Facultad de Ciencias Grado de Óptica y Optometría

Curso 2010-2011 Física

SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO

1. Un condensador se carga aplicando una diferencia de potencial entre sus placas de 500 V. Las placas son circulares de diámetro 40 cm y están separadas 1,0 cm. Calcula a) la carga y b) la energía almacenada. Cuando el condensador cargado se sitúa con las placas horizontales se observa que una partícula de polvo con un exceso de 15 electrones se mantiene en equilibrio entre las placas. c) Calcula la masa de la partícula de polvo. d) Razona cuál será el sentido en que se moverá dicha partícula si se aumenta la diferencia de potencial entre las placas del condensador, ¿y si se disminuye la diferencia de potencial?

a) Al igual que en los problemas precedentes: 2

−12 2 S ε ∆V π D 2ε 0 ∆V π ( 0, 4 ) 8,85·10 ·5·10 σ ∆V E= =  →Q = 0 = = = 56·10 −9 C d d 4d 4·0, 01 ε0

1 1 b) E p = QV = 5610 · −9·510 · 2 = 14 µ J 2 2 c) Para que se mantenga en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre la partícula debe anularse. Dichas fuerzas son: el peso (vertical y hacia abajo) y la fuerza eléctrica (vertical y hacia arriba).

q E = mg  →q

q ∆V 151 ∆V · , 610 · −19 ·510 · 2 = mg  →m = = = 1210 · −15 kg d g·d 9 ,8·0, 01

+

FE E

-

mg

d) Como la partícula tiene carga negativa, el vector intensidad de campo entre las placas del condensador debe ir dirigido en sentido contrario a la fuerza eléctrica (luego vertical y hacia abajo). Ello implica que la placa positiva del condensador se encuentra en la parte superior y la negativa en la parte inferior. Al aumentar la diferencia de potencial, aumenta la intensidad de campo eléctrico y por lo tanto la fuerza eléctrica, lo cual provocará que la partícula de polvo asciende. Evidentemente, ocurre lo contrario si se disminuye la diferencia de potencial entre las placas.

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2. Se tiene un condensador formado por dos láminas planoparalelas de superficie 2,0·103 cm2, separadas una distancia de 1,0 cm en el vacío. a) ¿Cuál es el valor de la capacidad de este condensador? b) Si se le aplica una diferencia de potencial de 3,0 kV, ¿qué carga adquieren las placas?, ¿qué energía se gasta en cargarlo?, ¿cuál es la densidad de energía eléctrica en el espacio existente entre las placas? c) El condensador se desconecta de la fuente de energía y, con cuidado de que no se descargue, se introduce entre las placas un material plástico aislante, observándose que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor de 1,0 kV, ¿cuál es la permitividad del plástico? d) Calcula la capacidad equivalente de la asociación de condensadores de la figura si la capacidad de cada uno es la obtenida en el apartado (a).

a) La capacidad es el cociente entre la carga y la diferencia de potencial entre las placas: C=

Q ∆V

Como se ha visto en problemas anteriores, para un condensador de láminas plano paralelas se tiene: Sε Sε σ ∆V Q 2·103 ·10−4 ·8,85·10−12 =  → = 0  →C = 0 = = 0,18 nF ε0 d d d 0, 01 ∆V Como observamos, la capacidad sólo depende de las características geométricas del condensador y del medio que se encuentre entre las placas. b) Aplicando el concepto de capacidad: Q = C ∆V = 0 ,1810 · −9 ·310 · 3 = 0 ,54 µ C . La energía que cuesta cargarlo es la misma energía potencial eléctric que almacena el condensador: 2 1 1 EP = C·∆V 2 = 0 ,1810 · −9 ·( 310 · 3 ) = 0 ,80 mJ . Para determinar la densidad de energía, hay 2 2

obtener el volumen que encierran las placas:

ρE =

Ep V

=

Ep S·d

=

0 ,8010 · −3 J = 0 , 40 2 0 , 2·0 , 01 m

c) La capacidad del condensador cambia, aunque no su carga, por lo tanto: Q=

ε S C C' ∆V ' C2 εS =  → 0 =  →ε = ε0 = 3ε 0 = 2710 · −12 ∆V ∆V ' d ∆V d ∆V ' ∆V N·m 2

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d) Sumemos los grupos de condensadores que hay en serie (3) que proporcionan el equivalente C1, y aquellos que están en paralelo (otros 3) que proporcionan su equivalente C2. 1 1 1 1 C = + +  → C1 = 3 C1 C C C C2 = C + C + C = 3C La capacidad equivalente del sistema será:

1 Cequiv

1 1 3 1 10 3C = + = + =  → Cequiv = = 54 pF C1 C2 C 3C 3C 10

C1

C2

3. Un condensador de capacidad 2,2 µF se carga a una diferencia de potencial de 100 V. Una vez cargado se desconecta del generador y se unen sus armaduras a las de otro, descargado y de capacidad 1,1 µF, quedando ambos en paralelo. Calcula a) la carga del sistema, b) la diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador, c) la carga de cada uno y d) la energía inicial y la energía final del sistema.

