Facultad de Ciencias Grado de Óptica y Optometría

Curso 2010-2011 Física

SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO

1. En los puntos (0; 3) y (-3; 0) de un sistema de coordenadas donde las distancias se miden en cm, se sitúan dos cargas puntuales de valores 2,0 y -2,0 nC respectivamente. a) Calcula el campo eléctrico (valor, dirección y sentido) en el origen de coordenadas. b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en el que hay que colocar una carga de -5,0 nC para que se anule el campo eléctrico en el origen? c) Repite el apartado anterior considerando que la carga es de +5,0 nC.

a) Se dibujan los vectores intensidad de campo y se Y

calculan los módulos de dichos vectores: Q1 · 9 N 9 210 E1 A = k 2 = 910 · = 210 · 4 2 r1O C ( 0,03) E2 A = k

Q2 2 2O

r

= 910 · 9

210 · −6

( 0,03)

2

= 210 · 4

Q1

(0; 3)

N C

(-3; 0)

Se obtienen los vectores intensidad de campo y se

E2O

O

Q2

X E1O

realiza la suma:

EO






N EO = E1O + E2 O = −2·10 4 j − 2·104 i = ( −2·104 ; −2·10 4 ) C Este vector tiene de módulo: EO = 8·10 4

 EOy un ángulo α = arctg   EOx

N y está dirigido en el tercer cuadrante, formando C

  = 225º con el eje X positivo. 

b) La tercera carga debe situarse de tal forma

Y

que el campo eléctrico creado por ella sea tal (0; 3)

que anule la intensidad de campo en O, es
decir, debe tener el mismo módulo que EO y de

Q1

Q3

E30

sentido contrario. Luego estará situada en el primer cuadrante y, formando un ángulo de 45º con el eje X positivo. La distancia desde esta tercera carga al punto O vendrá dada por:

(-3; 0)

O

Q2

45º X

EO

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8·104 = 9·109

5·10−9  → r3O = 4, 0 cm r32O

Las coordenadas cartesianas de la posición de esta carga serán:

( r3O cos 45º ; r3O sen45º ) = ( 2,8; 2,8) cm c) En el caso de una carga de -5,0 nC, debe situarse en el tercer cuadrante, a 225º y una distancia de 4,0 cm del punto O. De esta forma, el campo eléctrico creado por esta carga cancelará el campo generado por las cargas Q1 y Q2 en el punto O.

2. En los puntos (4,–2) y (1,2) de un sistema de coordenadas donde las dimensiones se expresan en metros, se colocan dos cargas de – 5 µC y +12 µC, respectivamente. Calcula a) el campo eléctrico en el punto (–1,0) (m) y b) la fuerza sobre un electrón situado en este mismo punto.

a) El campo eléctrico en (-1,0) se obtiene

y

considerando los campos eléctricos creados

2

por las cargas:

1

E = ke

Q1 r1

2

u r + ke

Q2 r2

2

-1

ur

u2 r2

-1 -2

2

r1

x

4

u1

Las distancias r1 y r2 y los vectores

u1 y u2: 2

+ ( 0 − ( −2 )) = 25 + 4 = 29

2

+ ( 0 − 2) = 4 + 4 = 8

r1 =

(( −1 ) − 4 )

r2 =

(( −1 ) − 1)

2

2

2   −5 u1 =  ,   29 29   −2 −2  u2 =  ,   8 8

El campo eléctrico entonces, E = 910 · 9

( −5 )·10−6  −5 2  · −6  −2 −2  9 1210 , + 910 · , =   2 2  29  29 29  8  8 8

(

)

( )

  ( −5 )·( −5 )   12·( −2 )    ( −5 )·2   12·( −2 )    = 910 · 9 ·10−6  · 9 ·10−6  +  3 / 2   =  +  3 / 2   , 910 3/ 2 3/ 2    8    8    29  29  = ( −8,110 · 3 ,−10 ,110 · 3 ) N/C

