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Funciones Riemann integrables

El cálculo de áreas de conjuntos puede hacerse sabiendo calcular áreas de conjuntos que tienen rectos todos sus lados salvo uno. La figura de al lado muestra cómo se puede dividir en trozos: uno de ellos, que se ha designado como F , tiene lados rectos salvo el de arriba. Ese lado que no es recto estará definido de alguna forma, por ejemplo la gráfica de una función f .

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28 · 02 · 2016

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F

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2

Cálculo II

En este capítulo se estudia una forma de calcular las áreas de conjuntos de ese tipo. Se conoce como integral de Riemann. Se trata de calcular sumas de rectángulos para encontrar el área total como límite de esas sumas. El método exhaustivo (que proviene de la época de la grecia antigua) es el origen de esta idea integral como límite de sumas rectángulos. La integral de Riemann permite el cálculo del área encerrada por la gráfica de una función en un intervalo, al menos para una clase muy amplia de funciones. Más adelante se verá cómo hay funciones que permiten hacer estos cálculos y otras que no.

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f : [a, b] −→ R+

integrar es calcular el área subyacente a la gráfica A=

B=2

a

b

A=

f.

a

Z

a

b

f

b

Para funciones generales (positivas, negativas o con parte positiva y parte negativa) f : [a, b] −→ R

A=7

a

Z

f

b

la integral mide cuánta área hay por encima del eje X menos cuánta área hay por debajo. En la figura de la izquierda la integral mide Rb a f = 7 − 2 = 5.

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Funciones integrables. Para una función no negativa

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Funciones Riemann integrables — 1

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Hay funciones no nulas cuya integral es negativa o cero. Por ejemplo, la función

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verifica

Z

0

1

Z

1 f =− , 2 −1

f =

0

1 , 2

Z

−1

1

f = 0.

−1

1

Integración de funciones constantes. Por definición, si f : x ∈ [a, b] −→ f (x) = c ∈ R es una función constante, la integral de f en [a, b] es Z a

b

f = c · (b − a),

que es un número positivo, negativo o cero según sea c. Integración de funciones escalonadas (o simples o constantes a trozos). Una partición de [a, b] es una colección finita de puntos a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < xn = b. Suele escribirse P = {a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < xn = b}. Una función escalonada (asociada a esa partición) es una función que es constante en cada intervalo (xk−1 , xk ) de la partición, es decir, una función f : x ∈ [a, b] −→ f (x) = ck si x ∈ (xk−1 , xk ) (el valor en los extremos puede ser f (xk ) = ck o bien f (xk ) = ck+1 ). Por definición, la integral es

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Z

c3 c1

e rnand F a r u o d S a m b

a x0

x1 x2

b x3

f = c 1 (x 1 − x 0 ) + c 2 (x 2 − x 1 ) + · · · + cn (xn − xn−1 ) =

n X

ck (xk − xk−1 ) =

k=1

n X

ck ∆k

k=1

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a

Se denota por E [a, b] al conjunto de funciones escalonadas en [a, b]. Es evidente que se trata de un espacio vectorial en el cual la integral E [a, b] −→ R Rb f a f

es un funcional lineal. En otras palabras, si f , д ∈ E [a, b] entonces α f + βд ∈ E [a, b] y además Z a

b

(α f + βд) = α

Z

b

a

f +β

Z

b

a

д.

Además es un funcional monótono: f , д ∈ E [a, b], f ≤ д =⇒

Z

b

f ≤

Z

b

д,

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c2

a

a

donde f ≤ д significa que f (x) ≤ д(x) para todo x ∈ [a, b].

Funciones Riemann integrables — 2

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f : x ∈ [−1, 1] −→ f (x) = x

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Es fácil comprobar que si f , д ∈ E [a, b] entonces inf(f , д), sup(f , д) ∈ E [a, b], donde, por definición, inf(f , д)(x) = inf(f (x), д(x)) y sup(f , д)(x) = sup(f (x), д(x)). R b  R b  Rb En general no hay ninguna relación entre los valores a (f · д) y a f · a д . Hay ejemplos que muestran que puede darse cualquier comparación, menor, mayor o igual. Las funciones escalonadas son la base para el cálculo de integrales de funciones más complejas, que ya no son escalonadas pero que pueden aproximarse en algún sentido por éstas. Funciones Riemann integrables. Sea f : [a, b] −→ R una función acotada, es decir, existe M > 0 que verifica |f (x)| < M para todo x ∈ [a, b]. Se dice que f es Riemann integrable o Rintegrable (o integrable en el sentido de Riemann) en [a, b] si para todo ε > 0 existen funciones escalonadas h, k ∈ E [a, b] tales que a) h ≤ f ≤ k

Z b)

a

b

k

f

h

(k − h) < ε

a

(f está encajada entre funciones escalonadas cuya diferencia en área es tan pequeña como se quiera)

b

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Ejemplo. Cualquier función escalonada en [a, b] es Riemann integrable: si f es escalonada se eligen h = k = f que verifican los apartados a) y b) anteriores. Ejemplo. La función f que vale cero en todos los puntos de [0, 1] salvo f (1/2) = 1 es R-integrable. Para esta función se eligen h = 0 y

1

f1 ε 1 ε g   − , + 1 x∈  k : x ∈ [0, 1] −→ k(x) =  2 2 2 2 0 resto 

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que verifican h ≤ f ≤ k y además

