay 22 = 1 trayectorias del tipo x2 y 0 (partiendo del punto (2, 0)). Luego:


(x + y)2 = 20 x0 y 2 + 21 x1 y 1 + 22 x2 y 0 . El razonamiento anterior, nos permite deducir que los puntos (0, 3), (1, 2), (2, 1) y (3, 0) son los u ´nicos puntos en L que requieren tres movimientos para conectarlos con el origen. Tenemos; x(x+y)2 +y(x+y)2 = (x+y)3 son las trayectorias conectando estos puntos con el orig´en. Lo cual describe las siguientes trayectorias conectando el punto (0, 0):
1. 30 = 1 trayectorias del tipo x0 y 3 , partiendo del punto (0, 3).
2. 31 = 3 trayectorias del tipo x1 y 2 , partiendo del punto (1, 2).
3. 32 = 3 trayectorias del tipo x2 y 1 , partiendo del punto (2, 1).
4. 33 = 1 trayectorias del tipo x3 y 0 , partiendo del punto (3, 0). Todos estos razonamientos, nos permiten inferir que si (x + y)n denota todas las trayectorias que requieren n movimientos para llegar al origen entonces: n
k n−k P n Teorema 2.3. (x + y)n = x y . k k=0

Demostraci´ on. Supongamos que la identidad es v´alida para todo entero j, 0 ≤ j ≤ n − 1. Luego, las trayectorias que conectan (0, 0) y tienen n movimientos se obtienen al multiplicar las trayectorias con n−1 movimientos por trayectorias del tipo (xi + 1, yi ) (codificadas x) o trayectorias del tipo (xi , yi + 1) (codificadas y). De donde (x + y)n = (x + y)n−1 x + (x + y)n−1 y = (x + y)n−1 (x + y), tales trayectorias est´an dadas tambi´en por las trayectorias que conectan (0, 0) con los puntos de la forma (k, n−k) ∈ L tales trayectorias se describen por la siguiente expresi´on:



T = n0 x0 y n + n1 x1 y n−1 + . . . nk xk y n−k + · · · + nn xn y 0 y por lo tanto T = (x + y)n .



45

2.4.

Formas Cuadr´ aticas Universales y N´ umeros Poligonales

En esta secci´on, usamos algunos patrones encontrados en el tri´angulo de Pascal, para producir ciertos tipos de formas universales y una f´ormula que describe los n´ umeros poligonales. De hecho conectaremos algunos patrones en el tri´angulo de Pascal con el siguiente problema propuesto por Ramanujan en 1917: Encontrar todas las cuadruplas de enteros no negativos a, b, c, d, 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d para los que la forma cuadr´atica ax2 + by 2 + cz 2 + dw2 representa todo n´ umero entero positivo. Recordamos que una forma cuadr´atica que representa todos los enteros positivos se llama universal. Note que el teorema de Lagrange permite concluir que la forma cuadr´atica del tipo (1, 1, 1, 1), es universal. De hecho, Ramanujan describi´o 55 cuadruplas que cumpl´ıan con la condici´on. 10 a˜ nos despu´es, Dickson prob´o que todas salvo una de las formas propuestas por Ramanujan eran correctas. Antes de dar resultados concerniendo el problema de Ramanujan, haremos una descripci´on de los hechos y notaciones mas relevantes usados en esta secci´on.

Los n´ umeros que pueden ser representados mediante un arreglo geom´etrico de puntos igualmente espaciados, se llaman n´ umeros figurados. Si el arreglo es un pol´ıgono regular el n´ umero se llama pol´ıgonal. El k-´esimo n´ umero nn 3 gonal, lo notamos pk . Note por ejemplo, que en L, c(2, k) = pk , k ≥ 0 y que 4 c(2, k) + c(2, k + 1) = Pk+1 , k ≥ 0. Los n´ umeros de la forma p3k , p4k , k ≥ 0 son respect´ıvamente, triangulares y cuadrados. Con la ayuda del tri´angulo de Pascal es posible estudiar las multiples propiedades que tienen los n´ umeros pol´ıgonales. Por ejemplo, basta observar la

46

siguiente regularidad, para obtener una expresi´on que nos permita describir los n´ umeros pentagonales de rango positivo p5k = {1, 5, 12, 22, 35, . . . }:

c(2, 2) − c(2, 0) = 5 c(2, 4) − c(2, 1) = 12 c(2, 6) − c(2, 2) = 22 .. .. .=.     2k + 2 k+1 c(2, 2k) − c(2, k − 1) = − . 2 2 De la u ´ltima igualdad, conclu´ımos:

(2k+2)! (k+1)! 2k+2 k+1 = − = (2k)!2 − (k−1)!2 2 2

(k+1) [(2k 2

+ 1)2 − k] =

(2.4.1)

(k+1)(3k+2) . 2

y por lo tanto, todo n´ umero pentagonal de rango positivo p5k , k ≥ 0, se puede escr´ıbir de esta forma. De hecho p5k = k(3k−1) , k ≥ 1. 2 Si consideramos una sucesi´on del tipo

c(2, 2) − c(2, 0) = 2 c(2, 4) − c(2, 1) = 7 c(2, 6) − c(2, 2) = 15 .. .. .=.     2k + 2 k+1 c(2, 2k) − c(2, k − 1) = − . 2 2 De la u ´ltima igualdad, conclu´ımos que para k < 0:
k+1
(2k+2)! (k+1)! p5k = 2k+2 − 2 = (2k)!2 − (k)!2 = (k+1)(2k+1)(2) − (k)(k+1) = 2 2 2

(2.4.2)

(k+1)(4k+2−k) 2

=

(k+1)(3k+2) 2

Con lo que hemos encontrado una expresi´on para los n´ umeros pentagonales de rango negativo.

47

Los n´ umeros c(2, 0), c(2, 2), c(2, 4), . . . , c(2, 2k), dan lugar a la sucesi´on: 1, 6, 15, 28, . . . , (2k+2)(2k+1) 2 y por lo tanto, todo n´ umero hexagonal p6k , k ≥ 1 se puede escr´ıbir en la forma (2k)(2k−1) . 2 Si consideramos el siguiente patr´on: c(2, 3) − c(2, 1) = 7 c(2, 6) − c(2, 3) = 18 .. .. .=.     3k + 2 2k + 1 c(2, 3k) − c(2, 2k − 1) = − 2 2

(2.4.3)

Con lo que obtenemos: (3k+2)(3k+1) 2

−

(2k)(2k+1) 2

=

5k2 +7k+2 2

y esta es una expresi´on para n´ umeros heptagonales p7k de rango positivo. De 2 2 hecho si k ≥ 1 entonces p7k = 5(k−1) +7(k−1)+2 = 5k 2−3k . 2 Los n´ umeros heptagonales de rango negativo, se obtienen del siguiente patr´on:

p32 + p31 = 4 = p7−1 p34 + p32 = 13 = p7−2 p32 + p31 = 27 = p7−1 .. .. .=. 3 3 p2k + pk = p7−k .

(2.4.4)

La u ´ltima identidad nos permite describir los n´ umeros heptagonales de rango negativo. Las siguientes identidades describen a los n´ umeros octagonales de rango positivo:

48

c(2, 2) + 2c(2, 0) = 8 c(2, 4) + 2c(2, 1) = 21 c(2, 6) + 2c(2, 2) = 40 .. .. .. .+.=. c(2, 2k) + 2c(2, 2k + 2)

(2.4.5)



2k+4 p8k = 2k+2 + 2 = (2k + 1)(k + 1) + k(k + 1) = (k + 1)(3k + 1). De 2 2 2 donde concluimos que k(3k − 2) = 6k 2−4k = p8k , k ≥ 1, Es una expresi´on para n´ umeros octagonales de rango positivo. El siguiente patr´on, permite dar una descripci´on para los n´ umeros octagonales de rango negativo: p32 + 2p31 = 5 = p8−1 p34 2 + p32 = 16 = p8−2 p36 + 2p33 = 33 = p8−3 .. .. .=. 3 3 p2k + 2pk = p8−k .

(2.4.6)

Las identidades descritas nos permiten concluir las identidades, para k ≥ 1: pnk = pkn−1 + p3k−1 k2 + k p3k = 2 2 2k p4k = 2 2 3k −k p5k = 2 2 4k − 2k p6k = 2 2 5k − 3k p7k = 2 2 6k − 4k p8k = 2 .. .. .=.

49

(2.4.7)

Con las identidades 2.4.7, se deduce el siguiente resultado: Teorema 2.4. Para todo k ≥ 1, pnk =

(n−2)k2 −(n−4)k . 2

Demostraci´ on. Supongamos que la identidad se cumple para todo 1 ≤ j ≤ 2 = n − 1 y 1 ≤ m ≤ k − 1. Luego pnk = pkn−1 + p3k−1 = (n−3)k 2−(n−5)k + (k−1)k 2 k2 ((n−3)+1)−k(n−5+1) (n−2)k2 −(n−4)k = .  2 2

2.4.1.

Formas Cuadr´ aticas Universales

En esta secci´on usaremos las identidades (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.4.4), (2.4.5) y (2.4.6). Para encontrar algunas formas cuadr´aticas universales, basadas en n´ umeros triangulares. Para ello enunciaremos algunos resultados recientes en esta l´ınea de investigaci´on. En 1993 Conway y Schneeberger enunciaron el siguiente resultado (conocido como teorema 15) probado por M. Bhargava en el 2000 [4]. Si una forma cuadr´atica entera representa los n´ umeros 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, entonces ella representa a todos los enteros positivos. En el 2009, B. Kane prob´o el siguiente resultado concerniendo sumas universales de n´ umeros triangulares [31]. Dada la sucesi´on de enteros b1 , b2 , . . . , bk entonces (a) La suma de n´ umeros triangulares f (x) = fb (x) =

k P

bi txi

i=1

representa todo entero positivo si y solo si fb representa los enteros 1, 2, 4, 5, y 8. (b) La correspondiente forma cuadr´atica diagonal Q(x) =

k P

bi sxi para la que

i=1

xi son todos impares, representa todo entero de la forma 8n +

k P

bi

i=1

50

si y solo si representa 8+

k P

bi , 16+

i=1

k P

bi , 32+

i=1

k P

bi , 40+

i=1

k P

bi , y 64+

i=1

k P

bi .

i=1

Como una aplicaci´on a las identidades presentadas en la secci´on anterior, en este trabajo enunciamos el siguiente resultado concerniendo el problema de Ramanujan: Teorema 2.5. Una forma cuadr´atica Q(x1 , x2 , x3 ) = a1 p3x1 −1 + a2 p3x2 + a3 p32x3 −1 es universal si y solo si Q es uno de los siguientes tipos de formas cuadr´aticas: (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 4, 2) (1, 3, 2) (1, 2, 2) (1, 1, 2) (1, 4, 1) (1, 2, 1) (1, 1, 1) (2, 1, 4) (2, 1, 3) (2, 1, 2) (2, 4, 1) (2, 2, 1) (2, 3, 1) (2, 1, 1) (3, 2, 1) (4, 2, 1) (4, 2, 1) (4, 1, 1) (1, 1, 5) (1, 1, 4) (5, 1, 1) (3, 1, 2) (1, 5, 1) Demostraci´ on. Supongamos que la forma cuadr´atica Q es de uno de los tipos se˜ nalados entonces se puede usar el Teorema 15 o el Teorema 8 para verificar que la forma correspondiente es universal. Por otro lado, si Q = a1 p3x1 −1 + a2 p3x2 + a3 p32x3 −1 es una forma cuadr´atica universal entonces se puede concluir que para todo 1 ≤ i ≤ 3, ai < 6, ya que si ai ≥ 6 para alg´ un i, 1 ≤ i ≤ 3, entonces la forma Q no genera 5. Las 25 formas descritas, se obtienen al ser inspeccionadas todas las formas del tipo (a1 , a2 , a3 ) con 1 ≤ ai ≤ 5, para todo i, 1 ≤ i ≤ 3 via el teorema del 8. 

51

Cap´ıtulo 3 Exploraci´ on de Patrones Aritm´ eticos en la Teor´ıa de N´ umeros En este cap´ıtulo se presenta una descripci´on de algunos problemas importantes que a trav´es de la historia dan cuenta de la b´ usqueda de patrones, su consecuci´on y generalizaci´on. En particular describiremos la conecci´on entre los teoremas 2.4.7 y 2.5 con el Teorema de Fermat de los n´ umeros poligonales.

Cada uno de estos se aborda mediante una rese˜ na hist´orica y disciplinar, la cual muestra los procesos que conllevaron a m´ ultiples generalizaciones. Espec´ıficamente la parte 3.1 se basa en el trabajo de Richard Guy [27].

3.1.

Patrones en los N´ umeros Poligonales.

El teorema del n´ umero poligonal de Fermat dice que cada n´ umero natural es suma de a lo m´aximo n n´ umeros poligonales. Cada n´ umero natural puede ser escrito como la suma de tres o menos n´ umeros triangulares, o cuatro o menos n´ umeros cuadrados, o cinco o menos n´ umeros pentagonales, y as´ı sucesivamente. Guy [27], pone de manifiesto la siguiente pregunta: ¿Qu´e teoremas hay, que establezcan que los n´ umeros de una forma dada se puedan expresar como la suma de tres o m´as n´ umeros poligonales de una forma tambi´en dada?

52

3.1.1.

El Teorema del n´ umero poligonal de Fermat

La pregunta de Guy [27] hace referencia a la investigaci´on que a la fecha se viene realizando sobre sumas universales de n´ umeros poligonales. Fermat presenta la conjetura respecto al Teorema de los n´ umeros poligonales de la siguiente manera [39]: ((He descubierto el m´as hermoso teorema de la m´as grandiosa generalidad: Cada n´ umero es un n´ umero triangular o la suma de dos o tres n´ umeros triangulares, cada n´ umero es un cuadrado o la suma de dos, tres, o cuatro cuadrados, cada n´ umero es n´ umero pentagonalo o la suma de dos, tres, cuatro, o cinco n´ umeros pentagonales, y as´ı sucesivamente para los n´ umeros hexagonales, n´ umeros heptagonal, y todos los otros n´ umeros poligonales. La descripci´on exacta de este hermoso teorema depende del n´ umero de los a´ngulos. El teorema se basa en el m´as diverso y abstruso misterio de los n´ umeros, pero no soy capaz de incluir la prueba aqu´ı ...))

En 1621, Bachet conjetur´o que todo n´ umero puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados cuya demostraci´on complet´o Lagrange en 1770. Tiempo despu´es, el 16 de julio de 1796, Gauss en su diario manifest´o lo siguiente:

Figura 3.1: Fragmento del diario de Gauss

Esta anotaci´on es muy importante ya que Gauss resolvi´o uno de los grandes retos de Fermat. Teorema 3.1. Todo n´ umero entero positivo se puede escribir como suma de tres n´ umeros triangulares. EΥP HEKA! num = ∆ + ∆ + ∆

53

(3.1.1)

De acuerdo a A.M. Ca˜ nadas, este resultado est´a ligado a las siguientes proposiciones: es un La primera de ellas se debe a Euler, el cual not´o que si n = k(k+1) 2 n´ umero triangular tambi´en lo son 9n + 1, 25n + 3 y 81n + 10. Tambi´en es2 tableci´o que para cada n´ umero impar m = 2j + 1, el n´ umero m2 n + m 8−1 es un n´ umero triangular. La segunda proposici´on se refiere a que n es la suma de dos n´ umeros trianj(j+1) k(k+1) 2 gulares 2 y 2 cuando 2(4n + 1) = (2j + 1) + (2k + 1)2 Observe que el Teorema 2.5 puede ser interpretado en t´erminos del cuestionamiento de Guy de la siguiente manera: Todo entero positivo se puede escribir como una suma de n´ umeros triangulares de la forma Q(x1 , x2 , x3 ) = 3 3 3 a1 px1 −1 + a2 px2 + a3 p2x3 −1 . Siempre que la tripla (a1 , a2 , a3 ) sea una de las 25 descritas en el enunciado del Teorema.