a) La carga del sistema es la carga que adquiere el primer condensador antes

C1

de unirse al segundo: Q = C·∆V0 = 2 , 210 · −6 ·100 = 0 , 2210 · −3 C b) Después de la conexión, esta carga se reparte entre los dos condensadores, y ambos están sometidos a una nueva diferencia

C1

de potencial:

∆V =

Q Q 0 , 2210 · −3 = = = 67V Ceq C1 + C2 2 , 210 · −6 + 1,110 · −6

C2

c) La carga de cada condensador: Q1 = C1∆V = 2 , 210 · −6 ·67 = 0 ,15·10−3 C Q2 = C2 ∆V = 1,110 · −6 ·67 = 0 , 0710 · −3 C d) La energía inicial del sistema: W=

1 Q2 1 1 = Q∆V0 = 0 , 2210 · −3 ·100 = 1110 · −3 J = 11 mJ 2 C1 2 2

La energía final del sistema

∆V

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W=

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1 Q2 1 1 = Q∆V = 0 , 2210 · −3 ·67 = 7 ,310 · −3 J = 7 ,3 mJ 2 Ceq 2 2

4. Un condensador de capacidad C1= 1,0 µF se carga conectando sus armaduras a un generador que establece entre ellas una diferencia de potencial de 0,20 kV. Una vez cargado, se desconecta del generador y se une a otros tres de capacidades C2= 2,0 µF, C3= 3,0 µF y C4= 4,0 µF como se indica en la figura. Calcula la diferencia de potencial y la carga de cada condensador.

a) La carga eléctrica que consigue el primer condensador al cargarse viene dada por: Q = C1·∆V = 1, 010 · −6 ·200 = 2 , 010 · −4 C = 200 µ C C1

El siguiente paso es obtener el condensador equivalente de toda la asociación:

C2 C3

Condensadores 3 y 4 en serie: C3 ,4

C ·C 12 = 3 4 = µF C3 + C4 7

Condensadores 1, 2 y la asociación 3-4 en paralelo: C = C1 + C2 + C3 ,4 = 1 + 2 +

C4

12 33 = µF . 7 7

Como la carga del sistema es Q, la diferencia de potencial a la que se encuentra el sistema es: ∆V ' =

Q 210 · −4 = = 42 , 4 V C 33 10−6 7

Esta será la diferencia de potencial a la que se encuentran el primero, el segundo de los condensadores y la asociación 3-4, ∆V1 = ∆V2 = ∆V3 ,4 = 42 , 4 V . Por lo tanto, la nueva carga del condensador 1 y la carga eléctrica del condensador 2 serán:

Q1 = C1·∆V1 = 1, 010 · −6 ·42 = 42 µ C Q2 = C2 ·∆V2 = 2, 010 · −6 ·42 = 84 µ C La carga eléctrica del sistema 3-4 se calcula de la misma forma: Q3 ,4 = C3 ,4 ·∆V3 ,4 =

12 −6 10 ·42 = 72 µ C 7

Esta última también podría calcularse por diferencia entre la que había originalmente (la del sistema) y la que poseen los condensadores 1 y 2, ya que están asociados en paralelo con 3-4.

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Esta carga Q3,4 es la que adquirirán tanto el condensador 3 como el condensador 4 (por estar conectados en serie), Q3 = Q4 = 72 µ C . Con ello puede calcularse la diferencia de potencial a la que se encuentran estos últimos condensadores: ∆V3 =

Q3 72 = = 24 V C3 3

; ∆V4 =

Q4 72 = = 18V C4 4

C2

5. Tres condensadores de capacidades C1=1,0 µF, C2=1,0 µF y C3=2,0 µF se conectan como se indica en la figura y entre sus terminales A y B se aplica una diferencia de

C1 A

C3

B

potencial constante de 120 V. Calcula a) la carga total almacenada y b) la carga y la diferencia de potencial en cada condensador.

a) Calculamos la capacidad equivalente del sistema. Para ello, primero obtenemos: C23 = C2 + C3 = 3, 0 µ F Este se encontrará conectado en serie con el primer condensador, luego:

1 Cequiv

=

C ·C 1 1 3 +  → Cequiv = 1 23 = µ F C1 C23 C1 + C23 4

La carga total entre A y B será: 3 Q = Cequiv ·∆V = ·10 −6 ·120 = 90 µ C 4 b) Esta carga total será la que posee el condensador número uno y el equivalente formado por dos y tres (están en serie). Por lo tanto: Q1 = 90 µ C ; Q23 = 90 µ C . Al estar dos y tres conectados en paralelo, la suma de sus cargas será Q2 + Q3 = Q23 = 90 µ C . Además, los terminales de dichos condensadores se encuentran a la misma diferencia de potencial: Q2 Q3 =  → Q3 = 2Q2 . Resolviendo el sistema que aparece, se obtiene: C2 C3 Q2 = 30 µ C ; Q3 = 60 µ C . La diferencia de potencial entre los terminales del primer condensador será: Q1 9010 · −6 ∆V1 = = = 90 V C1 10−6

