Luego desarrollamos los binomios al cuadrado: Los binomios al cuadrado Recuerda que para desarrollar un binomio al cuadrado conoces una fórmula: el cuadrado del primer término, más/menos el producto de los dos términos multiplicado por 2, más el cuadrado del segundo término.

A continuación realizamos las multiplicaciones: Finalmente, hacemos las operaciones necesarias para ordenar la expresión e igualarla a cero: ¿Cómo resolvemos el ejercicio? En cada uno de los siguientes tres casos te pedimos que encuentres la ecuación de la elipse y su gráfica. Te sugerimos que tengas lápiz y papel (de preferencia cuadriculado) para realizar los desarrollos algebraicos y un bosquejo de la gráfica. También te invitamos a que uses el formulario que hemos preparado para ti.

Por cierto, para dibujar la elipse a mano resulta conveniente obtener la magnitud del lado recto, que es un segmento que pasa por cada foco. La fórmula para calcular cuánto mide es:

Imagina que tienes una elipse para la que calculaste que Lr=2.2. Eso significa que por el foco F1 trazarás un segmento de esa medida, perpendicular al eje mayor. La siguiente gráfica lo ilustra. Fíjate que F1 es el punto

medio del lado recto. La misma operación se realiza sobre F2. Para trazar tu elipse a mano grafica los vértices, los lados rectos y eje menor, con lo que tendrás 8 puntos para guiarte:

Únelos y tendrás algo así:

Obtengamos la ecuación de la elipse 1 Elipse 1: V1(2,1), V2(8,1), F1(3,1), F2(7,1). Cuando tengas la ecuación y gráfica, responde las siguientes preguntas, redondeando a dos cifras decimales cuando los resultados no sean enteros:

Paso 1. Graficamos los datos:

Paso 2. Obtenemos la información adicional que la gráfica proporciona:

En la gráfica podemos unir los vértices y así tenemos el eje mayor, que resulta ser horizontal, por tanto, la elipse también será horizontal. Obtenemos la longitud del eje mayor contando las unidades que separan el vértice V1 del vértice V2; esta longitud resulta ser de 6 unidades. De la misma manera, determinamos el valor del eje focal que mide 4 unidades. También podemos ubicar el centro a la mitad del segmento y determinar sus coordenadas, que son C ( 5,1 ) . Paso 3. Calculamos a, b, c. Si el eje mayor mide 6 unidades y equivale a 2a, significa que a=3. De la misma manera, si 2c=4, entonces c=2. Ello permite usar la relación a 2 = b 2 + c 2 para determinar b. Para ello, podemos sustituir y despejar:

o despejar y sustituir:

a = b +c 2 2 ( 3 ) = b 2 + (2 ) b2 = 9 − 4 b2 = 5 b = 5 = 2.24

a 2 = b2 + c2 a 2 − c2 = b2 − c2

2

2

2

a 2 − c2 = b2 b2 = a 2 − c2

b = a2 −c2 b = 9 − 4 = 5 = 2.2

Paso 4. Obtenemos la ecuación de la elipse: Como ya definimos que se trata de una elipse horizontal con centro fuera del origen, usamos:

(x − h )

2

a2

(y − k ) +

=1

(y +

=1

2

b2

Sustituyendo a=3 y b= 5 y C ( 5,1 ) tenemos:

(x − 5) 2 (3)

2

(x

− 1)

2

( 5)

2

− 5) ( y − 1) = 1 + 9 5 2

2

 ( x − 5 )2 ( y − 1 )2   = (1 ) ( 45 ) + ( 45 )   9 5   5 ( x − 5 ) + 9 ( y − 1 ) = 45 2

2

5 ( x 2 − 10x + 25 ) + 9 ( y 2 − 2y + 1 ) = 45 5x 2 − 50x + 125 + 9y 2 − 18y + 9 = 45 5x 2 + 9y 2 − 50x − 18y + 125 + 9 − 45 = 45 − 45 5x 2 + 9y 2 − 50x − 18y + 89 = 0

Paso 5. Graficamos la elipse: 1. Calculamos el lado recto:

Lr =

2b 2

a

2. Graficamos el lado recto contando

=

2

( 5)

2

3

=

2 ( 5 ) 10 = = 3.33 3 3

3.33 = 1.67 unidades hacia arriba y hacia debajo de cada foco. 2

3. Graficamos el eje menor:

4. Unimos los puntos para formar la elipse 5x 2 + 9y 2 − 50x − 18y + 89 = 0 .

Resolvamos la elipse 2 Elipse 2: V1(2,2), V2(2,10), Cuando tengas la ecuación y gráfica, responde las siguientes preguntas, redondeando a dos cifras decimales donde los resultados no sean enteros:

Paso 1. Graficamos los datos:

Paso 2. Obtenemos la información adicional que la gráfica proporciona:

Unimos los vértices y tenemos el eje mayor, que resulta ser vertical, por lo que nuestra elipse será vertical. Obtenemos la longitud del eje mayor, cuya longitud resulta de 8 unidades. Ubicamos el centro a la mitad del segmento y determinamos sus coordenadas: C (2,6 ) .

Paso 3. Calculamos a, b, c. Si el eje mayor mide 2a=8, entonces a=4.

c 3 = nos indica que c=3. a 4 Si a=4 y c=3, aplicamos la relación a 2 = b 2 + c 2 para determinar b: a 2 = b2 + c2 2 2 ( 4 ) = b 2 + (3) La excentricidad e =

b 2 = 16 − 9 b2 = 7

b = 7 = 2.65 Paso 4. Obtenemos la ecuación de la elipse. Ya sabemos que es una elipse vertical con centro fuera del origen, por lo que usamos:

(x − h )

2

b2

(y − k ) +

2

Sustituyendo a=4 y b= 7 y C (2,6 ) tenemos:

(x

− 2)

2

( ) 7

=1

a2

2

( y − 6) + 2 ( 4)

2

=1

− 2) ( y − 6) = 1 + 7 16 2 2  ( x − 2) y − 6)  (  = (1 )(112 ) + (112 )   7 16  

(x

2

2

16 ( x − 2 ) + 7 ( y − 6 ) = 112 2

2

16 ( x 2 − 4x + 4 ) + 7 ( y 2 − 12y + 36 ) = 112 16x 2 − 64x + 64 + 7 y 2 − 84y + 252 = 112 16x 2 + 7 y 2 − 64x − 84y + 64 + 252 − 112 = 112 − 112 16x 2 + 7 y 2 − 64x − 84y + 204 = 0 Paso 5. Graficamos la elipse: 1. Sabemos que c=3, así que podemos ubicar los focos sobre el eje mayor: el primero 3 unidades abajo del centro F1 (2,3) y el segundo, 3 unidades arriba F1 (2, 9 ) 2. Calculamos el lado recto:

Lr = 3. Graficamos el lado recto contando 4. Graficamos el eje menor:

2b 2

a

=

2

( 7)

2

4

=

2 (7 ) 7 = = 3.5 4 2

3.5 = 1.75 unidades hacia la derecha e izquierda de cada foco. 2

5. Unimos los puntos para formar la elipse 16x 2 + 7 y 2 − 64x − 84y + 204 = 0 .

Uno de los aspectos interesantes de la Geometría analítica, como ya hemos comentado, es que las ecuaciones, adecuadamente interpretadas, nos dan toda la información de su gráfica, de modo que si aprendemos a “leerlas” podremos imaginarlas en nuestra mente antes de graficarlas, o tal vez ya ni necesitemos la gráfica. ¿Suena interesante? Los coeficientes hablan A continuación te presentamos las elipses con las que acabamos de trabajar, su centro y los parámetros a, b que, como ya hemos visto, son los datos que necesitamos para obtener la ecuación. Ya que en la fórmula en realidad usamos a2 y b2, también las incluimos:

Si observas con detenimiento, te darás cuenta de que en cada ecuación podemos identificar a2 y b2, como coeficientes ¿Ya los viste? Fíjate que el lugar donde se encuentran depende, naturalmente, del tipo de elipse:

¿Y las coordenadas del centro? ¿Será posible que las encontremos? Fíjate en esta elipse:

Los coeficientes hablan

Aquí puedes ver que las ecuaciones de elipses con centro en el origen tienen menos términos, pues sólo conservan los cuadráticos y el término independiente; los términos lineales valen cero y por eso no aparecen:

¿Puedes ver entonces dónde se encuentra la información del centro de una elipse? ¡Claro! ¡En los términos lineales! Así, cuando tengamos una ecuación sin ellos, querrá decir que su centro está en el origen. Ahora analicemos las ecuaciones en las que sí aparecen:

Observa con atención las ecuaciones para que contestes: ¿qué relación habrá entre cada término lineal y las coordenadas del centro? Te daremos una pista: Para la abscisa del centro, debes encontrar una relación entre el coeficiente del término cuadrático x2 y el coeficiente del término lineal x: ¿Cómo llegar a 5 en la primera ecuación, haciendo operaciones con los coeficientes 5 y -50? ¿Cómo llegar a 2 en la segunda ecuación, haciendo operaciones con los coeficientes 16 y 64? La misma secuencia de operaciones que encuentres debe funcionar para las ordenadas: trabajando con 9 y -18 debemos llegar a 1 y con 7 y -84 debemos llegar a 6. Intenta encontrar la relación. Te damos una idea: Revisa qué operaciones hiciste al desarrollar la ecuación para llegar a esos coeficientes. Cuando tengas tu propuesta, la hayas probado, y veas que funciona, arrastra la opción correcta para completar el texto.

Apliquemos lo aprendido

Hagamos un breve resumen antes de poner en práctica lo que descubrimos: Los coeficientes de los términos cuadráticos corresponden a a2 y b2. 1. Si a2 es el coeficiente de y2, la elipse es horizontal; si es el coeficiente de x2, entonces es vertical. 2. Los coeficientes de los términos lineales contienen la información del centro: para obtener la abscisa. Dividimos el coeficiente de x entre el coeficiente de x2 y el resultado entre (-2). Para la ordenada se sigue el procedimiento análogo con los coeficientes de y y y2.

¿De dónde vienen estas expresiones que obtuvimos? Consulta aquí el procedimiento algebraico que justifica nuestras fórmulas. Términos lineales Para una elipse horizontal, obtenemos la fórmula mediante la ecuación:

Si hacemos las operaciones necesarias para expresarla igualada a cero, tendremos:

Si la ecuación general de una elipse (horizontal o vertical) se expresa como: , Para la elipse horizontal podemos hacer la siguiente equivalencia:

De allí que hagamos las siguientes afirmaciones: 2 2 • El coeficiente de x es A=b . 2 2 • El coeficiente de x es A=b . 2 • El coeficiente del término lineal en x equivale a D=-2b h, por lo que si de esa expresión despejamos h, tendremos (¿te fijas que es lo que hacemos? Dividimos el coeficiente del término lineal en x entre el coeficiente de x2 , que en este caso vale b2 y luego dividimos entre -2. •

El coeficiente del término lineal en y es E=-2a2k y por tanto

.

• Finalmente, el término independiente . El procedimiento para obtener las fórmulas para una elipse vertical es análogo, y se llega a que:

A=a2, B=b2, D=-2a2h y

, E=-2b2k

Muy importante: Las fórmulas que encontramos son válidas siempre y cuando se cumpla que el término independiente de la ecuación es igual al que resulte de calcular

en una elipse

horizontal o en una vertical. Si no se cumple, debe usarse el método de factorización para obtener los elementos de la elipse.

Apliquemos lo aprendido

El método de factorización Si analizamos la ecuación: con nuestras fórmulas, tendríamos lo siguiente:

No olvides que cuando usamos nuestras fórmulas debemos cerciorarnos de que se cumple: para elipses horizontales para elipses verticales Ya determinamos que nuestra elipse es vertical, así que usaremos la segunda expresión. Los valores a sustituir serán

,

Si comparamos este valor calculado con el término independiente de la ecuación veremos que NO son iguales: Cuando esto ocurre, de la información obtenida con nuestras fórmulas sólo podemos hacer caso a las coordenadas del centro, pero NO a los valores de a2 y b2. En estos casos, tenemos que factorizar. Aquí tienes el procedimiento: Factorizar Expresar un polinomio por medio de sus factores, es decir, de expresiones que se multipliquen.