3.1.2.

N´ umeros Pentagonales y Conjetura de Ramanuja para 5n

A.M. Ca˜ nadas [14], en uno de sus cursillos da muestras de la actividad matem´atica y de la b´ usqueda de una generalizaci´on en particular, este tiene que ver con la teor´ıa de particiones, esta se remonta al a˜ no 1669 cuando Leibniz le escribi´o a Bernoulli pregunt´andole si hab´ıa considerado determinar el n´ umero de formas en que un n´ umero entero positivo puede ser separado en sus partes, la contestaci´on en palabras de Leibniz [30], ((parece un problema dif´ıcil pero importante)). Inicilamente definimos partici´on de la siguiente manera: Definici´ on. Una partici´on del n´ umero natural n es una suceci´on no creciente de n´ umeros naturales cuya suma es n, el n´ umero de particiones se denota P (n) y por convenci´on p(0)=1. Es decir, si n = 6, se pueden hacer 11 particiones de la siguiente forma: p(n) 1

Particiones 6

54

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5+1 4+2 4+1+1 3+3 3+2+1 3+1+1+1 2+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1

Lo anterior indica que para n = 6, p(n)=11, es decir se puede escribir el n´ umero 6 como 11 expresiones de n´ umeros sumados de forma diferente, la siguiente tabla muestra p(n), para diferentes n: p(n) 3 4 5 n 3 5 7

6 7 8 9 11 15 22 30

10 42

11 12 13 14 15 56 77 101 135 176

Sobre el estudio de p(n) Euler, utiliza dos identidades de series de potencia que ser´ıan la base de toda la teor´ıa de particiones, la primera de ellas usando 1 = 1 + q + q 2 + q 3 + · · · , con q ∈ C y |q| < 1 y el producto la identidad 1−q infinito de estos dar´ıa lugar a la funci´on generatriz de la funci´on partici´on: ∞ X

p(n)q(n) =

i=0

∞ Y i=1

1 1 − qn

(3.1.2)

Por otro lado Euler demostr´o que la inversa de la anterior funci´on cumple con una identidad: ∞ Y

1 − qn = 1 − q − q2 − q5 − q7 · · · =

i=1

∞ X

(−1)n q

(3n2 +n) 2

(3.1.3)

i=∞

De lo cual se puede observar que las potencias de la sumatoria tienen la for2 ma de n´ umero pentagonal (3n 2−n) . De lo anterior Euler determino un Teorema sobre particiones:

55

Teorema 3.2. El n´ umero de formas de escribir n como suma de un n´ umero par de enteros positivos distintos coincide con el n´ umero de formas de escribir n como suma de un n´ umero impar de enteros positivos distintos, salvo si n es un n´ umero pentagonal. En este caso, la diferencia es ±1. En [30], se plantea que este Teorema de los N´ umeros Pentagonales se podr´ıa considerar como el primer ejemplo de una extensa teoria que en la actualidad se conoce con el nombre de Identidades de q-series. Es decir, f´ormulas que relacionan productos con sumas infinitas y que, vistas como funciones generatrices, tienen notables consecuencias para las funciones aritm´eticas que generan. De acuerdo a [30], la Aritm´etica de p(n) comienza en 1919 con un trabajo colaborativo entre Godfrey Harold Hardy y Srinivasa Ramanujan, este trabajo se bas´o en la obtenci´on del desarrollo asint´otico de la funci´on partici´on: r 2n 1 π ,n → ∞ (3.1.4) p(n) ∼ √ e 3 4n 3 Para este estudio Hardy y Ramanujan ten´ıan la tabla proporcionada por Percy Alexander McMahon, un mayor de la Artiller´ıa Real Brit´anica, esta tabla conten´ıa los valores de p(n) hasta n=200, para tal valor Mc Mahon calcul´o p(200) = 3,972,999,029,388, de acuerdo a Andrews [2], Mr. Hardy y Ramanujan describen unas curiosas propiedades de congruencia que aparentemente satisfacen p(n), la siguiente tabla las describe: Numeral 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Particiones p(4), p(9), p(14), p(19) p(5), p(12), p(19), p(26) p(6), p(17), p(28), p(39) p(24), p(49), p(74), p(99) p(19), p(54), p(89), p(124) p(47), p(96), p(145), p(194) p(39), p(94), p(149) p(61), p(138) p(116) p(99)

De estos datos conjeturan el siguiente teorema:

56

Propiedad ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od ≡ 0 m´od

5 7 11 25 35 49 55 77 121 125

Teorema 3.3. Si δ = 5a · 7b · 11c y 24λ ≡ 1 m´od δ, entonces p(λ), p(λ + δ), p(λ + 2δ), · · · ≡ 0 m´od δ Pero aclara que aunque existe evidencia de la veracidad de este teorema, a´ un no hay prueba de tal cosa. Basado en esto, Ramanujan a partir de la tabla construida por Mc Mahon prob´o que: p(5n + 4) ≡ 0 m´od 5 (3.1.5) p(7n + 5) ≡ 0

m´od 7

(3.1.6)

p(25n + 24) ≡ 0

m´od 25

(3.1.7)

p(49n + 47) ≡ 0

m´od 49

(3.1.8)

y esboz´o pruebas para:

Es decir, pruebas de que el n´ umero p(5m+4) es divisible por 5 para todo m, el n´ umero p(7m+5) es divisible por 7 para todo m.

3.2.

N´ umeros de Fermat

En 1640 Pierre de Fermat conjetur´o que todos los n´ umeros de la forma m Fm = 22 + 1 , con m = 0, 1, 2, 3, . . . , eran primos, esta conjetura result´o no ser cierta, situaci´on que puede observarse en F5 ya que este es un n´ umero compuesto:

F0 =3

F1 =5

F2 =17

F3 =257

F4 =65,537

F5 =4.294.967.297

3.2.1.

La Refutaci´ on de Euler a los N´ umeros Primos de Fermat.

Seg´ un Krizek, Luca y Somer, [32] en 1742 Leonard Euler encontr´o que F5 =641 × 6.700.417, esto da muestra de la afirmaci´on equivocada realizada por Fermat, ya que F5 es un n´ umero compuesto. Lo anterior gener´o una denominaci´on espec´ıfica, que llam´o a Fm los n´ umeros de Fermat y a los Fm que son primos se les llam´o los primos de Fermat.

57

Tal refutaci´on de Euler es muy interesante y comienza de acuerdo a la narraci´on de Dunham, [23] cuando Golbach, en carta dirigida a Euler, con fecha del 1 de diciembre de 1729, le pregunta: ((¿Conoce la afirmaci´on de Fermat de m que todos los n´ umeros 22 + 1 son primos? Fermat ha dicho que no lo pudo demostrar, ni nadie que yo sepa lo ha conseguido)). Es posible observar que para los primeros 5 n´ umeros, tal cosa es cierta, pero Euler mostr´o de forma ingeniosa como F5 , es un n´ umero compuesto. Lo que hizo Euler fue determinar un n´ umero a, como un n´ umero par y un n´ umero p, como un n´ umero primo que no era factor de a. El estudio se bas´o en buscar las restricciones para que fuera divisor exacto de a + 1 , a2 + 1, a4 + 1, y en general a2m + 1, obviamente a Euler le importaba el enunciado de Fermat para m = 5. A continuaci´on se presenta textualmente, de acuerdo al trabajo de Dunham, un grupo de teoremas, que permitieron a m 5 Euler concluir que F5 = 22 + 1 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4,294,967,297=641 × 6.700.417 [23].

Teorema 3.4. Sup´ongase que a es un par y p es un n´ umero primo que no es factor de a pero si divisor exacto de a + 1. Entonces, para un cierto n´ umero entero, k, p= 2k + 1.

Demostraci´ on. Si a es un n´ umero par, entonces a + 1 es impar. Puesto que hemos supuesto que p es un divisor exacto del n´ umero impar a + 1, p debe ser impar. Por ello p − 1 es par y, en consecuencia, p − 1 = 2k para un cierto n´ umero entero k. En otros t´erminos p = 2k + 1 [23].

En el teorema 2.2, Euler demuestra que p tiene la forma 4k + 1, para un n´ umero entero k, por el teorema 2.1, se sabe que cualquier factor primo de a2 + 1 y particularmente el n´ umero p, debe ser impar, esto es que p debe ser una unidad mayor que un m´ ultiplo de 2. La intenci´on era suponer que p = 4k + 3, para un n´ umero entero k, llegando a una contradicci´on por lo cual solo existe la posibilidad de que p = 4k + 1.

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Teorema 3.5. Sup´ongase que a es un n´ umero par y que p es un n´ umero 2 primo que no es un factor de a, aunque es un divisor exacto de a + 1. Entonces, para un cierto n´ umero entero, k, p= 4k + 1.

Demostraci´ on. Puesto que a es par, tambi´en lo ser´a a2 y por el Teorema 2.1 sabemos que cualquier factor primo de a2 + 1, particularmente el n´ umero p, debe ser impar. Por hip´otesis, p no es un divisor de a, de acuerdo al peque˜ no teorema de Fermat implica que p es divisor exacto de: ap−1 − 1 = a(4k+3)−1 − 1 = a4k+2 − 1 Como p es divisor de a2 + 1 entonces p es tambi´en un divisor del producto. (a2 + 1)(a4k − a4k−2 + a4k−4 + . . . + a4 − a2 + 1) = a4k+2 − 1 Por lo cual p es un divisor exacto de a4k+2 + 1 y a4k+2 − 1 entonces p debe ser un divisor de la diferencia (a4k+2 + 1) − (a4k+2 − 1) = 2 Lo cual es una contradicci´on, ya que el n´ umero primo impar p no puede ser un divisor exacto de 2, por lo tanto p tiene la forma 4k + 1 para un cierto n´ umero entero k [23]. 2

Es de notar que a4 + 1 = a2 + 1. Consiguientemente, podemos aplicar el Teorema 2.2. para deducir que p es una unidad mayor que un m´ ultiplo de 4. Con esta idea, Euler busc´o qu´e ocurr´ıa si p se divide, no por 4 sino por 8. En principio, parece que podemos encontrar ocho posibilidades: p = 8k (Esto es, p un m´ ultiplo de 8) p = 8k + 1 (Esto es, p es una unidad mayor que un m´ ultiplo de 8) p = 8k + 2 (Esto es, p es dos unidades mayor que un m´ ultiplo de 8)

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p = 8k + 3 p = 8k + 4 p = 8k + 5 p = 8k + 6 p = 8k + 7

(Esto es, p es tres unidades mayor que un m´ ultiplo de 8) (Esto es, p es cuatro unidades mayor que un m´ ultiplo de 8) (Esto es, p es cinco unidades mayor que un m´ ultiplo de 8) (Esto es, p es seis unidades mayor que un m´ ultiplo de 8) ( Esto es, p es siete unidades mayor que un m´ ultiplo de 8)

Afortunadamente y esto estaba en lo m´as ´ıntimo del an´alisis de Euler, podemos eliminar alguna de estas posibles formas de p. En primer lugar sabemos que p debe ser impar a4 − 1, y as´ı p no puede adoptar la forma 8k, 8k + 2, 8k + 4, o´ 8k + 6 todos los cuales son claramente n´ umeros pares. Adem´as 8k + 3 = 4(2k) + 3 es tres unidades mayores que un m´ ultiplo de 4, y sabemos que el Teorema 2.2. que p no puede adoptar esta forma, Asimismo el n´ umero 8k + 7 = 8k + 4 + 3 = 4(2k + 1) + 3 es tambi´en tres unidades mayor que un m´ ultiplo de 4, y tambi´en podemos eliminarlo de nuestro an´alisis. As´ı los u ´nicos divisores primos posibles de a4 + 1 tiene la forma 8k + 1 o´ 8k + 5. Pero Euler consigui´o eliminar el u ´ltimo caso de la siguiente manera:

Teorema 3.6. Sup´ongase que a es un n´ umero par y que p es un n´ umero primo que no es factor de a pero si divide exactamente a4 + 1. Entonces para un cierto n´ umero entero, k, p = 8k + 1.

Demostraci´ on. Si p = 8k + 5 para un cierto n´ umero entero k entonces, puesto que p no es un divisor de a, el peque˜ no teorema de Fermat dice que p es divisor exacto de ap−1 − 1 = a(8k+5)−1 − 1 = a8k+4 − 1. Si p es divisor exacto de a4 − 1, entonces ser´a tambi´en divisor exacto de (a4 + 1)(a8k − a(8k−4) + a(8k−8) − a(8k−12) + . . . + a8 − a4 + 1) = a(8k+4) + 1 Si p es un factor tanto de a(8k+4) +1 como de a(8k+4) −1, entonces p ser´a factor tambi´en de su diferencia, (a(8k+4) + 1) − (a(8k+4) − 1) = 2

60

Lo cual es una contradicci´on, ya que p es un n´ umero primo impar. En consecuencia, p no puede tener la forma 8k + 5, y as´ı la u ´nica posibilidad para p es, p = 8k + 1.[23] Por u ´ltimo la conclusi´on, que F5 , es un n´ umero compuesto se describe claramente en el siguiente proceso:

232 +1 no es un n´ umero primo. Puesto que a = 2, es un n´ umero par, cualquier 32 factor primo de 2 +1 debe tener forma p = 64k +1, con k un n´ umero entero, por lo cual se deben comprobar uno por uno estos n´ umeros para determinar si son primos y si son divisores exactos de 4,294,967,297. Si Si Si Si Si Si Si Si Si

k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9

entonces entonces entonces entonces entonces entonces entonces entonces entonces

p=65,que no es un n´ umero primo p = 129 = 43 × 3, que no es un n´ umero primo p=193,es un n´ umero primo, pero no es divisor de 232 + 1 p=257,es un n´ umero primo, pero no es divisor de 232 + 1 p = 321 = 3 × 107, que no es un n´ umero primo p = 385 = 5 × 7 × 11, que no es un n´ umero primo p=449,es un n´ umero primo, pero no es divisor de 232 + 1 p = 513 = 3 × 3 × 3 × 19, que no es un n´ umero primo p=577,es un n´ umero primo, pero no es divisor de 232 + 1

Cuando se realiza la comprobaci´on de k=10 es posible observar que p=641 y m este es un n´ umero divisor de 232 + 1. Quedando probado que F5 = 22 + 1 = 5 22 +1 = 232 +1 = 4,294,967,297 = 641×6,700,417, es un n´ umero compuesto. Este proceso se puede replicar determinado que el n´ umero de Fermat F6 = 6 22 + 1 = 264 + 1 = 18,446,744,073,709,551,617, tiene como divisor a p = 274,177. Es decir se conserva el patr´on determinado por Euler ya que p tiene la forma 128k + 1, pues p = 128 × 2,142 + 1. Un ejemplo de la aplicabilidad de lo anterior es mostrada por el matem´atico Western en 1903. Western quer´ıa saber si F18 , era un n´ umero compuesto, situaci´on complicada ya que este n´ umero de Fermat tiene alrededor de 80.000 d´ıgitos, por lo cual busc´o un n´ umero natural k de forma que k220 +1 dividiera a F18 , los k que se necesitan buscar son los que k220 + 1 es un n´ umero primo. Al final Western descubri´o que para k=13, p divide a F18 .

