Fascículo

5

1

Matemáticas Financieras Semestre 3

Matemáticas financieras

Matemáticas financieras

Semestre 3

Matemáticas financieras

Tabla de contenido

Página

Introducción

1

Conceptos previos

1

Mapa conceptual fascículo 5

1

Logros

2

Series variable o gradientes

2

Gradiente aritmético

3

Valor Futuro

3

Valor Presente

7

Gradientes aritméticos crecientes y decrecientes

10

Gradientes aritméticos diferidos

16

Gradiente geométrico

16

Valor Futuro

17

Valor Presente

17

Actividad de trabajo colaborativo

18

Resumen

18

Bibliografía recomendada

19

Nexo

19

Seguimiento al autoaprendizaje

21 Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

Semestre 3

Matemáticas financieras

Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples” Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA Tutor Programa Administración de Empresas Sede Bogotá, D.C. Revisión de estilo y forma; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Noviembre de 2009.

Matemáticas financieras

Semestre 3

Matemáticas financieras

1

Introducción Con el fin de facilitar los cálculos para la construcción de amortizaciones y capitalizaciones de series variables, se han sistematizado unas fórmulas que le permiten al gestor financiero concentrarse en el desempeño de sus funciones con facilidad, en la medida que reducen las operaciones para la toma de decisiones. Estas series variables son cantidades de dinero que usualmente provienen de créditos bancarios o particulares y en otras ocasiones representan modalidades de ahorros programados en entidades financieras. Para comprometer recursos financieros se deben consultar los flujos de caja, quienes dan la pauta para definir los tipos de amortización o capitalización de valores monetarios.

Conceptos previos El estudiante deberá comprender y aplicar conceptos de Interés Compuesto, incluidos los pormenores de conversiones de tasas de interés y construcción de anualidades.

Mapa conceptual fascículo 5 A partir del

Interés Compuesto y con base en conceptos de

Series Fijas o Anualidades se construyen operaciones de

Gradiente aritmético

Gradiente geométrico

con algunas variantes

Crecientes Decrecientes Y Diferidas Fascículo No. 5 Semestre 3

Matemáticas financieras

Matemáticas financieras Logros

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capacidad de:  Interpretar y proponer soluciones a problemas complejos donde intervienen series variables, crecientes o decrecientes.  Argumentar la pertinencia en el uso y construcción de ecuaciones y gráficas de tiempo y valor para la resolución de problemas de gradientes.  Evaluar el alcance del desarrollo de competencias en el manejo de series variables, como condición para gestionar con suficiencia créditos financieros y otras operaciones a plazos.  Reconocer las operaciones crediticias en las formas expresadas mediante series variables y sus transformaciones frente a los plazos y tasas.

Series variables o gradientes Se conocen como Series Variables o Gradientes, los pagos que presentan un comportamiento creciente o decreciente de manera constante. También son llamados “Gradiente Aritmético” si la variación es periódica y lineal y ·Gradiente Geométrico” si la variación es periódica y porcentual. Algunos autores denominan estas operaciones como Anualidades crecientes o Anualidades Decrecientes. En este fascículo se analizarán diferentes clases de gradientes, calculando sobre cada una de ellas su Valor Presente y su Valor Futuro, así como los detalles de manejo e interpretación que correspondan. Respecto de la notación que se utilizará en este fascículo se encuentran las siguientes variables:

Matemáticas financieras

2

VP VF g

= = =

i n

= =

Valor Presente del gradiente Valor Futuro del gradiente Cantidad en que se incrementa o disminuye el pago periódico Tasa de Interés Número de períodos: diferencia entre el período que termina y el período donde está localizado su cero.

Fascículo No. 5 Semestre 3

Matemáticas financieras Gradiente Aritmético En este tipo de transacciones, los pagos aumentan gradualmente en cada período, es decir, aumentan en forma aritmética. Sobre el gradiente es posible calcular al menos dos momentos de consolidación de todos sus valores: al principio de la serie de pagos (Valor Presente) y al final de la serie de pagos (Valor Futuro).

