Valorar la importancia de conocer el sistema de los números reales y explicar las características de las diferentes clases de números reales

1. ¿Para qué sirven los números reales? ¿Qué clase de números reales conoces? ¿Cuáles son las características del sistema de números reales? ¿Qué clase de números conoces que no son reales? FASE COGNITIVA LOS NUMEROS REALES Los números reales se conforman por los decimales finitos, decimales infinitos periódicos e infinitos no periódicos NUMEROS IRRACIONALES Al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo, encontraremos una respuesta decimal 1,4142135623730950488016......que como vemos será infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como Números Irracionales. Es mucho más sencillo, más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación). APROXIMACION DE IRRACIONALES APROXIMACIONES Al trabajar con números decimales periódicos o irracionales no podemos considerar todas sus cifras. Es necesario tomar aproximaciones, considerando sólo un número finito de cifras decimales. Si el número aproximado que cogemos es más pequeño que el número original es una aproximación por defecto; si es mayor, es una aproximación por exceso. Determinemos aproximaciones racionales (decimales finitos) por defecto y por exceso a SOLUCION Sea x є R, tal que x =

7

7 ; entonces x 2  7

Aproximaciones enteras por defecto y por exceso Como x 2  7 , entonces 4 x 2 9 por tanto, extrayendo raíz cuadrada tenemos: 2 x3 Es decir, 2

7 3

Aproximaciones decimales Como 7 es aproximadamente igual a 2.64575131106459… Aproximación en las decimas por defecto es 2.6 y por exceso es 2.7 Aproximación en centésimas por defecto es 2.64 y por exceso es 2.65 Aproximación en milésimas por defecto es 2.645 y por exceso es 2.646

Determinemos aproximaciones racionales por defecto y por exceso a

3

3 = 1.73205080… Valor aproximado en Unidades Décimas Centésimas milésimas

Por defecto 1 1.7 1.73 1.732

Por exceso 2 1.8 1.74 1.733

Determinemos aproximaciones racionales por defecto y por exceso a π = 3.14159265358979…

π = 3.14159265358979… Valor aproximado en Por defecto Por exceso Unidades Décimas Centésimas milésimas

TRUNCAMIENTO Para truncar un número decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a ese orden inclusive, eliminando las demás. Ejemplos a) Truncar en las centésimas a pi = 3.1416 b) Truncar en las décimas a 12.569

REDONDEO Para redondear un número decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a ese orden. La cifra de orden n se deja como está si la cifra siguiente es menor que 5, y se aumenta una unidad si la cifra siguiente es mayor o igual que 5. Ejemplos a) Redondear a dos cifras decimales 0.3459862, el resultado es 0.35 b) Redondear a una cifra decimal 0.3459862, el resultado es 0.3 c) Redondear a tres cifras decimales 21.0389712 el resultado es 21.039

REPRESENTACION GRAFICA DE NUMEROS IRRACIONALES El número 2 no es racional, es decir no se puede expresar como cociente de dos números enteros ni por tanto como decimal exacto o periódico, es un ejemplo de número irracional. La raíz cuadrada de un número natural, si no es entera, es irracional. TAREA: dibujar la espiral de Teodoro y explicar ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE IRRACIONALES Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos: Ejemplo 1: 3√2 +5√2 - √2 En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta 3√2 +5√2 - √2 Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen √2 Ejemplo 2: 3√3 +5√2 - √5 Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta 3√3 +5√2 - √5 Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes. Pero, ¿cómo puedo realizar estas operaciones? Volvamos al Ejemplo 1: 3√2 +5√2 - √2 Ya sabemos que podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema. 3√2 +5√2 - 1√2 Debemos saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un "1" 3√2 +5√2 - 1√2 Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los radicales. 3√2 +5√2 - 1√2 Tendré que resolver 3 + 5 - 1 = 7 y la parte radical no cambiara. 3√2 +5√2 - 1√2 = 7√2 Veamos ahora otro ejemplo: 4√7 -2√7 + √7 Como todos los términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin problema 4√7 -2√7 + 1√7 Hemos añadido un "1" donde no había numero con el radical. 4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7 Multiplicación de Irracionales Existe una propiedad de los números irracionales, y en general de los radicales, que nos dice: n√a.b = n√a n√b (y viceversa)

Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual grado multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después. Ejemplo 1: √9.4 = √9 . √4 = 3 . 2 = 6 => Primero tenia dentro de la raíz cuadrada 9x4, entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos. Ejemplo 1: √12.3 = √12 . √3 = √36 = 6 => En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12x3 primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado. División de Irracionales La propiedad nos dice que: n√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa) Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz. Ejemplo1: 3√27 ÷ 3√8 = 3 ÷ 2 = 1,5 => Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados. Ejemplo 2: 3√64 ÷ 3√8 = 3√64÷8 = 3√8 = 2 => Ahora hemos resuelto primero la división de las cantidades subradicales y dejamos al ultimo la raíz cúbica. Potenciación de Irracionales Lo único que debemos hacer es pasar el grado del radical a dividir al exponente. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: 3√66

= 66/3 = 62 = 36

=> Como vemos el grado del radical (en este caso 3) paso a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta división (para nosotros 6÷3 = 2) será el nuevo exponente para la cantidad subradical (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación Ejemplo 2: (√4)6 = 46/2 = 43 = 64 => En este caso hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando un radical no tiene grado, este es 2. Operaciones Combinadas con Radicales En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio. Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 - √98 Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a resolverlo. √50 la podemos escribir como √25.2 porque 25 . 2 = 50. Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir, √25 = 5 La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2 Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2 Lo mismo hacemos para √98: √98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2 Reemplazamos los valores obtenidos: 3√2 + √50 - √98 3√2 + 5√2 - 7√2 3√2 + 5√2 - 7√2 = 1√2