61

Kriseck, Luca y Somer [32], muestran c´omo se comprueba que p divide a F18 , usando cadenas de congruencias: p = 13 · 220 + 1 = 13,631,489 5 22 ≡ 655362 ≡ 1,048,261 m´od p 6 22 ≡ 10482612 ≡ 3,164,342 m´od p 7 22 ≡ 31643422 ≡ 9,153,547 m´od p .. . 17

22 ≡ 15986222 ≡ 1,635,631 m´od p 18 22 ≡ 16356312 ≡ 13,631,488 m´od p Por lo cual 22

3.2.2.

18

+ 1 = 0 m´od 13,631,489

Determinaci´ on de n´ umeros de Fermat.

Por otro lado existe una forma muy sencilla de determinar n´ umeros de Fermat, utilizando el rec´ıproco de estos. Usando la demostraci´on plasmada por M´asmela [36], se tiene el siguiente teorema:

Teorema 3.7. Den´otese por Fm el m-´esimo n´ umero de Fermat entonces 2 − 2Fm−1 + 2 , donde m ≥ 1. Fm =Fm−1

Demostraci´ on.Dado que Fm−1 = 22 2 expresi´on Fm =Fm−1 -2Fm−1 +2 [11] Fm =(22

m−1

m−1

+ 1, entonces sustituyendo en la

+ 1)2 − 2(22

m−1

+ 1) + 2

Fm =((22 )m−1 )2 + 2(22 )m−1 + 1 − 2(22 )m−1 − 2 + 2 m

Fm = 22 + 1

62

Este teorema es muy u ´til ya que se puede obtener los siguientes n´ umeros de Fermat, conociendo el anterior, como por ejemplo: F0 = 3 2 F1 = F0 − 2F0 + 2 = 5 F2 = F12 − 2F1 + 2 = 17 F3 = F22 − 2F2 + 2 = 257 F4 = F32 − 2F3 + 2 = 65537 Es importante comentar que existe un problema abierto y es que el mayor n´ umero primo de Fermat conocido es F4 , y no existe ninguna demostraci´on de que este es el mayor n´ umero primo de Fermat.

3.2.3.

N´ umeros de Fermat en la actualidad.

En la actualidad se conocen cinco n´ umeros primos de Fermat, los mismos que se conoc´ıan en los tiempos de Fermat, de estos n´ umeros se han realizado dos conjeturas que constituyen problemas abiertos en el presente seg´ un [49], la primera es que solo hay cinco n´ umeros primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537) y la segunda conjetura es que existe una cantidad infinita de n´ umeros primos de Fermat. Los ocho primeros n´ umeros de Fermat y su factorizaci´on se presentan a continuaci´on: F0 = 21 + 1 = 3 F1 = 22 + 1 = 5 F2 = 24 + 1 = 17 F3 = 28 + 1 = 257 F4 = 216 + 1 = 65,537 F5 = 232 + 1 = 671 × 6,700,417 F6 = 264 + 1 = 274,177 × 67,280,421,310,721 F7 = 2128 + 1 = 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721

63

De acuerdo a la p´agina de internet Prothsearch [44], el u ´ltimo factor de un n´ umero de Fermat encontrado es 143918649 × 24654 + 1 que divide a F4652 , este n´ umero fue encontrado el 9 de Octubre del a˜ no 2012 por Tapio Rajala. Recientemente se encontraron los siguiente factores de n´ umeros de Fermat: Fecha Agosto 3 2012 Julio 10 2012 Julio 7 2012

Divisible 72179955 × 24269 + 1 divide a F4265 2674670937447 × 2171 + 1 divide a F166 20018578522347 × 288 + 1 divide a F86

Descubridor Takahiro Nohara Roman Maznichenko Michael Dangler

Debido a la enorme complejidad de los n´ umeros de Fermat, pues la cantidad de d´ıgitos es muy grande, se utiliza cierta notaci´on que permite nombrar sus factorizaciones por medio del establecimiento de factores primos de la forma k2n + 1 de n´ umeros de Fermat Fm , en la siguiente tabla se resume la factorizaci´on completa de estos n´ umeros, seg´ un [44]: m 5 6 7 8 9

10

11

k 5 52347 1071 262814145745 116503103764643 11141971095088142685 604944512477 [59 digits] 37 [46 digits] [96 digits] 11131 395937 [37 digits] [248 digits] 39 119 10253207784531279 434673084282938711 [560 digits]

n A˜ no 7 1732 7 1732 8 1855 8 1855 9 1970 9 1970 11 1980 11 1980 16 1903 11 1990 11 1990 12 1953 14 1962 12 1995 13 1995 13 1899 13 1899 14 1988 13 1988 13 1988

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Descubridor L. Euler L. Euler T. Clausen; F. Landry 1880 T. Clausen; F. Landry y H. Le Lasseur 1880 M. A. Morrison y J. Brillhart M. A. Morrison y J. Brillhart R. P. Brent y J. M. Pollard R. P. Brent y J. M. Pollard A. E. Western A. K. Lenstra, M. S. Manasse y a larger team A. K. Lenstra, M. S. Manasse y a larger team J. L. Selfridge J. Brillhart R. P. Brent R. P. Brent A. Cunningham A. Cunningham R. P. Brent R. P. Brent R. P. Brent y F. Morain

3.2.4.

Pol´ıgonos regulares y n´ umeros primos de Fermat

Tiempo despu´es los n´ umeros de Fermat pasaron de ser una simple curiosidad a algo m´as complejo cuando Carl Friedrich Gauss encontr´o una conexi´on entre los primos de Fermat y la construcci´on con regla y comp´as de los pol´ıgonos regulares. Inicialmente escribi´o un art´ıculo en donde divid´ıa un c´ırculo en 17 partes iguales usando herramientas geom´etricas y bas´andose en que 17 era un n´ umero primo de Fermat. A trav´es de la historia se encuentran los siguientes avances en cuanto a la construcci´on de pol´ıgonos regulares con regla y comp´as: Euclides quien vivi´o entre el siglo IV a.c y el siglo III a.c, determin´o que existe una construcci´on con regla y comp´as de un pol´ıgono regular de n v´ertices para n = 2i 3j 5k , donde n ≥ 3,e i ≥ 0 son enteros y j, k ∈ 0, 1. Pierre de Fermat alrededor del a˜ no 1640 afirm´o incorrectamente que m umeros para m = 0, 1, 2, 3 . . ., la sucesi´on Fm =22 +1, es de solamente n´ primos. Leonhard Euler en el siglo XIIX, determin´o que F5 es un n´ umero compuesto. Carl Friedrich Gauss quien vivi´o entre los a˜ nos 1777 y 1855 afirm´o que existe una construcci´on con regla y comp´as para el pol´ıgono no regular de n v´ertices, donde n=2i Fm1 Fm2 . . . Fmj , donde n ≥ 3,i ≥ 0,j ≥ 0,yF1 , F2 , . . . , Fmj son n´ umeros primos de Fermat. Seg´ un el teorema de Gauss un pol´ıgono regular de n lados, donde n es impar, se puede construir con regla y comp´as para n = 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, . . ., donde n es el producto de n´ umeros primos de Fermat. Por ejemplo, 51 es el producto de 17 y 3, que son n´ umeros primos de Fermat. M´asmela, [36] muestra el Teorema que relaciona pol´ıgonos regulares con los n´ umeros de Fermat de Gauss:

Teorema 3.8. Un pol´ıgono regular de n lados es construible con regla y comp´as si y solo si la descomposici´on en factores primos de n es de la forma 2k f1 f2 . . . fk ,donde k ≥ 0 y f1 , f2 . . . , fk , son primos de Fermat distintos.

65

Es decir, que un pol´ıgono regular es construible con regla y comp´as si su n´ umero de lados es producto de una potencia de dos y uno o varios n´ umeros primos de Fermat distintos. Por lo cual: El tri´angulo: 0 Tiene 3 lados por lo cual 3 = 22 + 1

Figura 3.2: Pol´ıgono Regular de 3 lados

El cuadrado: Tiene 4 lados por lo cual 4 = 22

Figura 3.3: Pol´ıgono Regular de 4 lados

66

El pent´agono: 1 Tiene 5 lados por lo cual 5 = 22 + 1

Figura 3.4: Pol´ıgono Regular de 5 lados

El hex´agono: 0

Tiene 6 lados por lo cual 6 = 2(22 ) + 1

Figura 3.5: Pol´ıgono Regular de 6 lados

El hept´agono: Tiene 7 lados pero no es construible con regla y comp´as.

67

El oct´agono: Tiene 8 lados por lo cual 8 = 23

El ene´agono: Tiene 9 lados pero no es construible con regla y comp´as. Seg´ un Gauss, en su libro Disquisitiones Arithmeticae, las secciones del c´ırculo que pueden realizarse por ecuaciones cuadr´aticas, es decir por construcciones geom´etricas, est´an determinadas por su n´ umero de lados n y si este es un n´ umero primo entonces la divisi´on del c´ırculo est´a determinada por la soluci´on de tantas ecuaciones como factores haya en el n´ umero n−1 y el grado de esta ecuaci´on la determina el tama˜ no de los factores. Si n − 1 es una potencia del n´ umero 2, lo que ocurre con el valor de n es 3, 5, 17, 257, 65537, etc,. . ., la divisi´on del c´ırculo se reduce a ecuaciones cuadr´aticas u ´nicamente. Por la cual la divisi´on del c´ırculo en n partes, est´a determinada por las funciones trigonom´etrica de a´ngulos Pn , 2 Pn , etc,. . . Entonces para n = 17, Gauss determina la siguiente ecuaci´on:

P cos 2 17 =

=

1 1 − 16 + 16

p √ √ 1 17+ 16 34 − 2 17+ 18

q p p √ √ √ 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17

Esta ecuaci´on permite dividir la circunferencia en 17 partes iguales [25]. La construcci´on del pol´ıgono regular de 17 lados de acuerdo al m´etodo de Gauss en 1976 y simplificado por H.W.Richmond en 1893, se presenta en [41].

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los di´ametros perpendiculares AB y CD.

68

2. Se obtiene un punto P, sobre el radio OC, tal que el segmento OP es la cuarta parte de OC. 3. Se obtiene el punto E, sobre OA, tal que el a´ngulo OPE es la cuarta parte del a´ngulo OPA ( hay que bisectar dos veces un a´ngulo). ˆo 4. Se obtiene un punto G, sobre AB, tal que el ´angulo APG sea de 45A ( se puede hacer bisectando un a´ngulo recto). 5. Se obtiene F, mitad del segmento GA, se dibuja la circunferencia con centro f y radio FA. Esta circunferencia corta al radio OC en el punto H. 6. Se dibuja la circunferencia con centro E y radio EH, dicha circunferencia corta a AB en dos puntos: M y F ( adem´as pasa por el punto F). 7. Se levantan perpendiculares a AB, pasando por M y F , que cortan a la circunferencia en R y S. 8. La mitad del arco RS, nos da un punto T. El segmento RT es el lado del pol´ıgono regular de 17 lados.

Figura 3.6: Pol´ıgono regular de 17 lados

3.2.5.

N´ umeros primos de Fermat y el tri´ angulo de Her´ on

Los n´ umeros primos de Fermat aparecen adem´as en otra aplicaci´on geom´etrica, esta tiene que ver con los tri´angulos de Her´on, estos tri´angulos tienen la

69

propiedad de que todos sus lados son enteros y adem´as su a´rea tambi´en es un n´ umero entero. Existe una relaci´on entre los n´ umeros de Fermat y los tri´angulos de Her´on, esta es que si los lados del tri´angulo son potencias de primos, entonces estas son 3, 4 y 5 o Fm , Fm y 4(Fm−1 − 1), de forma que Fm es un n´ umero primo de Fermat.

Figura 3.7: Tri´angulos de Her´on

Teorema 3.9. Si las tres longitudes de los lados de un tri´angulo de Her´on son potencias de primos, entonces estas longitudes son 3, 4, 5, o Fm , Fm , 4(Fm−1 − 1) para alg´ un m ≥ 1, tal que Fm es primo. Esta relaci´on en este tipo de tri´angulos se hace a´ un m´as atractiva, cuando la llamada f´ormula de Her´on determina el a´rea de un tri´angulo conociendo sus tres lados, sin necesidad de determinar la altura, situaci´on de mucha aplicabilidad en la vida cotidiana. La demostraci´on de esta f´ormula es muy importante y Dunham [23], lo muestra en su trabajo:

Teorema 3.10. Para un tri´angulo de lados a,b y c y ´area k, tenemos que k = p s(s − a)(s − b)(s − c) , donde s = a+b+c el semiper´ımetro del tri´angulo. 2 Demostraci´ on.Sea ABC un tri´angulo arbitrario constituido de tal manera que el lado AB sea al menos tan largo como los otros dos.

70

Si se considera O el centro del c´ırculo inscrito y si se llama r a su radio, se ¯ = OE ¯ = OF ¯ = r, como se muestra en la figura 2.7. ve que OD

Figura 3.8: Circunferencia inscrita en un tri´angulo

Ahora, se aplica la sencilla f´ormula del ´area del tri´angulo obteniendo: 1 ´ ¯ ¯ × OD ¯ = 1 cr Area (∆AOB)= (base) × (altura) = 21 AB 2 2 1 1 ¯ ´ ¯ ¯ = 1 cr Area (∆BOC)= (base) × (altura) = BC × OE 2 2 2 1 1 ¯ ´ ¯ ¯ = 1 cr Area (∆COA)= (base) × (altura) = AC × OF 2 2 2 Por tanto,

´ ´ ´ ´ K= Area (∆ABC) = Area (∆AOB) + Area (∆BOC) + Area (∆COA) o

1 1 1 a+b+c K = cr + ar + br = = rs (3.2.9) 2 2 2 2 Lo cual permite ver una conexi´on entre el ´area del tri´angulo, k, y su semiper´ımetro, s.