Valor Futuro Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los pagos acumulados al final de la serie, utilizando para ello fórmulas de valor futuro a interés compuesto. En un gradiente aritmético, el Valor Futuro se ubica justo en el último pago. El número de períodos se calcula como la diferencia entre el período donde termina la serie de pagos y su período cero. El período cero de un gradiente aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los pagos. La fórmula para hallar el Valor Futuro de un gradiente aritmético es:

 1  i n  1  ni    VF  G 2  i  

(Fórmula 5.1)

Ejemplo 1 Un padre de familia decide realizar un ahorro para la educación superior de su hijo en un fondo que reconoce una tasa del 1,1% mensual. Se requiere establecer cuál es el valor final del ahorro si se efectúan las siguientes consignaciones: $500.000 dentro de 2 meses; $1.000.000 dentro de 3 meses; $1.500.000 dentro de 4 meses; $2.000.000 dentro de 5 meses; y $2.500.000 dentro de 6 meses.

Fascículo No. 5 Semestre 3

3

Matemáticas financieras

Matemáticas financieras 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000 0

1

2

3

4

5

6

VF

i = 1,1% mensual Figura 5.1 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 1.

En este caso, el Valor Futuro del gradiente se ubica en el período 6 y el número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y el período cero, es decir 6-0 = 6. Es importante anotar que el número de pagos es n-1, o sea 6-1 = 5. Período cero del gradiente

2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000

0

1

2

3

4

6

VF

i = 1,1% mensual

Período de inicio de los pagos

5

Período del Valor Futuro

Figura 5.2 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 1.

Este ejemplo constituye un gradiente típico, en el que el valor del primer pago es igual a la variación periódica de los pagos Se resuelve de la siguiente manera: se calcula el Valor Futuro del gradiente, para lo cual se trasladan todos los pagos al final del sexto mes, de acuerdo con la fórmula 5.1, así:

 1  i n  1  ni    VF  G 2  i    1  0,0116  1  60,011   VF  500.000 2  0 , 011  

Matemáticas financieras

4

Fascículo No. 5 Semestre 3

Matemáticas financieras  0,001841841  VF  500 .000   0,000121  VF = 500.000 (15,221823) VF = 7.610.911,50 Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es de $7.610.91150 Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor futuro de cada Pago por separado. Así: VF = Pago 1 (Valor Futuro de 500.000 durante 4 meses) + Pago 2 (Valor Futuro de 1.000.000 durante 3 meses) + Pago 3 (Valor Futuro de 1.500.000 durante 2 meses) + Pago 4 (Valor Futuro de 2.000.000 durante 1 mes) + Pago 5 (2.500.000) VF =

500.000(1+0,011)4 + 1.000.000(1+0,011)3 + 1.500.000(1+0,011)2 + 2.000.000(1+0,011)1 + 2.500.000

VF =

522.365,67 + 1.033.364,33 + 1.533.181,50 + 2.022.000 + 2.500.00

VF =

7.610.911,50

Este resultado confirma que el valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es de $7.610.91150 Ejemplo 2 El Gerente de la empresa requiere renovar los equipos de cómputo al finalizar el año. Para ello decide realizar consignaciones cada fin de mes, a partir del mes de febrero, iniciando con $200.000 y cada mes aumentará la

Fascículo No. 5 Semestre 3

5

Matemáticas financieras

Matemáticas financieras consignación del mes anterior en $200.000. La entidad financiera ofrece pagar una tasa del 1,3% mensual. ¿Qué valor podrá retirar a fin de año? 2.200.000 2.000.000 1.800.000 1.600.000 1.400.000 1.200.000 1.000.000 800.000 600.000 400.000 200.000

0

1

2

3

4

5

Figura 5.3 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 2.