MENTEFACTO CONCEPTUAL “NÚMEROS REALES”

(1) C NÚMEROS COMPLEJOS

(4) (2)

MIDEN CANTIDADES CONTINUAS

R NÚMEROS REALES

PROPIEDADES

R=Q  I

i NÚMEROS IMAGINARIOS

(3) Q NÚMEROS RACIONALES I NÚMEROS IRRACIONALES Z NÚMEROS ENTEROS

N NÚMEROS NATURALES

EVALUACION DE MATEMATICAS PRIMER PERIODO NOMBRE: ______________________________________________________________ 1.

COMPLETA LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS a. Un número racional es: _______________________________________________ b. Un número irracional es: ______________________________________________ c. La expresión 3.256256256… es un decimal: _____________________________________ d. Un decimal periódico mixto es _____________________________________________ e. Una expresión decimal finita o infinita periódica representa un número : ___________

2.

3.

Encuentra un racional cuya expresión decimal sea: 0.323232…

COMPLETA LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS a. Un número _________________ puede expresarse como el cociente de dos números b. El teorema de ___________________ dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la _________________________________________________________________________ c. Exprese como un número racional a 0.222… (procedimiento atrás de la hoja) d. Los números ____________________ resultan al extraer la_________ cuadrada inexacta

4.

Realiza la aproximación al irracional 0.598778978… completando el siguiente cuadro Valor aproximado en

Por defecto

Por exceso

Unidades Décimas Centésimas milésimas

5.

Clasifica los siguientes números como irracionales ( I ) o racionales ( Q )

 3.2214576 _____

8 ____ 7

25 _____

3.213213213… ____

3

64 ____

6.

Traza la representación de

2 2

1

1

7.

3

2

4

6

5

7

Representa el irracional

2 2 1

1

1

8. 9.

2

3

4

5

6

7

Comprueba si los números 12, 16 y 20 forman una terna pitagórica Completa la siguiente tabla para el numero irracional 0.549788799…

ORDEN

TRUNCAMIENTO

REDONDEO

0 2 4 6

10.

0.636363… + 0.181818… es igual a:

A. 1/63

B. 9/11

C. 9/63

D. 2/11

EXPONENTES Y PROPIEDADES Para operar expresiones con potencias enteras de números reales y simplificarlas, usamos las siguientes propiedades que conocemos como leyes de los exponentes Si a, b  R y m, n  Z , tenemos: 1.

a m  a m  a mn

2.

a 

3.

a  bn  a n  b n

4.

am mn  a an

m n

 a m.n

m

am a  5.   bm b 6.

a0  1 RADICALES Y PROPIEDADES

Para operar expresiones con radicales de números reales y simplificarlas, usamos las siguientes propiedades. Si a, b  R y m, n  Z , tenemos: 1. 2.

xx

n

x  ( x)  x m

3.

n m

4.

n

n

m

n

m n

x  nm x

x y  n x n y n

5.

6.

1 n

n

x  y

n n

x y

an  a RACIONALIZACION

Las expresiones radicales por una variedad de expresiones algebraicas equivalentes, en formas mas simple. Para hacerlo debemos tener en cuenta algunas condiciones. 1. Un radicando (o expresión sobre el signo radical) no debe contener factores elevados a un exponente mayor o igual al índice del radical. 2. La potencia del radicando y el índice de los radicales no deben tener factores comunes diferentes de 1. 3. En el denominador no debe aparecer ningún radical. 4. Bajo el radical no debe aparecer ninguna fracción.

TALLER DE MATEMATICAS Temas: exponentes, radicales y racionalización 7

1. Expresar en forma radical

3

2x 5 y 2

2. Resolver: (2 5  3 10 )(3 10  2 5)

3.

(3 2ab)(44 8a 3 )

3

4.

5.

3

400 x 2 y10

64 x 9 y15

6. Racionalizar:

7. Racionalizar:

5 4 5

2 5 2 5

8. Racionalizar:

3a 2 9a

9. Racionalizar:

15 3 2 5

10. Racionalizar:

12 7 5 3

EVALUACION DE MATEMATICAS NOMBRE: ______________________________________ FECHA: _____________ Señalar la respuesta correcta y mostrar el procedimiento al otro lado de la hoja

7

1. La expresión equivalente a

3

2x 5 y 2

es:

B. 25 x y

A. 2 xy

C. 2xy5 x 2 y

D. 2 xy10 xy

C. -80

D. 70

2. (2 5  3 10 )(3 10  2 5) es igual a A. -70

B. 80

3. (3 2ab)(44 8a 3 ) es igual a: A. 24a 2ab2

3

4.

5.

A.

3

3

64 x 9 y15 es igual a:

B.

2xy

5 4 5 A.

7.

3

20xy 8

C.

B. 2xy xy 3

3

20xy

C. xy xy

D. y3 20xy 2

D. 2xy xy

es equivalente a:

10 4

B.

5 4

C.

2 5 4

B.

a

C. a

D.

25 4

3a 2 es equivalente a: 9a A. a 2 a

8.

D. 24a4 2ab

400 x 2 y10 es igual a:

A. xy xy 3

6.

C. 24a4 2ab2

B. 12b4 2ab

2 5 es equivalente a: 2 5

2 10  7 3

B.

2 10  1 3

C.

2 10  7 3

3a

D. a a