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1

(k − h) =

0

1

Z

k = ε

0

1/2

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1

La misma idea sirve para probar que son R-integrables funciones que son constantes en un intervalo salvo en una cantidad finita de puntos en los que la función toma valores arbitrarios. Más adelante se verán algunas clases de funciones, como las monótonas o las continuas, que son R-integrables. Sin embargo hay funciones muy sencillas que no lo son. Ejemplo. La función de Dirichlet   0 si x ∈ Q f : x ∈ [0, 1] −→   1 si x < Q 

no es R-integrable en [0, 1]. Para comprobarlo basta observar que si h y k son funciones escalonadas en [0, 1] y verifican h ≤ f ≤ k entonces deben cumplir h ≤ 0 y 1 ≤ k. Por tanto cumplen

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Z

0

Z

0

1

(k − h) ≥

Z

1

0

1

1 = 1

0

Funciones Riemann integrables — 3

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Por otra parte hay resultados que muestran tipos de funciones que son R-integrables. Es cierto que “no son muchas” funciones, pero incluyen a las funciones que son continuas en casi todos los puntos. Proposición. Toda función f : [a, b] −→ R monótona (creciente o decreciente) es R-integrable.

Además

Z a

b

b

Es evidente que h ≤ f ≤ k, ya que f es creciente.

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a

Demostración. Sea f creciente (la prueba es similar si f es decreciente). Sea a = x 0 < x 1 < . . . < xn = b una partición de [a, b] con puntos igualmente separados (equidistantes), es decir, xk − xk−1 = (b − a)/n para k = 1, . . . , n. Se definen las funciones escalonadas ) h : x ∈ [a, b] −→ h(x) = f (xk−1 ) (x ∈ [xk−1 , xk ]) . k : x ∈ [a, b] −→ k(x) = f (xk )

n n X   b −a  b −a X  (k − h) = f (xk ) − f (xk−1 ) = f (xk ) − f (xk−1 ) n n k=1 k=1  b −a   )  n−1 1 ) − f (x 0 ) +    = f(x f (x f (x f (x 2) −  1 ) + . . . + f (xn ) −  n  b −a  f (b) − f (a) −→ 0 = n→∞ n

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y por tanto f es R-integrable.



Proposición. Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces es R-integrable en [a, b].

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ε . b −a

Sea una partición a = x 0 < x 1 < . . . < xn = b tal que xk − xk−1 < δ para k = 1, 2, . . . , n. Se consideran las funciones escalonadas ) h : x ∈ [a, b] −→ h(x) = min{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} = mk (f ) (x ∈ [xk−1 , xk ]) . k : x ∈ [a, b] −→ k(x) = max{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} = Mk (f ) Estas funciones cumplen h ≤ f ≤ k (es evidente, ya que en cada intervalo [xk−1 , xk ] la función h es el valor mínimo de f y la función k es el valor máximo de f ). Por otra parte, Z b n f n X g ε X ε (k − h) = Mk (f ) − mk (f ) ∆k < ∆k = (b − a) = ε b −a b −a a k=1

aplicando la continuidad uniforme de f .

k=1

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x, y ∈ [a, b], |x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| <

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Demostración. Como f es continua en [a, b], que es un conjunto compacto, entonces f es uniformemente continua en [a, b]. Por tanto, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que



Este resultado prueba que las funciones elementales son R-integrables en los intervalos en los que sean continuas. Ya se verá más adelante que también son R-integrables las funciones Funciones Riemann integrables — 4

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y f no es R-integrable, no se puede integrar en el sentido de Riemann. Esta función sí es integrable en un sentido más amplio (la integral de Lebesgue) y su integral de Lebesgue vale 1.

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que sean continuas a trozos. Sin embargo hay funciones que no se pueden integrar, como en el ejemplo anterior. La integral de Lebesgue, que no se va a estudiar en este curso, permite el cálculo del área subyacente para todas las funciones Riemann integrables y para muchas más en las que la integral de Riemann no funciona. Esta integral de Lebesgue extiende a la integral de Riemann y puede calcular integrales de funciones que no son Riemann integrables. Al coincidir ambas integrales en las funciones elementales se habla de “la integral” dando a entender que sólo hay un proceso para el cálculo de integrales. Proposición. Para una función f : [a, b] −→ R acotada, son equivalentes

a) f es R-integrable en [a, b], es decir, para todo ε > 0 existen funciones escalonadas Rb h, k ∈ E [a, b] tales que h ≤ f ≤ k y a (k − h) < ε. (Z b ) (Z b ) b) sup h : h ∈ E [a, b], h ≤ f = inf k : k ∈ E [a, b], f ≤ k a

a

En este caso, al número real que aparece en el apartado b) se le llama integral de f en [a, b] y se escribe (Z b ) (Z b ) Z b f = sup h : h ∈ E [a, b], h ≤ f = inf k : k ∈ E [a, b], f ≤ k

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a

a

a

Rb Cálculo de la integral. Hallar el valor de esta integral a f se puede hacer utilizando varios métodos. Por ejemplo, ya se verá más adelante que para una función f que sea R-integrable se pueden tomar puntos de una partición a = x 0 < x 1 < . . . < xn = b y así b

Z a

n f (x 1 ) + f (x 2 ) + . . . + f (xn ) b −a X f (xk ) = lim (b − a) . f = lim n n n n

e rnand F a r u o d S a m k=1

(el área es el paso al límite del cálculo de la base por la media de las alturas). Por comodidad se pueden elegir los puntos equidistantes, y así

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Z 0

π

sen x

2

Rπ

' (π − 0)

0

sen x 2 se eligen puntos de una partición de [0, π ] 0 = x0 <

sen


π 2 10

2π 9π π < < ... <