6

7

8

9

10

i = 1,3% mensual

11

12

VF

Este caso se resuelve con la fórmula 5.1 para hallar el valor final de la serie de pagos, así:

 1  i n  1  ni    VF  G 2  i    1  0,01312  1  120,013   VF  200.000 2  0 , 013    0,011651776  VF  200 .000   0,000169  VF = 200.000 (68,94542171) VF = 13.789.084,34 Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es de $13.789.08434 Para comprobar la anterior operación se construirá una tabla de capitalización que representa los ahorros de la empresa:

Matemáticas financieras

6

Fascículo No. 5 Semestre 3

Matemáticas financieras Mes

Saldo Inicial

Interés

Consignación

Saldo final

0 1 2

200.000,00

200.000,00

3

200.000,00

2.600,00

400.000,00

602.600,00

4

602.600,00

7.833,80

600.000,00

1.210.433,80

5

1.210.433,80

15.735,64

800.000,00

2.026.169,44

6

2.026.169,44

26.340,20

1.000.000,00

3.052.509,64

7

3.052.509,64

39.682,63

1.200.000,00

4.292.192,27

8

4.292.192,27

55.798,50

1.400.000,00

5.747.990,77

9

5.747.990,77

74.723,88

1.600.000,00

7.422.714,65

10

7.422.714,65

96.495,29

1.800.000,00

9.319.209,94

11

9.319.209,94

121.149,73

2.000.000,00

11.440.359,67

12

11.440.359,67

148.724,68

2.200.000,00

13.789.084,34

Tabla 5.1 Comportamiento de los pagos en la cuenta de ahorro.

De esta manera queda comprobado que el comportamiento de la cuenta de ahorros al final arroja un saldo de $13.789.08434, que para efectos financieros es el Valor Futuro de la serie de pagos.

Valor Presente Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los pagos, descontados al inicio de la serie, utilizando para ello fórmulas de valor futuro a interés compuesto. En un gradiente típico, el Valor Presente se ubica dos períodos antes del primer gradiente, que en este caso es el primer pago. El número de períodos se calcula como la diferencia entre el período donde termina la serie de pagos y su período cero. El período cero de un gradiente aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los pagos.

Fascículo No. 5 Semestre 3

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Matemáticas financieras

Matemáticas financieras La fórmula para hallar el Valor Presente de un gradiente aritmético es:

 1  i n  1  ni    VP  G n 2  i 1  i   

(Fórmula 5.2)

Ejemplo 3 Con el propósito de financiar la compra de una máquina importada, la empresa puede disponer de su flujo de caja en forma trimestral para saldar la deuda, así: un pago inicial por valor de $4.000.000 dentro de dos trimestres; cada trimestre posterior aumentará la cuota del período anterior en $4.000.000 hasta completar 8 pagos. ¿Cuál es el valor por el que podrá constituir el crédito, si la tasa de financiación es del 4,5% trimestral? 32.000.000 28.000.000 24.000.000 20.000.000 16.000.000 12.000.000 8.000.000 4.000.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

VF

i = 4,5% trimestral

Figura 5.4 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 3.

En este caso, el Valor Presente del gradiente se ubica en el período 0 y el número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y el período del VP, es decir 9-0 = 9. Es importante anotar que el número de pagos es n-1, osea 9-1 = 8.

32.000.000 28.000.000 24.000.000 20.000.000 16.000.000 12.000.000 8.000.000 4.000.000

Período del Valor Presente (cero del gradiente)

0

1

2

3

4

5

6

7

Período de inicio

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8

9

VF

i = 4,5% trimestral

de los pagos Figura 5.5 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 3.

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Período del Valor Futuro

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Matemáticas financieras Este ejemplo también constituye un gradiente típico, en el que el valor del primer pago es igual a la variación periódica de los pagos. Se resuelve de la siguiente manera: se calcula el Valor Presente del gradiente, para lo cual se trasladan todos los pagos al inicio de la serie dos períodos antes del primer pago, de acuerdo con la fórmula 5.2, así:

 1  i n  1  ni    VP  G n 2    i 1  i    1  0,045 9  1  90,045    VP  4.000.000 9 2  0,045 1  0,045     0,08109514  VP  4.000.000   0,003009343  VP = 4.000.000 (26,94779212) VP = 107.791.168,50 Respuesta: El valor acumulado descontando los pagos en el período cero (Valor Presente) es de $107.791.16850 Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor presente de cada pago por separado. Se trasladarán los valores al período cero utilizando para ello la tasa de interés del 4,5% trimestral, así: VP =