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El módulo del campo eléctrico:

E = (−8,1·10 3 ) 2 + (−10,1·10 3 ) 2 = 12,9·10 3 ≈ 13·10 3 N/C y forma un ángulo α con el eje x:

α = arctan

− 10,1 = 231,3º ≈ 230º − 8,1

b) La fuerza sobre un electrón en ese punto: F = E ·q = 13·10 3 ·1,6·10 −19 = 2,08·10 −15 N ≈ 2,1·10 −15 N Como la carga del electrón es negativa, la fuerza tiene sentido contrario al campo, es decir, forma un ángulo de 51º con el eje x.

3. Un plano conductor de grandes dimensiones está cargado positivamente produciendo un campo eléctrico de 100 N/C. Calcula a) el flujo del vector campo eléctrico a través de cada una de las caras de un cubo de arista 25 cm que corta el plano como se indica en la figura, b) la carga encerrada en dicho cubo y c) la densidad superficial de carga del plano.

â) Como el vector intensidad de campo creado por un plano de grandes dimensiones es perpendicular al plano, sólo existe flujo a través de las caras del cubo que son

E

paralelas al plano cargado. Al ser dichas caras planas y el vector superficie perpendicular a ellas, el flujo en cada

1

2

una de dichas caras será: Φ = E·S = 2 Ea 2 = 100·0 , 252 = 6 ,3V ·m b) A partir de la intensidad de campo eléctrico creado por una lámina uniformemente cargada, podemos obtener:

E=

σ Q Q = = 2  → Q = 2a 2ε 0 E = 2·0 , 252 ·8,8510 · −12 ·100 = 1,110 · −10 C 2ε 0 2 S ε 0 2a ε 0

También lo podemos determinar a partir del teorema de Gauss: “el flujo total a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta contenida en el volumen encerrado por dicha superficie dividida por la permitividad dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas”: ΦT = 2Φ = 2 E·S =

Q

ε0

2

S =a  → Q = 2 a 2ε 0 E

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c) La densidad superficial de carga es: σ =

Q Q 1,110 · −10 C = 2 = = 1810 · −10 2 2 S a 0 , 25 m

4. a) En una región de la atmósfera terrestre se ha medido el campo eléctrico resultando ser de 150 N/C a una altura de 250 m y de 170 N/C a 400 m, en ambos casos dirigido hacia abajo. a) Calcula el flujo del vector campo eléctrico a través de un cubo de lado 150 m cuyas caras inferior y superior se encuentran a alturas 250 y 400 m, respectivamente. b) Aplica la ley de Gauss para calcular la carga en el interior del cubo. c) Calcula la densidad de carga de la atmósfera en esa región. Para hacer los cálculos supón que el campo es uniforme entre 250 y 400 m y desprecia la curvatura de la Tierra.

a) Para obtener el flujo del vector campo eléctrico a través del cubo, hay que considerar el flujo a través de cada una de las caras. El flujo a través de las caras laterales es nulo, ya que el vector superficie es perpendicular al campo S2

eléctrico. Por lo tanto, sólo hay que considerar el flujo a través de las caras superior e inferior:

E2

h = 400 m

E1

h = 250 m

2

Φ1 = E1 ·S1 = 150·(150 ) cos 0º = 3, 410 · 6 V·m 2

Φ 2 = E 2 ·S 2 = 170·(150 ) cos 180º = −3,9 ·106 V·m El flujo total es:

S1 6

5

Φ = Φ1 + Φ 2 = ( 3, 4 − 3,9 )·10 = −4,510 · V·m b) La carga en el interior del cubo se puede calcular a través de la ley de Gauss: Φ = E·S = E·S·cos θ = Φ = −4 ,510 · 5=

Q

ε0

Q

ε0

Q = ε 0 ·Q = 8,8510 · −12 ·( −4 ,510 · 5 ) = −3,9810 · −6 C = −4,0 µ C c) La densidad de carga de la atmósfera en esa región:

ρq =

Q Q −4 , 010 · −6 = = = −1,1810 · −12 C/m3 V S·∆h 1502 ·150

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5. Dos cargas eléctricas q1=2,0 µC y q2=-5,0 µC se encuentran en las posiciones señaladas en la

2,0 m

2,0 m

q1

q2

A

figura. Calcula a) el campo eléctrico (módulo,

3,0 m

dirección y sentido) en el punto B, b) potencial eléctrico en los puntos A y B y c) el trabajo para trasladar una carga de -2,0 µC desde A hasta B.