Volviendo a la figura 2.7, a partir de los primeros preliminares que el proceso de inscripci´on de un c´ırculo comenzaba dividiendo por la mitad los tres a´ngu-

71

los del tri´angulo. As´ı el ∆ABC se descompon´ıa en tres pares de tri´angulos congruentes, a saber,

∆AOD ≈ ∆AOF , ∆BOD ≈ ∆BOE, y ∆COE ≈ ∆COF Donde, en cada caso, se daba una congruencia por la congruencia a´nguloa´ngulo-lado (Euclides proposici´on I.26). Entonces, por las partes correspondientes, se tiene: ¯ = AF ¯ , BD ¯ = BE, ¯ y CE ¯ = CF ¯ AD Mientras que los ´angulos AOD = AOF , BOD = BOE y COE = COF . En este punto, Her´on prolong´o la base AB del tri´angulo hasta el punto G, ¯ = CE. ¯ Entonces, argument´o que de forma que AG ¯ = BD ¯ + AD ¯ + AG ¯ = BD ¯ + AD ¯ + CE. ¯ Por construcci´on BG ¯ + 2AD ¯ + 2CE) ¯ = 21 (2BD ¯ + BE)( ¯ AD ¯ + AF ¯ )(CE ¯ + CF ¯ )] = 21 [(BD Por congruencia ¯ + AD)( ¯ BE ¯ + CE)( ¯ AF ¯ + CF ¯ )] = 12 [(BD ¯ + BC ¯ + AC) ¯ = 1 (c + a + b) = s = 12 (AB 2

1 ¯ ¯ + AC) ¯ = 1 (c + a + b) = s (AB + BC (3.2.10) 2 2 En consecuencia, el segmento BG de Her´on ten´ıa la longitud del semiper´ımetro del tri´angulo, aunque ((estirado)). ¯ = s, se deriva f´acilmente que Sabiendo que BG

72

¯ − AB ¯ = AG ¯ s − c = BG ¯ − AC ¯ =(BD ¯ + AD ¯ + AG) ¯ − (AF ¯ + CF ¯ )= s − b = BG ¯ + AD ¯ + CE) ¯ − (AD ¯ + CE) ¯ ≈ BD ¯ = (BD ¯ = AF ¯ y AG ¯ = CE ¯ = CF ¯ . Asimismo, Ya que AD ¯ − BC ¯ = s − a = BG ¯ + AD ¯ + AG) ¯ − (BE ¯ + CE) ¯ = = (BD ¯ + AD ¯ + CE) ¯ − (BD ¯ + CE) ¯ = AD ¯ = (BD ¯ = BE ¯ y AG ¯ = CE. ¯ Ya que BD En resumen, el semiper´ımetro s y las cantidades s − a, s − b y s − c aparecen como segmentos particulares en el diagrama. Se comienza de nuevo con el ∆ABC y su c´ırculo inscrito, pero ahora se necesita un diagrama ampliado para ilustrar el razonamiento de Her´on en la figura 2.7, Her´on traz´o la recta OL perpendicular a OB, cortando AB en K. A continuaci´on se construye AM perpendicular a AB de forma que cortara a OL en el punto H y, finalmente, se traza BH. El cuadril´atero resultante AHBO deber´ıa resultar familiar. La proposici´on 4 es, de hecho, un cuadril´atero c´ıclico y as´ı, por la proposici´on 5, se sabe que sus ´angulos opuestos suman dos rectos.

Esto es, AHB + AOB = 2 ´angulos rectos.

AHB + AOB = 180◦

73

(3.2.11)

Figura 3.9: Razonamiento F´ormula de Her´on ¯ KD r

=

r ¯ BD

¯ BD) ¯ = r2 o sencillamente (KD)( ¯ BD) ¯ = r2 (KD)(

(3.2.12)

(Los griegos dir´ıan sencillamente que r es la ((media proporcional)) entre las ¯ y BD) ¯ magnitudes KD En este punto, Her´on a˜ nade 1 a cada miembro de la ecuaci´on 3.2.12 para obtener ¯ ¯ AB AK + 1 = ¯ ¯ +1 AG KD Que reducidos a fracciones se convierten en

¯ AG ¯ AB+ ¯ AG

=

¯ KD ¯ AK+ ¯ KD

o sencillamente

(3.2.13)

¯ BG ¯ AG

=

¯ AD ¯ KD

¯ ¯ BG AD = ¯ ¯ AG KD En esta u ´ltima ecuaci´on, si multiplicamos el primer miembro por ¯ BD segundo por BD a la igualdad, obteni´endose ¯ , se mantendr´ 74

(3.2.14) ¯ BG ¯ BG

y el

¯ BG) ¯ (BG)( ¯ BG) ¯ (AG)( ¯ 2 (BG) ¯ BG) ¯ (AG)(

=

¯ BD) ¯ (AD)( r2

=

¯ BD) ¯ (AD)( ¯ BD) ¯ (KD)(

y as´ı

teniendo en cuenta 3.2.12.

Multiplicando entre si los extremos y los medios de esta proporci´on, se tiene:

¯ 2 = (AG)( ¯ BG)( ¯ AD)( ¯ BD) ¯ r2 (BG) Sustituyendo se tiene que:

r2 s2 = (s − c)(s)(s − p a)(s − b) = s(s − a)(s − b)(s − c) Y as´ı rs = s(s − a)(s − b)(s − c) Pero, se sabe que si K es el a´rea de nuestro tri´angulo, entonces rs = K. Por tanto, una u ´ltima sustituci´on da la f´ormula de Her´on:

K=

3.2.6.

p s(s − a)(s − b)(s − c)

(3.2.15)

N´ umeros primos de Fermat y simetr´ıa rotacional

Kriseck y Somer, [33] presentan la siguiente proposici´on:

Sea b > 1 y n enteros positivos. Si ri es el resto producido en el paso i del algoritmo de divisi´on que permite escribir n1 en base b, entonces el resto producido en el paso (i + 1)-´esimo obviamente cumple la congruencia: ri+1 ≡ bri

m´od n

(3.2.16)

Los autores presentan un ejemplo para 71 , que a continuaci´on se presenta: 75

1 ¯ = 0, 142857 7

De esto sale una secuencia peri´odica de los residuos:

r0 = 1, r1 = 3 ≡ 10 m´od 7 r2 = 2 ≡ 30 m´od 7 r3 = 6 ≡ 20 m´od 7 r4 = 4 ≡ 60 m´od 7 r5 = 5 ≡ 40 m´od 7 r0 = r6 = 1 ≡ 50 m´od 7

Figura 3.10: Representaci´on gr´afica de 17 , para la base 10.

76

(3.2.17)

Figura 3.11: Representaci´on gr´afica de 17 , para la base 11.

Es posible observar que para la representanci´on gr´afica en base 10, existe una simetr´ıa rotacional, lo cual no sucede para la representaci´on gr´afica en base 11, ya que esta es asim´etrica. Es necesario aclarar entonces, seg´ un Kriseck y Somer[33], que un entero n > 1 se llama perfectamente sim´etrico, si la gr´afica asociada a su reciproco n1 es rotacionalmente sim´etrica respecto al punto ( n2 , n2 ) en todas la veces b, tales que b 6= 1 m´od n. Lo cual genera un teorema importante planteado por Jones y Pearce [?jones].

Teorema 3.11. Un entero n > 1 es perfectamente sim´etrico si y solo si n = 2 o n es un primo de Fermat. Esto es una situaci´on muy curiosa, pues una vez m´as aparecen impl´ıcitos los n´ umeros primos de Fermat.

3.3.

Ternas Pitag´ oricas.

El ser humano ha tenido un inter´es especial por los n´ umeros, de acuerdo con Mej´ıa y Cueto [37], la teor´ıa de n´ umeros se encarga de estudiar las propiedades de los n´ umeros, en particular la civilizaci´on antigua de Grecia ha dejado

77

evidencia del inter´es por esta teor´ıa y espec´ıficamente la escuela pitag´orica en donde se consideraba que los n´ umeros enteros eran m´as que una abstracci´on matem´atica, le atribu´ıan misticismo y eran objeto de reverencia y contemplaci´on. Seg´ un la historia, tal como es narrada por Sim´on Singh[46], una vez muri´o el fundador de la hermandad pitag´orica, Cil´on quien fue uno de los tantos rechazados por la escuela pitag´orica atac´o Crotona, raz´on por la cual la hermandad tuvo que desplazarse a diversos destinos en la antigua Grecia. Esta migraci´on hizo que los disc´ıpulos se separaran y fundaran nuevas escuelas y gracias a esto se transmiti´o al mundo la forma de encontrar ternas pitag´oricas.

Las ternas pitag´oricas son combinaciones de n´ umeros enteros que cumplen 2 2 2 la ecuaci´on z = x + y , con x 6= 0, y 6= 0 y z 6= 0, por ejemplo la terna 3, 4, 5 ya que: 52 = 32 + 42 ; 25 = 9 + 16 Esta relaci´on num´erica tambi´en puede concebirse como la determinaci´on de reordenamientos de cuadrados, como por ejemplo: Este cuadrado surge del reordenamiento de los siguientes:

Figura 3.12: Representaci´on gr´afica de la terna pitag´orica 3, 4, 5

78

32 + 42 = 52 9 + 16 = 25 Las ternas pitag´oricas tienden a ser dif´ıciles de encontrar a medida que los n´ umeros se hacen m´as grandes, por lo cual los pitag´oricos determinaron un m´etodo para encontrarlo, demostrando adem´as que exist´ıan un n´ umero infinito de ternas pitag´oricas.

De acuerdo con Campos, [11] sobre el teorema de Pit´agoras no es posible averiguar quien es su creador, pero si se le puede atribuir a la escuela pitag´orica. En la India m´as o menos por la ´epoca de Pit´agoras ya se conoc´ıan algunas ternas pitag´oricas irreductibles, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (12,35,37) y (7,24,25), estas ternas como fundamento para explicar la correspondencia de estas con los lados de tri´angulos rect´angulos, pero sin ning´ un intento por demostrarlas en general. Pero seg´ un este mismo autor, explica que la tripla (3,4,5) usada muy frecuentemente en Egipto, fue la que lleg´o a conocimiento de los griegos y este fue el inicio de su estudio.

Sobre el problema de la generalizaci´on de ternas pitag´oricas Campos, [11] manifiesta: Los que m´as adelantaron hacia el enunciado general (exceptuados los griegos, claro est´a) fueron los matem´aticos indios, quienes formularon, entre otros, dos notables enunciados, equivalentes en el lenguaje actual a estos dos: El cuadrado sobre la diagonal es igual a los cuadrados sobre los lados de un rect´angulo.

La diagonal de un cuadrado produce un cuadrado de a´rea doble de la del cuadrado inicial.

El Profesor Campos, en seguida afirma que la conclusi´on de algunos historiadores es que los indios hab´ıan llegado a conclusiones matem´aticas, u ´nicamente mediante ensayos en casos particulares, pero nunca intentaron establecer

79

esta verdad mediante una demostraci´on.

De lo anterior surge el problema de como encontrar todas las ternas pitag´oricas, inicialmente es posible observar que si (x, y, z) es una terna pitag´orica, tambi´en lo es (mx, my, mz) para cualquier n´ umero m.

Por otro lado una terna que no tenga divisores comunes, se dice que es una terna pitag´orica primitiva, es decir, que el m.c.d.(x, z) = 1 y el m.c.d.(y, z) = 1. Lo cual es una situaci´on importante ya que si se encuentra el patr´on que determina todas las ternas pitag´oricas primitivas, autom´aticamente se estar´ıan encontrando las restantes multiplic´andolas por n´ umeros arbitrarios, resolviendo as´ı el problema planteado.

Por ejemplo de la terna pitag´orica primitiva (3, 4, 5), se determinan otras variando los m, patr´on que permite encontrar diferentes ternas con base a una inicial terna primitiva, como se muestra en la siguiente tabla: m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

y 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

z 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Para la terna pitag´orica primitiva (5, 12, 13), se determinan otras, variando los m, como se muestra a continuaci´on: m 1

x 5

y 12

z 13

80

2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 15 20 25 30 35 40 45 50

24 36 48 60 72 84 96 108 120

26 39 52 63 78 91 104 117 130

Para resolver el problema se tiene que si k ∈ Z entonces, k 2 ≡ 0 m´od 4 o k 2 ≡ 1 m´od 4, por lo cual, si k es un n´ umero par, entonces, k = 2l, por lo cual, k 2 ≡ 4l2 , es decir, que k 2 es divisible por 4 y por otro lado si k es un n´ umero impar, entonces, k = 2l+1 por lo cual, k 2 = 4l2 +4l+1 = 4l(l+1)+1. Si se considera la terna (a, b, c) como una terna pitag´orica primitiva y a, b como n´ umeros impares, entonces, a2 ≡ 1 m´od 4 y b2 ≡ 1 m´od 4 por lo tanto, a2 + b2 ≡ 2 m´od 4, lo cual no ser´ıa posible, ya que c2 = a2 + b2 por lo cual, ocurrir´ıa que c2 ≡ 2 m´od 4.

En los ejemplos anteriores se consideraron las ternas pitag´oricas primitivas (a, b, c), (3, 4, 5) y (5, 12, 13), en las cuales es posible observar para la terna (a, b, c) que a2 ≡ 1 m´od 4. Para la terna (3, 4, 5) es posible observar que 32 ≡ 1 m´od 4 y para la terna (5, 12, 13) es posible observar que 52 ≡ 1 m´od 4, situaci´on de la que se deduce que a es un n´ umero par y b debe ser un n´ umero impar. Dado que a y b son coprimos y no pueden ser impares al mismo tiempo, existen dos posibilidades, que a sea par y que b sea impar o´ que a sea impar y que b sea par, pero dada la simetr´ıa de la ecuaci´on es suficiente con analizar una solo situaci´on. Por lo anterior se analizar´a el caso de que a sea impar y b sea par, entonces como a es impar a2 tambi´en es impar, luego a2 + b2 es impar, por lo cual c2 es impar y c es impar. Por otro lado como c2 = a2 + b2 , entonces, b2 = (c − a)(c + a), como a y c son n´ umeros impares entonces (c − a) y (c + a) son n´ umeros pares situa-

81

ci´on de la que se deduce que el m.c.d.((c − a), (c + a)) = 2 y que b es una n´ umero par, por lo cual b2 es divisible por 4, entonces se puede escribir lo siguiente: ( 4b )2 =

c−a c+a 2 2

Ya que m.c.d.((c − a), (c + a)) = 2, se tiene que el m.c.d.( c−a , c+a ) = 1, por lo 2 2 c+a cual, c−a , , son coprimos, de acuerdo a Plaza[42], diremos que los n´ ume2 2 ros enteros no nulos a y b son coprimos (relativamente primos) si no poseen divisores comunes diferentes de 1. En otras palabras, a y b son coprimos si m.c.d.(a, b) = 1.

, c+a son cuadrados perfectos, es decir, c+a = u2 De acuerdo a lo anterior c−a 2 2 2 c−a 2 2 2 y 2 = v , situaci´on que lleva a (c + a) = 2u y (c − a) = 2v , al sumar estas ecuaciones se obtiene 2c = 2u2 + 2v 2 , es decir, c = u2 + w2 . De lo anterior se deduce que 2u2 = a+u2 +v 2 , lo cual genera que a = u2 −v 2 , 2 2 c+a entonces ( 4b )2 = 2u2 v2 = u2 v 2 , por lo por lo cual, sabiendo que ( 4b )2 = c−a 2 2 tanto, b2 = 4u2 v 2 y b = 2uv. En conclusi´on, la terna pitag´orica (a, b, c) viene dada por (u2 − v 2 , 2uv, u2 + v 2 ), con u, v enteros positivos y u > v. Tomando como ejemplo u = 2 y v = 1, se obtiene la terna (3, 4, 5), o´ si, u = 3 y v = 2, se obtiene la terna (5, 12, 13).

En la siguiente tabla se presentan diferentes ternas primitivas, obtenidas usando el anterior m´etodo. u 2 3 4 5 3 4 5 4

v 1 1 1 1 2 2 2 3

u2 − v 2 3 8 15 24 5 12 21 7

82

2uv 4 6 8 10 12 16 20 24

u2 + v 2 5 10 17 26 13 20 29 25

5 6

3 3

16 27

30 36

34 45

Particularizando, se tiene que si u = 2n y v = 1, se obtiene la terna pitag´orica (4n2 −1, 4n, 4n2 +1), dando valores naturales a n, se obtienen infinitas ternas pitag´oricas, algunas de ellas en la siguiente tabla: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3.3.1.

4n2 − 1 3 15 35 63 99 143 195 255 323 399

v 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4n2 + 1 5 17 37 65 101 145 197 257 325 401

4n 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Prueba de la existencia de Infinitas Ternas Pitag´ oricas.