Pago 1 (Valor Presente de 4.000.000 durante 2 trimestres) + Pago 2 (Valor Presente de 8.000.000 durante 3 trimestres) + Pago 3 (Valor Presente de 12.000.000 durante 4 trimestres) + Pago 4 (Valor Presente de 16.000.000 durante 5 trimestres) + Pago 5 (Valor Presente de 20.000.000 durante 6 trimestres) + Pago 6 (Valor Presente de 24.000.000 durante 7 trimestres) + Pago 7 (Valor Presente de 28.000.000 durante 8 trimestres) + Pago 8 (Valor Presente de 32.000.000 durante 9 trimestres) +

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Matemáticas financieras

Matemáticas financieras VP =

4.000.000(1+0,045)2 + 8.000.000(1+0,045)3 + 12.000.000(1+0,045)4 + 16.000.000(1+0,045)5 + 20.000.000(1+0,045)6 + 24.000.000(1+0,045)7 + 28.000.000(1+0,045)8 + 32.000.000(1+0,045)9

VP =

3.662.919,80 + 7.010.372,83 + 10.062.736,12 + 12.839.216,74 + 15.357.914,77 + 17.635.882,98 + 19.689.183,56 + 21.532.941,69

VP =

107.791.168,50

Este resultado confirma que el valor acumulado al principio de los depósitos (Valor Presente) es de $107.791.16850 5.1

Formule dos casos de transacciones financieras en los que se configuren las dinámicas de gradientes aritméticos. Uno con Valor Futuro y uno con Valor Presente. Socialícelos con el tutor.

Gradientes Aritméticos Crecientes y Decrecientes Como se analizó anteriormente, las dinámicas de gradientes aritméticos suponen que los pagos realizados en determinada transacción financiera, sufren una variación constante, donde cada pago es igual al anterior más una cantidad constante (gradiente). No obstante, el comportamiento de estos pagos en ocasiones decrece cada período y en este caso, cada pago es igual al anterior menos una cantidad constante (gradiente). Es frecuente que en ejercicios de amortización de créditos o de capitalizaciones de sumas de dinero, el primer pago sea de un valor diferente al del gradiente. A continuación se analizarán dos casos en los que el primer valor es diferente al del gradiente; en el primero de ellos su comportamiento es Creciente y en el segundo es Decreciente:

Matemáticas financieras

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Fascículo No. 5 Semestre 3

Matemáticas financieras Ejemplo 4 La empresa decide constituir un fondo para futuras contingencias. Para ello, realiza unas consignaciones mensuales crecientes, iniciando en $1.800.000 al final del primer mes y de ahí en adelante incrementando cada consignación en $200.000. ¿Cuál es el saldo del fondo al realizar la consignación del sexto mes? La tasa que reconoce la entidad financiera es del 0,5% mensual. 2.800.000 2.600.000 2.400.000 2.200.000 2.000.000 1.800.000 0

1

2

3

4

5

6

VF

i = 0,5% mensual

Figura 5.6 Representación gráfica Ejemplo 4.

Se puede observar que, en este caso, el primer pago no corresponde al gradiente (diferencia entre los pagos), luego no es posible utilizar la fórmula 5.1 de Valor Futuro como se aplicó en los dos primeros ejemplos. Analizando la serie de pagos, esta se puede descomponer en dos series: la primera, una anualidad de seis pagos de $1.800.000 y la segunda un gradiente de 5 pagos que inicia en $200.000 y se incrementa en $200.000 cada período. Esta descomposición se representa así:

+

Anualidad

Gradiente

1.000.000 800.000

600.000 400.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000

0

1

2

3

4

5

6

200.000

0

1

2

3

4

5

6

Figura 5.7 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 4

Así las cosas, es posible utilizar las fórmulas de:  VF de una Anualidad Vencida y  VF de un Gradiente Aritmético, Fascículo No. 5 Semestre 3

