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2 Antes de iniciar 1a serie de ejercicios que integran e1 presente folleto, es conveniente determinar que tipo de lineas se van a usar en los trabajos . En la figura No. 1 se presentan seis tipos. La primera de elIas (1. 1) de trazo can tinuo, sirve para represen tar trazQs definitivos y resultados; la segunda (1.2) se emplea para representar
aristas ocultas a trazos auxiliares; la tercera (1.3) representa ejes de simetria; la cuarta (1. 4) representa e1 trazo de Hneas de proyeccion; 1a quin ta 0.5) representa cortes; y por ultimo, la sexta 0.6) que muestra las acataciones. . PROBLEMAS CONLINEAS RECTAS
PROBLEMA 1.- DIVIDIR UNA RECTA DADA EN CUALQUIER NUMERO DE PARTES IGUALES. Sea AB la recta dada y 7 e1 nUmero de partes en que debe dividirse; par uno de los extremos de la recta (A par 'ejemplo) tracese una recta auxi1iar AX, a cualquier lIngu10 y con una 10ngitud' indefinida. Tomese e1 compas con una abertura cualquiera, y l1evese esta distancia N veces (7 en nuestro ejemp10) sabre 1a recta AX . y a partir de A. Unase con auxilio de una escuadra e1 punto N (0 sea 7) con el extremo B de 1a recta dada. A continuacion por cada uno de los puntas se trazan parale1as a 7B, can ayuda de las escuadras y pro10ngandolas hasta cortar a la recta AB. PROBLEMA 2.- SEGUNDO PROCEDIMIENTO. Por los extremos A y B de 1a recta dada, se trazan · las lineas AX y BX' paralelas entre S1., can ayuda de las escuadras y sin que interese el angul0 que formen can AB, ni su longitud. A continuacion se ahre el compas arbitrariamente y esta distancia se lleva N veces sabre ambas paralelas, partiendo de los extremos A y B. Enseguida, can auxilio de una escuadra, se unen punt os igua1es. Estas lineas a1 cruzar AB, 1a dividen como se desea. PROBLEMA 3.-DIVIDIR VARIAS RECTAS DADAS EN UN MISMO NUMERO DE PARTES IGUALES. Sean los segmentos AB, CD y EF los que hay que dividir par ejemp10 en 5 partes iguales. 10 primero es 11evar sabre una recta cualquiera N veces 5 en nuestro ejemplo, una distancia dada arbitrariamente. A continuacion se colo
3 ca el compas en el punto 0 y se abre hasta tener un radio igual a la distancia de 0 a 5 (0 sea N). Con este radio y con centro en 0, se traza un arco de cir cunferencia igual a 0-5, y desde 5 hacia arriba de la recta XX. A continuacion se invierte el centro, es decir, se apoya el compas ~n el punto 5 y con el mismo radio, se traza otro arco de circunferencia que p'artiendo de 0, se prololl ga hasta cortar en el punto Z a1 arco anterior; punto Z se une con cada uno de los puntos marcados sobre XX'. Ahora t6mese co el compas un radio igual a 1a primera recta po~ dividir, hagase centro en Z y . iacese e1 area que origina los puntos A y B" al unir A con B se obtiene elprimer segmento debidamente dividido. A continuacion se efectua 1a misma operacion con los otros segmentos tomando la medida de cad a uno de ellos.
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DIFERENTES TIPOS DE LINEAS. 1.1
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FIG. I
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PROBLEHA 4.- DIVIDIR UN SEGMENTO DE RECTA, EN OOS PARTES IGUALES 0 SEA TRAZAR UNA PERPENDICULAR POR EL PUNTO MEDIO DE UNA RECTA DADA. Se hace centro en uno de los extremos de la recta, A por ejemplo y con un radio sensiblemente mayor que la mitad de AB, se trazan areas de circunferencia indefinidos, arriba y abajo de la recta; a continuacion se hace centro en el extrema B, yean el mismo radio, se trazan areas que cortan a los anterio res en los puntas C y C'. La recta que une estos dos puntos, es la buscada. PROBLEMA 5.- SEGUNDO PROCEDIMIENTO. Cuando la recta AB se encuentra muy proxima a la orilla del formato del dibujo, se procede de la siguiente manera; hacienda centros en A y en B y can un mismo dadio, cualquiera que sea, tracense arcos de circunferencia que se cortaran entre si en el punto C. Reduzcase un poco la abertura del compas y con este nuevo radio, vuelvase a hacer centro en los extremos A y B de la recta y tracense arc as que se cortaran entre si en el punta D, uniendo los puntos C y D Y prolongando hasta AB, es la perpendicular pedida. PERPENDICULARIDAD PROBLEMA 6.- POR UN PUNTO CUALQUIERA DE UNA RECTA, TRAZAR A ESTA UNA PERPENDICU LAR. Sea XX' la recta y P un pun to cualquiera dado en ella; se hace centro en dicho punto y can un radio cualquiera, se trazan arcos a ambos lados del punto, cortando a la recta en A y A' . . Se toma un radio mayor con el compas y con este radio, se hace centro en los puntos A y A' para trazar arcos de circunferencia que se cortan entre si en el punta B, que unido con P, da perpendicular buscada. PROBLEMA 7.- POR EL EXTREMO DE UNA RECTA DADA, TRAZARLE UNA PERPENDICULAR. Sea B el extrema de la recta dada; fuera de la recta se da un punto P. Hacienda centro en P, y PB como radio, se traza un arco de circunferencia que cortando en e1 punta C a 1a recta AB se pro10nga indefinidamente en sentido contrario. A continuacion se unen los puntas C y P, y se pro10nga 1a recta has-
perpendic~
t a cortar en D e l arc o de c ircunfe rencia. La unio n de D con B, da l a lar pedida .