B

d) ¿Qué diferencia hay si la carga que se traslada es de +2,0 µC?

a) Se actúa de la misma forma que en ejercicios anteriores. E1B = k

q1 r12B

= 9·109

2·10−6 N 4 3 = 0, 72·103 ;cos α = ,sen α = 2 5 C 5 5

luego,

q1


E1B = ( E1B cos α , − E1B sen α ) = = ( 0, 58·103 ; −0, 43·103 )

N C

q2 α r2B r1B

E2B

EB

De la misma forma: E2 B = k

q2 r22B

= 9·109

5·10−6 N = 5, 0·103 2 3 C

B

X E1B


N luego, E2 B = ( 0, E2 B ) = ( 0;5, 0·103 ) C

La intensidad de campo en el punto B será:


N EB = E1B + E2 B = ( 0,58·103 ; −0, 43·103 ) + ( 0;5, 0·103 ) = ( 0,58·103 ; 4, 57·103 ) C El módulo del vector intensidad de campo eléctrico es: EB = 103 · 0 ,582 + 4 ,57 2 = 4 , 610 · 3

N C

El vector se encuentra en el primer cuadrante y forma formando un ángulo

 EBy  EBx

θ = arctg 

  = 83º con el eje X positivo. 

b) El potencial en los puntos A y B se obtiene de la forma siguiente:

VA = V1 A + V2 A = k

q1 q 210 · −6 −510 · −6 + k 2 = 910 · 9 + 910 · 9 = −13,5·kV r1 A r2 A 2 2

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VB = V1B + V2 B = k

q1 q 210 · −6 −510 · −6 + k 2 = 910 · 9 + 910 · 9 = −11, 4·kV r1B r2 B 5 3

c) El trabajo para trasladar una la carga de -2,0 µC desde A hasta B viene dado por:

WAB = q (VA − VB ) = −2,010 · −6 ( −13500 + 11400 ) = 4, 2 mJ d) Si la carga que se traslada es positiva, el trabajo sale del mismo valor pero negativo. Ello indica que hay que realizar un trabajo en contra del campo eléctrico para trasladar la carga desde A hasta B.

6. Dos cargas puntuales Q1=6,3 nC y Q2=-2,23 nC están situadas en

P

los vértices inferiores de un cuadrado de lado ℓ=5,3 cm como se indica en la figura. a) Calcula el valor y orientación del campo

ℓ

eléctrico en el vértice superior derecho del cuadrado (punto P de la figura). b) Calcula el potencial en mismo punto. Calcula c) el

Q2

Q1

trabajo para trasladar un electrón desde el infinito hasta el punto P y d) la fuerza sobre el electrón cuando se encuentra en el punto P.

a) Las distancias entre las cargas y el punto P son: r1P = 0 , 0532 + 0 , 0532 = 0 , 075 m ; r2 P = 0 , 053 m Se actúa de la misma forma que en ejercicios anteriores.