11

Matemáticas financieras

Matemáticas financieras Lo anterior con el fin de hallar el Valor Futuro de estas consignaciones, mediante procedimientos abreviados sumando los dos resultados, así:  Valor Futuro de la Anualidad Vencida

 (1  i) n  1   VF  R i    (1  0,005) 6  1   VF  1.800.000 0 , 005  

 0,030377509  VF  1.800.000  0,005   VF = 1.800.000 (6,075501879) VF = 10.935.903,38  Valor Futuro del Gradiente Aritmético,

 1  i n  1  ni    VF  G 2  i    1  0,005 6  1  60,005    VF  200.000 2  0 , 005    0,000377509  VF  200 .000   0,000025  VF = 200.000 (15,10037575) VF = 3.020.075,15 Ahora se suman los resultados para obtener el Valor Futuro

Matemáticas financieras

12

VF de la Anualidad Vencida

=

10.935.903,38

VF del Gradiente Aritmético

=

3.020.075,15

Valor Futuro consolidado

=

13.955.978,53

Fascículo No. 5 Semestre 3

Matemáticas financieras Respuesta: El saldo del fondo al realizar la consignación del sexto mes es de $13.955.97853 El desarrollo de este problema se puede abreviar, simplemente, planteando una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF de la Anualidad Vencida + el VF del Gradiente Aritmético, así:

 (1  i) n  1   VF  R i  

+

VF de la Anualidad Vencida

 1  i n  1  ni    G 2  i   VF del Gradiente Aritmético

Ahora se comprobará el resultado del gradiente, calculando el valor futuro de cada Pago por separado. Se trasladarán los valores al período 6 utilizando para ello la tasa de interés del 0,5% mensual, así: VF = Pago 1 (Valor Futuro de 1.800.000 durante 5 meses) + Pago 2 (Valor Futuro de 2.000.000 durante 4 meses) + Pago 3 (Valor Futuro de 2.200.000 durante 3 meses) + Pago 4 (Valor Futuro de 2.400.000 durante 2 meses) + Pago 5 (Valor Futuro de 2.600.000 durante 1 mes) + Pago 6 (Valor de 2.800.000) VF =

1.800.000(1+0,005)5 + 2.000.000(1+0,005)4 + 2.200.000(1+0,005)3 + 2.400.000(1+0,005)2 + 2.600.000(1+0,005)1 + 2.800.000

VF =

1.845.452,26 + 2.040.301,00 + 2.233.165,28 + 2.424.060,00 + 2.613.000,00 + 2.800.000,00

VF =

13.955.978,53

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Matemáticas financieras

Matemáticas financieras Este resultado confirma que el valor acumulado como saldo del fondo al realizar la sexta consignación es $13.955.97853 Del caso anterior se deduce que cuando el primer pago es diferente del gradiente, se puede resolver el problema considerando por separado y sumando el resultado de la anualidad con el resultado del gradiente aritmético. Ahora se analizará el segundo caso: Gradiente Aritmético Decreciente. En ocasiones para la amortización de las deudas es conveniente, según los flujos de caja, comprometer los pagos de tal manera que sean descendentes en el tiempo; otra situación se presenta cuando se hacen retiros permanentes y descendentes de una cuenta o un fondo y sobre los saldos se calculan intereses compuestos; también es posible realizar depósitos decrecientes en una cuenta para obtener al final un saldo. Esta situación corresponde al siguiente ejemplo: Ejemplo 5 Con el fin de contribuir con los gastos universitarios del segundo semestre, se realizan en una cuenta de ahorros los siguientes depósitos mensuales vencidos decrecientes: $2.000.000 a finales de marzo y cada fin de mes sucesivo, $500.000 menos que el mes anterior, hasta el 30 de junio. La tasa de interés pactada es del 0,8% mensual. ¿Qué cantidad se podrá retirar a mitad de año? 4.000.000 3.500.000 3.000.000 2.500.000