PROBLEMA 8.- SEGUNDO PROCEDIMIENTO.
Haciendo centro en el extremo en que se va a trazar la perpendicular y con un radio cualquiera, descd.base un arco de circunferencia que cortara en C a AB y que se prolonga indefinidamente en sentido opuesto. Con e1 mismo radio hagase centro en C y cortese el arco en el punto D. Apoyese el compas e1 punto E en D y con igua1 radio se traza un arco que corta a1 primero en y que se prolonga indefinidamente hacia arriba. A continuacion y todavia can igua1 radio, se hace centro en E y se traza un arco que partiendo de D, corta al anterior en el punta F . La union de F con B es la perpendicular deseada .
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6 PROBLEMA 9 . - TERCER PROCEDIMIENTO. Haciendo centro en el extremo por donde ha de trazarse 1a perpendicular (sea en A) y con un radio cua1quiera se traza un arco que corte en C a AB; a continuacion, con centro en C y e1 mismo radio, se marca sobre e1 arco e1 punto D. Se une e1 punto C con D, pro1ongando esta recta indefinidamente . Haciepdo centro en D y con e1 mism~ radio, cortese 1a pro1ongacion de CD en e1 punto E que unido con e1 extremo A, proporciona 1a ~erpendicu1ar que sebusca. PROBLEMA 10.- CUARTO . : PROCEDIMIENTO. Tracese una recta cua1quiera y en ella 1H~vese cinco veces una misma distancia dada arbitrariamente. Tomese con e1 compas un radio igua1a tres de estas divisiones y haciendo centro en e1 extremo por donde se va a trazar 1a perpendicular, llevese esa 10ngitud sobre 1a recta AB, determinando e1 punta C. A continuacion tamese un radio igua1 a cuatro de las divisiones y can el mismo extremo como centro, se traza un arco indefinido arriba de 1a recta. Para terminar, se toman las cinco divisiones como radio y haciendo centro en C se corta a1 arco anterior en el punto D, que se une con e1 extremo de la recta para obtener 1a perpendicular que se desea. PROBLEMA 11.- DESDE UN PUNTO DADO FUERA DE UNA RECTA, LLEVAR A ESTA UNA PERPENDI CULAR. Sea P e1 punto dado fuera d'e 1a recta AB. Se hace centro en el, se traza' un arco de cua1quier radio, con tal que corte 1a recta en dos puntos C y ct. Haciendo centro en estos puntos y con e1 mismo radio a can otro cualquiera, se trazan arcos que se cortan entre si en e1 punta D, que a1 unirlo can ,P prod~ ce 1a perpendicuar que se busca.
PROBLEMA 12.-
SEGUNDO PROCEDIMIENTO. Se hace centro en uno de los extremos de 1a recta, A por ejemp10; se abre e1 compas hasta tener como radio 1a distancia AP y se traza un arco de circunferencia que se pro1onga mas abajo de 1a recta. A continuacion se hace Centro en B, se toma como radio BP y se traza 'otro arco que corta a1 anterior en e1 punto C. La recta que une C con P, es 1a perpendicular deseada.
7
PROBLEMA 13.- TERCER PROCEDIMIENTO. T6mese un punto cualquiera C sobre la recta AB y 6nase C con P. A conti nuacion se divide esta recta en dos partes iguales ever problema 4) obteniendo el punto D, que sirve de centro para trazar una semicircunferencia con radio CD = DP. Esta semicircunferencia cortara a al recta AB en el punto E que al ser unido con P, da la perpendicular buscada.
