Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Industrial

Curso: Sistemas de almacenamiento e Inventarios

MANEJO DE INVENTARIOS DE ÍTEMS INDIVIDUALES Profesor: Julio César Londoño O

Sistemas con Demanda Aproximadamente Constante

Preguntas Básicas para la Administración de Inventarios • ¿Cada cuánto debo revisar el nivel de inventario? • ¿Cuándo debo hacer un pedido? • ¿Qué cantidad debo pedir?

Sistemas de Control de Inventarios •Sistemas con demanda determinística •Modelo EOQ •Demanda variante con el tiempo

•Sistemas de inventarios con demanda probabilística •Sistemas de revisión continua •Sistemas de revisión periódica

Sistemas de control de Inventarios Con Demanda Determinística

Notación básica utilizada en los sistemas de control s :

Punto de reorden, o sea el nivel de inventario efectivo para el cual debe emitirse una nueva orden

Q : Cantidad a ordenar en cada pedido

S : Número máximo del inventario hasta el cual debe llenarse

R : Número de unidades de tiempo que transcurren entre cada consulta del inventario

Definiciones básicas Inventario a mano: Es el inventario que está físicamente en la estantería

Inventario neto: Inventario a mano – ordenes pendientes por cumplir Backorders. Puede llegar a ser negativo.

Inventario efectivo o Inventario de posición: Inventario a la mano + pendientes por llegar - requisiciones pendientes con clientes- comprometidos.

Inventario de seguridad: Nivel promedio de inventario líquido justo antes llegar un pedido. Atiende la demanda durante el tiempo de aprovisionamiento.

Costo total relevante es la función a optimizar (minimizar) TRC(Q)  AD/Q Qvr/2 Costo $

Costo de cargar el inventario Qvr/2 Costo de ordenar AD/Q Costo Total TRC

Cantidad Q Figura. Costos en función de la cantidad ordenada

Nivel de inventario

Modelo EOQ

Q

Pendiente D

Q/D

Tiempo

Comportamiento del nivel de inventario con el tiempo

Supuestos básicos del modelo:

•Los parámetros no cambian con el tiempo •La demanda es determinística •Lead Time es cero •El pedido se realiza cuando el nivel del inventario es cero

El costo mínimo es el punto donde la tangente de la curva de costo total es cero

δTRC(Q) 0 δQ vr AD  2 0 2 Q Q óptimo ó EOQ 

2AD vr

TRC(Qóptimo )  2ADvr

Ejemplo: Considere un ítem con las siguientes condiciones: Demanda 2.400 unidades/año, costo unitario $40, el costo fijo por ordenar es $3.200, además suponga que el valor de llevar el inventario (r) es de 0.24$/($/año).

2 x $ 3200 x 2400 unids / año  1264 .91 unidades $ 40 / unid .x 0 .24 $ / $ / año  1265 unidades

EOQ 

El costo total relevante es: TRC(EOQ)  2x3200x2400x40x0.24  $ 12.143.14 El tiempo entre pedidos es:

Tiempo  Q

 1265/2400 D  0.527 años

O sea cada 192 días aproximadamente

Análisis de sensibilidad

Q   (1  p)EOQ

% costo penalizado 25

Porcentaje de costo penalizado PCP 

20

TRC( Q ) TRC(EOQ) x100 TRC(EOQ)

 p2   PCP  50   1  p 

Q’=(1+p)EOQ

15 10 5 -0.40

-0.20

0.0

0.20

0.40 0.60

p

Ejemplo: Suponga que para el ejemplo anterior se determinó ordenar un 20% más en unidades del ítem

 0.20 2  pcp  50 x    (1  0.20)   1.666%

Conclusión: La cantidad a ordenar se incremento en 20% y el costo solo incremento en un 1.6 %

¿Si fuera un decremento del 20%, cuánto sería el cambio en el coto total relevante?