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La diferencia de potencial entre los terminales del segundo y tercer condensador será: ∆V2 =

Q2 Q3 3010 · −6 = = = 30 V C2 C3 10−6

6. Un cable conductor de aluminio tiene 0,79 mm2 de sección y 1,0 m de longitud. Calcula a) la densidad de átomos de aluminio en el material conductor y b) la densidad de carga libre suponiendo que cada átomo proporciona al conductor tres electrones libres. Si entre los terminales del cable se aplica una diferencia de potencial de 18 mV calcula c) la corriente que circula por el conductor y d) la velocidad media con la que se desplazan los electrones de conducción. Datos para el aluminio: masa atómica 27 u, densidad 2,70 g/cm3, resistividad 2,82·10-8 Ω·m.

a) Podemos relacionar la densidad de masa con la densidad de átomos de la siguiente forma:

ρm =

ρ m N·M atm 2700 atomos = = M atm ρ atm  → ρ atm = m = = 6010 · 27 −27 V V M atm 271 · , 6710 · m3

b) La densidad de carga libre vendrá dada por:

ρ q = 3· e − ·ρ atm = 31 · , 610 · −19 ·6010 · 27 = 2910 · 9

C m3

c) La intensidad de corriente eléctrica podemos obtenerla a partir de la ley de Ohm,

L S·∆V 0, 7910 · −6 ·1810 · −3 ∆V = I·R = I ρ  →I = = = 0 ,50 A ρ ·L S 2,8210 · −8 ·1 d) A partir de la definición de intensidad de corriente: I=

Q ρ q ·V ρ q ·S·L I 0 ,50 m = = = ρ q ·S·vm  → vm = = = 0 , 02210 · −3 9 −6 t t t · ·0 , 7910 · s ρ q ·S 2910

7. En el tubo de imágenes de un televisor se aceleran electrones desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 20 kV. a) ¿Cuál es la velocidad final de los electrones? b) Si la densidad de electrones es de 5,0·106 electrones/m3 y el diámetro del haz es de 1,0 mm, calcula la intensidad de la corriente.

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a) Según el teorema Trabajo-Energía (tª de las fuerzas vivas), el trabajo sobre los electrones se invierte en variar su energía cinética, es decir:

2 e − ∆V 1 2 21 · , 610 · −19 ·2010 · 3 m e ∆V = mv  →v = = = 8, 410 · 7 −31 m · s 2 9,110 −

b) Según el problema anterior: 2

D I = ρ q ·S·vm = ρ e− · e π   vm = 0 , 25·510 · 6 ·1, 610 · −19 ·10−6 ·8, 410 · 7 = 5310 · −12 A 2 −

8. Tres resistencias están asociadas en paralelo como se indica en la

47 Ω

figura. Calcula a) la resistencia equivalente entre los puntos A y B, b) la corriente en cada resistencia si la diferencia de potencial entre A y

A

B es de 12 V y c) la potencia disipada por el conjunto.

33 Ω

B

68 Ω

a) Al estar en paralelo, la resistencia equivalente viene dada por:

1 Requiv

=

1 1 1 1 1 1 1 + + = + +  → Requiv = = 15 Ω 1 1 1 R1 R2 R3 47 33 68 + + 47 33 68

b) Aplicando la ley de Ohm a cada resistencia: I1 =

∆V 12 ∆V 12 ∆V 12 = = 0 , 26 A; I 2 = = = 0 ,36 A; I 3 = = = 0 ,18 A R1 47 R2 33 R3 68

c) La intensidad total es la suma de las intensidades que pasan por cada resistencia: I = I1 + I 2 + I 3 = 0 ,80 A por lo tanto, la potencia disipada es: P = I 2 ·Requiv = 0,82 ·15 = 9,6W

9. Por un conductor de cobre de diámetro 2,6 mm circula una corriente de 20 A. Admitiendo que cada átomo contribuye a la corriente aportando un electrón libre, calcula a) la densidad de electrones libres y b) la velocidad con que se desplazan los electrones. Datos para el cobre: masa atómica 63,5 u (1 u = 1,67·10–27 kg), densidad 8,92 g/cm3.

a) La densidad de electrones está relacionada con la densidad atómica ya que cada átomo aporta un electrón:

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ρ e = ρ atómica =

N , donde N es el número de átomos. V

Si expresamos N en función de la masa del conductor y la masa atómica del cobre:

ρe = ρ atómica = ρe =

ρm matómica

=

ρm N m = = V matómica ·V matómica

8,9210 · 3 · 28 electrones/m3 = 8, 410 −27 63,51 · , 6710 ·

b) Para calcular la velocidad de los electrones partimos de la definición de corriente eléctrica: I=

ρ q ·V ρ q ·S·ℓ q  →I = = = ρ q ·S·v t t t

La densidad de carga se puede expresar en función de la densidad de electrones: ρ q = ρ e ·q e y la velocidad de los electrones: v=

I I 20 = = = 0 , 28 mm/s 28 −19 −3 2 ρ q ·S ρ e ·qe ·S 8, 410 · ·1, 610 · ·π ·(1,310 · )