0

1

2

i = 0,8% mensual

Figura 5.8 Representación gráfica del Gradiente Aritmético Decreciente. Ejemplo 5

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14

3

4

VF

Fascículo No. 5 Semestre 3

Matemáticas financieras En este caso, igual que en el ejemplo anterior, se observa que el primer pago no corresponde al gradiente (diferencia entre los pagos), luego se requiere descomponer estos movimientos en dos series: la primera, una anualidad de cuatro pagos de $4.000.000 y la segunda un gradiente de 3 pagos que inicia en $500.000 y disminuye en $500.000 cada período. Esta descomposición se representa así:

-

Anualidad

Gradiente

4.000.000 4.000.000 4.000.000 4.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

Figura 5.9 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 5.

Así las cosas, se plantea una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF de la Anualidad Vencida menos (-) el VF del Gradiente Aritmético, así:

 (1  i) n  1   VF  R i  

-

VF de la Anualidad Vencida

 (1  0,008) 4  1   VF  4.000.000 0 , 008   VF

=

16.193.026,05

VF

=

13.176.994,05

 1  i n  1  ni    G 2  i   VF del Gradiente Aritmético

-

 1  0,008 4  1  40,008    G 2  0 , 008   3.016.032

Respuesta: A mitad de año se podrá retirar de la cuenta $13.176.99405 A continuación se presenta un resumen de las fórmulas más utilizadas en Gradientes aritméticos (tabla 5.1):

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Gradiente en Valor Presente

VPi2 1  i  G 1  i n  1  ni  n

Valor Futuro

 1  i n  1  ni    VF  G 2  i  

Gradiente en

VF i 2  G 1  i n  1  ni 

Valor Futuro

Aritmético o lineal

Valor Presente

 1  i n  1  ni    VP  G n 2    i 1  i  

Tabla 5.1 Resumen de fórmulas: Gradientes Aritméticos.

Gradientes Aritméticos Diferidos Al igual que ocurre con las anualidades diferidas, este tipo de operaciones se presentan cuando se requiere de un tiempo denominado “período de gracia”, en el que no se realizan abonos al capital de la deuda. No obstante, se deben liquidar los intereses y en el momento del inicio de los pagos, estos deben sumarse al capital para calcular el valor de cada cuota. También es usual, para no alterar el monto del crédito inicial, cancelar los intereses generados durante el período de gracia. Esto permite que el monto de las cuotas no se incremente por efecto de la capitalización de intereses. La variación se reduce a que hay que calcular unos intereses al principio de la operación, que se cancelan o se capitalizan y luego se establece el monto de las cuotas para amortizar el crédito, utilizando para ello, las mismas fórmulas de una serie creciente o decreciente, según corresponda.

Gradientes Geométricos En algunas transacciones se construyen series de pagos cuyo comportamiento consiste en un crecimiento geométrico, es decir, cada Matemáticas financieras

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Matemáticas financieras pago corresponde al anterior, multiplicado por un número llamado razón (r). Supóngase una serie de pagos como los que se plantean: 497.664 414.720 345.600 288.000 240.000 200.000 01-Ene

31-Ene

28-Feb

31-Mar

30-Abr

31-May

30-Jun

VF

i = 0,4% mensual Figura 5.10 Representación gráfica del Gradiente Geométrico..

En este caso, se propone un ahorro inicial de de $200.000 al final del primer mes y este ahorro se realiza en cada uno de los meses siguientes, con un incremento del 20% sobre el depósito anterior.

Valor Futuro La fórmula para establecer el Valor Futuro de la serie de pagos en un Gradiente Geométrico, es:

 1  i n  1  r n   VF  K   ir  

(Fórmula 5.3)

En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:

 1  0,004 6  1  0,26   VF  200.000  0 , 004  0 , 2   VF = 2.001.778,28 El Valor Futuro del Gradiente Geométrico es $2.001.77828

Valor Presente La fórmula para establecer el Valor Presente en un Gradiente Geométrico, descontando la serie de pagos al inicio, es:

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 1  i n  1  r n  1  i n VP  K   ir  

(Fórmula 5.4)

En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:

 1  0,004 6  1  0,26  1  0,004 6 VP  200.000  0,004  0,2   VP = 1.954.401,09 El Valor Presente del Gradiente Geométrico es $1.954.40109

En grupos de tres estudiantes, realicen una consulta en entidades financieras y establezcan al menos una transacción en la que se configure el comportamiento de gradientes crecientes o decrecientes. Socialicen las respuestas con el tutor.