Descuentos por cantidad v0 v v0 (1  d)

0  Q  Q1 Q1  Q

Para 0  Q  Q1 TRC(Q)  AD/Q  Qv0 r/2  Dv0

Para Q1  Q TRC(Q)  AD/Q  Qv0 (1 - d)r/2  Dv0 (1  d)

Caso A

Q óptimo = Q1

Caso B

Q óptimo < Q1

Caso C

Q1 < Q óptimo

•Paso 1. Calcule EOQ con descuento •Paso 2. Compare EOQd, con Q1, si es mayor es óptimo (caso 3), sino vaya al paso 3 •Paso 3. Evalúe TRC(Q1) y TRC(Q) sin descuento, si TRC(Q) es menor en Q1 es óptimo y es el caso B.

Ejemplo: Considere tres ítems diferentes cuyas características se muestran en la siguiente tabla: ÍTEM 1 2 3

D v0 A r (Unidades/Año) ($/Unidad) ($/orden) (%/año) 14.500 1.500 139.800

400.000 15.000 68.000

6000 6000 6000

36 36 36

El proveedor que proporciona estos ítems ofrece un descuento del 5% sobre el valor de cada ítem para tamaños de órdenes mayores o iguales que Q1 = 200 unidades para los ítems 1 y 3 y de Q1 = 1,000 unidades para el ítem 2. Determinar el tamaño óptimo de pedido para cada uno de los

Cálculos para el Ítem 1: 2(6.000)(14.500) EOQ(vo )   35 unidades (400.000)(0.36) 2(6.000)(14.500) EOQ(v1 )   36 unidades (400.000 * 0.95)(0.36) Tamaño de lote óptimo con descuento es inferior a 200 unidades

(6.000)(14.500) (35)(400.000)(0.36) CTR(Q  35)    (400.000)(14.500) 35 2  5.805.01 millones $/año (6.000)(14.500) (200)(400.000 * 0.95)(0.36)   (400.000 * 0.95)(14.500) 200 2  5.524.12 millones $/año

CTR(Q  200) 

El CTR mínimo corresponde a Q1 = 200 unidades

Cálculos para el Ítem 2: EOQ(vo ) 

2(6.000)(1.500)  58 unidades (15.000)(0.36)

EOQ(v1 ) 

2(6.000)(1.500)  60 unidades (15.000 * 0.95)(0.36)

Tamaño de lote óptimo con descuento es inferior a 1.000 unidades

(6.000)(1.500) (58)(15.000)(0.36) CTR(Q  58)    (1.500)(15.000) 58 2  22.811.772.41 $/año (6.000)(1.500) (1.000)(15.000 * 0.95)(0.36)   (15.000 * 0.95)(1.500) 1.000 2  23.949.000.00 millones $/año

CTR(Q  1.000) 

El CTR mínimo corresponde a Q = 58 unidades

Cálculos para el Ítem 3: 2(6.000)(139.800) EOQ(vo )   262 unidades (68.000)(0.36) 2(6.000)(139.800) EOQ(v1 )   269 unidades (68.000 * 0.95)(0.36) Tamaño de lote óptimo es superior a 200 unidades

CTR(269) 

(6.000)(14.500) (269)(68.000 * 0.95)(0.36)   (68.000 * 0.95)(139.800) 35 2  9.037.326.148 $/año (6.000)(139.800) (200)(68.000 * 0.95)(0.36)   (68.000 * 0.95)(139.800) 200 2  9.037.599.600.00 $/año

CTR(Q  200) 

El CTR mínimo corresponde a Q1 = 269 unidades

Nivel de inventario

Modelo con tasa finita de reposición

Q(1 -D/m) Q Pendiente m -D

Pendiente D

Tiempo

Q/D

m corresponde a una tasa finita de producción (reposición) AD Q(1  D m )vr TRC(Q)   Q 2

FREOQ 

2AD vr(1  D m)

1  EOQ * (1  D m)

Ejemplo Un fabricante de productos químicos para el aseo produce sus propios envases plásticos para un cierto ítem. Los datos para este ejemplo son los siguientes Demanda de envases D: 240 unidades/día. El costo de preparación de cada lote de envases A: $150,000 Tasa de producción m: 600 unidades/día. El valor de cada envase v: $15,000 Costo de mantenimiento del inventario r 32% anual. Cuál es el tamaño óptimo de producción, si se trabaja 360 días El tamaño óptimo se calcula como sigue: FREOQ  EOQ *  (2.323.79)*

EOQ 

2(150.000)(240 * 360) (15.000)(0.32)

1 (1  D m)

1  3.000 Unids. (1  240 600)

Conclusión • El tiempo de producción es: 3.000 unid./600 unid./día = 5 días

• Durante estos 5 días, se consumen: 5 días × 240 unid./día = 1.200 unidades

• 1.800 envases restantes pasan a inventario duran en inventario 7.5 días • Por lo tanto, el ciclo completo es de: 5 días + 7.5 días = 12.5 días

Demanda variante con el tiempo

Supuestos básicos 

La demanda Dj es la demanda que debe ser satisfecha en el período j, j = 1, 2, ..., N.