Una terna Pitag´orica, es un conjunto de tres n´ umeros enteros tales que el cuadrado del primero m´as el cuadrado del segundo es igual al tercer n´ umero al cuadrado, Euclides demostr´o que exist´ıan una infinidad de estas ternas. Para esta prueba Euclides determina que la diferencia entre cuadrados sucesivos siempre era un n´ umero impar de la siguiente forma:

12 1 3

22 4 5

32 9 7

42 16 9

52 25 11

62 36 13

72 49 15

82 64 17

92 81 19

102 . . . 100 . . . 21 . . .

Cada n´ umero impar puede sumarse a otro a un n´ umero cuadrado espec´ıfico para generar otro cuadrado, una fracci´on de esos n´ umeros impares son, a

83

su vez, cuadrados, pero una fracci´on de infinito es tambi´en infinito. Por lo anterior, hay una infinidad de n´ umeros cuadrados que pueden sumarse a cuadrado para obtener otro n´ umero cuadrado. Lo que quiere decir que existe una cantidad infinita de ternas Pitag´oricas.

3.4.

´ El Ultimo Teorema de Fermat

Seg´ un Singh [46], Euler se encontr´o con el u ´ltimo teorema de Fermat, e intento probar que en la serie de posibles ecuaciones z n = xn + y n , con n > 2, para alg´ un n, una de ellas no ten´ıa soluci´on, para luego extrapolar el resultado al resto de las ecuaciones. Euler tuvo la ventaja de encontrar en las notas de la aritm´etica de Diofante, una prueba para la no soluci´on de la ecuaci´on para n = 4, esta prueba aunque con dificultad, se puede establecer que fue una prueba por contradicci´on, utilizando el m´etodo del descenso infinito.

3.4.1.

Utilizaci´ on del m´ etodo del descenso infinito para una particularizaci´ on de la ecuaci´ on z n = xn + y n .

El m´etodo del descenso infinito demuestra una afirmaci´on sobre n´ umeros naturales, consistente en decir que ninguno de los n´ umeros naturales de un cierto subconjunto satisface cierta propiedad. En t´erminos formales el descenso infinito es un m´etodo de demostraci´on para probar rigurosamente una proposici´on de la forma: ∀n ∈ A ⊂ N : ¬P (n) Es decir, si se quiere demostrar una cierta afirmaci´on P . Lo que se hace es suponer que para un cierto n´ umero natural n se cumple su negaci´on, ¬P , y a partir de ah´ı se demuestra que entonces tambi´en se cumple su negaci´on para un n´ umero natural menor que n. Continuando con el razonamiento se obtiene una sucesi´on infinita y decreciente de n´ umeros naturales, lo cual es imposible; o descendiendo se llega a un cierto n´ umero natural que no cumple ¬P . Por tanto, aplicando reducci´on al absurdo se obtiene lo que se quer´ıa: que P es cierta. Fermat demostr´o usando el m´etodo del descenso infinito que la ecuaci´on z 4 = x4 + y 4 , no ten´ıa soluci´on, para lograrlo inicialmente supuso que exist´ıa

84

la soluci´on hipot´etica x = X1 , y = Y1 , z = Z1 usando las propiedades de estos n´ umeros Fermat concluy´o que tendr´ıa que existir otra soluci´on (X2 , Y2 , Z2 ), formado por n´ umeros m´as peque˜ nos. Examinado esta nueva soluci´on tendr´ıa que existir otra soluci´on (X3 , Y3 , Z3 ) hipot´etica con n´ umeros m´as peque˜ nos y as´ı susecivamente. Tal an´alisis deber´ıa concluir en una terna de n´ umeros m´as peque˜ nos que los anteriores, lo cual es imposible gener´andose una contradicci´on, determinado que la primera afirmaci´on sobre la hip´otesis de soluci´on de la terna x = X1 , y = Y1 , z = Z1 es falsa.

3.4.2.

Prueba de la no soluci´ on de la ecuaci´ on z n = xn + y n para n un m´ ultiplo de 4

Se supondr´a que n es un m´ ultiplo de 4, es decir, que n = 4k, entonces existen enteros positivos x, y, z no nulos, tal que z n = xn + y n z 4k = x4k + y 4k 2

4

z (2k) = x(k) + y (k)

4

Es decir, que z 2k = xk + y k , es una soluci´on de la ecuaci´on u4 + v 4 = w2 . Entonces, para demostrar que la ecuaci´on z n = xn + y n , no tiene soluci´on para n = 4k, con k ∈ N , basta con demostrar que la ecuaci´on u4 + v 4 = w2 no tiene soluciones enteras positivas no nulas. Para tal objetivo se supondr´a la soluci´on (a, b, c), con a, b y c ∈ Z + para la ecuaci´on u4 + v 4 = w2 , esta soluci´on de forma que no exista otra soluci´on ˜ c), con c > ˜c. Si a y b son coprimos, entonces, existen enteros positivos (˜a,b,˜ u y v tal que a2 = u2 − v 2 , b2 = 2uv y c2 = u2 + v 2 . Como a2 + v 2 = u2 , existen enteros positivos p y q, coprimos, tales que a2 = p2 − q 2 , b2 = 2pq y c2 = p2 + q 2 , de lo anterior se tiene que b2 = 2pq = 4pq(p2 + q 2 ). Como p y q son coprimos, se tiene que p y q son coprimos

85

con p2 + q 2 . De acuerdo a lo anterior p, q y p2 + q 2 son cuadrados, por lo cual tendr´ıamos que p = r2 , q = s2 y p2 + q 2 = t2 , para r, s y t n´ ume4 4 2 ros enteros positivos no nulos. De lo anterior se tiene que r + s = t , con c = u2 + v 2 > u = p2 + q 2 = t2 > t, lo anterior contradice el hecho que el c ˜ c), satisface que c < ˜c. escogido de forma que cualquier otra soluci´on (˜a,b,˜

3.4.3.

El intento de Sophie Germain

La discriminaci´on por el sexo femenino en el tiempo de Sophie Germain, la oblig´o a asumir una identidad falsa que le permitiera mostrar sus adelantos frente al trabajo matem´atico. Las comunicaciones de Monsier Le Blanc, la identidad asumida falsamente por Sophie Germain y Carl Gauss permiti´o que la matem´atica ahondara en sus esfuerzos por demostrar el u ´ltimo teorema de Fermat. Lo importante del trabajo de Germain tiene que ver con que su intento por demostrar esta Conjetura era asumida de una forma diferente a como lo hab´ıa hecho a˜ nos atr´as Euler. En su comunicaci´on a Gauss, mostraba un tipo concreto de n´ umero primo p, tal que 2p + 1 tambi´en es un n´ umero primo. Espec´ıficamente Germain contribuy´o a la historia a la resoluci´on del Teorema de Fermat en la demostraci´on de la imposibilidad de soluciones enteras positivas de la ecuaci´on xn + y n = z n , con la condici´on de que x, y y z no sean simult´aneamente m´ ultiplos de n, para todo n menor que 100. De acuerdo con Steen, [47] ((si esa ecuaci´on tuviera soluci´on para 2 < n < 100, algunos de los elementos de la terna deber´ıan ser divisibles por el exponente n)).

Toda la demostraci´on se bas´o en los n´ umeros primos de Germain, un n´ umero es primo seg´ un Germain si dado p primo, 2p+1 tambi´en es primo. La colecci´on de primos de Sophie Germain es 2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, . . . Es decir, si 2 es un n´ umero primo 2 · 2 + 1 = 5, entonces 5 es un primo de Germain y si 3 es un n´ umero primo 2 · 3 + 1 = 7, entonces 7 es un primo de Germain. Seg´ un la p´agina de internet Wikipedia [49], el mayor n´ umero primo de Germain conocido hasta el a˜ no 2012, encontrado por Philipp Bliedung es el 18543637900515·26 66667−1 que tiene 200701 d´ıgitos. Se conjetura que existen infinitos n´ umeros primos de Germain pero este es un problema abierto ya que a la fecha nadie lo ha demostrado.

86

Por otro lado en 1808 Germain comunic´o uno de sus descubrimientos basada en que si x, y y z son n´ umeros enteros tales que x5 + y 5 + z 5 = 0, entonces, al menos uno de los n´ umeros x, y y z debe ser divisible por 5. El primer logro de Germain fue demostrar que la ecuaci´on xp + y p = z p , con p y p + 1 n´ umeros primos, no tiene soluciones no nulas. El asunto es que si p y 2p + 1 son ambos primos, la expresi´on para la Conjetura de Fermat para la potencia p, implica que uno de los x, y y z es divisible por p, por lo cual la proposici´on que a´ un era Conjetura hasta estos d´ıas, se divide en dos casos: Caso 1. Ninguno de los x, y y z es divisible por p Caso 2. Uno y solo uno de los x, y y z es divisible por p Sophie Germain prob´o el caso 1 para n < 100, m´as adelante Legendre lo prob´o para n < 197. En este punto el caso 2 no hab´ıa sido probado para ning´ un n, m´as adelante se estudi´o este caso para n = 5, obteniendo dos nuevos casos, el caso 1 que determina que si el n´ umero es divisible entre 5, este es par y el caso 2 es en el que el n´ umero divisible por 5 es diferente al n´ umero par. Usando todo este an´alisis producido por Sophie Germain, el caso 2, fue demostrado por Dirichlet en 1825 y un par de meses despu´es Legendre demostr´o, la otra parte del caso 2, espec´ıficamente Dirichlet logr´o completar la demostraci´on para n = 5, tiempo despu´es en 1839 Lame demostr´o el caso de n = 7.

3.4.4.

Generalidades de la Demostraci´ on de Andrew Wiles

Andrew Wiles us´o una herramienta del siglo XX para demostrar el famoso ´ Ultimo Teorema de Fermat, lo anterior ya que este Teorema es consecuencia de la Conjetura Taniyama-Shimura, que dice que cada curva el´ıptica puede asociarse un´ıvocamente con un objeto matem´atico denominado forma modular. La historia cuenta c´omo Fermat, en el margen de una p´agina de su ejemplar de la Aritm´etica de Diofanto de Alejandr´ıa, escribe ((Es imposible

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descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostraci´on realmente admirable, pero el margen del libro es muy peque˜ na para ponerla))

Figura 3.13: Portada del Libro Arithmetica de Diofanto de Alejandr´ıa.

Fermat escribi´o que la margen del libro era muy peque˜ na para contener tal demostraci´on, lo extra˜ no del asunto es que la demostraci´on realizada por Wiles requer´ıa de conocimientos de las formas modulares, la conjetura de Taniyama-Shimura, los grupos de Galois y el m´etodo de Kolyvagin-Flach, conocimientos que de seguro no ten´ıa Fermat. Si Fermat no ten´ıa la demostraci´on de Wiles, la pregunta es ¿Qu´e era lo que ten´ıa?, esto lleva a pensar que probablemente no ten´ıa una demostraci´on correcta del Teorema o su demostraci´on era tan ingeniosa que hab´ıa escapado a las mentes m´as brillantes de varios siglos, tanto as´ı que existen matem´aticos a´ un en la busqueda de la demostraci´on original de Fermat.

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Figura 3.14: P´agina que contiene la nota de Fermat.

El comienzo de la demostraci´on del u ´ltimo Teorema de Fermat se da en 1985 cuando G. Frey presenta una asociaci´on entre la ecuaci´on de Fermat an + bn = cn y la forma de una curva el´ıptica y 2 = x(x + an )(x − bn ), donde an como bn son potencias n-´esimas perfectas de n´ umeros enteros con la condici´on de que tambi´en an + bn sea potencia perfecta n > 2. Esta ecuaci´on simplificada es equivalente a y 2 = x3 + (an − bn )x2 − an · bn · x. Donde el discriminante del polinomio de segundo grado es p 4 = (an − bn )2 + 4an · bn = an + bn = cn

En 1986 K. Ribet demostr´o que la curva Frey no puede ser parametrizada por funciones modulares, es decir, la curva y 2 = x3 + (an − bn )x2 − an · bn · x donde el discriminante fuera una potencia perfecta no puede ser modular. De acuerdo a Rabosa, [45] Wiles en compa˜ n´ıa de Taylor, demuestra en el a˜ no de 1995, la conjetura para una clase de curvas el´ıpticas llamadas semiestables, despu´es en el a˜ no 1999 Wiles demuestra la conjetura en su totalidad. Sobre la demostraci´on dada por Wiles en 1995 Aczel, [1] afirma que lo que se quer´ıa era contar la cantidad de curvas el´ıpticas, las curvas el´ıpticas modulares y demostrar que dicho n´ umero es el mismo en ambos casos. Esto probar´ıa que las curvas el´ıpticas y las curvas el´ıpticas modulares son las mismas tal como lo afirma la Conjetura Shimura y Taniyama. Para esto, Wiles determina dos puntos, en el primero, solo basta con estudiar una clase especial de curvas, las

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curvas el´ıpticas semiestables con coeficientes racionales y el segundo, que es contar de forma convencional las curvas no dar´ıa resultado ya que se tienen conjuntos infinitos de curvas el´ıpticas semiestables.

3.5.

El Calendario Maya Tzolkin

En el trabajo de G´omez, [26] se hace claridad sobre la aparici´on de congruencias siempre que haya comportamientos c´ıclicos. El Calendario Tzolkin es una aplicaci´on del teorema chino de los residuos, este calendario estaba determinado por la unidad, el d´ıa o kin. El segundo orden de unidades est´a compuesto por 20 kines al que se le dio el nombre de unial, el tercer orden de unidad del sistema maya, el tun, se compon´ıa de 18 uniales. Despu´es del tercer orden las unidades de progresi´on son de a 20. La siguiente tabla consta de los valores num´ericos y los valores de tiempo:

20 18 20 20 20 20 20

kines = 1 uniales = 1 tunes = 1 baktunes = 1 pictunes = 1 calabtunes = 1 kinchiltunes =1

unial o 20 dias tun o 360 dias katun o 7.200 dias 20 katunes = 1 baktun o 144.000 dias picun o 2.880.000 dias calabtun o 57.600.000 dias kinchiltun o 1.152.000.000 dias alautun o 23.040.000.000 dias

El nombre de los d´ıas en el calendario maya sagrado se compone de 2 partes: La primera es una correlaci´on de n´ umeros del 1 al 13 utilizando la numeraci´on maya (puntos, l´ıneas y cochas) y la segunda se compone de 20 nombres diferentes que corresponden a un signo o glifo. A continuaci´on se muestra los 20 nombres diferentes que componen el calendario maya sagrado con sus glifos correspondientes:

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Figura 3.15: Meses del Calendario Maya

De tal forma el primer mes del calendario maya sigue la siguiente serie: 1 Imix, 2 Ik, 3 Ak’bal, 4 K’an, 5 Chikchan, 6 Kimi, 7 Manik, 8 Lamat, 9 Muluk, 10 Ok, 11 Chuen, 12 Eb, 13 Ben, 1 Ix, 2 Men, 3 Kib, 4 Kaban, 5 Etz’nab, 6 Kayak, 7 Ajau Este calendario est´a compuesto de 20 meses, cada uno de 13 d´ıas, por lo cual el a˜ no Tzolkin tiene 260 d´ıas. Para contar los d´ıas se utilizaba una rueda grande que representa los 20 meses y dentro hay otra rueda con los n´ umeros del 1 al 13 en escritura maya. En la Figura 2.15 se representa el primer d´ıa del calendario correspondiente al primero de Imix.