Como una variante de las anualidades, aparecen las operaciones de gradientes, que presentan las mismas estructuras de aquellas, pero los pagos (ingresos o egresos) no son fijos sino variables (crecientes o decrecientes). Estas series de valores se incrementan o disminuyen de dos maneras: en una cantidad constante o a una proporción dada (razón). En la primera forma se denominan Gradientes aritméticas o lineales y en la segunda forma se denominan Gradientes Geométricas o Exponenciales. Sobre estas series de valores se han sistematizado unas fórmulas que permiten hallar las equivalencias presentes o futuras de todos los pagos, con el fin de facilitar los cálculos y los diseños de planes de capitalización o tablas de amortización. Estas fórmulas se han dispuesto en cada uno de los temas desarrollados en el fascículo. Matemáticas financieras

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AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc Graw Hill, 2001. BACA CURREA. Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía). CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones. Primera edición. Mexico: Trillas, 2004 CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: CECSA, 1999. (Texto guía). DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc Graw Hill, 1997. GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda, 2000. (Texto guía). PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.: Mc Graw Hill, 1997. SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición. Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

En el Fascículo 6 se construirán y analizarán diferentes estructuras de amortización, representan periódicamente los comportamientos de anualidades, gradientes y otras transacciones financieras.

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Seguimientoal autoaprendizaje Matemáticas Financieras - Fascículo No. 5 Nombre_______________________________________________________ Apellidos ________________________________ Fecha: _________________ Ciudad __________________________________Semestre: _______________ Resuelva las siguientes preguntas, de las cuales las tres primeras son de selección múltiple con única respuesta, con el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje: 1. Una serie de pagos en forma creciente con variación constante puede ser llevada a su Valor Futuro con la fórmula: A.

B.

 (1  i) n  1   VF  R i    1  i n  1  r n   VF  K   i  r  

C.

 1  i n  1  ni    VF  G 2  i  

D.

F  P(1  i) n

2. Para establecer el Valor Futuro de una serie de pagos donde el primero de ellos es de $1.000.000 y se incrementa en $50.000 cada mes, se deben conjugar las siguientes fórmulas, así: A.

B.

C.

D.

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 1  i n  1  r n   (1  i) n  1   menos R  VF  K   ir i      1  i n  1  ni    más VF  G P(1  i) n 2  i   n  1  i n  1  r n   (1  i)  1    más K  VF  R  i  r i    

F  P(1  i)

n

menos

 (1  i) n  1   R i  

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Matemáticas financieras 3. La diferencia entre el Gradiente Aritmético y el Gradiente Geométrico radica en que: A. El Gradiente Aritmético tiene un comportamiento positivo y el Gradiente Geométrico, negativo B. El Gradiente Aritmético es creciente y el Gradiente Geométrico es decreciente C. El Gradiente Aritmético tiene una variación constante y el Gradiente Geométrico, porcentual D. El Gradiente Aritmético se calcula al final del período y el Gradiente Geométrico, al principio 4. Una deuda será cancelada mediante 6 pagos mensuales, el primero de ellos por valor de 500.000 y cada uno de los pagos sucesivos incrementados en 500.000. El primer pago se realizará a los seis meses del desembolso. Si la tasa de financiación es del 1,8% mensual, ¿cuál fue el valor del crédito? 5. Debo pagar un crédito de la siguiente manera: 1.800.000

i = 1,95% mensual

1.500.000 1.200.000 900.000 600.000 300.000 0

1

2

3

4

5

6

Pero solicito se me permita realizar 12 pagos mensuales iguales vencidos. ¿Cuál será el valor de los pagos?

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