E1P

Y

E1P

E1P,y = E1P sen α

P

α E1P,y = E1P cos α

E2P

r1P

r2P

E2P,x = 0 E2P,y = -E2P

α

Q1

Q2

E1P = k

Q1 r12P

= 9·109

X

E2P

6,3·10−9 N 0, 053 = 104 ; cos α = = s en α 2 0, 075 C 0, 075

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N luego, E1P = ( E1P cos α , E1P sen α ) = ( 0, 71·104 ; 0, 71·104 ) C E2 P = k

Q2 r22P

= 9·109

2, 23·10−9 N = 0, 71·104 2 0, 053 C


N luego, E2 P = ( 0, − E2 P ) = ( 0; −0, 71·104 ) C




N Por lo tanto, EB = E1B + E2 B = ( 0, 71·10 4 ;0, 71·104 ) + ( 0; −0, 71·10 4 ) = ( 0, 71·104 ; 0 ) C b) VP = V1P + V2 P = k

Q1 Q 6 ,310 · −9 −2 , 2310 · −9 + k 2 = 910 · 9 + 910 · 9 = 0 ,38 kV r1P r2 P 0 , 075 0 , 053

c) El trabajo para trasladar un electrón desde ∞ hasta P viene dado por:

W∞P = q (V∞ − VP ) = −e−VP = 1, 610 · −19 ·0,3810 · 3 = 0,6110 · −16 J d) La fuerza debido al campo eléctrico es el producto del vector intensidad de campo por la carga a la que afecta dicha interacción:



F = qE = −1, 610 · −19 ·0 , 7110 · 4 i = −1,1410 · −15 i N

7. Tres cargas puntuales q1, q2 y q3 están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 2,5 m. Calcula la energía potencial de esta distribución de cargas a partir del trabajo necesario para traer las cargas desde el “infinito” hasta sus posiciones finales si q1 = q2 = q3 = 4,2 µC. Para ello, a) supón una carga positiva de 4,2 µC en un punto cualquiera y calcula el trabajo necesario para situar una segunda carga igual a la primera a una distancia de 2,5 m. Después, b) calcula el trabajo para situar una tercera carga igual a las anteriores a una distancia de 2,5 m de las otras dos de manera que las tres queden situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 2,5 m. Finalmente, c) calcula la energía potencial de la distribución.

a) Se sitúa la primera de las cargas en uno de los vértices (A), lo cual no conlleva trabajo ya que no existe aún ningún campo eléctrico. En segundo lugar se trae la segunda carga desde el infinito hasta otro de los vértices (B). El trabajo para trasladar esta carga, q2, teniendo en cuenta que ya se tiene una carga eléctrica, q1, que crea un campo eléctrico a su alrededor, viene dado por:

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Curso 2010-2011 Física −6 2

· ( 4, 210 q ·q W = q2 (V∞ − VB ) = − q2VB = − k 1 2 = −910 · 9 r1B 2 ,5

)

B ∞

= −0 , 064 J

b) Por último, se trae otra carga, q3, desde el infinito hasta el tercer vértice (C), teniendo en cuenta que ahora tenemos un campo eléctrico creado por las dos primeras cargas: −6 2

· ( 4,210  q q  W∞C = q3 (V∞ − VC ) = − q3VC = − q3  k 1 + k 2  = −2·910 · 9 r2C  2 ,5  r1C

)

= −0 ,13 J

c) Teniendo en cuenta que las tres cargas tienen el mismo valor, q, y se encuentran separadas entre sí la misma distancia, r, el trabajo total será: −6 2

· ( 4,210 q2 W = W∞B + W∞C = −3k = −3·910 · 9 r 2 ,5

)

= −0 ,19 J

→ EP = 0 ,19 J Además, W = −∆EP = EP∞ − EP = − EP 

+

2

con una densidad de carga +0,40 µC/m se coloca una carga puntual de +30 nC. a) Calcula el valor, dirección y sentido del campo eléctrico en el punto P1 de la figura. b) ¿En qué

+

10 cm

8. En las proximidades de un plano de grandes dimensiones

• P2 P1

•

+

+

10 cm

punto de la línea perpendicular al plano que une éste con la carga es nulo el campo eléctrico? c) Calcula el valor,

+

dirección y sentido del campo eléctrico en el punto P2 de la figura. a) Se calculan los módulos de las intensidades de los campos: E1P1 = k