Se asume que los pedidos llegan al comienzo de los períodos donde son requeridos. (LT determinístico se puede manejar también)



No se consideran descuentos.



Los factores de costo no varían significativamente dentro del horizonte de análisis.



Se considera cada ítem independiente de los otros.



No se consideran faltantes de inventario.



Se considera que el costo de inventario se carga sobre el inventario al final de cada período.

Un ejemplo Demanda 10 62 12 130 154 129 88 52 124 160 238 41 1200

Demanda mensual 250

200 Cantidad unidades

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

150

100

50

0 1

2

3

4

5

6 7 Meses

8

9

A : $54 por pedido v : $20.oo por unidad

r: .02 $/$ por mes Determinar las cantidades a ordenar

10

11

12

Política de lote por lote Mes

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Total

Inv. Inicial

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

Pedido

10

62

12

130

154

129

88

52

124

160

238

41

1200

Demanda

10

62

12

130

154

129

88

52

124

160

238

41

1200

Inv. Fina

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

Costos totales de preparación =

12 pedidos  $54/pedido

Costos de llevar el inventario =

0 unidmes  $20/unid 0.02 $/$mes =

Costos totales de preparación e inventario Inventario promedio (convención final de mes) = 0/12 = 0 unidades. Rotación del inventario = Demanda/Inv. promedio = No definida

= $648.0 0.0

=$ 648.0

Política de pedir para tres períodos Mes

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Total

Inv. Inicial

0

74

12

0

283

129

0

176

124

0

279

41

-

Pedido

84

Demanda

10

62

12

130

154

129

88

52

124

160

238

41

1200

Inv. Fina

74

12

0

283

129

0

176

124

0

279

41

0

1.118

413

264

439

1200

Costos totales de preparación = 4 pedidos  $54/pedido =

$ 216.0

Costos de llevar el inventario = 1,118 unidmes  $20/unid  0.02 $/$mes = Costos totales de preparación e inventario:

447.2 $ 663.2

Inventario promedio (convención final de mes) = 1,118/12 = 93.17 unidades Rotación del inventario = Demanda/Inv. promedio = 1,200/93.17 = 12.88

Uso de la cantidad económica de pedido EOQ 2AD EOQ  vr D  Demanda promedio durante el horizonte de planeación (Dado que el costo de mantener está asociado a un período)

Requerimientos totales 1200 D   100 Unidades/m es Horizonte de planeación 12 EOQ 

2(54)(100)  164 unidades (20)(.02)

La cantidad a ordenar se obtiene redondeando EOQ a los requerimientos de un número entero de períodos más próximo, ya sea por exceso o por defecto

Resultados utilizando el EOQ Mes

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Total

Inv. Inicial

0

204

142

130

0

0

0

52

0

0

0

0

-

Pedido

214

0

0

0

154

129

140

0

124

160

238

41

1200

Demanda

10

62

12

130

154

129

88

52

124

160

238

41

1200

Inv. Fina

204

142

130

0

0

0

52

0

0

0

0

0

528

Costos totales de preparación =

8 pedidos  $54/pedido =

Costos de llevar el inventario =

528 unidmes  $20/unid 0.02 $/$mes = 211.2

Costos totales de preparación e inventario: Inventario promedio (convención final de mes) = 528/12 = 44 unidades. Rotación del inventario = Demanda/Inv. promedio = 1,200/44 = 27.27