¿Cómo se factoriza una ecuación cuadrática?

Podríamos pensar en la siguiente analogía: Factorizar una ecuación en componentes lineales equivale a una proceso de destilación de un compuesto químico en los elementos que lo constituyen. Una vez separados es más fácil trabajar con ellos. Tenemos la siguiente ecuación cuadrática ya factorizada. ¿Cómo la resolvemos? (x + 1)(x - 2) = 0 La expresión nos dice que el producto de los dos términos lineales debe ser cero. Pero, ¿en qué casos el producto de dos números es cero? ¡Claro, cuando uno de ellos o ambos son cero! ¡Esa es la clave para resolverla!

Así que basta igualar cada factor a cero, lo que nos lleva a tener dos ecuaciones de primer grado facilísimas. Por esta razón, en la forma canónica la ecuación se iguala a cero. Al resolverlas obtenemos las dos soluciones de la cuadrática.

¿Ves que sencillo? Antes de aprender a encontrar los dos factores lineales reforcemos la forma en que se resuelven las ecuaciones cuadráticas cuando ya están factorizadas. Aprendamos a factorizar Para que percibas con claridad las reglas que se siguen para factorizar una ecuación cuadrática y el aprendizaje de ellas perdure, te proponemos hacer el proceso inverso. Es decir, multiplicar los dos factores lineales de las ecuaciones que acabas de resolver y analizar la relación con los coeficientes de la función cuadrática que se obtiene de dicha multiplicación. Veamos con el primer ejemplo cómo se realiza la multiplicación completa. Recuerda que cada uno de los términos del primer factor debe multiplicar a los dos términos del segundo. (x - 3)(x - 2) = 0

Analiza lo siguiente: ¿Cómo se obtuvo el +6? ¿De dónde procede el –5 que multiplica a x? Recuerda las leyes de los signos para la suma y para la multiplicación de números enteros que se revisaron en el curso propedéutico de Matemáticas. De manera análoga, obtenemos la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 escrita en la forma canónica en cada uno de los otros cuatro ejemplos que habíamos trabajado. Observa los resultados en cada caso.

Ecuación factorizada Ecuación sin factorizar (x+p)(x+q)=0 ax2+bx+c=0 1) (x-3)(x-2)=0 x2-5x+6=0 2) (x-6)(x+1)=0 x2-5x-6=0 3) (x-5)(x+2)=0 x2-3x-10=0 4) (x-1)(x-1)=0 x2-2x+1=0 5) (x-2)(x+2)=0 x2-4=0 ¿Ya encontraste qué relación hay entre c y los dos valores numéricos, p y q, de los dos factores? ¿Puedes decir cómo se relaciona b (el coeficiente de x) con p y q?

Establecemos relaciones para factorizar Seguramente te diste cuenta que el término independiente c de la ecuación escrita en la forma canónica es el producto de los valores numéricos p y q que aparecen en los binomios de la ecuación factorizada. Mientras que b es la suma algebraica (es decir la suma considerando signos) de p y q. como podemos ver a continuación:

Con estas relaciones, se puede facilitar la multiplicación, por ejemplo: La ecuación factorizada (x-3)(x+1)=0 fácilmente se convierte en:

Pero lo más importante es que estas relaciones permiten factorizar una ecuación de segundo grado escrita en la forma canónica y resolverla a través de dos ecuaciones de primer grado como ya aprendiste hacerlo. ¿Estás listo para factorizar? Veamos un primer ejemplo. Tenemos la ecuación x2-x-2=0 en donde c= –2 y b= –1. Queremos escribirla factorizada de la siguiente forma (x+p)(x+q)=0. Hay que encontrar p y q, de modo que (p)( q)= –2 y p + q= –1. Veamos todas las opciones en las que el producto de dos enteros nos da –2, y analicemos en cada una cuál es su suma. Tenemos:

¡La primera opción es la que buscamos! Ya que (–2) (1)=–2 y –2+ 1= –1. Así, tenemos: x2-x-2=(x-2)(x+1)=0 ¡Y ya podemos resolverla! Sigamos factorizando Resolvamos la ecuación x2+5x-6=0. Para factorizarla, buscamos dos números cuyo producto sea –6 y que al sumarlos tengamos +5. Analicemos las opciones:

Así los números que buscamos son 6 y –1. Por lo que la ecuación queda factorizada como: x2+5x-6=(x+6)(x1)=0 . Para resolverla igualamos cada factor a cero y despejamos x de cada ecuación lineal:

De hecho al ver que la segunda opción era la correcta, pudimos haber omitido las dos restantes. Quisimos hacer para ti el análisis completo de todas las posibilidades. Con un poco de práctica, cuando el término independiente es un número que no tiene muchos divisores, incluso mentalmente puedes encontrar los números que te sirven para la factorización. El método de factorización

Podemos obtener la gráfica con la información que nos proporciona la ecuación a la que llegamos:

y que es similar a ésta:

La información anterior, graficada en el plano cartesiano, se traduce en lo siguiente:

Y por tanto la gráfica de nuestra elipse es:

El método de factorización Con un adagio se puede hacer de la palabra una canción, que dibuje una elipse sobre el aire, una espiral de cuerdas armoniosas, empeñadas en derramar sobre el desasosegado tiempo del tumulto, un trayecto de dulzura. Mery Sananes

Aquí tienes un applet en el que puedes ver una de las varias formas que hay para construir geométricamente una elipse (es decir, usando regla y compás). Hemos incluido los elementos de la elipse y también su ecuación. Applet Programa de cómputo, generalmente desarrollado en lenguaje Java, que puede incluirse en una página HTML y en el que el usuario puede interactuar o puede presentarse una animación. http://www.bunam.unam.mx/moodle/file.php/14/Geom_Ana/Unidad_3/applet/elipse/elip01.html

Puedes mover el punto D sobre la circunferencia auxiliar de trazo y con él se moverá el punto P que dibuja la elipse. Observa cómo se cumple la definición: la suma de las distancias de P a los focos da como resultado 2a, que es el valor de la constante y la longitud del eje mayor. ¡Verifícalo! Para cambiar la longitud del eje mayor, mueve alguno de los vértices, o ambos. Por cierto, hablando de elipses inclinadas, ¿podrás encontrar la diferencia entre sus ecuaciones y las ecuaciones de una elipse horizontal o vertical? Seguro que sí. ¡Inténtalo! ¿Encontraste la diferencia? SI NO Observa que hay un término nuevo en las ecuaciones de las elipses inclinadas, que no habíamos encontrado antes. Se trata de un término de segundo grado de la forma xy. En la unidad 4 lo estudiaremos con mayor detalle. Si no puedes visualizarlo, probablemente signifique que tu computadora no tiene cargado el software Java http://java.com/es/

Para terminar te dejamos con una aplicación de las elipses a la acústica: las galerías de murmullos (whispering rooms): si la forma de la cúpula de un auditorio o galería es elíptica, entonces un susurro o murmullo débil emitido en un foco prácticamente pasa desapercibido en la mayor parte del salón excepto en el otro foco, donde es claramente escuchado. La aplicación de esta propiedad acústica en el diseño arquitectónico data de tiempos antiguos, pues se le ha encontrado en el Taj Majal de la India, en la Cámara de los Suspiros de la Catedral de San Pablo, en Londres, en la Galería de los Suspiros del Convento del Desierto de los Leones de la ciudad de México, y más recientemente en el Tabernáculo Mormón en Salk Lake City, Estados Unidos, y en el Salón de las Estatuas del Capitolio de Washington, D.C., donde se dice que John Quincy Adams, mientras formaba parte de la Cámara de Representantes, pidió que colocaran su escritorio en el lugar correspondiente a uno de los focos de la elipse, para tener oportunidad de escuchar claramente las conversaciones privadas que tenían lugar entre quienes incautamente platicaban parados en el otro foco.