Figura 3.16: Cuenta d´ıas del Calendario Tzolkin

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Dentro de los an´alisis realizados al Calendario Tzolkin, se encuentra el de determinar la cantidad de d´ıas que hay entre un par de d´ıas del calendario. Para realizar este c´alculo basta con determinar (m, n) con 0 < m < 20 , 0 < d < 13 y (m0 , d0 ) con 0 < m0 < 20 , 0 < d0 < 13, donde m corresponde al mes y d al d´ıa en el calendario . Es decir, dado que en este calendario existe un comportamiento c´ıclico se pueden plantear las siguientes congruencias: x ≡ (d0 − d)mod13

(3.5.18)

x ≡ (m0 − m)mod20

(3.5.19)

Ya que (13, 20) = 1, se puede resolver el problema utilizando el Teorema Chino de los residuos. Aplicando este Teorema se tiene que: M = 13 × 20

|x|M

n X =| wi |xi wi−1 |mi |M

(3.5.20)

i=1

donde wi =

M mi

y w−1 el multiplicativo inverso de wi en m´odulo mi .

Es decir si se quiere saber cuantos d´ıas han transcurrido desde Ok 11 hasta Etznab 5, estos d´ıas se pueden escribir como las parejas (10,11) y (18,5) que generan las siguientes congruencias: x ≡ (5 − 11) x ≡ (18 − 10)

m´od 13 = x ≡ −6

m´od 13

m´od 20 = x ≡ 8

m´od 20

En este caso m1 = 13, m2 = 20, M1 = 20, M2 = 13, 20−1 m´od 13 = 2, 13−1 m´od 20 = 17. Ya que x = −6+13k, luego −6+13k ≡ 8 m´od 20, de donde 13k ≡ 14mod20, como 13 × 17 = 221 ≡ 1 m´od 20, entonces k ≡ 18 m´od 20, por lo que x = −6 + 13k ≡ 228 m´od 260. Por lo que deben haber 228 d´ıas entre Ok 11 y Etznab 5.

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Por otro lado, si se quiere determinar los d´ıas transcurridos entre 7 Manik hasta el d´ıa 5 kimi, lo cual genera las parejas (7,7) y (6,5), por lo cual se tienen las congruencias: x ≡ (5 − 7)

m´od 13 = x ≡ −2

m´od 13

x ≡ (6 − 7)

m´od 20 = x ≡ −1

m´od 20

En este caso m1 = 13, m2 = 20, M1 = 20, M2 = 13, 20−1 m´od 13 = 2, 13−1 m´od 20 = 17. Ya que x = −2 + 13k, luego −2 + 13k ≡ −1 m´od 20, de donde 13k ≡ 1 m´od 20, como 13 × 17 = 221 ≡ 1 m´od 20, por lo que x = −2 + 13k ≡ 219 m´od 260. Por lo que deben haber 219 d´ıas entre Manik 7 y Kimi 5.

3.6.

Paul Erd¨ os y el Teorema de los N´ umeros Primos

Sobre el Teorema de los n´ umeros primos, en 1949 se dio una nueva demostraci´on realizada por Paul Erd¨os y Atle Selberg, lo interesante de esta demostraci´on es que solo se utilizaron argumentos de naturaleza elemental. Los inicios de este problema se remontan al Teorema Fundamental de la Aritm´etica que afirma que todos los enteros mayores que 1, se pueden expresar como producto de n´ umeros primos y de manera u ´nica, salvo el orden de los factores, esta prueba se remonta a los pitag´oricos y aparece en el libro IX de los elementos de Euclides. Tiempo despu´es Euler present´o el siguiente teorema:

Teorema 3.12. La suma de los inversos de los primos es infinita. Este teorema implica que deben existir una infinidad de n´ umeros primos, pero tambi´en implica que los n´ umeros primos deben ser bastante numerosos para que la suma diverja. En el a˜ no de 1978 Legendre conjetur´o que la cantidad de n´ umeros primos menores que x deb´ıan aproximarse a:

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π(x) =

x log(x)

(3.6.21)

Paralelamente Gauss usando una tabla de n´ umeros muy grande encontr´o que 1 la densidad de n´ umeros primos en un entorno n era aproximadamente log(n) , por lo que el n´ umero de primos menores que x era de: Z x dt x π(x) ≈ ≈ (3.6.22) t logx 2 Tiempo despu´es Chebyschev, en 1850 utilizando una serie de argumentos combinatorios formul´o el siguiente teorema:

Teorema 3.13. Existen dos constantes positivas c < 1 < C tales que x x c logx < π(x) < C logx , para todo x ≥ 2.

Para mediados del siglo XX, aparece Paul Erd¨os y Atle Selberg y logran una demostraci´on elemental del teorema de los N´ umeros Primos. De acuerdo a Cilleruelo, [19] en frase de Erd¨os, el punto inicial de la demostraci´on elemental del teorema de los n´ umeros primos fue la f´ormula fundamental de Selberg, para lo cual encontr´o una ingeniosa demostraci´on elemental: X p 0 tal que si x es x primos en el intervalo suficientemente grande, entonces hay m´as de K(δ) logx (x, x + δ), este resultado permiti´o demostrar el teorema de forma elemental.

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Cap´ıtulo 4 Patrones y ense˜ nanza de las Matem´ aticas Buscar y conseguir patrones es lo que sin duda, mejor hacen los matem´aticos, las matem´aticas no son una ciencia est´atica enfocadaen ell aprendizaje de f´ormulas, sino que requiere una b´ usqueda abierta de patrones. De acuerdo a Steen, [47] ((La matem´atica se ha descrito de manera tradicional como la ciencia del n´ umero y la forma. El ´enfasis de los maestros en la aritm´etica y la geometr´ıa est´a profundamente arraigado en esta perspectiva secular. Pero como el territorio explorado por los matem´aticos se ha ampliado a la teor´ıa de grupos y la estad´ıstica, a la optimizaci´on y la teor´ıa del control, los l´ımites hist´oricos de las matem´aticas casi han desaparecido. Tambi´en lo han hecho los l´ımites de sus aplicaciones: al dejar de ser el lenguaje exclusivo de la f´ısica y la ingenier´ıa, las matem´aticas son ahora un instrumento esencial de las actividades bancarias y manufactureras, de las ciencias sociales y la medicina. Cuando se contemplan en este contexto m´as amplio, vemos que las matem´aticas no tratan tan solo de n´ umeros y formas sino de patrones y relaciones de orden de todas clases. El n´ umero y la forma, aritm´etica y geometr´ıa, no son sino dos de los m´ ultiples territorios en que trabajan los matem´aticos. En realidad, los matem´aticos activos investigan patrones donde quiera que surjan)). En los u ´ltimos a˜ nos la ense˜ nanza de la matem´aticas en Colombia ha tenido un cambio sustancial, ya que se ha dejado de lado la memorizaci´on de aspectos relevantes de la matem´atica, para darle paso a las habilidades que los estudiantes pueden potenciar a trav´es del desarrollo del pensamiento matem´atico.

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A continuaci´on se presenta el estado de las pol´ıticas educativas a trav´es de los lineamientos curriculares y la implementaci´on de t´ecnicas que permitan construir actividades para fortalecer habilidades de b´ usqueda y consecuci´on de regularidades, patrones y generalizaciones.

4.1.

Acerca de los Patrones Seg´ un los Lineamientos Curriculares

Los lineamientos curriculares en el a´rea de Matem´aticas presentan la generalizaci´on de patrones aritm´eticos como un ejercicio de primer momento al construir el ´algebra, para despu´es volverse una potente herramienta para la modelaci´on de situaciones de cuantificaci´on y diversos fen´omenos de variaci´on y cambio que permite desarrollos propios del pensamiento variacional. De acuerdo a estos mismos lineamientos, una herramienta indispensable para iniciar el estudio de la variaci´on en primaria, es la b´ usqueda de patrones, esta incluye escenarios de la vida pr´actica como fotograf´ıas y representaciones pict´oricas e ic´onicas, espec´ıficamente [38] ((En las matem´aticas los escenarios geom´etricos o num´ericos tambi´en deben ser utilizados para reconocer y describir regularidades o patrones presentes en las transformaciones. Estas exploraciones permiten, en una primera instancia, hacer una descripci´on verbal de la relaci´on que existe entre las cantidades (el argumento y el producto terminado que se lee primero) que intervienen en la transformaci´on. Los contextos de variaci´on deben incluir patrones aditivos y multiplicativos.)) En la educaci´on b´asica y media de Colombia se tiene que los estudiantes se enfrentan a situaciones de variaci´on que permiten establecer relaciones funcionales estableciendo enlaces entre patrones de variaci´on entre variables, indispensables para predecir y controlar cambios. Sobre la resoluci´on y planteamiento de problemas se referencia que a los estudiantes se les deben proponer actividades en donde discutan problemas en diferentes contextos y que uno de los factores que influyen en la resoluci´on de problemas tiene que ver con la estrategia cognoscitiva de la b´ usqueda de patrones y la reconstrucci´on del problema. Adem´as se aclara que el razonamiento matem´atico, debe estar presente en todo trabajo matem´atico de los

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estudiantes y por consiguiente debe ser posible encontrar patrones y expresarlos matem´aticamente.

4.2.

El Razonamiento Proceso General en el Aprendizaje de las Matem´ aticas

De acuerdo a los lineamientos curriculares, el quehacer matem´atico exige una planeaci´on del curr´ıculo articulando procesos generales que tienen que ver con el aprendizaje, tales como el razonamiento, la resoluci´on de problemas, la comunicaci´on, la modelaci´on y la elaboraci´on, comparaci´on y ejercitaci´on de procedimientos. El conocimiento en matem´aticas se establece de acuerdo a dos modos de comprensi´on y expresi´on, uno corresponde a la intuici´on y otro a la reflexi´on. El razonamiento est´a inmerso en cualquier actividad matem´atica, ya sea inductivo o deductivo y aunque pretender que los estudiantes comprendan desde temprana edad un marco axiom´atico riguroso y formal es algo desatinado, no lo es, que los ni˜ nos desde edades tempranas aprendan a intuir, plantear hip´otesis, hacer conjeturas y generalizar cuando sea posible. Desde temprana edad se debe fortalecer la intuici´on, entendida esta como la primera captaci´on de conceptos que permite comprender lo que nos rodea, por lo cual se debe fortalecer el razonamiento inductivo, que es el proceso de observar datos, reconocer patrones y hacer generalizaciones bas´andose en esos patrones, seg´ un Steen, [47] ((Observadores perceptivos han notado que los patrones en los objetos pueden caracterizarse con n´ umeros en formas que ayudan al razonamiento. Quiz´as sea una exageraci´on decir, como alguna vez afirm´o Lord Kelvin: Cuando aquello de lo que se est´a hablando puede medirse y expresarse con n´ umeros, se sabe algo acerca del mismo; pero cuando no puede medirse, cuando no puede expresarse en n´ umeros, el conocimiento es de calidad pobre e insatisfactoria.)) Lo anterior exige que exista una forma de producci´on y comunicaci´on del conocimiento matem´atico en el aula, esto a trav´es de procesos ling¨ u´ısticos y discursivos relacionados con las relaciones de interacci´on en el aula, lo cual hace que la argumentaci´on en este contexto sea indispensable para esta comunicaci´on, requiriendo que el razonamiento no formal que privilegia

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el lenguaje natural, se haga a un lado, pues dado que el encadenamiento no es restrictivo deja lugar a desacuerdos. Seg´ un Le´on y Calder´on, [34] ((. . . la argumentaci´on se convierte en una forma de organizaci´on de los procesos cognitivos de los estudiantes, los factores de desplazamiento de una argumentaci´on no matem´atica a una matem´atica, exigen el desarrollo de procesos de razonamiento. ))

4.2.1.

El Razonamiento a trav´ es de Regularidades, Patrones y Generalizaciones

El razonamiento puede definirse seg´ un Duval, [24] ((como la forma de expansi´on discursiva que est´a orientada hacia un enunciado-objeto con el prop´osito: De modificar el valor epist´emico, sem´antico o te´orico, que ese enunciado objeto tiene en un estado de conocimiento, o en un medio social dado y en consecuencia, de modificar el valor de verdad cuando se cumplen ciertas condiciones particulares de organizaci´on discursiva)). Al razonamiento se le asocian procesos de pensamiento diferente, por un lado est´an los procesos que conllevan una inferencia expl´ıcita, en los que de una o varias proposiciones se infiere la otra, por otro lado los procesos inherentes a un acto de exploraci´on. De acuerdo a Ca˜ nadas y Castro, [17] no es f´acil hablar del razonamiento inductivo sin que aparezca ligado al razonamiento deductivo, el razonamiento inductivo en un proceso que parte de sucesos particulares y busca la generalidad de los hechos que acontecen. ((Un razonamiento inductivo se considera fuerte si es improbable que su conclusi´on sea falsa cuando sus premisas sean verdaderas)). En matem´aticas la actividad del descubrimiento es uno de los principales compromisos, dado que muchos conocimientos se han dado como resultado de un razonamiento inductivo, situaci´on por la cual, investigar una situaci´on comprobando casos particulares es una estrategia potencial, tal como se ha mostrado en problemas como los n´ umeros de Fermat, el u ´ltimo Teorema de Fermat o el Teorema de los n´ umeros Primos. De acuardo a Polya, [43] existen cuatro fases a las cuales se enfrenta una persona para resolver un problema, la primera es comprender el problema, la segunda es captar las relaciones que existen en diferentes elementos, la tercera es poner en ejecuci´on un plan y la cuarta es volver atr´as una vez encontrada la soluci´on, revisarla y discutirla [31]. Seg´ un Ca˜ nadas y Castro, [18] en varias investigaciones se han detectado

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dificultades en la resoluci´on de problemas y estas mismas se evidencian en los resultados sobre el poco trabajo sistem´atico de los estudiantes, en niveles inferiores hasta los universitarios. As´ı mismo dichas investigaciones muestran que cuando los procesos de razonamiento relacionados con la justificaci´on, son tratados en niveles inferiores de educaci´on, aparecen fuertes v´ınculos emp´ıricos y de b´ usqueda de patrones, por lo cual se hace importante de acuerdo con estos mismos autores, se lleve a cabo un trabajo con patrones, se formulen conjeturas, se determinen generalizaciones partiendo de casos espec´ıficos para llegar a una regla general, de manera que estas puedan ser descritas verbalmente, algebr´aicamente, geom´etricamente y gr´aficamente.

4.3.

El Valor de la Simbolizaci´ on Matem´ atica

Anteriormente se ha realizado un esbozo de la importancia del descubrimiento de leyes que rigen patrones y su reconstrucci´on con base en leyes dadas para el desarrollo del pensamiento matem´atico y de otras ciencias. Bressan y Gallego, [7] presentan c´omo estas actividades est´an estrechamente v´ınculadas al proceso de generalizaci´on, que hace parte del razonamiento inductivo, de acuerdo a estos mismos autores ((El estudio de patrones y la generalizaci´on de los mismos abren las puertas para comprender la noci´on de variable y de f´ormula, as´ı como para distinguir las formas de razonamiento inductivo; y deductivo y el valor de la simbolizaci´on matem´atica.)). La generalizaci´on entendida como el uso riguroso de la escritura simb´olica es importante para presentar argumentos importantes para la condensaci´on de un medio para resolver un problema.

4.3.1.

Registros de Representaci´ on

Duval presenta la noci´on de representaci´on como esencial pues puede describir una informaci´on y tomarse en cuenta en un sistema de transformaci´on, as´ı mismo se presenta la representaci´on semi´otica como un sistema particular de signos que pueden ser convertidos en representaciones equivalentes en otro sistema semi´otico. Estos sistemas cumplen una funci´on comunicativa, de transformaci´on de la informaci´on y de objetivaci´on o toma de conciencia. Los sistemas semi´oticos deben cumplir con tres actividades cognitivas inherentes a toda representaci´on, la primera tiene que ver con construir una marca o un conj´ unto de marcas perceptibles que sean identificables, la segunda,

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transformar las representaciones y por u ´ltimo convertir las representaciones producidas en un sistema de representaciones en otro sistema.