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PARALELISMO PROBLEMA 14. - DADA UNA RECTA CUALQUIERA, TRAZARLE OTRA PARALELA A CUALQUIER DISTANCIA. Sabre la recta dada AB, se marca un punta cualquiera que sirve de centro para trazar una semicircunferencia que cor tara a la recta en los puntas C y C'. Hacienda centro en estos puntas y can un radio cualquiera se carta la semi circunferencia en los puntas D y D' que a1 unirse entre si dan la para1e1a buscada. PROBLEMA 15.- A UNA DETERMINADA DISTANCIA DE UNA RECTA CUALQUIERA, TRAZARLE UNA PARALELA. Sea la recta AB, sabre la cual se dan clos puntas arbitrarios P yP', par elIas se trazan perpendiculares (ver problema 6) sabre las que se lleva can e1 compas la clistancia dada, obteniendo los puntas C y C', que al unirlos entre si dan 1a parale1a buscada. PROBLEMA 16.- POR UN PUNTO DADO FUERA DE UNA RECTA, TRAZAR A ESTA UNA PARALELA. Hacienda centro en el punto P dado y con un radio cua1quiera, tracese un arco de circunferencia que corte a la recta AB en el punta C. A continuacion se hace centro en el punto C y con el mismo radio se traza otro arco que pasando por P, se prolonga hasta cortar en el punto D a 1a recta AB. A continuacion se toma con el compas una abertura igual a la distancia DP y con ese radio se hace centro en C para marcar el punto E sabre el arco que pasa por el mismo punto C. Al unir los punt os E y P, se obtiene la paralela. ANGULOS PROBLEMA 17. - DES DE DOS PUNTOS DADOS FUERA DE UNA RECTA, TRAZAR OTRAS DOS QUE SE ENCUENTREN CON LA PRIMERA FORMANDO EL MISMO ANGULO. Sean AB 1a recta y P y Q los puntos dados fuera de ella. Por P se traza una perpendicular a la recta, originando el punto C con ella y prolongEtndola indefinidamente. Enseguida se da sobre esta recta e1 punta D, de manera que DC sea igua1 a PC y este punto D, se une con Q. originando en AB el pun to E que ademas se une can P. Las rectas PE y EQ son las buscadas.
9 PROBLEMA 18. CONOCIDO.
POR UN PUNTO CUALQUIERA DADO EN UNA RECTA, CONSTRUIR UN ANGULO
Sea 1a recta AB, sobre esta hagase centro en e1 punto P dado un radio cua1quiera, tracese un arco indefinido, que cortara en C 1a AB. A continuacion hagase centro en e1 vertice del angulo dado y con e1 radio, tracese un arco que cortara en los puntos C' y D a los lados de angulo. Tomese con el compas una abertura igual a C' D, apoyese en el C de la recta y con ese radio, cortese e1 arco originando el punto D' que con P forman el angu10 pedido.
con recta mismo dicho pun to unido
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PROBLEMA 19.- ENCONTRAR LA SUMA DE VARIOS ANGULOS DADOS. Se da una recta y en un punto cualquiera de ella, se construye un angulo igual a uno de los dados, oG por ejemplo. Se considera al lado AP como la recta dada y por un punto P se construye el segundo angulo 0 sea ~ , y asi sucesiva mente.
PROBLEMA 20.- ENCONTRAR LA DIFERENCIA ENTRE DOS ANGULOS DADOS. Como en el caso anterior, por un punto cualquiera de una recta dada se traza un angulo igual al mayor de ellos. A continuaci6n se considera uno de sus lad os como la recta dada y el vertice como si fuera el punto, para con~ truir el segundo angulo, s6lamente que en vez de construirlo hacia afuera del primero, se dibuja hacia adentro.
PROBLEMA 21.- DIVIDIR UN ANGULO
DADO
EN DOS, CUATRO, OCHO, ETC. PARTES IGUALES.
Se traza primero la bisectriz VC del angulo AVB, para esto, se hace centro en el vertice y con un radio cualquiera se traza un arco que cortando los brazos del angulo en los puntos D y D', se hace centro en estos puntos y con el mismo radio 0 cualquier otro, se trazan arcos que se cortan entre si en el punto E. La recta que une este punto con el vertice del angu10 es 1a indicada bisectriz que divide al angulo en dos partes iguales. Para dividir e1 angu10 en cuatro partes, basta sacar 1a bisectriz de los angu10s AVE y BVE . y aSl suceSlvamente.
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PROBLEMA 22.- DIVIDIR UN ANGULO RECTO EN TRES PARTES IGUALES. Se cortan sus y, con el e1 vertice
hace centro en e1 vertice del angulo y con un radio cua1quiera se brazos en los puntos C y C'. Apoyando e1 compas en estos puntoq/ mismo radio, se obtienen los puntos D y D' que al ser unidos c