E2 P1 =

Q1 2 1P1

r

= 9·109

30·10−9

( 0,1)

2

= 27·103

N C

σ 0, 4·10−6 N = = 23·103 −12 2ε 0 2·8,85·10 C

σ +

+

Los dos vectores se encuentran orientados tal y +

como muestra la figura, luego:


N EP1 = 5010 · 3i C

E2,P1

+

Q

P1

E1,P1

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b) Para que el campo eléctrico sea nulo en punto de la línea perpendicular al plano que une éste con la carga, los módulos de los vectores intensidad de campo deben ser iguales ya que su sentido es contrario.

k

2ε 0Q σ Q · −12 ·3010 · −9 9 2·8 ,8510 =  → r = k = 910 · = 0 ,11 m r 2 2ε 0 0 , 410 · −6 σ

c) Los módulos de los vectores intensidad de campo son los mismos que en el apartado a), pero en este caso son perpendiculares entre sí, de tal

σ +

forma que:


N EP2 = E1P2 + E2 P2 = (27·103 ; 23·103 ) C

EP2

E1,P2

+

+

N cuyo módulo es: E p2 = 35·10 , y el ángulo con el C 3

 27  eje X positivo: α = arctg   = 50º  23 

α

P2

E2,P2

+

Q

9. Dos planos, de dimensiones muy grandes, uniformemente cargados y con densidades de carga σ1 y σ2. Se disponen tal y como se muestra en la figura. Sabiendo que σ1>0 y que el 




campo eléctrico en el punto A es E A = 100 j

( N C ) . a) ¿Cómo debe ser σ , positiva o 2

negativa? ¿Qué valores tienen σ1 y σ2? b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en el punto B?

a) Si el plano 1 está cargado positivamente, el campo eléctrico creado por este plano en el punto A tiene el sentido positivo del eje z. Para que el campo total en A esté orientado en el sentido positivo del eje y, el campo creado por el plano 2 en A tiene que tener una

E1 E A A• E2

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componente en el sentido positivo del eje y. Por lo tanto, la carga del plano 2 debe ser negativa, tal como se muestra en la figura. El vector campo E1 en el punto A:

 σ  E1 =  0, 0, 1  N/C 2ε 0   El vector campo E2 en A:

 σ  σ E2 =  0, 2 cos 45, − 2 sin 45  N/C 2ε 0  2ε 0  expresión donde los valores de σ1 y σ2 se están considerando positivos. El campo total:

 σ  σ σ E A =  0, 2 cos 45, 1 − 2 sin 45  = ( 0,100, 0 ) N/C 2ε 0 2ε 0  2ε 0  Igualando las componentes y y z a su valor numérico, podemos obtener los valores numéricos de:

2ε ·100 σ2 = 2 ,5110 cos 45 = 100 → σ 2 = 0 · −9 C/m 2 ≈ 2 ,510 · −9 C/m 2 2ε 0 cos 45

σ1 σ 2 − sin 45 = 0 → σ 1 = σ 2 sin 45 = 2 ,5110 · −9 ·sin 45 = 1, 7710 · −9 C/m 2 ≈ 1,810 · −9 C/m 2 2ε 0 2ε 0 Entonces, teniendo en cuenta el signo de las cargas, σ1=1,8·10-9 C/m2 y σ2=-2,5·10-9 C/m2. b) Los campos E1 y E2 en el punto B:

 σ   1,810 · −9  E1 =  0, 0, 1  =  0, 0, = ( 0, 0,96 ) N/C −12  2 2 · 8 , 8510 · ε    0 

σ E2 = 2 ( 0 , − cos 45,sin 45 ) = ( 0 , −100 ,100 ) N/C 2ε 0 El campo total en el punto B es:

E B = ( 0, −100,96 + 100 ) = ( 0, −100,196 ) N/C y su módulo: EB = 1002 + 1962 = 220 N/C

EB E1 E2 B