4.3.2.

Ense˜ nanza y Registros de Representaci´ on

La formaci´on de un sistema semi´otico est´a determinado seg´ un Duval, [24] por un sistema de reglas de conformidad y estas se refieren a la determinaci´on de unidades elementales, la combinaci´on admisible de unidades elementales para formar unidades a nivel superior y las condiciones para que una representaci´on de orden superior sea una producci´on pertinente y completa. La conversi´on de estas representaciones implica que se perciba la diferencia entre el sentido y la referencia de los s´ımbolos o de los signos, o entre el contenido de una representaci´on y lo que esta representa. De acuerdo a este mismo autor la conversi´on de las representaciones semi´oticas constituye la actividad cognitiva menos espont´anea y m´as dif´ıcil de adquirir para la gran mayor´ıa de los estudiantes, situaci´on importante en la elaboraci´on de las actividades que se construyen con base en este trabajo, ya que para potenciar la b´ usqueda y consecuci´on de patrones se debe tener en cuenta que la puesta en correspondencia de dos representaciones pertenecientes a registros diferentes, puede establecerse localmente a trav´es de una correspondencia asociativa entre las unidades significantes elementales constitutivas de cada uno de los registros.

4.3.3.

Patrones y Registros de Representaci´ on en los Grados Octavo y Noveno de la B´ asica Secundaria

El ´algebra como un instrumento de modelaci´on matem´atica, es la visi´on m´as amplia que se construye progresivamente en los grados octavo y noveno, los procesos de simbolizaci´on comienzan formalmente en estos grados, acompa˜ nados de expresi´on de relaciones e identificaci´on de patrones. Espec´ıficamente los Est´andares B´asicos de Competencias en Matem´aticas exigen, entre otros, que al terminar el grado noveno el estudiante:

Utilice n´ umeros reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

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Identifique relaciones entre propiedades de las gr´aficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. Use procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. Modele situaciones de variaci´on con funciones polin´omicas. Para la modelaci´on en matem´aticas es necesario en primera instancia la identificaci´on y designaci´on de variables, seguido del establecimiento de dichas variables, situaci´on que conlleva la manipulaci´on de sistemas de representaci´on, la conversi´on entre estos sistemas y la relaci´on entre las variables que conforman dichos sistemas; para tal din´amica se hace necesario utilizar una estrategia de ense˜ nanza que cree condiciones para una gen´esis artificial, de conocimientos matem´aticos. Para esta estrategia se tendr´a en cuenta la hip´otesis de que los conocimientos matem´aticos no se construyen de manera espont´anea y es aqu´ı donde desde una perspectiva constructivista Brousseau[8], caracteriza esta concepci´on de la siguiente forma: ((El alumno aprende adapt´andose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptaci´on del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje.))

4.3.4.

Situaciones Did´ acticas

Brousseou[9], le da un significado a la ((situaci´on)) en la construcci´on del conocimiento de la siguiente forma: Hemos llamado situaci´on a un modelo de interacci´on de un sujeto con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas situaciones requieren de la adquisici´on anterior de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por s´ı mismo un conocimiento nuevo en un proceso gen´etico.

La existencia de momentos de aprendizaje, en la relaci´on de estudiantedocente, hace necesario dise˜ nar situaciones que posibiliten al estudiante la construcci´on de conocimiento y que le permitan enfrentarse a la resoluci´on de problemas en que el maestro no intervenga. Tal cuesti´on di´o lugar a la

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noci´on de situaci´on a-did´actica, que Brousseou[8] presenta de la siguiente manera: ((El t´ermino de situaci´on a-did´actica designa toda situaci´on que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en pr´actica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por otra parte sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin intervenci´on del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego.))

Las situaciones did´acticas pueden enmarcarse en fases, la primera de ellas es la Acci´on, se refiere a la experimentaci´on y el descubrimiento, la segunda fase es la Comunicaci´on, referida a la hip´otesis y el comunicado espec´ıficamente, la tercera fase es la Validaci´on, relacionada con la demostraci´on y comprobaci´on y por u ´ltimo a la Institucionalizaci´on, que se refiere a la formalizaci´on.

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Cap´ıtulo 5 Unidad Did´ actica 5.1.

B´ usqueda y Consecuci´ on de Patrones Aritm´ eticos en los grados Octavo y Noveno: Estudio de algunas tem´ aticas de la Teor´ıa de N´ umeros.

A partir de algunas tem´aticas de la Teor´ıa de N´ umeros, la historia subyacente de los problemas a los que se enfrentaron algunos matem´aticos para llegar a teorizar estas tem´aticas y el razonamiento inductivo que permite a los estudiantes analizar situaciones que generan b´ usqueda de regularidades, consecuci´on de patrones y generalizaciones, se busca potenciar la ense˜ nanza de las matem´aticas con el fin de mejorar habilidades que permitan el desarrollo del pensamiento variacional y el pensamiento num´erico.

5.1.1.

Justificaci´ on

La ense˜ nanza de las matem´aticas en los Grados Octavo y Noveno, tienen como particularidad la introducci´on del a´lgebra, situaci´on que da cuenta de una manipulaci´on de varios registros semi´oticos de representaci´on, que a su vez, adem´as de tener una funci´on de comunicaci´on, tienen la funci´on de introducir el concepto de variable y de relaciones entre variables, a trav´es de la b´ usqueda de regularidades y la consecuci´on de patrones y generalizaciones. Es aqu´ı donde despu´es de una tarea larga de ense˜ nanza de las matem´aticas,

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los estudiantes tienen la posibilidad de incrementar sus habilidades para la consecuci´on de patrones a trav´es de una formalizaci´on de las matem´aticas, usando un nuevo registro de representaci´on que potencia la escritura de variable con el fin de poder articular varias disciplinas intr´ınsecas al trabajo matem´atico, raz´on por la cual se dise˜ nan esta serie de actividades que le permite a los estudiantes potenciar su comprensi´on del concepto de variable, desarrollando adem´as el razonamiento inductivo, el pensamiento n´ umerico y el pensamiento variacional. Objetivo General Potenciar la habilidad de los estudiantes en la b´ usqueda de regularidades, la consecuci´on de patrones y la generalizaci´on. Objetivo Espec´ıficos Introducir en las actividades, tem´aticas propias de la Teor´ıa de N´ umeros. Generar situaciones que le permitan a los estudiantes buscar regularidades y determinar patrones. Utilizar distintos registros de representaci´on semi´otica, que permitan la los estudiantes identificar conceptos y hacer traducciones entre estos. Generar situaciones did´acticas, que permitan a los estudiantes identificar unidades significantes dentro de los registros de representaci´on utilizados, que les posibilite trasladarse entre sistemas de representaci´on.

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5.1.2.

Actividad Diagn´ ostica. Regularidades y Patrones en el Tri´ angulo de Pascal

El tri´angulo de Pascal es una configuraci´on de n´ umeros naturales ordenados de una forma especif´ıca, la siguiente gr´afica muestra un esbozo de este tri´angulo:

1. A partir del tri´angulo de Pascal que observa a continuaci´on, complete los espacios en blanco:

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2. En la siguiente configuraci´on, completa el tri´angulo de Pascal y colorea los n´ umeros pares.

Observa cuidadosamente el tri´angulo y las casillas que coloreaste ¿Qu´e observas en el gr´afico? Si hicieras el tri´angulo de Pascal de mayor trama˜ no, ¿Como se ver´ıan las zonas coloreadas? 3. En cada una de las siguientes figuras, los n´ umeros se˜ nalados presentan una asociaci´on, puedes describir ¿cu´al es?:

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Describa la relaci´on:

Describa la relaci´on:

Describa la relaci´on: 4. En cada una de las im´agenes hay una relaci´on, establece c´ ual es:

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5. La fila marcada en el anterior tri´angulo de Pascal, presenta los n´ umeros: n 1 2 3 4 5 6 7 8

n umero triangular 1 3 6 10 15 21 27 34

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Representa la relaci´on existente entre las dos columnas de la tabla, usando una expresi´on algebraica.

Descripci´ on de la Clase Se realiza la presentaci´on y objetivos de la actividad, en esta se les aclara a los estudiantes que la actividad es estrictamente individual y no va existir ayuda del docente y tampoco se podr´a solicitar ayuda a los compa˜ neros. Una vez termine la sesi´on, el docente recoger´a las gu´ıas y revisar´a cu´ales fueron las dificultades y logros que evidenciaron los estudiantes.

Momentos para la Clase.

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Evaluaci´ on

Esta misma actividad se realizar´a despu´es de finalizar las tres actividades, situaci´on que podran detectar los logros alcanzados luego de aplicarlas.

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5.1.3.

Actividad 1. Regularidades y Patrones en los N´ umeros de Fermat.

Un estudiante de grado octavo muy sobresaliente en el a´rea de matem´aticas, decide crear un negocio utilizando lo que ha aprendido en el colegio, Por lo cual decide comprar chaquiras e hilos, para construir collares de la siguiente forma:

´ PREGUNTAS PARA ANALISIS INDIVIDUAL ¿Cada cu´antas chaquiras hay que cambiar de color? ¿La sucesi´on de n´ umeros que observa impl´ıcitos en el collar, ya han sido observados por usted en alguna oportunidad?, si la respuesta es afirmativa explique. ¿Qu´e caracter´ısticas tienen los n´ umeros que observa usted en el cambio de chaquiras del collar? Si se quisiera hacer un collar m´as ancho, ¿cu´antas chaquiras deber´ıa tener el siguiente color? Si se quisiera hacer un collar mucho m´as ancho que el anterior¿cu´antas chaquiras se necesitan? Si se sigue la secuencia con las chaquiras, tal y como vienen en el collar, ¿cu´al ser´ıa el n´ umero m´as grande de chaquiras con el que se puede construir el collar?

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¿Cu´al ser´ıa el numero m´as peque˜ no de chaquiras con el que se pueden construir el collar? Ya que el negocio ha prosperado significativamente el estudiante decide hacer otro tipo de collares de la siguiente forma:

Complete la tabla de forma que se escriban los n´ umeros que representan la cantidad de chaquiras en cada collar:

El estudiante observa las columnas de la tabla y se da cuenta que los n´ umeros de una de las columnas obedecen a una regla espec´ıfica, esta es: cada parte de chaquiras es equivalente a 2n .

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´ PREGUNTAS PARA ANALISIS INDIVIDUAL

¿Cu´al columna es la que obedece la regla C(n) = 2n ?, donde C(n) es el grupo de chaquiras y n la cantidad de chaquiras de cada color.

¿Qu´e regla siguen las otras columnas que corresponden a los collares?

Descripci´ on de la Clase La sesi´on de clase se iniciar´a con la presentaci´on del docente y la explicaci´on del proceso que ´el mismo llevar´a a cabo en lo que resta de la actividad, as´ı como las normas de la clase que deber´an ser respetadas tanto por los estudiantes como por ´el mismo. La sesi´on continuar´a con el trabajo individual de los estudiantes en la construcci´on del collar, quienes en el proceso a trav´es del conteo analizar´an la disposici´on de las chaquiras con la finalidad de que encuentren el patr´on subyacente a este que no es m´as que los n´ umeros primos. Tiempo despu´es se pretende hacer un an´alisis de tipo grupal, con el objetivo de que los estudiantes comuniquen sus descubrimientos y las discutan con sus compa˜ neros, con el fin de conseguir una validaci´on de los mismos, luego se espera que los alumnos logren formalizar los descubrimientos realizados en contextos propiamente simb´olicos correspondiente al a´lgebra.

Descripci´ on de la Actividad La actividad estar´a enmarcada por una situaci´on problema que conlleva varias preguntas, con el a´nimo de inducir un descubrimiento de patrones que tiene que ver con los n´ umeros primos. Despu´es del an´alisis individual se les solicita a los estudiantes que se reunan en grupos de tres personas y discutan las respuetas que dieron cada uno de ellos.

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Momentos para la Clase

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Material Los estudiantes contar´an con gu´ıas individuales, chaquiuras y nilon para construir los collares que se plantean en la situaci´on problema.

Niveles de Evaluaci´ on Est´ andar. Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre s´ı en situaciones concretas de cambio (variaci´on). Indicador. Determina las regularidades expuestas en la situaci´on, consigue establecer los patrones y logra generalizar usando una representaci´on simb´olica.

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5.1.4.

Actividad 2. Regularidades y Patrones en Ternas Pitag´ oricas

El Estado a trav´es del ministerio del medio ambiente ofrece un programa para devolverle las tierras a los campesinos que han sido desplazados por la violencia. Estas tierras ser´an entregadas de forma rectangular, con un a´rea proporcional a la tierra perdida. Adem´as junto con la tierra se entregan vacas y cerdos para ser cuidados en estos terrenos. Dada la configuraci´on de estos terrenos, las tierras se distribuyen de forma tal, que puedan ser atravesadas equitativamente por un r´ıo de la siguiente forma:

Figura 5.1: Terrenos tipo A

Figura 5.2: Terrenos tipo B

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El terreno tipo A est´a conformado por dos clases de formas, uno de ellos formado por rect´angulos de 5 unidades por 12 unidades y la otra formada por rect´angulos de 10 unidades por 24 unidades.

El terreno tipo B est´a conformado por tres clases de formas, uno de ellos formado por rect´angulos de 3 unidades por 4 unidades, otra formada por rect´angulos de 6 unidades por 8 unidades y la u ´ltima formada por rect´angulos de 12 unidades por 16 unidades.

´ PREGUNTAS PARA ANALISIS INDIVIDUAL

Ordene en las siguientes tablas las parejas de n´ umeros que representan las medidas de las formas de los terrenos rectangulares y conteste las siguientes preguntas:

Figura 5.3: Terrenos tipo A

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Figura 5.4: Terrenos tipo B

Si se quieren construir otras formas en el terreno A, establezca otras 5 medidas de rect´angulos, de tal forma que el r´ıo atraviese en diagonal cada rect´angulo. Dib´ ujelos.

Si se quieren construir otras formas en el terreno B, establezca otros 5 medidas de rect´angulos, de tal forma que el r´ıo atraviese en diagonal cada rect´angulo. Dib´ ujelos.

Construya diferentes tablas, que muestren los diferentes rect´angulos, en los cuales el terreno es dividido por un r´ıo en todas sus diagonales.

Se realiza un nuevo terreno C, con las siguientes medidas de los rect´angulos y la medida del r´ıo que los atraviesa como se muestra a continuaci´on:

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Figura 5.5: Terrenos tipo C, con la medida del r´ıo

Figura 5.6: a, b son las medidas de los lados del rect´angulo y c la medida del r´ıo.

Describa cu´al es la relaci´on entre los tres n´ umeros que aparecen en la tabla. Complete la tabla de valores que aparece a continuaci´on:

a, b son las medidas de los lados del rect´angulo y c la medida del r´ıo.

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Relacione los datos de la tabla con una expresi´on algebraica.

Si las medidas de los lados del rect´angulos son 8 unidades y 15 unidades, ¿cu´al debe ser la medida del r´ıo que atraviesa el terreno?

Momentos para la Clase

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Material Los estudiantes contar´an con gu´ıas individuales, para trabajo en el aula.