$432.0

$ 643.2

Otras políticas •

Ordenar para un número entero de periodos, TEOQ = EOQ/Dpromedio

•

Ordenar exactamente EOQ

Un modelo de programación lineal entera–mixta (1) DEFINICIÓN DE PARÁMETROS Y VARIABLES: Di= Demanda del período i, i = 1, 2, …, N Xij = Cantidad Ordenada en el período i para ser utilizada satisfaciendo la demanda del período j; i = 1, 2, …, N, j = 1, 2, …,N, j ≥ i, donde N es el número de períodos considerados en el horizonte bajo análisis Yi = 1, si se realiza un pedido en el período i, i= 1, 2, …, N; 0 lo contrario

Función objetivo: Minimizar C

= Costos de ordenamiento + costos de almacenamiento N

  AYi  (vr )(1) i 1

 (vr )( N  2)

N 1



i 1: j  i 1

2

X

ij i 1: j  i  N  2

X ij  (vr )( 2)

 (vr )( N  1)

N 2

X

i 1: j  i  2

ij

1

X

ij i 1: j  i  N 1

 ...

Un modelo de programación lineal entera–mixta (2)

Un modelo de programación lineal entera–mixta (3) b)

Restricciones lógicas (no se pueden tener unidades disponibles en cada período, sino se ha efectuado un pedido):

 N  X  Di   * Y1   1j j 1  i 1  N

N

X j 2

2j

N

X j 3

3j

 N     Di  * Y2  i 2   N     Di  * Y3  i 3 

N



j  N 1

X N 1 j

N

X jN

Nj

 N     Di  * YN 1  i  N 1 

 N     Di  * YN  iN 

Y1=1 (en el período 1 se debe hacer un pedido ya que el inventario inicial es cero)

El Heurístico de Silver-Meal • Este método fue desarrollado por Silver y Meal (1973) • Ha demostrado un funcionamiento satisfactorio cuando el patrón de demanda es muy variable, donde el método del lote económico de pedido y otros métodos heurísticos no producen buenos resultados. • El criterio de este método es, minimizar los costos de ordenamiento y mantenimiento del inventario por unidad de tiempo.

El Heurístico de Silver-Meal Sea CTR(T) el costo total relevante asociado con un pedido que dura T períodos. El costo total relevante por unidad de tiempo, CTRUT(T), será entonces CTR(T)/T, o más precisamente: CTR(T ) CTRUT (T )  T A  Costos de Mantenimi ento de Inventario  T

El método inicia con el período 1, para el cual CTR(1)/1 = A/1 = A; Para el período 2, para el cual CTR(2)/2= [A + D2vr(1)]/2; Para el período 3, para el cual

CTR(3)/3 = [A + D2vr(1) + D3vr(2)]/3; y así sucesivamente hasta que se observe que el costo por unidad de tiempo se incrementa de un período a otro.

En este momento se para el proceso y se define la cantidad a ordenar en el período 1 igual a la suma de las demandas de los períodos para los cuales no se incrementó el costo total relevante por unidad de tiempo. El proceso comienza de nuevo a partir del período T para el cual se incrementó el CTR(T)/T por primera vez, y se continúa de esta manera hasta el final del horizonte de planeación.

El Heurístico de Silver-Meal • Este método no garantiza la optimalidad, puede verse atrapado en un mínimo local, ha demostrado tener muy buenos resultados en la práctica. • Ejemplo anterior • A= $54 v= $ 20/caja r= 0.02 $/($/mes)

$24.80 = D(2)vr = 62(20)(0.02) $34.40 = D(2)vr + 2D(3)vr = 62(20)(0.02) + 2(12)(20)(0.02)

Cuando la demanda no es muy variable, los resultados de este método y el del EOQ no difieren significativamente. Para determinar cuándo utilizar uno u otro método, recuérdese el coeficiente VC . Se ha encontrado a través de estudios experimentales lo siguiente: • Si VC < 0.2, entonces puede utilizarse el método del EOQ con la demanda promedio sobre el horizonte de planeación, ya que produce buenos resultados. • Si VC >= 0.2, entonces se sugiere utilizar el heurístico de Silver-Meal.

• La aplicación del heurístico de Silver-Meal en casos para los cuales el patrón de demanda decrece rápidamente con el tiempo a través de varios períodos, o cuando existe un gran número de períodos demanda igual a cero, no produce buenos resultados. Para estos casos, por lo tanto, sería recomendable utilizar el modelo matemático previamente descrito.