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Niveles de Evaluaci´ on Est´ andar. Resuelvo problemas y simplifico c´alculos usando propiedades y relaciones de los n´ umeros reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. Indicador. Determina las regularidades subyacentes a las triplas de n´ umeros que permiten determinar otras ternas pitag´oricas. Est´ andar. Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geom´etricas utilizadas en demostraci´on de teoremas b´asicos (Pit´agoras). Indicador. Describe patrones que le permiten determinar una generalizaci´on basado en ternas pitag´oricas primitivas. Est´ andar. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. Indicador. Usa representaciones simb´olicas, que le permiten relacionar las cantidades relacionadas en las ternas pitag´oricas.

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5.1.5.

Actividad 3: N´ umeros Poligonales.

De acuerdo a las siguientes im´agenes, observa y contesta las siguientes preguntas:

¿Qu´e forma tienen las figuras? Dibuja otras figuras que tengan las mismas caracter´ısticas utilizando m´as puntos. ¿Qu´e n´ umeros representan cada una de las figuras que dibujaste? Organiza en una tabla, las figuras con el n´ umero que le corresponde a cada una. Ahora observa las siguientes im´agenes y contesta los siguientes items:

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¿Qu´e forma tienen las figuras? Dibuja otras figuras que tengan las mismas caracter´ısticas utilizando m´as puntos. ¿Qu´e n´ umeros representan cada una de las figuras que dibujaste? Organiza en una tabla, las figuras con el n´ umero que le corresponde a cada una. Ahora observa las siguientes im´agenes y contesta los siguientes items:

¿Qu´e forma tienen las figuras? Dibuja otras figuras que tengan las mismas caracter´ısticas utilizando m´as puntos. ¿Qu´e n´ umeros representan cada una de las figuras que dibujaste? Organiza en una tabla, las figuras con el n´ umero que le corresponde a cada una. A los n´ umeros representados por tri´angulos, los llamaremos triangulares, a los representados por cuadrados, los llamaremos n´ umeros cuadrados y a los representados por pent´agonos los llamaremos n´ umeros pentagonales.

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De acuerdo a la gr´afica de los n´ umeros triangulares se tiene la siguiente sucesi´on: 1, 3, 6, 10 ¿Cu´ales son los siguientes cinco n´ umeros de la sucesi´on? ¿C´omo determinar´ıas el n´ umero cien de la sucesi´on el n´ umero mil de la sucesi´on? ¿Puedes determinar en un corto intervalo de tiempo, el n´ umero cien y el n´ umero mil de la sucesi´on? ¿Puedes describir una regla que determine de forma r´apida cualquier t´ermino de la sucesi´on? Encuentra una expresi´on algebr´aica que determine cualquier t´ermino de la sucesi´on De acuerdo a la gr´afica de los n´ umeros cuadrados se tiene la siguiente sucesi´on: 1, 4, 9 ¿Cu´ales son los siguientes cinco n´ umeros de la sucesi´on? ¿C´omo determinar´ıas el n´ umero cien de la sucesi´on el n´ umero mil de la sucesi´on? ¿Puedes determinar en un corto intervalo de tiempo, el n´ umero cien y el n´ umero mil de la sucesi´on? ¿Puedes describir una regla que determine de forma r´apida cualquier t´ermino de la sucesi´on? Encuentra una expresi´on algebr´aica que determine cualquier t´ermino de la sucesi´on De acuerdo a la gr´afica de los n´ umeros pentagonales se tiene la siguiente sucesi´on: 1, 5, 12 ¿Cu´ales son los siguientes cinco n´ umeros de la sucesi´on?

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¿C´omo determinar´ıas el n´ umero cien de la sucesi´on el n´ umero mil de la sucesi´on?

¿Puedes determinar en un corto intervalo de tiempo, el n´ umero cien y el n´ umero mil de la sucesi´on?

¿Puedes describir una regla que determine de forma r´apida cualquier t´ermino de la sucesi´on?

Encuentra una expresi´on algebr´aica que determine cualquier t´ermino de la sucesi´on

Momentos para la Clase

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Material Los estudiantes contar´an con gu´ıas individuales, para trabajo en el aula.

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Niveles de Evaluaci´ on Est´ andar. Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la soluci´on de problemas. Indicador. Identifica algunas figuras poligonales y sus caracter´ısticas, como el triangulo, cuadrado y pentagono. Est´ andar. Resuelvo problemas y simplifico c´alculos usando propiedades y relaciones de los n´ umeros reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. Indicador. Determina las regularidades subyacentes a algunos n´ umeros poligonales. Est´ andar. Utilizo n´ umeros reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.. Indicador. Determina n´ umeros poligonales realizando conversiones entre representaciones gr´aficas y num´ericas . Est´ andar. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. Indicador. Usa representaciones simb´olicas, que le permiten relacionar las cantidades relacionadas en las ternas pitag´oricas.

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Conclusiones El desarrollo hist´orico de las matem´aticas, ha estado determinado por la habilidad innata de los seres humanos en el descubrimiento de regularidades, la determinaci´on de patrones y la realizaci´on de generalizaciones. La visualizaci´on de representaciones num´ericas a trav´es de im´agenes, brinda un escenario muy importante en la determinaci´on de regularidades y la consecuci´on de patrones aritm´eticos. La generaci´on del tri´angulo de Pascal, a trav´es de trayectorias reticulares por medio de modelos combinatorios, ofrece un aporte importante en la generaci´on de conocimiento, situaci´on significativa ya que esto muestra claramente, como las matem´aticas cambian a trav´es del tiempo, siendo esta una ciencia din´amica, que permite obtener nuevos resultados de generalizaciones obtenidas de la consecuci´on de nuevos patrones aritm´eticos. Los patrones subyacentes en el arreglo num´erico del tri´angulo de Pascal, permiten realizar un trabajo did´actico, que potencia el desarrollo del pensamiento num´erico y variacional en estudiantes de grados octavo y noveno. Los patrones num´ericos, que refieren n´ umeros poligonales en el arreglo num´erico del tri´angulo de Pascal, es un tema de investigaci´on actual en el las matem´aticas, situaci´on importante ya que determinan una herramiento muy fuerte en la ense˜ nanza, propiciando escenarios de aprendizaje que los estudiantes pueden utilizar para desarrollar sus habilidades en la consecuci´on de patrones. El elemento visual en el estudio del teorema del binomio, en relaci´on con los estudios de Borwein y J¨orgenson, presenta un gran aporte en el desarrollo del trabajo, ya que basado en esto es posible determinar regularidades y as´ı mismo inducir en estudiantes de grado octavo y noveno la consecuci´on de patrones aritm´eticos. Dentro de las tem´aticas de la teor´ıa de n´ umeros, se encuentra en la historia hechos relevantes que llevaron a grandes matem´aticos a desarrollar

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de forma muy importante habilidades en la consecuci´on de patrones, dentro de las tem´aticas estudiadas en este trabajo se encuentran el teorema del n´ umero poligonal de Fermat, los n´ umeros de Fermat, las ternas pitag´oricas, el u ´ltimo teorema de Fermat, el calendario maya tzolkin y el teorema de los n´ umeros primos, estas permiten hacer un estudio de como pudo haber sido el trabajo cotidiano de estas personas, situaci´on que determina como puede ser la mejor forma de poner a disposici´on de los estudiantes la b´ usqueda de patrones aritm´eticos.

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Bibliograf´ıa ´ [1] A. Aczel, El Ultimo Teorema de Fermat. El secreto de un antiguo problema matem´ atico, Fondo de Cultura Econ´omica, Mexico D.F., 2003. [2] G.E. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press, United States of America, 1976. [3] C. Azc´ arate and J. Deulofeu, Funciones y Gr´ aficas, S´ıntesis, Madrid, 1999. [4] M. Bhargava, O the Conway-Schneeberger fiftheen theorem, Quadratic Forms and their Applications (Dublin, 1999), Amer. Math. Soc 272 (2000). [5] E. Bell, Historia de las matem´ aticas, McGraw Hill, M´exico D.F., 1940. [6] P. Borwein and L. J¨ orgenson, Visible Structures in Number Theory, The Mathematical Association of America 108 (2001). [7] A. Bressan and M. Gallego, El proceso de matematizaci´ on progresiva, Correo del Maestro 168 (2010), 5-21. [8] G. Brousseau, Fundamentos y m´etodos de la Did´ actica de la Matem´ atica,: Material editado por los M.C. Martha C. Villalba Gtz. y Victor M. Hernandez para fines de estudio acad´emico, Universidad de Burdeos (1986). [9] G.Brousseau, Educaci´ on y Did´ actica de las matem´ aticas, Educaci´on Matem´atica (1999). [10] N. Buorbaki, Elementos de la historia de las matem´ aticas, Alianza, Madrid, 1972. [11] A. Campos, Introducci´ on a la historia y la filosof´ıa de las matem´ aticas. L´ ogica y Geometr´ıas Griegas, Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a, 1997. [12] A. M.Ca˜ nadas, Teorema del Binomio y sus aplicaciones.: Notas de Clase. Preprint, Universidad Nacional de Colombia (2011). [13]

, Aplicaciones Criptogr´ aficas al Teorema de Fermat de los n´ umeros poligonales, Memor. ALTENCOA (2006).

[14] A. M. Ca˜ nadas, XVIII Coloquio Distrital de Matem´ aticas: La Conjetura de Fermat para n´ umeros poligonales (2001). [15] A. M. Ca˜ nadas and M. A. O. Angarita, On sums of three squares and compositions into squares and triangular numbers, JPanta 23 (2011), no. 1, 25-59.

136

[16] A . M. Ca˜ nadas, Descripci´ on Categ´ oricas de Algunos Algoritmos de Diferenciaci´ on: Tesis Doctoral, Universidad Nacional de Colombia (2008). [17] M. Ca˜ nadas and E. Castro, Razonamiento inductivo de 12 alumnos de secundaria en la resoluci´ on de un problema matem´ atico, Actas del VIII Simposio de la SEIEM (2004). [18] E. Castro, Exploraci´ on de Patrones Num´ericos mediante configuraciones puntuales, Comares, Espa˜ na, 1995. [19] J. Cilleruelo, La demostraci´ on elemental del teorema del n´ umero primo, Revista de Did´ actica de las Matem´ aticas 58 (2000), 43-44. [20] J.Cilleruelo, Las matem´ aticas del siglo XX: una mirada en 101 art´ıculos, Unirioja, Madrid, 2000. [21] B. Costa and A. Portan, Las Regularidades: Fuente de Aprendizajes Matem´ aticos, Consejo Provincial de Educaci´ on, Buenos Aires, 1996. [22] G. Doczi, El poder de los l´ımites. Proporciones arm´ onicas en la naturaleza, el arte y la arquitectura, Troquel, Buenos Aires, 1996. [23] W. Dunham, Journey Trough Genius. The Great Theorems Of Mathematics, Wiley Science Editions, United States Of America, 1990. [24] R. Duval, Semiosis y Pensamiento Humano, Peter lang S.A, Cali, 1999. [25] C. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae. Traducci´ on, Springer, New york, 1997. [26] M. Gomez, La Aritm´etica modular y algunas de sus aplicaciones, Universidad Nacional de Colombia, Bogot´ a, 2011. [27] R. Guy, Unsolved Problems: Every Number is Expressible as the Sun of How Many Polygonal Numbers?, A.M.M (1994). [28] P. Hoffman, El hombre que solo amaba los n´ umeros, Granica, Barcelona, 2000. [29] E. Hviding, Naturaleza y Sociedad. Perspectivas antropol´ ogicas., Siglo XXI, M´exico, 2001. [30] J. Jim´enez, De Partitione Numerorum, La Gaceta de la RSME 5.2 (2002), 443-454. [31] B. Kane, Representing sets with sums of triangular numbers., Int. Math. Res. Not 17 (2009), 3264-3285. [32] M. Krisek, F. Luca, and L. Somer, Desde los n´ umeros de Fermat hasta la geometr´ıa, La Gaceta de la RSME 10 (2007), 471-483. [33] M. Krisek and L.Somer, 17 necessary and sufficient conditions for the primality of Fermat numbers, Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis 11 (2003), 73-79. ˆ ◦ Encuentro Colombiano de Ma[34] O. Le´ on and D. Calder´ on, Curso dictado en 9A tem´ atica Educativa Revista de Did´ actica de las Matem´ aticas: Semiosis y lenguaje en la Did´ actica de las Matem´ aticas, ASOCOLME (2008).

137

[35] F. Luca, Fermat numbers and Heron triangles with prime power sides, American Mathematical Monthly 110 (2003), 46-49. [36] L. M´ asmela, Una Introducci´ on a la Teor´ıa de N´ umeros. Algunas aplicaciones con DERIVE, http://matcris5.files.wordpress.com/2012/03/libroteoriadenumeros.pdf 10 (2010). [37] V. Mejia and A. Cueto, El Legado Matem´ atico de Leonhard Euler a Trescientos A˜ nos de su Nacimiento. Euler y la teor´ıa de n´ umeros, Lagares, M´exico, 2007. [38] Ministerio de Educaci´ on Nacional, Lineamientos Curriculares. Matem´ aticas, Serie Lineamientos Curriculares, Bogot´a, 1999. [39] M. Nathanson, Additive Number Theory, Springer, New York, 1996. [40] J. Ne¨set¨rill, Las matem´ aticas del siglo XX: Paul Erd¨ os: El arte de conjeturar y demostrar, Revista n´ umeros 43-44 (2000), 449-454. [41] A. Perez, Gauss y el pol´ıgono regular de 17 lados, Revista Suma 58 (2008), 101-105. [42] S. Plaza, Aritm´etica Elemental: Una introducci´ on m´ as (Otra m´ as), Universidad Santiago de Chile, Santiago de Chile, 2009. [43] G. Polya, Como plantear y resolver problemas, Trillas, M´exico D.F., 1965. [44] En. Prothsearch., Recuperado el 10 de Octubre de 2011.: Prime factors k2n + 1 of Fermat numbers Fm and complete factoring status. de http://www.prothsearch.net/fermat.html [45] D. Rabosa, Formas modulares y la curva y 2 = x3 − 35x − 98, Universidad Aut´onoma de Madrid, Madrid, 2009. [46] S. Singh, El Enigma de Fermat, Planeta, Barcelona, 1997. [47] L. Steen, La Ense˜ nanza Agradable de las Matem´ aticas, Limusa, M´exico, 1999. [48] Z. W. Sun and B. Kane, On almost universal mixed sums of squares and triangular numbers, Trans. Amer. Math. Soc 362 (2010), 6425-6455. [49] En. Wikipedia la enciclopedia libre., Recuperado el 8 de Octubre de 2011 a las 01:06. de http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fermat

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´Indice alfab´ etico X ⊂ Y , 38 maxA, 38 Q s, 39 s∈S P s, 39 s∈S H

Poset antiisomorfo, 37 Poset dual, 37 Poset finito, 37 Pre-orden, 36 Punto maximal, 38 Puntos comparables, 36

Ancho de un poset, 39 Anticadena, 39 Arista, 40

Relaci´on estricta, 36 Ret´ıculo, 39 Ret´ıculo completo de conjuntos, 40 Ret´ıculo de conjuntos, 39 Ret´ıculo completo, 39

a , 39 aO , 39 aN , 39

Cadena, 39 Cono inferior, 38, 39 Cono superior, 38, 39 Cono truncado, 39 Cota inferior, 38 Cota superior, 38

Supremo, 38 V´ertice inicial, 40 V´ertice terminal, 40 x+y, 39 xy, 39

Dual, 37 Flecha, 40 Grafo, 40 Grafos isomorfos, 40 Infimo, 38 M´aximo, 38 M´ınimo, 38 Poset, 36

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